Análisis numérico II

Jesus, Aguiar Vigo

Description

Colecciones : MID. Memorias de Innovación Docente, 2009 - 2010
Fecha de publicación : 2010
La memoria de innovación de 2010 resulto en la presenta monografia. Esta monografía se ciñe a la materia estudiada en la asignatura de Análisis
Numérico II del grado de Matemáticas. Debido a la ausencia de material en
Español (lo cuál ha llegado a ser motivo de queja para los alumnos) que sirva a los estudiantes de guía para el estudio, hemos considerado adecuado poner por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura.
Los presentes apuntes se dedican al estudio de los métodos más clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Hemos dividido el trabajo en tres:
i) Un primer capítulo que les sirva de introducción a los métodos, con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina.
ii) El segundo capítulo está dedicado a los Métodos Runge-Kutta, especialmente a los explícitos.
iii) Por _ultimo, el capítulo tres se dedica al estudio de los métodos multipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell.
Puesto que la asignatura tiene tanto parte teórica como práctica, en cada capítulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a comprender mejor los términos más complejos de la asignatura.m

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• Sciences et techniques

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Extrait

Introducci´on:

Estamonograf´ıaseci˜nealamateriaestudiadaenlaasignaturadeAn´alisis Num´ricoIIdelgradodeMatema´ticas.Debidoalaausenciadematerialen e espa˜nol(locu´alhallegadoasermotivodequejaparalosalumnos)quesirva alosestudiantesdeguı´aparaelestudio,hemosconsideradoadecuadoponer por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura. Lospresentesapuntessededicanalestudiodelosme´todosma´scl´asicos deresoluci´ondeecuacionesdiferenciales. Hemos dividido el trabajo en tres: i)Unprimercapı´tuloquelessirvadeintroducci´onalosm´etodos,con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina. ii)Elsegundocap´ıtuloesta´dedicadoalosMe´todosRunge-Kutta,espe- cialmente a los expl´ıcitos. iii)Po´ultimo,elcapı´tulotressededicaalestudiodelosme´todosmul-r tipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell. Puestoquelaasignaturatienetantoparteteo´ricacomopr´actica,enca- da capıtulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a ´ comprendermejorloste´rminosma´scomplejosdelaasignatura. Firmado: Jesus Vigo Aguiar y resto de miembros del equipo

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Cap´ıtulo

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Introducci´ona nume´ricos

1.1.

los

m´etodos

M´etodosnum´ericos:definiciones,nomen- clatura y ejemplos

En otras asignaturas hemos obtenido una serie de herramientas para obtenersolucionesanalı´ticasendiferentesclasesdeecuacionesdiferenciales. Desgraciadamentehayungrann´umerodeecuacionesdiferencialesnore- solublesporningunodeestosme´todos.Enloscapı´tulosqueproponemosa continuaci´onseestudiar´andiferentesme´todosnum´ericosqueaproximanla curvacuyacondicio´ninicialyderivadasonlosdatosdadosporelproblema devalorinicial.Estoes,selograunatabladen´umeroscondoscoordenadas (x i ,y i ), dondey i ≈y(x i ). Losme´todosnume´ricospuedentenermuchasforma,aqu´ısepropondr´an algunosdelosme´todosRunge-Kuttaymultipasom´asconocidos. El problema standard que procuraremos resolver es y 0 (t) =f(t, y(t)), y(t 0 ) =y 0 ,(1.1.1) dondey= (y 1 , . . . , y m ),f= (f 1 , . . . , f m ) ey 0 = (y 01 , . . . , y 0 m ), son vectores dedimensio´nm,mientrasquetyt 0 son escalares. So´loconsideraremoselproblema(1.1.1)cuyasoluci´onexistaysea´unica. Por ejemplo cuandof:R×R m →R m sea continua∀(x, y)∈D, donde D={(t 0 , t f )×R m }, y de forma que exista una constante finita L, tal

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que kf(x, y)−f(x, y ∗ )k≤Lky−y ∗ k(1.1.2) para cualquier(x, y),(x, y ∗ ),sieeosasstp´hiesoted.DuCpmile´dn diversosresultadosquenoseestudiar´anenestemanual,nosd´ aran garantı´asdequeexistasolucio´n´unicadenuestroproblema,yde quey(t)sea continua y diferenciable en D. Habr´avecesenlasqueestashi´tesisnoseverifiquen,enesoscasos po ellectorhabra´detenercuidado,yaquelosm´etodosqueseestudiara´na conti-nuacio´nsonbastantegenerales,ypuedequenosirvanparaelcaso especı´fico.Acontinuacio´nsedanejemplosmuybreves,quemuestrancomo antesdeintentarresolverelproblema,esprecisoestudiarlacasuı´sticadel mismo, de esta forma se evitar´ l perdida de tiempo y de esfuerzos. a a Ejemplo 1: consideremos y 0 (x) =− p |y|, y(3) = 0.(1.1.3)

Aquı´nosecumplenlascondiciones,elresultadoesqueexisteninfinitassolu- ciones,porejemplosonv´alidastodaslasqueseandeltipo −c 1 ) 2 y(x) = ( ( 0 x s 4 ix > si c 1 x≤c 1 ≤3 Ejemplo 2: sea nuestro problema y 0 (x) = 1 +y 2 , y(0) = 1,conx∈[0, 4 π ].(1.1.4)

Enestecasonoexistedichaconstante,raz´onporlaquelasoluci´ondelproble- may(t) = tan(x+ 4 π n´astoe)naeadotac π 4 , donde presenta una singularidad. Ejemplo 3: supongamos que nuestro problema es ahora y 0 (x) =λ(y−E(x)) +E 0 (x), y(0) = 10.(1.1.5) DondeE(x) = 10−(10−x)e −x yλ=−2000, por ejemplo. En este caso s´ı se verifican las condiciones pedidas, pero el hecho de que la constanteLipschitzianaseatanaltahacequelosme´todosnum´ericostengan problemas. Este ejemplo, considerado de la familia de los Prothero-Robinson es tıpico ´ entre los problemas stiff que veremos mas adelante. ´

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Todoslosme´todosqueseproponenaquı´partendelaideadeladis- cretizaci´ondelcontinuo[t 0 , t f o´iculosnndes]docalaebusy(t) del problema (1.1.1). Consideramos un conjunto de puntost 0 < t 1  < t . .< . f , y llamaremos longituddepasoenlaiteraci´onnah n =t n −t n−1 . Deestaformaunme´todonume´ricoesunaecuacio´nendiferenciasquenos permite obtener de forma recursiva una serie de aproximacionesy n dey(x n ), utilizando valores obtenidos anteriormentey n−1 , . . . , y n−k y evaluaciones de lafunci´onf(t, y(t)). Laprimeragranfamiliademe´todosqueseproponensonlosRunge-Kutta. Un Runge-Kutta de s pasos se escribe de forma general como

s y n+1 =y n +h X b i k i i=1

(1.1.6)

donde s k i =f(x n +c i h, y n + X a ij k i ) j=1 Mientrasquellamaremosm´etodosmultipasoaaquellosm´etodosdeinte- graci´onnume´ricaquesepuedenescribircomo

α 0 y n +α 1 y n−1 +...+α k y n−k =h(β 0 f n +β 1 f n−1 +...+β k f n−k ) (1.1.7) dondek >´lsdsoo,odetse1terounenuedefijoqnlu´nfieeedapemor e m f i =f(x i , y i ), y lasα i , β i son constantes que no dependen de n;, y n es el valor quesequierecalcularencadaiteracio´n,mientrasquelosy n−i , con 0< ison valores que se han obtenido previamente.

1.2. Consistencia

Siconsideramosqueelme´todoseobtienedelaf´ormulageneral

α 0 y n +α 1 y n−1 +...+α k y n−k =hφ f (y n , . . . , y n−k , x n ;h),(1.2.1) dondeφ f denota queφdepende deyedse´vartaf, y definimos el residuo como k R n := X α j y(x n−j )−hφ f (y n , . . . , y n−k , x n ;h) j=0

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(1.2.2)

esf´acilobservarqueparaqueunme´todosea“va´lido”paraencontraruna solucio´napropiadaanuestroproblema,necesitaremosnoso´loque

h ıl´ → m 0 R n = 0,

(1.2.3)

tambien sera preciso que ´ ´ l h ´ım 0 h R n = 0.(1.2.4) → Siestosucedesedicequeelm´etodoesconsistenteatseedselltadeasm´raPa. y otras futuras definiciones, un interesante libro es el de Lambert ([Lam91]).

1.3. Estabilidad

Supongamosqueseanuestroobjetivoencontrarunasoluci´onnume´ricadel problema (1.1.1), y supongamos ahora que perturbamos levemente tanto la funci´on(conδ(t)), como el valor inicial (enδ), siendo ahora nuestro problema z 0 (t) =f(t, z(t)) +δ(t), z(t 0 ) =z 0 +δ,(1.3.1) Entonces, se dice que el problema de valor inicial (1.1.1) estotalmente estable, si dadas dos perturbaciones (δ(t), δ) y (δ(t) ∗ , δ(t) ∗ ) de (1.1.1) y siendoz(t) yz(t) ∗ las soluciones de los problemas problemas perturbados, existe una constante S tal que∀t∈[t 0 , t f ] kz(t)−z(t) ∗ k≤Sε

siempre que

kδ(t)−δ(t) ∗ k≤εykδ−δ ∗ k≤ε.

(1.3.2)

Aunqueestadefinici´onesmuyclara,esprecisosermuycuidadosocon lamisma,yaque,porejemplo,ası´lafuncio´nexponencialesestable.Sin embargo,m´asadelanteveremosqueestenoesundetallenadatrivial,pues pocosm´etodosintegrannume´ricamentebiendichafuncio´n. Sucedequealgunosme´todosnum´ericosaplicadosaalgunosproblemas devalorinicial,introducenerroresquedeterioranlasolucio´ndelproblema, pudiendo suceder que ante determinadas longitudes de paso, las soluciones oscilendegranmanerallegandoadivergirlassoluciones,locualnoserı´a aceptable en absoluto.

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Por eso decimos que un metodo escero-establesi dadas dos perturba-´ ciones{δ n , n= 0, . . . , N}y{δ n ∗ , n= 0, . . . , N}m´eldoodet

k X α j y n−j =hφ f (y n , . . . , y n−k , x n ;h), y i =a i (h), i=−1, . . . ,−k j=0 (1.3.3) y siendo{z n , n= 0, . . . , N}y{z n ∗ , n= 0, . . . , N}sus respectivas soluciones, entonces existen constantes S yh 0 tales que∀h∈(0, h 0 ], se cumple que − kz n z ∗ n k≤Sε,0≤n≤N

siempre que kδ n δ ∗ k≤ε0≤n≤N.(1.3.4) − n Ahora si introducimos los siguientes polinomios: α 0 y n +α 1 y n−1 +...+α k y n−k −→π(x) =α 0 x k +α 1 x k−1 +...+α k ,(1.3.5) sedicequeelme´todo(1.3.3)verificala´noedalarndcoi´ici todas las ızs raı´cesdeπ(xouulodm´enentinouquenerosaedonlyenen)tiulomm´od multiplicidad menor o igual que la del orden del problema a resolver. Dadas estas nociones es posible enunciar el siguiente teorema: Teorema:lacondicio´nnecesariaysuficienteparaqueun´todo me seaestable,esquesecumplalacondici´ondelaraı´z.

1.4. Convergencia:

Laideaprincipaltantodelosme´todosRunge-Kuttacomodelosmulti- paso es que dado el problema de valor inicial y 0 (x) =f(x, y), y(x 0 ) =y 0 (1.4.1) entonces cuandoh→0 y parax n =x, se cumpla que l´ımy n =y(x).(1.4.2) h→0

Peroadem´asesimportanteco´mosecomportaestel´ımite,yaquesipara valores deh1, se sigue dando que la diferencia entre el valor exactoy(x) y el valor estimadoy n seot,se´tdanaodessecnotne,odaveelteanstbaıav´da

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elcasodequeelm´etodonumericoesmuycostoso.Paraexplicarlodeotra ´ forma, es necesario hacer un numero muy elevado de cuentas para hallar una ´ buenaaproximacio´ndelasoluci´onverdadera. Conesefindefinimosqueunm´etododefinidocomo(1.3.3)esconver- gentede valor inicial del tipo (1.1.1), consi, para todo problema f:R× R m →R m continua∀(x, y)∈D, dondeD={(t 0 , t f )×R m }, de forma que exista una constante finita L, tal que kf(x, y)−f(x, y ∗ )k≤Lky−y ∗ k(1.4.3) para cualquier (x, y), (x, y ∗ ) de D; entonces tenemos que 0≤ m n ´a ≤ x N ky(x n )−y n k→0 cuandoh→0.(1.4.4) Adem´as,estudiosm´aselevadosqueel´ que proponemos aquı, provaron que lacondicio´nnecesariaysuficienteparaqueelme´todoseaconver- gente es que sea a la vez consistente y cero-estable. Comoyahemosvisto,engeneraltodoslosme´todosmultipasosepueden escribir como α 0 y n +α 1 y n−1 +...+α k y n−k =h(β 0 f n +β 1 f n−1 +...+β k f n−k ) (1.4.5) donde k es un entero fijo mayor que 1,f i =f(x i , y i ), y lasα i , β i , son con- stantes que no dependen de n;y n el valor que se quiere calcular en cadaes iteraci´on,mientrasquelosy n−i , con 0< ison valores que se han obtenido previamente. Supongamosqueelme´todoescero-estable,comoloqueremoshallares y(x−ih)−y n−i f´lamuor(1la.5.4ne,r)eepmalazomlssay n−i , por lasy(x−ih), y lashf n−i =hy 0 n−i , porhy 0 (x n−i ), de esta forma obtenemos α 0 y(x n )+α 1 y(x n−1 )+...+α k y(x n−k )−h(β 0 y 0 (x n )+β 1 y 0 (x n−1 )+...+β k y 0 (x n−k ) (1.4.6) Utilizando el desarrollo de Taylor de las funcionesy(x−ih), ey 0 (x−ih), en un entorno dex=x n vamosaobtenerunaeerpxo´islednopit C 0 y(x) +C 1 hy 0 (x) +...+C k h k y (k) (x) +...(1.4.7) enesecasosedicequeelm´etodoesdeordenk-1cuandoseobtieneque C 0 =C 1 =...=C k−1 = 0 y queC k 6= 0. Enesecasoelerrorproducidocondichome´todoesC k h k y (k) (x)+O(h k+1 ), que para 0< h1, es aproximadamenteC k h k y (k) (x). De manera equivalente, se puede trabajar con los Runge-Kutta hasta hallarelordendelm´etodo.

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