G´en´eralisation de formules de type Waring Fr´ed´eric Jouhet et Jiang Zeng Institut Girard Desargues Universit´e Claude Bernard (Lyon 1) 69622 Villeurbanne Cedex, France Email: jouhet@desargues.univ-lyon1.fr zeng@desargues.univ-lyon1.fr Abstract Weevaluate thesymmetricfunctionse , h andp onthealphabetk k k {x /(1 − tx )} by elementary methods and give the related generat-r r ing functions. Our formulas lead to a new and short proof of an ex- conjecture of Lassalle [3], which was proved by Lascoux and Lassalle [1] in the framework of λ-rings theory. 1 Introduction L’un des probl`emes fondamentaux dans l’´etude de fonctions sym´etriques est le d´eveloppement d’une fonction sym´etrique sur certaines bases lin´eaires de l’alg`ebre des fonctions sym´etriques. Un r´esultat classique de Waring ex- plicite led´eveloppement des fonctionssym´etriques puissances p dansla basen lin´eaire des fonctions sym´etriques ´el´ementaires (e ).λ Danscetarticlenousg´en´eralisonslaformuledeWaringend´eveloppant les fonctionssym´etriquespuissancesp ´evalu´eessurl’alphabetY = {x /(1−tx ),n 1 1 x /(1−tx ),...}danslabaselin´eairedesfonctionssym´etriques´el´ementaires2 2 (e ) ´evalu´ees sur l’alphabet X = {x ,x ,...}. De mˆeme nous consid´erons leλ 1 2 probl`eme inverse, c’est-`a-dire, le d´eveloppement des fonctions sym´etriques h et e ´evalu´ees sur l’alphabet Y dans la base des fonctions puissances pn n μ ´evalu´ees sur l’alphabet X. Dans le dernier cas nous aurons besoin d’un coef- ficient ...
Abstract We evaluate the symmetric functionsek,hkandpkon the alphabet {xr/(1−txr)}by elementary methods and give the related generat ing functions. Our formulas lead to a new and short proof of an ex conjecture of Lassalle [3], which was proved by Lascoux and Lassalle [1] in the framework ofλrings theory.
Introduction
L’undesprobl`emesfondamentauxdansl’´etudedefonctionssym´etriques estled´eveloppementd’unefonctionsym´etriquesurcertainesbaseslin´eaires del’alge`bredesfonctionssyme´triques.Unre´sultatclassiquedeWaringex plicitelede´veloppementdesfonctionssym´etriquespuissancespndans la base lin´eairedesfonctionssyme´triquese´le´mentaires(eλ). Danscetarticlenousg´en´eralisonslaformuledeWaringend´eveloppantles fonctionssyme´triquespuissancespnall’ursseeu´alev´tehpbaY={x1/(1−tx1) , x2/(1−tx2), . . .}iresl´ementairuqsee´snys´mteonsfioctai´ederesabaniledlsna (eλessurl’a)´evalu´eplahebtX={x1, x2, . . .}meˆeusnoem.Dsnorelsnoce´di proble`meinverse,c’est`adire,led´eveloppementdesfonctionssyme´triques hnetente´velau´eessurl’alphabYdans la base des fonctions puissancespµ ´evalue´essurl’alphabetX. Dans le dernier cas nous aurons besoin d’un coef ficientbinomialge´ne´ralis´eintroduitparLassalle[2].Nousende´duisonsen suite,commeapplications,desd´eveloppementsinte´ressants,quiconduisent
1
en particulier de nouvelles preuves des exconjectures de Lassalle [2, 3]. D’autrespreuvesdecesconjecturesont´et´etoutre´cemmentdonne´espar Lascoux et Lassalle [1] dans le cadre desλanneaux. Notre approche repose essentiellementsurl’op´erateurdiffe´rentieldel’alg`ebredess´eriesformelles.Il estremarquablequel’e´tuded’unproble`mesie´l´ementairepuisseconduire`a unepreuvetre`ssimpledel’identit´edeLascouxetLassalle. Nous terminons cette introduction par un rappel [4, Chap.1] des formules quiserontutilis´eesdanslasuite.Observonsd’abordque ! k−1k−1 X X n−1t d n−1n−1 ant=ant .(1) k−1 (k−1)!dt n≥1n≥1 P P n n−1 Comme le atisfo (X)t= s fonctions puissancespn(X) =r≥1xrs ntn≥1pn P x /(1−x t), et pour toutk≥1 r≥1r r k−1k−1 d1x = (k−1)!, k dt1−xt(1−xt) nousende´duisonsdonc k−1 X d n−1(k−1)!tx1tx2 pn(X)t=pk.. . . , , (2) k dt t1−tx11−tx2 n≥1 Q mi(µ) Pour toute partition d’entiersµon posezµ=i≥1i mi(µ)!,ou`mi(µ) est le nombre de parts dansµgale´ea`si≥1, et pour tout entiernpositif on µ de´finitlecoefficientbinomialg´ene´ralise´h iomenedbrete´tlanmmocnscoa¸ef n de choisirnagraledieFermmededersrme´le´snadstneµ, dont au moins un par ligne. Lesfonctionssyme´triqueshn(X) eten(Xsiupsnoitcno)ostnile´seuafx Q sancespµ(X) =r≥1pµr(X) par la formule : X −1 hn(X) =z pµ(X),(3) µ µ`n X n−l(µ)−1 (−1)p en(X) =zµ µ(X).(4) µ`n
L’inversedeladerni`ereestappel´eeformule de Waring[5]:
X n(l(λ)−1)! n−l(λ) pn(X() = −1)Qeλ(X). λ`n imi(λ)!
2
(5)
Par l’involutionωeinfie´drapω(en) =hnon a aussi [4, p. 24]
X n(l(λ)−1)! l(λ)−1 pn(X() = −1)Qhλ(X). imi(λ)! λ`n
(6)
On notemµ(Xlaaesscoeuomonimym´etriqonctionsfal)nioitrtpala`aeei´µ. Nous remercionsMichel Lassallepour ses remarques amicales sur une versionant´erieuredecetarticle.
2
Re´sultatsprincipaux
X SoitX={x1, x2, . . .}unensemblefiniofiniu’din´dnireten´miseeet 1−tX x1x2 l’alphabet{, , . . .}. 1−tx11−tx2 Th´eor`eme1Pour toutk≥1on a ! X X|µ|k(l(µ)−1)! |µ|−k|µ|−l(µ) pk=t(−1)Qeµ(X),(7) 1−tX kimi(µ)! |µ|≥k ! X X|µ|k(l(µ)−1)! |µ|−k l(µ)−1 pk=t(−1)Qhµ(X).(8) 1−tX kimi(µ)! |µ|≥k
D´emonstration.
Les formules (1) et (2) impliquent directement ! X X j−1 j−k pk=t pj(X). 1−tX k−1 j≥k
Th´eor`eme2Pour tout entierk≥1on a µ X Xh i |µ|−k k hk=t pµ(X), 1−tX zµ |µ|≥k µ X Xh i |µ|−k k−l(µ)k ek=t(−1)pµ(X). 1−tX zµ |µ|≥k
3
(9)
(10)
D´emonstration.Notons d’abord que ! l X Y µ µi =, k k k+∙∙∙+k=ki 1li=1 k ,...,k≥1 1l Q ou`l=l(µ). Comme chaque partitionµdejcoa`opdnrrsel(µ)!/i≥1mi(µ)! compositions (k1, . . . , kl) dejtelles que (k1, . . . , kl) soit une permutation des parts deµ, nous avons, en tenant compte de (1) et (2), k−l(µ) X X α µ j−k t pµ(X) zµk j≥k µ`j ! k−l−k l X Y X α t µr−1 µr =pµr(X)t k+∙∙∙+k=kl!k1∙ ∙ ∙klkr−1 1lr=1µr≥1 l≥1 k−kl l r−1 X Y X α d n−1 =pn(X)t k+∙∙∙+k=kl!k1!∙ ∙ ∙kl !dt 1lr=1n≥1 l≥1 k−l(µ) X α x1x2 =pµ., , . . . zµ1−tx11−tx2 µ`k En posantα= 1 (resp.−n,)1esuo´endisdus(on(r9)se.p1()0e)anppilquant (3) (resp. (4)). Remarque.1) Lorsquet= 0 on retrouve les formules classiques de type Waring. 2)Danslesth´eor`emes1et2,t’nparam`etestqu’un´ugnee´tiee´rm’,dioahvosm leroˆleimportantqu’iljouedansnotrede´monstration,nouspre´fe´ronsgarder cette forme. Rappelons quehn(X) eten(Xioctonrfoutpon):nsg´en´eratrices X Y 1 n hn(X)t=,(11) 1−xrt n≥0r≥1 X Y n en(X)t= (1 +xit).(12) n≥0i≥1 Th´eor`eme3SoitzetX={x1, x2, . . .}ee´nimreepe´dnisdetd´inesnadn.set Alorslas´erieformelle Y u txr z F(t, u) = (1 +u) 1 + 1 +u1−txr r≥1