Tensor product multiscale many particle spaces with finite order weights for the electronic Schroedinger equation [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jan Hamaekers

Jan Hamaekers

Sujets

• Mathematics
• Physik

Informations

• Publié par: rheinische_friedrich-wilhelms-universitat_bonn
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Tensor Product Multiscale Many-Particle
Spaces with Finite-Order Weights for the
Electronic Schrödinger Equation
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.)
der
Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fakultät
der
Rheinischen Friedrich–Wilhelms–Universität Bonn
vorgelegt von
Jan Hamaekers
aus
Neuwied
Bonn 2009Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fakultät der
Rheinischen Friedrich–Wilhelms–Universität Bonn
1. Referent: Prof. Dr. Michael Griebel
2. Referent: Prof. Dr. Helmut Harbrecht
Tag der Promotion: 20.07.2009
Erscheinungsjahr: 2009
Diese Dissertation ist auf dem Hochschulschriftenserver der ULB Bonn
http://hss.ulb.uni-bonn.de/diss_online online elektronisch publiziert.Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit gewichteten Tensorprodukt-Multi-
skalen-Mehrteilchen-Approximationsräumen und deren Anwendung zur numerischen Lö-
sung der elektronischen Schrödinger-Gleichung. Aufgrund der hohen Problemdimensi-
on ist eine direkte numerische Lösung der elektronischen Schrödinger-Gleichung mit
Standard-DiskretisierungsverfahrenzurlinearenApproximationunmöglich,weshalbübli-
cherweise Monte Carlo Methoden (VMC/DMC) oder nichtlinearen Modellapproximatio-
nen wie Hartree-Fock (HF), Coupled Cluster (CC) oder Dichtefunktionaltheorie (DFT)
verwendet werden. In dieser Arbeit wird eine numerische Methode auf Basis von adapti-
ven dünnen Gittern und einer teilchenweisen Unterraumzerlegung bezüglich Einteilchen-
funktionen aus einer nichtlinearen Rang-1 Approximation entwickelt und für parallele
Rechnersysteme implementiert. Dünne Gitter vermeiden die in der Dimension exponen-
tielle Komplexität üblicher Diskretisierungsmethoden und führen zu einem konvergen-
ten numerischen Ansatz mit garantierter Konvergenzrate. Zudem enhalten unsere zu-
grunde liegenden gewichteten Mehrteilchen Tensorprodukt-Multiskalen-Approximations-
räume die bekannten Configuration Interaction (CI) Räume als Spezialfall.
Zur Konstruktion unseres Verfahrens führen wir zunächst allgemeine Mehrteilchen-
Sobolevräume ein, welche die Standard-Sobolevräume sowie Sobolevräume mit dominie-
render gemischter Glattheit beinhalten. Wir analysieren die Approximationseigenschaf-
tenundschätzenKonvergenzratenundKostenkomplexitätsordungeninAbhängigkeitder
Glattheitsparameter und Abfalleigenschaften ab. Mit Hilfe bekannter Regularitätseigen-
schaften der elektronischen Wellenfunktion ergibt sich, dass die Konvergenzrate bis auf
logarithmische Terme unabhängig von der Zahl der Elektronen und fast identisch mit
der Konvergenzrate im Fall von zwei Elektronen ist. Neben der Rate spielt allerdings die
Abhängigkeit der Konstanten in der Kostenkomplexität von der Teilchenzahl eine wich-
tige Rolle. Basierend auf Zerlegungen des Einteilchenraumes konstruieren wir eine Un-
terraumzerlegung des Mehrteilchenraumes, welche insbesondere die bekannte ANOVA-
Zerlegung, die HDMR-Zerlegung sowie die CI-Zerlegung als Spezialfälle beinhaltet. Ei-
ne zusätzliche Gewichtung der entsprechenden Unterräume mit Gewichten von endlicher
Ordnungq führt zu Mehrteilchenräumen, in denen sich das Approximationsproblem einer
N-Teilchenfunktion zu Approximationsproblemen von q-Teilchenfunktionen reduziert.
Mit dem Ziel, Konstanten möglichst kleiner Größe bezüglich der Kostenkomplexität
zu erhalten, stellen wir ein heuristisches adaptives Verfahren zur Konstruktion einer Se-
quenz von endlich-dimensionalen Unterräumen eines gewichteten Mehrteilchen-Tensor-
produkt-Multiskalen-Approximationsraumes vor. Außerdem konstruieren wir einen Fra-
me aus Multiskalen-Gauss-Funktionen und verwenden Einteilchenfunktionen im Rahmen
der Rang-1 Approximation in der Form von Gauss- und modulierten-Gauss-Funktionen.
Somit können die zur Aufstellung der Matrizen des zugehörigen diskreten Eigenwertpro-
blems benötigten Ein- und Zweiteilchenintegrale analytisch berechnet werden.
Schließlich wenden wir unsere Methode auf kleine Atome und Moleküle mit bis zu sechs
Elektronen (18 Raumdimensionen) an. Die numerischen Resultate zeigen, dass sich die
aus der Theorie zu erwartenden Konvergenzraten auch praktisch ergeben.Danksagung
An dieser Stelle möchte ich die Gelegenheit nutzen, um allen Personen zu danken, die
mich bei dieser Arbeit unterstützt haben. Dieser Dank gilt zunächst Prof. Dr. Michael
Griebel für die interessante Promotionsthematik, die vielen wertvollen Ideen und hilfrei-
chen Diskussionen, aber auch für die Bereitstellung von exzellenten Arbeitsbedingungen.
Ebenfalls möchte ich mich bei Prof. Dr. Helmut Harbrecht für die Übernahme des Zweit-
gutachtens bedanken. Ein herzlicher Dank gebührt Christian Feuersänger, Margrit Klitz
und Ralf Wildenhues für die große Hilfe beim Korrekturlesen der Arbeit. Abschließend
möchte ich meinen Kollegen am Institut für Numerische Simulation meinen Dank für das
freundliche und inspirierende Arbeitsklima aussprechen.
Bonn, im Mai 2009 Jan HamaekersFür Zeynep und Felix CanContents
1 Introduction 1
2 Sobolev Spaces for Many-Particle Functions 9
2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Regularity and decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Many-particle Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Hyperbolic cross approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Multiscale decomposition of general hyperbolic cross spaces . . . . 19
2.3.2 Approximation by general sparse grid spaces . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Weighted many-particle spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Particle-wise subspace splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Many-particle spaces with finite-order weights . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Symmetric and antisymmetric many-particle spaces . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Symmetric and antisymmetric general sparse grid spaces . . . . . . 44
2.5.2 Particle-wise splitting of symmetric and antisymmetric spaces . . . 46
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Electronic Schrödinger Equation 51
3.1 Born-Oppenheimer approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Antisymmetry principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Properties of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Discrete spectrum and exponential bounds . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Cusp conditions and regularity results . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.3 Decay of weak mixed derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Numerical Methods 73
4.1 Galerkin discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Löwdin rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Parallel eigenvalue solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Multiscale Gaussian frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Gaussians in multiresolution analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 One-particle multiscale Gaussian frame . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3 Many-particle Gaussian frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
iContents
4.3 Approximation with finite-order weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1 Particle-wise decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Approximation spaces with weights of finite order . . . . . . . . . . 92
4.4 Adaptive scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 A priori choice of the initial approximation space . . . . . . . . . . 95
4.4.2 A posteriori choice of the sequence of approximation spaces . . . . 103
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Numerical Experiments 109
+5.1 He atom, H and He molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 2
5.2 Lowest fully antisymmetric states of He, H and Li . . . . . . . . . . . . . 1162
5.3 Li, Be, B and C atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4 LiH, BeH, BH and Li diatomic molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 Conclusions 137
A Function Spaces 141
A.1 Hölder spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2 Besov and Triebel-Lizorkin spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B Wavelets 143
B.1 Multiresolution analysis and multivariate wavelets . . . . . . . . . . . . . 143
B.2 Meyer wavelet family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .