Testing for causality with Wald tests under nonregular conditions [Elektronische Ressource] / von Maike M. Burda

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2001
• Nombre de lectures: 22
• Langue: English
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Extrait

Testing for Causality with Wald Tests under
Nonregular Conditions
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum politicarum
(dr. rer. pol.)
¨im Fach Okonometrie
eingereicht an der
Wirtschaftswissenschaftlichen Fakult¨at
Humboldt-Universit¨at zu Berlin
von
Frau Dipl.-Volkswirtin Maike M. Burda
geboren am 21.02.1966 in Neumuns¨ ter
Pr¨asident der Humboldt-Universit¨at zu Berlin:
Prof. Dr. Jurg¨ en Mlynek
Dekan der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakult¨at:
Prof. Dr. Lutz Hildebrandt
Gutachter:
1. Prof. Dr. Helmut Lutk¨ epohl
2. Prof. Dr. Wolfgang H¨ardle
eingereicht am: 28. August 2001
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 4. Dezember 2001Abstract
The concepts of standard Granger causality and impulse response analysis are of-
ten used to investigate causal relationships between variables in vector autoregres-
sive (VAR) models. In VAR models with more than two variables, the concept of
standard Granger causality can be extended by studying prediction improvement at
forecast horizons greater than one. The causal relationships which arise under this
extended Granger causality concept are compared to those arising under the stan-
dard Granger causality concept (one–step forecasts) and those arising with impulse–
response–analysis. Inparticular,itisillustratedinhowfartheextendedGrangercausal-
ity concept can be understood as a generalization of the standard Granger causality
concept and even of impulse–response–analysis.
Ifcausalityismeasuredatforecasthorizonsgreaterthanone,andiftherearemorethan
twovariablesintheVARsystem, thenullhypothesisthatonevariableisnotcausalfor
another variable implies restrictions which are a nonlinear function of the VAR coeffi-
cients. (In nonstationary VAR models, nonlinear restrictions already arise under the
standard Granger causality concept.) Due to the special form of the restrictions, therd Wald test may no longer have the usual asymptotic chisquare–distribution
under the null hypothesis. This problem is commonly neglected in practice. However,
Example 4.1, Corollary 4.1 and Proposition 4.1 of this thesis illustrate that this prob-
lem is not irrelevant. Furthermore, Propositions 5.1 and 5.2 show that this problem
may be overcome, at least in stationary VAR models, by using either a randomized
Wald test or a Wald test with generalized inverse. Size and Power of these modified
Wald tests relative to the standard Wald test are investigated in a small simulation
study for different stationary, trivariate VAR(1) models. Moreover, the pros and cons
of alternative testing strategies (bootstrap, sequential tests) are summarized in a brief
overview.
Keywords:
Granger causality, impulse response analysis, vectorautoregressive models, multi–step
forecasts, Wald testsZusammenfassung
Das Kausalit¨atskonzept von Granger und die Impuls–Antwort–Analyse sind zwei Kon-
zepte,diehaufigverwendetwerden,umkausaleBeziehungenzwischenzweiVariablenin¨
vektorautoregressiven (VAR) Modellen zu untersuchen. Wenn das VAR Modell mehr
als zwei Variablen umfasst, besteht eine Erweiterung des Standard Granger Kausa-
litat¨ skonzepts darin, Kausalitat¨ an hoheren¨ Prognosehorizonten zu messen. Die Kau-
salit¨atsbeziehungen unter diesem erweiterten Granger Kausalitat¨ skonzept werden mit
denen bei Standard Granger Kausalitat (Ein–Schritt–Prognose) und mit Kausalitat¨ ¨
im Sinne der Impuls–Antwort–Analyse verglichen. Es wird insbesondere dargestellt,
inwiefern das erweiterte Granger Kausalitatskonzept als Verallgemeinerung der letzt-¨
genannten Konzepte aufgefasst werden kann.
Wenn Kausalitat an Prognosehorizonten grosser als eins gemessen wird und das VAR¨ ¨
Modell mehr als zwei Variablen umfasst, impliziert die Nullhypothese, dass eine Varia-
blenichtkausalfureineandereVariablesei,nichtlineareRestriktionenaufdieVARKo-¨
effizienten. (In nichtstationar¨ en VAR Modellen treten nichtlineare Restriktionen sogar
schon unter dem Standard Granger Kausalitat¨ skonzept auf.) Aufgrund der speziellen
Form der Restriktionen kann es vorkommen, dass die Standard Wald Statistik nicht
mehr die ublic¨ he asymptotische Chiquadrat–Verteilung hat. Dieses Problem wird im
allgemeineninderPraxisignoriert.Beispiel4.1,Proposition4.1undKorollar4.1zeigen
jedoch, dass dieses Problem nicht irrelevant ist. Zwei L¨osungen werden in Proposition
5.1 und Proposition 5.2 in Form eines randomisierten Wald Tests sowie eines Wald
Tests mit verallgemeinerter Inverse angeboten. In einer anschliessenden kleinen Simu-
lationsstudie werden Grosse und Macht dieser modifizierten Wald Tests relativ zu der¨
des Standard Wald Tests untersucht fur¨ verschiedene stationar¨ e trivariate VAR(1)–
¨Modelle. In einem kurzen Uberblick werden zudem Vor– und Nachteile alternativer
Testverfahren (Bootstrap, sequentielle Tests) zusammengefasst.
Schlagworter:¨
Granger Kausalitat¨ , Impuls–Antwort–Analyse, Vektorautoregressive Modelle, Mehr–
Schritt–Prognosen, Wald TestsAcknowledgements
I would like to thank the many people who supported me in writing this thesis. First
of all, I wish to thank my supervisor, Prof. Dr. Helmut Lutk¨ epohl, for his guidance
throughout this thesis project, in particular for his very helpful comments on prelimi-
nary versions, his steady encouragement to finish this thesis, and his patience.
I am also indebted to Prof. Dr. Wolfgang H¨ardle for helpful suggestions on boot-
strapping and for making available the software XploRe. I would like to thank both
professors for creating a positive working atmosphere which encouraged collaboration
and stimulating discussions with collegues and guest researchers.
My thanks also go to my former collegues, in particular to Dr. J¨org Breitung, Dr.
Marlene Muller¨ and Alexander Benkwitz for helpful suggestions, and to Dr. Sigbert
Klinke for helping to install various software.
I am also grateful to the Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) and the Sonder-
forschungsbereichSFB373(“QuantificationandSimulationofEconomicProcesses”)of
the Humboldt–University, Berlin, for their financial support and the chance to present
my research at various workshops and seminars.
Finally, I owe special thanks to my husband Michael for inspiring conversations and
great support of various forms, to Maxwell, Robert and Henry who taught me that
working time is a scarce good and has to be used efficiently, and to my parents for
giving me the chance to do this dissertation. Last but not least, I would like to thank
allmyfriendswhoencouragedmethroughoutthelastyears, inparticularInes, Sabine,
Anja, Jeannette & Mario and Judy.
iiiContents
1 Introduction 1
2 Model Setup 5
2.1 Vector Autoregressive Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Error Correction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Moving Average Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Common Trends Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Companion Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Representation 15
3.1 Causality in Stable, Stationary VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Standard and Extended Granger Causality . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Impulse Response Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Causality in Nonstationary VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Standard and Extended Granger Causality . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Impulse Response Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Estimation and Testing 61
4.1 Stationary, Stable VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Standard Granger Noncausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Extended Granger Noncausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.4 Impulse Response Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Nonstationary VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Standard Granger Noncausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 Extended Granger Noncausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.4 Impulse Response Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Alternative Testing Strategies 94
5.1 Stationary, Stable VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.1 A Randomized Wald Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 A Wald Test with Generalized Inverse . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 Other Alternative Testing Strategies . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Nonstationary VAR Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
iv5.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6 A Small Simulation Study 114
6.1 Some Theoretical Considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Simulation Setup and Simulation Results. . . . . . . . . . . . . . .