The arithmetic volume of Shimura varieties of orthogonal type [Elektronische Ressource] / von Fritz Hörmann

Dipl.-Math. Fritz Hörmann

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 28
• Langue: English
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Extrait

The arithmetic volume of Shimura varieties of orthogonal
type
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. Rer. Nat.
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Wissenschaftlichen Fakultät II
der Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dipl.-Math. Fritz Hörmann
geboren am 17. Februar 1978 in Hannover
Präsident der der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Wissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Peter Frensch
Gutachter:
i. Prof. Dr. Elmar Große-Klönne (Humboldt-Universität zu Berlin)
ii. Prof. Dr. Ulf Kühn (Universität Hamburg)
iii.Prof. Dr. Tonghai Yang (University of Wisconsin)
eingereicht am: 31. März 2010
Tag der mündlichen Prüfung: 13. Juli 2010This thesis was realized under the programme of the international research training group
“Arithmetic and Geometry” of the Humboldt-Universität zu Berlin and the ETH Zürich.
It is a pleasure to thank J. Bruinier, O. Bültel, U. Görtz, E. Große-Klönne, Ph. Habeg-
ger, M. Kisin, J. Kramer, S. Kudla, H. Kurke, U. Kühn, R. Pink, E. Ullmo, F. Viviani,
T. Wedhorn, R. Weissauer, S. Wewers and T. Yang for many interesting conversations
on the topic of this thesis.
I am particularly grateful to U. Kühn and J. Kramer from Berlin, as well as to R. Pink
and G. Wüstholz from Zurich for their great support and endurance. I thank Antonella
cordially for her constant reminders.v
Abstract
TheoverallaimofthisthesisistocomputearithmeticvolumesofShimuravarieties
of orthogonal type and natural heights of the special cycles on them. We develop a
general theory of integral models of toroidal compactifications of Shimura varieties
of Hodge type (and of its standard principal bundle) for the case of good reduction.
This enables us, using the theory of Borcherds products, and generalizing work
of Burgos, Bruinier and Kühn, to calculate the arithmetic volume of a Shimura
variety associated with a lattice L of discriminant D, up to log(p)-contributionsZ
2from primes p such that p|4D. The heights of the special cycles are calculated in
the codimension 1 case up to log(p), p|2D, and with some additional restrictions in
the codimension > 1 case. The values obtained are special derivatives of certain L-
series. In the case of the special cycles they are equal to special derivatives of Fourier
coefficients of certain normalized Eisenstein series (in addition, up to contributions
from∞) in accordance with conjectures of Bruinier-Kühn, Kudla, and others.vii
Zusammenfassung
Das Ziel dieser Arbeit ist die Berechnung der arithmetischen Volumina der Shimu-
ravarietäten vom orthogonalen Typ und der natürlichen Höhen der speziellen Zykel
auf diesen. Wir entwickeln, für den Fall guter Reduktion, eine allgemeine Theo-
rie ganzzahliger Modelle von toroidalen Kompaktifizierungen der Shimuravarietäten
vom Hodge Typ (sowie des Standardhauptfaserbündels darüber). Dies ermöglicht,
unter Verwendung der Theorie der Borcherdsprodukte, das arithmetische Volumi-
nen einer zu einem GitterL der DiskriminanteD assoziierten Shimuravarietät, bisZ
2auf log(p) Beiträge zu Primzahlen p mit p|4D, zu berechnen. Dies ist eine Verall-
gemeinerung einer Arbeit von Burgos, Bruinier und Kühn. Die Höhen der speziellen
Zykel werden im Falle von Kodimension 1 bis auf log(p)-Beiträge mit p|2D berech-
net, sowie unter leichten zusätzlichen Einschränkungen im Falle von Kodimension
> 1. The resultierenden Größen sind spezielle Ableitungswerte gewisser L-Reihen.
Im Falle der speziellen Zykel stimmen diese mit speziellen Ableitungswerten gewis-
ser normalisierter Eisensteinreihen überein (zusätzlich, bis auf Beiträge bei∞). Dies
bestätigt Vermutungen von Bruinier-Kühn, Kudla und anderen.ix
Contents
Introduction xiii
Notation xxxv
I. Toroidal compactifications of mixed Shimura varieties 1
1. Preliminaries on group schemes 3
1.1. Group schemes of additive type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. sc of multiplicative type, Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Semi-Abelian schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Maximal tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Reductive group schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. P-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Group schemes of type (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Filtrations and parabolic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Preliminaries on mixed Shimura data and varieties 25
2.1. Mixed Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. p-integral mixed Shimura data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Mixed Hodge structures continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Boundary components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. The symplectic mixed Shimura data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Mixed Shimura data of Hodge type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7. Properties of mixed Shimura varieties overC . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Integral models (good reduction) 53
3.1. Reflex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Integral models of mixed Shimura varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Toroidal compactifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Integral duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5. Integral standard principal bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6. Generalities on models and the adelic action . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7. The extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68x Contents
4. One motives 73
4.1. Definition and realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Biextensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3. Representability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4. Comparison with mixed Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5. Standard principal bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5. Constructions for mixed Shimura varieties of Hodge type 97
5.1. Hodge tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3. Construction of the standard principal bundle, pure case . . . . . . . . . . 100
5.4. of the bundle, mixed case . . . . . . . . . 102
5.5. Maps to the compact dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6. Independence of the Hodge embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7. Simple boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8. Normalization of formal schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9. Abstract ‘q-expansion’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.10.Formal Zariski closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.11.Extension of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
II. Quadratic L-functions, representation densities 115
6. forms and representation densities 117
6.1. Quadratic forms and symmetric bilinear forms . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2. Canonical measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3. Relation with classical representation densities . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4. The non-Archimedian orbit equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.5. Connection with the local zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7. The Weil representation 137
7.1. General definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2. A dual reductive pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3. The Weil representation and automorphic forms . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4. The Φ-operator and Eisenstein series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.5. Theta series and the Siegel-Weil formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6. The Weil representation overR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7. The Weil over p-adic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.8. Borcherds lifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.9. The Archimedean orbit equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.10.The global orbit equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8. Explicit calculations 163
8.1. Kronecker limit formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163