The braid group representation on intersection matrices and monodromy of singularities [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Gunnar Dietz

Gunnar Dietz

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• Publié par: westfalische_wilhelms-universitat_munster
• Publié le: 01 janvier 2005
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Extrait

Gunnar Dietz
The Braid Group Representation
on Intersection Matrices
and Monodromy of Singularities
2005Mathematik
The Braid Group Representation
on Intersection Matrices
and Monodromy of Singularities
Inaugural-Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften im Fachbereich
Mathematik und Informatik
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster
vorgelegt von
Gunnar Dietz
aus Hamburg
- 2005 -Dekan: Prof. Dr. Klaus Hinrichs
Erster Gutachter: Prof. Dr. Helmut A. Hamm
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling
Tag der mündlichen Prüfung: 28. September 2005
Tag der Promotion: 28. September 2005To Angie and my parentsAbstract
Abstract. Itisawell-knownfactthatthemonodromyoftheMilnorfibrationofanisolated
singularity is quasiunipotent. This holds no longer true if a non-local monodromy around
several singularities is considered. Here the case of families of (finitely many) Morse
singularities will be studied. For the case that such a family arises from a morsification
of an isolated singularity it will be proven that all monodromies corresponding to simple
loops around a subfamily of the corresponding critical values are already quasiunipotent
if and only if this is always the case for simple loops around only two critical values. We
conjecture that this is (for purely combinatorial reasons) also true for the general case
and prove a weaker analogon of this conjecture.
Zusammenfassung. Es ist bekannt, dass die Monodromie der Milnor-Faserung einer iso-
lierten Singularität quasiunipotent ist. Dies ist nicht länger der Fall, wenn man eine
nicht-lokale Monodromie um mehrere Singularitäten betrachtet. Wir studieren hier den
Fall von Familien von (endlich vielen) Morse-Singularitäten. Für den Fall, dass eine sol-
che Familie eine Morsifikation einer isolierten Singularität ist, zeigen wir, dass sämtliche
Monodromien, die zu einfachen Schleifen um eine Teilfamilie der zugehörigen kritischen
Punkte gehören, schon dann quasiunipotent sind, wenn dies stets für Schleifen um nur
zwei kritische Punkte gilt. Wir stellen die Vermutung auf, dass dies auch (aus rein kom-
binatorischen Gründen) im allgemeinen Fall gilt und beweisen eine abgeschwächte Form
dieser Vermutung.
Acknowledgements
It is a pleasure for me to express my thanks to Prof. Helmut A. Hamm for giving the
word “Doktorvater” (doctoral advisor — however, the german word contains the word for
father) a meaning. I would also like to thank the Deutsche Forschungsgesellschaft (DFG)
and the Graduiertenkolleg “Analytische Topologie und Metageometrie” for their financial
and scientific support.
Big thanks also go to those many people who supported me by fruitful discussions,
by tea or coffee, and most important by their friendship, in particular Björn Hille, Björn
Kroll, Jörg Schürmann, Anja Wenning, Steve Brüske, Marko Petzold, Frank Malow, Jens
Ameskamp, Thomas Rohmann, Michael Lönne, and Mario Escario Gil.
Also my thanks and love go to my family and my girlfriend Angie for their support
and love.
Last but not least I want to thank Prof. Oswald Riemenschneider for turning me into
an addicted mathematician.
iiiContents
Abstract and Acknowledgements i
Introduction 1
1 Isolated Singularities 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Milnor Fibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Families of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 One singular fibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Monodromy around one singular fibre . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Global monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Picard-Lefschetz Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Nondegenerate singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 The local case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 The global case, families of nondegenerate singularities . . . . . . . . 18
1.5 Unfoldings and Morsifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Unfoldings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Truncated unfoldings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 The discriminant and the bifurcation set . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Morsifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.5 Braid monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Distinguished Bases and Coxeter-Dynkin Diagrams . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Distinguished bases and the intersection matrix . . . . . . . . . . . 23
1.6.2 The Seifert matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.4 Coxeter-Dynkin diagrams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.5 The operation of the braid group . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Quasiunipotence of the Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Classification of Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 The Main Theorem in the Singularity Case 34
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 The Algebraic Formulation 41
iiiIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Vanishing Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 The intersection matrix, the Seifert matrix, and the monodromy . . . 43
3.1.2 Stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 The operation of the (extended) braid group . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.4 Gabrielov transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.5 Subdiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.6 Connectedness of Coxeter-Dynkin diagrams . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Criteria for Definiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 The results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 The case μ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 The case μ = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.4 The case μ≤ 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5 The proof of Theorem 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.6 The proof of 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.7 Conjecture 1 is a consequence of Conjecture 2 . . . . . . . . . . . . 78
3.2.8 The weaker versions of the conjectures . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Approaches for Proving the Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Some quotients of the braid group . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.2 Minimal corners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.3 Completion of distinguished bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A Appendix: The Braid Group and the Gabrielov Group 101
A.1 The Braid Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.1.1 Definitions of the braid group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.1.2 The pure braid group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.1.3 The braid group as a mapping class group . . . . . . . . . . . . . . 104
A.1.4 The Hurwitz action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.1.5 Some special elements of the braid group . . . . . . . . . . . . . . 106
A.1.6 The braid group is a Garside group . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.1.7 Other presentations of the braid group . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.8 Representations of the braid group . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.1.9 The action of the braid group on distinguished systems of paths . . . 115
A.2 The Gabrielov Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.3 Automorphic Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.4 Simple loops in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121n
B Appendix: Some Auxiliary Lemmas 122
B.1 Some Matrix Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.1.1 Definite and semidefinite matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.1.2 Triangular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.1.3 Higher quasiinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C Appendix: Some Figures 135
Bibliography 141
iv