The high-temperature phase of Yang-Mills theory in Landau gauge [Elektronische Ressource] / von Axel Torsten Maas

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• Publié le: 01 janvier 2004
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• Langue: Deutsch
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Extrait

TheHigh-TemperaturePhase
of
Yang-MillsTheoryinLandauGauge
Vom Fachbereich Physik
der Technischen Universit¨ at Darmstadt
zur Erlangung des Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
genehmigteDissertation von
Dipl.-Phys. AxelTorstenMaas
aus Frankfurt am Main
Darmstadt 2004
D172
Referent: Professor Dr. Jochen Wambach
Korreferent: Professor Dr. Norbert Grewe
Tag der Einreichung: 19.10.2004
Tag der Prufung:¨ 01.12.2004DieHochtemperaturphaseder
Yang-Mills-TheorieinLandaueichung
Zusammenfassung
Die Eigenschaften der Yang-Mills-Theorie werden bei endlichen und hohen Temperaturen
untersucht. Besondere Aufmerksamkeit wird dem Infrarotverhalten und dem Schicksal der
Farbeinschließung bei hohen Temperaturen gewidmet. Hierzu werden die Bewegungsgle-
ichungen in Form der Dyson-Schwinger Gleichungen verwendet, in einem bereits zuvor im
Vakuum erfolgreich eingesetztes Approximationsschema.
Im ersten Teil wird der Limes unendlich hoher Temperaturen betrachtet. Die Theo-
rie reduziert sich dann aufeine 3-dimensionale Yang-Mills-Theorie, an die ein massives,
adjungiertes Higgs-Feld gekoppelt ist. Die Gleichungen f¨ur die Propagatoren des Higgs,
des Gluon und des Faddeev-Popov-Geistes werden abgeleitet um im Infraroten analytisch
gel¨ost. Mindestens im Yang-Mills-Sektor tritt Farbeinschluß auf. Daher ist die Hochtem-
peraturphase der 4-dimensionalen Yang-Mills-Theorie nichttrivial und stark wechselwirk-
end. L¨ osungen f¨ur die Propagatoren im gesamten Impulsbereich werden numerisch berech-
net. Dabei werden auch die Propagatoren einer reinen 3-dimensionalen Yang-Mills-Theorie
bestimmt. Systematische Studien zeigen das die N¨aherungsfehler nur quantitativer Natur
¨sind. Die Ergebnisse sind in guter Ubereinstummg mit Gittereichrechnungen.
Im zweiten Teil werden dann endliche Temperaturen bis hinunter zum Phasenub¨ ergang
untersucht. Die Infraroteigenschaften werden durch endliche Temperaturen nur quantita-
tiv beeinflußt. Der Farbeinschluß von Gluonen transvers zum W¨armebad wird nachgewiesen.
Die harten Moden sind nahezu inaktiv, sogar bei Temperaturen von der Ordnung der
¨Phasenub¨ ergangstemperatur. In Ubereinstimmung mit Gittereichrechnungen ist der Gren-
zwert unendlich hoher Temperaturen bereits bei wenigen Vielfachen der kritischen Tem-
peratur eine gute Naherung.¨
Zuletzt werden von den Propagatoren abgeleitete Gr¨oßen betrachtet. Die Schwinger-
Funktionen werden berechnet und die Ergebnisse zeigen, daß auch die Gluonen parallel
zum W¨armebad stark durch Effekte h¨ oherer Ordnung oder sogar duch nichtperturbative
Effekte beeinflußt werden, auch im Grenzwert unendlicher Temperatur. Die analytis-
che Struktur der Gluonen wird untersucht und es ergibt sich, daß mindestens die Gluonen
transvers zum Warmebad¨ dem Kugo-Ojima und dem Zwanziger-Gribov Szenario genugen.¨
Eine Untersuchung des thermodynamischen Potential zeigt n¨ aherungsweise ein Stefan-
Boltzmann-Verhalten, dominiert durch die harten Moden. Das gilt aber nicht notwendi-
gerweise f¨ur den Druck.
Durch Vergleich mit Rechnungen unterhalb des Phasenub¨ ergangs und mit Gittere-
ichrechnungen wird geschlossen, daß es in Yang-Mills-Theorie einen Phasenub¨ ergang erster
Ordnung gibt, welcher ein stark wechselwirkendes System in ein anderes ub¨ erf¨ uhrt. Die
Phasen unterscheiden sich haupts¨ achlich durch die Eigenschaften des chromoelektrischen
Sektors.4Thehigh-temperaturephaseof
Yang-MillstheoryinLandaugauge
Abstract
The finite and high temperature equilibrium properties ofYang-Mills theory in Landau
gauge are studied. Special attention is paid to the fate of confinement and the infrared
properties at high temperatures. The method implemented are the equations ofmotion,
the Dyson-Schwinger equations. A specific approximation scheme is introduced, which
was previously applied successfully to the vacuum.
In a first step, the infinite temperature limit is taken. The theory reduces to a 3-
dimensional Yang-Mills theory coupled to a massive adjoint Higgs field. The equations for
thepropagatorsoftheHiggs,thegluon,andtheFaddeev-Popovghostareobtained. They
are solved in the infrared analytically and at least in the Yang-Mills sector confinement
is found. Therefore the high-temperature phase of a 4-dimensional Yang-Mills theory is
non-trivial and strongly interacting. Solutions for all propagators are obtained numerically
at all momenta. Thereby also the propagators ofa pure 3-dimensional Yang-Mills theory
are determined. Systematic studies find only quantitative effects ofthe errors, which are
induced by the approximations. Good agreement to lattice calculations is found.
Finite temperatures down to the regime ofthe phase transition are investigated. It
is found that the infrared properties are only quantitatively affected, and confinement of
gluons transverse to the heat bath is established. The hard modes are nearly inert even
at temperatures ofthe order ofthe phase transition temperature. Therefore the infinite
temperature limit is a good approximation already at temperatures a few times the critical
temperature, in agreement with lattice calculations.
Finally quantities derived from the propagators are studied. The Schwinger functions
are calculated. It is found that also the gluons longitudinal with respect to the heat bath
are strongly influenced by higher order or even genuine non-perturbative effects, even in the
infinite temperature limit. The analytic structure ofthe gluon propagator is investigated,
and it is found that at least gluons transverse to the heat bath comply with the Kugo-
Ojima and Zwanziger-Gribov confinement scenarios. Investigating the thermodynamic
potential, an approximate Stefan-Boltzmann-like behavior is found. The thermodynamic
potential, but not necessarily the pressure, is dominated by the hard modes.
By comparison with calculations below the phase transition and lattice calculations
it is conjectured that Yang-Mills theory likely undergoes a first order phase transition,
which changes a strongly interacting system into another. The phases differ mainly by the
properties ofthe chromoelectric sector.Contents
1 Introduction 1
1.1 StrongInteractions ........... ........... ......... 1
1.2 Thermodynamics ofQCD ....... 3
2 AspectsofQCDasaGaugeTheory 6
2.1 Formulation .... ........... ........... ......... 6
2.1.1 Quantization,GaugeFixingandtheGribovProblem ........ 7
2.1.2 LandauGauge ......... 9
2.1.3 BRSTSymmetry ........ ........... ......... 11
2.1.4 Slavnov-TaylorIdentities .... 13
2.2 Confinement .... ........... 14
2.2.1 Criteria for Confinement .... ........... ......... 15
2.2.2 Kugo-OjimaScenario ...... 16
2.2.3 Zwanziger-GribovScenario... 16
2.2.4 Gribov-StinglScenario ..... ........... ......... 17
2.3 InterplaywithQuarks ......... 17
3 DerivationoftheDyson-SchwingerEquations 19
3.1 VacuumFormulation .......... ........... ......... 19
3.2 Dyson-SchwingerEquationsatFiniteTemperature .... 21
3.3 TruncationsandConstraints ...... 23
3.4 PerturbationTheory .......... ........... ......... 26
3.5 Renormalization. . ........... 26
3.6 SolutionsintheVacuum ........ 27
3.6.1 Yang-Mills Theory ....... ........... ......... 27
3.6.2 FullQCD . ........... 28
iii Contents
4 Infinite-TemperatureLimit 30
4.1 From4dto3d . ........... ........... ........... 30
4.2 AsymptoticAnalysis ........ 34
4.2.1 UltravioletAnalysis..... 34
4.2.2 Infrared Analysis ...... ........... ........... 35
4.3 Ghost-Loop-OnlyTruncation ... 39
4.4 Yang-Mills Theory ......... 43
4.5 Full3d-Limit . ........... ........... ........... 48
4.6 ComparisontoLatticeResults ... 54
4.7 CoulombGaugeInstantaneousPotential ........ 56
5 Finite-TemperatureEffects 58
5.1 Finite-TemperatureDyson-SchwingerEquations .... ........... 58
5.2 Temperature Dependence ofthe Coupling ....... 60
5.3 Infrared Properties ......... ........... 61
5.4 Truncation and Spurious Divergences .......... ........... 63
5.5 Small-MomentumApproximationandRenormalization 65
5.5.1 Small-MomentumApproximation ........ 65
5.5.2 Renormalization ofa Truncated Matsubara Sum ........... 66
5.5.3 Implementation ofRenormalization ....... 68
5.6 Ghost-Loop-OnlyTruncation ... ........... 69
5.7 FullTheory . . ........... ........... 74
5.8 SolutionsatSmallTemperature .. 83
6 DerivedQuantities 86
6.1 SchwingerFunctionsandAnalyticStructure ...... ........... 86
6.1.1 SchwingerFunctions .... ........... 86
6.1.2 Analytic Properties in the Infinite-Temperature Limit ........ 93
6.2 ThermodynamicPotential ..... ........... 95
6.2.1 Soft Mode Contribution in the Infinite-Temperature Limit ..... 95
6.2.2 HardModeContribution . . ........... 97
7 Conclusions,Summary,andOutlook 100
7.1 ConcludingRemarks ........ ........... 100
7.2 Implications for the Phase Structure of QCD ...... 102
7.3 SummingUpandLookingAhead . ........... 103
A Conventions 107Contents iii
B DerivationoftheDyson-SchwingerEquations 108
CKernels 113
C.1 3dKernels ..... ........... ........... ......... 113
C.2 FiniteTemperatureKernels ...... 114
D InfraredExpressions 118
D.1 MassiveHiggs ... ........... ........... ......... 118
D.2 MasslessHiggs