Une approche statistique au modèle d

Une approche statistique au modèle d'Hotelling

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FORMATION STAGE 2007-2008
« Sciences de la Matiere »
STEHLE Juliette
Ecole Normale Superieure de Lyon M1
Universite Claude Bernard Lyon 1 Option Physique
Une approche statistique
au modele d’Hotelling
Lors de ce stage, j’ai etudie le modele d’Hotelling de competition entre deux magasins. Plus parti-
culierement, ce rapport presente une solution analytique au modele a deux dimensions, avec equilibre en
prix puis en position, avec des couts^ de transport quadratiques. Le choix du consommateur moyen pour
un magasin derive d’une fonction utilite avec une partie deterministe qui fait intervenir les prix de vente
ainsi que les distances entre le consommateur et les magasins, et une partie aleatoire, dont l’importance
peut ^etre contr^ olee par un parametre, et qui peut permettre de traduire les autres criteres de choix non
modelisables de fa con deterministe. Dans le cas bidimensionnel, lorsque cette partie aleatoire est assez
grande, les magasins se placent au milieu de la distribution de consommateurs alors que lorsqu’elle dimi-
nue su samment, les magasins commencent a se di erencier geographiquement. La solution analytique
permet une interpretation de cet e et et nous etendrons aussi l’etude a un hypercube a N dimensions.
Mots-clefs : Economie, systemes complexes, Hotelling, theorie des jeux
Institut des systemes complexes
5 rue du Vercors, 69007 Lyon
www.ixxi.fr
Sous la direction de Pablo Jensen
pablo.jensen(AT)ens-lyon.fr
Janvier-Mars 2008 Table des matieres
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FORMATION «ScienecdsleMata`iree»
´ EcoleNormaleSupe´rieuredeLyon Universit´eClaudeBernardLyon1
STAGE 2007-2008
´ STEHLE Juliette M1 Option Physique
Une approche statistique aumod`eledHotelling
Lorsdecestage,jaie´tudie´lemod`eledHotellingdecompe´titionentredeuxmagasins.Plusparti-culi`erement,cerapportpr´esenteunesolutionanalytiqueaumode`le`adeuxdimensions,avece´quilibreen prixpuisenposition,avecdescouˆtsdetransportquadratiques.Lechoixduconsommateurmoyenpour unmagasinde´rivedunefonctionutilit´eavecunepartied´eterministequifaitintervenirlesprixdevente ainsiquelesdistancesentreleconsommateuretlesmagasins,etunepartieale´atoire,dontlimportance peutetrecontrˆole´eparunparam`etre,etquipeutpermettredetraduirelesautrescrite`resdechoixnon ˆ mod´elisablesdefaconde´terministe.Danslecasbidimensionnel,lorsquecettepartieal´eatoireestassez ¸ grande, les magasins se placent au milieu de la distribution de consommateurs alors que lorsqu’elle dimi-nuesusamment,lesmagasinscommencenta`sedi´erencierge´ographiquement.Lasolutionanalytique permetuneinterpr´etationdeceteetetnous´etendronsaussil´etude`aunhypercubea`Ndimensions.
Mots-clefs:Economie,syste`mescomplexes,Hotelling,the´oriedesjeux
Institutdessyst`emescomplexes 5 rue du Vercors, 69007 Lyon www.ixxi.fr
Sous la direction de Pablo Jensen pablo.jensen(AT)ens-lyon.fr
Janvier-Mars 2008
Tabledesmatie`res
1 Introduction
2Lemode`ledHotelling 2.1AvantHotelling,gene`sedunprobl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les travaux d’Hotelling. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 L’apport de John Nash. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 L’erreur d’Hotelling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5Uncoˆutquadratiqueendistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6Passagea`deuxdimensionsspatiales. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7Lamode´lisationdescomportementshumains. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
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Travailderechercheetre´sultats 3.1 Etat des recherches en cours. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1R´esultatsanalytiques. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2Lessimulationsnum´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2L´equivalenceentreleproble`me`adeuxdimensionsetunedimension. . . . . . . . . . . . 3.3 Comparaison entre les cas diagonal et horizontal. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Extensiona`Ndimensions. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Extension pour un angle quelconque en 2 dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion et perspectives
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Annexes24 5.1 Annexe 1 : Courte biographie d’Harold Hotelling (1895-1973) 24. . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Annexe 2 : Courte biographie de John Nash (1928 - ) 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Annexe 3 : Equivalence entre les cas bidimensionnel unidimensionnel 26. . . . . . . . . . . . 5.3.1Lecashorizontal`a2D´equivautaucas1Davecunedistributionhomoge`nede consommateurs. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  26 5.3.2Lecasdiagonala`2De´quivautaucas1Davecunedistributiontriangulairede consommateurs. . . . . . . . . . . . . 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Annexe 4 : Etude en N dimensions. . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction
Lepre´sentrapportproposeunaper¸cudustagequejaire´alise´dejanviera`mars2008a`lInstitutdes Syst`emesComplexesRhoˆne-AlpinsousladirectiondePabloJensen.Cestdanslecadredemapremiere ` anne´edemasterdeSciencesdelaMati`ere`alEcoleNormaleSup´erieuredeLyonquejaieuloccasion daborderunproble`melie´a`cequelonappellelessyst`emescomplexes.Cenompresquegrandiloquent, quideprimeabordpourraitde´signertoutetsoncontraire,cacheunegrandeth´ematiquederecherche. Assezjeunecarprofond´ementli´eeauxdeveloppementsinformatiquesdesdernie`resde´cennieset`ala ´ de´multiplicationdesbasesdedonne´es,ellecommencea`fairebeaucoupparlerdelle.Etsilanotion desyste`mecomplexeresteencoreassezmalde´nie,onpeuttoutefoisyrˆtndomaine`ala econnaı re u conuencededisciplinestr`esvari´ees,sivarie´esquilyaencorequelquesann´ees,onneseseraitpar exemplepasimagine´une´piste´mologuetravailleravecuninformaticien.Etcestainsique,malgr´eou peut-ˆetregraˆcea`maformationenphysique,jaipuabord´eunprobl`emed´economie.
Lemod`elequejaieuloccasionde´tudierabordelacompe´tition´economiqueentredeuxmagasins.Ap-pel´emod`elednilletoHgedc´t,enleec´eprud´es´eausi`butdqniuciiaoroplpaintiescerm´eaquudmonud son´ele´ganceetsasimplicit´econceptuelleenfontunexempleincontournabledanslenseignementde le´conomie.Malgre´tout,`alinstardumod`eledIsingtantappre´ci´eparlesphysiciens,larichessedes variationspossiblesdansleshypoth`esesdemode´lisationfaitquilresteencoreactuellementunobjetde nombreuses recherches.
Leprobl`emeestsimple.Conside´ronsdeuxvendeursdeglacesuruneplage.Oncherch`aıˆtre e a conn leursprixdeventesetlespositionsdeleurscharrettesquipermettraienta`chacundere´aliserlemeilleur prot.Commesouvent,ilexisteuncastrivialquelonne´tudierapasdavantageetquelonpeutappe-ler l’entente commerciale. Dans cette situation, il est assez simple de montrer que les deux glaciers se partageraientsyme´triquementlaclient`eleetproposeraientdesprixabusifs.Meˆmesicettestrate´gieest certainement la meilleure du point de vue des vendeurs, il est important de noter qu’elle requiert une grandeconanceentrelesdeuxglacierscarlemoindrechangementunilate´ralenprixpeutpermettre demporterpresquetoutlemarche´.Ensuite,toutesleshypothe`sessontpossibles.Dansleprobl`eme propos´eparHaroldHotelling,troishypoth`esesfondamentalessontfaites.Lapremi`ereestdene´gliger lesdie´rencesentrelesproduits:lesglacessontlesmˆemeschezlesdeuxvendeursquisonte´galement semblablesdupointdevuedelaclient`ele.Lesseulsparame`tresimportantssontlesprixdeventeset lapositionduchariotsurlaplage.Deuxi`emehypothe`se:toutlemondeach`eteuneetuneseuleglace, quelquesoitladistanceetleprixdevente.Ensomme,chaqueclientach`eteraunglaceaumagasinqui poss`edelemeilleurrapportdistance/prix.Latroisie`meetdernie`regrandehypoth`eseestdeconsid´erer quelaplageestuner´egionunidimensionnellea`densit´euniformedevacanciers.Hotellingaalorsmontr´e quesilecoˆutendistanceestline´aire,cest-`a-direchaquem`etreentrelaservietteetlechariotestiden-tiquementp´enibleauvacancier,lameilleuresolutionpourlesvendeursestdeseplaceraumilieudela plage. C’est ce qu’on appelle leealnimioimnittarenedi´pedeincipr.
Lesavanc´eesconceptuellespropos´eesparJohnNashontpermisdeformaliseretderelancerce probl`eme.Eneet,ende´nissantrigoureusementlesnotionsd´equilibredanscequelonappellela th´eoriedesjeuxdesolutiechercheofmrlasino´atee´ral,uepteqrslotaessOne.´emocudnerdratsulp l´etudedHotelling´etaiterrone´e.Lefameuxcipeprin´erdedieoitaitnelaminimngie´´nrelaaiet´nssauastp qu’il le paraissait et l’on peut montrer qu’il existe dans certaines situations, des solutions o` l s deux u e magasins ne se placent pas au milieu.
Dautrepart,lunedeshypothe`sesdHotellingpeuteˆtrefacilementremiseenquestion:ilconsid`ere eneetquelesprixetladistancesontlesseulscrite`resdechoixdesclients.Ilnestabsolumentpas tenucomptedautresparam`etresquiinterfe`rentdanslechoix.Parexemplepourlecasdesglaciers,si lunsesituea`coˆt´edelaplusbellecre´atureenbikiniquelaterreaitjamaisport´eealorsquelautre glacieresttoutsimplementlincarnationdApollon,ler´esultatestcomple`tementfausse´.Deplus,ilexiste unecertaineinconstancecaracte´ristiquedeschoixhumainsquifaitquemˆemesilundesvendeursest plusint´eressantdupointdevuedistance/prix,onchoisiratantoˆtlun,tantˆotlautre.Leproble`mede-vientalorsstatistique,etlapriseencomptedecesparam`etresnafaitsonet´eequetr`estarddans n r ceproble`me,verslanduXXesi`ecle.Commeenphysique,unetelleapprochepeutcompl`etement
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