Universe Ratio By Jean-François BOULIER Head of Euro Fixed ...

Pierre Mathoulin

Sujets

• Tracking error
• Loi des rendements décroissants
• Montréjeau
• Xyste
• Poids-de-Fiole
• Jean-François Chossy

Informations

• Publié par: Urdie
• Nombre de lectures: 131
• Langue: Français

Extrait

Universe Ratio By Jean-François BOULIER Head of Euro Fixed Income and Credits Crédit Agricole Asset Management 90 boulevard Pasteur 75730 Paris cedex 15 [e-mail] Romain VERDIER Engineer - EDF 1, place Pleyel 93200 Saint-Denis [e-mail] Abstract Performance measurement in the very competitive asset management industry makes use of selected indices taken as benchmark for the evaluation of the value added by the portfolio manager. For example, the Information Ratio (Sharpe, 1992) divides the excess performance of a fund relative to the selected index by the corresponding tracking error. But the selection of such an index brings some risk of its kind, that one can measure by the tracking errors of one index vis à vis the other possible indices. This article suggest to use instead a measure of the value added by the fund by comparing its performance to all possible portfolios invested in the same universe. This leads to a measure of excess return and risk that lead to a ratio, which we call Universe Ratio. Ratio d’univers By Jean-François BOULIER Responsable de la Gestion de Taux Euro et Crédit, CAAM Romain VERDIER Ingénieur, EDF Introduction La performance d’un fonds dépend en premier lieu de l’allocation d’actifs. L’allocation stratégique consiste en tout premier lieu à choisir l’univers d’investissement puis à retenir une allocation moyenne entre les classes d’actifs pour une période de 3 à 5 ans et qui reflète les besoins de placement de l’institution ou de l’épargnant. Cette allocation se traduit par un portefeuille de référence choisi par le client de l’Asset Manager. La valeur ajoutée du gérant consiste à gérer le portefeuille en apportant si possible une valeur supplémentaire par des choix tactiques et des choix d’instruments financiers. Tout écart de composition entre le portefeuille de référence et le portefeuille réel se traduit par un risque de performance ex ante et un écart de performance ex post. Quand, pour simplifier l’exposé, le benchmark se résume à un indice, la valeur ajoutée de l’Asset Manager actif se mesure classiquement par le ratio d’information (Sharpe, 1994). Pourtant, cette mesure n’est pas sans défaut. En premier lieu, elle confère à l’indice retenu un rôle de référent, or il n’est pas certain que les conséquences du choix de l’indice ait été complètement analysées. En second lieu, tout écart à l’indice se traduit par un risque (tracking error). Changer d’indice amènerait une autre mesure de risque. Le choix d’un indice particulier n’est donc pas exempt de risque. L’objectif de cet article consiste précisément à élargir la notion de ratio d’information, en ayant le moins possible de parti pris à l’égard de tel ou tel indice. Afin de s’affranchir de ce choix, nous nous référons à l’univers plutôt qu’à un portefeuille représentant de cet univers. Nous présentons un nouveau concept appelé ratio d’univers qui vise à mesurer la valeur ajoutée du gérant sans faire le choix d’un indice particulier. 2 Le choix d’un benchmark n’est pas neutre Plusieurs éléments entrent dans le choix d’un benchmark d’un portefeuille : 1. L’Asset Manager souhaite proposer à son client des fonds dont les styles de gestion correspondent à ses souhaits d'investissement (différentes typologies existent: « gestion prudente, équilibrée, dynamique »; gestion géographique « actions françaises, européennes, japonaises », ou bien par type de produits « Actions, obligations »): le choix du benchmark dépendra donc primordialement du style d'investissement envisagé par l'asset manager et de l'allocation stratégique choisie. 2. La notoriété de l’indice. 3. La facilité à le répliquer. La première façon de comparer les performances d’un fonds ou d’un titre par rapport à un benchmark est de considérer les différences de rendements sur une période donnée ; le ratio d’information de Sharpe [Sharpe, 1994] prend en compte les risques encourus, en rapportant ce différentiel de rendement à l’écart-type de la différence de rendement : R RP Br= R RP B La tracking-error, qui, sous sa forme annualisée, s’exprime par n1 2TE(P,B) = M()R (t) R (t) μ P B R RP BT 1 t=1 (où μ est la moyenne des rendements), peut aussi être utilisée comme mesure de risque R RP B relative. Toutefois cette mesure reste tributaire du choix d’un benchmark, et ce choix n’est pas neutre. 3Montrons-le sur deux exemples simples : er1 exemple : un portefeuille Buy & Hold Un portefeuille « Buy & hold » constitué de 9 actions françaises initialement équipondérées (Vivendi, Carrefour, Lafarge, Air Liquide, Danone, LVMH, Bouygues, Michelin, Total) voit 1naturellement les pondérations de ces différents titres fluctuer dans le temps (figure 1) . 100% TOTAL 90% MICHELIN 80% BOUYGUES 70% LVMH 60% 50% DANONE 40% AIR LIQUIDE 30% LAFARGE CARREFOUR 20% 10% VIVENDI 0% Figure 1 - Pondération des 9 titres dans un portefeuille Buy & Hold. Pondérations initiales de 11% au 01/01/1973 La comparaison de ce portefeuille avec différents benchmarks en terme de tracking-error montre déjà des différences significatives : BUY& HOLD PORTFOLIO CAC 40 SBF 250 EuroNext 100 MSCI France Tracking-error annualisée 9.38% 9.29% 11.78% 9.29% La gestion de ce portefeuille apparaît ainsi nettement plus risquée face à l’Euronext 100 que face au CAC 40. Choisir un indice européen plutôt qu’un indice purement français n’est donc pas sans conséquences. 1 Sources: Datastream 4 janv-73 janv-74 janv-75 janv-76 janv-77 janv-78 janv-79 janv-80 janv-81 janv-82 janv-83 janv-84 janv-85 janv-86 janv-87 janv-88 janv-89 janv-90 janv-91 janv-92 janv-93 janv-94 janv-95 janv-96 janv-97 janv-98 janv-99 janv-00 janv-01 janv-02 janv-03 janv-04 e2 exemple : un portefeuille à poids constant (CRP) Sur la base des mêmes 9 titres, nous construisons un portefeuille constamment équipondéré (CRP, Constant Rebalanced Portfolio), les rebalancements étant effectués à un rythme annuel et nous faisons la même analyse que précédemment C.R.P. CAC 40 SBF 250 EuroNext 100 MSCI France Tracking-error annualisée 7.50% 7.33% 7.96% 7.74% Il apparaît là encore des différences notables entre les différents indices. Ce faisant, nous capturons là le risque spécifique lié au fait que le portefeuille de 9 titres n’est pas diversifié. Il est ainsi intéressant de comparer entre eux différents indices, qui peuvent être considérés comme des portefeuilles diversifiés. e3 exemple : Cartographie des indices En calculant les tracking-errors des différents indices entre eux, on peut dresser une 2cartographie de ces indices à l’aide d’une analyse factorielle , où les 2 premiers axes portent = 94% des poids : 2 0.25 DJ EURO STOXX AUTO 0.2 0.15 0.1 DJ EURO STOXX INDEXSBF120 DJ EURO 50 0.05 CAC 40 IT CAC SBF250 Nouveau Marché 0 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -0 .0 5 SBF80 EURONEXT 100 -0 .1 MSCI FRANCE -0 .1 5 -0 .2 Second Marché -0 .2 5 Figure 2 – Représentation sur les 2 premiers axes de l’analyse factorielle sur les distances entre indices. 2 Cf Annexe 1 pour les résultats chiffrés et la méthode employée. 5 La figure 2 montre clairement que la dispersion entre indices peut être importante. La proximité spatiale de certains indices provient du fait que des mêmes titres entrent dans la composition de plusieurs de ces indices, les rendant ainsi très corrélés. Le cas du Nouveau Marché ou de l’indice sectoriel DJ EURO STOXX AUTO montre a contrario que le marché ne peut pas être résumé par un seul groupe d’indices. Dès lors, comment définir une mesure de risque qui prenne en compte non pas un seul indice, mais plusieurs (comme par exemple tous les indices existants sur un univers de titres donné), de manière à donner un meilleur aperçu des risques véritablement encourus par l’asset manager. Nous sommes ainsi amenés à définir une mesure de risque multi-benchmarks au sein d’un même univers d’investissement. Le paragraphe qui suit formalise et modélise une telle mesure de risque. Mesure de risque d’univers On considère un univers d’investissement constitués de n actifs de prix A (t) et de i A (t)irentabilités : R (t)= 1, ayant une espérance μ et une matrice de corrélation . i i A (t)i 1 Parmi l’ensemble des portefeuilles que l’on peut construire sur cet univers d’actifs, nous nous restreignons ici à des portefeuilles où le poids w ( ) des différents actifs reste constant 1 i ni dans le temps (CRP), ce qui revient à dire que l’asset manager ne change pas son optique de gestion et reste fidèle à son allocation stratégique [Séquier, 2000]. On interdit par ailleurs les ventes à découvert (w 0 ). Dès lors, l’ensemble des portefeuilles possible est : i n n = w= (w ,K,w ) [0,1] tel que w =1 n 1 n i i=1 n Un portefeuille w= (w ,K,w ) de aura donc pour rentabilitéR (t)= w R (t), c’est-1 n n P i ii=1 2à-dire sous forme vectorielleR (t)=wR(t), et aura pour variance =w w. En supposant P P 6 3par ailleurs que les rendements suivent une loi normale , les rendements d’un portefeuille de suivront une loi normaleN(w μ,w w) . n Dès lors, la tracking-error entre un portefeuille P et un benchmark B, tous deux construits sur , sera : n 2 2 TE(P,B)= + 2 w wP B P B = (w w ) (w w )P B P B 1Ainsi, si l’univers est réduit à 2 actifs notés x et y , ={}(w,1 w) [0,1] tels que w 0 et la 2 tracking-error de P par rapport à B s’écrit : 2 2TE(P,B)= + + 2 w w x B xy P B Et on vérifie que, P étant donné, le portefeuille de qui minimise la tracking-error est bien 2 entendu P lui-même. Cet exemple introductif nous permet d’appréhender une nouvelle fois le problème d