CONCOURS CPGE SCIENTIFIQUES 11 PROBLÈMES DE MATHÉMATIQUES MP

Bernard Randé

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 01 janvier 2023
• Nombre de lectures: 30
• EAN13: 9782820807182
• Langue: Français

Extrait

CONCOURS
CPGE SCIENTIFIQUES
11 PROBLÈMES
DE MATHÉMATIQUES MP

Auteur
Bernard Randé

© 2018, Epistemon
ISBN : 9782820807182
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en février 2018
Dépôt légal : mars 2018

Table des matières

Avant-propos

Préface

6

7

École polytechnique, épreuve A, session 201711
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .11
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5. EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

École polytechnique, épreuve B, session 201733
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .33
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

École polytechnique, épreuve 2, session 200857
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .57
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
5. EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

École polytechnique, épreuve 2, session 1999
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69
69
69
71
77
78

Concours Centrale, épreuve 1, session 201781
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .81

3

4

2.
3.
4.
5.

ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Concours Centrale, épreuve 2, session 2017105
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .105
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
5. EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

Concours Centrale, épreuve 2, session 2014127
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .127
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

Concours Centrale, épreuve 1, session 2013141
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .141
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Concours Mines Ponts, épreuve 1, session 2017155
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .155
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

Concours Mines Ponts, épreuve 2, session 2017165
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .165
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

Onze problèmes de mathématiques MP

4.
5.

5

COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

Concours Mines Ponts, épreuve 2, session 2009179
1. PRÉREQUISET APPRÉCIATION DU PROBLÈME. . . . . . . . . . . .179
2. ÉNONCÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
3. CORRIGÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
4. COMMENTAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
5. EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

Onze problèmes de mathématiques MP

Avant-propos

L’ouvrage est constitué de onze chapitres qui distribuent un total de onze problèmes. Ils sont
classés par concours : Poytechnique, Centrale, Mines et par ordre chronologique
décroissant.
Les notations sont en général standard. Le signe «:=» exprime une égalité par définition.
e e
Le terme de lailigne et de lajcolonne d’une matriceMest souvent notéM(i, j). Une
2
probabilité est notéeP, une espéranceEet une varianceσ. On note{x;P(x)}l’ensemble
desxqui vérifient la propriétéP. Dans une formule quantifiée, on utilise les blancs comme
séparateurs, et non les virgules (et on use bien entendu des parenthèses en cas de besoin).
′
Dans un espace vectoriel normé, la boule fermée de centreaet de rayonrest notéeB(a, r),
la boule ouverteB(a, r). Pour parler de la série de terme généralun, on utilise la notation
+∞
X XX
unqui ne désigne donc pas une somme. La somme de la sérieunsera notéeun
n=0
X
ou, si la famille(un)n>0est sommable (c’est-à-dire si la sérieunest absolument
converZ
X
gente),un. Lorsquefest une fonction continue sur un intervalleI, on notef(x) dx
n∈N
une primitive def(fonction dex) et l’on procédera sur ce symbole comme on peut procéder
Z
x
sur l’intégralef(t) dt(intégration par parties, par exemple) sans faire état des constantes
a
correspondant à la valeur dea. Enfin, la transposée de la matriceAest systématiquement
noT t
téeA, à l’anglo-saxonne. Bien que typographiquement moins élégante que la notationA,
elle a le mérite d’être plus homogène avec d’autres notations analogues (passage à l’inverse,
à la transposée de la conjuguée par exemple).

Onze problèmes de mathématiques MP

Préface

Il y a certainement deux circonstances lors desquelles un étudiant composera sur un sujet
de concours : lors de ses années de préparation, et le jour du concours. L’objectif de cet
ouvrage est donc double : faire travailler le candidat, à un moment où il ne l’est encore que
virtuellement.
Les sujets qui sont proposés ici sont tous des sujets réellement posés, ou bien lors de la
session 2017, ou bien lors de sessions un peu antérieures, toutes récentes. Bien entendu, ils
sont conformes aux programmes actuels de la filière MP.
Nous avons centré ce livre sur les concours des Mines, de Centrale et de l’École
polytechnique. La raison? Ces concours, sans évidemment être tout à fait de même difficulté,
concernent des élèves qui, selon leur évolution dans l’année de Spéciales, seront conduits à
viser deux ou trois de ces concours. Même si l’on peut présumer que les épreuves de l’École
polytechnique sont souvent plus difficiles que celles du concours Centrale, cela est loin d’être
le cas général. Certainement, les épreuves du concours commun Mines-Ponts sont plus aisées.
Mais il est important, pour un élève qui vise principalement l’École polytechnique, de se
préparer face à des sujets où, la difficulté mathématique n’étant pas démesurée, il pourra soigner
la rédaction, la rigueur, l’appel aux résultats du cours, et s’entraîner à la rapidité. A
contrario, un élève visant le concours des Mines pourra utilement traiter des épreuves de l’École
polytechnique pour se familiariser avec des pics de difficulté, toujours envisageables.
Le choix des épreuves a été imposé par deux contraintes. D’une part, nous avons traité les
six épreuves de la session 2017, concernant les concours des Mines, de Centrale et de l’École
polytechnique. Il est en effet toujours intéressant de s’impliquer dans les concours tout
récents, puisqu’ils fournissent des indications sur l’état d’esprit des membres du jury qui les
ont conçus. Il est vain, en revanche, d’espérer qu’ils puissent valider quelque prévision que
ce soit.
D’autre part, les épreuves sélectionnées dans les autres sessions visent à couvrir aussi
largement que possible le programme de la filière MP, de façon à faire de ce recueil un outil, sinon
exhaustif, tout au moins panoramique.
J’ai écrit ci-dessus que les sujets ont été réellement posés aux concours. C’est le cas, mais
nous leur avons parfois apporté des modifications. Je ne parle pas de présentation, de notation
ou de formulation, mais du contenu. Quelques épreuves contiennent en effet soit des erreurs
ou des imprécisions, soit de grandes ambiguïtés. Je les ai corrigées autant que faire se peut
sans, je l’espère, en avoir introduit d’autres!
Pour en terminer avec l’utilité souhaitée de ce livre, il faut savoir que les élèves préparant
les ENS trouveront grand avantage à travailler sur des épreuves de l’École polytechnique,
voire des deux autres concours en cause, et que les élèves préparant les CCP s’entraîneront
utilement sur des épreuves des Mines. Néanmoins, des écoles recrutant leurs élèves à l’aide
de questionnaires à choix multiples devraient être préparées à l’aide d’autres textes.

Onze problèmes de mathématiques MP

8

Préface

Les enseignants pourront trouver intérêt à confronter leurs solutions et leurs points de vue
à ceux proposés dans ce livre. J’espère que les étudiants en tireront un profit substantiel.

Au-d