Mathématiques BCPST 1re année - Programme 2021
728 pages
Français

Mathématiques BCPST 1re année - Programme 2021 , livre ebook

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Description

Cet ouvrage a pour objectifs de permettre aux étudiants en BCPST-1 de réviser leur cours de Mathématiques et de l'assimiler par la mise en application des notions. Dans chaque chapitre, correspondant à peu près à une semaine de cours, le lecteur trouvera notamment :Le résumé de cours et les méthodes, pour assurer ses connaissances ;Le vrai/faux pour tester sa compréhension du cours et éviter de tomber dans les erreurs classiques ;Les exercices corrigés, souvent tirés de sujets d'annales, pour s'entraîner aux concours.Avec un seul livre par année et par matière, la collection PRÉPAS SCIENCES vous guidera, jour après jour, dans votre cheminement vers la réussite aux concours

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 14 septembre 2021
Nombre de lectures 1
EAN13 9782340060487
Langue Français
Poids de l'ouvrage 22 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,1850€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

BCPST Mayeul BacquelinBCPST
re1 année re1 année
PRÉPAS
SCIENCES P R É PA S S C I E N C ES
C O L L E C T I O N D I R I G É E PA R B E RTR A N D H AU C H E CO R N E
MATHS
Objectifs
Cours résumé
Méthodes
Vrai/faux, erreurs classiques
Exercices de base et d’approfondissement
Sujets de concours (écrits, oraux)
Corrigés détaillés et commentés
MATHSPRÉPAS SCIENCES
collection dirigée par Bertrand Hauchecorne
Mathématiques
reBCPST - 1 année
Mayeul BACQUELIN
Professeur agrégé de mathématiques
Enseignant en BCPST à NîmesCOLLECTION
PRÉPAS SCIENCES
Retrouvez tous les titres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr
Les macros de cet ouvrage ont été réalisées par Nicolas Nguyen en LaTeX.
Les notices culturelles « un mathématicien » et « un peu d’histoire »
des pages de titre des chapitres ont été rédigées par Bertrand Hauchecorne.
ISBN 9782340-056916
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2021
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris






Avant-propos
Réussir en classes préparatoires nécessite d’assimiler rapidement un grand
nombre de connaissances, mais surtout de savoir les utiliser, à bon escient, et les
rendre opérationnelles au moment opportun. Bien sûr, l’apprentissage du cours de
votre professeur jour après jour est indispensable. Cependant, on constate que pour
beaucoup, c’est loin d’être sufsant. Combien d’entre vous ont bien appris leur cours
et pourtant se trouvent démunis lors d’un devoir, et plus grave, le jour du concours.
Cete collection a été conçue pour répondre à cete difculté. Suivant
scrupuleusement le programme, chaque ouvrage est scindé en chapitres, dont chacun
correspond, en gros, à une semaine de cours. Leur structure est identique pour chaque
niveau, en mathématiques comme en physique-chimie.
Le résumé de cours est là pour vous remetre en mémoire tous les résultats
à connaître. Sa relecture est indispensable avant un devoir, le passage d’une colle
relative au thème traité et lors des révisions précédant les concours. Ils sont énoncés
sans démonstration.
La partie « méthodes » vous initie aux techniques utiles pour résoudre les
exercices classiques. Complément indispensable du cours, elle l’éclaire et l’illustre.
La partie « vrai/faux » permet de tester votre recul par rapport au programme
et de vous révéler les mauvais réfexes à rectifer. Son corrigé est l’occasion de metre
en garde contre des erreurs classiques.
Les exercices sont incontournables pour assimiler le programme et pour répondre
aux exigences du concours. Des indications, que les meilleurs pourront ignorer,
permetront de répondre aux besoins de chacun, selon son niveau. Les corrigés sont
rédigés avec soin et de manière exhaustive.
Ainsi l’ouvrage de maths comme celui de physique-chimie vous accompagneront
tout au long de l’année et vous guideront dans votre cheminement vers la réussite
aux concours.
Bertrand HauchecorneSommaire
■ Premier semestre
1. Vocabulaire de la logique, des ensembles et des applications .... 3
2. Ensembles de nombres : réels et complexes ......................... 31
3. Trigonométrie ................................................................... 65
4. Somme, produit et suites usuelles ....................................... 91
5. Généralités sur les fonctions .............................................. 121
6. Calculs de primitives .......................................................... 151
7. Les équations différentielles linéaires simples ....................... 179
8. Les systèmes linéaires ....................................................... 215
9. Les matrices .................................................................... 245
10. Géométrie ........................................................................ 283
11. Les polynômes réels 311
12. Dénombrement ................................................................. 333
13. Les statistiques descriptives .............................................. 365
■ Deuxième semestre
14. Les suites réelles .............................................................. 395
15. Limites et continuité .......................................................... 437
16. Dérivation des fonctions réelles .......................................... 463
17. Intégration d’une fonction continue réelle sur un segment ....... 497
18. Équivalents et développements limités ................................. 533
19. Fonctions numériques de deux variables réelles ..................... 571
20. Espace vectoriel ................................................................ 595
21. Les applications linéaires .................................................... 631
22. Espaces probabilisés fnis ................................................... 663
23. Les variables aléatoires discrètes ....................................... 697■Premier semestreChapitre 1
Vocabulaire de la logique,
des ensembles
et des applications
« L’essence même des mathématiques, c’est leur liberté »
disait Georg Cantor, mathématicien allemand
né à Saint Pétersbourg, connu pour avoir été le père
de la théorie des ensembles. C’est dans les années 1870
qu’il fonde cete théorie en lien avec son compatriote
Richard Dedekind et qu’il défnit la notion
de cardinal pour les ensembles infnis. Ses théories
révolutionnaires furent mal accueillies par certains
mais sont désormais acceptées par tous.
■ Un peu d'histoire
eAu milieu du XIX , les mathématiciens anglais George Boole et Augustus De Morgan
s’intéressent au raisonnement logique en tant que tel. Le premier défnit des opérations
logiques telles la négation d’une proposition, la conjonction ou la disjonction de deux
d’entre elles. Le second, s’inspirant d’Aristote, introduit la notion de quantifcateur.
Au tout début des années 1870, Georg Cantor s’intéresse aux points où certaines
fonctions ont des comportements atypiques. Cela l’amène à étendre la notion de cardinal
(nombre d’éléments) à des ensembles infnis.
Giuseppe Peano rédige en 1895 un formulaire mathématique qui popularise la
théorie des ensembles ; il introduit plusieurs symboles que nous utilisons encore.
Bertrand Russell énonce un paradoxe qui montre que l’on ne peut nommer ensemble
n’importe quoi ce qui conduit Ernst Zermelo basée cete théorie sur des axiomes.
UN MATHÉMATICIEN R´esum´e de cours
Vocabulaire des ensembles
Premi`eres d´efinitions
D´efinition : Un ensemble est une collection d’objets. Ces objets sont appel´es les ´el´ements de notre
ensemble, on dit qu’ils appartiennent `a l’ensemble. On note x∈E pour dire que x est un ´el´ement
d’un ensemble E. x�∈E signifie que x n’est pas un ´el´ement de E.
Vocabulaire : ∅, l’ensemble vide, est l’ensemble n’ayant aucun ´el´ement. Un ensemble r´eduit `a un
■ ■ Objectifs seul ´el´ement est appel´e un singleton, un ensemble r´eduit a` deux ´el´ements est appel´e une paire. [v,w]
(avec v et w deux r´eels tels que v ≤w) est l’ensemble {x∈R tel que v ≤x et x≤w}, p,q (avec
p et q deux entiers tels que p≤q) est l’ensemble {x∈Z tel que p≤x et x≤q}. les incontournables■ les incontournables
Remarque : un ensemble est parfaitement d´efini d`es lors qu’on est capable de pr´eciser sans
am Savoir utiliser a` bon escient les quantificateurs, les connecteurs ´el´ementaires non, et, ou, les
bigu¨ıt´e les ´el´ements qui le composent. Il y a plusieurs faco¸ ns de d´ecrire un ensemble :implications et les ´equivalences.
Savoir exprimer un ´enonc´e ou un raisonnement en langage formel et en fran¸cais.
• D´efinition en extension : On peut d´efinir un ensemble en pr´ecisant les objets qui le
Savoir d´emontrer une implication simple, des implications successives, ou une ´equivalence. contiennent (comme {1;3;5;7}), en donnant la forme de ces objets (l’ensemble pr´ec´edent
peut s’´ecrire{2k +1,k ∈{0;1;2;3}}). On peut utiliser des points de suspension si la logique Savoir nier un ´enonc´e, maˆıtriser le concept de contrapos´ee.
reliantlesobjets entourantcespoints desuspensionest´evidente.Ainsi,{1;3;5;7;9;11;13;15}
Savoir comprendre la d´efinition d’un ensemble, ´ecrire une d´efinition d’un ensemble.
peut s’´ecrire {1;3;5;···;15}.
Maˆıtriser les op´erations sur les ensembles (r´eunion, intersection, compl´ementaire, produit
• D´efinitionen compr´ehension: On peut aussi le d´efinir par ce qui caract´eriseses´el´ements.cart´esien).
2x entiers impairs tels que x ∈ [1;50] est ainsi l’ensemble {−7;−5;−3;···;7}.
Savoir utiliser un raisonnement par r´ecurrence.
Maˆıtriser les concepts d’injection, de surjection, de bijection. D´efinition : Soit E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F ou que F contient E ou
que E est une partie de F lorsque tous les ´el´ements de E sont en particulier des ´el´ements de F.
On note alors que E ⊂ F. On dit que E = F lorsque E ⊂ F et F ⊂ E, c’est-`a-dire lorsque E■etet ppllusus ssi i aaffi fnifnti´tesés
et F ont exactement les mˆemes ´el´ements. On note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est-`a-dire
Savoir utiliser un raisonnement par disjonction des cas, par l’absurde, par analyse-synth`ese. l’ensemble des sous-ensembles de E.
Distinguer inclusion et appartenance.
ˆ Etre capable d’expliciter une r´eciproque.
Op´erations sur les ensembles
D´efinition : Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On d´efinit les op´erations suivantes :
• A∩B = {x∈E tels que x∈A et x∈B}. C’est l’intersection de A et B, c’est l’ensemble
contenant les ´el´ements appartenant a` la fois `a A et B. On dit que deux ensembles sont
disjoints si leur intersection est vide.
• A∪B = {x∈E tels que x∈A ou x∈B}. C’est l’union de A et B, c’est l’ensemble
contenant les ´el´ements appartenant au moins `a A ou `aB.
• A\B ={x∈E tels que x∈A et x�∈B}. C’est A priv´e de B.
• A =C A =E\A ={x∈E tels que x�∈A}. C’est le compl´ementaire de A dans E.E
VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 5
4 CHAPITRE 1 R´esum´e de cours
Vocabulaire des ensembles
Premi`eres d´efinitions
D´efinition : Un ensemble est une collection d’objets. Ces objets sont appel´es les ´el´ements de notre
ensemble, on dit qu’ils appartiennent `a l’ensemble. On note x∈E pour dire que x est un ´el´ement
d’un ensemble E. x�∈E signifie que x n’est pas un ´el´ement de E.
Vocabulaire : ∅, l’ensemble vide, est l’ensemble n’ayant aucun ´el´ement. Un ensemble r´eduit `a un
seul ´el´ement est appel´e un singleton, un ensemble r´eduit `a deux ´el´ements est appel´e une paire. [v,w]
(avec v et w deux r´eels tels que v ≤w) est l’ensemble {x∈R tel que v ≤x et x≤w}, p,q (avec
p et q deux entiers tels que p≤q) est l’ensemble {x∈Z tel que p≤x et x≤q}. les incontournables
Remarque : un ensemble est parfaitement d´efini d`es lors qu’on est capable de pr´eciser sans
am Savoir utiliser `a bon escient les quantificateurs, les connecteurs ´el´ementaires non, et, ou, les
bigu¨ıt´e les ´el´ements qui le composent. Il y a plusieurs fa¸cons de d´ecrire un ensemble :implications et les ´equivalences.
Savoir exprimer un ´enonc´e ou un raisonnement en langage formel et en fran¸cais.
• D´efinition en extension : On peut d´efinir un ensemble en pr´ecisant les objets qui le
Savoir d´emontrer une implication simple, des implications successives, ou une ´equivalence. contiennent (comme {1;3;5;7}), en donnant la forme de ces objets (l’ensemble pr´ec´edent
peut s’´ecrire{2k +1,k ∈{0;1;2;3}}). On peut utiliser des points de suspension si la logique Savoir nier un ´enonc´e, maˆıtriser le concept de contrapos´ee.
reliantlesobjets entourantcespoints desuspensionest´evidente.Ainsi,{1;3;5;7;9;11;13;15}
Savoir comprendre la d´efinition d’un ensemble, ´ecrire une d´efinition d’un ensemble.
peut s’´ecrire {1;3;5;···;15}.
Maˆıtriser les op´erations sur les ensembles (r´eunion, intersection, compl´ementaire, produit
• D´efinitionen compr´ehension: On peut aussi le d´efinir par ce qui caract´eriseses´el´ements.cart´esien).
2x entiers impairs tels que x ∈ [1;50] est ainsi l’ensemble {−7;−5;−3;···;7}.
Savoir utiliser un raisonnement par r´ecurrence.
Maˆıtriser les concepts d’injection, de surjection, de bijection. D´efinition : Soit E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F ou que F contient E ou
que E est une partie de F lorsque tous les ´el´ements de E sont en particulier des ´el´ements de F.
On note alors que E ⊂ F. On dit que E = F lorsque E ⊂ F et F ⊂ E, c’est-`a-dire lorsque E et plus si affinit´es
et F ont exactement les mˆemes ´el´ements. On note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est-`a-dire
Savoir utiliser un raisonnement par disjonction des cas, par l’absurde, par analyse-synth`ese. l’ensemble des sous-ensembles de E.
Distinguer inclusion et appartenance.
ˆ Etre capable d’expliciter une r´eciproque.
Op´erations sur les ensembles
D´efinition : Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On d´efinit les op´erations suivantes :
• A∩B = {x∈E tels que x∈A et x∈B}. C’est l’intersection de A et B, c’est l’ensemble
contenant les ´el´ements appartenant `a la fois `a A et B. On dit que deux ensembles sont
disjoints si leur intersection est vide.
• A∪B = {x∈E tels que x∈A ou x∈B}. C’est l’union de A et B, c’est l’ensemble
contenant les ´el´ements appartenant au moins `a A ou `aB.
• A\B ={x∈E tels que x∈A et x�∈B}. C’est A priv´e de B.
• A =C A =E\A ={x∈E tels que x�∈A}. C’est le compl´ementaire de A dans E.E
VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 5abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 5 nn
4 CHAPITRE 1ce qui signifie qu’il existe au moins un x appartenant `a l’ensemble E telle que la proposition
P(x) soit vraie.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour un uniquex appartenant `a l’ensembleE, on peut utiliser
le quantificateur∃!, qui se lit ”il existe un unique”, de la fa¸con suivante :
∃!x∈E tel queP(x)
A∩B A∪B A\B
ce qui signifie qu’il existe un unique x appartenant a` l’ensemble E tel que la propri´et´eP(x)
Proposition 1.1.— Soit A,B et C trois parties d’un ensemble E. On a : soit vraie.
1. (A∩B)∩C =A∩(B∩C)et(A∪B)∪C =A∪(B∪C) (associativit´e). Remarque : lorsqu’on nie une proposition, les quantificateurs∀ sont tous remplac´es par des∃ et
+les quantificateurs∃ sont tous remplac´es par des∀. La n´egation de la proposition ”∀x∈R ,∃y∈2. A∩B =B∩A et A∪B =B∪A .
2 + 2R tel que : y >x ” est : ”∃x∈R tel que :∀y∈R,y≤x ”.
3. A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (distributivit´e).
4. A∩B =A∪B et A∪B =A∩B (Lois de Morgan).
′ ′ Les raisonnements classiquesD´efinition : Soit E et F deux ensembles, x et x deux ´el´ements de E et y et y deux ´el´ements de
F. On d´efinit le couple (x,y) par la propri´et´e suivante :
D´efinition : Soit P et Q deux propositions. On dit que P implique Q, et on note P ⇒ Q
′ ′ ′ ′ lorsqueP est fausse ou bien lorsqueP etQ sont toutes les deux vraies. On dit alors queP est(x,y) = (x,y )⇔x =x et y = y .
une condition suffisante pour queQ soit vraie ou queQ est une condition n´ecessaire pour queP
E×F, ensemble appel´e produit cart´esien de E et F, est {(x,y),x∈E,y∈F}. soit vraie. On dit queP etQ sont ´equivalentes, et on noteP⇔Q, lorsqueP⇒Q etQ⇒P,
autrement dit lorsqueP etQ sont ou bien toutes les deux vraies ou bien toutes les deux fausses.
On dit aussi queP est une condition n´ecessaire et suffisante pourQ. On r´esume ces d´efinitions Vocabulaire de la logique
dans des tables de v´erit´e :
Premi`eres propri´et´es
P V V F FD´efinition : SoitP etQ deux propositions.
Q V F V F
• La n´egation de la propositionP est la proposition, not´ee non(P) ouP, qui est vraie lorsque
non P F F V VP est fausse et fausse lorsqueP est vraie.
P ou Q V V V F
• La conjonction deP etQ est la proposition, not´ee (P etQ), qui est vraie uniquement si P et Q V F F F
P etQ sont toutes les deux vraies. P ⇒ Q V F V V
• La disjonction deP etQ est la proposition, not´ee (P ouQ), qui est vraie si et seulement P ⇔ Q V F F V
si l’une au moins des propositionsP etQ est vraie.
Proposition 1.2.— SoitP etQ deux propositions. Proposition 1.3.— SoitP etQ deux propositions. On a :
• La n´egation de la proposition (P etQ) est la proposition non(P) ou non(Q). • SiP est vraie et (P⇒Q) alorsQ est vraie. C’est le raisonnement par d´eduction.
• La n´egation de la proposition (P ouQ) est la proposition (non(P) et non(Q). • SiP est vraie et (P⇔Q) alorsQ est vraie. C’est le raisonnement par ´equivalence.
• (P⇐⇒Q) ´equivaut `a dire que (Q⇒P
etP⇒Q).C’estleraisonnementpardoubleimD´efinition : SoitP(x) une proposition d´ependant d’une variable x.
plication.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour tout x appartenant `a l’ensemble E, on peut utiliser le
• (P⇒Q) ´equivaut a` dire que (non(Q)⇒ non(P)).C’estleraisonnementparcontrapos´ee.
quantificateur universel ∀, qui se lit ”Pour tout”, de la fa¸con suivante :
• SiP est suppos´ee vraie et qu’on en d´eduit queQ est vraie et fausse alors on peut affirmer
∀x∈E,P(x) queP est fausse. C’est le raisonnement par l’absurde.
• SoitR(x) une proposition d´ependant d’une variable x.Si:ce qui signifie que, pour tous les ´el´ements de E, la propositionP(x) est vraie.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour au moins un x appartenant `a l’ensemble E, on peut
∀x∈A, P(x) et ∀x∈B, P(x)
utiliser le quantificateur existentiel ∃, qui se lit ”il existe”, de la fa¸con suivante :
alors,∀x∈A∪B, P(x). C’est le raisonnement par disjonction des cas.∃x∈E tel queP(x)
6 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 7nn ChapIT r E 1ce qui signifie qu’il existe au moins un x appartenant `a l’ensemble E telle que la proposition
P(x) soit vraie.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour un uniquex appartenant `a l’ensembleE, on peut utiliser
le quantificateur∃!, qui se lit ”il existe un unique”, de la fa¸con suivante :
∃!x∈E tel queP(x)
A∩B A∪B A\B
ce qui signifie qu’il existe un unique x appartenant `a l’ensemble E tel que la propri´et´eP(x)
Proposition 1.1.— Soit A,B et C trois parties d’un ensemble E. On a : soit vraie.
1. (A∩B)∩C =A∩(B∩C)et(A∪B)∪C =A∪(B∪C) (associativit´e). Remarque : lorsqu’on nie une proposition, les quantificateurs∀ sont tous remplac´es par des∃ et
+les quantificateurs∃ sont tous remplac´es par des∀. La n´egation de la proposition ”∀x∈R ,∃y∈2. A∩B =B∩A et A∪B =B∪A .
2 + 2R tel que : y >x ” est : ”∃x∈R tel que :∀y∈R,y≤x ”.
3. A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (distributivit´e).
4. A∩B =A∪B et A∪B =A∩B (Lois de Morgan).
′ ′ Les raisonnements classiquesD´efinition : Soit E et F deux ensembles, x et x deux ´el´ements de E et y et y deux ´el´ements de
F. On d´efinit le couple (x,y) par la propri´et´e suivante :
D´efinition : Soit P et Q deux propositions. On dit que P implique Q, et on note P ⇒ Q
′ ′ ′ ′ lorsqueP est fausse ou bien lorsqueP etQ sont toutes les deux vraies. On dit alors queP est(x,y) = (x,y )⇔x =x et y = y .
une condition suffisante pour queQ soit vraie ou queQ est une condition n´ecessaire pour queP
E×F, ensemble appel´e produit cart´esien de E et F, est {(x,y),x∈E,y∈F}. soit vraie. On dit queP etQ sont ´equivalentes, et on noteP⇔Q, lorsqueP⇒Q etQ⇒P,
autrement dit lorsqueP etQ sont ou bien toutes les deux vraies ou bien toutes les deux fausses.
On dit aussi queP est une condition n´ecessaire et suffisante pourQ. On r´esume ces d´efinitions Vocabulaire de la logique
dans des tables de v´erit´e :
Premi`eres propri´et´es
P V V F FD´efinition : SoitP etQ deux propositions.
Q V F V F
• La n´egation de la propositionP est la proposition, not´ee non(P) ouP, qui est vraie lorsque
non P F F V VP est fausse et fausse lorsqueP est vraie.
P ou Q V V V F
• La conjonction deP etQ est la proposition, not´ee (P etQ), qui est vraie uniquement si P et Q V F F F
P etQ sont toutes les deux vraies. P ⇒ Q V F V V
• La disjonction deP etQ est la proposition, not´ee (P ouQ), qui est vraie si et seulement P ⇔ Q V F F V
si l’une au moins des propositionsP etQ est vraie.
Proposition 1.2.— SoitP etQ deux propositions. Proposition 1.3.— SoitP etQ deux propositions. On a :
• La n´egation de la proposition (P etQ) est la proposition non(P) ou non(Q). • SiP est vraie et (P⇒Q) alorsQ est vraie. C’est le raisonnement par d´eduction.
• La n´egation de la proposition (P ouQ) est la proposition (non(P) et non(Q). • SiP est vraie et (P⇔Q) alorsQ est vraie. C’est le raisonnement par ´equivalence.
• (P⇐⇒Q) ´equivaut `a dire que (Q⇒P
etP⇒Q).C’estleraisonnementpardoubleimD´efinition : SoitP(x) une proposition d´ependant d’une variable x.
plication.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour tout x appartenant `a l’ensemble E, on peut utiliser le
• (P⇒Q) ´equivaut a` dire que (non(Q)⇒ non(P)).C’estleraisonnementparcontrapos´ee.quantificateur universel ∀, qui se lit ”Pour tout”, de la fa¸con suivante :
• SiP est suppos´ee vraie et qu’on en d´eduit queQ est vraie et fausse alors on peut affirmer
∀x∈E,P(x) queP est fausse. C’est le raisonnement par l’absurde.
• SoitR(x) une proposition d´ependant d’une variable x.Si:ce qui signifie que, pour tous les ´el´ements de E, la propositionP(x) est vraie.
• Pour ´ecrire queP(x) est vraie pour au moins un x appartenant `a l’ensemble E, on peut
∀x∈A, P(x) et ∀x∈B, P(x)
utiliser le quantificateur existentiel ∃, qui se lit ”il existe”, de la fa¸con suivante :
alors,∀x∈A∪B, P(x). C’est le raisonnement par disjonction des cas.∃x∈E tel queP(x)
6 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 7abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 7 nn�

D´efinition : On dit que f est injective si :Le raisonnement par r´ecurrence
′ 2 ′ ′∀ (x,x )∈ G ,x = x ⇒ f(x) = f(x )
Proposition 1.4.— Voici trois types de r´ecurrence `a connaˆıtre (raisonnement d´etaill´e dans les
m´ethodes) qui prouvent chacune que P(n) est vraie pour tout entier n sup´erieur a` n :0 Il revient au mˆeme de dire que f est injective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede au plus
un ant´ec´edent par f. On peut aussi dire que f est injective si et seulement si :• R´ecurrence faible : On prouve que P(n ) est vraie et que, pour tout entier n sup´erieur `a0
n , P(n) implique P(n+1).0
′ 2 ′ ′∀ (x,x )∈ G ,f(x) = f(x )⇒ x = x .
• R´ecurrence double : On prouve queP(n ) et P(n +1) sont vraies et que, pour tout entier0 0
n sup´erieur a` n , P(n) et P(n+1) entraˆınent P(n+2).0 D´efinition : On dit que f est surjective si :
• R´ecurrence forte : On prouve que P(n ) est vraie et que, pour tout entier n sup´erieur `a0
∀y∈ F, ∃ x∈ G tel que f(x) = yn , P(n ), ···, P(n) impliquent P(n+1).0 0
Il revient au mˆeme de dire que f est surjective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede
Les applications au moins un ant´ec´edent par f.
Dans toute cette partie, E, F et G d´esigneront trois ensembles. D´efinition : On dit que f est bijective si f est injective et surjective. Il revient au mˆeme de dire
que f est bijective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede exactement un ant´ec´edent par f.
On peut aussi dire que f est bijective si et seulement si :D´efinitions
∀y∈ F,∃!x∈ G tel que f(x) = y.D´efinition : Une application f de E, appel´e ensemble de d´epart, dans F, appel´e ensemble d’arriv´ee,
est un proc´ed´e qui `a chaque ´el´ement x de E associe un unique ´el´ement de F, l’image de x par f,®
Remarque : Si, pour tout y de F, l’´equation f(x) = y d’inconnue x dans G a:E →F f
que l’on note f(x). On note ainsi les applications : f : ou f : x �→ f(x) ou E → F.
• pile une solution alors f est bijective.x �→f(x)
On dit que deux applications sont ´egales si elles ont mˆeme ensemble de d´epart, mˆeme ensemble • au moins une solution alors f est surjective.
d’arriv´ee et associe les mˆemes images. • au plus une solution (0 ou 1) alors f est injective.
f
Vocabulaire : Si E →F et si y ∈F alors un ´el´ement x de E est qualifi´e d’ant´ec´edent de y par f
Proposition 1.5.— En cas d’existence, la compos´ee de deux injections est une injection, la com-si f(x) = y.
pos´ee de deux surjections est une surjection et, enfin, la compos´ee de deux bijections est une
f g
D´efinition : Soit E →F et A →F deux applications avec A une partie de E. g est la restriction bijection.
de f `a A si ∀x ∈A,f(x) = g(x). On note alors g = f| . f sera alors un prolongement de g `a E.A
−1D´efinition : On suppose f bijective. On d´efinit sa r´eciproque, not´ee f , qui est l’application de
Remarque : une fois A fix´e, la restriction de f `a A est unique. Il y a en revanche plusieurs fa¸cons
−1F dans G telle que, pour tout y de F, f (y) est l’unique ant´ec´edent par f de y. On a donc :
de prolonger une fonction.
f −1 −1f◦f = id et f ◦f = id .D´efinition : Soit E → F une application et A une partie de E. L’image directe de A par f est F G
une partie de F que l’on note f(A). C’est l’ensemble des images des ´el´ements de A par f, soit
{f(x),x∈ A}. Proposition 1.6.— f est bijective si et seulement si f v´erifie la condition suivante :
g
Il existe F → G une application telle que g◦f = id et f◦g = idG F
−1Si g v´erifie ces conditions alors f est g.
Proposition 1.7.— Si f et g sont deux applications bijectives composables alors g◦f est bijective
−1 −1 −1et (g◦f) est f ◦g .f g
D´efinition : Soit E → F et F → G deux applications. On d´efinit la compos´ee de f par g
l’application not´ee g◦f par : ∀x ∈E,(g◦f)(x) = g(f(x)) .
Injections, surjections, bijections
f d´esignera dans tout cette partie une application de G dans F.
8 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 9nn ChapIT r E 1�

D´efinition : On dit que f est injective si :Le raisonnement par r´ecurrence
′ 2 ′ ′∀ (x,x )∈ G ,x = x ⇒ f(x) = f(x )
Proposition 1.4.— Voici trois types de r´ecurrence a` connaˆıtre (raisonnement d´etaill´e dans les
m´ethodes) qui prouvent chacune que P(n) est vraie pour tout entier n sup´erieur a` n :0 Il revient au mˆeme de dire que f est injective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede au plus
un ant´ec´edent par f. On peut aussi dire que f est injective si et seulement si :• R´ecurrence faible : On prouve que P(n ) est vraie et que, pour tout entier n sup´erieur `a0
n , P(n) implique P(n+1).0
′ 2 ′ ′∀ (x,x )∈ G ,f(x) = f(x )⇒ x = x .
• R´ecurrence double : On prouve queP(n ) et P(n +1) sont vraies et que, pour tout entier0 0
n sup´erieur a` n , P(n) et P(n+1) entraˆınent P(n+2).0 D´efinition : On dit que f est surjective si :
• R´ecurrence forte : On prouve que P(n ) est vraie et que, pour tout entier n sup´erieur `a0
∀y∈ F, ∃ x∈ G tel que f(x) = yn , P(n ), ···, P(n) impliquent P(n+1).0 0
Il revient au mˆeme de dire que f est surjective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede
Les applications au moins un ant´ec´edent par f.
Dans toute cette partie, E, F et G d´esigneront trois ensembles. D´efinition : On dit que f est bijective si f est injective et surjective. Il revient au mˆeme de dire
que f est bijective si et seulement si tout ´el´ement de F poss`ede exactement un ant´ec´edent par f.
On peut aussi dire que f est bijective si et seulement si :D´efinitions
∀y∈ F,∃!x∈ G tel que f(x) = y.D´efinition : Une application f de E, appel´e ensemble de d´epart, dans F, appel´e ensemble d’arriv´ee,
est un proc´ed´e qui `a chaque ´el´ement x de E associe un unique ´el´ement de F, l’image de x par f,®
Remarque : Si, pour tout y de F, l’´equation f(x) = y d’inconnue x dans G a:E →F f
que l’on note f(x). On note ainsi les applications : f : ou f : x �→ f(x) ou E → F.
• pile une solution alors f est bijective.x �→f(x)
On dit que deux applications sont ´egales si elles ont mˆeme ensemble de d´epart, mˆeme ensemble • au moins une solution alors f est surjective.
d’arriv´ee et associe les mˆemes images. • au plus une solution (0 ou 1) alors f est injective.
f
Vocabulaire : Si E →F et si y ∈F alors un ´el´ement x de E est qualifi´e d’ant´ec´edent de y par f
Proposition 1.5.— En cas d’existence, la compos´ee de deux injections est une injection, la com-si f(x) = y.
pos´ee de deux surjections est une surjection et, enfin, la compos´ee de deux bijections est une
f g
D´efinition : Soit E →F et A →F deux applications avec A une partie de E. g est la restriction bijection.
de f `a A si ∀x ∈A,f(x) = g(x). On note alors g = f| . f sera alors un prolongement de g `a E.A
−1D´efinition : On suppose f bijective. On d´efinit sa r´eciproque, not´ee f , qui est l’application de
Remarque : une fois A fix´e, la restriction de f `a A est unique. Il y a en revanche plusieurs fac¸ons
−1F dans G telle que, pour tout y de F, f (y) est l’unique ant´ec´edent par f de y. On a donc :
de prolonger une fonction.
f −1 −1f◦f = id et f ◦f = id .D´efinition : Soit E → F une application et A une partie de E. L’image directe de A par f est F G
une partie de F que l’on note f(A). C’est l’ensemble des images des ´el´ements de A par f, soit
{f(x),x∈ A}. Proposition 1.6.— f est bijective si et seulement si f v´erifie la condition suivante :
g
Il existe F → G une application telle que g◦f = id et f◦g = idG F
−1Si g v´erifie ces conditions alors f est g.
Proposition 1.7.— Si f et g sont deux applications bijectives composables alors g◦f est bijective
−1 −1 −1et (g◦f) est f ◦g .f g
D´efinition : Soit E → F et F → G deux applications. On d´efinit la compos´ee de f par g
l’application not´ee g◦f par : ∀x ∈E,(g◦f)(x) = g(f(x)) .
Injections, surjections, bijections
f d´esignera dans tout cette partie une application de G dans F.
8 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 9abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 9 nn



M´ethode 1.3.— Comment montrer que x∈A M´ethodes
On fait par l’absurde. On suppose que x ∈ A et on se rend compte qu’il y a comme
un probl`eme. Cette id´ee de l’absurde est assez naturelle car A est d´efini lui-mˆeme par
Les ensembles ”n´egativit´e”, ce sont les x de E tels que x�∈A.
M´ethode 1.1.— Comment montrer que E⊂F, E =F
E =F se prouveen d´emontrantqueE⊂F etF ⊂E. SiE etF sontde cardinalfini et si
Exemple : PrenonsA et B deux parties d’un ensembleE et montrons que : A⊂B⇔A∩B =∅.
Card (E) =Card (F) alors, pour prouver l’´egalit´eE =F, il suffit de prouver queE⊂F
=⇒ : On supposeA⊂B. On suppose aussi qu’il existe un ´el´ementx deA∩B. Si tel est le casou bien de prouver que F ⊂ E (une simple inclusion suffit pour avoir l’´egalit´e). Pour
alors x∈A donc x∈B car A⊂B. Or x∈B car x∈A∩B donc x∈B. On a donc obtenu queprouver que E ⊂ F, on prend x, un ´el´ement quelconque de E, et on montre que x est
x∈B et x∈B (absurde) donc il n’existe pas d’´el´ement de A∩B donc A∩B =∅.n´ecessairement dansF. Parfois, `a l’aide des propri´et´es du cours comme la distributivit´e,
⇐= : On suppose A∩B =∅. Montrons queA⊂B. Soit x∈A. Montrons quex∈B. On supposel’associativit´e, les lois de Morgan, on peut prouver la relation sans avoir a` redescendre
que x∈B on a alorsx∈A∩B (absurde) donc x�∈B donc x∈B.jusqu’au niveau de l’´el´ement.
Mise en œuvre : exercice 1.1.
Les diff´erentes r´ecurrencesExemple : Montrons que (A∩B)∪(A∩C)∪(C∩B) =(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) avecA,B et
C trois parties d’un ensembleE. Inutile de redescendre au niveau de l’´el´ement, on peut s’en sortir
On souhaite d´emontrer qu’une propri´et´eP(n) d´ependant d’un entier n est vraie au-del`a d’undirectement en exploitant le cours. Par distributivit´e, on a :
certain entiern fix´e (qui est souvent 0 ou 1). Pour faire une r´ecurrence,on commence par ´enoncer0
(A∩B)∪(A∩C)∪(C∩B) = [(A∩B)∪(A∩C)]∪(C∩B) clairement la proposition P(n) que l’on va d´emontrer (c’est l’´etape 1, l’introduction). La suite
du raisonnement d´epend du type de r´ecurrence que l’on va mener. D`es qu’on voit une propri´et´e=[A∩(B∪C)]∪(B∩C)
d´ependant d’un entier, on peut se poser la question de la r´ecurrence. Avant de vous lancer dans
=[A∪(B∩C))∩((B∪C)∪(B∩C))
une r´ecurrence, essayez toujours le calcul direct (c’est-a`-dire prouver directement votre propri´et´e
=(A∪B)∩(A∪C)∩(B∪C) en utilisant une propositiondu coursouen effectuant un calcul) qui a l’avantaged’ˆetreplus rapide!
Si le calcul direct n’aboutit pas et qu’on peut enchaˆıner logiquementP(n) etP(n+1) (c’est-`a-dire
queP(n) apporte une information cruciale surP(n+1)) alors on peut envisager une r´ecurrence
faible. On retrouverasouventce raisonnement tout au long de ce livre. Notez par avance un certain
M´ethode 1.2.— Comment prouver et utiliser que x∈A∪B
nombre de cas classiques ou` les r´ecurrences interviendront :
On prend un ´el´ementx. Deux grandes techniques pour prouver que x∈A∪B
1. Premi`ere technique, celle du bilan. On fait une hypoth`ese, on prouve alors que x
est dans un ensembleA. On fait une autre hypoth`ese, on prouve quex est dansB. • Suites : Tr`es tr`es souvent! Notamment lors de la recherche du terme g´en´eral ou pour des
Si nos hypoth`eses recouvrent tous les cas possibles que peut rencontrerx alors on histoires de croissance...
peut affirmer que x appartient `a A∪B.
ie`me• D´erivabilit´e : Typiquement quand on veut calculer la d´eriv´een d’une fonction.2. Deuxi`eme technique, celle de l’ajout d’hypoth`ese. Pour montrer que x∈A∪B, il
suffit de prouver que si x�∈B, alorsx∈A.
• Int´egration : Quand on a une suite d’int´egrales (I ) que l’on veut expliciter. Il est alorsn n∈N
Quand on nous dit quex∈A∪B, on ne sait pas six est dansA ou dansB mais on est
classique de mˆeler int´egration par parties et r´ecurrence.
surˆ qu’il est au moins dans l’un des deux! Pour exploiter cette information, il suffit de
distinguer les cas : ie`me• Matrices:Lar´ecurrenceintervientsurtoutpourlecalculdelapuissancen desmatrices.
— Si x est dans A alors... blabla...
• Polynˆomes : Quand on a une suite de polynˆomes (P ) dont on veut ´evaluer le degr´e ou— Si x est dans B alors... blabla... n n∈N
la parit´e.
et de faire une conclusion! L’avantage de proc´eder ainsi est de pouvoir exploiter les
propri´et´es de A (dans le premier cas) puis de B (second cas).
• Probabilit´e : La r´ecurrence peut intervenir en probabilit´e quand on ´etudie une exp´erience
qui se passe en plusieurs ´etapes et qu’on a besoin de savoir ce qui s’est pass´e avant pour
ie`meMise en œuvre : exercice 1.3. pouvoir parler de la n ´etape (n tirages sans remise par exemple).
10 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 11nn 10 ChapIT r E 1



M´ethode 1.3.— Comment montrer que x∈A M´ethodes
On fait par l’absurde. On suppose que x ∈ A et on se rend compte qu’il y a comme
un probl`eme. Cette id´ee de l’absurde est assez naturelle car A est d´efini lui-mˆeme par
Les ensembles ”n´egativit´e”, ce sont les x de E tels que x�∈A.
M´ethode 1.1.— Comment montrer que E⊂F, E =F
E =F se prouveen d´emontrantqueE⊂F etF ⊂E. SiE etF sontde cardinalfini et si
Exemple : PrenonsA et B deux parties d’un ensembleE et montrons que : A⊂B⇔A∩B =∅.
Card (E) =Card (F) alors, pour prouver l’´egalit´eE =F, il suffit de prouver queE⊂F
=⇒ : On supposeA⊂B. On suppose aussi qu’il existe un ´el´ementx deA∩B. Si tel est le casou bien de prouver que F ⊂ E (une simple inclusion suffit pour avoir l’´egalit´e). Pour
alors x∈A donc x∈B car A⊂B. Or x∈B car x∈A∩B donc x∈B. On a donc obtenu queprouver que E ⊂ F, on prend x, un ´el´ement quelconque de E, et on montre que x est
x∈B et x∈B (absurde) donc il n’existe pas d’´el´ement de A∩B donc A∩B =∅.n´ecessairement dansF. Parfois, `a l’aide des propri´et´es du cours comme la distributivit´e,
⇐= : On suppose A∩B =∅. Montrons queA⊂B. Soit x∈A. Montrons quex∈B. On supposel’associativit´e, les lois de Morgan, on peut prouver la relation sans avoir `a redescendre
que x∈B on a alorsx∈A∩B (absurde) donc x�∈B donc x∈B.jusqu’au niveau de l’´el´ement.
Mise en œuvre : exercice 1.1.
Les diff´erentes r´ecurrencesExemple : Montrons que (A∩B)∪(A∩C)∪(C∩B) =(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) avecA,B et
C trois parties d’un ensembleE. Inutile de redescendre au niveau de l’´el´ement, on peut s’en sortir
On souhaite d´emontrer qu’une propri´et´eP(n) d´ependant d’un entier n est vraie au-dela` d’undirectement en exploitant le cours. Par distributivit´e, on a :
certain entiern fix´e (qui est souvent 0 ou 1). Pour faire une r´ecurrence,on commence par ´enoncer0
(A∩B)∪(A∩C)∪(C∩B) = [(A∩B)∪(A∩C)]∪(C∩B) clairement la proposition P(n) que l’on va d´emontrer (c’est l’´etape 1, l’introduction). La suite
du raisonnement d´epend du type de r´ecurrence que l’on va mener. D`es qu’on voit une propri´et´e=[A∩(B∪C)]∪(B∩C)
d´ependant d’un entier, on peut se poser la question de la r´ecurrence. Avant de vous lancer dans
=[A∪(B∩C))∩((B∪C)∪(B∩C))
une r´ecurrence, essayez toujours le calcul direct (c’est-`a-dire prouver directement votre propri´et´e
=(A∪B)∩(A∪C)∩(B∪C) en utilisant une propositiondu coursouen effectuant un calcul) qui a l’avantaged’ˆetreplus rapide!
Si le calcul direct n’aboutit pas et qu’on peut enchaˆıner logiquementP(n) etP(n+1) (c’est-`a-dire
queP(n) apporte une information cruciale surP(n+1)) alors on peut envisager une r´ecurrence
faible. On retrouverasouventce raisonnement tout au long de ce livre. Notez par avance un certain
M´ethode 1.2.— Comment prouver et utiliser que x∈A∪B
nombre de cas classiques ou` les r´ecurrences interviendront :
On prend un ´el´ementx. Deux grandes techniques pour prouver que x∈A∪B
1. Premi`ere technique, celle du bilan. On fait une hypoth`ese, on prouve alors que x
est dans un ensembleA. On fait une autre hypoth`ese, on prouve quex est dansB. • Suites : Tr`es tr`es souvent! Notamment lors de la recherche du terme g´en´eral ou pour des
Si nos hypoth`eses recouvrent tous les cas possibles que peut rencontrerx alors on histoires de croissance...
peut affirmer que x appartient a` A∪B.
ie`me• D´erivabilit´e : Typiquement quand on veut calculer la d´eriv´een d’une fonction.2. Deuxi`eme technique, celle de l’ajout d’hypoth`ese. Pour montrer que x∈A∪B, il
suffit de prouver que si x�∈B, alorsx∈A.
• Int´egration : Quand on a une suite d’int´egrales (I ) que l’on veut expliciter. Il est alorsn n∈N
Quand on nous dit quex∈A∪B, on ne sait pas six est dansA ou dansB mais on est
classique de mˆeler int´egration par parties et r´ecurrence.
surˆ qu’il est au moins dans l’un des deux! Pour exploiter cette information, il suffit de
distinguer les cas : ie`me• Matrices:Lar´ecurrenceintervientsurtoutpourlecalculdelapuissancen desmatrices.
— Si x est dans A alors... blabla...
• Polynomˆ es : Quand on a une suite de polynˆomes (P ) dont on veut ´evaluer le degr´e ou— Si x est dans B alors... blabla... n n∈N
la parit´e.
et de faire une conclusion! L’avantage de proc´eder ainsi est de pouvoir exploiter les
propri´et´es de A (dans le premier cas) puis de B (second cas).
• Probabilit´e : La r´ecurrence peut intervenir en probabilit´e quand on ´etudie une exp´erience
qui se passe en plusieurs ´etapes et qu’on a besoin de savoir ce qui s’est pass´e avant pour
ie`meMise en œuvre : exercice 1.3. pouvoir parler de la n ´etape (n tirages sans remise par exemple).
10 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 11abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 11 nn
Méthodes



M´ethode 1.4.— Comment mener une r´ecurrence faible M´ethode 1.6.— Comment mener une r´ecurrence forte
Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes : Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes :
´ ´• Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre (on ne se contente pas de l’´ecrire) que • Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre que P(n ) est vraie.0
P(n ) est vraie.0 ´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´efix.e n un entier sup´erieur a` n et on suppose P(n ),0 0
´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´epr.ouve que notre propri´et´e est h´er´editaire. Cela veut P(n +1), ···, P(n) vraies. On montre que P(n+1) est alors vraie.0
dire qu’on fixe n un entier quelconque sup´erieur a` n et que l’on suppose P(n) ´0 • Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) est vraie et que, pour tout0
vraie. On montre que P(n+1) est alors vraie. entier n sup´erieur `a n , P(n ), ···, P(n) impliquent P(n+1), P(n) est vraie pour0 0
´• Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) est vraie et, pour tout entier n tout entier n sup´erieur `a n d’apr`es le principe de r´ecurrence forte.0 0
sup´erieur `a n ,P(n) impliqueP(n+1),P(n) est vraie pour tout entier n sup´erieur0
`a n d’apr`es le principe de r´ecurrence.0
Mise en œuvre : exercice 1.6.
Mise en œuvre : exercice 1.5.
Exemple : Montrons, par r´ecurrence,que 2×(1+2+3+···+(n−1)+n)= n(n+1) avec n entier
naturel non nul. Pour tout n entier naturel non nul, on appelle doncP(n) la proposition suivante :
Autres raisonnements
P(n) : ” 2×(1+2+3+···+(n−1)+ n) = n(n+1) ”.
M´ethode 1.7.— Comment nierP, exprimerP
Comme 2× 1 = 2 et 1(1 + 1) = 2, P(1) est donc vraie. On suppose P(n) vraie pour un certain Pour nier une propositionP, on va la d´ecomposer (avec des ”ou”, des ”et” et des
entier naturel non nul n. On a : implications) en propositions ´el´ementaires que l’on va nier, remplacer les ou par des et,
les et par des ou, les ”Pourtout” par des ”Il existe” et les ”Il existe” par des ”Pour tout”.
2×(1+2+3+···+(n−1)+ n+(n+1)) = 2×(1+2+3+···+(n−1)+ n)+2(n+1)
= n(n+1)+2(n+1) d’apr`es P(n) Mise en œuvre : exercice 1.7.
=(n+1)((n+1)+1) ce qui prouve P(n+1).
Exemple : Nions la proposition : ”Tous les habitants de la rue du stand qui portent des lunettes
P(1) est vraie et, pour tout entier naturel non nul n,P(n) implique P(n+1). P(n) est donc vraie ou des chapeaux sont des grands math´ematiciens et auront un bon point avant 30 ans”. On peut
pour tout entier naturel n non nul d’apr`es le principe de r´ecurrence. la traduire avec des connecteurs logiques :
∀ habitants de... chapeaux ⇒ matheux et bon point
M´ethode 1.5.— Comment mener une r´ecurrence double
Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes :
´• Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre que P(n ) et P(n +1) sont vraies.0 0 Le cours nous permet d’affirmer que la n´egation est : ”Il existe un habitant de la rue du stand qui
´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´efix.e n un entier sup´erieur `a n et on suppose P(n) et porte des lunettes ou des chapeaux qui n’est pas un grand math´ematicien ou qui n’aura pas de0
P(n+1) vraies. On montre que P(n+2) est alors vraie. bon point avant 30 ans”. Si vous dites que cela donne ”Il existe un habitant de la rue du stand
qui ne porte pas des lunettes et pas de chapeaux non plus qui n’est pas un grand math´ematicien´• Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) et P(n + 1) sont vraies et0 0
ou qui n’aura pas de bon point avant 30 ans”, vous commettez une belle faute de logique car vousque, pour tout entier n sup´erieur `a n ,P(n) et P(n+1) entraˆınentP(n+2), P(n)0
´enoncez une proposition compatible avec celle d’origine puisque que vous ne parlez pas de la mˆemeest alors vraie pour tout entier n sup´erieur `a n d’apr`es le principe de r´ecurrence0
cat´egorie de gens : Il se peut que, dans les habitants de la rue du stand, ceux qui portent desdouble.
lunettes ou des chapeaux soient des grands math´ematiciens et aient un bon point avant 30 ans et
que, parmi les autres, i.e. parmi ceux qui ne portent ni lunettes ni chapeaux, il y ait un pas grand
Mise en œuvre : exercice 1.4. math´ematicien ou un n’ayant pas de bon point avant 30 ans.
12 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 13nn 12 ChapIT r E 1



M´ethode 1.4.— Comment mener une r´ecurrence faible M´ethode 1.6.— Comment mener une r´ecurrence forte
Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes : Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes :
´ ´• Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre (on ne se contente pas de l’´ecrire) que • Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre que P(n ) est vraie.0
P(n ) est vraie.0 ´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´efix.e n un entier sup´erieur `a n et on suppose P(n ),0 0
´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´epr.ouve que notre propri´et´e est h´er´editaire. Cela veut P(n +1), ···, P(n) vraies. On montre que P(n+1) est alors vraie.0
dire qu’on fixe n un entier quelconque sup´erieur `a n et que l’on suppose P(n) ´0 • Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) est vraie et que, pour tout0
vraie. On montre que P(n+1) est alors vraie. entier n sup´erieur `a n , P(n ), ···, P(n) impliquent P(n+1), P(n) est vraie pour0 0
´• Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) est vraie et, pour tout entier n tout entier n sup´erieur `a n d’apr`es le principe de r´ecurrence forte.0 0
sup´erieur `a n ,P(n) impliqueP(n+1),P(n) est vraie pour tout entier n sup´erieur0
`a n d’apr`es le principe de r´ecurrence.0
Mise en œuvre : exercice 1.6.
Mise en œuvre : exercice 1.5.
Exemple : Montrons, par r´ecurrence,que 2×(1+2+3+···+(n−1)+n)= n(n+1) avec n entier
naturel non nul. Pour tout n entier naturel non nul, on appelle doncP(n) la proposition suivante :
Autres raisonnements
P(n) : ” 2×(1+2+3+···+(n−1)+ n) = n(n+1) ”.
M´ethode 1.7.— Comment nierP, exprimerP
Comme 2× 1 = 2 et 1(1 + 1) = 2, P(1) est donc vraie. On suppose P(n) vraie pour un certain Pour nier une propositionP, on va la d´ecomposer (avec des ”ou”, des ”et” et des
entier naturel non nul n. On a : implications) en propositions ´el´ementaires que l’on va nier, remplacer les ou par des et,
les et par des ou, les ”Pourtout” par des ”Il existe” et les ”Il existe” par des ”Pour tout”.
2×(1+2+3+···+(n−1)+ n+(n+1)) = 2×(1+2+3+···+(n−1)+ n)+2(n+1)
= n(n+1)+2(n+1) d’apr`es P(n) Mise en œuvre : exercice 1.7.
=(n+1)((n+1)+1) ce qui prouve P(n+1).
Exemple : Nions la proposition : ”Tous les habitants de la rue du stand qui portent des lunettes
P(1) est vraie et, pour tout entier naturel non nul n,P(n) implique P(n+1). P(n) est donc vraie ou des chapeaux sont des grands math´ematiciens et auront un bon point avant 30 ans”. On peut
pour tout entier naturel n non nul d’apr`es le principe de r´ecurrence. la traduire avec des connecteurs logiques :
∀ habitants de... chapeaux ⇒ matheux et bon point
M´ethode 1.5.— Comment mener une r´ecurrence double
Apr`es l’´etape 1 commune aux diff´erentes r´ecurrences, on suit ces trois autres ´etapes :
´• Etape 2 : L’initialisation. On d´emontre que P(n ) et P(n +1) sont vraies.0 0 Le cours nous permet d’affirmer que la n´egation est : ”Il existe un habitant de la rue du stand qui
´• Etape 3 : L’h´er´edOitn´efix.e n un entier sup´erieur a` n et on suppose P(n) et porte des lunettes ou des chapeaux qui n’est pas un grand math´ematicien ou qui n’aura pas de0
P(n+1) vraies. On montre que P(n+2) est alors vraie. bon point avant 30 ans”. Si vous dites que cela donne ”Il existe un habitant de la rue du stand
qui ne porte pas des lunettes et pas de chapeaux non plus qui n’est pas un grand math´ematicien´• Etape 4 : La conclusion. On dit alors que P(n ) et P(n + 1) sont vraies et0 0
ou qui n’aura pas de bon point avant 30 ans”, vous commettez une belle faute de logique car vousque, pour tout entier n sup´erieur `a n ,P(n) et P(n+1) entraˆınentP(n+2), P(n)0
´enoncez une proposition compatible avec celle d’origine puisque que vous ne parlez pas de la mˆemeest alors vraie pour tout entier n sup´erieur `a n d’apr`es le principe de r´ecurrence0
cat´egorie de gens : Il se peut que, dans les habitants de la rue du stand, ceux qui portent desdouble.
lunettes ou des chapeaux soient des grands math´ematiciens et aient un bon point avant 30 ans et
que, parmi les autres, i.e. parmi ceux qui ne portent ni lunettes ni chapeaux, il y ait un pas grand
Mise en œuvre : exercice 1.4. math´ematicien ou un n’ayant pas de bon point avant 30 ans.
12 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 13abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 13 nn
Méthodes



M´ethode 1.8.— Comment mener un raisonnement par l’absurde/par contra- M´ethode 1.10.— Comment mener un raisonnement par Analyse-Synth`ese
pos´ee On cherche `a prouver qu’il existe un unique objet v´erifiant une propri´et´eP. Le
raisonCe sont deux raisonnements diff´erents mais qui se ressemblent tout de mˆeme : nement par Analyse-Synth`ese se passe en deux ´etapes :
• Par l’absurde : SoitP et Q deux propositions. On sait que P est vraie et • Analyse: Onsupposeavoirtrouv´eunobjetv´erifiantP etontirelescons´equences
on souhaite d´emontrer queQ est vraie. Le raisonnement par l’absurde consiste `a du fait que cet objet v´erifieP. On cherche donc les caract´eristiques de ces objets.
`supposerQ fausse, i.e.Q vraie, et d’aboutir `a une contradiction. On pourra alors A la fin de cette phase, on a une liste d’un certain nombre d’objets susceptibles de
`conclure que l’hypoth`ese ”Q fausse” est une hypoth`ese fausse, ce qui signifie que marcher mais dont on n’est pas surˆ qu’ils marchent. A ce stade la,` ce dont on est
Q est vraie. Ce type de raisonnement est int´eressant quand la propositionQ est surˆ , c’est que les autres, ceux qui ne sont pas dans notre liste, ne v´erifient pas le
plus exploitable que la propositionQ. probl`eme!
• Par contrapos´ee : Pour d´emontrer queP impliqueQ, on supposeQ fausse et • Synth`ese :Dans cette phase, on teste tous les objets de liste pr´ec´edente. Cela
on prouve queP est alors vraie. On peut alors conclure que, par contrapos´ee,P nous permet d’´eliminer les solutions parasites. Si, `a la fin, on obtient un unique
impliqueQ car on a ´equivalence entreP⇒Q etQ⇒P. objet marchant, on aura bien prouv´e l’existence et l’unicit´e d’un objet v´erifiantP.
Mise en œuvre : exercice 1.8. Mise en œuvre : exercice 1.9.
Exemple : Soitf une fonction continue sur un intervalleI deR non r´eduit a` un point. On suppose � Applications
que f ne s’annule pas sur I. Montrons par l’absurde que f est de signe constant sur I. On suppose
donc que f change de signe sur I sans s’annuler. Il existe donc a un ´el´ement de I tel que f(a)< 0
et b un ´el´ement de I tel que f(b) > 0. On a donc f(b)×f(a) < 0 et f continue donc f s’annule M´ethode 1.11.— Comment montrer qu’on a une injection
entre a et b d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires ce qui est absurde! Comme le sugg`ere la d´efinition mˆeme d’une injection, les deux grandes techniques pour
montrer que f est injective sont les suivantes :
1. Premi`ere technique : r´esolution de l’´equation y = f(x). On prend y un
M´ethode 1.9.— Comment mener un raisonnement par ´equivalence ´el´ementquelconque de l’espace d’arriv´ee.On r´esoutl’´equationy = f(x) d’inconnue
Pour montrer queP⇐⇒Q avecP etQ deux propositions, on peut d’abord montrer x ´el´ement de l’espace de d´epart (x est l’inconnue, y est fix´e...) et on montre que,
queP =⇒Q puis on prouve queQ =⇒P. Cela signifie qu’on supposeP vraie et pour n’importe quel y, cette ´equation a au plus une solution.
on montre alors queQ est vraie puis on fait la r´eciproque. On peut aussi raisonner
′ ′2. Deuxi`eme technique : onpart de f(x) = f(x ).Onprendx et x deux´el´ements
directement par ´equivalence. C’est le cas, entre autres, si on a `a notre disposition des
′de l’espace de d´epart tels que f(x)= f(x ). On prouve qu’on a automatiquement
fonctions bijectives (x�→ exp(x) par exemple) ou si on r´esout un syst`eme par op´erations
′x = x . Si tel est le cas, on pourra alors conclure que f est injective.
´el´ementaires.
Ne pas h´esiter aussi `a repr´esenterf si f est une fonction num´erique d’une variable r´eelle,
vous lirez sur le graphe le nombre d’ant´ec´edent pour chaque point de l’espace d’arriv´ee.
Remarque : si on vous demande de prouver l’´equivalence entre trois propri´et´es : `A noter aussi que la compos´ee de deux injections est une injection ainsi que la grande
utilit´e des injections : si on a une injection f entre deux ensembles E et F, il est alorsP ⇐⇒P ⇐⇒P1 2 3 ′ ′ ′´equivalent de prouver x = x (avec x et x deux ´el´ements de E) et f(x)= f(x ). Pour
comparer des ´el´ements de E, il suffit donc d’utiliser f et comparer ceux de F.Inutile de faire toutes les ´equivalences, vous pouvez vous contenter, par exemple, de cette chaˆıne
d’implication :
P =⇒P =⇒P =⇒P Mise en œuvre : exercice 1.2.1 2 3 1
3Exemple : On veut prouver que f : x�→ x +2x+1 est injective apr`es avoir d´evelopp´e (pour a et b
Å ã Å ã2 22 2b 3b b 3b 2 22 deux r´eelsquelconques)la quantit´e a+ + . Onobtient que a+ + = a +b +ab.Exemple : Soit f :x�→ (ln(exp(x)−2)+5) . Montrons que f s’annule une unique fois. Soit x un
2 4 2 4
r´eel strictement sup´erieur `a ln(2), f(x) existe et : ′ ′ 3 ′3 ′Prenons maintenant deux r´eelsx et x tels que f(x) = f(x ). On a alors : x +2x+1 = x +2x +1
3 ′3 ′ ′ 2 ′ ′2soit x −x +2(x−x ) = 0 et donc (x−x )(x +xx +x +2) = 0 puis :
f(x) = 0⇔ ln(exp(x)−2) =−5
Ç åÅ ã2′ ′2⇔ exp(x)−2 = exp(−5) par bijectivit´e de exp x 3x′(x−x ) x+ + +2 =0.⊛
⇔x = ln(exp(−5)+2) et on note que ln(exp(−5)+2)> ln(2) 2 4
14 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 15��nn 14 ChapIT r E 1



M´ethode 1.8.— Comment mener un raisonnement par l’absurde/par contra- M´ethode 1.10.— Comment mener un raisonnement par Analyse-Synth`ese
pos´ee On cherche `a prouver qu’il existe un unique objet v´erifiant une propri´et´eP. Le
raisonCe sont deux raisonnements diff´erents mais qui se ressemblent tout de mˆeme : nement par Analyse-Synth`ese se passe en deux ´etapes :
• Par l’absurde : SoitP et Q deux propositions. On sait que P est vraie et • Analyse: Onsupposeavoirtrouv´eunobjetv´erifiantP etontirelescons´equences
on souhaite d´emontrer queQ est vraie. Le raisonnement par l’absurde consiste `a du fait que cet objet v´erifieP. On cherche donc les caract´eristiques de ces objets.
`supposerQ fausse, i.e.Q vraie, et d’aboutir `a une contradiction. On pourra alors A la fin de cette phase, on a une liste d’un certain nombre d’objets susceptibles de
`conclure que l’hypoth`ese ”Q fausse” est une hypoth`ese fausse, ce qui signifie que marcher mais dont on n’est pas surˆ qu’ils marchent. A ce stade l`a, ce dont on est
Q est vraie. Ce type de raisonnement est int´eressant quand la propositionQ est surˆ , c’est que les autres, ceux qui ne sont pas dans notre liste, ne v´erifient pas le
plus exploitable que la propositionQ. probl`eme!
• Par contrapos´ee : Pour d´emontrer queP impliqueQ, on supposeQ fausse et • Synth`ese :Dans cette phase, on teste tous les objets de liste pr´ec´edente. Cela
on prouve queP est alors vraie. On peut alors conclure que, par contrapos´ee,P nous permet d’´eliminer les solutions parasites. Si, `a la fin, on obtient un unique
impliqueQ car on a ´equivalence entreP⇒Q etQ⇒P. objet marchant, on aura bien prouv´e l’existence et l’unicit´e d’un objet v´erifiantP.
Mise en œuvre : exercice 1.8. Mise en œuvre : exercice 1.9.
Exemple : Soitf une fonction continue sur un intervalleI deR non r´eduit a` un point. On suppose � Applications
que f ne s’annule pas sur I. Montrons par l’absurde que f est de signe constant sur I. On suppose
donc que f change de signe sur I sans s’annuler. Il existe donc a un ´el´ement de I tel que f(a)< 0
et b un ´el´ement de I tel que f(b) > 0. On a donc f(b)×f(a) < 0 et f continue donc f s’annule M´ethode 1.11.— Comment montrer qu’on a une injection
entre a et b d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires ce qui est absurde! Comme le sugg`ere la d´efinition mˆeme d’une injection, les deux grandes techniques pour
montrer que f est injective sont les suivantes :
1. Premi`ere technique : r´esolution de l’´equation y = f(x). On prend y un
M´ethode 1.9.— Comment mener un raisonnement par ´equivalence ´el´ementquelconque de l’espace d’arriv´ee.On r´esoutl’´equationy = f(x) d’inconnue
Pour montrer queP⇐⇒Q avecP etQ deux propositions, on peut d’abord montrer x ´el´ement de l’espace de d´epart (x est l’inconnue, y est fix´e...) et on montre que,
queP =⇒Q puis on prouve queQ =⇒P. Cela signifie qu’on supposeP vraie et pour n’importe quel y, cette ´equation a au plus une solution.
on montre alors queQ est vraie puis on fait la r´eciproque. On peut aussi raisonner
′ ′2. Deuxi`eme technique : onpart de f(x) = f(x ).Onprendx et x deux´el´ements
directement par ´equivalence. C’est le cas, entre autres, si on a `a notre disposition des
′de l’espace de d´epart tels que f(x)= f(x ). On prouve qu’on a automatiquement
fonctions bijectives (x�→ exp(x) par exemple) ou si on r´esout un syst`eme par op´erations
′x = x . Si tel est le cas, on pourra alors conclure que f est injective.
´el´ementaires.
Ne pas h´esiter aussi a` repr´esenterf si f est une fonction num´erique d’une variable r´eelle,
vous lirez sur le graphe le nombre d’ant´ec´edent pour chaque point de l’espace d’arriv´ee.
Remarque : si on vous demande de prouver l’´equivalence entre trois propri´et´es : `A noter aussi que la compos´ee de deux injections est une injection ainsi que la grande
utilit´e des injections : si on a une injection f entre deux ensembles E et F, il est alorsP ⇐⇒P ⇐⇒P1 2 3 ′ ′ ′´equivalent de prouver x = x (avec x et x deux ´el´ements de E) et f(x)= f(x ). Pour
comparer des ´el´ements de E, il suffit donc d’utiliser f et comparer ceux de F.Inutile de faire toutes les ´equivalences, vous pouvez vous contenter, par exemple, de cette chaˆıne
d’implication :
P =⇒P =⇒P =⇒P Mise en œuvre : exercice 1.2.1 2 3 1
3Exemple : On veut prouver que f : x�→ x +2x+1 est injective apr`es avoir d´evelopp´e (pour a et b
Å ã Å ã2 22 2b 3b b 3b 2 22 deux r´eelsquelconques)la quantit´e a+ + . Onobtient que a+ + = a +b +ab.Exemple : Soit f :x�→ (ln(exp(x)−2)+5) . Montrons que f s’annule une unique fois. Soit x un
2 4 2 4
r´eel strictement sup´erieur `a ln(2), f(x) existe et : ′ ′ 3 ′3 ′Prenons maintenant deux r´eelsx et x tels que f(x) = f(x ). On a alors : x +2x+1 = x +2x +1
3 ′3 ′ ′ 2 ′ ′2soit x −x +2(x−x ) = 0 et donc (x−x )(x +xx +x +2) = 0 puis :
f(x) = 0⇔ ln(exp(x)−2) =−5
Ç åÅ ã2′ ′2⇔ exp(x)−2 = exp(−5) par bijectivit´e de exp x 3x′(x−x ) x+ + +2 =0.⊛
⇔x = ln(exp(−5)+2) et on note que ln(exp(−5)+2)> ln(2) 2 4
14 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 15��abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 15 nn
MéthodesÅ ã Å ã2 2′ ′2 ′ ′2x 3x x 3x
Or x+ + ≥ 0 donc x+ + + 2 > 0 (donc non nul). De ⊛, on en d´eduit M´ethode 1.13.— Comment montrer qu’on a une bijection2 4 2 4
′ Voici les trois grandes techniques pour montrer que f est bijective :que x =x , f est donc bien injective. Un petit dessin pour conclure illustrant une injection et une
non-injection : 1. Premi`ere technique : injection et surjection. C’est la m´ethode de base. On
montre que f est injective puis que f est surjective (☞ M´ethodes pr´ec´edentes) et
hop, f est une bijection par d´efinition.
2. Deuxi`emetechnique:r´esolutiondel’´equation y = f(x).Onr´esoutl’´equation
y = f(x) o`u y est un ´el´ement quelconque fix´e de l’ensemble d’arriv´ee et ou` x est
l’inconnue et appartient `a l’ensemble de d´epart. Montrer que f est une bijection
revient `a prouver que cette ´equation a toujours exactement une solution.
3. Troisi`emetechnique:encherchant lar´eciproque.Sionexpliciteunefonction
g telle que g◦f = id et f◦g = id alors on peut affirmer que f est bijective (etG F
g est sa r´eciproque au passage).
Injection Pas injection
Ne pas h´esiteraussi de nouveaua` repr´esenter f si f est une fonction d’une variabler´eelle,
vous lirez sur le graphe si chaque point de l’espace d’arriv´ee est atteint pr´ecis´ement une
fois, pensez aussi dans ce cas au th´eor`eme de la bijection continue. Souvenez-vous aussi
que la compos´ee de deux bijections est une bijection.
M´ethode 1.12.— Comment montrer qu’on a une surjection
Pour montrer que f est surjective, on r´esout l’´equation y = f(x) o`u y est un ´el´ement
Mise en œuvre : exercice 1.11, exercice 1.10 et aussi exercice 1.12.quelconquefix´edel’ensembled’arriv´eeetou`xestl’inconnueetappartient`al’ensemblede
d´epart. Montrer quef est une surjection revient `a prouver que cette ´equation a toujours
au moins une solution (au moins... donc si vous en trouvez 1, 2 ou 10, ¸ca rentre dans le Exemple : Montrons que
cadre...c’estjuste0qu’onneveutpas!).Nepash´esiteraussidenouveaua`repr´esenterf si ß
3 3C → Cf est une fonctionnum´eriqued’une variabler´eelle,vouslirez surle graphesichaquepoint 3 3f : est bijective. Soit (a,b,c)∈C . Soit (x,y,z)∈C , on a :
(x,y,z) �→ (x+y,y,z−y)de l’espace d’arriv´ee est atteint au moins une fois. Souvenez-vous aussi que la compos´ee
`de deux surjections est une surjection. A noter aussi la grande utilit´e des surjections :
f(x,y,z)= (a,b,c)⇔ (x+y,y,z−y) = (a,b,c)si on a une surjection f entre deux ensembles E et F, tous les ´el´ements de F peuvent 
s’´ecrire sous la forme f(x) avec x dans E. On relie par cette m´ethode les ´el´ements de E x+y = a
et ceux de F. ⇔ y = b

z−y = c
⇔ (x,y,z) =(a−b,b,c+b)Mise en œuvre : exercice 1.2.
Tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee a donc pr´ecis´ement un ant´ec´edent par f qui est donc bijective.
Exemple : Soit E un ensemble non vide et f une application de E dans E telle que f◦f◦f =f.
On supposef injective; montrons quef est alors surjective. Prenonsy dansE et cherchonsx∈E
M´ethode 1.14.— Comment exprimer la r´eciproque
tel que f(x) =y. Comme (f ◦f ◦f)(y) =f(y) alors f((f ◦f)(y)) =f(y). Or f est injective donc
Cela peut ˆetre imm´ediat par composition car on sait que, si f et g sont bijectives et si
(f◦f)(y) =y (car ils sont tous les deux ant´ec´edents de f(y) par l’injection f). On pose x =f(y), −1 −1f◦ g existe alors f◦ g est bijective et sa r´eciproque est g ◦ f . Autre chose `a noter
on a f(x)= y. Tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee a au moins un ant´ec´edent par f qui est donc
avant de faire de fa¸con classique, si g◦ f = id et f◦ g = id alors on peut affirmerG F
surjective. Terminons par une illustration d’une surjection et d’une non-surjection : −1que f est bijective et f est g. La plupart du temps, pour expliciter une r´eciproque, on
r´esout l’´equation y = f(x) d’inconnue x ´el´ement du d´epart et ou` y est un ´el´ement fix´e
de l’espace d’arriv´ee. On trouve une unique solution x qu’on exprime en fonction de y.
On a donc : y = f(x)⇔ x = h(y) avec h une fonction... qui s’av`ere ˆetre la r´eciproque
cherch´ee! Attention, ne parlez pas de la r´eciproque tant que vous n’avez pas prouv´e son
existence!
Mise en œuvre : exercice 1.11.
surjection Pas surjection
�� 16 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 17nn 16 ChapIT r E 1Å ã Å ã2 2′ ′2 ′ ′2x 3x x 3x
Or x+ + ≥ 0 donc x+ + + 2 > 0 (donc non nul). De ⊛, on en d´eduit M´ethode 1.13.— Comment montrer qu’on a une bijection2 4 2 4
′ Voici les trois grandes techniques pour montrer que f est bijective :que x =x , f est donc bien injective. Un petit dessin pour conclure illustrant une injection et une
non-injection : 1. Premi`ere technique : injection et surjection. C’est la m´ethode de base. On
montre que f est injective puis que f est surjective (☞ M´ethodes pr´ec´edentes) et
hop, f est une bijection par d´efinition.
2. Deuxi`emetechnique:r´esolutiondel’´equation y = f(x).Onr´esoutl’´equation
y = f(x) o`u y est un ´el´ement quelconque fix´e de l’ensemble d’arriv´ee et ou` x est
l’inconnue et appartient a` l’ensemble de d´epart. Montrer que f est une bijection
revient `a prouver que cette ´equation a toujours exactement une solution.
3. Troisi`emetechnique:encherchant lar´eciproque.Sionexpliciteunefonction
g telle que g◦f = id et f◦g = id alors on peut affirmer que f est bijective (etG F
g est sa r´eciproque au passage).
Injection Pas injection
Ne pas h´esiteraussi de nouveaua` repr´esenter f si f est une fonction d’une variabler´eelle,
vous lirez sur le graphe si chaque point de l’espace d’arriv´ee est atteint pr´ecis´ement une
fois, pensez aussi dans ce cas au th´eor`eme de la bijection continue. Souvenez-vous aussi
que la compos´ee de deux bijections est une bijection.
M´ethode 1.12.— Comment montrer qu’on a une surjection
Pour montrer que f est surjective, on r´esout l’´equation y = f(x) o`u y est un ´el´ement
Mise en œuvre : exercice 1.11, exercice 1.10 et aussi exercice 1.12.quelconquefix´edel’ensembled’arriv´eeetou`xestl’inconnueetappartienta`l’ensemblede
d´epart. Montrer quef est une surjection revient `a prouver que cette ´equation a toujours
au moins une solution (au moins... donc si vous en trouvez 1, 2 ou 10, ¸ca rentre dans le Exemple : Montrons que
cadre...c’estjuste0qu’onneveutpas!).Nepash´esiteraussidenouveaua`repr´esenterf si ß
3 3C → Cf est une fonctionnum´eriqued’une variabler´eelle,vouslirez surle graphesichaquepoint 3 3f : est bijective. Soit (a,b,c)∈C . Soit (x,y,z)∈C , on a :
(x,y,z) �→ (x+y,y,z−y)de l’espace d’arriv´ee est atteint au moins une fois. Souvenez-vous aussi que la compos´ee
`de deux surjections est une surjection. A noter aussi la grande utilit´e des surjections :
f(x,y,z)= (a,b,c)⇔ (x+y,y,z−y) = (a,b,c)si on a une surjection f entre deux ensembles E et F, tous les ´el´ements de F peuvent 
s’´ecrire sous la forme f(x) avec x dans E. On relie par cette m´ethode les ´el´ements de E x+y = a
et ceux de F. ⇔ y = b

z−y = c
⇔ (x,y,z) =(a−b,b,c+b)Mise en œuvre : exercice 1.2.
Tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee a donc pr´ecis´ement un ant´ec´edent par f qui est donc bijective.
Exemple : Soit E un ensemble non vide et f une application de E dans E telle que f◦f◦f =f.
On supposef injective; montrons quef est alors surjective. Prenonsy dansE et cherchonsx∈E
M´ethode 1.14.— Comment exprimer la r´eciproque
tel que f(x) =y. Comme (f ◦f ◦f)(y) =f(y) alors f((f ◦f)(y)) =f(y). Or f est injective donc
Cela peut ˆetre imm´ediat par composition car on sait que, si f et g sont bijectives et si
(f◦f)(y) =y (car ils sont tous les deux ant´ec´edents de f(y) par l’injection f). On pose x =f(y), −1 −1f◦ g existe alors f◦ g est bijective et sa r´eciproque est g ◦ f . Autre chose a` noter
on a f(x)= y. Tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee a au moins un ant´ec´edent par f qui est donc
avant de faire de fa¸con classique, si g◦ f = id et f◦ g = id alors on peut affirmerG F
surjective. Terminons par une illustration d’une surjection et d’une non-surjection : −1que f est bijective et f est g. La plupart du temps, pour expliciter une r´eciproque, on
r´esout l’´equation y = f(x) d’inconnue x ´el´ement du d´epart et ou` y est un ´el´ement fix´e
de l’espace d’arriv´ee. On trouve une unique solution x qu’on exprime en fonction de y.
On a donc : y = f(x)⇔ x = h(y) avec h une fonction... qui s’av`ere ˆetre la r´eciproque
cherch´ee! Attention, ne parlez pas de la r´eciproque tant que vous n’avez pas prouv´e son
existence!
Mise en œuvre : exercice 1.11.
surjection Pas surjection
�� 16 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 17abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 17 nn
Méthodes´
Vrai/Faux Enonc´e des exercices
Vrai Faux Les ensembles
Exercice 1.1 : Soit E un ensemble et A, B et C trois parties de E.1. On a{1;3}⊂{1;2;{1;3}}.
1. Montrer que (B\C)∪(A\C) =(B∪A)\C.
2. On a A⊂A∪B. 2. Montrer que (B∪A)∩(B∪C)∩(C∪A) = (B∩A)∪(B∩C)∪(C∩A).
ß3. On a A⊂A∩B.
P(E) → P(A)×P(B)
Exercice 1.2 : Soit f : avec E un ensemble fini et (A,B) une
χ �→ (χ∩A,χ∩B)4. SiP(n) impliqueP(n+1) pour tout entier natureln alorsP(n)
partition de E. Montrer que f est surjective.est vraie pour tout entier naturel n.
5. On peut d´emontrer par r´ecurrence une propri´et´e d´ependant Exercice 1.3 : Soit E un ensemble non vide. Pour toute partie A de E, on d´efinit l’application
d’un r´eel. caract´eristique de A, not´ee χ , par :A

6. SiP(n) etP(n+1)impliquentP(n+2)pour tout entier naturel E → {0;1} ßnetqueP(0)estvraiealorsP(n)estvraiepourtoutentiernaturel χ : 0 si x�∈AA x �→n. 1 si x∈A
7. Pour faire une r´ecurrence, on va supposerP(n) vraie pour tout Soit A,B et C trois parties de E.
entier naturel n dans la phase d’h´er´edit´e.
1. Montrer que si χ =χ alors A =B.A B
22. Montrer que χ =χ , χ = 1−χ , χ =χ χ et χ =χ +χ −χ .A A A∩B A B A∪B A B A∩B8. Si on d´emontre qu’une fonction f n’est pas injective alors on A A
3. En d´eduire que (A△B)△C = A△(B△C) en d´efinissant A△B comme ´etant l’ensemble despeut affirmer qu’elle est surjective.
´el´ements qui sont ou bien dans A, ou bien dans B, soit (A∪B)\(A∩B).√ 29. La fonction valeur absolue est le prolongement de x �→ ( x)
surR.
R´ecurrences
−1
10. Si f et g sont bijectives et composables alors (g◦f) est
Exercice 1.4 : Soit a un r´eel. On consid`ere la suite (u ) d´efinie par :n n∈N−1 −1g ◦f .
u =2,u = 2cos(a) et ∀n∈N,u = 2cos(a)u −u .0 1 n+2 n+1 n
D´emontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u = 2cos(na).n
Exercice 1.5 : Expliciter (u ) la suite d´efinie par :n n∈N
u = 1 et, pour tout entier naturel n, u =u +2n+3.0 n+1 n
Exercice 1.6 : On d´efinit la suite (u ) par :m m∈N
m�
u = 1 et ∀m∈N,u = u .0 m+1 k
k=0
n−1Soit n un entier naturel non nul, v´erifiez que u =2 .n
Autres raisonnements
⋆Exercice 1.7 : Nier la proposition ”∀ε∈R ,∃n ∈N tel que ∀n∈N,n≥n ⇒|U −l|<ε”.0 0 n+
18 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 19nn 18 ChapIT r E 1´
Vrai/Faux Enonc´e des exercices
Vrai Faux Les ensembles
Exercice 1.1 : Soit E un ensemble et A, B et C trois parties de E.1. On a{1;3}⊂{1;2;{1;3}}.
1. Montrer que (B\C)∪(A\C) =(B∪A)\C.
2. On a A⊂A∪B. 2. Montrer que (B∪A)∩(B∪C)∩(C∪A) = (B∩A)∪(B∩C)∪(C∩A).
ß3. On a A⊂A∩B.
P(E) → P(A)×P(B)
Exercice 1.2 : Soit f : avec E un ensemble fini et (A,B) une
χ �→ (χ∩A,χ∩B)4. SiP(n) impliqueP(n+1) pour tout entier natureln alorsP(n)
partition de E. Montrer que f est surjective.est vraie pour tout entier naturel n.
5. On peut d´emontrer par r´ecurrence une propri´et´e d´ependant Exercice 1.3 : Soit E un ensemble non vide. Pour toute partie A de E, on d´efinit l’application
d’un r´eel. caract´eristique de A, not´ee χ , par :A

6. SiP(n) etP(n+1)impliquentP(n+2)pour tout entier naturel E → {0;1} ßnetqueP(0)estvraiealorsP(n)estvraiepourtoutentiernaturel χ : 0 si x�∈AA x �→n. 1 si x∈A
7. Pour faire une r´ecurrence, on va supposerP(n) vraie pour tout Soit A,B et C trois parties de E.
entier naturel n dans la phase d’h´er´edit´e.
1. Montrer que si χ =χ alors A =B.A B
22. Montrer que χ =χ , χ = 1−χ , χ =χ χ et χ =χ +χ −χ .A A A∩B A B A∪B A B A∩B8. Si on d´emontre qu’une fonction f n’est pas injective alors on A A
3. En d´eduire que (A△B)△C = A△(B△C) en d´efinissant A△B comme ´etant l’ensemble despeut affirmer qu’elle est surjective.
´el´ements qui sont ou bien dans A, ou bien dans B, soit (A∪B)\(A∩B).√ 29. La fonction valeur absolue est le prolongement de x �→ ( x)
surR.
R´ecurrences
−1
10. Si f et g sont bijectives et composables alors (g◦f) est
Exercice 1.4 : Soit a un r´eel. On consid`ere la suite (u ) d´efinie par :n n∈N−1 −1g ◦f .
u =2,u = 2cos(a) et ∀n∈N,u = 2cos(a)u −u .0 1 n+2 n+1 n
D´emontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u = 2cos(na).n
Exercice 1.5 : Expliciter (u ) la suite d´efinie par :n n∈N
u = 1 et, pour tout entier naturel n, u =u +2n+3.0 n+1 n
Exercice 1.6 : On d´efinit la suite (u ) par :m m∈N
m�
u = 1 et ∀m∈N,u = u .0 m+1 k
k=0
n−1Soit n un entier naturel non nul, v´erifiez que u =2 .n
Autres raisonnements
⋆Exercice 1.7 : Nier la proposition ”∀ε∈R ,∃n ∈N tel que ∀n∈N,n≥n ⇒|U −l|<ε”.0 0 n+
18 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 19abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 19 nnExercice 1.8 : 1. Soit z et w deux complexes tels que w×z = 0. Montrer que z = 0 ou w = 0. Ex. 1.6
m m+1′ 1−q2. Soit f une fonction d´erivable sur R. On rappelle la propri´et´e ”Si f est une fonction positive kL`a, c’est de la r´ecurrence forte! Cette fois-ci, vous aurez besoin de la formule q =
alorsf est croissante”.Donner la contrapos´eede cette propri´et´eet l’´ecrireavecdes quantificateurs. 1−q
k=1
vraie pour tout r´eel (complexe aussi pour ceux qui n’ont pas encore lu le livre et qui aurait fait
Exercice 1.9 : Soit f une fonction deR dansR. Montrer qu’il existe un unique couple de fonctions ”Maths expertes” l’an pass´e) q diff´erent de 1.
(g,h) deR dansR telle que g soit paire, h impaire et f = g +h.
Ex. 1.7
Pensez bien `a changer les ou en et, les et en ou... et `a bien parler de la mˆeme cat´egorie
Applications d’objets...
Exercice 1.10 : Soit E un ensemble non vide et f,g et h des applications de E dans E. Ex. 1.8
1. Montrer que g◦f injective ⇒ f injective et g◦f surjective ⇒ g surjective. Et si on faisait une contrapos´ee pour la premi`ere question?
2. En d´eduire que h◦g◦f et g◦f ◦h injectives et f ◦h◦g surjective ⇒ g,f et h bijectives.
Ex. 1.9
3. Montrer que g◦f et h◦g bijectives ⇒ f,g et h bijectives. Le plus simple est probablement de partir sur un raisonnement par analyse/synth`ese. Si vous
 ne vous souvenez pas ce qu’est une fonction paire, ne pas h´esiter a` aller lire le chapitre ”Rappels
 R\{2}→ R\{2} d’analyse : fonctions usuelles et les r´eels”.Å ã
2x−1Exercice 1.11 : Soit h : .
 x �→ Ex. 1.10x−2
−1 Pensez `a bien exploiter les propri´et´es vues dans la premi`ere question. Pour la premi`ere question,1. Montrer que h est bijective et expliciter h .
bien relire les m´ethodes ”Comment montrer qu’on a une injection”, ”Comment montrer qu’on a2. Soit a∈R\{−1;1}. Trouver toutes les fonctions f d´efinies surR\{2} telles que, pour tout x
une surjection”.xdeR\{2}, f(h(x))−af(x) = e .
Ex. 1.11
2Exercice 1.12 : Soit f : x �→ ax + b +|x| avec (a,b) ∈ R . Trouver une condition n´ecessaire et Pour la premi`ere question, ne proc´edez pas en deux temps. D´emontrez que h est bijective en
−1 −1suffisante sur a et b pour que f soit bijective puis trouver alors f . explicitant sa r´eciproque. Dans la deuxi`eme, pensez `a faire intervenir h .
Ex. 1.12
Utilisez le th´eor`eme de la bijection continue (que vous appelez th´eor`eme de la valeur interm´ediaire
Indications si vous venez juste de d´ebarquer de terminale). D´erivez si vous le pouvez!
Ex. 1.1
Faire un raisonnement par double inclusion pour la premi`ere question... mais pas besoin de
revenir aux ´el´ements pour la seconde! Ne pas h´esiter a` exploiter les op´erations sur les ensembles
(distributivit´e et compagnie...).
Ex. 1.2
Montrer que f est injective puis exploiter le nombre d’´el´ements pour conclure.
Ex. 1.3
Si f et g sont deux applications d’ensemble de d´epart E, f = g signifie que f(x)= g(x) pour
tout x de E. Calculer donc χ (x)×χ (x),χ (x),χ (x) (en pensant a` distinguer les cas afinA A A∩BA
de pouvoir expliciter ces objets). Pour la derni`ere question, pensez a` faire la synth`ese de ce qui a
´et´e vue.
Ex. 1.4
On rappelle que cos(c+d) est cos(c)cos(d)−sin(c)sin(d), cela pourrait servir! On part
clairement sur une r´ecurrence double dans cet exercice.
Ex. 1.5
Bon, c’est bien suˆr une r´ecurrence... mais le probl`eme de la r´ecurrence est qu’il faut savoir
ce qu’on veut prouver afin de le faire! Pour intuiter une formule, calculez les premiers termes et
observez!
20 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 21nn 20 ChapIT r E 1Exercice 1.8 : 1. Soit z et w deux complexes tels que w×z = 0. Montrer que z = 0 ou w = 0. Ex. 1.6
m m+1′ 1−q2. Soit f une fonction d´erivable sur R. On rappelle la propri´et´e ”Si f est une fonction positive kLa,` c’est de la r´ecurrence forte! Cette fois-ci, vous aurez besoin de la formule q =
alorsf est croissante”.Donner la contrapos´eede cette propri´et´eet l’´ecrireavecdes quantificateurs. 1−q
k=1
vraie pour tout r´eel (complexe aussi pour ceux qui n’ont pas encore lu le livre et qui aurait fait
Exercice 1.9 : Soit f une fonction deR dansR. Montrer qu’il existe un unique couple de fonctions ”Maths expertes” l’an pass´e) q diff´erent de 1.
(g,h) deR dansR telle que g soit paire, h impaire et f = g +h.
Ex. 1.7
Pensez bien `a changer les ou en et, les et en ou... et a` bien parler de la mˆeme cat´egorie
Applications d’objets...
Exercice 1.10 : Soit E un ensemble non vide et f,g et h des applications de E dans E. Ex. 1.8
1. Montrer que g◦f injective ⇒ f injective et g◦f surjective ⇒ g surjective. Et si on faisait une contrapos´ee pour la premi`ere question?
2. En d´eduire que h◦g◦f et g◦f ◦h injectives et f ◦h◦g surjective ⇒ g,f et h bijectives.
Ex. 1.9
3. Montrer que g◦f et h◦g bijectives ⇒ f,g et h bijectives. Le plus simple est probablement de partir sur un raisonnement par analyse/synth`ese. Si vous
 ne vous souvenez pas ce qu’est une fonction paire, ne pas h´esiter a` aller lire le chapitre ”Rappels
 R\{2}→ R\{2} d’analyse : fonctions usuelles et les r´eels”.Å ã
2x−1Exercice 1.11 : Soit h : .
 x �→ Ex. 1.10x−2
−1 Pensez `a bien exploiter les propri´et´es vues dans la premi`ere question. Pour la premi`ere question,1. Montrer que h est bijective et expliciter h .
bien relire les m´ethodes ”Comment montrer qu’on a une injection”, ”Comment montrer qu’on a2. Soit a∈R\{−1;1}. Trouver toutes les fonctions f d´efinies surR\{2} telles que, pour tout x
une surjection”.xdeR\{2}, f(h(x))−af(x) = e .
Ex. 1.11
2Exercice 1.12 : Soit f : x �→ ax + b +|x| avec (a,b) ∈ R . Trouver une condition n´ecessaire et Pour la premi`ere question, ne proc´edez pas en deux temps. D´emontrez que h est bijective en
−1 −1suffisante sur a et b pour que f soit bijective puis trouver alors f . explicitant sa r´eciproque. Dans la deuxi`eme, pensez `a faire intervenir h .
Ex. 1.12
Utilisez le th´eor`eme de la bijection continue (que vous appelez th´eor`eme de la valeur interm´ediaire
Indications si vous venez juste de d´ebarquer de terminale). D´erivez si vous le pouvez!
Ex. 1.1
Faire un raisonnement par double inclusion pour la premi`ere question... mais pas besoin de
revenir aux ´el´ements pour la seconde! Ne pas h´esiter `a exploiter les op´erations sur les ensembles
(distributivit´e et compagnie...).
Ex. 1.2
Montrer que f est injective puis exploiter le nombre d’´el´ements pour conclure.
Ex. 1.3
Si f et g sont deux applications d’ensemble de d´epart E, f = g signifie que f(x)= g(x) pour
tout x de E. Calculer donc χ (x)×χ (x),χ (x),χ (x) (en pensant `a distinguer les cas afinA A A∩BA
de pouvoir expliciter ces objets). Pour la derni`ere question, pensez a` faire la synth`ese de ce qui a
´et´e vue.
Ex. 1.4
On rappelle que cos(c+d) est cos(c)cos(d)−sin(c)sin(d), cela pourrait servir! On part
clairement sur une r´ecurrence double dans cet exercice.
Ex. 1.5
Bon, c’est bien suˆr une r´ecurrence... mais le probl`eme de la r´ecurrence est qu’il faut savoir
ce qu’on veut prouver afin de le faire! Pour intuiter une formule, calculez les premiers termes et
observez!
20 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 21abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 21 nn






Corrig´e des vrai/faux Corrig´e des exercices
Exercice 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Soit x un ´el´ement de (B\C)∪(A\C).
F V F F F F F F F F
• Cas 1 : On suppose que x appartient a` B\C. x est dans B donc en
1. On a{1;3}∈{1;2;{1;3}} (donc∈ et pas⊂).{1;3} est l’un des ´el´ements de{1;2;{1;3}} (c’est particulier dans B ∪ A. x n’appartient pas a` C. x appartient donc `a
(B∪A)\C.la d´efnition de ∈) mais 3 est un ´el´ement de {1;3} que l’on ne trouve pas dans{1;2;{1;3}} (donc
on n’a pas ⊂). • Cas 2 : On suppose que x appartient `a A\C. On prouve de mˆeme que
2. On a efectivement A⊂A∪B, A est une partie du grand ensemble A∪B. x appartient a` (B∪A)\C.
3. A n’est pas une partie de A∩B, en revanche, on a A∩B⊂A.
Bilan : x appartient `a (B∪A)\C ce qui prouve que l’ensemble (B\C)∪4. SiP(n) impliqueP(n+1) pour tout entier naturel n alors on ne peut pas afrmer pour autant
(A\C) est inclus dans (B∪A)\C.queP(n)estvraiepourtoutentiernatureln,ilmanquel’initialisationpourlancerleraisonnement.
Supposons d´esormais que x est un ´el´ement de (B∪A)\C. x n’appartient5. On ne peut pas d´emontrer par r´ecurrence une propri´et´e d´ependant d’un r´eel, les r´eels ne se
donc pas a` C et x appartient `a B∪A.g´en´erent pas par r´ecurrence. Pour d´emontrer une propri´et´e par r´ecurrence, elle doit d´ependre d’un
entier (d’un seul!).
• Cas1: Onsupposequexappartient`aB.xestdansB etxn’appartient
6. Si P(n) et P(n+1) impliquent P(n+2) pour tout entier naturel n et que P(0) est vraie alors
pas `aC. x appartient donc a` B\C.
on ne peut pas afrmer pour autant que P(n) est vraie pour tout entier naturel n, il manque une
• Cas 2 : On suppose que x appartient `a A. On prouve de mˆeme que xinitialisation compl`ete pour lancer le raisonnement (il fallait prouverP(0) et P(1) aussi!).
appartient a` A\C.7. Pour faire une r´ecurrence, on va supposer P(n) vraie pour un certain entier naturel n dans la
phase d’h´er´edit´e et pas pour tout (sinon, on supposeP(n+1) en particulier pour le prouver!).
Bilan : x appartient `a (B\C)∪ (A\C) ce qui prouve que : (B∪A)\C est
8. Si on d´emontre qu’une fonctionf n’est pas injective, on ne peut pas afrmer pour autant qu’elle
inclus dans (B\C)∪(A\C).
est surjective, ce n’est pas le contraire. Elle peut ˆetre ni injective, ni surjective. C’est le cas de cos
Pardoubleinclusion,onadoncprouv´eque:(B\C)∪(A\C) = (B∪A)\C.
par exemple ou de :
2. En utilisant la distributivit´e de l’union sur l’intersection, on obtient :
(B∪A)∩(B∪C) = B∪(C∩A).
Par distributivit´e, on en d´eduit :
(B∪A)∩(B∪C)∩(C∪A) =(B∪(C∩A))∩(C∪A)
n’est ni injective... ni surjective!
=(B∩(C∪A))∪((C∩A)∩(C∪A))√
29. La fonction valeur absolue est un prolongement de x→ ( x) surR, mais pas le prolongement
√ =(B∩(C∪A))∪(C∩A)2de x → ( x) sur R, on peut prolonger d’autres fac¸ons.... par exemple avec la fonction identit´e.
= ((B∩C)∪(B∩A))∪(C∩A).Bien retenir : unicit´e de la restriction mais pas du prolongement.
−1 −1 −1 −1 −110. Si f et g sont bijectives et composables alors (g◦f) est f ◦g et pas g ◦f .

Exercice 1.2
Erreurs classiques
On appelle n le cardinal de E (i.e. le nombre d’´el´ements deux-a`-deux
n• Oublier les initiations de r´ecurrence. distincts de E), p celui de A et q celui de B. Card (P(E)) est 2 (cf. chapitre
p+q”D´enombrement” un peu plus loin), soit 2 car (A,B) forme une partition• Confondre non injectif et surjectif.
−1 de E. On a donc :−1 −1• Confondre (g◦f) et f ◦g .
• Confondre appartenance et inclusion, ´el´ement et ensemble. Card (P(E)) =Card (P(A)×P(B))
P(E) est un ensemble fini, il suffit donc de prouver que f est injective pour
′d´emontrer que f est une surjection. Soit χ et χ deux ´el´ements de P(E) tels
′ ′ ′que f(χ) =f(χ ). On a donc (χ∩A,χ∩B) = (χ ∩A,χ ∩B) ce qui signifie
■■ 22 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLES ET DES APPLICATIONS 23nn ChapIT r E 1






Corrig´e des vrai/faux Corrig´e des exercices
Exercice 1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Soit x un ´el´ement de (B\C)∪(A\C).
F V F F F F F F F F
• Cas 1 : On suppose que x appartient `a B\C. x est dans B donc en
1. On a{1;3}∈{1;2;{1;3}} (donc∈ et pas⊂).{1;3} est l’un des ´el´ements de{1;2;{1;3}} (c’est particulier dans B ∪ A. x n’appartient pas a` C. x appartient donc a`
(B∪A)\C.la d´efnition de ∈) mais 3 est un ´el´ement de {1;3} que l’on ne trouve pas dans{1;2;{1;3}} (donc
on n’a pas ⊂). • Cas 2 : On suppose que x appartient `a A\C. On prouve de mˆeme que
2. On a efectivement A⊂A∪B, A est une partie du grand ensemble A∪B. x appartient a` (B∪A)\C.
3. A n’est pas une partie de A∩B, en revanche, on a A∩B⊂A.
Bilan : x appartient `a (B∪A)\C ce qui prouve que l’ensemble (B\C)∪4. SiP(n) impliqueP(n+1) pour tout entier naturel n alors on ne peut pas afrmer pour autant
(A\C) est inclus dans (B∪A)\C.queP(n)estvraiepourtoutentiernatureln,ilmanquel’initialisationpourlancerleraisonnement.
Supposons d´esormais que x est un ´el´ement de (B∪A)\C. x n’appartient5. On ne peut pas d´emontrer par r´ecurrence une propri´et´e d´ependant d’un r´eel, les r´eels ne se
donc pas `a C et x appartient `a B∪A.g´en´erent pas par r´ecurrence. Pour d´emontrer une propri´et´e par r´ecurrence, elle doit d´ependre d’un
entier (d’un seul!).
• Cas1: Onsupposequexappartient`aB.xestdansB etxn’appartient
6. Si P(n) et P(n+1) impliquent P(n+2) pour tout entier naturel n et que P(0) est vraie alors
pas `aC. x appartient donc `a B\C.
on ne peut pas afrmer pour autant que P(n) est vraie pour tout entier naturel n, il manque une
• Cas 2 : On suppose que x appartient a` A. On prouve de mˆeme que xinitialisation compl`ete pour lancer le raisonnement (il fallait prouverP(0) et P(1) aussi!).
appartient `a A\C.7. Pour faire une r´ecurrence, on va supposer P(n) vraie pour un certain entier naturel n dans la
phase d’h´er´edit´e et pas pour tout (sinon, on supposeP(n+1) en particulier pour le prouver!).
Bilan : x appartient `a (B\C)∪ (A\C) ce qui prouve que : (B∪A)\C est
8. Si on d´emontre qu’une fonctionf n’est pas injective, on ne peut pas afrmer pour autant qu’elle
inclus dans (B\C)∪(A\C).
est surjective, ce n’est pas le contraire. Elle peut ˆetre ni injective, ni surjective. C’est le cas de cos
Pardoubleinclusion,onadoncprouv´eque:(B\C)∪(A\C) = (B∪A)\C.
par exemple ou de :
2. En utilisant la distributivit´e de l’union sur l’intersection, on obtient :
(B∪A)∩(B∪C) = B∪(C∩A).
Par distributivit´e, on en d´eduit :
(B∪A)∩(B∪C)∩(C∪A) =(B∪(C∩A))∩(C∪A)
n’est ni injective... ni surjective!
=(B∩(C∪A))∪((C∩A)∩(C∪A))√
29. La fonction valeur absolue est un prolongement de x→ ( x) surR, mais pas le prolongement
√ =(B∩(C∪A))∪(C∩A)2de x → ( x) sur R, on peut prolonger d’autres fac¸ons.... par exemple avec la fonction identit´e.
= ((B∩C)∪(B∩A))∪(C∩A).Bien retenir : unicit´e de la restriction mais pas du prolongement.
−1 −1 −1 −1 −110. Si f et g sont bijectives et composables alors (g◦f) est f ◦g et pas g ◦f .

Exercice 1.2
Erreurs classiques
On appelle n le cardinal de E (i.e. le nombre d’´el´ements deux-`a-deux
n• Oublier les initiations de r´ecurrence. distincts de E), p celui de A et q celui de B. Card (P(E)) est 2 (cf. chapitre
p+q”D´enombrement” un peu plus loin), soit 2 car (A,B) forme une partition• Confondre non injectif et surjectif.
−1 de E. On a donc :−1 −1• Confondre (g◦f) et f ◦g .
• Confondre appartenance et inclusion, ´el´ement et ensemble. Card (P(E)) =Card (P(A)×P(B))
P(E) est un ensemble fini, il suffit donc de prouver que f est injective pour
′d´emontrer que f est une surjection. Soit χ et χ deux ´el´ements de P(E) tels
′ ′ ′que f(χ) =f(χ ). On a donc (χ∩A,χ∩B) = (χ ∩A,χ ∩B) ce qui signifie
■■ 22 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLES ET DES APPLICATIONS 23abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 23 nn
Corrigé


′ ′que χ∩A =χ ∩A et χ∩B =χ ∩B. Or χ =χ∩(A∪B) car (A,B) est une Exercice 1.4
partition de E d’o`u : Pour tout entier naturel n, on appelle donc P l’hypoth`ese : ”u =n n
2cos(na)”. On sait que u = 2 et 2cos(0×a) = 2, P est donc vraie.′ ′ ′ ′ 0 0χ =(χ∩A)∪(χ∩B) = (χ ∩A)∪(χ ∩B) =χ ∩(A∪B) =χ
2cos(1×a) = 2cos(a) et u est 2cos(a), P est donc vraie. On suppose1 1
′ 2 ′ ′ P etP vraies pour un certain entier naturel n. On a :n n+1d’o`u∀(χ,χ )∈ (P(E)) , f(χ) =f(χ )⇒χ =χ . On peut donc conclure que
f est injective. De plus, Card (P(E)) =Card (P(A)×P(B)) et Card (P(E))
est fini entraˆınent alors que f est surjective. u = 2cos(a)u −un+2 n+1 n

= 2cos(a)×2cos((n+1)a)−2cos(na) d’apr`esP etPn n+1
Exercice 1.3 = 4cos(a)(cos(na)cos(a)−sin(na)sin(a))−2cos(na)
1. Supposons donc que χ =χ et prenons un x dans A alorsχ (x) = 1 etA B A 2= 2(2cos (a)−1)cos(na)−4cos(a)sin(a)sin(na)doncχ (x) = 1(carχ =χ )etdoncx∈B... cequi prouvequeA⊂B puis,B A B
= 2cos(2a)cos(na)−2sin(2a)sin(na)comme l’autre sens est similaire, que A =B. On remarque que la r´eciproque
est ´evidente, on a donc : χ =χ ⇐⇒A =B.A B = 2cos((2+n)a)
2. Fixons un x dans E pour toute la question. Si x ∈ A alors χ (x) = 1A
et χ (x) = 0 donc χ (x)= χ (x)×χ (x) et χ (x)= 1−χ (x) = 0. SiA A A AA A
x �∈ A alors χ (x) = 0 et χ (x) = 1 et donc χ (x)= χ (x)×χ (x) etA A A A P est donc vraie siP etP le sont.A n+2 n n+1
χ (x) =1−χ (x) = 0. Bref,∀x∈E, χ (x)×χ (x) =χ (x) = (1−χ )(x)A A A AA A P etP sont vraies et pour tout entier natureln,P etP impliquent0 1 n n+1d’o`u χ ×χ =χ =1−χ . Si x∈A∩B, χ (x)=χ (x)=χ (x) =1A A A A∩B A BA P . P est donc vraie pour tout entier naturel n d’apr`es le principe den+2 net donc, on constate qu’on a bien : χ (x)= χ (x)×χ (x). Si x∈ B\A,A∩B A B
r´ecurrence (double).
χ (x)= χ (x) = 0 et χ (x) = 1 et donc de nouveau, on a : χ (x)=A∩B A B A∩B
χ (x)×χ (x). Six∈A\B... cas similaire! Six∈E\(A∪B) alorsona encoreA B Exercice 1.5
χ (x) =χ (x)×χ (x) carχ (x) =χ (x) =χ (x) = 0. On peut doncA∩B A B A∩B A B
Pour tout n entier naturel, on appelleP(n) l’hypoth`ese suivante :finalement bien conclure que χ = χ ×χ car ces deux applictions ontA∩B A B
mˆeme image. On proc`ede `a la mˆeme d´ecoupe pour χ .A∪B
3. En utilisant la question pr´ec´edente, on a : 2P(n) : ”u =(n+1) ”n
χ =χ(A△B)△C ((A△B)\C)∪(C\(A△B))
2u = 1 et (0+1) = 1 doncP(0) est vraie.=χ +χ −χ(A△B)\C C\(A△B) ((A△B)\C)∩(C\(A△B)) 0
Soit n un entier naturel. On supposeP(n) vraie, on a alors
Or : χ =χ et χ :x�→ 0 d’o`u :((A△B)\C)∩(C\(A△B)) ∅ ∅
χ =χ +χ 2(A△B)△C (A△B)\C C\(A△B) u =2n+3+(n+1)n+1
=χ +χ 2(A△B)∩C C∩(A△B) =2n+3+n +2n+1
=χ (1−χ )+χ (1−χ ) d’apr`es la question 2 2 2A△B C C A△B =n +4n+2
2=(n+2)De la mˆeme mani`ere :
χ =χ χ +χ χ =χ (1−χ )+χ (1−χ ) =χ +χ −2χ χA△B A B A B B A A B A BB A P(n+1) est donc vraie siP(n) l’est.
et donc : P(0) est vraie et, pour tout entier natureln,P(n) impliqueP(n+1).P(n)
est donc vraie pour tout entier naturel n d’apr`es le principe de r´ecurrence.
χ =χ +χ +χ −2χ χ −2χ χ −2χ χ +4χ χ χ(A△B)△C A B C A B A C C B A B C
Exercice 1.6
On fait la mˆeme chose pour χ et on se rend compte qu’on a laA△(B△C)
Pour tout n entier naturel non nul, on appelle P(n) l’hypoth`ese suivante :mˆeme chose. Comme χ =χ , d’apr`es la question 1, on peut(A△B)△C A△(B△C)
n−1 1−1P(n): ”u =2 ”. Comme u =u , on a u = 1. Or 2 = 1 doncP(1)donc affirmer que : (A△B)△C =A△(B△C). n 1 0 1
est vraie.
Soit m un certain entier naturel non nul. on suppose que P(1), P(2),...,
24 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 25nn 24 ChapIT r 1


′ ′que χ∩A =χ ∩A et χ∩B =χ ∩B. Or χ =χ∩(A∪B) car (A,B) est une Exercice 1.4
partition de E d’o`u : Pour tout entier naturel n, on appelle donc P l’hypoth`ese : ”u =n n
2cos(na)”. On sait que u = 2 et 2cos(0×a) = 2, P est donc vraie.′ ′ ′ ′ 0 0χ =(χ∩A)∪(χ∩B) = (χ ∩A)∪(χ ∩B) =χ ∩(A∪B) =χ
2cos(1×a) = 2cos(a) et u est 2cos(a), P est donc vraie. On suppose1 1
′ 2 ′ ′ P etP vraies pour un certain entier naturel n. On a :n n+1d’o`u∀(χ,χ )∈ (P(E)) , f(χ) =f(χ )⇒χ =χ . On peut donc conclure que
f est injective. De plus, Card (P(E)) =Card (P(A)×P(B)) et Card (P(E))
est fini entraˆınent alors que f est surjective. u = 2cos(a)u −un+2 n+1 n

= 2cos(a)×2cos((n+1)a)−2cos(na) d’apr`esP etPn n+1
Exercice 1.3 = 4cos(a)(cos(na)cos(a)−sin(na)sin(a))−2cos(na)
1. Supposons donc que χ =χ et prenons un x dans A alorsχ (x) = 1 etA B A 2= 2(2cos (a)−1)cos(na)−4cos(a)sin(a)sin(na)doncχ (x) = 1(carχ =χ )etdoncx∈B... cequi prouvequeA⊂B puis,B A B
= 2cos(2a)cos(na)−2sin(2a)sin(na)comme l’autre sens est similaire, que A =B. On remarque que la r´eciproque
est ´evidente, on a donc : χ =χ ⇐⇒A =B.A B = 2cos((2+n)a)
2. Fixons un x dans E pour toute la question. Si x ∈ A alors χ (x) = 1A
et χ (x) = 0 donc χ (x)= χ (x)×χ (x) et χ (x)= 1−χ (x) = 0. SiA A A AA A
x �∈ A alors χ (x) = 0 et χ (x) = 1 et donc χ (x)= χ (x)×χ (x) etA A A A P est donc vraie siP etP le sont.A n+2 n n+1
χ (x) =1−χ (x) = 0. Bref,∀x∈E, χ (x)×χ (x) =χ (x) = (1−χ )(x)A A A AA A P etP sont vraies et pour tout entier natureln,P etP impliquent0 1 n n+1d’o`u χ ×χ =χ =1−χ . Si x∈A∩B, χ (x)=χ (x)=χ (x) =1A A A A∩B A BA P . P est donc vraie pour tout entier naturel n d’apr`es le principe den+2 net donc, on constate qu’on a bien : χ (x)= χ (x)×χ (x). Si x∈ B\A,A∩B A B
r´ecurrence (double).
χ (x)= χ (x) = 0 et χ (x) = 1 et donc de nouveau, on a : χ (x)=A∩B A B A∩B
χ (x)×χ (x). Six∈A\B... cas similaire! Six∈E\(A∪B) alorson a encoreA B Exercice 1.5
χ (x) =χ (x)×χ (x) carχ (x) =χ (x) =χ (x) = 0. On peut doncA∩B A B A∩B A B
Pour tout n entier naturel, on appelleP(n) l’hypoth`ese suivante :finalement bien conclure que χ = χ ×χ car ces deux applictions ontA∩B A B
mˆeme image. On proc`ede `a la mˆeme d´ecoupe pour χ .A∪B
3. En utilisant la question pr´ec´edente, on a : 2P(n) : ”u =(n+1) ”n
χ =χ(A△B)△C ((A△B)\C)∪(C\(A△B))
2u = 1 et (0+1) = 1 doncP(0) est vraie.=χ +χ −χ(A△B)\C C\(A△B) ((A△B)\C)∩(C\(A△B)) 0
Soit n un entier naturel. On supposeP(n) vraie, on a alors
Or : χ =χ et χ :x�→ 0 d’o`u :((A△B)\C)∩(C\(A△B)) ∅ ∅
χ =χ +χ 2(A△B)△C (A△B)\C C\(A△B) u =2n+3+(n+1)n+1
=χ +χ 2(A△B)∩C C∩(A△B) =2n+3+n +2n+1
=χ (1−χ )+χ (1−χ ) d’apr`es la question 2 2 2A△B C C A△B =n +4n+2
2=(n+2)De la mˆeme mani`ere :
χ =χ χ +χ χ =χ (1−χ )+χ (1−χ ) =χ +χ −2χ χA△B A B A B B A A B A BB A P(n+1) est donc vraie siP(n) l’est.
et donc : P(0) est vraie et, pour tout entier natureln,P(n) impliqueP(n+1).P(n)
est donc vraie pour tout entier naturel n d’apr`es le principe de r´ecurrence.
χ =χ +χ +χ −2χ χ −2χ χ −2χ χ +4χ χ χ(A△B)△C A B C A B A C C B A B C
Exercice 1.6
On fait la mˆeme chose pour χ et on se rend compte qu’on a laA△(B△C)
Pour tout n entier naturel non nul, on appelle P(n) l’hypoth`ese suivante :mˆeme chose. Comme χ =χ , d’apr`es la question 1, on peut(A△B)△C A△(B△C)
n−1 1−1P(n): ”u =2 ”. Comme u =u , on a u = 1. Or 2 = 1 doncP(1)donc affirmer que : (A△B)△C =A△(B△C). n 1 0 1
est vraie.
Soit m un certain entier naturel non nul. on suppose que P(1), P(2),...,
24 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 25abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 25 nn
Corrigé


P(m) sont toutes vraies. On a : On a donc un seul objet susceptible de marcher (un seul, pas deux car
on cherche un couple!). On aura donc z´ero ou une solution.m
u = u + um+1 0 k • Synth`eseO:n d´efinit les fonctions g et h par :
k=1
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)m Pour tout r´eel x, g(x) = et h(x) = .k−1= 1+ 2 d’apr`esP(1),··· ,P(m) 2 2
k=1 Soit x un r´eel, on a :
m−1
k= 1+ 2 en d´ecalant les indices
k=0 f(−x)+f(x) f(−x)−f(x)
g(−x) = h(−x) =m1−2 2 2
= 1+ (cf. cours sur les suites g´eom´etriques)
1−2 = g(x) =−h(x)
m=2
donc g est paire et h impaire. Quand on ajoute g et h, on obtient bien
P(m + 1) est donc vraie si P(1),··· ,P(m) le sont. P(1) est vraie et, pour
f.
tout entier n naturel non nul, P(1), ···, P(n) impliquent P(n+1). P(n) est
On a donc obtenu l’unicit´e et l’existence par Analyse-Synth`ese! donc vraie pour tout entier natureln non nul d’apr`es le principe de r´ecurrence
forte. Exercice 1.10
1. C¸a fait partie de votre cours mais visiblement, ici, on nous demande deExercice 1.7

⋆ le red´emontrer alors on s’ex´ecute. On suppose g ◦ f injective. Soit x et x”∃ ε ∈ R tel que ∀n ,∃n ∈ N ∈ N tel que n ≥ n et |U −l|≥ ε” est la0 0 n+ ′deux ´el´ements de E tels que f(x)= f(x ). On a alors, en composant parn´egation de la phrase de l’´enonc´e. Si vous avez mis ε≤ 0 ou n< n , vous ne0 ′ ′ ′g, g(f(x)) = g(f(x )) soit (g◦ f)(x) =(g◦ f)(x ) et donc x = x car g◦ fparlez pas de la mˆeme cat´egorie que la phrase d’origine, la phrase ´ecrite est
′ ′est injective. Donc f(x)= f(x )⇒ x = x . f est donc injective. On supposealors compatible avec celle d’origine.
maintenant g◦f surjective.Soit y un´el´ementde E, il existe donc un x dans E
Exercice 1.8 tel que (g◦f)(x) = y. On peut´ecrirecela sous la forme suivante : g(f(x)) = y.
1 1
1. On suppose donc que z non nul et w non nul. et existent donc. On y a donc un ant´ec´edent par g, c’est f(x). g est donc bien surjective.
z w
2. On suppose h◦g◦f et g◦f ◦h injectives et f ◦h◦g surjective. D’apr`esa alors : Å ã Å ã
1 1 1 1 1), on a donc f injective, h injective et f surjective. f est donc bijective, on
× ×z×w = ×z × ××w =1. −1 −1introduit f . f est bijective donc en particulier surjective et donc, parz w z w
−1composition, f ◦(f ◦h◦g) est surjective i.e. h◦g est surjective et donc h1 1
w×z est donc non nul en tant qu’inverse de × . Par contrapos´ee, on a −1est surjective. Or h est injective donc h est bijective... h existe donc et, parz w
−1donc prouv´e que si w×z = 0 alors z = 0 ou w = 0. composition, h ◦(h◦g) est surjective et donc g est surjective. Or g◦f ◦h
−1 −12. La contrapos´ee de la propri´et´e donn´ee est : ”Si f n’est pas croissante alors est injective donc (g◦f ◦h)◦h ◦f l’est et donc g est injective.
′f n’est pas une fonction positive”. La propri´et´ede l’´enonc´epeut s’´ecrire ainsi 3. On suppose g◦f et h◦g bijectives. g◦f est donc surjective donc g l’est
avec des quantificateurs : (toujours d’apr`es 1)) et h◦g est injective donc g l’est (toujours d’apr`es 1)). g
−1
′ 2 est donc bijective, et, par composition, f,quiest g ◦(g◦f), l’est ainsi que∀x∈R,f (x)≥ 0=⇒∀(y ,y )∈R tel que y ≤ y , f(y )≤ f(y ).1 2 1 2 1 2 −1h qui est (h◦g)◦g .

Exercice 1.9 Exercice 1.11
2On va faire un raisonnement par analyse/synth`ese. 1. Soit (x,y)∈ (R\{2}) . On a :
• Analyse : Supposons qu’il existe un couple de fonctions (g,h) de R
2x−1
dansR telle que g soit paire, h impaire et f = g +h. Soit x un r´eel, en h(x) = y⇔ = y⇔ x(2−y) =−2y+1⇔ x = h(y)
x−2exploitant la parit´e de g et l’imparit´e de h, on a alors :
2Donc ∀(x,y) ∈ (R\{2}) ,h(x)= y ⇔ x = h(y). (Remarque : on peut bienf(−x) = g(−x)+h(−x) = g(x)−h(x)
2x−1
exclure 2 du domaine de recherche car = 2 ⇔ 0 = −4+1, ce quiOr, on sait que f(x)= g(x) + h(x). On a donc, pour tout r´eel x, les x−2
deux ´egalit´es suivantes : est faux!). Tout ´el´ement y de R\{2} a donc un unique ant´ec´edent par h,
−1c’est h(y). h est donc bijective et h est h (On peut d’ailleurs v´erifier quef(x)+f(−x) f(x)−f(−x)
g(x) = et h(x) = . h◦h = id ).(R\{2})2 2
26 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 27nn 26 ChapIT r 1


P(m) sont toutes vraies. On a : On a donc un seul objet susceptible de marcher (un seul, pas deux car
on cherche un couple!). On aura donc z´ero ou une solution.m
u = u + um+1 0 k • Synth`eseO:n d´efinit les fonctions g et h par :
k=1
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)m Pour tout r´eel x, g(x) = et h(x) = .k−1= 1+ 2 d’apr`esP(1),··· ,P(m) 2 2
k=1 Soit x un r´eel, on a :
m−1
k= 1+ 2 en d´ecalant les indices
k=0 f(−x)+f(x) f(−x)−f(x)
g(−x) = h(−x) =m1−2 2 2
= 1+ (cf. cours sur les suites g´eom´etriques)
1−2 = g(x) =−h(x)
m=2
donc g est paire et h impaire. Quand on ajoute g et h, on obtient bien
P(m + 1) est donc vraie si P(1),··· ,P(m) le sont. P(1) est vraie et, pour
f.
tout entier n naturel non nul, P(1), ···, P(n) impliquent P(n+1). P(n) est
On a donc obtenu l’unicit´e et l’existence par Analyse-Synth`ese! donc vraie pour tout entier natureln non nul d’apr`es le principe de r´ecurrence
forte. Exercice 1.10
1. C¸a fait partie de votre cours mais visiblement, ici, on nous demande deExercice 1.7

⋆ le red´emontrer alors on s’ex´ecute. On suppose g ◦ f injective. Soit x et x”∃ ε ∈ R tel que ∀n ,∃n ∈ N ∈ N tel que n ≥ n et |U −l|≥ ε” est la0 0 n+ ′deux ´el´ements de E tels que f(x)= f(x ). On a alors, en composant parn´egation de la phrase de l’´enonc´e. Si vous avez mis ε≤ 0 ou n< n , vous ne0 ′ ′ ′g, g(f(x)) = g(f(x )) soit (g◦ f)(x) =(g◦ f)(x ) et donc x = x car g◦ fparlez pas de la mˆeme cat´egorie que la phrase d’origine, la phrase ´ecrite est
′ ′est injective. Donc f(x)= f(x )⇒ x = x . f est donc injective. On supposealors compatible avec celle d’origine.
maintenant g◦f surjective.Soit y un´el´ementde E, il existe donc un x dans E
Exercice 1.8 tel que (g◦f)(x) = y. On peut´ecrirecela sous la forme suivante : g(f(x)) = y.
1 1
1. On suppose donc que z non nul et w non nul. et existent donc. On y a donc un ant´ec´edent par g, c’est f(x). g est donc bien surjective.
z w
2. On suppose h◦g◦f et g◦f ◦h injectives et f ◦h◦g surjective. D’apr`esa alors : Å ã Å ã
1 1 1 1 1), on a donc f injective, h injective et f surjective. f est donc bijective, on
× ×z×w = ×z × ××w =1. −1 −1introduit f . f est bijective donc en particulier surjective et donc, parz w z w
−1composition, f ◦(f ◦h◦g) est surjective i.e. h◦g est surjective et donc h1 1
w×z est donc non nul en tant qu’inverse de × . Par contrapos´ee, on a −1est surjective. Or h est injective donc h est bijective... h existe donc et, parz w
−1donc prouv´e que si w×z = 0 alors z = 0 ou w = 0. composition, h ◦(h◦g) est surjective et donc g est surjective. Or g◦f ◦h
−1 −12. La contrapos´ee de la propri´et´e donn´ee est : ”Si f n’est pas croissante alors est injective donc (g◦f ◦h)◦h ◦f l’est et donc g est injective.
′f n’est pas une fonction positive”. La propri´et´ede l’´enonc´epeut s’´ecrire ainsi 3. On suppose g◦f et h◦g bijectives. g◦f est donc surjective donc g l’est
avec des quantificateurs : (toujours d’apr`es 1)) et h◦g est injective donc g l’est (toujours d’apr`es 1)). g
−1
′ 2 est donc bijective, et, par composition, f,quiest g ◦(g◦f), l’est ainsi que∀x∈R,f (x)≥ 0=⇒∀(y ,y )∈R tel que y ≤ y , f(y )≤ f(y ).1 2 1 2 1 2 −1h qui est (h◦g)◦g .

Exercice 1.9 Exercice 1.11
2On va faire un raisonnement par analyse/synth`ese. 1. Soit (x,y)∈ (R\{2}) . On a :
• Analyse : Supposons qu’il existe un couple de fonctions (g,h) de R
2x−1
dansR telle que g soit paire, h impaire et f = g +h. Soit x un r´eel, en h(x) = y⇔ = y⇔ x(2−y) =−2y+1⇔ x = h(y)
x−2exploitant la parit´e de g et l’imparit´e de h, on a alors :
2Donc ∀(x,y) ∈ (R\{2}) ,h(x)= y ⇔ x = h(y). (Remarque : on peut bienf(−x) = g(−x)+h(−x) = g(x)−h(x)
2x−1
exclure 2 du domaine de recherche car = 2 ⇔ 0 = −4+1, ce quiOr, on sait que f(x)= g(x) + h(x). On a donc, pour tout r´eel x, les x−2
deux ´egalit´es suivantes : est faux!). Tout ´el´ement y de R\{2} a donc un unique ant´ec´edent par h,
−1c’est h(y). h est donc bijective et h est h (On peut d’ailleurs v´erifier quef(x)+f(−x) f(x)−f(−x)
g(x) = et h(x) = . h◦h = id ).(R\{2})2 2
26 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 27abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 27 nn
Corrigé�





2. Soit a ∈ R\{−1;1} et f une fonction d´efinie sur (R\{2}). On suppose 2. On va maintenant expliciter la r´eciproque. On suppose a> 1. Soit (x,y)∈
x 2que, pour tout x deR\{2}, on a : f(h(x))−af(x) = e . Posons y = h(x), on R , on a :
−1−1 h (y) h(y) −1a donc f(y)−af(h (y)) = e , soit f(y)−af(h(y)) = e car h = h ß
y = ax+b+x si x≥ 0h(y)et donc, pour tout y deR\{2}, f(y)−af(h(y)) = e . Fixons x un ´el´ement y = f(x)⇔
y = ax+b−x si x< 0deR\{2}. Comme x et y sont des variables muettes, on en d´eduit : 
y−bx h(x) si x≥ 0f(h(x))−af(x) = e et f(x)−af(h(x)) = e a+1⇔ x = car a+1 = 0 et a−1 =0y−b si x< 02 h(x) x 2et donc (1−a )f(x) = e +ae , soit, comme 1−a = 0, le r´esutat suivant : a−1

Å ã y−b2x−1  si y≥b
exp +aexp(x) a+1h(x) x ⇔ x = car a> 1e +ae x−2 y−bf(x) = = .  si y≤b2 21−a 1−a a−1
R´eciproquement, cette fonction v´erifie la condition impos´ee. y−b si y≥ b
−1 a+1Ainsi, on a f : y�→ . On vous laisse faire le cas a<−1y−bExercice 1.12 si y≤ b
∗ a−1 1. f est par somme continue surR et d´erivable surR . On a :
y−b si y≤ bß ß
−1 a+1(a+1)x+b si x≥ 0 (a+1) si x> 0 et obtenir de la mˆeme fac¸on que : f′ : y�→f : x�→ et donc f : x�→ y−b(a−1)x+b si x< 0 (a−1) si x< 0 si y≥ b
a−1
′Du signe de f , on en d´eduit les variations de f.
Cas a<−1 :
x −∞ 0 +∞
+∞
Variations ց
de b
f ց
−∞
Cas|a| < 1 :
x −∞ 0 +∞
+∞ +∞
Variations de f ցր
b
Cas a> 1 :
x −∞ 0 +∞
+∞
Variations ր
de b
f ր
−∞
Ainsi f n’est pas injective si |a|≤ 1 (on vous laisse le cas |a| = 1 `a
expliciter) et donc f n’est pas bijective si |a| ≤ 1 et f est une bijection de
R dans R (appliquez le th´eor`eme de la bijection continue grˆace `a la stricte
monotonie et la continuit´e) si et seulement si a<−1 ou a> 1.
28 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 29nn 28 ChapIT r 1�





2. Soit a ∈ R\{−1;1} et f une fonction d´efinie sur (R\{2}). On suppose 2. On va maintenant expliciter la r´eciproque. On suppose a> 1. Soit (x,y)∈
x 2que, pour tout x deR\{2}, on a : f(h(x))−af(x) = e . Posons y = h(x), on R , on a :
−1−1 h (y) h(y) −1a donc f(y)−af(h (y)) = e , soit f(y)−af(h(y)) = e car h = h ß
y = ax+b+x si x≥ 0h(y)et donc, pour tout y deR\{2}, f(y)−af(h(y)) = e . Fixons x un ´el´ement y = f(x)⇔
y = ax+b−x si x< 0deR\{2}. Comme x et y sont des variables muettes, on en d´eduit : 
y−bx h(x) si x≥ 0f(h(x))−af(x) = e et f(x)−af(h(x)) = e a+1⇔ x = car a+1 = 0 et a−1 =0y−b si x< 02 h(x) x 2et donc (1−a )f(x) = e +ae , soit, comme 1−a = 0, le r´esutat suivant : a−1

Å ã y−b2x−1  si y≥b
exp +aexp(x) a+1h(x) x ⇔ x = car a> 1e +ae x−2 y−bf(x) = = .  si y≤b2 21−a 1−a a−1
R´eciproquement, cette fonction v´erifie la condition impos´ee. y−b si y≥ b
−1 a+1Ainsi, on a f : y�→ . On vous laisse faire le cas a<−1y−bExercice 1.12 si y≤ b
∗ a−1 1. f est par somme continue surR et d´erivable surR . On a :
y−b si y≤ bß ß
−1 a+1(a+1)x+b si x≥ 0 (a+1) si x> 0′ et obtenir de la mˆeme fac¸on que : f : y�→f : x�→ et donc f : x�→ y−b(a−1)x+b si x< 0 (a−1) si x< 0 si y≥ b
a−1
′Du signe de f , on en d´eduit les variations de f.
Cas a<−1 :
x −∞ 0 +∞
+∞
Variations ց
de b
f ց
−∞
Cas|a| < 1 :
x −∞ 0 +∞
+∞ +∞
Variations de f ցր
b
Cas a> 1 :
x −∞ 0 +∞
+∞
Variations ր
de b
f ր
−∞
Ainsi f n’est pas injective si |a|≤ 1 (on vous laisse le cas |a| = 1 `a
expliciter) et donc f n’est pas bijective si |a| ≤ 1 et f est une bijection de
R dans R (appliquez le th´eor`eme de la bijection continue grˆace a` la stricte
monotonie et la continuit´e) si et seulement si a<−1 ou a> 1.
28 CHAPITRE 1 VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE, DES ENSEMBLESET DES APPLICATIONS 29abu LaIr E DE La LOGIqu E, DES NSEmbLES T DES app LICaTIONS 29 nn
CorrigéChapitre 2
Ensembles de nombres :
réels et complexes
Jérôme Cardan (1501-1576), médecin de formation,
se passionne pour les mathématiques. Il publie
en 1545, Ars magna, un ouvrage dans lequel
on trouve pour la première fois une formule donnant
les solutions des équations du troisième degré. Il rédige
vingt ans plus tard le premier ouvrage où l’on traite
de probabilités. Il pratique l’astrologie et il dresse
des horoscopes. Il scandalise l’Église pour avoir établi
celui de Jésus-Christ ce qui lui vaut un séjour en prison.
■ Un peu d'histoire
C’est seulement à la Renaissance qu’on a visualisé les nombres sur un axe en
intercalant entre les entiers, des fractions, des racines carrées et même des nombreux un
peu mystérieux comme π ou le nombre d’or.
En appliquant la formule de résolution des équations du troisième degré établie par
Cardan, apparaissait parfois l’expression − 1 qui se simplifait par miracle, four -
nissant le bon résultat. Rafaelle Bombelli eut alors l’idée d’introduire de nouveaux
nombres en 1572.
eIl faut atendre le début du XIX siècle pour que le savant suisse Argand en donne
une représentation plane. Gauss les défnit alors comme un couple de nombres et,
pour cete raison, les qualife de complexes.
Vers 1870, plusieurs mathématiciens ont proposé une défnition précise de la notion
de nombre réel pour permetre des démonstrations rigoureuses de diférents théo -
rèmes d’analyse.
UN MATHÉMATICIEN R´esum´e de cours
■ Les r´eels
Valeur absolue, partie enti`ere
D´efinition : Soit x un r´eel. On appelle valeur absolue de x la quantit´e max(x;−x), on la note |x|.
On peut dire aussi que |x| est x quand x est positif, −x sinon.
■ ■ Objectifs
Proposition 2.1.— Soit x et y deux r´eels. On a x≤|x|, −x≤|x| et |x×y| =|x|×|y| puis :
■ les incontournables les incontournables ||x|−|y||≤|x+y|≤|x|+|y| (c’est l’in´egalit´e triangulaire).
´
Maˆıtriser la notion de la valeur absolue d’un r´eel, de la partie enti`ere d’un r´eel. Equations,
´in´equations associ´ees. Equations, in´equations associ´ees.
Proposition 2.2.— Soit I une partie non vide deR. On dit que I est un intervalle deR si, pour
Distinguer les notions de majorant, plus grand ´el´ement, borne sup´erieure.
tous ´el´ements x et y de I tel que x≤ y, le segment [x;y] est inclus dans I. Les intervalles deR ne
Maˆıtriser la d´efinition, les propri´et´es. peuvent avoir que les quatre formes suivantes : [a;b], [a;b[, ]a;b] et ]a;b[ avec a et b deux ´el´ements
ˆ deR∪{+∞,−∞} tels que a≤ b. Soit ε un r´eel strictement positif et c un r´eel. On a : Etre capable d’expliciter l’´ecriture exponentielle d’un complexe.
Savoir ´evaluer partie r´eelle, partie imaginaire, conjugu´e et module d’un complexe.
{x∈R tel que |x−c| <ε} =]c−ε;c+ε[ et {x∈R tel que |x−c| >ε} =]−∞,c−ε[∪]c+ε,+∞[.
Connaˆıtre les propri´et´es du module de complexes.
Savoir exploiter l’´egalit´e entre deux complexes :
Proposition 2.3.— Soit a un r´eel. Il existe un unique entier q tel que q ≤ a< q + 1. Cet entier◮ ´ecrit sous forme alg´ebrique.
est appel´e la partie enti`ere de a et est not´ee ⌊a⌋.
◮ ´ecrit sous forme exponentielle.
Maˆıtriser les propri´et´es ´el´ementaires de l’exponentielle complexe et de la fonction argument.
Savoir r´esoudre des ´equations du second degr´e `a coefficients r´eels.
■etet ppllusus ssi i aaffi fnifnti´tesés
ˆ Etre capable de montrer qu’un nombre est la borne sup´erieure d’une partie deR.
Avoir quelques notions sur les racines n-i`emes de l’unit´e.
Savoir interpr´eter g´eom´etriquement module et argument d’un nombre complexe.
Savoir trouver un complexe dont le carr´e est connu.
Savoir r´esoudre des ´equations du second degr´e a` coefficients complexes.
Borne sup´erieure et borne inf´erieure
Dans toute cette partie, A d´esigne une partie non vide deR. On va citer toutes les propositions
sur les majorants, maximum, bornes sup´erieures. Le lecteur sans difficult´e en d´eduira celles sur les
minorants, minimum, bornes inf´erieures.
D´efinition : Un r´eel M est un majorant de A si tout ´el´ement de A est inf´erieur `a M. Autrement
dit, M est un majorant de A si : ∀x ∈ A, x ≤ M. Si A poss`ede un majorant, on dit que A est
major´e. Si A poss`ede un majorant et un minorant, on dit que A est born´e.
´ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 33■■
■■ 32 CHAPITRE 2 R´esum´e de cours
■ Les r´eels
Valeur absolue, partie enti`ere
D´efinition : Soit x un r´eel. On appelle valeur absolue de x la quantit´e max(x;−x), on la note |x|.
On peut dire aussi que |x| est x quand x est positif, −x sinon.
Proposition 2.1.— Soit x et y deux r´eels. On a x≤|x|, −x≤|x| et |x×y| =|x|×|y| puis :
■ les incontournables ||x|−|y||≤|x+y|≤|x|+|y| (c’est l’in´egalit´e triangulaire).
´
Maˆıtriser la notion de la valeur absolue d’un r´eel, de la partie enti`ere d’un r´eel. Equations,
´in´equations associ´ees. Equations, in´equations associ´ees.
Proposition 2.2.— Soit I une partie non vide deR. On dit que I est un intervalle deR si, pour
Distinguer les notions de majorant, plus grand ´el´ement, borne sup´erieure.
tous ´el´ements x et y de I tel que x≤ y, le segment [x;y] est inclus dans I. Les intervalles deR ne
Maˆıtriser la d´efinition, les propri´et´es. peuvent avoir que les quatre formes suivantes : [a;b], [a;b[, ]a;b] et ]a;b[ avec a et b deux ´el´ements
ˆ deR∪{+∞,−∞} tels que a≤ b. Soit ε un r´eel strictement positif et c un r´eel. On a : Etre capable d’expliciter l’´ecriture exponentielle d’un complexe.
Savoir ´evaluer partie r´eelle, partie imaginaire, conjugu´e et module d’un complexe.
{x∈R tel que |x−c| <ε} =]c−ε;c+ε[ et {x∈R tel que |x−c| >ε} =]−∞,c−ε[∪]c+ε,+∞[.
Connaˆıtre les propri´et´es du module de complexes.
Savoir exploiter l’´egalit´e entre deux complexes :
Proposition 2.3.— Soit a un r´eel. Il existe un unique entier q tel que q ≤ a< q + 1. Cet entier◮ ´ecrit sous forme alg´ebrique.
est appel´e la partie enti`ere de a et est not´ee ⌊a⌋.
◮ ´ecrit sous forme exponentielle.
Maˆıtriser les propri´et´es ´el´ementaires de l’exponentielle complexe et de la fonction argument.
Savoir r´esoudre des ´equations du second degr´e `a coefficients r´eels.
■ et plus si affinit´es
ˆ Etre capable de montrer qu’un nombre est la borne sup´erieure d’une partie deR.
Avoir quelques notions sur les racines n-i`emes de l’unit´e.
Savoir interpr´eter g´eom´etriquement module et argument d’un nombre complexe.
Savoir trouver un complexe dont le carr´e est connu.
Savoir r´esoudre des ´equations du second degr´e `a coefficients complexes.
Borne sup´erieure et borne inf´erieure
Dans toute cette partie, A d´esigne une partie non vide deR. On va citer toutes les propositions
sur les majorants, maximum, bornes sup´erieures. Le lecteur sans difficult´e en d´eduira celles sur les
minorants, minimum, bornes inf´erieures.
D´efinition : Un r´eel M est un majorant de A si tout ´el´ement de A est inf´erieur `a M. Autrement
dit, M est un majorant de A si : ∀x ∈ A, x ≤ M. Si A poss`ede un majorant, on dit que A est
major´e. Si A poss`ede un majorant et un minorant, on dit que A est born´e.
´ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 33■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
■■ 32 CHAPITRE 2�
Parties r´eelles et imaginaires
Proposition 2.4.— A est born´e si et seulement s’il existe un r´eel positif r tel que, pour tout
´el´ement x de A, on ait :|x|≤ r.
Th´eor`eme-D´efinition 2.10.— Parties r´eelles et imaginaires —. Si x, y, a et b sont quatre r´eels
D´efinition : Si A est major´e et que l’un de ses majorants est un ´el´ement de A alors il est unique,
alors :
on l’appelle maximum de A (ou plus grand ´el´ement de A) et on le note max(A).
a+ib = x+iy⇔ a = x et b = y.
On parle d’identification des parties r´eelles et imaginaires d’un complexe. On pose z = x+iy.Proposition2.5.— SiA est major´e,alors l’ensemble de ses majorantsadmet un plus petit ´el´ement
a, on dit que a est la borne sup´erieure de A, c’est le plus petit des majorants de A. Il est unique • On dit que x+iy est l’´ecriture alg´ebrique de z.
et on le note sup(A). Il est confondu avec maximum de A si ce dernier existe.
• On dit que x est la partie r´eelle de z et que y est sa partie imaginaire.
• On note x = Re(z) et y = Im(z) et on remarque que Re(z) et Im(z) sont des r´eels.
Th´eor`eme 2.6.— Propri´et´e de la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) —. Soit A une partie non • Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur. Si Im(z) = 0, on dit que z est un r´eel.
vide deR. Si A est major´e, A admet une borne sup´erieure. Si A est minor´e, A admet une borne
inf´erieure.
′Proposition 2.11.— Soit z et z deux complexes et λ un r´eel, on a :
Proposition 2.7.— Si A est une partie non vide deR et M un majorant de A, on a :
• Re(λz) = λRe(z) • Im(λz) = λIm(z)M = sup(A)⇐⇒∀ε> 0,∃x∈ A tel que x >M−ε.
′ ′ ′ ′• Re(z +z ) = Re(z)+Re(z ) • Im(z +z ) = Im(z)+Im(z )
´ ′ ′ ′ ′■ Ecriture alg´ebrique des complexes Remarque : par contre Re(zz ) = Re(z)Re(z )etIm(zz ) = Im(z)Im(z ) sont deux affirmations
fausses en g´en´eral.Op´erations
Th´eor`eme-D´efinition2.8.— Il existeun ensemble, que l’onnoteC, qui est l’ensembledes nombres
complexes et qui v´erifie les propri´et´es suivantes : Conjugu´e et module d’un complexe
• R, l’ensemble des r´eels, est inclus dansC;
D´efinition : Soit x et y deux r´eels. On pose z = x+iy. On appelle conjugu´e de z le complexe not´e2 • un des ´el´ements deC est i, un nombre v´erifiant i =−1; 2 2z d´efini par : z = x−iy. On appelle module de z le r´eel not´e|z| d´efini par :|z| = x +y .
• tout complexe peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme a+ib avec a et b deux r´eels;
• l’addition et la multiplication r´eelles se prolongent surC avec les mˆemes r`egles de calcul. ′ ′Proposition 2.12.— Soit z et z deux complexes (z suppos´e non nul pour la propri´et´e num´erot´ee√
Ainsi, 3, 5+2i,−i et πi−3 sont quatre complexes. 4), on a :
′ ′D´efinition : On d´efinit l’addition et le produit dans C en posant pour x, y, x et y quatre r´eels :
1. z = z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2(x+iy)+(x +iy ) = (x+x )+i(y +y ) et (x+iy)×(x +iy ) =(xx −yy )+i(xy +yx ) 5. zz =|z|
′ ′ ′ ′2. z +z = z +z 6. |z×z| =|z|×|z|′ ′′Proposition 2.9.— Soit z, z et z trois complexes, on a :
′ ′ z |z|′ ′ 3. z×z = z×z 7. = z |z|′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′1. z +(z +z ) = (z +z )+z 4. z×(z ×z ) = (z×z )×z
z z
′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′2. z +z = z +z et z×z = z ×z 5. z×(z +z ) = z×z +z×z 4. = 8. |z| =0⇔ z =0′ ′z z
′ ′3. z +0 = z et z×1= z 6. zz =0⇔ z = 0 ou z = 0.
′Remarque : le produit et la somme complexes ont donc des propri´et´es tr`es voisines du produit et Proposition 2.13.— In´egalit´e triangulaire —. Soit z et z deux complexes, on a :
de la somme r´eels.
′z′ ′ ′ ′ ⋆|z +z|≤|z|+|z| et |z +z| =|z|+|z|⇐⇒ z = 0 ou z = 0 et ∈R .Vocabulaire : Dans cette derni`ere proposition, on parle d’associativit´e pour les propri´et´es 1 et 4 +
z
de distributivit´e pour la propri´et´e 5 et de commutativit´e pour la propri´et´e 2.
´■■34 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 35■■nn 34 ChapIT r E 2�
Parties r´eelles et imaginaires
Proposition 2.4.— A est born´e si et seulement s’il existe un r´eel positif r tel que, pour tout
´el´ement x de A, on ait :|x|≤ r.
Th´eor`eme-D´efinition 2.10.— Parties r´eelles et imaginaires —. Si x, y, a et b sont quatre r´eels
D´efinition : Si A est major´e et que l’un de ses majorants est un ´el´ement de A alors il est unique,
alors :
on l’appelle maximum de A (ou plus grand ´el´ement de A) et on le note max(A).
a+ib = x+iy⇔ a = x et b = y.
On parle d’identification des parties r´eelles et imaginaires d’un complexe. On pose z = x+iy.Proposition2.5.— SiA est major´e,alors l’ensemble de ses majorantsadmet un plus petit ´el´ement
a, on dit que a est la borne sup´erieure de A, c’est le plus petit des majorants de A. Il est unique • On dit que x+iy est l’´ecriture alg´ebrique de z.
et on le note sup(A). Il est confondu avec maximum de A si ce dernier existe.
• On dit que x est la partie r´eelle de z et que y est sa partie imaginaire.
• On note x = Re(z) et y = Im(z) et on remarque que Re(z) et Im(z) sont des r´eels.
Th´eor`eme 2.6.— Propri´et´e de la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) —. Soit A une partie non • Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur. Si Im(z) = 0, on dit que z est un r´eel.
vide deR. Si A est major´e, A admet une borne sup´erieure. Si A est minor´e, A admet une borne
inf´erieure.
′Proposition 2.11.— Soit z et z deux complexes et λ un r´eel, on a :
Proposition 2.7.— Si A est une partie non vide deR et M un majorant de A, on a :
• Re(λz) = λRe(z) • Im(λz) = λIm(z)M = sup(A)⇐⇒∀ε> 0,∃x∈ A tel que x >M−ε.
′ ′ ′ ′• Re(z +z ) = Re(z)+Re(z ) • Im(z +z ) = Im(z)+Im(z )
´ ′ ′ ′ ′■ Ecriture alg´ebrique des complexes Remarque : par contre Re(zz ) = Re(z)Re(z )etIm(zz ) = Im(z)Im(z ) sont deux affirmations
fausses en g´en´eral.Op´erations
Th´eor`eme-D´efinition2.8.— Il existeun ensemble, que l’onnoteC, qui est l’ensembledes nombres
complexes et qui v´erifie les propri´et´es suivantes : Conjugu´e et module d’un complexe
• R, l’ensemble des r´eels, est inclus dansC;
D´efinition : Soit x et y deux r´eels. On pose z = x+iy. On appelle conjugu´e de z le complexe not´e2 • un des ´el´ements deC est i, un nombre v´erifiant i =−1; 2 2z d´efini par : z = x−iy. On appelle module de z le r´eel not´e|z| d´efini par :|z| = x +y .
• tout complexe peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme a+ib avec a et b deux r´eels;
• l’addition et la multiplication r´eelles se prolongent surC avec les mˆemes r`egles de calcul. ′ ′Proposition 2.12.— Soit z et z deux complexes (z suppos´e non nul pour la propri´et´e num´erot´ee√
Ainsi, 3, 5+2i,−i et πi−3 sont quatre complexes. 4), on a :
′ ′D´efinition : On d´efinit l’addition et le produit dans C en posant pour x, y, x et y quatre r´eels :
1. z = z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2(x+iy)+(x +iy ) = (x+x )+i(y +y ) et (x+iy)×(x +iy ) =(xx −yy )+i(xy +yx ) 5. zz =|z|
′ ′ ′ ′2. z +z = z +z 6. |z×z| =|z|×|z|′ ′′Proposition 2.9.— Soit z, z et z trois complexes, on a :
′ ′ z |z|′ ′ 3. z×z = z×z 7. = z |z|′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′1. z +(z +z ) = (z +z )+z 4. z×(z ×z ) = (z×z )×z
z z
′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′2. z +z = z +z et z×z = z ×z 5. z×(z +z ) = z×z +z×z 4. = 8. |z| =0⇔ z =0′ ′z z
′ ′3. z +0 = z et z×1= z 6. zz =0⇔ z = 0 ou z = 0.
′Remarque : le produit et la somme complexes ont donc des propri´et´es tr`es voisines du produit et Proposition 2.13.— In´egalit´e triangulaire —. Soit z et z deux complexes, on a :
de la somme r´eels.
′z′ ′ ′ ′ ⋆|z +z|≤|z|+|z| et |z +z| =|z|+|z|⇐⇒ z = 0 ou z = 0 et ∈R .Vocabulaire : Dans cette derni`ere proposition, on parle d’associativit´e pour les propri´et´es 1 et 4 +
z
de distributivit´e pour la propri´et´e 5 et de commutativit´e pour la propri´et´e 2.
´■■34 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 35■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nnNotion d’argument
Proposition 2.14.— Soit z un complexe. On note iR l’ensemble des imaginaires purs. On d´eduit
iθde ces ´egalit´es : Vocabulaire : • Soit z un complexe non nul. Si θ, un r´eel, v´erifie z =|z|e alors on dit que
z +z z−z
θ est un argument de z et on le note Arg(z). L’argument de z qui appartient `a ]−π,π] estRe(z) = et Im(z) =
2 2i
appel´e argument principal de z.
les ´equivalences suivantes :
• Soit a, b deux r´eels et c un r´eel strictement positif. On dit que a est ´egal `a b modulo c, ce
qu’on note a≡ b [c], s’il existe k un entier tel que a = b+kc.
z∈R⇔ z = z z∈ iR⇔ z =−z Remarque : 0 est le seul complexe a` ne pas avoir d’argument.
⇐⇒|Re(z)| =|z| ⇐⇒|Im(z)| =|z|
′Proposition 2.19.— Soit z et z deux complexes non nuls, on a :
′ ′• Arg(zz )≡ (Arg(z)+Arg(z ))[2π]´ π■ Ecriture exponentielle des complexes ⋆• Arg(z)≡ [π]⇔z∈iR z 2′• Arg ≡ (Arg(z)−Arg(z ))[2π]
′D´efinitions et premi`eres propri´et´es z
⋆• Arg(z)≡ 0[π]⇔z∈R • Arg(z)≡−Arg(z)[2π]
´Th´eor`eme-D´efinition 2.15.— Ecriture exponentielle des complexes —. Pour tout complexe
non nul z, il existe un r´eel θ tel que :
Exponentielle complexe
iθ iθz =|z|e en posant e = cos(θ)+isin(θ). D´efinition : On ´etend la fonction exponentielle `a l’ensemble des complexes par la fonction suivante
d´efinie sur C par :
On parle d’´ecriture exponentielle ou trigonom´etrique de z. Ainsi, une forme trigonom´etrique de √ π exp :z�→ exp(Re(z))×exp(iIm(z))
−5 est 5exp(iπ), une de 1+ 3i est 2exp i .
3
′ ′ ′Proposition 2.20.— Soit z et z deux complexes, exp(z +z ) est exp(z)×exp(z ).
′ ′Proposition 2.16.— Si r et r sont deux r´eels strictement positifs et θ et θ deux r´eels, on a :
′iθ ′ iθ ′ ′ ■ Interpr´etation g´eom´etriquere = r e ⇔ r = r et∃k∈Z tel que θ = θ +2kπ
Dans cette partie, x et y sont deux r´eels, z est x+iy et M est le point du plan de coordonn´ees
→ →
u v(x,y) ou` le plan a ´et´e muni d’un rep`ere (O, , ).
′Proposition 2.17.— Soit ρ et ρ deux nombres (ρ suppos´e non nul pour propri´et´e avec l’inverse),
′ Vocabulaire : On dit que M est l’image de z et que z est l’affixe de M. On note M(z).θ et θ deux r´eels et n un entier, alors on a :
′ ′ ′Prenons z et z deux complexes. On introduit les points M(z), N(z ) et S(z +z ).
′ ′iθ ′ iθ ′ iθ+θ −iθiθ • Interpr´etation de l’addition : MNOS est un parall´elogramme.• ρe ×ρ e = ρρ e • ρe = ρe
1−1iθ −iθ n • Interpr´etation du conjugu´e : C(z) est le sym´etrique de M(z) par rapport a` l’axe des r´eels.• ρe = e iθ n inθ• ρe = ρ eρ −−→ −−→′• Interpr´etation du module : |z| est la distance||OM||, |z−z| est la distance ||NM||. Ainsi,
si r est un r´eel positif, l’ensemble{w∈C tel que :|w−z| = r} est l’ensemble des affixes des
points du cercle de centre M(z) et de rayon r.
Formules d’Euler • Interpr´etation de l’in´egalit´e triangulaire : L’in´egalit´e triangulaire signifie g´eom´etriquement
−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→
que : ||OS|| ≤ ||OM|| +||MS|| et on a le cas particulier ||OS|| = ||OM|| +||MS|| si et
seulement si M est un point du segment [OS]. Disons simplement que, pour aller de O `a S,Proposition 2.18.— Formules d’Euler —. Pour tout r´eel θ, on a :
le plus court est de prendre la droite et pas de faire un d´etour par M.
iθ −iθ iθ −iθe +e e −e −−→ −→ −→cos(θ) = et sin(θ) = . • Interpr´etation de l’argument : Si θ est un argument de M alors OM est|z|u en notant uθ θ
2 2i −→ −→
le vecteur cos(θ)u +sin(θ)v .(|z|,θ) est donc un couple de coordonn´ees polaires de M.
´■■36 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 37■■nn 36 ChapIT r E 2Notion d’argument
Proposition 2.14.— Soit z un complexe. On note iR l’ensemble des imaginaires purs. On d´eduit
iθde ces ´egalit´es : Vocabulaire : • Soit z un complexe non nul. Si θ, un r´eel, v´erifie z =|z|e alors on dit que
z +z z−z
θ est un argument de z et on le note Arg(z). L’argument de z qui appartient a` ]−π,π] estRe(z) = et Im(z) =
2 2i
appel´e argument principal de z.
les ´equivalences suivantes :
• Soit a, b deux r´eels et c un r´eel strictement positif. On dit que a est ´egal `a b modulo c, ce
qu’on note a≡ b [c], s’il existe k un entier tel que a = b+kc.
z∈R⇔ z = z z∈ iR⇔ z =−z Remarque : 0 est le seul complexe a` ne pas avoir d’argument.
⇐⇒|Re(z)| =|z| ⇐⇒|Im(z)| =|z|
′Proposition 2.19.— Soit z et z deux complexes non nuls, on a :
′ ′• Arg(zz )≡ (Arg(z)+Arg(z ))[2π]´ π■ Ecriture exponentielle des complexes ⋆• Arg(z)≡ [π]⇔z∈iR z 2′• Arg ≡ (Arg(z)−Arg(z ))[2π]
′D´efinitions et premi`eres propri´et´es z
⋆• Arg(z)≡ 0[π]⇔z∈R • Arg(z)≡−Arg(z)[2π]
´Th´eor`eme-D´efinition 2.15.— Ecriture exponentielle des complexes —. Pour tout complexe
non nul z, il existe un r´eel θ tel que :
Exponentielle complexe
iθ iθz =|z|e en posant e = cos(θ)+isin(θ). D´efinition : On ´etend la fonction exponentielle a` l’ensemble des complexes par la fonction suivante
d´efinie sur C par :
On parle d’´ecriture exponentielle ou trigonom´etrique de z. Ainsi, une forme trigonom´etrique de √ π exp :z�→ exp(Re(z))×exp(iIm(z))
−5 est 5exp(iπ), une de 1+ 3i est 2exp i .
3
′ ′ ′Proposition 2.20.— Soit z et z deux complexes, exp(z +z ) est exp(z)×exp(z ).
′ ′Proposition 2.16.— Si r et r sont deux r´eels strictement positifs et θ et θ deux r´eels, on a :
′iθ ′ iθ ′ ′ ■ Interpr´etation g´eom´etriquere = r e ⇔ r = r et∃k∈Z tel que θ = θ +2kπ
Dans cette partie, x et y sont deux r´eels, z est x+iy et M est le point du plan de coordonn´ees
→ →
u v(x,y) ou` le plan a ´et´e muni d’un rep`ere (O, , ).
′Proposition 2.17.— Soit ρ et ρ deux nombres (ρ suppos´e non nul pour propri´et´e avec l’inverse),
′ Vocabulaire : On dit que M est l’image de z et que z est l’affixe de M. On note M(z).θ et θ deux r´eels et n un entier, alors on a :
′ ′ ′Prenons z et z deux complexes. On introduit les points M(z), N(z ) et S(z +z ).
′ ′iθ ′ iθ ′ iθ+θ −iθiθ • Interpr´etation de l’addition : MNOS est un parall´elogramme.• ρe ×ρ e = ρρ e • ρe = ρe
1−1iθ −iθ n • Interpr´etation du conjugu´e : C(z) est le sym´etrique de M(z) par rapport `a l’axe des r´eels.• ρe = e iθ n inθ• ρe = ρ eρ −−→ −−→′• Interpr´etation du module : |z| est la distance||OM||, |z−z| est la distance ||NM||. Ainsi,
si r est un r´eel positif, l’ensemble{w∈C tel que :|w−z| = r} est l’ensemble des affixes des
points du cercle de centre M(z) et de rayon r.
Formules d’Euler • Interpr´etation de l’in´egalit´e triangulaire : L’in´egalit´e triangulaire signifie g´eom´etriquement
−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→
que : ||OS|| ≤ ||OM|| +||MS|| et on a le cas particulier ||OS|| = ||OM|| +||MS|| si et
seulement si M est un point du segment [OS]. Disons simplement que, pour aller de O `a S,Proposition 2.18.— Formules d’Euler —. Pour tout r´eel θ, on a :
le plus court est de prendre la droite et pas de faire un d´etour par M.
iθ −iθ iθ −iθe +e e −e −−→ −→ −→cos(θ) = et sin(θ) = . • Interpr´etation de l’argument : Si θ est un argument de M alors OM est|z|u en notant uθ θ
2 2i −→ −→
le vecteur cos(θ)u +sin(θ)v .(|z|,θ) est donc un couple de coordonn´ees polaires de M.
´■■36 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 37■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn



■ R´esolutions d’´equations alg´ebriques
M´ethodesDans cette partie, a sera un r´eel non nul, b et c deux r´eels. On cherche a` r´esoudre l’´equation
d’inconnue z complexe suivante :
2az +bz +c =0 ■ Les r´eels
®√
Δ si Δ≥ 0 2Proposition 2.21.— Soit Δ un r´eel. On pose : δ = √ . On a alors δ = Δ. M´ethode 2.1.— R´esoudre une ´equation/in´equation avec une valeur absolue
i −Δ si Δ < 0 Vous pouvez d´eja` commencer par tenter de vous d´ebarrasser des valeurs absolues en
cherchant le signe de la quantit´e `a l’int´erieur de la valeur absolue avant de retirer cette
Remarque : on verra dans les m´ethodes comment trouver en pratique un tel complexe.
valeur absolue (|f(x)| = f(x) si f(x) est positif, −f(x) sinon!). Attention, si on a du
|f(x)|, on veut le signe de f(x) et pas celui de x! (Ne pas dire|x−1| =x−1 si x positif
2 2Proposition 2.22.— Soit δ un complexe tel que δ = b −4ac. Pour tout complexe z, on a : mais |x− 1| = x− 1 si x sup´erieur `a 1!). Pour r´esoudre une ´equation avec une valeur
absolue, on isole cette valeur absolue et on utilise le fait que, pour tout r´eel A, on a−b+δ −b−δ2az +bz+c =0⇐⇒ z = ou z = . |A|�=B si B< 0 et, si C est positif, on a :
2a 2a
|A| =C⇐⇒ (A =C ou A =−C).
®
bz +z =− Pour r´esoudre une in´equation avec une valeur absolue, on isole cette valeur absolue et1 2 aProposition 2.23.— Les racines z et z de cette ´equation v´erifient : .1 2 c on utilise le fait que, pour tout r´eel A, on n’a jamais |A| <B si B< 0, on a toujoursz ×z =1 2 a® |A|≥B si B< 0, et, si C est positif, on a :bz +z =−1 2 aR´eciproquement, si z et z sont deux complexes tels que : alors z et z sont1 2 1 2cz ×z =1 2 |A|<C⇐⇒−C <A<C et |A|≥C⇐⇒ (A≥C ou A≤−C)a
2solutions de l’´equation az +bz+c = 0 d’inconnue z complexe.
Mise en œuvre : exercice 2.2 et aussi exercice 2.1.

2 Exemple : On veut r´esoudre l’in´equation x −4+2x ≤ 3 d’inconnue x r´eel. On sait trouver le
signe d’un polynˆ ome du second degr´e. On en d´eduit que, pour tout r´eel x, on a :

2 2 2 x −4+2x ≤ 3⇐⇒ x −4+2x≤ 3 et x −4+2x≥−3
2 2⇐⇒ x +2x−7≤ 0 et x +2x−1≥ 0
√ √ √ √
⇐⇒ x∈ [−1− 8,−1+ 8]∩(]−∞,−1− 2]∪[−1+ 2,+∞[)
√ √ √ √
⇐⇒ x∈ [−1− 8,−1− 2]∪[−1+ 2,−1+ 8]
M´ethode 2.2.— R´esoudre une ´equation/in´equation avec une partie enti`ere
Pour prouver une ´egalit´e avec une partie enti`ere, on isole cette partie enti`ere pour se
ramener `a un probl`eme du type ”Montrer que B = ⌊A⌋”, cela revient a` prouver que
B est un entier inf´erieur `a A et que A est strictement inf´erieur a` B +1. Pour prouver
une in´egalit´e avec une partie enti`ere, on isole cette partie enti`ere pour se ramener `a un
probl`eme du type ”Montrer que B ≤ ⌊A⌋” ou bien ”Montrer que B ≥ ⌊A⌋” et, pour
encadrer notre partie enti`ere, il faut connaˆıtre ces quelques propri´et´es :
1. La partie enti`ere est une fonction croissante.
2. La partie enti`ere de k avec k entier est k.
3. Pour tout r´eel a, on a : a−1<⌊a⌋≤a.
Mise en œuvre : exercice 2.3 et aussi exercice 2.4.
´■■ 38 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 39■■nn 38 ChapIT r E 2



■ R´esolutions d’´equations alg´ebriques
M´ethodesDans cette partie, a sera un r´eel non nul, b et c deux r´eels. On cherche a` r´esoudre l’´equation
d’inconnue z complexe suivante :
2az +bz +c =0 ■ Les r´eels
®√
Δ si Δ≥ 0 2Proposition 2.21.— Soit Δ un r´eel. On pose : δ = √ . On a alors δ = Δ. M´ethode 2.1.— R´esoudre une ´equation/in´equation avec une valeur absolue
i −Δ si Δ < 0 Vous pouvez d´ej`a commencer par tenter de vous d´ebarrasser des valeurs absolues en
cherchant le signe de la quantit´e `a l’int´erieur de la valeur absolue avant de retirer cette
Remarque : on verra dans les m´ethodes comment trouver en pratique un tel complexe.
valeur absolue (|f(x)| = f(x) si f(x) est positif, −f(x) sinon!). Attention, si on a du
|f(x)|, on veut le signe de f(x) et pas celui de x! (Ne pas dire|x−1| = x−1 si x positif
2 2Proposition 2.22.— Soit δ un complexe tel que δ = b −4ac. Pour tout complexe z, on a : mais |x− 1| = x− 1 si x sup´erieur `a 1!). Pour r´esoudre une ´equation avec une valeur
absolue, on isole cette valeur absolue et on utilise le fait que, pour tout r´eel A, on a−b+δ −b−δ2az +bz+c =0⇐⇒ z = ou z = . |A|�= B si B< 0 et, si C est positif, on a :
2a 2a
|A| =C⇐⇒ (A = C ou A =−C).
®
bz +z =− Pour r´esoudre une in´equation avec une valeur absolue, on isole cette valeur absolue et1 2 aProposition 2.23.— Les racines z et z de cette ´equation v´erifient : .1 2 c on utilise le fait que, pour tout r´eel A, on n’a jamais |A| <B si B< 0, on a toujoursz ×z =1 2 a® |A|≥B si B< 0, et, si C est positif, on a :bz +z =−1 2 aR´eciproquement, si z et z sont deux complexes tels que : alors z et z sont1 2 1 2cz ×z =1 2 |A|<C⇐⇒−C <A<C et |A|≥C⇐⇒ (A≥ C ou A≤−C)a
2solutions de l’´equation az +bz+c = 0 d’inconnue z complexe.
Mise en œuvre : exercice 2.2 et aussi exercice 2.1.

2 Exemple : On veut r´esoudre l’in´equation x −4+2x ≤ 3 d’inconnue x r´eel. On sait trouver le
signe d’un polynˆ ome du second degr´e. On en d´eduit que, pour tout r´eel x, on a :

2 2 2 x −4+2x ≤ 3⇐⇒ x −4+2x≤ 3 et x −4+2x≥−3
2 2⇐⇒ x +2x−7≤ 0 et x +2x−1≥ 0
√ √ √ √
⇐⇒ x∈ [−1− 8,−1+ 8]∩(]−∞,−1− 2]∪[−1+ 2,+∞[)
√ √ √ √
⇐⇒ x∈ [−1− 8,−1− 2]∪[−1+ 2,−1+ 8]
M´ethode 2.2.— R´esoudre une ´equation/in´equation avec une partie enti`ere
Pour prouver une ´egalit´e avec une partie enti`ere, on isole cette partie enti`ere pour se
ramener a` un probl`eme du type ”Montrer que B = ⌊A⌋”, cela revient a` prouver que
B est un entier inf´erieur `a A et que A est strictement inf´erieur `a B +1. Pour prouver
une in´egalit´e avec une partie enti`ere, on isole cette partie enti`ere pour se ramener a` un
probl`eme du type ”Montrer que B ≤ ⌊A⌋” ou bien ”Montrer que B ≥ ⌊A⌋” et, pour
encadrer notre partie enti`ere, il faut connaˆıtre ces quelques propri´et´es :
1. La partie enti`ere est une fonction croissante.
2. La partie enti`ere de k avec k entier est k.
3. Pour tout r´eel a, on a : a−1<⌊a⌋≤a.
Mise en œuvre : exercice 2.3 et aussi exercice 2.4.
´■■ 38 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 39■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
Méthodes



M´ethode 2.3.— Maˆıtriser Borne sup, majorant et max M´ethode 2.5.— Comment calculer partie r´eelle et partie imaginaire
Appelons A un ensemble de r´eels et M un r´eel. Pour ´evaluer partie r´eelle et partie imaginaire d’un complexe z, on va distinguer trois
cas :• PourprouverqueM estun majorantdeA,il faut d´emontrerque,pourtout´el´ement
x de A, on a bien x≤ M. 1. Si z est sous forme alg´ebrique, sous la forme a+ ib avec a et b deux r´eels, on peut
tout de suite affirmer que :• Pour prouver que M est le maximum de A, il faut v´erifier que M appartient a` A
et que c’est de plus un majorant de A.
Re(z)= a et Im(z) = b.
• Pour prouver que M est la borne sup´erieure de A, il faut d´emontrer que M est un
iθmajorant de A et que c’est le plus petit, c’est-`a-dire s’assurer que tous les M +ε, 2. Si z est sous forme trigonom´etrique, sous la forme ρe avec ρ r´eel et θ r´eel, on a :
avec ε strictement positifs, ne sont pas des majorants de A, ce qui signifie que :
Re(z) = ρcos(θ) et Im(z) = ρsin(θ).

∀ ε∈R ,∃ x∈ A tel que : x >M −ε.+
3. Sinon, si z s’´ecrit sous forme d’une somme de complexes dont on connaˆıt parties
r´eelles et imaginaires, on sait que la partie r´eelle de la somme est la somme des
Mise en œuvre : exercice 2.5. parties r´eelles et la partie imaginaire de la somme est la somme des parties
imaginaires.
z + z z− z
Remarque : on rappelle que Re(z) est , Im(z) est .
2 2i
■ Op´erations de base dans C
M´ethode 2.6.— Comment ´evaluer module et conjugu´e
M´ethode 2.4.— Comment calculer somme, produit et compagnie Trouver conjugu´e et module d’un complexe, c’est plutˆot simple. Rappelons simplement√
2 2 2On suit les mˆemes r`egles de calcul que dansR en sachant simplement que i =−1. Faire que le conjugu´e de a + ib, avec a et b deux r´eels, est a− ib. Son module est a + b .
`une somme, un produit, un quotient ne posent pas trop de souci. A noter cependant : Il faut donc simplement appliquer son cours! Sous forme exponentielle, le conjugu´e de
iθ −iθρe , avec ρ r´eel positif et θ r´eel, est ρe et son module est ρ.1. Pour le produit et le quotient, la forme exponentielle est la plus adapt´ee car :
ρ exp(iθ )×ρ exp(iθ ) = ρ ρ exp(iθ +θ )1 1 2 2 1 2 1 2
2 2ρ exp(iθ ) ρ1 1 1 Exemple : Soit z un complexe de module 1. Calculons|1+ z| +|1− z| . On d´eveloppe := exp(i(θ −θ )).1 2
ρ exp(iθ ) ρ2 2 2
2. Pour la somme, le plus simple est d’avoir la forme alg´ebrique.
3. Sioncherchelaformealg´ebriqued’un quotient,onvamultipliernum´erateurcomme 2 2|1+ z| +|1− z| = (1+ z)× 1+ z +(1− z)× 1− z2d´enominateur par le conjugu´e du d´enominateur puisque |z| est un r´eel et :
= (1+ z)×(1+ z)+(1− z)×(1− z)
1 1
= ×z.
2z |z|
= 1+ zz + z + z +1+ zz− z− z
2= 1+1+2|z|
=42i
Exemple : La partie r´eelle de est −1 car :
1−i
2 2 2 2 2Attention, cela ne donne pas 1+2z+z +1−2z+z . C’est vrai que (z +z ) est z +2z z +z ,2i 2i(1+i) 2i−2 1 2 1 21 2
= = . 2mais pas|z + z | .1 21−i (1−i)(1+i) 2
´■■40 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 41■■nn 40 ChapIT r E 2



M´ethode 2.3.— Maˆıtriser Borne sup, majorant et max M´ethode 2.5.— Comment calculer partie r´eelle et partie imaginaire
Appelons A un ensemble de r´eels et M un r´eel. Pour ´evaluer partie r´eelle et partie imaginaire d’un complexe z, on va distinguer trois
cas :• PourprouverqueM estun majorantdeA,il faut d´emontrerque,pourtout´el´ement
x de A, on a bien x≤ M. 1. Si z est sous forme alg´ebrique, sous la forme a+ ib avec a et b deux r´eels, on peut
tout de suite affirmer que :• Pour prouver que M est le maximum de A, il faut v´erifier que M appartient `a A
et que c’est de plus un majorant de A.
Re(z)= a et Im(z) = b.
• Pour prouver que M est la borne sup´erieure de A, il faut d´emontrer que M est un
iθmajorant de A et que c’est le plus petit, c’est-`a-dire s’assurer que tous les M +ε, 2. Si z est sous forme trigonom´etrique, sous la forme ρe avec ρ r´eel et θ r´eel, on a :
avec ε strictement positifs, ne sont pas des majorants de A, ce qui signifie que :
Re(z) = ρcos(θ) et Im(z) = ρsin(θ).

∀ ε∈R ,∃ x∈ A tel que : x >M −ε.+
3. Sinon, si z s’´ecrit sous forme d’une somme de complexes dont on connaˆıt parties
r´eelles et imaginaires, on sait que la partie r´eelle de la somme est la somme des
Mise en œuvre : exercice 2.5. parties r´eelles et la partie imaginaire de la somme est la somme des parties
imaginaires.
z + z z− z
Remarque : on rappelle que Re(z) est , Im(z) est .
2 2i
■ Op´erations de base dans C
M´ethode 2.6.— Comment ´evaluer module et conjugu´e
M´ethode 2.4.— Comment calculer somme, produit et compagnie Trouver conjugu´e et module d’un complexe, c’est plutˆot simple. Rappelons simplement√
2 2 2On suit les mˆemes r`egles de calcul que dansR en sachant simplement que i =−1. Faire que le conjugu´e de a + ib, avec a et b deux r´eels, est a− ib. Son module est a + b .
`une somme, un produit, un quotient ne posent pas trop de souci. A noter cependant : Il faut donc simplement appliquer son cours! Sous forme exponentielle, le conjugu´e de
iθ −iθρe , avec ρ r´eel positif et θ r´eel, est ρe et son module est ρ.1. Pour le produit et le quotient, la forme exponentielle est la plus adapt´ee car :
ρ exp(iθ )×ρ exp(iθ ) = ρ ρ exp(iθ +θ )1 1 2 2 1 2 1 2
2 2ρ exp(iθ ) ρ1 1 1 Exemple : Soit z un complexe de module 1. Calculons|1+ z| +|1− z| . On d´eveloppe := exp(i(θ −θ )).1 2
ρ exp(iθ ) ρ2 2 2
2. Pour la somme, le plus simple est d’avoir la forme alg´ebrique.
3. Sioncherchelaformealg´ebriqued’un quotient,onvamultipliernum´erateurcomme 2 2|1+ z| +|1− z| = (1+ z)× 1+ z +(1− z)× 1− z2d´enominateur par le conjugu´e du d´enominateur puisque |z| est un r´eel et :
= (1+ z)×(1+ z)+(1− z)×(1− z)
1 1
= ×z.
2z |z|
= 1+ zz + z + z +1+ zz− z− z
2= 1+1+2|z|
=42i
Exemple : La partie r´eelle de est −1 car :
1−i
2 2 2 2 2Attention, cela ne donne pas 1+2z+z +1−2z+z . C’est vrai que (z +z ) est z +2z z +z ,2i 2i(1+i) 2i−2 1 2 1 21 2
= = . 2mais pas|z + z | .1 21−i (1−i)(1+i) 2
´■■40 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 41■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
Méthodes



M´ethode 2.7.— Comment trouver un argument M´ethode 2.9.— Comment trouver les racines n-i`eme de l’unit´e
nPour trouver un argument d’un complexe z, on va distinguer deux cas : On veut trouver les complexes z tels que z = 1 (avec n entier naturel fix´e). On va
iθ identifier en utilisant la forme trigonom´etrique. On commence par dire que 0 n’est pas1. Si on a la forme trigonom´etrique, c’est gagn´e. Un argument de ρe est θ si ρ> 0
solution de notre ´equation (a` dire pour utiliser la notion d’argument) et on prend z unet θ r´eel et θ+π si ρ< 0 et θ r´eel.
complexe non nul. On a alors :
2. Sinon, un peu comme avec le module, on essaye d’exprimer z sous forme de
ß
nquotient ou de produit de bloc dont on connaˆıt un argument (ce qui n’est pas |z | =1nz =1⇐⇒ nforc´ement facile). Pour trouver un argument d’un bloc du type a + ib (avec a arg (z )≡ 0[2π]
ßet b deux r´eels pas tous les deux nuls), on factorise par son module pour obte- nÅ ã |z| =1√ a b ⇐⇒2 2 √ √nir a +b +i et on cherche un r´eel θ tel que cos(θ)= narg (z)≡ 0[2π]
2 2 2 2a +b a +b ß
a b |z| =1
√ et sin(θ)= √ (on souhaite donc obtenir des valeurs connues). θ ⇐⇒
2 2 2 2 arg (z)≡ 0[2π/n]a +b a +b
2ikπsera alors un argument de ce complexe.
n⇐⇒∃k∈ 0;n−1 tel que z = e
iArg(z)Une fois ce travail effectu´e, on a acc`es `a la forme exponentielle de z car z est|z|e .
Mise en œuvre : exercice 2.6, exercice 2.8 et exercice 2.7.
Mise en œuvre : exercice 2.13.Remarque : l’angle moiti´e est un grand classique pour trouver un argument d’un complexe qui se
pr´esente comme la somme d’exponentielles complexes :
Å ã
θ+φ θ−φ φ−θ θ+φ θ−φi i i i niθ iφ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 Remarque : ne pas dire que seule 1 est le seul complexe z tel que : z = 1 en ´evoquant la fonctione +e = e e +e = 2e cos
2 1/n +x�→ x dont on vous rappelle qu’elle est bijective surR (et pas surC).
Å ã
θ+φ θ−φ φ−θ θ+φ θ−φiθ iφ i i i i( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2e −e = e e −e = 2ie sin
2
θiθ i θ2et en particulier 1+e =2e cos .
2 M´ethode 2.10.— Comment trouver les racines n-i`eme d’un complexe
nOn veut trouver les complexes z tels que z = α (avec n entier naturel fix´e et α un
complexe connu). On va identifier en utilisant la forme trigonom´etrique. on ´ecrit α sous
M´ethode 2.8.— Comment exploiter des ´egalit´es entre complexes forme trigonom´etrique, on appelle r son module et θ son argument et on fait un raison-a a
Dans un exercice sur les complexes, on va utiliser les formes alg´ebriques ou les formes nement similaire `a celui de la m´ethode pr´ec´edente. On regarde si 0 est ou non solution
exponentielles.On a vu commentpasser de l’une a` l’autre et r´eciproquement.Il faut donc
de notre ´equation puis on prend z un complexe non nul. On a :
savoir exploiter les ´egalit´es obtenues : Si a,b,x,y sont quatre r´eels, on a :
n n iθaz = α⇐⇒ z = r ea
a+ib = x+iy⇔ a = x et b = y. ß
n|z | = ra⇐⇒ n′ ′ arg (z )≡ θ [2π]Si r et r sont deux r´eels strictement positifs et θ et θ deux r´eels, on a : a
ß n
|z| = r′ aiθ ′ iθ ′ ′ ⇐⇒re = r e ⇔ r = r et∃k∈Z tel que θ = θ +2kπ. narg (z)≡ θ [2π]a
ß √
n|z| = ra⇐⇒Mise en œuvre : exercice 2.15. arg (z)≡ θ /n[2π/n]a
√ iθ +2ikπa
n n⇐⇒∃k∈ 0;n−1/z = r ea
■ Autours des racines n-i`eme
Remarque : la notion de racine n-i`eme est hors-programme mais on se rend compte que beaucoup
d’exercices pour BCPST repose l`a-dessus (sans parler explicitement de racine n-i`eme) et que,
finalement, cela n’utilise que le concept d’´ecriture exponentielle qui est au programme. Mise en œuvre : exercice 2.14, exercice 2.12 et exercice 2.11.
´■■42 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 43■■nn 42 ChapIT r E 2



M´ethode 2.7.— Comment trouver un argument M´ethode 2.9.— Comment trouver les racines n-i`eme de l’unit´e
nPour trouver un argument d’un complexe z, on va distinguer deux cas : On veut trouver les complexes z tels que z = 1 (avec n entier naturel fix´e). On va
iθ identifier en utilisant la forme trigonom´etrique. On commence par dire que 0 n’est pas1. Si on a la forme trigonom´etrique, c’est gagn´e. Un argument de ρe est θ si ρ> 0
solution de notre ´equation (a` dire pour utiliser la notion d’argument) et on prend z unet θ r´eel et θ+π si ρ< 0 et θ r´eel.
complexe non nul. On a alors :
2. Sinon, un peu comme avec le module, on essaye d’exprimer z sous forme de
ß
nquotient ou de produit de bloc dont on connaˆıt un argument (ce qui n’est pas |z | =1nz =1⇐⇒ nforc´ement facile). Pour trouver un argument d’un bloc du type a + ib (avec a arg (z )≡ 0[2π]
ßet b deux r´eels pas tous les deux nuls), on factorise par son module pour obte- nÅ ã |z| =1√ a b ⇐⇒2 2 √ √nir a +b +i et on cherche un r´eel θ tel que cos(θ)= narg (z)≡ 0[2π]
2 2 2 2a +b a +b ß
a b |z| =1
√ et sin(θ)= √ (on souhaite donc obtenir des valeurs connues). θ ⇐⇒
2 2 2 2 arg (z)≡ 0[2π/n]a +b a +b
2ikπsera alors un argument de ce complexe.
n⇐⇒∃k∈ 0;n−1 tel que z = e
iArg(z)Une fois ce travail effectu´e, on a acc`es a` la forme exponentielle de z car z est|z|e .
Mise en œuvre : exercice 2.6, exercice 2.8 et exercice 2.7.
Mise en œuvre : exercice 2.13.Remarque : l’angle moiti´e est un grand classique pour trouver un argument d’un complexe qui se
pr´esente comme la somme d’exponentielles complexes :
Å ã
θ+φ θ−φ φ−θ θ+φ θ−φi i i i niθ iφ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 Remarque : ne pas dire que seule 1 est le seul complexe z tel que : z = 1 en ´evoquant la fonctione +e = e e +e = 2e cos
2 1/n +x�→ x dont on vous rappelle qu’elle est bijective surR (et pas surC).
Å ã
θ+φ θ−φ φ−θ θ+φ θ−φiθ iφ i i i i( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2e −e = e e −e = 2ie sin
2
θiθ i θ2et en particulier 1+e =2e cos .
2 M´ethode 2.10.— Comment trouver les racines n-i`eme d’un complexe
nOn veut trouver les complexes z tels que z = α (avec n entier naturel fix´e et α un
complexe connu). On va identifier en utilisant la forme trigonom´etrique. on ´ecrit α sous
M´ethode 2.8.— Comment exploiter des ´egalit´es entre complexes forme trigonom´etrique, on appelle r son module et θ son argument et on fait un raison-a a
Dans un exercice sur les complexes, on va utiliser les formes alg´ebriques ou les formes nement similaire a` celui de la m´ethode pr´ec´edente. On regarde si 0 est ou non solution
exponentielles.On a vu commentpasser de l’une `a l’autre et r´eciproquement.Il faut donc
de notre ´equation puis on prend z un complexe non nul. On a :
savoir exploiter les ´egalit´es obtenues : Si a,b,x,y sont quatre r´eels, on a :
n n iθaz = α⇐⇒ z = r ea
a+ib = x+iy⇔ a = x et b = y. ß
n|z | = ra⇐⇒ n′ ′ arg (z )≡ θ [2π]Si r et r sont deux r´eels strictement positifs et θ et θ deux r´eels, on a : a
ß n
|z| = r′ aiθ ′ iθ ′ ′ ⇐⇒re = r e ⇔ r = r et∃k∈Z tel que θ = θ +2kπ. narg (z)≡ θ [2π]a
ß √
n|z| = ra⇐⇒Mise en œuvre : exercice 2.15. arg (z)≡ θ /n[2π/n]a
√ iθ +2ikπa
n n⇐⇒∃k∈ 0;n−1/z = r ea
■ Autours des racines n-i`eme
Remarque : la notion de racine n-i`eme est hors-programme mais on se rend compte que beaucoup
d’exercices pour BCPST repose l`a-dessus (sans parler explicitement de racine n-i`eme) et que,
finalement, cela n’utilise que le concept d’´ecriture exponentielle qui est au programme. Mise en œuvre : exercice 2.14, exercice 2.12 et exercice 2.11.
´■■42 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 43■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
Méthodes



Å ã2 2■ R´esolution d’´equation b b −4ac2Exemple : Apr`es az +bz+c =0⇔ z + = et avoir trouv´e un complexe δ tel que
22a 4a
2 2δ = b −4ac alors on poursuit le raisonnement ainsi :
Å ã Å ã2 2 M´ethode2.11.— Commentr´esoudreune´equationduseconddegr´e`acœfficients b δ2az +bz +c =0⇐⇒ z + =r´eels 2a 2a
2 Å ãÅ ãOn veut r´esoudre l’´equation az +bz +c = 0 d’inconnue z complexe avec a,b et c trois
b−δ b+δ
r´eels et a non-nul. Pas de souci, on sait que : ⇐⇒ z + z + = 0
2a 2a
 √ √
−b−δ −b+δ −b+ Δ −b− Δ ⇐⇒ z = ou z = z = ou si Δ > 0 2a 2a2a 2a Mise en œuvre : exercice 2.10.−b2az +bz +c =0⇐⇒ z = si Δ= 0
 2a √ √ −b+i −Δ −b−i −Δ z = ou si Δ < 0
2a 2a
2avec Δ = b −4ac.
Mise en œuvre : exercice 2.9.
M´ethode 2.12.— Comment trouver une racine carr´ee d’un complexe
2On cherche δ un complexe tel que δ = α avec α un complexe connu. Le plus simple
iθest d’´ecrire α sous la forme ρe (donc sous forme exponentielle) avec ρ et θ deux r´eels
√ iθ/2et ρ≥ 0 puis de prendre par exemple δ = ρe . S’il est difficile d’obtenir la forme
exponentiellede αalorson´ecriraδ souslaformea+ib(avecaetbdesr´eels),ond´eveloppe
et on identifie. A priori, c’est assez p´enible.
� �√ √ π2Exemple : Si on cherche un complexe a tel que a = 2(1 + i), on constate que 2exp i
8� �√ π
convient car 2(1+i) = 2exp i .
4
M´ethode2.13.— Commentr´esoudreune´equationduseconddegr´e`acœfficients
complexes
2On veut r´esoudre l’´equation az + bz + c = 0 d’inconnue z complexe avec a,b et c
trois complexes et a non-nul. On se d´ebarrasse du coefficient de z en utilisant la forme
canonique :
Å ã Å ã2 2b c b b −4ac2 2az +bz +c =0⇔ a z + z + = 0⇔ z + =
2a a 2a 4a
2 2puis on cherche un complexe δ tel que δ = b −4ac en utilisant la m´ethode pr´ec´edente
−b±δ
et on d´emontre (cf. d´emonstration dans l’exemple) que les solutions sont .
2a
´■■44 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 45■■nn 44 ChapIT r E 2



Å ã2 2■ R´esolution d’´equation b b −4ac2Exemple : Apr`es az +bz+c =0⇔ z + = et avoir trouv´e un complexe δ tel que
22a 4a
2 2δ = b −4ac alors on poursuit le raisonnement ainsi :
Å ã Å ã2 2 M´ethode2.11.— Commentr´esoudreune´equationduseconddegr´e`acœfficients b δ2az +bz +c =0⇐⇒ z + =r´eels 2a 2a
2 Å ãÅ ãOn veut r´esoudre l’´equation az +bz +c = 0 d’inconnue z complexe avec a,b et c trois
b−δ b+δ
r´eels et a non-nul. Pas de souci, on sait que : ⇐⇒ z + z + = 0
2a 2a
 √ √
−b−δ −b+δ −b+ Δ −b− Δ ⇐⇒ z = ou z = z = ou si Δ > 0 2a 2a2a 2a Mise en œuvre : exercice 2.10.−b2az +bz +c =0⇐⇒ z = si Δ= 0
 2a √ √ −b+i −Δ −b−i −Δ z = ou si Δ < 0
2a 2a
2avec Δ = b −4ac.
Mise en œuvre : exercice 2.9.
M´ethode 2.12.— Comment trouver une racine carr´ee d’un complexe
2On cherche δ un complexe tel que δ = α avec α un complexe connu. Le plus simple
iθest d’´ecrire α sous la forme ρe (donc sous forme exponentielle) avec ρ et θ deux r´eels
√ iθ/2et ρ≥ 0 puis de prendre par exemple δ = ρe . S’il est difficile d’obtenir la forme
exponentiellede αalorson´ecriraδ souslaformea+ib(avecaetbdesr´eels),ond´eveloppe
et on identifie. A priori, c’est assez p´enible.
� �√ √ π2Exemple : Si on cherche un complexe a tel que a = 2(1 + i), on constate que 2exp i
8� �√ π
convient car 2(1+i) = 2exp i .
4
M´ethode2.13.— Commentr´esoudreune´equationduseconddegr´e`acœfficients
complexes
2On veut r´esoudre l’´equation az + bz + c = 0 d’inconnue z complexe avec a,b et c
trois complexes et a non-nul. On se d´ebarrasse du coefficient de z en utilisant la forme
canonique :
Å ã Å ã2 2b c b b −4ac2 2az +bz +c =0⇔ a z + z + = 0⇔ z + =
2a a 2a 4a
2 2puis on cherche un complexe δ tel que δ = b −4ac en utilisant la m´ethode pr´ec´edente
−b±δ
et on d´emontre (cf. d´emonstration dans l’exemple) que les solutions sont .
2a
´■■44 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 45■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
Méthodes´
Vrai/Faux Enonc´e des exercices
Vrai Faux ■ Les r´eels
Exercice 2.1 : R´esoudre les deux ´equations suivantes d’inconnue x r´eel :1. Si a est inf´erieur `a la borne sup´erieur d’un ensemble A alors a
est dans A. √
2|x −4x+3| = x−3 et x+ 2x+1 =1.
2. La borne sup´erieur d’un ensemble A appartient `a A.
Exercice 2.2 : R´esoudre l’in´equation suivante d’inconnue x r´eel :
3. ⌊x⌋×⌊y⌋ est ⌊xy⌋.
2|x−1|+|x −5x+4|≤ 4|x−1|.
4. Si a+ib = c+id avec a, b, c et d quatre complexes alors a = c
et c = d.
Exercice 2.3 : Soit n et m deux entiers naturels. Montrer l’´egalit´e suivante :
5. La partie imaginaire de 5+2i est 2i. õ û
n+m n−m+1
+ = n.
iθ 2 26. Un argument de ρe , avec ρ et θ deux r´eels, est θ.
27. i est le seul complexe a tel que a =−1. Exercice 2.4 : Soit n un entier naturel non nul. Pour tout r´eel x, on pose :
n õ ûn−18. L’´equation z = a d’inconnue z complexe avec n un entier x+k
f(x) = et g(x) = f(x)−⌊x⌋.naturel et a un complexe a n solutions complexes.
n
k=0
′ ′ ′9. Re(zz ) = Re(z)Re(z ) avec z et z deux complexes.
1. D´emontrer que, pour tout r´eel x, pour tout entier m, on a :
z Re(z)10. La partie r´eelle de e , avec z un complexe, est e .
⌊x+m⌋ =⌊x⌋+m.
2. D´emontrer que la fonction g est p´eriodique de p´eriode 1. õ û m m+1
3. En d´eduire que : f : x�→⌊x⌋ et enfin que, pour tout entier m, + est m.
2 2
ß ™
2x +2
Exercice 2.5 : Onpose:A = ,x∈R .D´eterminer,s’ilsexistent,max(A), sup(A),min(A)
2x +1
et inf(A).
■ Calculs de base dans C
Å ã4
1−i
Exercice 2.6 : Calculer .
1+i
Exercice 2.7 : On consid`ere les nombres complexes suivants :
√ √
6−i 2 z1
z = ,z =1−i et z = .1 2 3
2 z2

π
Mettre sous forme trigonom´etriqueces trois complexes puis donner les valeurs exactes de cos
12 π
et sin .
12
´ 46 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 47■■nn 46 ChapIT r E 2´
Vrai/Faux Enonc´e des exercices
Vrai Faux ■ Les r´eels
Exercice 2.1 : R´esoudre les deux ´equations suivantes d’inconnue x r´eel :1. Si a est inf´erieur a` la borne sup´erieur d’un ensemble A alors a
est dans A. √
2|x −4x+3| = x−3 et x+ 2x+1 =1.
2. La borne sup´erieur d’un ensemble A appartient `a A.
Exercice 2.2 : R´esoudre l’in´equation suivante d’inconnue x r´eel :
3. ⌊x⌋×⌊y⌋ est ⌊xy⌋.
2|x−1|+|x −5x+4|≤ 4|x−1|.
4. Si a+ib = c+id avec a, b, c et d quatre complexes alors a = c
et c = d.
Exercice 2.3 : Soit n et m deux entiers naturels. Montrer l’´egalit´e suivante :
5. La partie imaginaire de 5+2i est 2i. õ û
n+m n−m+1
+ = n.
iθ 2 26. Un argument de ρe , avec ρ et θ deux r´eels, est θ.
27. i est le seul complexe a tel que a =−1. Exercice 2.4 : Soit n un entier naturel non nul. Pour tout r´eel x, on pose :
n õ ûn−18. L’´equation z = a d’inconnue z complexe avec n un entier x+k
f(x) = et g(x) = f(x)−⌊x⌋.naturel et a un complexe a n solutions complexes.
n
k=0
′ ′ ′9. Re(zz ) = Re(z)Re(z ) avec z et z deux complexes.
1. D´emontrer que, pour tout r´eel x, pour tout entier m, on a :
z Re(z)10. La partie r´eelle de e , avec z un complexe, est e .
⌊x+m⌋ =⌊x⌋+m.
2. D´emontrer que la fonction g est p´eriodique de p´eriode 1. õ û m m+1
3. En d´eduire que : f : x�→⌊x⌋ et enfin que, pour tout entier m, + est m.
2 2
ß ™
2x +2
Exercice 2.5 : Onpose:A = ,x∈R .D´eterminer,s’ilsexistent,max(A), sup(A),min(A)
2x +1
et inf(A).
■ Calculs de base dans C
Å ã4
1−i
Exercice 2.6 : Calculer .
1+i
Exercice 2.7 : On consid`ere les nombres complexes suivants :
√ √
6−i 2 z1
z = ,z =1−i et z = .1 2 3
2 z2

π
Mettre sous forme trigonom´etriqueces trois complexes puis donner les valeurs exactes de cos
12 π
et sin .
12
´ 46 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 47■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nnExercice 2.8 : Mettre sous forme trigonom´etrique les complexes z , z et z suivants :1 2 3
Ç √ å IndicationsÄ √ ä1 3 exp(ia)+1
z = − +i × 1−i 3 ,z = (1+i)×(sin(θ)+icos(θ)) et z =1 2 3
2 2 1−exp(ia)
Ex. 2.1
avec a un ´el´ement de ]0,π[ et θ un r´eel.
A priori, quand on r´esout des ´equations, on cherche a` raisonner par ´equivalence! N’oubliez pas
de v´erifier que tout est bien d´efini et, si par hasard, vous ´elevez au carr´e une ´equation, sachez que
■ R´esolution d’´equations ce n’est possible que si les deux quantit´es sont de mˆeme signe!
Exercice 2.9 : Soit u un ´el´ement de ]0,π[. Trouver les solutions de l’´equation (E) et donner leur Ex. 2.2
2forme trigonom´etrique avec (E) l’´equation suivante d’inconnue z complexe : Commencez par factoriser |x −5x+4|, vous verrez que cet exercice n’est pas si calculatoire...
2z +2(1−cos(u))z +2(1−cos(u)) = 0 Ex. 2.3
Pensez a` distinguer les cas n+m est pair, n+m est impair.

2Exercice 2.10 : R´esoudre l’´equation z −2iz + 3×i = 0 d’inconnue z complexe. Ex. 2.4
Pour prouver que g est 1-p´eriodique, calculer f(x+1)−f(x)... Apr`es, il suffira d’´evaluer g sur
■ Autours des racines n-i`eme [0,1[ pour la connaˆıtre totalement et avoir au passage f.
6 6Exercice 2.11 : Calculer (1+i) et en d´eduire la r´esolution de l’´equation z =−8i d’inconnue z Ex. 2.5
6 6complexe. R´esoudre aussi l’´equation (z−1) +(z +1) = 0 d’inconnue z complexe. Rappelons que si le maximum existe, alors c’est la borne sup´erieure. Ne pas h´esiter a` repr´esenter
2x +2
la fonction f : x�→ .3 2Exercice 2.12 : R´esoudre l’´equation z =−2+2i d’inconnue z complexe. x +1
Ex. 2.6
Exercice 2.13 : On note (E) l’´equation suivante d’inconnue z complexe : Utiliser l’´ecriture exponentielle!
2 8 2 8 Ex. 2.7(z +1) =(z −1) .
Comparez les r´esultats que vous obtenez en passant par la forme trigonom´etrique et passant par
81. R´esoudre l’´equation z = 1 d’inconnue z complexe. la forme alg´ebrique.
2. On suppose que z est une solution de (E). Montrer qu’il existe k dans 1,7 tel que :
Ex. 2.8Å ã
kπ Pour z et z : relire la m´ethode sur la mise sous forme exponentielle. Pour z , pensez `a l’angle1 2 3cos
82 moiti´e.Å ãz =−i .

sin Ex. 2.9
8
Un discriminant strictement n´egatif donc des solutions complexes (cf. cours). Pensez a` la
technique de l’angle moiti´e pour obtenir la forme exponentielle.
3. R´esoudre (E).
Ex. 2.10
π Attention, les cœfficients sont complexes non r´eels, vous ne pouvez donc pas invoquer la th´eorieExercice 2.14 : Soit n un entier naturel et a est un ´el´ement de 0, .
2 du cours. Il faut reproduire la d´emonstration en mettant sous forme canonique de fa¸con a` se
1. R´esoudre l’´equation exp(z) = 1 d’inconnue z complexe.
Å ã d´ebarrasser du −2iz. Relisez la m´ethode portant l`a-dessus!n
1−itan(a)
2. En d´eduire la r´esolution de l’´equation exp(z)= e× d’inconnue z complexe et
Ex. 2.111+itan(a)
Il faut clairement relire la m´ethode sur les racines n-i`eme.repr´esenter les solutions.
Ex. 2.12
■ Pour aller plus loin Pour r´esoudre cette ´equation, ´ecrivez −2 +2i sous forme trigonom´etrique et inspirez-vous de
√ √ la m´ethode sur les racines n-i`eme.
2 4Exercice 2.15 : On pose u = 2− 2− i 2+ 2. D´eduire du calcul de u et de u la forme
exponentielle de u.
n sin(kx) π
Exercice 2.16 : Calculer avec n un entier naturel et x un ´el´ement de 0; .
k(cos(x)) 2
k=0
´■■ 48 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 49■■nn 48 ChapIT r E 2Exercice 2.8 : Mettre sous forme trigonom´etrique les complexes z , z et z suivants :1 2 3
Ç √ å IndicationsÄ √ ä1 3 exp(ia)+1
z = − +i × 1−i 3 ,z = (1+i)×(sin(θ)+icos(θ)) et z =1 2 3
2 2 1−exp(ia)
Ex. 2.1
avec a un ´el´ement de ]0,π[ et θ un r´eel.
A priori, quand on r´esout des ´equations, on cherche `a raisonner par ´equivalence! N’oubliez pas
de v´erifier que tout est bien d´efini et, si par hasard, vous ´elevez au carr´e une ´equation, sachez que
■ R´esolution d’´equations ce n’est possible que si les deux quantit´es sont de mˆeme signe!
Exercice 2.9 : Soit u un ´el´ement de ]0,π[. Trouver les solutions de l’´equation (E) et donner leur Ex. 2.2
2forme trigonom´etrique avec (E) l’´equation suivante d’inconnue z complexe : Commencez par factoriser |x −5x+4|, vous verrez que cet exercice n’est pas si calculatoire...
2z +2(1−cos(u))z +2(1−cos(u)) = 0 Ex. 2.3
Pensez a` distinguer les cas n+m est pair, n+m est impair.

2Exercice 2.10 : R´esoudre l’´equation z −2iz + 3×i = 0 d’inconnue z complexe. Ex. 2.4
Pour prouver que g est 1-p´eriodique, calculer f(x+1)−f(x)... Apr`es, il suffira d’´evaluer g sur
■ Autours des racines n-i`eme [0,1[ pour la connaˆıtre totalement et avoir au passage f.
6 6Exercice 2.11 : Calculer (1+i) et en d´eduire la r´esolution de l’´equation z =−8i d’inconnue z Ex. 2.5
6 6complexe. R´esoudre aussi l’´equation (z−1) +(z +1) = 0 d’inconnue z complexe. Rappelons que si le maximum existe, alors c’est la borne sup´erieure. Ne pas h´esiter a` repr´esenter
2x +2
la fonction f : x�→ .3 2Exercice 2.12 : R´esoudre l’´equation z =−2+2i d’inconnue z complexe. x +1
Ex. 2.6
Exercice 2.13 : On note (E) l’´equation suivante d’inconnue z complexe : Utiliser l’´ecriture exponentielle!
2 8 2 8 Ex. 2.7(z +1) =(z −1) .
Comparez les r´esultats que vous obtenez en passant par la forme trigonom´etrique et passant par
81. R´esoudre l’´equation z = 1 d’inconnue z complexe. la forme alg´ebrique.
2. On suppose que z est une solution de (E). Montrer qu’il existe k dans 1,7 tel que :
Ex. 2.8Å ã
kπ Pour z et z : relire la m´ethode sur la mise sous forme exponentielle. Pour z , pensez `a l’angle1 2 3cos
82 moiti´e.Å ãz =−i .

sin Ex. 2.9
8
Un discriminant strictement n´egatif donc des solutions complexes (cf. cours). Pensez `a la
technique de l’angle moiti´e pour obtenir la forme exponentielle.
3. R´esoudre (E).
Ex. 2.10
π Attention, les cœfficients sont complexes non r´eels, vous ne pouvez donc pas invoquer la th´eorieExercice 2.14 : Soit n un entier naturel et a est un ´el´ement de 0, .
2 du cours. Il faut reproduire la d´emonstration en mettant sous forme canonique de fa¸con `a se
1. R´esoudre l’´equation exp(z) = 1 d’inconnue z complexe.
Å ã d´ebarrasser du −2iz. Relisez la m´ethode portant la-` dessus!n
1−itan(a)
2. En d´eduire la r´esolution de l’´equation exp(z)= e× d’inconnue z complexe et
Ex. 2.111+itan(a)
Il faut clairement relire la m´ethode sur les racines n-i`eme.repr´esenter les solutions.
Ex. 2.12
■ Pour aller plus loin Pour r´esoudre cette ´equation, ´ecrivez −2 +2i sous forme trigonom´etrique et inspirez-vous de
√ √ la m´ethode sur les racines n-i`eme.
2 4Exercice 2.15 : On pose u = 2− 2− i 2+ 2. D´eduire du calcul de u et de u la forme
exponentielle de u.
n sin(kx) π
Exercice 2.16 : Calculer avec n un entier naturel et x un ´el´ement de 0; .
k(cos(x)) 2
k=0
´■■ 48 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 49■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn




Ex. 2.13 Å ã

cos Corrig´e des vrai/faux
8
Des racines n-i`emes, un peu d’angle moiti´e, un peu de faire attention au signe de Å ã.

sin
8
Vous ˆetes prˆets pour cet exo! Une indication, (E) a 13 solutions. Essayez de les expliciter toute 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
avant de regarder paresseusement la solution... F F F F F F F V F F
Ex. 2.14
Quelques explications
Dans cet exercice, on utilise l’exponentielle complexe. Ne pas h´esitez a` relire la d´efinition du
cours. Pour ces ´equations, on va faire de l’identification. La vision trigonom´etrique est la meilleure,
1. Si a est inf´erieur a` la borne sup´erieur d’un ensemble A alors a n’est pas forc´ement dans A. Par
relisez les m´ethodes concern´ees. Vous pourrez constater qu’on va avoir besoin de la forme
trigoexemple, 2 est la borne sup´erieure de [1;2], 0 est inf´erieur `a 2 mais 0 n’appartient pas `a [1;2].1−itan(a)
nom´etrique de . Pour la trouver, expliciter tan(a). 2. La borne sup´erieur d’un ensemble A n’appartient pas forc´ement `a A. 2 est la borne sup´erieure
1+itan(a)
de [1;2[ et 2 n’appartient pas `a [1;2[.
Ex. 2.15 3. ⌊x⌋×⌊y⌋ n’est pas forc´ement ⌊xy⌋. Posons x =1,9 et y = 2 alors ⌊x⌋×⌊y⌋ =1×2, soit 2 et
Jouez avec les deux ´ecritures des complexes (l’alg´ebrique d’abord puis l’exponentielle). Vous ⌊xy⌋ =⌊3,8⌋, soit 3.
4 ´devriez obtenir que u est−16i. Ecrivez apr`es que u est rexp(iθ) puis ´elevez `a la puissance 4... 4. Si a + ib = c + id avec a, b, c et d quatre r´eels alors on a bien a = c et c = d. Ici, on nous
dit que a, b, c et d sont quatre complexes... donc l’identification n’est pas forc´ement possible. ParEx. 2.16
exemple : i+2i = 0+3i et 2 n’est pas 3.Interpr´eter cette somme comme une partie imaginaire, vous devriez reconnaˆıtre une somme
5. La partie imaginaire de 5+2i est 2, et pas 2i. On note au passage que la partie imaginaire d’ung´eom´etrique.
complexe est un r´eel.
iθ6. Un argument de ρe est θ si ρ est strictement positif... mais s’il est nul, pas d’argument et s’il
est strictement n´egatif, ce sera θ+π (`aπ2pr`es bien surˆ !).
27. On note que (−i) = −1. Finalement, on aurait pu baˆtir les complexes avec −i, juste un choix
d’orientation.
8. Cette ´equation a effectivement n solutions complexes (pas forc´ement distinctes). Relisez la
m´ethode sur les racines n-i`eme ´eventuellement.
′ ′9. Re(z +z ) = Re(z)+Re(z ) est vrai... mais pas l’assertion propos´ee. Par exemple, Re(i× i)
vaut −1 et Re(i)×Re(i) vaut 0.
z Re(z) z10. La partie r´eellede e , avecz un complexe, est e cos(Im(z)). En effet, e est, par d´efinition,
Re(z) iIm(z) Re(z) Re(z)e e , soit e cos(Im(z))+ie sin(Im(z)).
Erreurs classiques
• Ne pas confondre borne sup´erieure, majorant et maximum d’un ensemble de r´eels!
• La produit des parties r´eelles n’est pas, a priori, la partie r´eelle du produit. Mˆeme
remarque pour les parties imaginaires.
• La partie imaginaire d’un complexe est un r´eel.
• La somme des modules n’est pas, a priori, le module de la somme.
• Pas de cos(iθ) ou de sin(iθ) avec θ r´eel.
• Il n’y a pas d’ordre surC... donc ne pas parler de complexe non r´eel positif, ne pas
′ ′´ecrire z >z avec z et z deux complexes non r´eels.
• Un r´eel est un complexe. La r´eciproque n’est pas, a priori, vraie.
• 0 n’a pas d’argument. Si vous ´ecrivez Arg(z), pensez `a prendre z non nul.
´■■ 50 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 51■■nn ChapIT r E 2




Ex. 2.13 Å ã

cos Corrig´e des vrai/faux
8
Des racines n-i`emes, un peu d’angle moiti´e, un peu de faire attention au signe de Å ã.

sin
8
Vous ˆetes prˆets pour cet exo! Une indication, (E) a 13 solutions. Essayez de les expliciter toute 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
avant de regarder paresseusement la solution... F F F F F F F V F F
Ex. 2.14
Quelques explications
Dans cet exercice, on utilise l’exponentielle complexe. Ne pas h´esitez a` relire la d´efinition du
cours. Pour ces ´equations, on va faire de l’identification. La vision trigonom´etrique est la meilleure,
1. Si a est inf´erieur `a la borne sup´erieur d’un ensemble A alors a n’est pas forc´ement dans A. Par
relisez les m´ethodes concern´ees. Vous pourrez constater qu’on va avoir besoin de la forme
trigoexemple, 2 est la borne sup´erieure de [1;2], 0 est inf´erieur `a 2 mais 0 n’appartient pas `a [1;2].1−itan(a)
nom´etrique de . Pour la trouver, expliciter tan(a). 2. La borne sup´erieur d’un ensemble A n’appartient pas forc´ement `a A. 2 est la borne sup´erieure
1+itan(a)
de [1;2[ et 2 n’appartient pas `a [1;2[.
Ex. 2.15 3. ⌊x⌋×⌊y⌋ n’est pas forc´ement ⌊xy⌋. Posons x =1,9 et y = 2 alors ⌊x⌋×⌊y⌋ =1×2, soit 2 et
Jouez avec les deux ´ecritures des complexes (l’alg´ebrique d’abord puis l’exponentielle). Vous ⌊xy⌋ =⌊3,8⌋, soit 3.
4 ´devriez obtenir que u est−16i. Ecrivez apr`es que u est rexp(iθ) puis ´elevez a` la puissance 4... 4. Si a + ib = c + id avec a, b, c et d quatre r´eels alors on a bien a = c et c = d. Ici, on nous
dit que a, b, c et d sont quatre complexes... donc l’identification n’est pas forc´ement possible. ParEx. 2.16
exemple : i+2i = 0+3i et 2 n’est pas 3.Interpr´eter cette somme comme une partie imaginaire, vous devriez reconnaˆıtre une somme
5. La partie imaginaire de 5+2i est 2, et pas 2i. On note au passage que la partie imaginaire d’ung´eom´etrique.
complexe est un r´eel.
iθ6. Un argument de ρe est θ si ρ est strictement positif... mais s’il est nul, pas d’argument et s’il
est strictement n´egatif, ce sera θ+π (`aπ2pr`es bien surˆ !).
27. On note que (−i) = −1. Finalement, on aurait pu bˆatir les complexes avec −i, juste un choix
d’orientation.
8. Cette ´equation a effectivement n solutions complexes (pas forc´ement distinctes). Relisez la
m´ethode sur les racines n-i`eme ´eventuellement.
′ ′9. Re(z +z ) = Re(z)+Re(z ) est vrai... mais pas l’assertion propos´ee. Par exemple, Re(i× i)
vaut −1 et Re(i)×Re(i) vaut 0.
z Re(z) z10. La partie r´eellede e , avecz un complexe, est e cos(Im(z)). En effet, e est, par d´efinition,
Re(z) iIm(z) Re(z) Re(z)e e , soit e cos(Im(z))+ie sin(Im(z)).
Erreurs classiques
• Ne pas confondre borne sup´erieure, majorant et maximum d’un ensemble de r´eels!
• La produit des parties r´eelles n’est pas, a priori, la partie r´eelle du produit. Mˆeme
remarque pour les parties imaginaires.
• La partie imaginaire d’un complexe est un r´eel.
• La somme des modules n’est pas, a priori, le module de la somme.
• Pas de cos(iθ) ou de sin(iθ) avec θ r´eel.
• Il n’y a pas d’ordre surC... donc ne pas parler de complexe non r´eel positif, ne pas
′ ′´ecrire z >z avec z et z deux complexes non r´eels.
• Un r´eel est un complexe. La r´eciproque n’est pas, a priori, vraie.
• 0 n’a pas d’argument. Si vous ´ecrivez Arg(z), pensez `a prendre z non nul.
´■■ 50 CHAPITRE 2 ENSEMBLES DE NOMBRES : REELS ET COMPLEXES 51■■ENEmbLES DE NOmbr ES : r ÉELS ET COmpLEx ES nn
Corrigé

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