L'essentiel du programme de mathématiques

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Description

Probabilités conditionnelles ; Suites numériques ; Fonctions polynômes de degré 3 ; Fonctions exponentielles et logarithme décimal ; Rappels – Calculs commerciaux ;Rappels - Automatismes de 1re ; Vecteurs (Gr B seulement) et produit scalaire (Poursuite d’études) ; Calcul intégral (Poursuite d'études) ; Fonctions logarithme népérien et exponentielle (Poursuite d'études) ; Nombres complexes (Poursuite d'études)

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Informations

• Publié par: Nomad_Education
• Date de parution: 01 janvier 2022
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Probabilités conditionnelles
• Défnition
Soit A et B deux événements, avec P(A) ≠ 0.
La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l’événement A est réalisé est :
P(A∩B)
P (B) = .
A P(A)
• Arbre de probabilités
Les propriétés utilisées pour calculer des probabilités, ou remplir l’arbre de probabilités, sont :
⎆ La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
⎆ La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des chemins qui y mènent.
⎆ La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Exemple :
On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.
B0,6
AttentionA
0,2
Dans un énoncé, il ne faut pas confondre une probabilité
B0,4
conditionnelle avec la probabilité d’une intersection.
Pour la première, l’énoncé contient « sachant que ... » ou B0,7
« ... parmi ... » alors que, pour la deuxième, il contient 0,8 A « ... et ... » entre deux évènements.
B0,3
Dans cet exemple, on a : P (B) = 0,6 ; P (B) = 0,4 ; P (B) = 0,7 ; P (B) = 0,3.
A A A A
On a aussi, par exemple :
⎆ P(A ∩ B) = P (B) × P(A) = 0,6 × 0,2 = 0,12 ⎆ P(A ∩ B) = P (B) × P(A) = 0,7 × 0,8 = 0,56.
A A
• Événements indépendants
Soit A et B deux événements tels que P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0.
Les évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(B) = P (B) ou bien P(A) = P (A).
A B
Conséquence :
⎆ Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si l’évènement A n’infue pas sur la
réalisation de l’événement B, et inversement.
⎆ Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement P(A ∩ B) = P(A) × P(B) car
P(A∩B)
P (B) = .
A P(A)
• Formules des probabilités totales
Soit A et B deux événements tels que A, A, B et B sont de probabilités non nulles.
A ∩ B et A ∩ B forment une partition de l’événement B et on a :
P(B) = P(A∩ B) + P(A ∩ B) = P (B) × P(A) + P (B) × P(A).
A A
Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a vu que : P(A ∩ B) = 0,12 et P(A ∩ B) = 0,56.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0,12 + 0,56 = 0,68.
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