Électromagnétisme - Ondes électromagnétiques - Cours, applications, exercices corrigés
410 pages
Français

Électromagnétisme - Ondes électromagnétiques - Cours, applications, exercices corrigés , livre ebook

-

410 pages
Français

Description

Pour constituer une présentation précise et complète de l’électromagnétisme, la présente étude des ondes électromagnétiques complète les ouvrages du même auteur sur l’induction et la magnétostatique dans le vide et en milieux matériels.L’ouvrage reprend d’abord succinctement les postulats de base de l’électromagnétisme et il les formalise méthodiquement dans un chapitre préliminaire. Puis il développe une étude systématique et détaillée des équations de Maxwell et de leurs solutions dans un espace libre illimité, connaissances fondamentales nécessaires pour un traitement en profondeur de la propagation libre des ondes électromagnétiques.Les concepts fondamentaux des ondes planes, des phaseurs, de la polarisation, de l'énergie, de la puissance et de la force sont présentés dans le chapitre consacré aux ondes électromagnétiques planes dans le vide. Ils sont appliqués tout au long du livre à des problèmes aux conditions aux limites de plus en plus complexes. Les chapitres suivants visent à faire comprendre la génération, la propagation, la réflexion, la réfraction ainsi que l’origine des ondes électromagnétiques.Enfin les derniers chapitres se concentrent sur la propagation des ondes électromagnétiques dans la matière (principalement diélectriques, conducteurs, plasmas), et leurs réflexion et transmission sous incidences normale et oblique aux interfaces planes.Des explications complètes, des applications instructives et des exercices avec solutions détaillées, en nombre suffisant, sont fournis pour permettre aux lecteurs de disposer d'un outil de référence et d'auto-apprentissage utile.

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Informations

Publié par
Date de parution 14 septembre 2021
Nombre de lectures 0
EAN13 9782340058873
Langue Français
Poids de l'ouvrage 13 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,1650€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

ÉLECTROMAGNÉTISME
Ondes électromagnétiques
Cours, applications, exercices corrigés
Mohamed AKBI
M. Akbi
Ondes électromagnétiquesTECHNOSUP
Les FILIÈRES TECHNOLOGIQUES des ENSEIGNEMENTS SUPÉRIEURS
ÉLECTROMAGNÉTISME
Ondes électromagnétiques
Cours, applications, exercices corrigés
Mohamed AKBI
Professeur des universités
ENS de Laghouat (Algérie)
9782340-054530_001_408.indd 1 01/07/2021 09:29TABLE DES MATIERES
Du même auteur, dans la même collection :


• Électrostatique. Cours, applications exercices corrigés (B) 304. p.

• Électrocinétique.. Cours, applications, exercices corrigés (B) 352 .p.

• Magnétostatique et induction. Cours, applications, exercices corrigés (B) 336 p CHAPITRE I : FONDEMENTS DE L’ELECTROMAGNETISME ................. 1
• Magnétostatique des milieux matériels. Cours, applications, exercices corrigés (B) 352 p.
A. Cours .................................................................................................................... 1
Dans la même collection :
1. Sources de champ électromagnétique .................................................................... 1 • Comprendre et utiliser l’électromagnétisme IUT, BTS (A) 240 p. D. JACOB
2. Interactions fondamentales ..................................................................................... 7 • Électrostatique et magnétostatique (A) 384 p. R. AKSAS
3. Lois fondamentales de l’électrostatique ................................................................. 8 • Éléments de propagation électromagnétique (B) 160 p. P. ROSNET
4. Champ électrostatique en présence de milieux diélectriques ............................... 16
• Les rayonnements électromagnétiques (B) 216 p. K. AÏT AMEUR
5. Lois fondamentales de la magnétostatique .......................................................... 19
• Équations intégrales de l’électromagnétisme (C) 264 p. A. BERTHON
6. Induction électromagnétique ................................................................................ 26
• Ondes et matière, Électromagnétisme, interactions (B) 352 p D. BARCHIESI,
M. LAMY de la CHAPELLE 7. Champ magnétostatique en présence de milieux aimantés .................................. 28

B. Applications ........................................................................................................ 31
1 – Distribution volumique de charges .................................................................... 31
2 – Tube à rayons cathodiques ................................................................................. 31
3 – Loi de Coulomb obtenue à partir du théorème de Gauss ................................... 32
4 – Modèle simplifié de l’atome (Théorème de Gauss) ........................................... 33
5 – Loi de Biot et Savart et force magnétique .......................................................... 36
6 – Champ magnétique créé par un fil cylindrique infiniment long
parcouru par un courant ...................................................................................... 38
7 – F.é.m. induite dans un conducteur en mouvement ............................................. 39

C. Enoncés des exercices du chapitre I ................................................................. 41

D. Solutions des exercices du chapitre I ............................................................... 43
I.1 – Distribution surfacique de charges .................................................................. 43 ISBN 9782340-054530
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2021 I.2 – Lignes de champ d’un dipôle électrique .......................................................... 43
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris
I.3 – Théorème de Gauss en électrostatique ............................................................. 46

I.4 – Champ magnétique créé par une boucle circulaire .......................................... 49

I.5 – Potentiel vecteur A créé par un fil rectiligne très long ................................... 50
I.6 – Champ magnétique créé par un solénoïde infini ............................................. 52

9782340-054530_001_408.indd 2 01/07/2021 09:29TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I : FONDEMENTS DE L’ELECTROMAGNETISME ................. 1
A. Cours .................................................................................................................... 1
1. Sources de champ électromagnétique .................................................................... 1
2. Interactions fondamentales ..................................................................................... 7
3. Lois fondamentales de l’électrostatique ................................................................. 8
4. Champ électrostatique en présence de milieux diélectriques ............................... 16
5. Lois fondamentales de la magnétostatique .......................................................... 19
6. Induction électromagnétique ................................................................................ 26
7. Champ magnétostatique en présence de milieux aimantés .................................. 28
B Applications . ........................................................................................................ 31
1 – Distribution volumique de charges .................................................................... 31
2 – Tube à rayons cathodiques ................................................................................. 31
3 – Loi de Coulomb obtenue à partir du théorème de Gauss ................................... 32
4 – Modèle simplifié de l’atome (Théorème de Gauss) ........................................... 33
5 – Loi de Biot et Savart et force magnétique .......................................................... 36
6 – Champ magnétique créé par un fil cylindrique infiniment long
parcouru par un courant ...................................................................................... 38
7 – F.é.m. induite dans un conducteur en mouvement ............................................. 39
C. Enoncés des exercices du chapitre I ................................................................. 41
D. Solutions des exercices du chapitre I ............................................................... 43
I.1 – Distribution surfacique de charges .................................................................. 43
I.2 – Lignes de champ d’un dipôle électrique .......................................................... 43
I.3 – Théorème de Gauss en électrostatique ............................................................. 46
I.4 – Champ magnétique créé par une boucle circulaire .......................................... 49

I.5 – Potentiel vecteur A créé par un fil rectiligne très long ................................... 50
I.6 – Champ magnétique créé par un solénoïde infini ............................................. 52
9782340-054530_001_408.indd 3 01/07/2021 09:29IV Ondes électromagnétiques Table des matières V
CHAPITRE III : ONDES ELECTROMAGNETIQUES PLANES
CHAPITRE II : EQUATIONS DE MAXWELL ................................................ 54
DANS LE VIDE...................................................................................................... 98
A. Cours .................................................................................................................. 54
A. Cours .................................................................................................................. 98
1. Courant de déplacement de Maxwell ................................................................... 55
1. Généralités............................................................................................................ 98 2. Conservation de la charge ..................................................................................... 58
2. Spectre électromagnétique.................................................................................. 1003. Equation de Maxwell-Ampère ............................................................................. 60
3. Equation d’onde électromagnétique ................................................................... 1174. Equations de Maxwell dans le vide ..............62
4. Onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale ..................................... 118 5. Equation d’onde ................................................................................................... 66
5. Polarisation ......................................................................................................... 1266. Potentiels – Jauge de Lorenz ................................................................................ 67
6. Propagation de l’onde électromagnétique et le vecteur de Poynting .................. 132 7. Potentiels retardés ............................................. 71
B. Applications...................................................................................................... 144 B Applications . ........................................................................................................ 74
1 – Equation d’onde à une dimension .................................................................... 144 1 – Détection des ondes électromagnétiques ........................................................... 74
 
2 – Champs E et B d’une onde plane.................................................................... 1452 –Equations de Maxwell ......................................................................................... 75
3 – Caractéristriques d’une onde électromagnétique plane..................................... 1463 – Equations de Maxwell en notation complexe ..................................................... 76
4 – Conditions de jauge de Lorenz......................................................................... 1484 – Courant de déplacement dans un circuit RC série ............................................. 77
5 – Vecteur de Poynting et vitesse d’énergie d’une OPPM ................................... 149 5 – Densités de courants de conduction et de déplacement ..................................... 80
6 – Décomposition d’une onde à polarisation rectiligne........................................ 152 6 – Courants I et I dans un condensateur plan ...................................................... 81 C D
C. Enoncés des exercices du chapitre III ........................................................... 155 C. Enoncés des exercices du chapitre II ............................................................... 83
D. Solutions des exercices du chapitre III.......................................................... 158 D. Solutions des exercices du chapitre II ............................................................. 86
 
II.1 – Equations de Maxwell et onde électromagnétique ......................................... 86 III.1 – Champs E et B d’une onde électromagnétique.......................................... 158
II.2 – Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique ........................................ 88 III.2 – Equation d’onde à trois dimensions ............................................................160
II.3 – Courant de déplacement dans un circuit RC parallèle .................................... 89 III.3 – Caractéristiques d’une onde plane sinusoïdale OPPM................................ 161
II.4 – Courant de déplacement dans un solénoïde .................................................... 92 III.4 – Champs et énergie d’une onde OPPM ........................................................ 164
II.5 – Courants de déplacement et de conduction 93 III.5 – OPPM en notation complexe ...................................................................... 165
II.6 – Equations de Maxwell et loi de Faraday de l’induction ................................. 94 III.6 – Vecteur de Poynting et pression de radiation .............................................. 168
III.7 – Ondes polarisées circulairement.................................................................. 170
III.8 – Différents états de polarisation .................................................................... 172
9782340-054530_001_408.indd 4 01/07/2021 09:29IV Ondes électromagnétiques Table des matières V
CHAPITRE III : ONDES ELECTROMAGNETIQUES PLANES
CHAPITRE II : EQUATIONS DE MAXWELL ................................................ 54
DANS LE VIDE ...................................................................................................... 98
A. Cours .................................................................................................................. 54
A. Cours .................................................................................................................. 98
1. Courant de déplacement de Maxwell................................................................... 55
1. Généralités ............................................................................................................ 98 2. Conservation de la charge ..................................................................................... 58
2. Spectre électromagnétique ................................ 100 3. Equation de Maxwell-Ampère ............................................................................. 60
3. Equation d’onde électromagnétique ................................................................... 117 4. Equations de Maxwell dans le vide...................................................................... 62
4. Onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale ..................................... 118 5. Equation d’onde ................................................................................................... 66
5. Polarisation ......................................................................................................... 126 6. Potentiels – Jauge de Lorenz................................................................................ 67
6. Propagation de l’onde électromagnétique et le vecteur de Poynting .................. 132 7. Potentiels retardés ................................................................................................ 71
B Applications . ...................................................................................................... 144 B. Applications........................................................................................................ 74
1 – Equation d’onde à une dimension .................................................................... 144 1 – Détection des ondes électromagnétiques ...........................................................74
 
2 – Champs E et B d’une onde plane .................................................................... 145 2 –Equations de Maxwell......................................................................................... 75
3 – Caractéristriques d’une onde électromagnétique plane..................................... 146 3 – Equations de Maxwell en notation complexe ..................................................... 76
4 – Conditions de jauge de Lorenz ......................................................................... 148 4 – Courant de déplacement dans un circuit RC série ............................................. 77
5 – Vecteur de Poynting et vitesse d’énergie d’une OPPM ................................... 149 5 – Densités de courants de conduction et de déplacement ..................................... 80
6 – Décomposition d’une onde à polarisation rectiligne ........................................ 152 6 – Courants I et I dans un condensateur plan ...................................................... 81 C D
C. Enoncés des exercices du chapitre III ........................................................... 155 C. Enoncés des exercices du chapitre II............................................................... 83
D. Solutions des exercices du chapitre III .......................................................... 158 D. Solutions des exercices du chapitre II ............................................................. 86
 
II.1 – Equations de Maxwell et onde électromagnétique......................................... 86 III.1 – Champs E et B d’une onde électromagnétique .......................................... 158
II.2 – Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique........................................ 88 III.2 – Equation d’onde à trois dimensions ............................................................ 160
II.3 – Courant de déplacement dans un circuit RC parallèle.................................... 89 III.3 – Caractéristiques d’une onde plane sinusoïdale OPPM ................................ 161
II.4 – Courant de déplacement dans un solénoïde.................................................... 92 III.4 – Champs et énergie d’une onde OPPM ........................................................ 164
II.5 – Courants de déplacement et de conduction .................................................... 93 III.5 – OPPM en notation complexe ...................................................................... 165
II.6 – Equations de Maxwell et loi de Faraday de l’induction ................................. 94 III.6 – Vecteur de Poynting et pression de radiation .............................................. 168
III.7 – Ondes polarisées circulairement.............170
III.8 – Différents états de polarisation .................................................................... 172
9782340-054530_001_408.indd 5 01/07/2021 09:29VI Ondes électromagnétiques Table des matières VII
CHAPITRE V : ONDES ELECTROMAGNETIQUES PLANES
CHAPITRE IV : OSCILLATIONS ELECTROMAGNETIQUES ET
DANS LA MATIERE .......................................................................................... 213
ORIGINE DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES ................................... 177
A. Cours ................................................................................................................ 213
A. Cours ................................................................................................................ 177
1. Ondes électromagnétiques et matière................................................................. 214
1. Circuit oscillant électromagnétique ..................................................................... 177
2. Ondes électromagnétiques dans les conducteurs ............................................... 216
2. Oscillations électriques forcées ........................ 184 3. Ondes électromagnétiques dans les diélectriques .............................................. 233
4. Ondes électromagnétiques dans les milieux magnétiques ................................. 2773. Production d’ondes électromagnétiques – Circuits oscillants ouverts ................ 189
5. Ondes électromagnétiques dans les plasmas...................................................... 286
4. Vérification expérimentale des ondes électromagnétiques ................................. 193
6. Equations de Maxwell dans la matière...............................................................291
5. Rayonnement dipolaire électrique ....................................................................... 195
B. Applications...................................................................................................... 294
B Applications . ...................................................................................................... 203 1 – Fréquence plasma du cuivre............................................................................. 294
2 – Propagation à travers l’ionosphère ..................................................................... 295 1 – Oscillations naturelles d’un circuit LC .............................................................. 203
3 – Propagation dans le polystyrène....................................................................... 296
2 – Circuit LC avec bobine à noyau amovible .......................................................... 204
4 – Charges liées, polarisation et champ électrique induit..................................... 298
3 – Circuit d’accord d’un émetteur radio ................................................................... 204 5 – Propagation dans un milieu conducteur ........................................................... 300
4 – Détection des ondes électromagnétiques ......................................................... 205
C. Enoncés des exercices du chapitre V ............................................................. 304
5 – Rayonnement d’un dipôle électrique ............................................................... 206
D. Solutions des exercices du chapitre V............................................................ 306
C. Enoncés des exercices du chapitre IV ............................................................ 207
V.1 – Propagation dans un milieu diélectrique ...................................................... 306
V.2 – Propagation dans différents conducteurs...................................................... 307
D. Solutions des exercices du chapitre IV .......................................................... 209
V.3 – Propagation dans l’aluminium ..................................................................... 308
IV.1 – Oscillations d’un circuit RLC ...................................................................... 209 V.3 – Propagation dans l’eau de mer ..................................................................... 309
IV.2 – Antenne d’émission d’une station de radio .................................................. 210 V.5 – Propagation dans un sol humide................................................................... 311
V.6 – Onde plane dans un milieu diélectrique ....................................................... 314 IV.3 – Puissance moyenne dissipée dans un circuit RLC ......................................... 210
IV.4 – Oscillations de la charge Q d’un circuit RLC ............................................. 212
9782340-054530_001_408.indd 6 01/07/2021 09:29VI Ondes électromagnétiques Table des matières VII
CHAPITRE V : ONDES ELECTROMAGNETIQUES PLANES
CHAPITRE IV : OSCILLATIONS ELECTROMAGNETIQUES ET
DANS LA MATIERE .......................................................................................... 213
ORIGINE DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES ................................... 177
A. Cours ................................................................................................................ 213
A. Cours ................................................................................................................ 177
1. Ondes électromagnétiques et matière ................................................................. 214
1. Circuit oscillant électromagnétique..................................................................... 177
2. Ondes électromagnétiques dans les conducteurs ............................................... 216
2. Oscillations électriques forcées .......................................................................... 184 3. Ondes électromagnétiques dans les diélectriques .............................................. 233
4. Ondes électromagnétiques dans les milieux magnétiques ................................. 277 3. Production d’ondes électromagnétiques – Circuits oscillants ouverts ................ 189
5. Ondes électromagnétiques dans les plasmas ...................................................... 286
4. Vérification expérimentale des ondes électromagnétiques ................................. 193
6. Equations de Maxwell dans la matière ............................................................... 291
5. Rayonnement dipolaire électrique....................................................................... 195
B Applications . ...................................................................................................... 294
B. Applications...................................................................................................... 203 1 – Fréquence plasma du cuivre ............................................................................. 294
2 – Propagation à travers l’ionosphère ..................................................................... 295 1 – Oscillations naturelles d’un circuit LC.............................................................. 203
3 – Propagation dans le polystyrène ....................................................................... 296
2 – Circuit LC avec bobine à noyau amovible .......................................................... 204
4 – Charges liées, polarisation et champ électrique induit ..................................... 298
3 – Circuit d’accord d’un émetteur radio................................................................... 204 5 – Propagation dans un milieu conducteur ........................................................... 300
4 – Détection des ondes électromagnétiques ......................................................... 205
C. Enoncés des exercices du chapitre V ............................................................. 304
5 – Rayonnement d’un dipôle électrique ............................................................... 206
D. Solutions des exercices du chapitre V ............................................................ 306
C. Enoncés des exercices du chapitre IV............................................................ 207
V.1 – Propagation dans un milieu diélectrique ...................................................... 306
V.2 – Propagation dans différents conducteurs 307
D. Solutions des exercices du chapitre IV .......................................................... 209
V.3 – Propagation dans l’aluminium ..................................................................... 308
IV.1 – Oscillations d’un circuit RLC ...................................................................... 209 V.3 – Propagation dans l’eau de mer ...............309
IV.2 – Antenne d’émission d’une station de radio ..................................................210 V.5 – Propagation dans un sol humide .................................................... 311
V.6 – Onde plane dans un milieu diélectrique ....................................................... 314 IV.3 – Puissance moyenne dissipée dans un circuit RLC......................................... 210
IV.4 – Oscillations de la charge Q d’un circuit RLC............................................. 212
9782340-054530_001_408.indd 7 01/07/2021 09:29VIII Ondes électromagnétiques
CHAPITRE I
CHAPITRE VI : REFLEXION ET TRANSMISSION DES ONDES
ELECTROMAGNETIQUES PLANES ............................................................. 317
FONDEMENTS DE
A. Cours ................................................................................................................ 317 L ’ELECTROMAGNETISME
1. Conditions aux limites ........................................................................................ 318
A. COURS2. Réflexion et réfraction des ondes planes aux interfaces .................................... 319
3. Réflexion et transmission de l’énergie dans les milieux
L’électromagnétisme est, avec la mécanique, l’une des grandes branches de la
diélectriques .................................................... 327 physique dont les manifestations, nombreuses et variées, sont les plus fréquentes
4. Réflexion sur une surface métallique ................................................................. 343 dans la vie courante. L’interaction électromagnétique est la base même des
phénomènes électrostatiques, électriques et magnétiques. L’électromagnétisme
5. Réfraction dans un milieu conducteur . 346
étudie les phénomènes magnétiques et leur relation fondamentale avec les charges
électriques au repos ou en mouvement relatif les unes par rapport aux autres.
B Applications . ...................................................................................................... 350 L’électromagnétisme est né grâce à la réunion du champ électrique et du champ
magnétique dans le concept de champ électromagnétique. Aussi,
1 – Puissance dissipée dans un bon conducteur ..................................................... 350
l’électromagnétisme permet-il de comprendre la notion de champ 
électromagnétique et son interaction avec les charges électriques et les courants. Ce 2 – Amplitudes des champs E et H réfléchis et transmis ...................................... 350
champ se propage dans l’espace sous forme d’ondes électromagnétiques qui
3 – Coefficients de Fresnel ..................................................................................... 352 regroupent aussi bien les ondes radioélectriques que lumineuses. Ainsi, la lumière
4 – Réflexion et transmission d’une onde plane normalement visible à laquelle est sensible notre rétine est sans doute l’application la plus
fréquente des ondes électromagnétiques. L’utilisation des ondes électromagnétiques
incidente sur la surface d’un diélectrique ......................................................... 356
est devenue de plus en plus importante aussi bien pour les radars, la radio, la
5 – Réflexion et transmission d’une onde plane normalement télévision, la téléphonie mobile, ainsi que les micro-ondes.
1En 1864, Maxwell , établit une théorie qui unifie électricité, magnétisme et incidente sur la surface d’un bloc de cuivre ..................................................... 358
induction. Avec les quatre équations de Maxwell, l’électromagnétisme est né. Il est
bien établi, depuis les travaux de Maxwell, que les effets électrique et magnétique
C Enoncés . des exercices du chapitre VI ............................................................ 360 ne sont indépendants l’un de l’autre qu’en régime stationnaire (indépendant du
temps), et ne le sont pas en régime variable.
L'électromagnétisme est responsable de la plupart des phénomènes de la vie D. Solutions des exercices du chapitre VI .......................................................... 363
quotidienne qui ne sont pas imputables à la pesanteur. L’électronique et les
VI.1 – Propagation et indice de réfraction complexe ............................................. 363 télécommunication qui sont la base de la civilisation moderne reposent entièrement
sur l’interaction électromagnétique. Parmi les applications modernes deVI.2 – Coefficients de Fresnel à incidence oblique ............................................... 270
l'électromagnétisme, citons entre autres les matériels électroniques et informatiques,
VI.3 – Couche mince antireflet .............................................................................. 363 ou même les drones. Ces derniers peuvent même voler sans batterie grâce à
l'induction électromagnétique. VI.4 – Réflexion de rayons X sur une surface métallique ..................................... 369
1. Sources de champ électromagnétique
VI.5 – Angle d’incidence de Brewster ................................................................... 370
Les propriétés physiques et chimiques de la matière sont régies par les forces
VI.6 – Réflexion et transmission dans un diélectrique........................................... 372 électriques et magnétiques qui agissent sur les particules qui composent toutes les
substances, qu'il s'agisse de matériaux inorganiques ou de cellules vivantes. Il existe
deux espèces de particules électriques fondamentales de la matière, communément
INDEX ................................................................................................................... 377 appelées charges électriques positives et négatives. Les sources de champs
électromagnétiques sont généralement des charges électriques au repos ou en
1 James Clerk Maxwell (1868-1879) : physicien écossais.
9782340-054530_001_408.indd 8 01/07/2021 09:29VIII Ondes électromagnétiques
CHAPITRE I
CHAPITRE VI : REFLEXION ET TRANSMISSION DES ONDES
ELECTROMAGNETIQUES PLANES............................................................. 317
FONDEMENTS DE
A. Cours ................................................................................................................ 317 L ’ELECTROMAGNETISME
1. Conditions aux limites........................................................................................ 318
A. COURS2. Réflexion et réfraction des ondes planes aux interfaces .................................... 319
3. Réflexion et transmission de l’énergie dans les milieux
L’électromagnétisme est, avec la mécanique, l’une des grandes branches de la
diélectriques....................................................................................................... 327 physique dont les manifestations, nombreuses et variées, sont les plus fréquentes
4. Réflexion sur une surface métallique................................................................. 343 dans la vie courante. L’interaction électromagnétique est la base même des
phénomènes électrostatiques, électriques et magnétiques. L’électromagnétisme
5. Réfraction dans un milieu conducteur................................................................ 346
étudie les phénomènes magnétiques et leur relation fondamentale avec les charges
électriques au repos ou en mouvement relatif les unes par rapport aux autres.
B. Applications...................................................................................................... 350 L’électromagnétisme est né grâce à la réunion du champ électrique et du champ
magnétique dans le concept de champ électromagnétique. Aussi,
1 – Puissance dissipée dans un bon conducteur ..................................................... 350
l’électromagnétisme permet-il de comprendre la notion de champ  
électromagnétique et son interaction avec les charges électriques et les courants. Ce 2 – Amplitudes des champs E et H réfléchis et transmis...................................... 350
champ se propage dans l’espace sous forme d’ondes électromagnétiques qui
3 – Coefficients de Fresnel..................................................................................... 352 regroupent aussi bien les ondes radioélectriques que lumineuses. Ainsi, la lumière
4 – Réflexion et transmission d’une onde plane normalement visible à laquelle est sensible notre rétine est sans doute l’application la plus
fréquente des ondes électromagnétiques. L’utilisation des ondes électromagnétiques
incidente sur la surface d’un diélectrique......................................................... 356
est devenue de plus en plus importante aussi bien pour les radars, la radio, la
5 – Réflexion et transmission d’une onde plane normalement télévision, la téléphonie mobile, ainsi que les micro-ondes.
1En 1864, Maxwell , établit une théorie qui unifie électricité, magnétisme et incidente sur la surface d’un bloc de cuivre..................................................... 358
induction. Avec les quatre équations de Maxwell, l’électromagnétisme est né. Il est
bien établi, depuis les travaux de Maxwell, que les effets électrique et magnétique
C. Enoncés des exercices du chapitre VI............................................................ 360 ne sont indépendants l’un de l’autre qu’en régime stationnaire (indépendant du
temps), et ne le sont pas en régime variable.
L'électromagnétisme est responsable de la plupart des phénomènes de la vie D. Solutions des exercices du chapitre VI .......................................................... 363
quotidienne qui ne sont pas imputables à la pesanteur. L’électronique et les
VI.1 – Propagation et indice de réfraction complexe............................................. 363 télécommunication qui sont la base de la civilisation moderne reposent entièrement
sur l’interaction électromagnétique. Parmi les applications modernes de VI.2 – Coefficients de Fresnel à incidence oblique ............................................... 270
l'électromagnétisme, citons entre autres les matériels électroniques et informatiques,
VI.3 – Couche mince antireflet .............................................................................. 363 ou même les drones. Ces derniers peuvent même voler sans batterie grâce à
l'induction électromagnétique. VI.4 – Réflexion de rayons X sur une surface métallique ..................................... 369
1. Sources de champ électromagnétique
VI.5 – Angle d’incidence de Brewster................................................................... 370
Les propriétés physiques et chimiques de la matière sont régies par les forces
VI.6 – Réflexion et transmission dans un diélectrique........................................... 372 électriques et magnétiques qui agissent sur les particules qui composent toutes les
substances, qu'il s'agisse de matériaux inorganiques ou de cellules vivantes. Il existe
deux espèces de particules électriques fondamentales de la matière, communément
INDEX................................................................................................................... 377 appelées charges électriques positives et négatives. Les sources de champs
électromagnétiques sont généralement des charges électriques au repos ou en
1 James Clerk Maxwell (1868-1879) : physicien écossais.
9782340-054530_001_408.indd 9 01/07/2021 09:29 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 2 3
-3mouvement. L'intensité d'un champ en tout point dépend de la valeur, de la position, où ∆q est la charge contenue dans l’élément de volume ∆ τ ; ρ s’exprime en C.m .
de la vitesse et de l'accélération de la charge source.
La charge totale portée par le volume τ est :
De nombreuses expériences ont montré d’une part que la charge totale d’un
système isolé se conserve. Le principe de conservation de la charge électrique est qd= ρ τ∫∫∫ τ
un postulat fondamental en physique. L'affirmation selon laquelle la charge
électrique est conservée signifie simplement qu'elle ne peut être ni créée ni détruite.
L’indestructibilité de la charge électrique est une loi fondamentale de la
physique. Le principe de conservation de la charge électrique doit être satisfait à
d τtout instant et dans toutes les situations du génie électrique.
dS dlD’autre part, il est expérimentalement établi que la charge électrique est toujours
dq dq dq égale à un nombre entier, positif ou négatif, multiple d’une unité fondamentale
2insécable ou quantum e. L’expérience de Millikan , a montré l’existence de
l’électron, particule élémentaire de charge négative –e, en tant que constituant
ττ S Lfondamental de la matière. On dit que la charge électrique est quantifiée. La
charge élémentaire –e d’un électron vaut :
−19−=e −1,602⋅10 C
(a) (b) (c)
Il semble que la quantification de la charge électrique soit une loi fondamentale de Fig. I.1
la nature. Quoi qu’il en soit, les lois de l’électromagnétisme développées dans cet
1.1.2. Densité surfacique de charge ouvrage sont indépendantes de la quantification de la charge électrique. Ainsi, du
point de vue de la théorie électromagnétique classique, un corps chargé qui peut Soit une surface chargée S qui porte une charge totale q (Fig. I.1.b). Un élément de
être considéré comme un agrégat de charges électriques, sera traité comme si la surface dS sera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit la
charge totale pouvait être indéfiniment divisible. En d’autres termes, on peut densité surfacique de charge σσ comme étant la charge par unité de surface, soit :
considérer qu’à l’échelle macroscopique, ces charges électriques forment une ∆q dq
distribution continue ou un continuum. σ = lim =
∆S→0 ∆S dS
De la même manière, on considère la masse d’un solide ou d’un liquide comme une
-2où ∆q est la charge portée par l’élément de surface ∆S ; σ s’exprime en C.m .distribution continue, sans aller à l’échelle microscopique, et compter le nombre de
La charge totale portée par la surface S est :molécules. A l’échelle macroscopique, la distribution de charge peut alors être
représentée par sa densité de charge. q = σ dS∫∫S
Dans le système international MKSA, l’unité de la charge électrique est le
18 1.1.3. Densité linéique de chargecoulomb. Une charge électrique d’un coulomb compte 6,25.10 électrons (1 C =
18 -19(6,25.10 ) x (1,6.10 )). Comme on a souvent affaire à un aussi grand nombre de Soit une ligne de longueur l qui porte une charge totale q (Fig. I.1.c). Un élément
particules, la nature discrète des charges devient peu importante et on peut de longueur dl sera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit
considérer que ces charges électriques forment une distribution continue. la densité linéique de charge λλ comme étant la charge par unité de longueur, soit :
1.1. Distributions continues de charge ∆q dq
λ = lim =
Quand les dimensions linéaires du volume contenant la charge q ne sont pas ∆→l 0 ∆l dl
négligeables, on peut considérer que la charge est répartie de façon continue -1où ∆q est la charge portée par l’élément de longueur ∆l ; λ s’exprime en C.m .
(différentiable) à l’intérieur du volume. La charge totale portée par la ligne de longueur L est :
1.1.1. Densité volumique de charge q = λ dl∫L
Soit un volume τ qui porte une charge totale q (Fig. I.1.a). Un élément de volume d τ
 Dans le cas où la distribution continue de charge est uniforme, la densité desera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit la densité
charge est constante.
volumique de charge ρ comme étant la charge par unité de volume, soit :
• Si ρ est une constante, la charge totale du volume τ (uniformément chargé) est :
∆q dq
ρ = lim = qd=ρτ = ρτ
∆ τ→0 ∫∫∫∆ττ d τ
• Si σ est une constante, la charge totale de la surface S (uniformément chargée)
2 est : Robert Andrews Millikan (1868-1953) : physicien américain.
9782340-054530_001_408.indd 10 01/07/2021 09:29Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 2 3
-3mouvement. L'intensité d'un champ en tout point dépend de la valeur, de la position, où ∆q est la charge contenue dans l’élément de volume ∆ τ ; ρ s’exprime en C.m .
de la vitesse et de l'accélération de la charge source.
La charge totale portée par le volume τ est :
De nombreuses expériences ont montré d’une part que la charge totale d’un
système isolé se conserve. Le principe de conservation de la charge électrique est qd= ρ τ ∫∫∫ τ
un postulat fondamental en physique. L'affirmation selon laquelle la charge
électrique est conservée signifie simplement qu'elle ne peut être ni créée ni détruite.
L’indestructibilité de la charge électrique est une loi fondamentale de la
physique. Le principe de conservation de la charge électrique doit être satisfait à
d τ tout instant et dans toutes les situations du génie électrique.
dS dl D’autre part, il est expérimentalement établi que la charge électrique est toujours
dq dq dq égale à un nombre entier, positif ou négatif, multiple d’une unité fondamentale
2insécable ou quantum e. L’expérience de Millikan , a montré l’existence de
l’électron, particule élémentaire de charge négative –e, en tant que constituant
τ S L fondamental de la matière. On dit que la charge électrique est quantifiée. La
charge élémentaire –e d’un électron vaut :
−19−=e −1,602⋅10 C
(a) (b) (c)
Il semble que la quantification de la charge électrique soit une loi fondamentale de Fig. I.1
la nature. Quoi qu’il en soit, les lois de l’électromagnétisme développées dans cet
1.1.2. Densité surfacique de charge ouvrage sont indépendantes de la quantification de la charge électrique. Ainsi, du
point de vue de la théorie électromagnétique classique, un corps chargé qui peut Soit une surface chargée S qui porte une charge totale q (Fig. I.1.b). Un élément de
être considéré comme un agrégat de charges électriques, sera traité comme si la surface dS sera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit la
charge totale pouvait être indéfiniment divisible. En d’autres termes, on peut densité surfacique de charge σ comme étant la charge par unité de surface, soit :
considérer qu’à l’échelle macroscopique, ces charges électriques forment une ∆q dq
distribution continue ou un continuum. σ = lim =
∆S→0 ∆S dS
De la même manière, on considère la masse d’un solide ou d’un liquide comme une
-2où ∆q est la charge portée par l’élément de surface ∆S ; σ s’exprime en C.m . distribution continue, sans aller à l’échelle microscopique, et compter le nombre de
La charge totale portée par la surface S est : molécules. A l’échelle macroscopique, la distribution de charge peut alors être
représentée par sa densité de charge. q = σ dS∫∫S
Dans le système international MKSA, l’unité de la charge électrique est le
18 1.1.3. Densité linéique de charge coulomb. Une charge électrique d’un coulomb compte 6,25.10 électrons (1 C =
18 -19(6,25.10 ) x (1,6.10 )). Comme on a souvent affaire à un aussi grand nombre de Soit une ligne de longueur l qui porte une charge totale q (Fig. I.1.c). Un élément
particules, la nature discrète des charges devient peu importante et on peut de longueur dl sera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit
considérer que ces charges électriques forment une distribution continue. la densité linéique de charge λ comme étant la charge par unité de longueur, soit :
1.1. Distributions continues de charge ∆q dq
λ = lim =
Quand les dimensions linéaires du volume contenant la charge q ne sont pas ∆→l 0 ∆l dl
négligeables, on peut considérer que la charge est répartie de façon continue -1où ∆q est la charge portée par l’élément de longueur ∆l ; λ s’exprime en C.m .
(différentiable) à l’intérieur du volume. La charge totale portée par la ligne de longueur L est :
1.1.1. Densité volumique de charge q = λ dl∫L
Soit un volume τ qui porte une charge totale q (Fig. I.1.a). Un élément de volume d τ
 Dans le cas où la distribution continue de charge est uniforme, la densité de sera considéré comme une charge ponctuelle de valeur dq. On définit la densité
charge est constante.
volumique de charge ρρ comme étant la charge par unité de volume, soit :
• Si ρ est une constante, la charge totale du volume τ (uniformément chargé) est :
∆q dq
ρ = lim = qd=ρτ = ρτ
∆ τ→0 ∫∫∫∆ττ d τ
• Si σ est une constante, la charge totale de la surface S (uniformément chargée)
2 est : Robert Andrews Millikan (1868-1953) : physicien américain.
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Dans un métal, les porteurs de charge sont identiques (les électrons) et se déplacentq =σσdS = S ∫∫ S à la même vitesse. Alors,
• Si λ est une constante, la charge totale de la ligne de longueur L (uniformément −2j = ne v = ρ v A ⋅mm  chargée) est :
ne représente la densité volumique de charges mobiles ρ ( ρ = ne). q =λλdl = L m m∫ L
La densité de courant étant une grandeur vectorielle, elle s’exprime par :
1.2. Distribution discrète de charge
j = −n ev
Considérons un volume de dimension fini τ contenant un ensemble de charges (par
où le signe moins indique que le sens positif du courant est opposé à celui du
unité de volume) discernables par l’observateur, et par conséquent dénombrables :
déplacement des électrons, e est la valeur absolue de la charge d’un électron et n est
q , q , q , ... , q , ... , q . Supposons que chaque charge q est constituée par n 1 2 3 i n i i le nombre d’électrons libres par unité de volume.
particules de charge e par unité de volume. i
Dans le cas général, il existe plusieurs espèces de porteurs de charge et la densité deLa charge électrique étant une grandeur additive, la charge totale Q contenue dans
courant s’écrit alors :le volume τ est donc :  
NN j = nqv∑ α αα  
Q= q ⋅=ττ ne ⋅= n e + n e +⋯+ ne+⋯+ n e ⋅τ α()∑∑i ii 11 2 2 ii N N   
i =11i =   où la sommation est effectuée sur toutes les espèces de porteurs de charge (cations,
où n = 0,1,2,……,i, , N. anions et électrons) en présence dans le milieu conducteur.i
En général, lorsque la densité de courant n'est pas uniforme, le courant s'exprime On parlera de distribution discrète de charge lorsqu'il n'est pas possible de
par:définir une densité de charge.  
I= j⋅=dS j⋅ dS n1.3. Charges mobiles - Vecteur densité de courant ∫ ∫
S
Considérons un conducteur métallique de section droite S constante. En présence
où l'intégration est étendue à toute la surface S de toute section du conducteur (Fig.
d’un champ électrique extérieur, les électrons du métal se déplacent avec une 
 I.2) et n est un vecteur unitaire normal à la surface S.
vitesse moyenne uniforme v . Ce mouvement ordonné des porteurs de charge est
En vertu du théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-appelé courant électrique. 
Ostrogradski, le flux de la densité de courant j s’écrit :Par convention, le sens du courant électrique correspond au sens du déplacement
  ∂des charges positives. j⋅ dS= div j⋅=dτ − ρτ()t d∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∂tL’intensité du courant I dans un conducteur est égale au débit des charges à travers S ττ
la section S du conducteur :
Finalement, l’expression de la forme différentielle (ou locale) de l’équation de
I = dq dt continuité, appelée aussi équation de conservation de la charge, est :
L’unité d’intensité de courant est l’ampère :  ∂ ρ t( )
div j+ = 0
Q[ ] C ∂t[]IA= ⇔= 11
ts[] Dans le cas des courants continus (en régime stationnaire (permanent), ρ = Cte),
toutes les grandeurs électriques sont indépendantes du temps, en particulier leLe courant électrique étant une quantité scalaire, il ne peut être utilisé pour analyser 
vecteur densité de courant j . Dans ces conditions, l'équation de continuité se réduitles phénomènes électromagnétiques pour lesquels la direction (et le sens) du
à :courant doit être considérée. Pour cette raison, nous devons établir un champ 
vectoriel associé au courant électrique. Aussi, définit-on en chaque point de div j = 0 l’espace un vecteur densité de courant j , tangent à la ligne de courant. On dit que le flux de j est conservatif.
On appelle densité de courant j dans un conducteur de section S, le courant I par
Considérons maintenant un tube de courant élémentaire renfermant un ensemble
unité d’aire de section S :
de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé C. Sélectionnons deux
I
surfaces élémentaires S et S comme le montre la Fig. I.2. j = 1 2
S  En vertu du principe fondamental de conservation de la charge électrique, on
On peut dire également que l'intensité I du courant est égale au flux du vecteur j à montre que l’intensité du courant est la même dans toute section d’un tube de
travers la surface S. courant. En effet,
9782340-054530_001_408.indd 12 01/07/2021 09:29Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 4 5
Dans un métal, les porteurs de charge sont identiques (les électrons) et se déplacent q =σσdS = S∫∫ S à la même vitesse. Alors,
• Si λ est une constante, la charge totale de la ligne de longueur L (uniformément −2j = ne v = ρ v A ⋅mm  chargée) est :
ne représente la densité volumique de charges mobiles ρ ( ρ = ne). q =λλdl = L m m∫ L
La densité de courant étant une grandeur vectorielle, elle s’exprime par :
1.2. Distribution discrète de charge
j = −n ev
Considérons un volume de dimension fini τ contenant un ensemble de charges (par
où le signe moins indique que le sens positif du courant est opposé à celui du
unité de volume) discernables par l’observateur, et par conséquent dénombrables :
déplacement des électrons, e est la valeur absolue de la charge d’un électron et n est
q , q , q , ... , q , ... , q . Supposons que chaque charge q est constituée par n1 2 3 i n i i le nombre d’électrons libres par unité de volume.
particules de charge e par unité de volume.i
Dans le cas général, il existe plusieurs espèces de porteurs de charge et la densité de La charge électrique étant une grandeur additive, la charge totale Q contenue dans
courant s’écrit alors : le volume τ est donc :  
NN j = nqv∑ α αα  
Q= q ⋅=ττ ne ⋅= n e + n e +⋯+ ne+⋯+ n e ⋅τ α()∑∑i ii 11 2 2 ii N N   
i =11i =   où la sommation est effectuée sur toutes les espèces de porteurs de charge (cations,
où n = 0,1,2,……,i, , N. anions et électrons) en présence dans le milieu conducteur. i
En général, lorsque la densité de courant n'est pas uniforme, le courant s'exprime On parlera de distribution discrète de charge lorsqu'il n'est pas possible de
par: définir une densité de charge.  
I= j⋅=dS j⋅ dS n1.3. Charges mobiles - Vecteur densité de courant ∫ ∫
S
Considérons un conducteur métallique de section droite S constante. En présence
où l'intégration est étendue à toute la surface S de toute section du conducteur (Fig.
d’un champ électrique extérieur, les électrons du métal se déplacent avec une 
 I.2) et n est un vecteur unitaire normal à la surface S.
vitesse moyenne uniforme v . Ce mouvement ordonné des porteurs de charge est
En vertu du théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-appelé courant électrique. 
Ostrogradski, le flux de la densité de courant j s’écrit : Par convention, le sens du courant électrique correspond au sens du déplacement
  ∂des charges positives. j⋅ dS= div j⋅=dτ − ρτ()t d ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∂tL’intensité du courant I dans un conducteur est égale au débit des charges à travers S ττ
la section S du conducteur :
Finalement, l’expression de la forme différentielle (ou locale) de l’équation de
I = dq dt continuité, appelée aussi équation de conservation de la charge, est :
L’unité d’intensité de courant est l’ampère :  ∂ ρ t( )
div j+ = 0
Q[ ] C ∂t[]IA= ⇔= 11
ts[] Dans le cas des courants continus (en régime stationnaire (permanent), ρ = Cte),
toutes les grandeurs électriques sont indépendantes du temps, en particulier leLe courant électrique étant une quantité scalaire, il ne peut être utilisé pour analyser 
vecteur densité de courant j . Dans ces conditions, l'équation de continuité se réduit les phénomènes électromagnétiques pour lesquels la direction (et le sens) du
à : courant doit être considérée. Pour cette raison, nous devons établir un champ 
vectoriel associé au courant électrique. Aussi, définit-on en chaque point de div j = 0  l’espace un vecteur densité de courant j , tangent à la ligne de courant. On dit que le flux de j est conservatif.
On appelle densité de courant j dans un conducteur de section S, le courant I par
Considérons maintenant un tube de courant élémentaire renfermant un ensemble
unité d’aire de section S :
de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé C. Sélectionnons deux
I
surfaces élémentaires S et S comme le montre la Fig. I.2. j = 1 2
S  En vertu du principe fondamental de conservation de la charge électrique, on
On peut dire également que l'intensité I du courant est égale au flux du vecteur j à montre que l’intensité du courant est la même dans toute section d’un tube de
travers la surface S. courant. En effet,
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  
I=− j⋅=dS j⋅ dS= I1 1 1 2 22∫∫ ∫∫
S S12 
Soit : n
dl
II=12 
j e En régime stationnaire, ainsi que dans l’approximation des régimes quasi (S) S
stationnaires (ARQS), l’intensité d’un courant se conserve à travers toute section
d’un tube de courant.

j
L
I C

j1
 Fig. I.3 dS1
 2. Interactions fondamentales
j2
 Au stade actuel de nos connaissances, il est établi que la nature est gouvernée par
dS2 quatre types d'interactions fondamentales :
-15
• L'interaction nucléaire forte : I = 1 (portée 10 m) Fig. I.2
Responsable des liaisons entre protons et neutrons, elle assure la cohésion du 1.4. Vecteur densité de courant surfacique
noyau atomique en l’empêchant de se dissocier sous l’effet de la force
Quand les porteurs de charge se déplacent essentiellement à la surface d’un électrostatique répulsive existant entre les protons. Cette interaction qui est la plus 
conducteur, on définit la densité de courant surfacique j dont le module est intense ne se manifeste qu’à très courte portée, c'est-à-dire à une distance inférieure S
-1 aux dimensions du noyau atomique. Elle est notamment responsable des réactionsexprimé en ampère par mètre (A.m ).
nucléaires de fusion qui se déroulent au sein du Soleil.
On assimile la distribution à une nappe de courant de surface S et d’épaisseur e,
-2lorsque les dimensions latérales de la surface S sont très grandes devant e. Dans le • L'interaction électromagnétique : I = 10 (portée infinie)
cas d’un courant électrique de haute fréquence, la densité de courant de surface est Responsable de la stabilité des structures atomiques, elle assure la cohésion du
concentrée en une couche mince, d’épaisseur δ, à la surface du conducteur. δ est nuage électronique autour du noyau. Agissant sur les objets ayant une charge
appelée épaisseur de peau. électrique, elle régit donc tous les phénomènes électriques et magnétiques. Cette
2La densité de courant surfacique est donnée par : interaction qui décroit lentement (forces en 1 r ) se manifeste par une répulsion
 entre les charges électriques de même signe et une attraction entre les charges dee
j = j dzS signe contraire. De même, deux pôles d’aimants de même signe se repoussent et∫0
deux pôles d’aimants de signe opposé s’attirent. A l’échelle moléculaire, elle
où l'intégration est étendue à l’épaisseur e de la nappe de courant, c'est-à-dire dans assure la cohésion des structures moléculaires et cristallines. De portée infinie,
la direction de la coordonnée z mesurée perpendiculairement à la surface S elle est responsable de la plupart des phénomènes physiques de la vie quotidienne et
(Fig. I.3). des forces observés dans l’univers, comme les réactions chimiques et biologiques
L’intensité du courant traversant la ligne L contenue dans la surface (S) est donnée ou les ondes électromagnétiques parmi lesquelles on distingue la lumière, les
ondes radioélectriques, etc. C’est donc la plus importante des interactions par :
 fondamentales.
I = j ⋅ dL nS∫ -6 -17
• L'interaction nucléaire faible : I = 10 (portée 10 m) L
 Responsable de la radioactivité Bêta, elle est donc à l’origine de la désintégrationoù L est la largeur du fil conducteur et n est un vercteur unitaire tangent à la
de certains noyaux radioactifs. Elle joue également un rôle important dans lessurface (S) et normal à la ligne L en tout point.
9782340-054530_001_408.indd 14 01/07/2021 09:29Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 6 7
  
I=− j⋅=dS j⋅ dS= I1 1 1 2 22∫∫ ∫∫
S S12 
Soit : n
dl
II=12 
j e En régime stationnaire, ainsi que dans l’approximation des régimes quasi (S) S
stationnaires (ARQS), l’intensité d’un courant se conserve à travers toute section
d’un tube de courant.

j
L
I C

j1
 Fig. I.3 dS1
 2. Interactions fondamentales
j2
 Au stade actuel de nos connaissances, il est établi que la nature est gouvernée par
dS2 quatre types d'interactions fondamentales :
-15
• L'interaction nucléaire forte : I = 1 (portée 10 m)Fig. I.2
Responsable des liaisons entre protons et neutrons, elle assure la cohésion du 1.4. Vecteur densité de courant surfacique
noyau atomique en l’empêchant de se dissocier sous l’effet de la force
Quand les porteurs de charge se déplacent essentiellement à la surface d’un électrostatique répulsive existant entre les protons. Cette interaction qui est la plus 
conducteur, on définit la densité de courant surfacique j dont le module est intense ne se manifeste qu’à très courte portée, c'est-à-dire à une distance inférieure S
-1 aux dimensions du noyau atomique. Elle est notamment responsable des réactions exprimé en ampère par mètre (A.m ).
nucléaires de fusion qui se déroulent au sein du Soleil.
On assimile la distribution à une nappe de courant de surface S et d’épaisseur e,
-2lorsque les dimensions latérales de la surface S sont très grandes devant e. Dans le • L'interaction électromagnétique : I = 10 (portée infinie)
cas d’un courant électrique de haute fréquence, la densité de courant de surface est Responsable de la stabilité des structures atomiques, elle assure la cohésion du
concentrée en une couche mince, d’épaisseur δ, à la surface du conducteur. δ est nuage électronique autour du noyau. Agissant sur les objets ayant une charge
appelée épaisseur de peau. électrique, elle régit donc tous les phénomènes électriques et magnétiques. Cette
2La densité de courant surfacique est donnée par : interaction qui décroit lentement (forces en 1 r ) se manifeste par une répulsion
 entre les charges électriques de même signe et une attraction entre les charges de e
j = j dzS signe contraire. De même, deux pôles d’aimants de même signe se repoussent et ∫0
deux pôles d’aimants de signe opposé s’attirent. A l’échelle moléculaire, elle
où l'intégration est étendue à l’épaisseur e de la nappe de courant, c'est-à-dire dans assure la cohésion des structures moléculaires et cristallines. De portée infinie,
la direction de la coordonnée z mesurée perpendiculairement à la surface S elle est responsable de la plupart des phénomènes physiques de la vie quotidienne et
(Fig. I.3). des forces observés dans l’univers, comme les réactions chimiques et biologiques
L’intensité du courant traversant la ligne L contenue dans la surface (S) est donnée ou les ondes électromagnétiques parmi lesquelles on distingue la lumière, les
ondes radioélectriques, etc. C’est donc la plus importante des interactions par :
 fondamentales. 
I = j ⋅ dL nS∫ -6 -17
• L'interaction nucléaire faible : I = 10 (portée 10 m)L
 Responsable de la radioactivité Bêta, elle est donc à l’origine de la désintégration où L est la largeur du fil conducteur et n est un vercteur unitaire tangent à la
de certains noyaux radioactifs. Elle joue également un rôle important dans les surface (S) et normal à la ligne L en tout point.
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réactions nucléaires de fusion qui ont lieu au centre du Soleil et qui lui permettent Dans le système d’unités SI, la formule exprimant la loi de Coulomb est:
de briller.  1 qq  r12-38 F = uu; = • L'interaction gravitationnelle : I = 10 (portée infinie) 12 24 πε rr0
Responsable de la cohésion de l’univers en maintenant les planètes en rotation
1 9 22 −autour du Soleil, elle régit plusieurs phénomènes naturelles, comme la pesanteur, Souvent, on pose k= = 9⋅10Nm⋅⋅C ,  4 πεles marées ou encore les phénomènes astronomiques, etc. C’est la plus faible des 0
quatre interactions fondamentales. Elle est toujours attractive et de portée infinie.
1−12 −1Les interactions gravitationnelle et électromagnétique sont de longue portée; à où ε= 8,85⋅=10 Fm⋅  est la permittivité du vide, reliée à la 0 9  36 π ⋅10l'échelle atomique, l'interaction électromagnétique domine largement. A l'échelle
−7 2macroscopique en revanche, l'interaction gravitationnelle prédomine. perméabilité du vide µπ= 4 ⋅10 S.I. par la relation εµ c =1, où c est la célérité 0 00
-1 8 -1Les deux interactions nucléaires ont en revanche, une portée très courte, de l'ordre de la lumière dans le vide c = 299 792,458 km.s , soit c ≅ 3.10 m.s .
-15du Fermi (1 F = 10 m). A l'échelle nucléaire, l'interaction forte domine. 3.2. Principe de superposition
L'objectif actuel des physiciens est de découvrir une théorie visant à unifier les Si N charges ponctuelles q q q …, q , …, q (Fig. I.5) exercent respectivement 1, 2, 3, i N    quatre interactions connues en une interaction fondamentale unique au moyen de
sur une charge ponctuelle q les forces F , F , F , …, F , …, F , la force 1 2 3 i Nlaquelle toutes les lois de la nature sont régies. 
résultante appliquée à la charge q est la somme vectorielle de toutes les forces F i3. Lois fondamentales de l’électrostatique
appliquées séparément, avec i = 1, 2, 3, ..., N.
L’électrostatique est une branche de l’électromagnétisme qui étudie les 
NN   1 qq rinteractions entre les charges électriques statiques. iiF = F = uu; = ∑∑i ii24 πε rri =11 i =0 ii3.1. Loi de Coulomb
33L’ingénieur français C.A. Coulomb a imaginé et mis en œuvre un dispositif
expérimental (balance de torsion) pour mesurer quantitativement les forces
électrostatiques attractives et répulsives qui s’exercent entre les charges électriques.
Par analogie avec la loi de la gravitation (loi de Newton), Coulomb a établi
expérimentalement la loi de l’interaction électrostatique des charges électriques.
On considère deux charges ponctuelles immobiles q et q se trouvant dans le vide 1 2
et séparées par une distance r (Fig. I.4). La force d’interaction électrostatique entre
ces deux charges est :
− radiale, c’est à dire portée par la droite séparant les deux charges;
− proportionnelle au produit des deux charges;
− enfin, inversement proportionnelle au carré de la distance r qui les sépare. Fig. I.5
Nous supposons que les charges sont au repos et que les dimensions des charges
 La force d’interaction électrostatique est une force conservative centrale en
sont très petites devant les distances qui les séparent. 21 r .
La propriété de superposition des forces électrostatiques est un fait d’expérience :
c’est le principe de superposition (comme tout principe, il n’est pas démontré). q q 1 2
3.3. Champ électrostatique
    
F u r F  Un champ électrostatique est une région de l’espace où s’exerce une force 21 12
électrostatique.
Fig. I.4  Chaque point M(x,y,z) de l’espace est caractérisé par un vecteur champ

électrostatique E(,x yz, ) .
 Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle qui dépend de la 3 Charles-Augustin de Coulomb (1736 – 1806) : physicien français.
position et de la configuration des charges sources.
9782340-054530_001_408.indd 16 01/07/2021 09:29 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 8 9
réactions nucléaires de fusion qui ont lieu au centre du Soleil et qui lui permettent Dans le système d’unités SI, la formule exprimant la loi de Coulomb est:
de briller.  1 qq  r12-38 F = uu; = • L'interaction gravitationnelle : I = 10 (portée infinie) 12 24 πε rr0
Responsable de la cohésion de l’univers en maintenant les planètes en rotation
1 9 22 −autour du Soleil, elle régit plusieurs phénomènes naturelles, comme la pesanteur, Souvent, on pose k= = 9⋅10Nm⋅⋅C ,  4 πεles marées ou encore les phénomènes astronomiques, etc. C’est la plus faible des 0
quatre interactions fondamentales. Elle est toujours attractive et de portée infinie.
1−12 −1Les interactions gravitationnelle et électromagnétique sont de longue portée; à où ε= 8,85⋅=10 Fm⋅  est la permittivité du vide, reliée à la 0 9  36 π ⋅10l'échelle atomique, l'interaction électromagnétique domine largement. A l'échelle
−7 2macroscopique en revanche, l'interaction gravitationnelle prédomine. perméabilité du vide µπ= 4 ⋅10 S.I. par la relation εµ c =1, où c est la célérité 0 00
-1 8 -1Les deux interactions nucléaires ont en revanche, une portée très courte, de l'ordre de la lumière dans le vide c = 299 792,458 km.s , soit c ≅ 3.10 m.s .
-15du Fermi (1 F = 10 m). A l'échelle nucléaire, l'interaction forte domine. 3.2. Principe de superposition
L'objectif actuel des physiciens est de découvrir une théorie visant à unifier les Si N charges ponctuelles q q q …, q , …, q (Fig. I.5) exercent respectivement 1, 2, 3, i N    quatre interactions connues en une interaction fondamentale unique au moyen de
sur une charge ponctuelle q les forces F , F , F , …, F , …, F , la force 1 2 3 i Nlaquelle toutes les lois de la nature sont régies. 
résultante appliquée à la charge q est la somme vectorielle de toutes les forces F i3. Lois fondamentales de l’électrostatique
appliquées séparément, avec i = 1, 2, 3, ..., N.
L’électrostatique est une branche de l’électromagnétisme qui étudie les 
NN   1 qq rinteractions entre les charges électriques statiques. iiF = F = uu; = ∑∑i24 πε rri =11 i =03.1. Loi de Coulomb
33L’ingénieur français C.A. Coulomb a imaginé et mis en œuvre un dispositif
expérimental (balance de torsion) pour mesurer quantitativement les forces
électrostatiques attractives et répulsives qui s’exercent entre les charges électriques.
Par analogie avec la loi de la gravitation (loi de Newton), Coulomb a établi
expérimentalement la loi de l’interaction électrostatique des charges électriques.
On considère deux charges ponctuelles immobiles q et q se trouvant dans le vide 1 2
et séparées par une distance r (Fig. I.4). La force d’interaction électrostatique entre
ces deux charges est :
− radiale, c’est à dire portée par la droite séparant les deux charges;
− proportionnelle au produit des deux charges;
− enfin, inversement proportionnelle au carré de la distance r qui les sépare. Fig. I.5
Nous supposons que les charges sont au repos et que les dimensions des charges
 La force d’interaction électrostatique est une force conservative centrale en
sont très petites devant les distances qui les séparent. 21 r .
La propriété de superposition des forces électrostatiques est un fait d’expérience :
c’est le principe de superposition (comme tout principe, il n’est pas démontré). q q 1 2
3.3. Champ électrostatique
    
F u r F  Un champ électrostatique est une région de l’espace où s’exerce une force 21 12
électrostatique.
Fig. I.4  Chaque point M(x,y,z) de l’espace est caractérisé par un vecteur champ

électrostatique E(,x yz, ) .
 Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle qui dépend de la 3 Charles-Augustin de Coulomb (1736 – 1806) : physicien français.
position et de la configuration des charges sources.
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3.3.3. Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charges  Une charge électrique q placée dans un champ électrostatique E est soumise à

une force électrostatique F : Une distribution linéique de charge de longueur L et de densité :

   F dq −1F= qE ⇔= E λ =Cm⋅ λ = ; [ ] q dl
3.3.1. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
Une charge ponctuelle positive q fixée en un point O crée en un point M de 1 λ dl  E = dE = u ∫∫ 2l’espace environnant un champ électrostatique E (Fig. I.6). L’existence de ce 4πε r 0 L
champ est révélée par la force électrostatique F à laquelle est soumise une charge
3.3.4. Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge ponctuelle positive q’ placée au point M.
Une distribution surfacique de charge de surface S et de densité :
D’après la loi de Coulomb, les deux charges q et q' se repoussent avec une force:
dq −2 σ = ; σ =Cm⋅ 1 qq '  [ ]
Fu= dS24 πε r0 crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
   
avec : OM = r et u = r r .  1 σ dS 
E = dE = u 2 ∫ ∫ ∫∫4πε r0 SComme E = F q' , on obtient:
 3.3.5. Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge 1 q 
Eu=
24 πε r0 Une distribution volumique de charge de volume τ et de densité :
dq −3 ρ = ; ρ =Cm⋅ [ ]
d τ E
M crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
q’
  1 ρ dτ E = dE = u ∫ ∫∫ ∫∫∫ 24πε r 0 τ
r
On applique le principe de superposition pour trouver le champ électrostatique
 
total E . Cela revient à intégrer le champ élémentaire dE sur toute la distribution de 
u charge.

3.4. Potentiel électrostatique
O q
Nous avons vu que l'espace électrique peut être décrit par :
Fig. I.6
 une grandeur vectorielle, le champ électrique, liée à la notion de force électrique.
3.3.2. Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles
Il peut être également décrit par :
Soit un ensemble de charges q , q , ..., q , ..., q positives ou négatives, placées en 1 2 i N
des points fixes O , O , ..., O , ..., O . Le champ électrostatique résultant en un point  une grandeur scalaire, le potentiel électrique, liée à la notion de travail. 1 2 i N
M est obtenu en faisant la superposition des champs créés individuellement par Le champ et le potentiel électriques sont deux notions étroitement liées. Toutefois,
chacune des charges. la nature scalaire du potentiel en fait souvent une notion plus facile à manipuler que
n le champ électrique pour l'étude des systèmes physiques.
EE= ∑ i
i =1 3.4.1. Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
N 11q q q qq  Le potentiel électrostatique V ( r ) est une fonction scalaire dont la différentielle totale i 12 iNE= u= uu+ ++⋯⋯ u+ + u ∑ i 12 i N2 22 2 2 est égale à la circulation dC du champ électrostatique (changée de signe) : 44πε r πε r r r ri =10 i 012    dV=− d C ⇔ dV=− E⋅ dr avec : O M = r et u = r r i i i i i
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 10 11

3.3.3. Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charges  Une charge électrique q placée dans un champ électrostatique E est soumise à

une force électrostatique F : Une distribution linéique de charge de longueur L et de densité :

   F dq −1F= qE ⇔= E λ =Cm⋅ λ = ; [ ] q dl
3.3.1. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
Une charge ponctuelle positive q fixée en un point O crée en un point M de 1 λ dl  E = dE = u ∫∫ 2l’espace environnant un champ électrostatique E (Fig. I.6). L’existence de ce 4πε r 0 L
champ est révélée par la force électrostatique F à laquelle est soumise une charge
3.3.4. Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge ponctuelle positive q’ placée au point M.
Une distribution surfacique de charge de surface S et de densité :
D’après la loi de Coulomb, les deux charges q et q' se repoussent avec une force:
dq −2 σ = ; σ =Cm⋅ 1 qq '  [ ]
Fu= dS24 πε r0 crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
   
avec : OM = r et u = r r .  1 σ dS 
E = dE = u 2 ∫ ∫ ∫∫4πε r0 SComme E = F q' , on obtient:
 3.3.5. Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge 1 q 
Eu=
24 πε r0 Une distribution volumique de charge de volume τ et de densité :
dq −3 ρ = ; ρ =Cm⋅ [ ]
d τ E
M crée en un point M de l’espace environnant un champ électrostatique total :
q’
  1 ρ dτ E = dE = u ∫ ∫∫ ∫∫∫ 24πε r 0 τ
r
On applique le principe de superposition pour trouver le champ électrostatique
 
total E . Cela revient à intégrer le champ élémentaire dE sur toute la distribution de 
u charge.

3.4. Potentiel électrostatique
O q
Nous avons vu que l'espace électrique peut être décrit par :
Fig. I.6
 une grandeur vectorielle, le champ électrique, liée à la notion de force électrique.
3.3.2. Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles
Il peut être également décrit par :
Soit un ensemble de charges q , q , ..., q , ..., q positives ou négatives, placées en 1 2 i N
des points fixes O , O , ..., O , ..., O . Le champ électrostatique résultant en un point  une grandeur scalaire, le potentiel électrique, liée à la notion de travail. 1 2 i N
M est obtenu en faisant la superposition des champs créés individuellement par Le champ et le potentiel électriques sont deux notions étroitement liées. Toutefois,
chacune des charges. la nature scalaire du potentiel en fait souvent une notion plus facile à manipuler que
n le champ électrique pour l'étude des systèmes physiques.
EE= ∑ i
i =1 3.4.1. Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
N 11q q q qq  Le potentiel électrostatique V ( r ) est une fonction scalaire dont la différentielle totale i 12 iNE= u= uu+ ++⋯⋯ u+ + u ∑ i 12 i N2 22 2 2 est égale à la circulation dC du champ électrostatique (changée de signe) : 44πε r πε r r r ri =10 i 012 iN    dV=− d C ⇔ dV=− E⋅ dr avec : O M = r et u = r r i i i i i
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 12 13
   Potentiel créé par une distribution linéique de charge Q dr Q
Comme : dC=−=−d244πε rr πε Une distribution linéique de charge (Fig. I.7.a) crée au point M un potentiel défini 00 
par : On obtient :
1 λ dl
1 Q Vr () = ∫ V r = + Cte () 4π ε r0 L4 πε r0
-1avec dq = λdl , où λ s'exprime en C.m .
Posons V = Cte, par suite : 0
 Potentiel créé par une distribution surfacique de charge 1 Q
Vr () = +V 0
4 πε r Une distribution surfacique de charge (Fig. I.7.b) crée au point M un potentiel défini 0
par :
Par convention, on choisit V = 0 aux points infiniment éloignés de la charge
1 σ dSponctuelle; il en résulte V = 0. Dans ces conditions, le potentiel électrostatique créé 0 Vr ( ) = ∫ ∫par une charge ponctuelle q à la distance r est : 4 πε r0 S
1 Q -2avec dq = σ dS , où σ s'exprime en C.m . Vr = ()
4 πε r0
 Potentiel créé par une distribution volumique de charge
Connaissant le champ électrique E en fonction de la position, on peut déduire la
Une distribution volumique de charge (Fig. I.7.c) crée au point M un potentiel différence de potentiel entre deux points A et B. Ainsi, la différence de potentiel
défini par : entre deux points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique
(changée de signe) entre ces deux points : 1 ρτd
Vr ( ) = B ∫∫∫  4 πε r0 τV−=V − E⋅ dr B A ∫
-3A avec dq =ρτd , où ρ s'exprime en C.m .
rB B  Q dr Q 1 Q 11
D’où : VV− =− =− − = − BA  ∫ 2 44π ε r π ε r 4 π ε rrr00A 0 BAA
En résumé, le potentiel est une grandeur scalaire qui est entièrement déterminée
par sa valeur numérique.
L’unité de mesure du potentiel (ou plus exactement de la d.d.p.), dans le système
4international SI, est le volt (symbole V), la charge électrique s’exprimant en
coulomb (symbole C).
3.4.2. Potentiel électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles Fig. I.7
Le potentiel est une fonction additive. En appliquant le principe de superposition, 3.4.4. Relation entre le potentiel et le champ électrostatiques
on détermine le potentiel électrostatique créé par N charges ponctuelles q , q , 1 2
Nous avons vu que le potentiel électrostatique V (r ) est une fonction scalaire dont la q ,…, q ,…, q au point M en faisant la somme des contributions de toutes les 3 i N
différentielle totale est égale à la circulation dC du champ électrostatique (changée charges ponctuelles individuelles :  
de signe) : dV=−⋅E dr . n11qq q qqi 12 iNVr ( )= = + ++... + ...+ ∑  Comme le champ électrostatique est un champ newtonien, sa circulation entre les 44πε r πε rr r ri =10 i 01 2 points A et B, dépend seulement de r et r , c'est à dire de la position des points A et 1 2
B et non du chemin suivi pour aller de A à B. 3.4.3. Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charge
Par conséquent, dV est une différentielle totale de la fonction V( x, y, z) et elle est Si la distribution continue de charge ne comporte pas de corps chargés à l’infini, on
donnée par l’expression : peut choisir le potentiel nul à l’infini.
∂∂VV ∂V dV= dx+ dy+ dz 4 Alessandro Volta (1745 – 1827) : physicien italien. ∂xy∂ ∂z

9782340-054530_001_408.indd 20 01/07/2021 09:29 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 12 13
   Potentiel créé par une distribution linéique de charge Q dr Q
Comme : dC=−=−d244πε rr πε Une distribution linéique de charge (Fig. I.7.a) crée au point M un potentiel défini 00 
par : On obtient :
1 λ dl
1 Q Vr () = ∫ V r = + Cte () 4π ε r0 L4 πε r0
-1avec dq = λdl , où λ s'exprime en C.m .
Posons V = Cte, par suite : 0
 Potentiel créé par une distribution surfacique de charge 1 Q
Vr () = +V 0
4 πε r Une distribution surfacique de charge (Fig. I.7.b) crée au point M un potentiel défini 0
par :
Par convention, on choisit V = 0 aux points infiniment éloignés de la charge
1 σ dSponctuelle; il en résulte V = 0. Dans ces conditions, le potentiel électrostatique créé 0 Vr ( ) = ∫ ∫par une charge ponctuelle q à la distance r est : 4 πε r0 S
1 Q -2avec dq = σ dS , où σ s'exprime en C.m . Vr = ()
4 πε r0
 Potentiel créé par une distribution volumique de charge
Connaissant le champ électrique E en fonction de la position, on peut déduire la
Une distribution volumique de charge (Fig. I.7.c) crée au point M un potentiel différence de potentiel entre deux points A et B. Ainsi, la différence de potentiel
défini par : entre deux points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique
(changée de signe) entre ces deux points : 1 ρτd
Vr ( ) = B ∫∫∫  4 πε r0 τV−=V − E⋅ dr B A ∫
-3A avec dq =ρτd , où ρ s'exprime en C.m .
rB B  Q dr Q 1 Q 11
D’où : VV− =− =− − = − BA  ∫ 2 44π ε r π ε r 4 π ε rrr00A 0 BAA
En résumé, le potentiel est une grandeur scalaire qui est entièrement déterminée
par sa valeur numérique.
L’unité de mesure du potentiel (ou plus exactement de la d.d.p.), dans le système
4international SI, est le volt (symbole V), la charge électrique s’exprimant en
coulomb (symbole C).
3.4.2. Potentiel électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles Fig. I.7
Le potentiel est une fonction additive. En appliquant le principe de superposition, 3.4.4. Relation entre le potentiel et le champ électrostatiques
on détermine le potentiel électrostatique créé par N charges ponctuelles q , q , 1 2
Nous avons vu que le potentiel électrostatique V (r ) est une fonction scalaire dont la q ,…, q ,…, q au point M en faisant la somme des contributions de toutes les 3 i N
différentielle totale est égale à la circulation dC du champ électrostatique (changée charges ponctuelles individuelles :  
de signe) : dV=−⋅E dr . n11qq q qqi 12 iNVr ( )= = + ++... + ...+ ∑  Comme le champ électrostatique est un champ newtonien, sa circulation entre les 44πε r πε rr r ri =10 i 01 2 iN points A et B, dépend seulement de r et r , c'est à dire de la position des points A et 1 2
B et non du chemin suivi pour aller de A à B. 3.4.3. Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charge
Par conséquent, dV est une différentielle totale de la fonction V( x, y, z) et elle est Si la distribution continue de charge ne comporte pas de corps chargés à l’infini, on
donnée par l’expression : peut choisir le potentiel nul à l’infini.
∂∂VV ∂V dV= dx+ dy+ dz 4 Alessandro Volta (1745 – 1827) : physicien italien. ∂xy∂ ∂z

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On montre que :  Forme locale
   ∂∂VV ∂V Supposons que la charge Q soit uniformément répartie a l’intérieur du volume τ intdV= d x+ d y+ d z= grad V⋅ dr xy ∂z délimité par la surface fermée S, avec une densité volumique de charge ρ. Nous
allons établir une relation locale entre le champ électrique en un point M et la
En utilisant l’expression du gradient, on obtient : densité volumique de charge en ce point.    
E = −∇ V = − g rad V Le champ électrostatique E au point M s’écrit :
  
D’après la relation précédente, le champ électrostatique est égal à « moins E= Ei++E j Ek x y z
gradient » du potentiel. On dit que le champ électrostatique « dérive du potentiel ».
On désigne par ρ la densité volumique à l’intérieur du volume d τ = dx dy dz. 
53. 5. En vertu du théorème de Stokes , la circulation du champ électrostatique E La charge totale contenue dans le volume τ est :
le long d’un contour fermé C (qui est nulle) s’écrit : Q = ρτtd ( )int ∫∫∫    
τ
E ⋅ dl = ∇ ∧ E ⋅ dS ( ) ∫ ∫∫
Le flux du vecteur champ électrostatique E sortant de la surface S délimitant le CS
   volume τ est égal à la charge contenue à l’intérieur du volume τ, divisée par ε : 0 avec dS = dS n et n est un vecteur unitaire normal à la surface S et orienté selon la
  Q 1intrègle de la main droite (ou la règle du tire-bouchon). E⋅=dS = ρ dτ ∫∫ ∫∫ ∫εεS 00 τPuisque la circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé est nulle,
on a : En vertu du théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green- 
E⋅=dl 0 Ostrogradski, le flux du champ électrostatique E s’écrit : ∫
C    1
E⋅ dS= div E⋅=dτ ρ dτ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫On en déduit que : εS ττ 0  
∇∧ E = 0     ρ
Soit : div E = ∇⋅ E = On dit que le rotationnel du champ électrostatique est nul.
ε 0
63. 6. Théorème de Gauss
Cette équation exprime la forme différentielle (locale) du théorème de Gauss. Elle   Forme intégrale relie le champ électrostatique E aux charges électriques qui sont les sources de E .
Considérons une région de l’espace (vide) contenant un volume τ entourée par une Le champ électrique créé par une charge électrique diverge d’une charge
n positive charge et converge vers une charge négative.
surface fermée S contenant des charges électriques fixes Qq= . Le théorème ∑int i
i =1  Equations fondamentales de l’électrostatique
de Gauss s’applique à un volume fini et prend par conséquent une forme intégrale. 
Puisque le champ électrique dérive du potentiel, tel que : EV= −∇ , Il stipule que le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée S est
égal au produit par 1 ε de la somme algébrique des charges situées à l’intérieur de on en déduit : 0
2 22∂ VVV∂∂ ρS : 77∆V= + + =− Equation de Poisson
n 2 221 ∂∂xy ∂z ε 0 Φ= q ∑ i
ε i =10 Cette équation, appelée équation de Poisson, relie le potentiel électrostatique à ses
sources (charges électriques). C’est une équation différentielle du second ordre avec Il est indépendant de la forme de la surface S, de la position des charges intérieures
second membre, qui n’admet de solution unique qu’avec des conditions aux limites et de la présence des charges extérieures.
adéquates.
Le théorème de Gauss énonce que le nombre de lignes de champ sortant d'une
Dans l’espace libre (le vide), où il n’y a pas de charges ( ρ = 0), l’équation de surface fermée est proportionnel à la charge totale contenue à l'intérieur de la
Poisson se réduit à : surface.

5 Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) : physicien et mathématicien irlandais.
76 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : physicien allemand. Denis Siméon Poisson (1781-1840) : physicien français.
9782340-054530_001_408.indd 22 01/07/2021 09:29 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 14 15
On montre que :  Forme locale
   ∂∂VV ∂V Supposons que la charge Q soit uniformément répartie a l’intérieur du volume τ intdV= d x+ d y+ d z= grad V⋅ dr
∂∂xy ∂z délimité par la surface fermée S, avec une densité volumique de charge ρ. Nous
allons établir une relation locale entre le champ électrique en un point M et la
En utilisant l’expression du gradient, on obtient : densité volumique de charge en ce point.    
E = −∇ V = − g rad V Le champ électrostatique E au point M s’écrit :
  
D’après la relation précédente, le champ électrostatique est égal à « moins E= Ei++E j Ek x y z
gradient » du potentiel. On dit que le champ électrostatique « dérive du potentiel ».
On désigne par ρ la densité volumique à l’intérieur du volume d τ = dx dy dz. 
53. 5. En vertu du théorème de Stokes , la circulation du champ électrostatique E La charge totale contenue dans le volume τ est :
le long d’un contour fermé C (qui est nulle) s’écrit : Q = ρτtd ( )int ∫∫∫    
τ
E ⋅ dl = ∇ ∧ E ⋅ dS ( ) ∫ ∫∫
Le flux du vecteur champ électrostatique E sortant de la surface S délimitant le CS
   volume τ est égal à la charge contenue à l’intérieur du volume τ, divisée par ε : 0 avec dS = dS n et n est un vecteur unitaire normal à la surface S et orienté selon la
  Q 1intrègle de la main droite (ou la règle du tire-bouchon). E⋅=dS = ρ dτ ∫∫ ∫∫ ∫εεS 00 τPuisque la circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé est nulle,
on a : En vertu du théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green- 
E⋅=dl 0 Ostrogradski, le flux du champ électrostatique E s’écrit : ∫
C    1
E⋅ dS= div E⋅=dτ ρ dτ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫On en déduit que : εS ττ 0  
∇∧ E = 0     ρ
Soit : div E = ∇⋅ E = On dit que le rotationnel du champ électrostatique est nul.
ε 0
63. 6. Théorème de Gauss
Cette équation exprime la forme différentielle (locale) du théorème de Gauss. Elle   Forme intégrale relie le champ électrostatique E aux charges électriques qui sont les sources de E .
Considérons une région de l’espace (vide) contenant un volume τ entourée par une Le champ électrique créé par une charge électrique diverge d’une charge
n positive charge et converge vers une charge négative.
surface fermée S contenant des charges électriques fixes Qq= . Le théorème ∑int i
i =1  Equations fondamentales de l’électrostatique
de Gauss s’applique à un volume fini et prend par conséquent une forme intégrale. 
Puisque le champ électrique dérive du potentiel, tel que : EV= −∇ , Il stipule que le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée S est
égal au produit par 1 ε de la somme algébrique des charges situées à l’intérieur de on en déduit : 0
2 22∂ VVV∂∂ ρS : 77∆V= + + =− Equation de Poisson
n 2 221 ∂∂xy ∂z ε 0 Φ= q ∑ i
ε i =10 Cette équation, appelée équation de Poisson, relie le potentiel électrostatique à ses
sources (charges électriques). C’est une équation différentielle du second ordre avec Il est indépendant de la forme de la surface S, de la position des charges intérieures
second membre, qui n’admet de solution unique qu’avec des conditions aux limites et de la présence des charges extérieures.
adéquates.
Le théorème de Gauss énonce que le nombre de lignes de champ sortant d'une
Dans l’espace libre (le vide), où il n’y a pas de charges ( ρ = 0), l’équation de surface fermée est proportionnel à la charge totale contenue à l'intérieur de la
Poisson se réduit à : surface.

5 Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) : physicien et mathématicien irlandais.
76 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : physicien allemand. Denis Siméon Poisson (1781-1840) : physicien français.
9782340-054530_001_408.indd 23 01/07/2021 09:29 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 16 17
22 2 molécules, dans lequel il n’y a pas de charges électriques libres qui circulent dans ∂VVV∂∂ 88∆ V= + + = 0 Equation de Laplace 2 22 leurs structures. ∂∂xy ∂z
Dans les atomes, le barycentre des électrons coïncide avec le noyau, et par Cette équation, appelée équation de Laplace, apparaît également dans de
conséquent le moment dipolaire de l’atome est nul (Fig. I.8.a). Mais si un champ nombreuses autres branches de la physique (thermique, mécanique des fluides, ...).
électrique extérieur est appliqué, le mouvement des électrons est distordu, et le 
barycentre des électrons et le noyau ne sont plus confondus (Fig. I.8..b). 3. 7. Vecteur excitation électrique D
 Dans la Fig. I.8.b, la distorsion est fortement exagérée. Il en résulte que l’atome
Dans le vide, le vecteur excitation électrique D (ou vecteur déplacement
 devient polarisé et acquiert un moment électrique dipolaire induit dans la direction
électrique) est proportionnel au champ électrique E : du champ.
 
DE= ε Dans les cristaux ioniques, le phénomène de polarisation correspond à un 0
-2 déplacement des anions et des cations du réseau cristallin sous l'influence du champ Dans le système international SI, il s’exprime en C.m .
électrique des ions environnants. C’est la polarisation ionique.
Le théorème de Gauss s’écrit alors :
Si le milieu contient des dipôles constants (molécules polaires), le champ électrique    
extérieur appliqué tend à orienter tous les dipôles électriques suivant la direction du ∇⋅DE= ∇⋅ερ = ou d iv D = ρ ( )0
champ. C’est la polarisation d’orientation.
En multipliant les deux membres de cette équation par d τ et en intégrant sur le On a l’habitude de définir le moment dipolaire induit par :
volume τ on obtient :  pE= αε 0
div D dτ = ρτd ∫∫∫ ∫∫∫
ττ où α est la polarisabilité électronique de la molécule. Elle a la dimension d'un
volume.
Or, Qd= ρ τ ∫∫∫
τ

où Q est la charge totale contenue dans le volume τ.
Et en vertu du théorème de Green-Ostrogradski, on peut écrire :
   
div D d τ = D ⋅ dS ∫∫∫ ∫∫
τ S (a) Absence de champ électrique extérieur
  D’où : D⋅=dS Q ∫ ∫
E S

Cette équation indique que le flux du vecteur excitation électrique à travers une
surface fermée est égal à la charge électrique totale contenue à l’intérieur de la
surface. Toutefois, il est important de souligner que le flux (intégrale de la surface
fermée) du vecteur déplacement à travers une surface ne dépend pas que du milieu B B- + +et du vecteur déplacement mais aussi du milieu où le champ électrique est présent. p
C’est le théorème de Gauss pour les champs électrostatiques en présence de

diélectriques.
x 4. Champ électrostatique en présence de milieux diélectriques
E
Les matériaux qui ne conduisent pas l'électricité sont appelés isolants. Aucune
(b) Présence d’un champ électrique extérieur
substance n'est un isolant parfait, mais il y en a beaucoup dont la conductivité
électrique est suffisamment petite pour être négligée en première approximation. Fig. I.8
Ces substances sont connues comme matériaux diélectriques ou simplement
On constate expérimentalement que le vecteur polarisation P s’écrit : comme diélectriques. Un milieu diélectrique est un milieu, constitué d'atomes et de  
PE= εχ 0 e
8 Pierre-Simon Laplace (1749-1827) : physicien français.
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 16 17
22 2 molécules, dans lequel il n’y a pas de charges électriques libres qui circulent dans ∂VVV∂∂ 88∆ V= + + = 0 Equation de Laplace 2 22 leurs structures. ∂∂xy ∂z
Dans les atomes, le barycentre des électrons coïncide avec le noyau, et par Cette équation, appelée équation de Laplace, apparaît également dans de
conséquent le moment dipolaire de l’atome est nul (Fig. I.8.a). Mais si un champ nombreuses autres branches de la physique (thermique, mécanique des fluides, ...).
électrique extérieur est appliqué, le mouvement des électrons est distordu, et le 
barycentre des électrons et le noyau ne sont plus confondus (Fig. I.8..b). 3. 7. Vecteur excitation électrique D
 Dans la Fig. I.8.b, la distorsion est fortement exagérée. Il en résulte que l’atome
Dans le vide, le vecteur excitation électrique D (ou vecteur déplacement
 devient polarisé et acquiert un moment électrique dipolaire induit dans la direction
électrique) est proportionnel au champ électrique E : du champ.
 
DE= ε Dans les cristaux ioniques, le phénomène de polarisation correspond à un 0
-2 déplacement des anions et des cations du réseau cristallin sous l'influence du champ Dans le système international SI, il s’exprime en C.m .
électrique des ions environnants. C’est la polarisation ionique.
Le théorème de Gauss s’écrit alors :
Si le milieu contient des dipôles constants (molécules polaires), le champ électrique    
extérieur appliqué tend à orienter tous les dipôles électriques suivant la direction du ∇⋅DE= ∇⋅ερ = ou d iv D = ρ ( )0
champ. C’est la polarisation d’orientation.
En multipliant les deux membres de cette équation par d τ et en intégrant sur le On a l’habitude de définir le moment dipolaire induit par :
volume τ on obtient :  pE= αε 0
div D dτ = ρτd ∫∫∫ ∫∫∫
ττ où α est la polarisabilité électronique de la molécule. Elle a la dimension d'un
volume.
Or, Qd= ρ τ ∫∫∫
τ

où Q est la charge totale contenue dans le volume τ.
Et en vertu du théorème de Green-Ostrogradski, on peut écrire :
   
div D d τ = D ⋅ dS ∫∫∫ ∫∫
τ S (a) Absence de champ électrique extérieur
  D’où : D⋅=dS Q ∫ ∫
E S

Cette équation indique que le flux du vecteur excitation électrique à travers une
surface fermée est égal à la charge électrique totale contenue à l’intérieur de la
surface. Toutefois, il est important de souligner que le flux (intégrale de la surface
fermée) du vecteur déplacement à travers une surface ne dépend pas que du milieu B B- + +et du vecteur déplacement mais aussi du milieu où le champ électrique est présent. p
C’est le théorème de Gauss pour les champs électrostatiques en présence de

diélectriques.
x 4. Champ électrostatique en présence de milieux diélectriques
E
Les matériaux qui ne conduisent pas l'électricité sont appelés isolants. Aucune
(b) Présence d’un champ électrique extérieur
substance n'est un isolant parfait, mais il y en a beaucoup dont la conductivité
électrique est suffisamment petite pour être négligée en première approximation. Fig. I.8
Ces substances sont connues comme matériaux diélectriques ou simplement
On constate expérimentalement que le vecteur polarisation P s’écrit : comme diélectriques. Un milieu diélectrique est un milieu, constitué d'atomes et de  
PE= εχ 0 e
8 Pierre-Simon Laplace (1749-1827) : physicien français.
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 18 19
où χ est la susceptibilité diélectrique du milieu considéré. C'est une constante 5. Lois fondamentales de la magnétostatique e
sans dimension, caractéristique de chaque diélectrique. Pour les diélectriques non Lorsqu’une charge électrique se déplace, elle génère dans l’espace qui l’entoure
polaires, le mécanisme de polarisation est de nature atomique interne et donc d’autres forces et d’autres champs supplémentaires que nous appelons
indépendant de la température. Pour les matériaux isolants polaires, les vibrations communément magnétisme. Les fondements du magnétisme reposent sur deux
thermiques des molécules empêchent leur alignement avec le champ électrique et faits empiriques importants. D’abord, les particules chargées, en mouvement dans
donc leur susceptibilité diminue avec la température. Dans certaines structures un champ magnétique, sont soumises à des forces d'origine magnétique. Ensuite, le
cristallines, comme le quartz, d’intenses forces internes interfèrent avec les forces déplacement des particules chargées crée des champs magnétiques dans l’espace
produites par le champ électrique extérieur appliqué. Il en résulte que la direction qui les entoure.  
de P n'est pas nécessairement la même que celle de E . Ces diélectriques sont La magnétostatique étudie les phénomènes magnétiques statiques produits par un
appelés diélectriques anisotropes. Cependant, nous traiterons surtout des champ magnétique indépendant du temps (ou stationnaire). Il existe deux sortes  
matériaux linéaires et isotropes, dans lesquels E et P sont parallèles en tout point. de sources de champ magnétique : les courants constants (courant continu)
 d’une part et les aimants d’autre part.
Donc maintenant, il convient de redéfinir le vecteur excitation électrique D
Nous avons vu en électrostatique qu’une charge électrique crée un champ comme :
électrostatique, et qu’un champ électrostatique exerce une force sur une charge    
électrique. Par analogie, en magnétostatique, nous savons qu’une charge électrique D = ε E +P ⇒ DE=εχ1 +( )0 0 e
en mouvement ou un courant créent un champ magnétique, et qu’un champ
où εχ=1 + est un nombre sans dimension. La validité de cette équation est magnétique exerce une force magnétique sur une charge en mouvement ou un re
courant. complètement générale.
En outre, si en électrostatique, les sources du champ électrostatique sont des
Sachant qu’en général, dans un milieu isotrope de permittivité ε, le vecteur   charges électriques fixes, en magnétostatique, les sources du champ
excitation électrique D s’écrit pour tout champ électrique E sous la magnétostatique sont des courants électriques constants. Ainsi, les lois de la
forme suivante : magnétostatique s’appliquent aux courants constants mais aussi aux courants
  lentement variables dans le temps, dans le cadre de l’approximation des régimes
D =ε εEE=ε 0 r quasi-stationnaires (ARQS).
−1 Au même titre que le champ électrostatique, le champ magnétostatique possède où ε est la permittivité diélectrique absolue. ε s’exprime comme ε en F ⋅m . 0
deux propriétés très importantes qui sont également liées au flux et à la circulation
Alors : ε =ε ε d’un champ vectoriel. Ces propriétés, que nous allons maintenant considérer, r 0
expriment les lois fondamentales de la magnétostatique, c.-à-d. le théorème de
ε est appelé permittivité diélectrique relative. r Gauss et le théorème de la circulation du champ magnétique (théorème d’Ampère).
Supposons qu’un volume élémentaire d V d’un diélectrique polarisé se comporte 5.1. Force de Lorentz 
comme un dipôle de moment dipolaire p . La polarisation d’un diélectrique se
 Une charge électrique placée dans un champ électromagnétique est soumise à une
9décrit quantitativement par un vecteur polarisation P qui est défini comme le force électromagnétique, appelée force de Lorentz . C’est la plus importante
moment électrique dipolaire de l’unité de volume, induit par le champ extérieur : manifestation de l’interaction électromagnétique. 
 Lorsqu’une charge électrique q se déplace avec une vitesse v dans une région où dp −2      P = avec P =Cm⋅ existe un champ magnétique B et un champ électrique E , la force totale F ,  d V
électrique et magnétique (dite électromagnétique), est la somme de la force     La présence de matériaux diélectriques modifie les équations générales du champ
 électrique F = qE et de la force magnétique F = qv ∧ B . e mpar leur effet sur le champ électrostatique E . Cependant, en introduisant une  Cette force est appelée force de Lorentz. Elle peut s’écrire sous la forme : nouvelle grandeur de champ, l’excitation électrique D , la forme simple du           
théorème de Gauss est maintenue : F = F + F avec F = qE et F = qv ∧ B em e m
   
D⋅=dS Q où F et F sont respectivement les composantes électrique et magnétique de la ∫ ∫ e m
S force de Lorentz.
   ainsi que sa forme différentielle : Donc : F= q E+∧v B ( ) 
∇⋅ D = ρ
9 Hendrik Antoon Lorentz (1853 − 1928) : physicien néerlandais.
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 18 19
où χ est la susceptibilité diélectrique du milieu considéré. C'est une constante 5. Lois fondamentales de la magnétostatique e
sans dimension, caractéristique de chaque diélectrique. Pour les diélectriques non Lorsqu’une charge électrique se déplace, elle génère dans l’espace qui l’entoure
polaires, le mécanisme de polarisation est de nature atomique interne et donc d’autres forces et d’autres champs supplémentaires que nous appelons
indépendant de la température. Pour les matériaux isolants polaires, les vibrations communément magnétisme. Les fondements du magnétisme reposent sur deux
thermiques des molécules empêchent leur alignement avec le champ électrique et faits empiriques importants. D’abord, les particules chargées, en mouvement dans
donc leur susceptibilité diminue avec la température. Dans certaines structures un champ magnétique, sont soumises à des forces d'origine magnétique. Ensuite, le
cristallines, comme le quartz, d’intenses forces internes interfèrent avec les forces déplacement des particules chargées crée des champs magnétiques dans l’espace
produites par le champ électrique extérieur appliqué. Il en résulte que la direction qui les entoure.  
de P n'est pas nécessairement la même que celle de E . Ces diélectriques sont La magnétostatique étudie les phénomènes magnétiques statiques produits par un
appelés diélectriques anisotropes. Cependant, nous traiterons surtout des champ magnétique indépendant du temps (ou stationnaire). Il existe deux sortes  
matériaux linéaires et isotropes, dans lesquels E et P sont parallèles en tout point. de sources de champ magnétique : les courants constants (courant continu)
 d’une part et les aimants d’autre part.
Donc maintenant, il convient de redéfinir le vecteur excitation électrique D
Nous avons vu en électrostatique qu’une charge électrique crée un champ comme :
électrostatique, et qu’un champ électrostatique exerce une force sur une charge    
électrique. Par analogie, en magnétostatique, nous savons qu’une charge électrique D = ε E +P ⇒ DE=εχ1 +( )0 0 e
en mouvement ou un courant créent un champ magnétique, et qu’un champ
où εχ=1 + est un nombre sans dimension. La validité de cette équation est magnétique exerce une force magnétique sur une charge en mouvement ou un re
courant. complètement générale.
En outre, si en électrostatique, les sources du champ électrostatique sont des
Sachant qu’en général, dans un milieu isotrope de permittivité εε, le vecteur   charges électriques fixes, en magnétostatique, les sources du champ
excitation électrique D s’écrit pour tout champ électrique E sous la magnétostatique sont des courants électriques constants. Ainsi, les lois de la
forme suivante : magnétostatique s’appliquent aux courants constants mais aussi aux courants
  lentement variables dans le temps, dans le cadre de l’approximation des régimes
D =ε εEE=ε 0 r quasi-stationnaires (ARQS).
−1 Au même titre que le champ électrostatique, le champ magnétostatique possède où ε est la permittivité diélectrique absolue. ε s’exprime comme ε en F ⋅m . 0
deux propriétés très importantes qui sont également liées au flux et à la circulation
Alors : ε =ε ε d’un champ vectoriel. Ces propriétés, que nous allons maintenant considérer, r 0
expriment les lois fondamentales de la magnétostatique, c.-à-d. le théorème de
ε est appelé permittivité diélectrique relative. r Gauss et le théorème de la circulation du champ magnétique (théorème d’Ampère).
Supposons qu’un volume élémentaire d V d’un diélectrique polarisé se comporte 5.1. Force de Lorentz 
comme un dipôle de moment dipolaire p . La polarisation d’un diélectrique se
 Une charge électrique placée dans un champ électromagnétique est soumise à une
9décrit quantitativement par un vecteur polarisation P qui est défini comme le force électromagnétique, appelée force de Lorentz . C’est la plus importante
moment électrique dipolaire de l’unité de volume, induit par le champ extérieur : manifestation de l’interaction électromagnétique. 
 Lorsqu’une charge électrique q se déplace avec une vitesse v dans une région où dp −2      P = avec P =Cm⋅ existe un champ magnétique B et un champ électrique E , la force totale F ,  d V
électrique et magnétique (dite électromagnétique), est la somme de la force     La présence de matériaux diélectriques modifie les équations générales du champ
 électrique F = qE et de la force magnétique F = qv ∧ B . e mpar leur effet sur le champ électrostatique E . Cependant, en introduisant une  Cette force est appelée force de Lorentz. Elle peut s’écrire sous la forme : nouvelle grandeur de champ, l’excitation électrique D , la forme simple du           
théorème de Gauss est maintenue : F = F + F avec F = qE et F = qv ∧ B em e m
   
D⋅=dS Q où F et F sont respectivement les composantes électrique et magnétique de la ∫ ∫ e m
S force de Lorentz.
   ainsi que sa forme différentielle : Donc : F= q E+∧v B ( ) 
∇⋅ D = ρ
9 Hendrik Antoon Lorentz (1853 − 1928) : physicien néerlandais.
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Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 20 21
  
Son expression revêt un caractère universel et sa formulation est la même dans tout est immobile. En revanche, il s’applique à la force magnétique F = qv ∧ B car le m
référentiel galiléen. C’est un postulat fondamental de la théorie électromagnétique. module de celle-ci dépend de la vitesse v. Toutefois, il est important de noter que le
Avec les quatre équations de Maxwell, c’est le cinquième pilier de la théorie champ électrique dans un référentiel d’inertie contribue au champ magnétique dans
classique de l’électromagnétisme. Sa validité a été incontestablement établi par des un autre référentiel d’inertie, et vice versa. Ceci est souvent décrit en disant que les
expériences. En effet, la force de Lorentz se produit dans de nombreux dispositifs,
champs électrique et magnétique sont indissolublement liés l’un à l’autre et doivent
notamment les cyclotrons ainsi que les autres accélérateurs de particules à
toujours être considérés ensemble comme un seul et même objet formant un tout
trajectoire circulaire, les spectromètres de masse, les filtres de vitesse, les
unique, c'est-à-dire un champ électromagnétique à deux composantes : le champ
magnétrons, etc.
électrique et le champ magnétique. En outre, il convient de noter que la  
Une particule chargée conserve sa charge q quel que soit sa vitesse. La charge décomposition de la force totale F (la force de Lorentz) en composantes électrique
électrique q, comme sa masse m, est indépendante du référentiel choisi. C’est donc et magnétique dépend du choix du référentiel. Sans spécification du référentiel, une
un invariant relativiste. Quelque soit le référentiel d’inertie, la charge électrique y telle décomposition n'a aucun sens.  
est la même. En revanche, le champ électrique E et le champ magnétique B ne Dans l'approximation non relativiste, la force de Lorentz ne dépend pas du choix
peuvent être invariants et leur valeur dépend du référentiel où ils sont mesurés par du référentiel d’inertie utilisé; c’est le cas aussi pour toute autre force. En revanche,
un observateur. La force de Lorentz prend la même forme dans tous les référentiels
la composante magnétique de la force de Lorentz varie lors du passage d'un
inertiels, le principe d’invariance galiléenne est respecté. La force de Lorentz est
référentiel à un autre (à cause de la vitesse v). Par conséquent, la composante
donc invariante quand on passe d’un référentiel inertiel à un autre.
électrique qE doit également changer lorsqu’on passe d’un référentiel à un autre.
Il est important de souligner que le champ magnétique n'agit pas sur une charge Dans le cas général, si un champ est constant dans un référentiel d’inertie, on trouve
électrique au repos, contrairement au champ électrique. A cet égard, le champ qu’il varie dans un autre référentiel inertiel. Aussi la division du champ
magnétique diffère fondamentalement du champ électrique. Le champ magnétique électromagnétique en champs électrique et magnétique est elle de nature
n'agit que sur les charges électriques en mouvement. relativiste. On en conclut que la théorie complète de l’électromagnétisme doit être

relativiste. Considérons une charge ponctuelle positive q, placée dans un champ magnétique B 
et dans un champ électrique E . Le travail élémentaire d W effectué par la force de 5.2. Champ magnétique créé par une charge en mouvement uniforme   
Lorentz F au cours du déplacement élémentaire d l s’exprime par : Il est bien établi expérimentalement que le champ magnétique est généré par le
     
déplacement des charges électriques (courants). Considérons une charge q qui se dW= F⋅ dl= q E+∧v B ⋅ d l ( ) 
  déplace avec la vitesse constante v , comme illustré dans la Fig. I.9. A un instant
Par définition, v = dl dt donné, elle crée un champ qui s’exprime sous la forme :
   
 qv ∧ rAlors, d W= q E+∧v B ⋅ v d t ( )( ) µ0B = T[]3      4 π r   Mais, v∧⋅B v d t= 0 car le produit v ∧B est perpendiculaire à v . ( ) ( )
où r est le vecteur PM reliant la charge ponctuelle q au point d'observation M, et
µ est une constante magnétique, appelée perméabilité du vide. Dans le système Finalement, on obtient : 0
  international SI, sa valeur est :
dW = q E ⋅ v dt
−−71  µπ= 4⋅⋅10 Hm
0  
Une propriété particulière de la force magnétique est qu'elle est toujours  perpendiculaire au vecteur vitesse v de la charge q. Par conséquent, aucun travail B
n'est effectué sur la charge. Cela signifie que l'énergie d'une particule chargée se
déplaçant dans un champ magnétique permanent reste toujours inchangée, quel que
soit le mouvement de la particule.  M
rComme on vient de l’affirmer, la force magnétique ne fournit aucun travail sur la
q charge q. Mais en général, le travail de la force de Lorentz n’est pas nul. En effet, la P
force électrique travaille et peut, par conséquent, faire varier l’énergie cinétique de
q la charge électrique q. 
v L’électromagnétisme est un phénomène intimement lié à la théorie de la relativité. v
Cependant, le principe de relativité ne s’applique pas à la force électrostatique   Fig. I.9
F = qE car la force électrostatique est indépendante de la vitesse v et la charge q e
9782340-054530_001_408.indd 28 01/07/2021 09:30 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 20 21
  
Son expression revêt un caractère universel et sa formulation est la même dans tout est immobile. En revanche, il s’applique à la force magnétique F = qv ∧ B car le m
référentiel galiléen. C’est un postulat fondamental de la théorie électromagnétique. module de celle-ci dépend de la vitesse v. Toutefois, il est important de noter que le
Avec les quatre équations de Maxwell, c’est le cinquième pilier de la théorie champ électrique dans un référentiel d’inertie contribue au champ magnétique dans
classique de l’électromagnétisme. Sa validité a été incontestablement établi par des un autre référentiel d’inertie, et vice versa. Ceci est souvent décrit en disant que les
expériences. En effet, la force de Lorentz se produit dans de nombreux dispositifs,
champs électrique et magnétique sont indissolublement liés l’un à l’autre et doivent
notamment les cyclotrons ainsi que les autres accélérateurs de particules à
toujours être considérés ensemble comme un seul et même objet formant un tout
trajectoire circulaire, les spectromètres de masse, les filtres de vitesse, les
unique, c'est-à-dire un champ électromagnétique à deux composantes : le champ
magnétrons, etc.
électrique et le champ magnétique. En outre, il convient de noter que la  
Une particule chargée conserve sa charge q quel que soit sa vitesse. La charge décomposition de la force totale F (la force de Lorentz) en composantes électrique
électrique q, comme sa masse m, est indépendante du référentiel choisi. C’est donc et magnétique dépend du choix du référentiel. Sans spécification du référentiel, une
un invariant relativiste. Quelque soit le référentiel d’inertie, la charge électrique y telle décomposition n'a aucun sens.  
est la même. En revanche, le champ électrique E et le champ magnétique B ne Dans l'approximation non relativiste, la force de Lorentz ne dépend pas du choix
peuvent être invariants et leur valeur dépend du référentiel où ils sont mesurés par du référentiel d’inertie utilisé; c’est le cas aussi pour toute autre force. En revanche,
un observateur. La force de Lorentz prend la même forme dans tous les référentiels
la composante magnétique de la force de Lorentz varie lors du passage d'un
inertiels, le principe d’invariance galiléenne est respecté. La force de Lorentz est
référentiel à un autre (à cause de la vitesse v). Par conséquent, la composante
donc invariante quand on passe d’un référentiel inertiel à un autre.
électrique qE doit également changer lorsqu’on passe d’un référentiel à un autre.
Il est important de souligner que le champ magnétique n'agit pas sur une charge Dans le cas général, si un champ est constant dans un référentiel d’inertie, on trouve
électrique au repos, contrairement au champ électrique. A cet égard, le champ qu’il varie dans un autre référentiel inertiel. Aussi la division du champ
magnétique diffère fondamentalement du champ électrique. Le champ magnétique électromagnétique en champs électrique et magnétique est elle de nature
n'agit que sur les charges électriques en mouvement. relativiste. On en conclut que la théorie complète de l’électromagnétisme doit être

relativiste. Considérons une charge ponctuelle positive q, placée dans un champ magnétique B 
et dans un champ électrique E . Le travail élémentaire d W effectué par la force de 5.2. Champ magnétique créé par une charge en mouvement uniforme   
Lorentz F au cours du déplacement élémentaire d l s’exprime par : Il est bien établi expérimentalement que le champ magnétique est généré par le
     
déplacement des charges électriques (courants). Considérons une charge q qui se dW= F⋅ dl= q E+∧v B ⋅ d l ( ) 
  déplace avec la vitesse constante v , comme illustré dans la Fig. I.9. A un instant
Par définition, v = dl dt donné, elle crée un champ qui s’exprime sous la forme :
   
 qv ∧ rAlors, d W= q E+∧v B ⋅ v d t ( )( ) µ0B = T[]3      4 π r   Mais, v∧⋅B v d t= 0 car le produit v ∧B est perpendiculaire à v . ( ) ( )
où r est le vecteur PM reliant la charge ponctuelle q au point d'observation M, et
µ est une constante magnétique, appelée perméabilité du vide. Dans le système Finalement, on obtient : 0
  international SI, sa valeur est :
dW = q E ⋅ v dt
−−71  µπ= 4⋅⋅10 Hm
0  
Une propriété particulière de la force magnétique est qu'elle est toujours  perpendiculaire au vecteur vitesse v de la charge q. Par conséquent, aucun travail B
n'est effectué sur la charge. Cela signifie que l'énergie d'une particule chargée se
déplaçant dans un champ magnétique permanent reste toujours inchangée, quel que
soit le mouvement de la particule.  M
rComme on vient de l’affirmer, la force magnétique ne fournit aucun travail sur la
q charge q. Mais en général, le travail de la force de Lorentz n’est pas nul. En effet, la P
force électrique travaille et peut, par conséquent, faire varier l’énergie cinétique de
q la charge électrique q. 
v L’électromagnétisme est un phénomène intimement lié à la théorie de la relativité. v
Cependant, le principe de relativité ne s’applique pas à la force électrostatique   Fig. I.9
F = qE car la force électrostatique est indépendante de la vitesse v et la charge q e
9782340-054530_001_408.indd 29 01/07/2021 09:30 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 22 23
 
On supposera que l’origine P du vecteur r est fixe dans le référentiel d’inertie Conformément au principe de superposition, le champ magnétique total B , créé

par le circuit parcouru par un courant, est obtenu par intégration de l'équation considéré, tandis que son extrémité M se déplace à la vitesse v . Par conséquent, le  précédente sur tous les éléments de courant :
vecteur B dans le référentiel d’inertie considéré dépend non seulement de la  µ r0position du point d'observation M mais aussi du le temps. B = I dl ∧∫ 3 4πr Il convient de noter que le module du champ magnétique B de varie avec la
•• Le circuit électrique C (Fig. I.10) parcouru par le courant I doit être
2distance r en 1 r comme le champ électrostatique. nécessairement fermé sinon ce courant n’existerait pas.
•• La perméabilité du vide µ est reliée à la permittivité du vide (ou constante 0Dans le système international SI, le champ magnétique s’exprime en teslas (T).
diélectrique) ε et la célérité de la lumière par la relation : 0
Contrairement à l’orientation du champ électrostatique, celle du champ
2ε µc =1magnétostatique est beaucoup plus compliquée à définir. Conformément à la 00
formule ci-dessus :    • Le champ magnétique élémentaire dB est perpendiculaire au plan dl, r et ses ( )rv,- le champ magnétique B est perpendiculaire au plan ( ) , contenant les
  
vecteurs r et v , et ces lignes de champ sont des cercles d’axe v ; lignes de champ sont des cercles d’axe I dl , c.à.d. centrées sur le fil et contenus
 dans les plans perpendiculaires au conducteur. - son sens est tel que les vecteurs rv,,B forment un trièdre direct. ( )
 I
En d’autres termes, le sens du champ magnétique B est donné par la règle de la

main droite (ou la règle du tire-bouchon) avec les doigts dirigés suivant le sens de
  M  rotation de v vers r . Donc, le pouce donne la direction du produit v ∧r , c.-à-d. ( ) dBP
 
rde B .  θ P Par ailleurs, il faut noter que le vecteur champ magnétique B est axial (pseudo-
vecteur).

5.3. Loi de Biot et Savart dlP
C
5.3.1. Principe de superposition
Fig. I.10 Le champ magnétique créé par plusieurs charges en mouvement ou par plusieurs
  
courants est égal à la somme vectorielle de tous les champs magnétiques B créés i • Son sens est tel que les vecteurs dl,,r dB forment un trièdre direct. ( )
par chaque charge ou courant agissant séparément, avec i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ k ⋅ ⋅ ⋅ , N :
• Sa norme est donnée par :  
 B = B ∑ i I⋅⋅dl sin dl, ri ( )µ
0 dB =
2 Les expériences montrent que les champs magnétiques, ainsi que les champs 4 π r
électriques, obéissent au principe de superposition.
La loi de Biot et Savart démontre que les sources de champ magnétiques sont les
10 115.3.2. Expression du champ magnétique par la loi de Biot et Savart courants électriques.
Cette loi est fondamentale pour la magnétostatique, jouant un rôle similaire à Par définition, le champ magnétique créé par un élément de courant d , d’un
   celui de la loi de Coulomb en électrostatique.
circuit électrique arbitraire (Fig. I.10), au point M à la distance PM = r est donné
5.4. Potentiel vecteur par :
  En électrostatique, les champs électrostatiques créés par des charges sources fixes µ r0dB = I dl ∧
3 obéissent à l’équation de Maxwell-Faraday en régime statique : 4πr
     
où µ est la perméabilité magnétique du vide. 0 rot E = 0 ou bien ∇∧ E = 0
Ceci nous permet d’écrire :
    10 Jean-Baptiste Biot (1774 − 1862) : physicien, astronome et mathématicien français. E = − gr a d V ou bien EV= −∇
11 Félix Savart (1853 − 1928) : physicien français.
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lI
,, 2, Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 22 23
 
On supposera que l’origine P du vecteur r est fixe dans le référentiel d’inertie Conformément au principe de superposition, le champ magnétique total B , créé

par le circuit parcouru par un courant, est obtenu par intégration de l'équation considéré, tandis que son extrémité M se déplace à la vitesse v . Par conséquent, le  précédente sur tous les éléments de courant :
vecteur B dans le référentiel d’inertie considéré dépend non seulement de la  µ r0position du point d'observation M mais aussi du le temps. B = I dl ∧∫ 3 4πr Il convient de noter que le module du champ magnétique B de varie avec la
•• Le circuit électrique C (Fig. I.10) parcouru par le courant I doit être
2distance r en 1 r comme le champ électrostatique. nécessairement fermé sinon ce courant n’existerait pas.
• La perméabilité du vide µ est reliée à la permittivité du vide (ou constante 0Dans le système international SI, le champ magnétique s’exprime en teslas (T).
diélectrique) ε et la célérité de la lumière par la relation : 0
Contrairement à l’orientation du champ électrostatique, celle du champ
2ε µc =1magnétostatique est beaucoup plus compliquée à définir. Conformément à la 00
formule ci-dessus :    • Le champ magnétique élémentaire dB est perpendiculaire au plan dl, r et ses ( )rv,- le champ magnétique B est perpendiculaire au plan ( ) , contenant les
  
vecteurs r et v , et ces lignes de champ sont des cercles d’axe v ; lignes de champ sont des cercles d’axe I dl , c.à.d. centrées sur le fil et contenus
 dans les plans perpendiculaires au conducteur. - son sens est tel que les vecteurs rv,,B forment un trièdre direct. ( )
 I
En d’autres termes, le sens du champ magnétique B est donné par la règle de la

main droite (ou la règle du tire-bouchon) avec les doigts dirigés suivant le sens de
  M  rotation de v vers r . Donc, le pouce donne la direction du produit v ∧r , c.-à-d. ( ) dBP
 
rde B .  θ P Par ailleurs, il faut noter que le vecteur champ magnétique B est axial (pseudo-
vecteur).

5.3. Loi de Biot et Savart dlP
C
5.3.1. Principe de superposition
Fig. I.10 Le champ magnétique créé par plusieurs charges en mouvement ou par plusieurs
  
courants est égal à la somme vectorielle de tous les champs magnétiques B créés i • Son sens est tel que les vecteurs dl,,r dB forment un trièdre direct. ( )
par chaque charge ou courant agissant séparément, avec i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ k ⋅ ⋅ ⋅ , N :
• Sa norme est donnée par :  
 B = B ∑ i I⋅⋅dl sin dl, ri ( )µ
0 dB =
2 Les expériences montrent que les champs magnétiques, ainsi que les champs 4 π r
électriques, obéissent au principe de superposition.
La loi de Biot et Savart démontre que les sources de champ magnétiques sont les
10 115.3.2. Expression du champ magnétique par la loi de Biot et Savart courants électriques.
Cette loi est fondamentale pour la magnétostatique, jouant un rôle similaire à Par définition, le champ magnétique créé par un élément de courant d , d’un
   celui de la loi de Coulomb en électrostatique.
circuit électrique arbitraire (Fig. I.10), au point M à la distance PM = r est donné
5.4. Potentiel vecteur par :
  En électrostatique, les champs électrostatiques créés par des charges sources fixes µ r0dB = I dl ∧
3 obéissent à l’équation de Maxwell-Faraday en régime statique : 4πr
     
où µ est la perméabilité magnétique du vide. 0 rot E = 0 ou bien ∇∧ E = 0
Ceci nous permet d’écrire :
    10 Jean-Baptiste Biot (1774 − 1862) : physicien, astronome et mathématicien français. E = − gr a d V ou bien EV= −∇
11 Félix Savart (1853 − 1928) : physicien français.
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,, 2, Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 24 25
  
puisque le rotationnel du gradient est nul (le produit vectoriel de deux vecteurs AA' = +∇f
orthogonaux est nul). On dit que le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire
Cette relation appelée transformation de jauge montre que si le potentiel-vecteur V.   
A est remplacée par un nouveau potentiel-vecteur A' en ajoutant à A le gradient Notons que la fonction potentiel V n’est pas unique, car une constante arbitraire 
d’un champ scalaire f (r) quelconque, le champ magnétique n’est pas modifié Bpeut y être ajoutée. Nous pouvons définir un potentiel V unique en lui assignant une  
pour toute fonction scalaire f (r) . Le choix de la fonction f (r) s’appelle un choix
valeur particulière en un certain point (tel que zéro à l'infini).
de jauge.
En outre, l’équation de Laplace fournit une méthode pour obtenir V (solution   
unique) si les conditions aux limites sont fixées sur une surface donnée contenant En effet, le rotationnel d’un champ de gradient est nul, ∇ ∧∇ f = 0 . Par conséquent,
la distribution de charge. lorsqu’on ajoute un gradient à un potentiel-vecteur A , on obtient :
En magnétostatique, les champs magnétiques créés par des courants stationnaires                            
vérifient l’équation locale de Maxwell : B ''= rot A= rot A+=rot grad f rot A= B car rot gr ad f = 0
     d i v B = 0 ou bien ∇⋅ B = 0 Ainsi A est déterminé en additionnant le gradient d'une fonction f (r) arbitraire. A
Ceci nous permet d’écrire : est donc défini à un gradient près, comme le potentiel V en électrostatique est défini
       
à une constante près. Il en résulte que A est en fait indéterminé. Le fait que le B = rot A ou bien BA=∇ ∧
potentiel-vecteur soit choisi de manière arbitraire indique que celui-ci ne joue qu'un
puisque la divergence du rotationnel est nulle (le produit scalaire de deux vecteurs  rôle auxiliaire et ne peut être mesuré expérimentalement.
orthogonaux est nul). On dit que le champ magnétique B dérive lui aussi d’un  En outre, il convient de noter que le potentiel-vecteur magnétique A(r) est
potentiel mais que ce potentiel est de nature vectorielle. La quantité A est appelée
également un champ vectoriel solénoïdal. -1 -1potentiel-vecteur. Ses dimensions sont MLT Q . Dans le Système International,

−1 5.5. Théorème de Gauss pour le champ magnétique  le potentiel-vecteur A =A s’exprime en weber par mètre Wb ⋅ m ou en tesla- 
Le théorème de Gauss applicable au magnétisme est essentiellement un fait −1mètre Tm⋅ ou en NA⋅ . Bien que c’est rare de calculer les valeurs [ ]  d’expériences. Il postule un résultat expérimental qu’on observe dans les spectres  
des champs magnétiques, à savoir que les lignes de champ magnétique sont des numériques de A , il est utile de vérifier l’homogénéité d’une formule où figure A .
lignes continues : elles n’ont ni début ni fin. Il en est de même pour tout champ
Pour les trois distributions de courants les plus fréquentes, les expressions du magnétique produit par un courant de forme rectiligne ou autre. 
potentiel-vecteur A sont les suivantes :
Ce théorème stipule que le flux du vecteur champ magnétique B à travers toute 
 µ I ⋅ dl surface fermée S est égal à zéro. 0 Cas d’une distribution linéique de courant : A = ∫  C()4 π r
Φ0= B⋅=dS ∫∫
 µ J ⋅ dS S0 S  Cas d’une distribution surfacique de courant : A = ∫∫ S()4 π r Cette relation intégrale indique qu’il y a autant de lignes de champ magnétique qui

entrent dans un volume fermé, que de lignes qui en sortent. Elle montre également µτ Jd ⋅0 τ Cas d’une distribution volumique de courant : A = qu’il n’existe pas dans la nature de charges magnétiques sur lesquelles les lignes de ∫∫∫( τ)4 π r
champ B commencent ou se terminent.
Dans ces expressions, r est la distance entre l’élément de courant et le point M où
5.6. Forme locale (différentielle) du théorème de Gauss pour le champ l’on calcule le potentiel-vecteur A . Comme pour le potentiel électrostatique, on
magnétique
choisit arbitrairement un potentiel-vecteur nul à l’infini ( A ( ∞ ) = 0 ). Evidemment,
La forme intégrale du théorème de Gauss pour le champ magnétique : les expressions précédentes ne s’appliqueront plus si les distributions de courants
 s’étendent jusqu’à l’infini. Φ0= B⋅=dS ∫ ∫
S♦ Invariance de jauge
 
peut être transformée en intégrale de volume de la divergence de B à l’aide de la On sait que si la relation ∇⋅ B = 0 est vérifiée, alors on peut écrire l’équation
1212    formule de Green-Ostrogradski (ou de la divergence) :
BA= ∇∧ , où on a introduit le potentiel-vecteur A . En fait, il y a un nombre infini

de vecteurs A qui correspondent au même champ magnétique B . Ils diffèrent par
12un terme de gradient : Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1861) : physicien et mathématicien russe.
9782340-054530_001_408.indd 32 01/07/2021 09:30 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 24 25
  
puisque le rotationnel du gradient est nul (le produit vectoriel de deux vecteurs AA' = +∇f
orthogonaux est nul). On dit que le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire
Cette relation appelée transformation de jauge montre que si le potentiel-vecteur V.   
A est remplacée par un nouveau potentiel-vecteur A' en ajoutant à A le gradient Notons que la fonction potentiel V n’est pas unique, car une constante arbitraire 
d’un champ scalaire f (r) quelconque, le champ magnétique n’est pas modifié Bpeut y être ajoutée. Nous pouvons définir un potentiel V unique en lui assignant une  
pour toute fonction scalaire f (r) . Le choix de la fonction f (r) s’appelle un choix
valeur particulière en un certain point (tel que zéro à l'infini).
de jauge.
En outre, l’équation de Laplace fournit une méthode pour obtenir V (solution   
unique) si les conditions aux limites sont fixées sur une surface donnée contenant En effet, le rotationnel d’un champ de gradient est nul, ∇ ∧∇ f = 0 . Par conséquent,
la distribution de charge. lorsqu’on ajoute un gradient à un potentiel-vecteur A , on obtient :
En magnétostatique, les champs magnétiques créés par des courants stationnaires                            
vérifient l’équation locale de Maxwell : B ''= rot A= rot A+=rot grad f rot A= B car rot gr ad f = 0
     d i v B = 0 ou bien ∇⋅ B = 0 Ainsi A est déterminé en additionnant le gradient d'une fonction f (r) arbitraire. A
Ceci nous permet d’écrire : est donc défini à un gradient près, comme le potentiel V en électrostatique est défini
       
à une constante près. Il en résulte que A est en fait indéterminé. Le fait que le B = rot A ou bien BA=∇ ∧
potentiel-vecteur soit choisi de manière arbitraire indique que celui-ci ne joue qu'un
puisque la divergence du rotationnel est nulle (le produit scalaire de deux vecteurs  rôle auxiliaire et ne peut être mesuré expérimentalement.
orthogonaux est nul). On dit que le champ magnétique B dérive lui aussi d’un  En outre, il convient de noter que le potentiel-vecteur magnétique A(r) est
potentiel mais que ce potentiel est de nature vectorielle. La quantité A est appelée
également un champ vectoriel solénoïdal. -1 -1potentiel-vecteur. Ses dimensions sont MLT Q . Dans le Système International,

−1 5.5. Théorème de Gauss pour le champ magnétique  le potentiel-vecteur A =A s’exprime en weber par mètre Wb ⋅ m ou en tesla- 
Le théorème de Gauss applicable au magnétisme est essentiellement un fait −1mètre Tm⋅ ou en NA⋅ . Bien que c’est rare de calculer les valeurs [ ]  d’expériences. Il postule un résultat expérimental qu’on observe dans les spectres  
des champs magnétiques, à savoir que les lignes de champ magnétique sont des numériques de A , il est utile de vérifier l’homogénéité d’une formule où figure A .
lignes continues : elles n’ont ni début ni fin. Il en est de même pour tout champ
Pour les trois distributions de courants les plus fréquentes, les expressions du magnétique produit par un courant de forme rectiligne ou autre. 
potentiel-vecteur A sont les suivantes :
Ce théorème stipule que le flux du vecteur champ magnétique B à travers toute 
 µ I ⋅ dl surface fermée S est égal à zéro. 0 Cas d’une distribution linéique de courant : A = ∫  C()4 π r
Φ0= B⋅=dS ∫∫
 µ J ⋅ dS S0 S  Cas d’une distribution surfacique de courant : A = ∫∫ S()4 π r Cette relation intégrale indique qu’il y a autant de lignes de champ magnétique qui

entrent dans un volume fermé, que de lignes qui en sortent. Elle montre également µτ Jd ⋅0 τ Cas d’une distribution volumique de courant : A = qu’il n’existe pas dans la nature de charges magnétiques sur lesquelles les lignes de ∫∫∫( τ)4 π r
champ B commencent ou se terminent.
Dans ces expressions, r est la distance entre l’élément de courant et le point M où
5.6. Forme locale (différentielle) du théorème de Gauss pour le champ l’on calcule le potentiel-vecteur A . Comme pour le potentiel électrostatique, on
magnétique
choisit arbitrairement un potentiel-vecteur nul à l’infini ( A ( ∞ ) = 0 ). Evidemment,
La forme intégrale du théorème de Gauss pour le champ magnétique : les expressions précédentes ne s’appliqueront plus si les distributions de courants
 s’étendent jusqu’à l’infini. Φ0= B⋅=dS ∫ ∫
S♦ Invariance de jauge
 
peut être transformée en intégrale de volume de la divergence de B à l’aide de la On sait que si la relation ∇⋅ B = 0 est vérifiée, alors on peut écrire l’équation
1212    formule de Green-Ostrogradski (ou de la divergence) :
BA= ∇∧ , où on a introduit le potentiel-vecteur A . En fait, il y a un nombre infini

de vecteurs A qui correspondent au même champ magnétique B . Ils diffèrent par
12un terme de gradient : Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1861) : physicien et mathématicien russe.
9782340-054530_001_408.indd 33 01/07/2021 09:30 Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 26 27
    variable au cours du temps génère un champ électrique, et donc un courant B ⋅ dS = ∇⋅ B d τ = 0 ( )∫∫ ∫∫ ∫ électrique. Le phénomène d’induction électromagnétique est à l’origine de la S τ
majeure partie des courants électriques utilisés dans la vie courante et dans
Celle-ci stipule que le flux d’un champ vectoriel, ici en l’occurrence le champ l’industrie. C’est l’un des principes fondamentaux à la base de la technologie
moderne. En effet, l'induction électromagnétique est à l'origine du fonctionnement magnétique B à travers une surface S fermée est égal à l’intégrale de la
des générateurs, des transformateurs, des bobines ou des plaques à induction grâce divergence de ce champ étendue au volume τ limité par S. L’intégrale devant être
aux courant de Foucault. Ce phénomène physique est également à la base de la nulle pour un volume quelconque, on en déduit une relation locale appelée forme
production d'ondes électromagnétiques telles que, par exemple, la lumière et les différentielle du théorème de Gauss pour le champ magnétique :
    ondes radioélectriques.
div B = ∇⋅ B = 0
6. 1. Loi de modération de Lenz
La divergence du champ B est donc nulle partout. La signification physique de
Tous les phénomènes physiques obéissent à un principe fondamental: le principe
cette relation est que le champ magnétique n'a pas de sources (charges
 de conservation de l'énergie. Une force électromotrice ne peut pas exister sans
magnétiques ou monopôles) et par conséquent les lignes de champ du vecteur B cause. Chaque fois qu'un courant induit produit de la chaleur ou effectue un travail
n’ont ni début ni fin. Le champ magnétique est généré par des courants électriques mécanique, l'énergie nécessaire doit provenir du travail effectué pour induire le
et non par des charges magnétiques qui n'existent pas dans la nature. courant.
Cette loi est de nature fondamentale: elle est valable non seulement pour des La relation significative entre un courant induit et la cause qui lui a donné naissance
14champs stationnaires (ou constants) mais aussi pour des champs variables. C’est a été étudiée pour la première fois par H. F. E. Lenz . En 1834, il a formulé la loi
l’une des équations de l’électromagnétisme établies par Maxwell. suivante, connue sous le nom de loi de Lenz, qui s'applique à tous les courants
induits : Chaque fois qu'une force électromotrice est induite, le courant induit doit 5.7. Théorème d’Ampère (ou théorème de la circulation du champ
être dans une direction telle qu'elle s'oppose à la variation du flux magnétique qui le magnétique)
 produit.
Dans le vide, la circulation du champ magnétostatique B le long d’un contour Γ de D’une autre façon, on peut dire que le sens du courant induit qui apparaît dans le
forme quelconque mais fermée est égale à la somme algébrique, multipliée par µ , 0 circuit induit est tel qui tend à s’opposer à la cause qui l’a créé par l’inducteur. 
des intensités des courants qui traversent une surface S orientée par le vecteur n et
Sous une forme plus concise, la loi de Lenz peut s’énoncer comme suit : Le s’appuyant sur le contour orienté Γ.
courant induit a toujours un sens tel qu’il s’oppose par ses effets à la cause qui
N   lui a donné naissance. B⋅=dlµε I 0 ∑ kk∫ 
k =1Γ 6. 2. Loi de Faraday de l’induction électromagnétique

15ε = 1 si le courant I a le même sens que n ; k k La loi de Faraday de l’induction électromagnétique peut être énoncée comme
suit : ε = −1 si le courant I est dans le sens contraire ; k k
ε = 0 si le courant I n’est pas enlacé par Γ. La force électromotrice induite dans un circuit fermé est proportionnelle au taux de k k
variation du flux du champ magnétique traversant la surface délimitée par le circuit Si on connait à priori la direction du champ magnétostatique, on peut choisir un
par rapport au temps : contour d’Ampère ayant une forme géométrique appropriée qu’on choisit en
d Φfonction des symétries du système des courants et sur lequel on effectue B E = − 
dtB ⋅ dll’intégrale . ∫
Γ > 0 ⇒ La f.é.m. induite E < 0
Les considérations de symétrie sont importantes pour l’application du théorème d Φ BIl y a trois possibilités : = < 0 ⇒ La f.é.m. induite E > 0 d’Ampère. En effet, dans certains cas où les distributions de courant présentent une dt 1313 = 0 ⇒ La f.é.m. induite E = 0symétrie, le théorème d’Ampère se révèle être assez efficace car il nous permet  
de déterminer B d’une façon très simple, comme nous allons le voir dans quelques • La f.é.m. induite dans une bobine constituée de N spires est N fois plus grande :
exemples d’application.
d Φ B E N []V6. Induction électromagnétique dt
Il est bien établi qu’un courant électrique, ou bien des charges électriques en • Le signe « moins » présent dans cette loi, est dû au fait que l'induction produit
mouvement, génèrent un champ magnétique. En revanche, un flux magnétique
14 Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804 − 1865) : physicien russe d’origine germano-balte.
13 15 André-Marie Ampère (1775 - 1836) : physicien, chimiste et mathématicien français. Michael Faraday (1791 − 1867) : physicien et chimiste anglais.
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−= Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 26 27
    variable au cours du temps génère un champ électrique, et donc un courant B ⋅ dS = ∇⋅ B d τ = 0 ( )∫∫ ∫∫ ∫ électrique. Le phénomène d’induction électromagnétique est à l’origine de la S τ
majeure partie des courants électriques utilisés dans la vie courante et dans
Celle-ci stipule que le flux d’un champ vectoriel, ici en l’occurrence le champ l’industrie. C’est l’un des principes fondamentaux à la base de la technologie
moderne. En effet, l'induction électromagnétique est à l'origine du fonctionnement magnétique B à travers une surface S fermée est égal à l’intégrale de la
des générateurs, des transformateurs, des bobines ou des plaques à induction grâce divergence de ce champ étendue au volume τ limité par S. L’intégrale devant être
aux courant de Foucault. Ce phénomène physique est également à la base de la nulle pour un volume quelconque, on en déduit une relation locale appelée forme
production d'ondes électromagnétiques telles que, par exemple, la lumière et les différentielle du théorème de Gauss pour le champ magnétique :
    ondes radioélectriques.
div B = ∇⋅ B = 0
6. 1. Loi de modération de Lenz
La divergence du champ B est donc nulle partout. La signification physique de
Tous les phénomènes physiques obéissent à un principe fondamental: le principe
cette relation est que le champ magnétique n'a pas de sources (charges
 de conservation de l'énergie. Une force électromotrice ne peut pas exister sans
magnétiques ou monopôles) et par conséquent les lignes de champ du vecteur B cause. Chaque fois qu'un courant induit produit de la chaleur ou effectue un travail
n’ont ni début ni fin. Le champ magnétique est généré par des courants électriques mécanique, l'énergie nécessaire doit provenir du travail effectué pour induire le
et non par des charges magnétiques qui n'existent pas dans la nature. courant.
Cette loi est de nature fondamentale: elle est valable non seulement pour des La relation significative entre un courant induit et la cause qui lui a donné naissance
14champs stationnaires (ou constants) mais aussi pour des champs variables. C’est a été étudiée pour la première fois par H. F. E. Lenz . En 1834, il a formulé la loi
l’une des équations de l’électromagnétisme établies par Maxwell. suivante, connue sous le nom de loi de Lenz, qui s'applique à tous les courants
induits : Chaque fois qu'une force électromotrice est induite, le courant induit doit 5.7. Théorème d’Ampère (ou théorème de la circulation du champ
être dans une direction telle qu'elle s'oppose à la variation du flux magnétique qui le magnétique)
 produit.
Dans le vide, la circulation du champ magnétostatique B le long d’un contour Γ de D’une autre façon, on peut dire que le sens du courant induit qui apparaît dans le
forme quelconque mais fermée est égale à la somme algébrique, multipliée par µ , 0 circuit induit est tel qui tend à s’opposer à la cause qui l’a créé par l’inducteur. 
des intensités des courants qui traversent une surface S orientée par le vecteur n et
Sous une forme plus concise, la loi de Lenz peut s’énoncer comme suit : Le s’appuyant sur le contour orienté Γ.
courant induit a toujours un sens tel qu’il s’oppose par ses effets à la cause qui
N   lui a donné naissance. B⋅=dlµε I 0 ∑ kk∫ 
k =1Γ 6. 2. Loi de Faraday de l’induction électromagnétique

15ε = 1 si le courant I a le même sens que n ; k k La loi de Faraday de l’induction électromagnétique peut être énoncée comme
suit : ε = −1 si le courant I est dans le sens contraire ; k k
ε = 0 si le courant I n’est pas enlacé par Γ. La force électromotrice induite dans un circuit fermé est proportionnelle au taux de k k
variation du flux du champ magnétique traversant la surface délimitée par le circuit Si on connait à priori la direction du champ magnétostatique, on peut choisir un
par rapport au temps : contour d’Ampère ayant une forme géométrique appropriée qu’on choisit en
d Φfonction des symétries du système des courants et sur lequel on effectue B E = − 
dtB ⋅ dll’intégrale . ∫
Γ > 0 ⇒ La f.é.m. induite E < 0
Les considérations de symétrie sont importantes pour l’application du théorème d Φ BIl y a trois possibilités : = < 0 ⇒ La f.é.m. induite E > 0 d’Ampère. En effet, dans certains cas où les distributions de courant présentent une dt 1313 = 0 ⇒ La f.é.m. induite E = 0symétrie, le théorème d’Ampère se révèle être assez efficace car il nous permet  
de déterminer B d’une façon très simple, comme nous allons le voir dans quelques • La f.é.m. induite dans une bobine constituée de N spires est N fois plus grande :
exemples d’application.
d Φ B E N []V6. Induction électromagnétique dt
Il est bien établi qu’un courant électrique, ou bien des charges électriques en • Le signe « moins » présent dans cette loi, est dû au fait que l'induction produit
mouvement, génèrent un champ magnétique. En revanche, un flux magnétique
14 Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804 − 1865) : physicien russe d’origine germano-balte.
13 15 André-Marie Ampère (1775 - 1836) : physicien, chimiste et mathématicien français. Michael Faraday (1791 − 1867) : physicien et chimiste anglais.
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    
des effets qui s'opposent à leurs causes. Il indique qu’il y a opposition entre la - et un courant surfacique d’aimantation, tel que : j = Mn∧ sm
f.é.m. induite (les effets) et la variation du flux (les causes). où n est un vecteur unitaire normal à la surface du milieu aimanté, orienté vers
7. Champ magnétostatique en présence de milieux aimantés l’extérieur.
Un champ magnétique statique peut être généré de deux façons différentes : Si une certaine substance est plongée dans un champ magnétique créé par des
soit par de la matière aimantée, soit par le courant électrique. courants circulant dans des conducteurs, le champ va être modifié. Ceci est expliqué
par le fait que chaque substance devient un aimant, c'est-à-dire qu'elle s’aimante 7. 3. Excitation magnétique
(acquiert un moment magnétique) sous l'action du champ magnétique extérieur. En 
Dans le milieu aimanté caractérisé par un vecteur aimantation M , le vecteur d’autres termes, elle devient elle-même source de champ magnétique additionnel.  excitation du champ magnétique, noté H , est défini par : Une substance aimantée crée son propre champ magnétique B , qui forme, avec le m   Bchamp initial B , créé par les courants de conduction, le champ magnétique HM= − 0 µ0résultant B , tel que :
     Dans le milieu aimanté, cette équation conduit dans l’ARQS à la relation locale :
BB= + B   0 m
rot H = j vcDans ce cas, le champ magnétique résultant, qui règne dans un milieu, est donc la

somme du champ magnétique extérieur et du champ magnétique généré par la On en déduit, dans l’ARQS, le théorème d’Ampère sous forme intégrale pour H : 
    substance aimantée elle-même. Le champ B créé par l’aimant, comme le champ m HH⋅ dl= rot ⋅=n dS j⋅=n dS i ∑ enlacé∫ ∫∫ ∫∫CS SB , dû aux courants de conduction, n'a pas de sources (charges magnétiques). 0
La circulation du vecteur excitation magnétique H sur un contour fermé C est égale
7. 1. Aimantation d’un milieu à la somme algébriques des courants (vrais) de conduction enlacés par C, même si
C traverse des milieux aimantés. Les propriétés magnétiques d’un échantillon de matière sont dues au phénomène 
d’aimantation. L’expérience montre qu’un élément de volume d τ d’un milieu Le champ magnétique s’exprime en fonction de l’excitation magnétique H et de  
aimanté possède un moment magnétique élémentaire d M donné par : l’aimantation M par la relation :  
  d M = M d τ
 B = µ H + M 0
où M est le vecteur aimantation. Dans le système international SI, l’aimantation
C’est la relation fondamentale du magnétisme ; elle reste valable à l’extérieur d’un −1s’exprime en ampère par mètre : M = Am⋅ . [ ]  
matériau aimanté. Dans ce cas, BH= µ dans l'espace libre où l'aimantation est 0L’application d’un champ magnétique extérieur à un milieu matériel conduit à  
l’apparition de dipôles magnétiques dans la substance. C’est l’aimantation induite. nulle M = 0 . Cette relation est généralement écrite sous une forme qui évite les ( )
Toutefois, l’aimantation peut exister en l’absence de champ magnétique extérieur.
fractions et les signes moins.
C’est le cas des aimants. On parle alors d’aimantation permanente.   
Aussi bien dans le vide, qu’en présence de matière aimantée, la relation B = rot A
  7. 2. Courants d’aimantation
reste valable. Par conséquent, compte tenu de la relation B = µ HM+ , on a : 0
A l’échelle macroscopique, un aimant se comporte comme un solénoïde parcouru   
par un courant. Par conséquent, il est possible de relier l’aimantation de l’aimant à divB= 00⇒ µ div HM+=div 0
 un courant qui générerait un moment magnétique de même intensité. Aussi, peut-on  On en déduit qu’en général div H ≠ 0 , H n’est pas un champ rotationnel et par
remplacer la distribution de l’aimantation M par une distribution de courants
conséquent son flux n’est pas conservatif. d’aimantation. Ces courants liés à la matière aimantée sont de deux sortes :
 En résumé, dans le cadre de l’ARQS c’est-à-dire pour des régimes lentement - une distribution volumique de courant, de densité de courant j , avec vm variables, les équations locales de la magnétostatique s’expriment par :
−2 j = Am⋅ , [ ]vm div B = 0
  - une distribution surfacique de courant, de densité de courant j , avec sm rot H = Jc−1j = Am⋅ , [ ]sm
7.4. Milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes On définit ainsi,       
- un courant volumique d’aimantation : j = ro t M La relation entre B, H et M exprimée par B = µ H + M peut être simplifiée pour vm ( )0
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des effets qui s'opposent à leurs causes. Il indique qu’il y a opposition entre la - et un courant surfacique d’aimantation, tel que : j = Mn∧ sm
f.é.m. induite (les effets) et la variation du flux (les causes). où n est un vecteur unitaire normal à la surface du milieu aimanté, orienté vers
7. Champ magnétostatique en présence de milieux aimantés l’extérieur.
Un champ magnétique statique peut être généré de deux façons différentes : Si une certaine substance est plongée dans un champ magnétique créé par des
soit par de la matière aimantée, soit par le courant électrique. courants circulant dans des conducteurs, le champ va être modifié. Ceci est expliqué
par le fait que chaque substance devient un aimant, c'est-à-dire qu'elle s’aimante 7. 3. Excitation magnétique
(acquiert un moment magnétique) sous l'action du champ magnétique extérieur. En 
Dans le milieu aimanté caractérisé par un vecteur aimantation M , le vecteur d’autres termes, elle devient elle-même source de champ magnétique additionnel.  excitation du champ magnétique, noté H , est défini par : Une substance aimantée crée son propre champ magnétique B , qui forme, avec le m   Bchamp initial B , créé par les courants de conduction, le champ magnétique HM= − 0 µ0résultant B , tel que :
     Dans le milieu aimanté, cette équation conduit dans l’ARQS à la relation locale :
BB= + B   0 m
rot H = j vcDans ce cas, le champ magnétique résultant, qui règne dans un milieu, est donc la

somme du champ magnétique extérieur et du champ magnétique généré par la On en déduit, dans l’ARQS, le théorème d’Ampère sous forme intégrale pour H : 
    substance aimantée elle-même. Le champ B créé par l’aimant, comme le champ m HH⋅ dl= rot ⋅=n dS j⋅=n dS i ∑ enlacé∫ ∫∫ ∫∫CS SB , dû aux courants de conduction, n'a pas de sources (charges magnétiques). 0
La circulation du vecteur excitation magnétique H sur un contour fermé C est égale
7. 1. Aimantation d’un milieu à la somme algébriques des courants (vrais) de conduction enlacés par C, même si
C traverse des milieux aimantés. Les propriétés magnétiques d’un échantillon de matière sont dues au phénomène 
d’aimantation. L’expérience montre qu’un élément de volume d τ d’un milieu Le champ magnétique s’exprime en fonction de l’excitation magnétique H et de  
aimanté possède un moment magnétique élémentaire d M donné par : l’aimantation M par la relation :  
  d M = M d τ
 B = µ H + M 0
où M est le vecteur aimantation. Dans le système international SI, l’aimantation
C’est la relation fondamentale du magnétisme ; elle reste valable à l’extérieur d’un −1s’exprime en ampère par mètre : M = Am⋅ . [ ]  
matériau aimanté. Dans ce cas, BH= µ dans l'espace libre où l'aimantation est 0L’application d’un champ magnétique extérieur à un milieu matériel conduit à  
l’apparition de dipôles magnétiques dans la substance. C’est l’aimantation induite. nulle M = 0 . Cette relation est généralement écrite sous une forme qui évite les ( )
Toutefois, l’aimantation peut exister en l’absence de champ magnétique extérieur.
fractions et les signes moins.
C’est le cas des aimants. On parle alors d’aimantation permanente.   
Aussi bien dans le vide, qu’en présence de matière aimantée, la relation B = rot A
  7. 2. Courants d’aimantation
reste valable. Par conséquent, compte tenu de la relation B = µ HM+ , on a : 0
A l’échelle macroscopique, un aimant se comporte comme un solénoïde parcouru   
par un courant. Par conséquent, il est possible de relier l’aimantation de l’aimant à divB= 00⇒ µ div HM+=div 0
 un courant qui générerait un moment magnétique de même intensité. Aussi, peut-on  On en déduit qu’en général div H ≠ 0 , H n’est pas un champ rotationnel et par
remplacer la distribution de l’aimantation M par une distribution de courants
conséquent son flux n’est pas conservatif. d’aimantation. Ces courants liés à la matière aimantée sont de deux sortes :
 En résumé, dans le cadre de l’ARQS c’est-à-dire pour des régimes lentement - une distribution volumique de courant, de densité de courant j , avec vm variables, les équations locales de la magnétostatique s’expriment par :
−2 j = Am⋅ , [ ]vm div B = 0
  - une distribution surfacique de courant, de densité de courant j , avec sm rot H = Jc−1j = Am⋅ , [ ]sm
7.4. Milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes On définit ainsi,       
- un courant volumique d’aimantation : j = ro t M La relation entre B, H et M exprimée par B = µ H + M peut être simplifiée pour vm ( )0
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
les milieux linéaires, homogènes et isotropes, dans lesquels M est proportionnel à 
H et où une susceptibilité magnétique χ peut être définie : m
 
MH= χ m
On a donc : B. APPLICATIONS
   
B=µχHH+=µ H 1+χ( )( )00mm
 Exemple N°1 ― Distribution volumique de charge
=µµ H0 r
On considère une sphère de rayon R = 2 cm chargée avec une densité volumique deoù : µχ= 1 + ( )rm
charge ρ. Cette distribution volumique de charge varie en fonction de la distance r
est la perméabilité relative du milieu. On définit la perméabilité absolue du du centre de la sphère, mais est constante pour une distance r donnée.
2 −3milieu par : Quelle est la charge totale portée par la sphère si ρ = 10 r Cm⋅ .
µ =µµ0 r
Solution : 
On peut en déduire une relation simple entre B et H :
  On divise la sphère en coquilles sphériques de rayon r, d’épaisseur dr et de volume
2BH= µ dτ = r sinθ dr dθφd . Chaque coquille porte une charge dq =ρτd . Pour
Dans le vide, χ = 0 , µ = µ et µ =1, cette relation devient : déterminer la charge totale portée par la sphère, on applique le principe dem 0 r
  superposition qui consiste, dans ce cas, à faire la sommation (la triple intégration :
BH= µ0 intégration deφ = 0àφπ= 2 , intégration de θ = 0àθ =π et intégration de
rr= 0 à = 0,02m ) de toutes les charges élémentaires réparties dans le volume de la
sphère.
On obtient :
22q = ρτd = 10 r ⋅ r sinθ dr dθ dφ∫ ∫∫∫τ
0,02 2π π4= 10 r dr dφ sinθθd∫ ∫∫0 0 0
0,025r 2 π π
= 10 φθ()− cos
0 05
0
−9= 6,4⋅10 ⋅⋅2 π 2
−9D’où : q= 80, 42⋅=10 C 80, 42 nC[ ] [ ]
Exemple N°2 ― Tube à rayons cathodiques
Un faisceau d'électrons de section circulaire de 1 mm de diamètre dans un tube à
rayons cathodiques a un courant d’intensité 1,5 µA et une vitesse moyenne des
6 -1électrons de 10 m.s . Calculer la densité de courant moyenne, la densité de charge
et le taux de transport de masse dans le faisceau.
Solution :
En supposant une densité de courant constante dans la section transversale du
faisceau électronique (Fig. I.11), on obtient le courant suivant à travers n'importe
quelle section transversale.
 
i= J u⋅=dS u J d S= J S( ) ( )zz z z z∫∫SS
où S désigne la surface de la section transversale du faisceau. La densité de courant
moyenne est donc :
9782340-054530_001_408.indd 38 01/07/2021 09:30Chapitre I – Fondements de l’électromagnétisme Cours 30 31

les milieux linéaires, homogènes et isotropes, dans lesquels M est proportionnel à
H et où une susceptibilité magnétique χ peut être définie : m
 
MH= χ m
On a donc : B. APPLICATIONS
   
B=µχHH+=µ H 1+χ( )( )00mm
 Exemple N°1 ― Distribution volumique de charge
=µµ H0 r
On considère une sphère de rayon R = 2 cm chargée avec une densité volumique de où : µχ= 1 +( )rm
charge ρ. Cette distribution volumique de charge varie en fonction de la distance r
est la perméabilité relative du milieu. On définit la perméabilité absolue du du centre de la sphère, mais est constante pour une distance r donnée.
2 −3milieu par : Quelle est la charge totale portée par la sphère si ρ = 10 r Cm⋅ .
µ =µµ0 r
Solution :  
On peut en déduire une relation simple entre B et H :
  On divise la sphère en coquilles sphériques de rayon r, d’épaisseur dr et de volume
2BH= µ dτ = r sinθ dr dθφd . Chaque coquille porte une charge dq =ρτd . Pour
Dans le vide, χ = 0 , µ = µ et µ =1, cette relation devient : déterminer la charge totale portée par la sphère, on applique le principe de m 0 r
  superposition qui consiste, dans ce cas, à faire la sommation (la triple intégration :
BH= µ0 intégration de φ = 0àφπ= 2 , intégration de θ = 0àθπ= et intégration de
rr= 0 à = 0,02m ) de toutes les charges élémentaires réparties dans le volume de la
sphère.
On obtient :
22q = ρτd = 10 r ⋅ r sinθ dr dθ dφ∫ ∫∫∫τ
0,02 2π π4= 10 r dr dφ sinθθd∫ ∫∫0 0 0
0,025r 2 π π
= 10 φθ()− cos
0 05
0
−9= 6,4⋅10 ⋅⋅2 π 2
−9D’où : q= 80, 42⋅=10 C 80, 42 nC[ ] [ ]
Exemple N°2 ― Tube à rayons cathodiques
Un faisceau d'électrons de section circulaire de 1 mm de diamètre dans un tube à
rayons cathodiques a un courant d’intensité 1,5 µA et une vitesse moyenne des
6 -1électrons de 10 m.s . Calculer la densité de courant moyenne, la densité de charge
et le taux de transport de masse dans le faisceau.
Solution :
En supposant une densité de courant constante dans la section transversale du
faisceau électronique (Fig. I.11), on obtient le courant suivant à travers n'importe
quelle section transversale.
 
i= J u⋅=dS u J d S= J S( ) ( )zz z z z∫∫SS
où S désigne la surface de la section transversale du faisceau. La densité de courant
moyenne est donc :
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   
ii Ainsi, en tout point M de l’espace, le champ électrique E est radial : E =E ru , ( ) rJ = = z 2 S π d 4
où u est le vecteur unitaire orienté dans la direction de r. r
−3Application numérique : i = 1,5 µ A ; dm= 10
En outre, pour toute surface de Gauss Σ sphérique concentrique à la charge source −6i 1,5 ⋅10 6 −2J = = ⇒ J = A ⋅ m Q, le champ électrique est perpendiculaire à Σ et son module est constant en tout z z2 2 −3π d 4 ππ 10 4() point de Σ.
Par conséquent, l’application du théorème de Gauss à une surface sphérique Σ de   
i rayon r, au centre de laquelle se trouve la charge ponctuelle Q qui est ainsi v dS J }
v entourée par la surface Σ, permet d’écrire :
   
Fig. I.11 Q=εεE⋅=dS E dS u⋅ n00 rr∫∫ ∫∫ΣΣ
La densité de courant J peut être définie en tout point P du faisceau cylindrique z
= ε E dS 0 r(Fig. I.11) par : ∫∫ Σ
−2 2J = ρ vA ⋅ m =επEr4z  ()0 r
   6   6avec Ju= et vu= −10 . z z Avec : un ⋅=1 où n est un vecteur unitaire normal à Σ. rπ
La densité charge dans le faisceau devient alors : 1 Q
D’où : E = r 26 4πε r0
J 6−−63z π ρ = = − ⇒ ρ=−⋅10 Cm⋅ Ainsi, la force agissant sur une charge ponctuelle q située à une distance r de Q est 6 v 10 πz donnée par :
Le taux de transport de masse dans le faisceau est le courant multiplié par le rapport  1 Qq
Fu= m r2−31e −19 4πε r; cela donne, en prenant m = 9,1 ⋅10 kg et eC= 1,6 ⋅10 : 0ee
L'expression ci-dessus est la loi de Coulomb de l’interaction électrostatique des
−319,1 ⋅10−6 −−18 1 charges ponctuelles électriques. 1,5⋅⋅10 = 8,5⋅10 kg⋅ s
−19 1,6 ⋅10
Exemple N°4 ― Modèle simplifié de l'atome (Théorème de Gauss)
Exemple N°3 ― Loi de Coulomb obtenue à partir du théorème de Gauss Dans une modélisation très sommaire, un atome peut être représenté à l'aide d'une
distribution de charge comprenant: Déterminer la loi de Coulomb à partir du théorème de Gauss. Énoncer toutes les
hypothèses raisonnables que vous jugez nécessaires pour la détermination de la loi − une charge ponctuelle + Q placée en un point O choisi comme origine;
de Coulomb.
− une distribution négative, uniforme, à symétrie sphérique, de charge totale − Q.
Solution :
Solution :
Le théorème de Gauss stipule que le flux du champ électrostatique sortant d’une
 Détermination du champ électrostatique surface fermée Σ quelconque est égal au produit par 1 ε de la somme algébrique 0
des charges situées à l’intérieur de Σ : La charge totale de la sphère de rayon R et de volume τ est :
n  R1 Q 423Φ= E⋅ dS = q = ∑ i∫∫ − Q = ρτd =ρ 4π r dr =ρ π R Σ ∫∫∫ ∫εε00i =1 3τ 0
où Σ est la surface fermée entourant la charge totale Q. La densité volumique de charge est:
Il est indépendant de la forme de la surface Σ, de la position des charges intérieures Q
ρ = − et de la présence des charges extérieures. 4 3π R
Si la charge considérée est une charge ponctuelle, alors le champ électrique qu’elle 3
crée dans son voisinage présente une symétrie sphérique (hypothèse justifiable).
• Par symétrie, le champ électrostatique est radial :
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