Physique-Chimie TSI1 - Programme 2021
819 pages
Français

Physique-Chimie TSI1 - Programme 2021 , livre ebook

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Description

Cet ouvrage a pour objectifs de permettre aux étudiants en TSI-1 de réviser leur cours de Physique-chimie et de l'assimiler par la mise en application des notions. Dans chaque chapitre, correspondant à peu près à une semaine de cours, le lecteur trouvera notamment :Le résumé de cours et les méthodes, pour assurer ses connaissances ;Le vrai/faux pour tester sa compréhension du cours et éviter de tomber dans les erreurs classiques ;Les exercices corrigés, souvent tirés de sujets d'annales, pour s'entraîner aux concours.Avec un seul livre par année et par matière, la collection PRÉPAS SCIENCES vous guidera, jour après jour, dans votre cheminement vers la réussite aux concours.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 31 août 2021
Nombre de lectures 2
EAN13 9782340055490
Langue Français
Poids de l'ouvrage 47 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,2000€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

Thierry Finot
Elsa Choubert
Sébastien FayolleTSI
David Legrand
Vincent Parmentierre1 année Nicolas Tancrez
P R É PA S S C I E N C ES
C O L L E C T I O N D I R I G É E PA R B E RTR A N D H AU C H E CO R N E
e3 éd. PHYSIQUE
Objectifs
CHIMIECours résumé
e3 édition Méthodes
Vrai/faux, erreurs classiques
Exercices de base et d’approfondissement
Résolutions de problèmes, activités numériques
Sujets de concours (écrits, oraux)
Corrigés détaillés et commentés
PHYSIQUE
CHIMIEPRÉPAS SCIENCES
collection dirigée par Bertrand Hauchecorne
Physique-Chimie
reTSI - 1 année
e3 édition
ouvrage coordonné par
Thierry FINOT
professeur à l'école SPEIT (Shanghai) et au lycée Lavoisier (Paris)
Elsa CHOUBERT Vincent PARMENTIER
professeure au lycée Stanislas (Cannes) professeur au lycée Pothier (Orléans)
Sébastien FAYOLLE Nicolas TANCREZ
professeur au lycée Gustave Eifel (Bordeaux) professeur au lycée Saint Louis (Paris)
David LEGRAND
professeur au lycée Sainte Marie (Caen)
avec la contribution de
Camille BONOMELLI Vincent FRATICELLI
chercheuse à l’université d’Oxford professeur au lycée Pothier (Orléans)COLLECTION
PRÉPAS SCIENCES
Retrouvez tous les titres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr
Un étudiant n’est pas un sac que l’on remplit mais une bougie que l’on enfamme.
Vladimir Arnold , mathématicien russe.
Les notices culturelles « un mathématicien » et « un peu d’histoire »
des pages de titre des chapitres ont été rédigées par Bertrand Hauchecorne.
ISBN 9782340-048591
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2021
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris






Avant-propos
Réussir en classes préparatoires nécessite d’assimiler rapidement un grand
nombre de connaissances, mais surtout de savoir les utiliser, à bon escient, et les
rendre opérationnelles au moment opportun. Bien sûr, l’apprentissage du cours de
votre professeur jour après jour est indispensable. Cependant, on constate que pour
beaucoup, c’est loin d’être sufsant. Combien d’entre vous ont bien appris leur cours
et pourtant se trouvent démunis lors d’un devoir, et plus grave, le jour du concours.
Cete collection a été conçue pour répondre à cete difculté. Suivant
scrupuleusement le programme, chaque ouvrage est scindé en chapitres, dont chacun
correspond, en gros, à une semaine de cours. Leur structure est identique pour chaque
niveau, en physique-chimie comme en mathématiques ou sciences industrielles.
Le résumé de cours est là pour vous remetre en mémoire tous les résultats
à connaître. Sa relecture est indispensable avant un devoir, le passage d’une colle
relative au thème traité et lors des révisions précédant les concours. Ils sont énoncés
sans démonstration.
La partie « méthodes » vous initie aux techniques utiles pour résoudre les
exercices classiques. Complément indispensable du cours, elle l’éclaire et l’illustre.
La partie « vrai/faux » permet de tester votre recul par rapport au programme
et de vous révéler les mauvais réfexes à rectifer. Son corrigé est l’occasion de metre
en garde contre des erreurs classiques.
Les exercices sont incontournables pour assimiler le programme et pour répondre
aux exigences du concours. Des indications, que les meilleurs pourront ignorer,
permetront de répondre aux besoins de chacun, selon son niveau. Les corrigés sont
rédigés avec soin et de manière exhaustive.
Ainsi l’ouvrage de physique-chimie comme ceux de maths et de sii vous
accompagneront tout au long de l’année et vous guideront dans votre cheminement
vers la réussite aux concours.
Bertrand Hauchecorne‑

Sommaire
1. Propagation d’un signal ......................................................... 1
2. Bases de l’optique géométrique .............................................. 27
3. Lentilles minces ................................................................... 59
4. Lois de l’électrocinétique – Régime continu .............................. 91
5. Circuit linéaire du premier ordre ............................................ 119
6. Oscillateur électrique en régime libre ...................................... 155
7. Régime sinusoïdal forcé ........................................................ 185
8. Filtrage linéaire .................................................................... 219
9. Molécules, ions et cristaux .................................................... 261
10. État et évolution d’un système chimique .................................. 293
11. Cinétique chimique ............................................................... 323
12. Cinématique du point ............................................................ 363
13. Principes de la dynamique ..................................................... 391
14. Énergie mécanique 435
15. Mouvement d’un solide .......................................................... 473
16. Champ magnétique .............................................................. 505
17. Induction électromagnétique .................................................. 537
18. Description d’un système thermodynamique ............................ 573
19. Premier principe de la thermodynamique ................................. 597
20. Deuxième principe de la thermodynamique .............................. 623
21. Machines thermiques ........................................................... 645
22. Réactions acidobasiques ...................................................... 671
23. Réactions de dissolution ou de précipitation ............................. 707
24. Réactions d’oxydoréduction ................................................... 749
Index .................................................................................. 799Chapitre 1
Propagation
d’un signal
Le génie anglais Thomas Young (1773-1829)
est un esprit universel ; il parle une dizaine
de langues, et contribue par exemple au déchifrement
des hiéroglyphes égyptiens. Il se passionne aussi
pour la botanique et la philosophie, mais c’est en tant
que médecin qu’il exerce. Sa célébrité lui vient
pourtant de ses expériences en optique,
sur les interférences lumineuses, qui font
apparaître la nature ondulatoire de la lumière.
■ Un peu d'histoire
La propagation du son est étudiée dès l’Antiquité mais sans en comprendre la nature
ondulatoire. Robert Boyle (1627-1691) montre que le son ne se propage pas dans le vide
et, peu après, Mersenne et Gassendi essayent d’en estimer la vitesse de propagation
dans l’air.
En 1690, Christiaan Huygens propose une théorie ondulatoire de la lumière et entre
en confit avec Newton qui penche pour une nature corpusculaire. Au tout début
edu xix siècle, Thomas Young reprend l’idée du savant hollandais qu’il justife par
des expériences de difraction en obtenant ce qu’il nomme des interférences. Cete
approche est peu après confortée par les travaux d’Augustin Fresnel puis, en 1850,
par l’expérience de Léon Foucault sur le calcul de la vitesse de la lumière. La théorie
des ondes électromagnétiques, énoncée en 1873 par James Clerk Maxwell , confrme
le caractère ondulatoire de la lumière.
UN SCIENTIFIQUE  Résumé de cours
 Propagation d’un signal
 Signaux et ondes
Un signal est une fonction s (t) décrivant les variations d’une grandeur physique au cours du
temps. Un signal existant en tout point M d’une région de l’espace, et comportant des
oscillations au cours du temps, constitue une onde, décrite par une fonction s (M, t).
– Un signal acoustique est constitué de variations de la pression d’un milieu matériel, de sa
masse volumique et de sa vitesse locale.
– Un signal électrique est constitué de variations de l’intensité et de la tension dans un circuit.
Objectifs   – Un signal électromagnétique est constitué de variations des champs électrique et magnétique
dans le milieu de propagation (qui peut être le vide) ; cela inclut la lumière, les infrarouges, les
ultraviolets, les rayons X et gamma, les ondes de radio et de télévision, les micro-ondes…  Ce qu’il faut connaître
 Les différents types d’ondes et les grandeurs physiques correspondantes  Onde progressive unidimensionnelle
Une onde unidimensionnelle dépend d’une seule coordonnée spatiale le long d’un axe, souvent
 La forme mathématique d’une onde progressive (cas général et cas sinusoïdal) (Ox). Il s’agit, soit d’une onde dans un milieu à une dimension (onde électrique dans un câble,
onde mécanique sur une corde…), soit d’un type particulier d’onde, l’onde plane, dans un  Des ordres de grandeur de fréquences
milieu à deux ou trois dimensions.
 Les phénomènes d’interférences, de diffraction Une onde (plane) progressive (OP) est la propagation d’un signal dans une certaine direction de
l’espace, avec une certaine vitesse de propagation dont la norme c est appelée célérité.
 Ce qu’il faut savoir faire Une OP se propageant sans déformation selon l’axe (Ox) peut s’écrire sous la forme générale :
s(Mt ,)  F(t  x c) ou s(M,)t  F(x  ct) si elle se propage dans le sens des x croissants ;
 Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale d’une onde progressive
s(M,)t  Gt (  x c) ou s(M,)t  G(x  ct) si elle se propage dans le sens des x décroissants.
 Établir et utiliser la relation entre fréquence, longueur d’onde et célérité pour En un point M d’abscisse x, le signal prend les mêmes valeurs qu’à l’abscisse 0 mais avec un
une onde progressive sinusoïdale
retard (algébrique) de xc dans le premier cas, ou une avance de x c dans le second cas.
 Exprimer les conditions d’interférences constructives ou destructives
 Méthode 1.1. Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale d’une onde progressive
 Onde progressive sinusoïdale
 Forme mathématique
Une onde (plane) progressive sinusoïdale (ou harmonique) est de la forme :
s(M ,t) Acos(ωtkx ψ) si elle se propage dans le sens des x croissants ;
s(M ,t) Acos(ωtkx ψ) si elle se propage dans le sens des x décroissants.
C’est un cas particulier de la forme générale indiquée précédemment, à condition que la
ω  k cpulsation temporelle ω et la pulsation spatiale k vérifient : (c étant également appelée
ici vitesse de phase).
   
On appelle vecteur d’onde le vecteur k  ke (premier cas) ou k  ke (second cas). x x
PROPAGATION D’UN SIGNAL 3     Résumé de cours
 Propagation d’un signal
 Signaux et ondes
Un signal est une fonction s (t) décrivant les variations d’une grandeur physique au cours du
temps. Un signal existant en tout point M d’une région de l’espace, et comportant des
oscillations au cours du temps, constitue une onde, décrite par une fonction s (M, t).
– Un signal acoustique est constitué de variations de la pression d’un milieu matériel, de sa
masse volumique et de sa vitesse locale.
– Un signal électrique est constitué de variations de l’intensité et de la tension dans un circuit.
Objectifs   – Un signal électromagnétique est constitué de variations des champs électrique et magnétique
dans le milieu de propagation (qui peut être le vide) ; cela inclut la lumière, les infrarouges, les
ultraviolets, les rayons X et gamma, les ondes de radio et de télévision, les micro-ondes…  Ce qu’il faut connaître
 Les différents types d’ondes et les grandeurs physiques correspondantes  Onde progressive unidimensionnelle
Une onde unidimensionnelle dépend d’une seule coordonnée spatiale le long d’un axe, souvent
 La forme mathématique d’une onde progressive (cas général et cas sinusoïdal) (Ox). Il s’agit, soit d’une onde dans un milieu à une dimension (onde électrique dans un câble,
onde mécanique sur une corde…), soit d’un type particulier d’onde, l’onde plane, dans un  Des ordres de grandeur de fréquences
milieu à deux ou trois dimensions.
 Les phénomènes d’interférences, de diffraction Une onde (plane) progressive (OP) est la propagation d’un signal dans une certaine direction de
l’espace, avec une certaine vitesse de propagation dont la norme c est appelée célérité.
 Ce qu’il faut savoir faire Une OP se propageant sans déformation selon l’axe (Ox) peut s’écrire sous la forme générale :
s(Mt ,)  F(t  x c) ou s(M,)t  F(x  ct) si elle se propage dans le sens des x croissants ;
 Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale d’une onde progressive
s(M,)t  Gt (  x c) ou s(M,)t  G(x  ct) si elle se propage dans le sens des x décroissants.
 Établir et utiliser la relation entre fréquence, longueur d’onde et célérité pour En un point M d’abscisse x, le signal prend les mêmes valeurs qu’à l’abscisse 0 mais avec un
une onde progressive sinusoïdale
retard (algébrique) de xc dans le premier cas, ou une avance de x c dans le second cas.
 Exprimer les conditions d’interférences constructives ou destructives
 Méthode 1.1. Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale d’une onde progressive
 Onde progressive sinusoïdale
 Forme mathématique
Une onde (plane) progressive sinusoïdale (ou harmonique) est de la forme :
s(M ,t) Acos(ωtkx ψ) si elle se propage dans le sens des x croissants ;
s(M ,t) Acos(ωtkx ψ) si elle se propage dans le sens des x décroissants.
C’est un cas particulier de la forme générale indiquée précédemment, à condition que la
ω  k cpulsation temporelle ω et la pulsation spatiale k vérifient : (c étant également appelée
ici vitesse de phase).
   
On appelle vecteur d’onde le vecteur k  ke (premier cas) ou k  ke (second cas). x x
PROPaga TION D’uN sIgNaL 3 nnPROPAGA’U SIGA  A (> 0) est l’amplitude de l’onde ; elle correspond à la valeur maximale de s (x, t).  Cas des ondes acoustiques
(ωtkx ψ) est la phase au point d’abscisse x à un instant t, et ψ est la phase à l’origine. – Les sons audibles correspondent aux ondes acoustiques dans l’intervalle de fréquences
20Hzf 20kHz environ. La fréquence correspond à la hauteur du son (grave pour les 1 ω
La fréquence (temporelle) f est le nombre d’oscillations par unité de temps : f   . faibles fréquences, aigu pour les fréquences élevées). T 2π
– Une note de musique est généralement une superposition de signaux appelés harmoniques, ω et f ont les dimensions de l’inverse d’un temps, mais ω s’exprime en radians par seconde
dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale définissant cette note. (rad/s) et f en hertz (Hz).
– Les ultrasons correspondent à f  20kHz , les infrasons à f  20Hz .
 Double périodicité
 Cas des ondes électromagnétiques Une onde progressive sinusoïdale possède une double périodicité, temporelle et spatiale :
– La lumière visible correspond aux ondes électromagnétiques dans l’intervalle de fréquences 2π
– la période temporelle T  est l’intervalle de temps minimal séparant deux valeurs 14 14 81 410 Hz f 8 10 Hz environ ; dans le vide où la célérité est c 3,0010 m s , cela ω
identiques de l’onde en un point donné ; correspond à l’intervalle de longueurs d’onde 800 nm λ 400 nm environ.
2π La fréquence correspond à la couleur de la lumière (du rouge au violet, voir chapitre 2).
– la période spatiale ou longueur d’onde λ  est, à un instant donné, la distance minimale
– Certaines lumières sont monochromatiques (une seule fréquence), mais la plupart sont k
polychromatiques, avec un spectre discret (constitué seulement de quelques fréquences) ou séparant deux points où la valeur de l’onde est la même.
continu (constitué de toutes les fréquences dans l’intervalle du visible, et même au-delà). λ  cT Ces deux périodes vérifient la relation qui montre que la longueur d’onde est la distance
– Certains dispositifs, tels que le prisme ou le réseau de diffraction, permettent de séparer les c
parcourue par l’onde en une période. Autre expression : λ  où f est la fréquence temporelle. différentes composantes d’une lumière polychromatique.
f
– Spectre électromagnétique :

–13 –11 –9 –7 –6 –4 –2 Méthode 1.2. Établir la relation entre périodes temporelle et spatiale 10 10 10 10 10 10 10 1 λ

(m) sx( ,)t0 rayons γ rayons X ultraviolet visible infrarouge ondes hertziennes
TT f S 21 19 17 15 14 12 10 8m 10 10 10 10 10 10 10 10 (Hz) Évolution de l’onde au
cours du temps, en un point
d’abscisse donnée x 0 t
 Interférences entre deux ondes
Sm
 Déphasage entre deux ondes en un point
s(,xt )0 Lorsque deux ondes progressives sinusoïdales, de célérité c et de même fréquence f (donc de
λ λ même pulsation ω  2π f ) se propagent dans une région de l’espace, il existe en tout point M Sm
une différence δ entre les chemins parcourus par les deux ondes, d’où un décalage temporel τ et Profil de l’onde
δ τle long de l’axe (Ox), un déphasage φ proportionnels à δ : τ  et φ  k δ  kcτ  ω τ  2π .
à un instant donné t c Tx0
 Onde résultante Sm Les fonctions correspondant aux deux ondes s’additionnent. On obtient ainsi le phénomène
d’interférences : l’onde résultante au point M est encore une onde sinusoïdale, dont l’amplitude
dépend du déphasage φ entre les deux ondes initiales en ce point. En particulier :
 Onde progressive quelconque – en un point où les deux ondes arrivent en phase ( φ  2πm avec m entier), l’amplitude
résultante est maximale, les interférences sont constructives ;
 Spectre – en un point où les deux ondes arrivent en opposition de phase ( φ  (2m 1) π avec m
Une onde progressive quelconque peut être considérée comme une somme d’ondes progressives entier), l’amplitude résultante est minimale (et même nulle si ces deux ondes ont la même
sinusoïdales de fréquences et d’amplitudes différentes : elles constituent le spectre de l’onde. amplitude), les interférences sont destructives.
nn 4 Cha PITRE 1  4 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 5  
A (> 0) est l’amplitude de l’onde ; elle correspond à la valeur maximale de s (x, t).  Cas des ondes acoustiques
(ωtkx ψ) est la phase au point d’abscisse x à un instant t, et ψ est la phase à l’origine. – Les sons audibles correspondent aux ondes acoustiques dans l’intervalle de fréquences
20Hzf 20kHz environ. La fréquence correspond à la hauteur du son (grave pour les 1 ω
La fréquence (temporelle) f est le nombre d’oscillations par unité de temps : f   . faibles fréquences, aigu pour les fréquences élevées). T 2π
– Une note de musique est généralement une superposition de signaux appelés harmoniques, ω et f ont les dimensions de l’inverse d’un temps, mais ω s’exprime en radians par seconde
dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale définissant cette note. (rad/s) et f en hertz (Hz).
– Les ultrasons correspondent à f  20kHz , les infrasons à f  20Hz .
 Double périodicité
 Cas des ondes électromagnétiques Une onde progressive sinusoïdale possède une double périodicité, temporelle et spatiale :
– La lumière visible correspond aux ondes électromagnétiques dans l’intervalle de fréquences 2π
– la période temporelle T  est l’intervalle de temps minimal séparant deux valeurs 14 14 81 410 Hz f 8 10 Hz environ ; dans le vide où la célérité est c 3,0010 m s , cela ω
identiques de l’onde en un point donné ; correspond à l’intervalle de longueurs d’onde 800 nm λ 400 nm environ.
2π La fréquence correspond à la couleur de la lumière (du rouge au violet, voir chapitre 2).
– la période spatiale ou longueur d’onde λ  est, à un instant donné, la distance minimale
– Certaines lumières sont monochromatiques (une seule fréquence), mais la plupart sont k
polychromatiques, avec un spectre discret (constitué seulement de quelques fréquences) ou séparant deux points où la valeur de l’onde est la même.
continu (constitué de toutes les fréquences dans l’intervalle du visible, et même au-delà). λ  cT Ces deux périodes vérifient la relation qui montre que la longueur d’onde est la distance
– Certains dispositifs, tels que le prisme ou le réseau de diffraction, permettent de séparer les c
parcourue par l’onde en une période. Autre expression : λ  où f est la fréquence temporelle. différentes composantes d’une lumière polychromatique.
f
– Spectre électromagnétique :

–13 –11 –9 –7 –6 –4 –2 Méthode 1.2. Établir la relation entre périodes temporelle et spatiale 10 10 10 10 10 10 10 1 λ

(m) sx( ,)t0 rayons γ rayons X ultraviolet visible infrarouge ondes hertziennes
TT f S 21 19 17 15 14 12 10 8m 10 10 10 10 10 10 10 10 (Hz) Évolution de l’onde au
cours du temps, en un point
d’abscisse donnée x 0 t
 Interférences entre deux ondes
Sm
 Déphasage entre deux ondes en un point
s(,xt )0 Lorsque deux ondes progressives sinusoïdales, de célérité c et de même fréquence f (donc de
λ λ même pulsation ω  2π f ) se propagent dans une région de l’espace, il existe en tout point M Sm
une différence δ entre les chemins parcourus par les deux ondes, d’où un décalage temporel τ et Profil de l’onde
δ τle long de l’axe (Ox), un déphasage φ proportionnels à δ : τ  et φ  k δ  kcτ  ω τ  2π .
à un instant donné t c Tx0
 Onde résultante Sm Les fonctions correspondant aux deux ondes s’additionnent. On obtient ainsi le phénomène
d’interférences : l’onde résultante au point M est encore une onde sinusoïdale, dont l’amplitude
dépend du déphasage φ entre les deux ondes initiales en ce point. En particulier :
 Onde progressive quelconque – en un point où les deux ondes arrivent en phase ( φ  2πm avec m entier), l’amplitude
résultante est maximale, les interférences sont constructives ;
 Spectre – en un point où les deux ondes arrivent en opposition de phase ( φ  (2m 1) π avec m
Une onde progressive quelconque peut être considérée comme une somme d’ondes progressives entier), l’amplitude résultante est minimale (et même nulle si ces deux ondes ont la même
sinusoïdales de fréquences et d’amplitudes différentes : elles constituent le spectre de l’onde. amplitude), les interférences sont destructives.
PROPaga TION D’uN sIgNaL 5 nn  4 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 

somme   Méthodes onde 1
Ondes avec déphasage
quelconque
onde 2
 Comment étudier une onde progressive quelconque ?
Ondes en phase :
 Méthode 1.1. Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale amplitude résultante
d’une onde progressive maximale
(interférences
Supposons qu’on connaisse l’évolution temporelle d’un signal en un point donné,
constructives)
ainsi que la célérité de l’onde considérée.
– On peut en déduire l’évolution temporelle du signal en un autre point où passe
Ondes en opposition de l’onde, en déterminant simplement le retard entre les deux points.
phase : – On peut également en déduire la forme globale du signal, sur l’ensemble du
amplitude résultante milieu considéré, à un instant donné. Pour cela, on repère les abscisses où
minimale (interférences apparaissent à cet instant certaines valeurs particulières du signal ; l’allure de la
destructives) courbe est alors analogue à la précédente (variation temporelle), mais à l’envers.

Inversement, si on connaît à un instant donné la forme du signal dans l’espace, on
peut en déduire sa forme à un autre instant, ou l’évolution temporelle en un point
 Diffraction d’une onde donné.
 Phénomène de diffraction
 Exercices 1.1, 1.2
Lorsqu’une onde passe à côté d’un obstacle, elle est déviée. En particulier, si elle traverse une
ouverture de largeur a, elle ressort en divergeant : c’est le phénomène de diffraction. Pour une Considérons une onde de déformation se propageant le long d’une corde, selon l’axe (Ox), dans
onde monochromatique de longueur d’onde λ, la zone où l’amplitude diffractée est importante 1le sens des x croissants à partir du point d’abscisse 0, à une célérité c  50 m s .
λ λ La variation de l’élongation y en x = 0 au cours du temps sin θ  0est un secteur de demi-angle θ tel que : . Pour θ1≪ (en rad), on peut écrire θ  . y(x ,t) 0a a est représentée sur le schéma ci-contre ; elle est nulle pour
4 mm Le phénomène n’est donc pas perceptible pour une ouverture large, telle que a ≫ λ . t < 0 et pour t > 30 ms.
On cherche à en déduire, d’une part la variation temporelle
t  Observation de l’élongation en x = 1,0 m, d’autre part l’aspect de la 1
0 Pour la lumière visible, la diffraction est facilement 20 ms 30 ms corde aux instants t = 20 ms, t = 40 ms et t = 60 ms. 1 2 3
observable pour des ouvertures de l’ordre de 1 à 100 µm.
Dans le cas d’une ouverture circulaire, la lumière diffractée – L’onde progressive est une fonction de la forme
y(x ,t) 1« à l’infini » (à grande distance ou dans le plan focal d’une y(M ,)t  f (t  xc) . Tout se qui se passe en x se 0
4 mm lentille convergente) forme une tache circulaire brillante reproduit en x quelconque avec un retard ()xx c . 0appelée tache d’Airy, entourée d’anneaux peu lumineux.
À l’abscisse x , le retard de l’onde par rapport au 1 t
point d’abscisse 0 vaut xc  20 ms . L’évolution 1 0 La diffraction peut être mise en évidence pour tous les 20 ms 40 ms 50 ms
temporelle de y en ce point reproduit donc celle à autres types d’ondes. Par exemple, on peut l’observer sur
l’abscisse x = 0 avec un retard de 20 ms. des photographies aériennes de la houle à l’entrée d’un 0
port.


nn 6 Cha PITRE 1  6 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 7  
Méthodes
somme   Méthodes onde 1
Ondes avec déphasage
quelconque
onde 2
 Comment étudier une onde progressive quelconque ?
Ondes en phase :
 Méthode 1.1. Déterminer l’évolution temporelle ou la forme spatiale amplitude résultante
d’une onde progressive maximale
(interférences
Supposons qu’on connaisse l’évolution temporelle d’un signal en un point donné,
constructives)
ainsi que la célérité de l’onde considérée.
– On peut en déduire l’évolution temporelle du signal en un autre point où passe
Ondes en opposition de l’onde, en déterminant simplement le retard entre les deux points.
phase : – On peut également en déduire la forme globale du signal, sur l’ensemble du
amplitude résultante milieu considéré, à un instant donné. Pour cela, on repère les abscisses où
minimale (interférences apparaissent à cet instant certaines valeurs particulières du signal ; l’allure de la
destructives) courbe est alors analogue à la précédente (variation temporelle), mais à l’envers.

Inversement, si on connaît à un instant donné la forme du signal dans l’espace, on
peut en déduire sa forme à un autre instant, ou l’évolution temporelle en un point
 Diffraction d’une onde donné.
 Phénomène de diffraction
 Exercices 1.1, 1.2
Lorsqu’une onde passe à côté d’un obstacle, elle est déviée. En particulier, si elle traverse une
ouverture de largeur a, elle ressort en divergeant : c’est le phénomène de diffraction. Pour une Considérons une onde de déformation se propageant le long d’une corde, selon l’axe (Ox), dans
onde monochromatique de longueur d’onde λ, la zone où l’amplitude diffractée est importante 1le sens des x croissants à partir du point d’abscisse 0, à une célérité c  50 m s .
λ λ La variation de l’élongation y en x = 0 au cours du temps sin θ  0est un secteur de demi-angle θ tel que : . Pour θ1≪ (en rad), on peut écrire θ  . y(x ,t) 0a a est représentée sur le schéma ci-contre ; elle est nulle pour
4 mm Le phénomène n’est donc pas perceptible pour une ouverture large, telle que a ≫ λ . t < 0 et pour t > 30 ms.
On cherche à en déduire, d’une part la variation temporelle
t  Observation de l’élongation en x = 1,0 m, d’autre part l’aspect de la 1
0 Pour la lumière visible, la diffraction est facilement 20 ms 30 ms corde aux instants t = 20 ms, t = 40 ms et t = 60 ms. 1 2 3
observable pour des ouvertures de l’ordre de 1 à 100 µm.
Dans le cas d’une ouverture circulaire, la lumière diffractée – L’onde progressive est une fonction de la forme
y(x ,t) 1« à l’infini » (à grande distance ou dans le plan focal d’une y(M ,)t  f (t  xc) . Tout se qui se passe en x se 0
4 mm lentille convergente) forme une tache circulaire brillante reproduit en x quelconque avec un retard ()xx c . 0appelée tache d’Airy, entourée d’anneaux peu lumineux.
À l’abscisse x , le retard de l’onde par rapport au 1 t
point d’abscisse 0 vaut xc  20 ms . L’évolution 1 0 La diffraction peut être mise en évidence pour tous les 20 ms 40 ms 50 ms
temporelle de y en ce point reproduit donc celle à autres types d’ondes. Par exemple, on peut l’observer sur
l’abscisse x = 0 avec un retard de 20 ms. des photographies aériennes de la houle à l’entrée d’un 0
port.


PROPaga TION D’uN sIgNaL 7 nn  6 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Méthodes
Méthodes
– Déterminons maintenant l’aspect global de la corde à différents instants. – À un instant t donné, l’onde présente un maximum en un point d’abscisse x . D’après la 1
Tout se qui se passe en x à instant t se reproduit ensuite, à un instant tt , à l’abscisse 0 0 0 définition de λ (distance entre deux maxima voisins), le maximum suivant a donc pour abscisse
xct() t . x x  λ . Or l’onde prend en x les mêmes valeurs qu’en x avec un retard ()xxc λc . 0 0 2 1 2 1 21
Le « front » du signal, c’est-à-dire le point où Puisque le retard entre un maximum et le suivant est la période temporelle T, on obtient donc
y(x,t ) 1
une élongation non nulle apparaît à cet instant, λ
4 mm λ  c Tpar identification : T  soit . se trouve à l’abscisse ct , soit ct 1,0 m à t 1i 1 c
puis c t  2,0 m et c t  3,0 m . 2 3 x
– Si on utilise la définition de λ comme distance parcourue par l’onde pendant une période T, Le maximum d’élongation, qui se produit en 0 à 0 1 m 2 m 3 m le calcul est une simple relation de cinématique : pendant une durée T, la distance parcourue à l’instant t  t  20 ms , se trouve à un max 0 1
une vitesse constante c est : λ  c T . y(x,t ) 2instant ultérieur tt à une abscisse i max 0 4 mm
ct() t , soit ct(t ) 1,0 m à t puis 2i max 0 2 max 0
ct( t ) 2,0 m à t . 33 max 0 x
Enfin la « queue » du signal, où se trouve la 0 1 m 2 m 3 m dernière élongation non nulle, n’apparaît sur la
corde qu’à partir de l’instant t  30 ms où y(x,t ) 3q0
4 mm l’excitation se termine. Elle se trouve à un
instant ultérieur t  t à une abscisse i q0
x
ct() t , soit à l’abscisse ct(t ) 0,5 m à i q0 2 q0 0 1 m 2 m 3 m
t puis c(tt ) 1,5 m à t . 2 33 q0

– On peut finalement vérifier la cohérence entre le premier graphe et les deux autres :
en x = 0, à l’instant t = 20 ms l’ordonnée est à son maximum de 4 mm, puis à t = 40 ms et à 0 1 2
t = 70 ms elle est redevenue nulle ; 3
le point d’abscisse x = 1,0 m a bien une ordonnée nulle (mais qui va juste commencer à 1
augmenter) à t = 20 ms, une ordonnée de 4 mm à t = 40 ms, et de nouveau nulle à t = 60 ms. 1 2 3
 Comment étudier une onde progressive sinusoïdale ?
 Méthode 1.2. Établir la relation entre périodes temporelle et spatiale
– On utilise la notion de retard de l’onde entre deux points pour établir la relation
entre la période temporelle T et la longueur d’onde (période spatiale) λ.
– On peut aussi la retrouver en utilisant l’autre définition de la longueur d’onde :
distance parcourue par l’onde pendant une période (temporelle).
 Exercice 1.4

Considérons une onde se propageant selon l’axe (Ox), dans le sens des x croissants à partir du
point d’abscisse 0, avec une célérité c.
nn 8 Cha PITRE 1  8 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 9  
Méthodes
– Déterminons maintenant l’aspect global de la corde à différents instants. – À un instant t donné, l’onde présente un maximum en un point d’abscisse x . D’après la 1
Tout se qui se passe en x à instant t se reproduit ensuite, à un instant tt , à l’abscisse 0 0 0 définition de λ (distance entre deux maxima voisins), le maximum suivant a donc pour abscisse
xct() t . x x  λ . Or l’onde prend en x les mêmes valeurs qu’en x avec un retard ()xxc λc . 0 0 2 1 2 1 21
Le « front » du signal, c’est-à-dire le point où Puisque le retard entre un maximum et le suivant est la période temporelle T, on obtient donc
y(x,t ) 1
une élongation non nulle apparaît à cet instant, λ
4 mm λ  c Tpar identification : T  soit . se trouve à l’abscisse ct , soit ct 1,0 m à t 1i 1 c
puis c t  2,0 m et c t  3,0 m . 2 3 x
– Si on utilise la définition de λ comme distance parcourue par l’onde pendant une période T, Le maximum d’élongation, qui se produit en 0 à 0 1 m 2 m 3 m le calcul est une simple relation de cinématique : pendant une durée T, la distance parcourue à l’instant t  t  20 ms , se trouve à un max 0 1
une vitesse constante c est : λ  c T . y(x,t ) 2instant ultérieur tt à une abscisse i max 0 4 mm
ct() t , soit ct(t ) 1,0 m à t puis 2i max 0 2 max 0
ct( t ) 2,0 m à t . 33 max 0 x
Enfin la « queue » du signal, où se trouve la 0 1 m 2 m 3 m dernière élongation non nulle, n’apparaît sur la
corde qu’à partir de l’instant t  30 ms où y(x,t ) 3q0
4 mm l’excitation se termine. Elle se trouve à un
instant ultérieur t  t à une abscisse i q0
x
ct() t , soit à l’abscisse ct(t ) 0,5 m à i q0 2 q0 0 1 m 2 m 3 m
t puis c(tt ) 1,5 m à t . 2 33 q0

– On peut finalement vérifier la cohérence entre le premier graphe et les deux autres :
en x = 0, à l’instant t = 20 ms l’ordonnée est à son maximum de 4 mm, puis à t = 40 ms et à 0 1 2
t = 70 ms elle est redevenue nulle ; 3
le point d’abscisse x = 1,0 m a bien une ordonnée nulle (mais qui va juste commencer à 1
augmenter) à t = 20 ms, une ordonnée de 4 mm à t = 40 ms, et de nouveau nulle à t = 60 ms. 1 2 3
 Comment étudier une onde progressive sinusoïdale ?
 Méthode 1.2. Établir la relation entre périodes temporelle et spatiale
– On utilise la notion de retard de l’onde entre deux points pour établir la relation
entre la période temporelle T et la longueur d’onde (période spatiale) λ.
– On peut aussi la retrouver en utilisant l’autre définition de la longueur d’onde :
distance parcourue par l’onde pendant une période (temporelle).
 Exercice 1.4

Considérons une onde se propageant selon l’axe (Ox), dans le sens des x croissants à partir du
point d’abscisse 0, avec une célérité c.
PROPaga TION D’uN sIgNaL 9 nn  8 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Méthodes
Méthodes
  Vrai/Faux   Énoncé des exercices
Vrai Faux  Ondes de forme quelconque
1. Une onde progressive possède une célérité qui dépend du milieu
 Exercice 1.1. Mascaret   de propagation.
2. Dans une onde plane progressive sinusoïdale, tous les points de Un mascaret est une vague solitaire remontant   l’espace oscillent avec la même amplitude. un fleuve au voisinage de son estuaire, et
provoquée par une interaction entre son 3. Aucune onde ne se propage dans le vide.   écoulement et la marée montante.
4. La période temporelle et la période spatiale d’une onde   On considère ici un mascaret se déplaçant à la sinusoïdale sont deux grandeurs indépendantes l’une de l’autre.
1vitesse c  20km  h le long d’un fleuve
5. Les rayons X sont des ondes électromagnétiques.   rectiligne, et on définit un axe (Ox) dans la
direction et le sens de sa propagation.
6. Le phénomène d’interférences peut se produire entre deux ondes
  de fréquences différentes. À un instant t = 0, le profil de niveau de l’eau du fleuve a l’allure suivante : 0
7. Les interférences entre deux ondes peuvent donner une onde y(x,0)   résultante nulle.
8. Le déphasage entre deux ondes dépend du point considéré.  
9. Le phénomène de diffraction se produit lorsque la taille d’une   0 x ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde. 100 m
10. Une lumière monochromatique est une onde sinusoïdale. 1. Faire un schéma du profil de niveau du fleuve à t = 1,0 minute, en supposant que l’onde se   propage sans déformation.
2. Toto attend avec sa planche de surf à l’abscisse x = 2,0 km. À quel instant va-t-il recevoir la T
vague ?
3. Un détecteur fixe, enregistrant la hauteur du fleuve en fonction du temps, est placé à
l’abscisse x = 1,4 km. Dessiner l’allure des variations y(x,t) en fonction de t. d
4. En réalité, l’onde se déforme petit à petit car la vitesse de propagation augmente avec la
profondeur. Comment évolue alors le profil de la vague ?
 Exercice 1.2. Mesure de distance et de vitesse par radar*
Un radar (mot provenant de l’acronyme anglais pour radio detection and ranging) est un
appareil utilisant des ondes radio (ondes électromagnétiques de fréquences comprises entre
3 MHz et 110 GHz) pour détecter la présence d’objets mobiles, et pouvant également
déterminer leur distance et leur vitesse. On présente ici le principe de ces deux mesures.
Le radar comporte une antenne qui émet, avec une période T, des impulsions, c’est-à-dire des
signaux sinusoïdaux de durée limitée τ. Deux de ces impulsions successives sont représentées
sur le schéma ci-dessous (attention, il y a une rupture d’échelle due au fait que les durées sont
très différentes).
nn 10 Cha PITRE 1  10 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 11  
  Vrai/Faux   Énoncé des exercices
Vrai Faux  Ondes de forme quelconque
1. Une onde progressive possède une célérité qui dépend du milieu
 Exercice 1.1. Mascaret   de propagation.
2. Dans une onde plane progressive sinusoïdale, tous les points de Un mascaret est une vague solitaire remontant   l’espace oscillent avec la même amplitude. un fleuve au voisinage de son estuaire, et
provoquée par une interaction entre son 3. Aucune onde ne se propage dans le vide.   écoulement et la marée montante.
4. La période temporelle et la période spatiale d’une onde   On considère ici un mascaret se déplaçant à la sinusoïdale sont deux grandeurs indépendantes l’une de l’autre.
1vitesse c  20km  h le long d’un fleuve
5. Les rayons X sont des ondes électromagnétiques.   rectiligne, et on définit un axe (Ox) dans la
direction et le sens de sa propagation.
6. Le phénomène d’interférences peut se produire entre deux ondes
  de fréquences différentes. À un instant t = 0, le profil de niveau de l’eau du fleuve a l’allure suivante : 0
7. Les interférences entre deux ondes peuvent donner une onde y(x,0)   résultante nulle.
8. Le déphasage entre deux ondes dépend du point considéré.  
9. Le phénomène de diffraction se produit lorsque la taille d’une   0 x ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde. 100 m
10. Une lumière monochromatique est une onde sinusoïdale. 1. Faire un schéma du profil de niveau du fleuve à t = 1,0 minute, en supposant que l’onde se   propage sans déformation.
2. Toto attend avec sa planche de surf à l’abscisse x = 2,0 km. À quel instant va-t-il recevoir la T
vague ?
3. Un détecteur fixe, enregistrant la hauteur du fleuve en fonction du temps, est placé à
l’abscisse x = 1,4 km. Dessiner l’allure des variations y(x,t) en fonction de t. d
4. En réalité, l’onde se déforme petit à petit car la vitesse de propagation augmente avec la
profondeur. Comment évolue alors le profil de la vague ?
 Exercice 1.2. Mesure de distance et de vitesse par radar*
Un radar (mot provenant de l’acronyme anglais pour radio detection and ranging) est un
appareil utilisant des ondes radio (ondes électromagnétiques de fréquences comprises entre
3 MHz et 110 GHz) pour détecter la présence d’objets mobiles, et pouvant également
déterminer leur distance et leur vitesse. On présente ici le principe de ces deux mesures.
Le radar comporte une antenne qui émet, avec une période T, des impulsions, c’est-à-dire des
signaux sinusoïdaux de durée limitée τ. Deux de ces impulsions successives sont représentées
sur le schéma ci-dessous (attention, il y a une rupture d’échelle due au fait que les durées sont
très différentes).
PROPaga TION D’uN sIgNaL 11 nn  10 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA11 
Durée τ d’une impulsion 5. Les trois méthodes citées mesurent uniquement la composante de vitesse longitudinale (selon
la ligne de visée). Comment détermine-t-on la composante v de vitesse transversale, et 2
finalement la norme de la vitesse de l’objet ?
t
Période T de répétition des impulsions  Ondes progressives sinusoïdales

Ces impulsions sont envoyées dans toutes les directions de l’espace. Lorsque l’une d’elles
 Exercice 1.3. Mesure de la célérité du son rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l’antenne, qui devient réceptrice entre
Un haut-parleur est mis en vibration par un générateur de tension sinusoïdale fournissant une deux impulsions (mais elle ne peut pas détecter de signal reçu tant qu’elle émet une impulsion).
tension u(t)  U cos(2π)ft , de fréquence f = 1500 Hz. Il émet ainsi émet une note pure, Cela fait alors apparaître un point lumineux sur un écran, indiquant la direction de la cible, et m
l’analyse du signal reçu permet d’effectuer les mesures souhaitées. constituée d’une onde acoustique sinusoïdale de même fréquence, en phase avec la tension
1. Un radar émet des impulsions de fréquence f = 2,90 GHz et de durée τ = 1,0 μs, avec une ut() , et se propageant avec une célérité c. Un microphone est placé à une distance d du
hautpériode T = 100,0 μs. L’enregistrement ci-dessous montre deux impulsions émises par le radar, parleur, et convertit le signal sonore reçu en une tension électrique ut () en phase avec ce signal
commençant aux instants t = 0,0 μs et t = 100,0 μs, et trois échos renvoyés par des objets, 0 1
sonore. Sur un oscilloscope, on visualise simultanément les deux tensions ut() et ut () . On coçant aux instants t = 3,0 μs, t = 80,0 μs et t = 90,0 μs, et provenant de la réflexion de A B C
règle l’amplification du microphone et les échelles de l’oscilloscope de manière à avoir la même l’impulsion émise à t . 0
amplitude pour les deux courbes. Échos τ
1. Pour une certaine position du microphone, l’écran a l’allure ci-dessous. Montrer qu’il est
possible de faire coïncider les deux courbes en modifiant la distance d.
t
t T t 0 1

a) Calculer la longueur d’onde λ des ondes émises pendant une impulsion, et le nombre N
81 d’oscillations dans chaque impulsion. On prendra pour l’air la célérité c 3,0010 m s .
b) Déterminer la distance à laquelle se trouvent les différents objets détectés, en supposant que
les ondes se propagent à la même célérité que dans le vide. Comment expliquer la différence
d’amplitude entre les impulsions initiales et les échos ?
c) Montrer qu’il existe une distance minimale en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un
objet, et calculer sa valeur numérique.
2. Pour déterminer la vitesse, une première possibilité consiste à utiliser l’effet Doppler : si par
exemple l’objet s’éloigne du radar à une vitesse v, l’onde réfléchie aura une fréquence
v légèrement inférieure à f : ff 1  .  
 c 2. En augmentant progressivement d, on trouve cette coïncidence pour deux valeurs
Déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s’éloignant à la vitesse successives d et d . Montrer qu’on peut en déduire la célérité du son. Faire l’application 1 2
1 v 150 m s , et conclure sur la précision de cette méthode. numérique pour d  35 cm et d  57 cm . 1 2
3. On peut également comparer des échos successifs reçus du même objet, en mesurant
simplement le décalage temporel entre ces échos. Calculer le décalage temporel entre les  Exercice 1.4. Corde excitée de façon sinusoïdale*
deux échos successifs reçus de l’avion ci-dessus, et commenter. L’extrémité S d’une corde élastique est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement
4. Enfin une autre méthode consiste à envoyer les impulsions toujours avec la même phase oscillatoire vertical, sinusoïdal, de fréquence f = 100 Hz et d’amplitude Y = 4 mm. Chaque m
initiale, et à déterminer le déphasage entre deux échos successifs. point de la corde est repéré par son abscisse x et son élongation verticale y dans le repère (Oxyz),
Déterminer ce déphasage φ, en fonction de la vitesse v dont s’éloigne l’objet selon la ligne O désignant la position d’équilibre de S. Le mouvement de S débute à l’instant t = 0 : S est alors
de visée, de la durée T, et de la longueur d’onde λ. à sa position d’équilibre et se déplace vers le haut. Un dispositif amortisseur placé à l’autre
1Faire l’application numérique pour v  300 m s et commenter. extrémité de la corde empêche la réflexion de l’onde issue de S.
nn 12 Cha PITRE 1  12 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 13  
Durée τ d’une impulsion 5. Les trois méthodes citées mesurent uniquement la composante de vitesse longitudinale (selon
la ligne de visée). Comment détermine-t-on la composante v de vitesse transversale, et 2
finalement la norme de la vitesse de l’objet ?
t
Période T de répétition des impulsions  Ondes progressives sinusoïdales

Ces impulsions sont envoyées dans toutes les directions de l’espace. Lorsque l’une d’elles
 Exercice 1.3. Mesure de la célérité du son rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l’antenne, qui devient réceptrice entre
Un haut-parleur est mis en vibration par un générateur de tension sinusoïdale fournissant une deux impulsions (mais elle ne peut pas détecter de signal reçu tant qu’elle émet une impulsion).
tension u(t)  U cos(2π)ft , de fréquence f = 1500 Hz. Il émet ainsi émet une note pure, Cela fait alors apparaître un point lumineux sur un écran, indiquant la direction de la cible, et m
l’analyse du signal reçu permet d’effectuer les mesures souhaitées. constituée d’une onde acoustique sinusoïdale de même fréquence, en phase avec la tension
1. Un radar émet des impulsions de fréquence f = 2,90 GHz et de durée τ = 1,0 μs, avec une ut() , et se propageant avec une célérité c. Un microphone est placé à une distance d du
hautpériode T = 100,0 μs. L’enregistrement ci-dessous montre deux impulsions émises par le radar, parleur, et convertit le signal sonore reçu en une tension électrique ut () en phase avec ce signal
commençant aux instants t = 0,0 μs et t = 100,0 μs, et trois échos renvoyés par des objets, 0 1
sonore. Sur un oscilloscope, on visualise simultanément les deux tensions ut() et ut () . On commençant aux instants t = 3,0 μs, t = 80,0 μs et t = 90,0 μs, et provenant de la réflexion de A B C
règle l’amplification du microphone et les échelles de l’oscilloscope de manière à avoir la même l’impulsion émise à t . 0
amplitude pour les deux courbes. Échos τ
1. Pour une certaine position du microphone, l’écran a l’allure ci-dessous. Montrer qu’il est
possible de faire coïncider les deux courbes en modifiant la distance d.
t
t T t 0 1

a) Calculer la longueur d’onde λ des ondes émises pendant une impulsion, et le nombre N
81 d’oscillations dans chaque impulsion. On prendra pour l’air la célérité c 3,0010 m s .
b) Déterminer la distance à laquelle se trouvent les différents objets détectés, en supposant que
les ondes se propagent à la même célérité que dans le vide. Comment expliquer la différence
d’amplitude entre les impulsions initiales et les échos ?
c) Montrer qu’il existe une distance minimale en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un
objet, et calculer sa valeur numérique.
2. Pour déterminer la vitesse, une première possibilité consiste à utiliser l’effet Doppler : si par
exemple l’objet s’éloigne du radar à une vitesse v, l’onde réfléchie aura une fréquence
v légèrement inférieure à f : ff 1  .  
 c 2. En augmentant progressivement d, on trouve cette coïncidence pour deux valeurs
Déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s’éloignant à la vitesse successives d et d . Montrer qu’on peut en déduire la célérité du son. Faire l’application 1 2
1 v 150 m s , et conclure sur la précision de cette méthode. numérique pour d  35 cm et d  57 cm . 1 2
3. On peut également comparer des échos successifs reçus du même objet, en mesurant
simplement le décalage temporel entre ces échos. Calculer le décalage temporel entre les  Exercice 1.4. Corde excitée de façon sinusoïdale*
deux échos successifs reçus de l’avion ci-dessus, et commenter. L’extrémité S d’une corde élastique est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement
4. Enfin une autre méthode consiste à envoyer les impulsions toujours avec la même phase oscillatoire vertical, sinusoïdal, de fréquence f = 100 Hz et d’amplitude Y = 4 mm. Chaque m
initiale, et à déterminer le déphasage entre deux échos successifs. point de la corde est repéré par son abscisse x et son élongation verticale y dans le repère (Oxyz),
Déterminer ce déphasage φ, en fonction de la vitesse v dont s’éloigne l’objet selon la ligne O désignant la position d’équilibre de S. Le mouvement de S débute à l’instant t = 0 : S est alors
de visée, de la durée T, et de la longueur d’onde λ. à sa position d’équilibre et se déplace vers le haut. Un dispositif amortisseur placé à l’autre
1Faire l’application numérique pour v  300 m s et commenter. extrémité de la corde empêche la réflexion de l’onde issue de S.
PROPaga TION D’uN sIgNaL 13 nn  12 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
1. Calculer la période temporelle T du signal.  Exercice 1.6. Ondes électromagnétiques

Les antennes qui émettent des ondes électromagnétiques dans l’espace, ou qui les reçoivent,
2. Déterminer la relation entre la fréquence f, la longueur d’onde λ et la célérité c des ondes le
doivent avoir une longueur de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde λ des ondes émises : on
long de la corde.
choisit généralement un sous-multiple comme λ4 , λ8 …
3. La plus petite distance entre deux points vibrant en opposition de phase étant d = 6,0 cm, en 1. Pour transmettre la radio, on pourrait envisager d’émettre des signaux électromagnétiques
déduire la longueur d’onde λ et la célérité c. ayant les mêmes fréquences que les sons audibles (audiofréquences), entre 20 Hz et 20 kHz.

Calculer les longueurs d’onde dans l’air (assimilable au vide) de telles ondes 4. On considère maintenant un point M de la corde, d’abscisse x = 24 cm. M
électromagnétiques, et montrer que la taille des antennes serait irréalisable. a) Calculer le retard de l’onde en M par rapport à S.
2. On transforme alors ces signaux par un procédé appelé modulation de fréquence (FM), qui b) D’après cette valeur, comparer les mouvements des points S et M.
leur donne des fréquences beaucoup plus élevées, entre 87,5 MHz et 108 MHz. Calculer les
5. On étudie maintenant la corde globalement à l’instant t = 40 ms. Représenter précisément 1 longueurs d’onde dans l’air des ondes de radio FM, et en déduire l’ordre de grandeur de la
l’aspect de la corde à cet instant. taille des antennes nécessaires.
3. Voyez-vous une autre raison pour laquelle les stations de radio ne pourraient pas émettre
 Exercice 1.5. Vagues à la surface de l’eau* dans le domaine des audiofréquences ?
À la surface d’une cuve à ondes, un petit vibreur, oscillant à la fréquence f = 20 Hz, crée une 81 Donnée : célérité des ondes électromagnétiques dans le vide c 3,0010 m s .
onde circulaire. À un instant choisi comme origine (t = 0) on a pris la photo suivante.
 Interférences et diffraction
 Exercice 1.7. Réflexion sur l’extrémité d’une corde**
Une corde AB a son extrémité B fixe
et son extrémité A actionnée
transversalement par un vibreur de
fréquence f = 100 Hz.
x O La célérité des ondes transversales
1sur la corde est c  5 s .


1. L’onde progressive sinusoïdale se propage de A vers B, dans le sens des x croissants. Dans le
repère (Oxyz), d’origine O choisie en un point quelconque de la corde, l’équation horaire de O
1. Déterminer la longueur d’onde, et en déduire la célérité de cette onde à la surface de l’eau.
est yt ( )  a cosωt , a étant l’amplitude, supposée constante tout le long de la corde. O
2. Quelle serait l’allure de la photo aux instants t = 100 ms et t = 125 ms ? 1 2 a) Donner l’équation horaire yt () d’un point M de la corde, d’abscisse x. M
3. En supposant que cette onde est sinusoïdale, donner l’expression de la hauteur d’eau pour les b) Déterminer la pulsation temporelle k et la longueur d’onde λ.

points de l’axe (Ox), soit z(xt,) , pour x > 0 et pour x < 0.
2. L’onde se réfléchit en B en subissant un déphasage φ. Pour simplifier, on prendra maintenant

l’origine du repère en B. 4. En réalité l’amplitude Z de l’onde ne reste pas constante lors de sa propagation : elle m
a) Exprimer les élongations yt () due à l’onde incidente et yt () due à l’onde réfléchie, et Bi Brdiminue lorsqu’on s’éloigne du point origine O, car son énergie est répartie sur un domaine
montrer que φ = π. de plus en plus grand. Sachant que la densité d’énergie transportée par l’onde est
proporb) Pour un point M d’abscisse x (négative), exprimer yt () et y ()t , puis l’élongation tionnelle au carré de l’amplitude, proposer une expression de Z en un point M en fonction M i M rm
yt () résultant de la superposition des deux ondes. de r = OM s’il n’y a aucune perte d’énergie, et modifier les expressions de la question 3. M
c) Montrer que certains points, appelés nœuds de vibration, n’oscillent pas du tout. Interpréter
ce fait à l’aide de la notion de déphasage entre les ondes incidente et réfléchie.
nn 14 Cha PITRE 1  14 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 15  
m2
1. Calculer la période temporelle T du signal.  Exercice 1.6. Ondes électromagnétiques

Les antennes qui émettent des ondes électromagnétiques dans l’espace, ou qui les reçoivent,
2. Déterminer la relation entre la fréquence f, la longueur d’onde λ et la célérité c des ondes le
doivent avoir une longueur de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde λ des ondes émises : on
long de la corde.
choisit généralement un sous-multiple comme λ4 , λ8 …
3. La plus petite distance entre deux points vibrant en opposition de phase étant d = 6,0 cm, en 1. Pour transmettre la radio, on pourrait envisager d’émettre des signaux électromagnétiques
déduire la longueur d’onde λ et la célérité c. ayant les mêmes fréquences que les sons audibles (audiofréquences), entre 20 Hz et 20 kHz.

Calculer les longueurs d’onde dans l’air (assimilable au vide) de telles ondes 4. On considère maintenant un point M de la corde, d’abscisse x = 24 cm. M
électromagnétiques, et montrer que la taille des antennes serait irréalisable. a) Calculer le retard de l’onde en M par rapport à S.
2. On transforme alors ces signaux par un procédé appelé modulation de fréquence (FM), qui b) D’après cette valeur, comparer les mouvements des points S et M.
leur donne des fréquences beaucoup plus élevées, entre 87,5 MHz et 108 MHz. Calculer les
5. On étudie maintenant la corde globalement à l’instant t = 40 ms. Représenter précisément 1 longueurs d’onde dans l’air des ondes de radio FM, et en déduire l’ordre de grandeur de la
l’aspect de la corde à cet instant. taille des antennes nécessaires.
3. Voyez-vous une autre raison pour laquelle les stations de radio ne pourraient pas émettre
 Exercice 1.5. Vagues à la surface de l’eau* dans le domaine des audiofréquences ?
À la surface d’une cuve à ondes, un petit vibreur, oscillant à la fréquence f = 20 Hz, crée une 81 Donnée : célérité des ondes électromagnétiques dans le vide c 3,0010 m s .
onde circulaire. À un instant choisi comme origine (t = 0) on a pris la photo suivante.
 Interférences et diffraction
 Exercice 1.7. Réflexion sur l’extrémité d’une corde**
Une corde AB a son extrémité B fixe
et son extrémité A actionnée
transversalement par un vibreur de
fréquence f = 100 Hz.
x O La célérité des ondes transversales
1sur la corde est c  5 s .


1. L’onde progressive sinusoïdale se propage de A vers B, dans le sens des x croissants. Dans le
repère (Oxyz), d’origine O choisie en un point quelconque de la corde, l’équation horaire de O
1. Déterminer la longueur d’onde, et en déduire la célérité de cette onde à la surface de l’eau.
est yt ( )  a cosωt , a étant l’amplitude, supposée constante tout le long de la corde. O
2. Quelle serait l’allure de la photo aux instants t = 100 ms et t = 125 ms ? 1 2 a) Donner l’équation horaire yt () d’un point M de la corde, d’abscisse x. M
3. En supposant que cette onde est sinusoïdale, donner l’expression de la hauteur d’eau pour les b) Déterminer la pulsation temporelle k et la longueur d’onde λ.

points de l’axe (Ox), soit z(xt,) , pour x > 0 et pour x < 0.
2. L’onde se réfléchit en B en subissant un déphasage φ. Pour simplifier, on prendra maintenant

l’origine du repère en B. 4. En réalité l’amplitude Z de l’onde ne reste pas constante lors de sa propagation : elle m
a) Exprimer les élongations yt () due à l’onde incidente et yt () due à l’onde réfléchie, et Bi Brdiminue lorsqu’on s’éloigne du point origine O, car son énergie est répartie sur un domaine
montrer que φ = π. de plus en plus grand. Sachant que la densité d’énergie transportée par l’onde est
proporb) Pour un point M d’abscisse x (négative), exprimer yt () et y ()t , puis l’élongation tionnelle au carré de l’amplitude, proposer une expression de Z en un point M en fonction M i M rm
yt () résultant de la superposition des deux ondes. de r = OM s’il n’y a aucune perte d’énergie, et modifier les expressions de la question 3. M
c) Montrer que certains points, appelés nœuds de vibration, n’oscillent pas du tout. Interpréter
ce fait à l’aide de la notion de déphasage entre les ondes incidente et réfléchie.
PROPaga TION D’uN sIgNaL 15 nn  14 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
m2
 Exercice 1.8. Expérience de Young*  Exercice 1.10. Le laser au quotidien
Le génial savant britannique Thomas YOUNG réalisa en 1803 une expérience clé pour établir la Si vous regardez aujourd’hui des DVD, naviguez sur le Web, scannez les codes barres, et si
nature ondulatoire de la lumière : ayant séparé en deux un mince faisceau de lumière, il observa certain(e)s peuvent se passer de leurs lunettes, c’est grâce à l’invention du laser, il y a 50 ans.
sur un écran des franges d’interférences résultant de la superposition des deux faisceaux Intéressons-nous aux lecteurs CD et DVD qui ont envahi notre quotidien. La nouvelle génération
obtenus. L’expérience a ensuite été perfectionnée en utilisant deux trous percés dans un écran. de lecteurs comporte un laser bleu (le Blu-ray) dont la technologie utilise une diode laser
Considérons les deux trous S et S percés dans un écran confondu avec le plan (O'xy), et fonctionnant à une longueur d’onde  = 405 nm dans le vide, d’une couleur bleue (en fait 1 2 B
séparés d’une distance a. Ces deux trous étant éclairés par un faisceau de lumière parallèle à violacée) pour lire et écrire les données. Les CD et les DVD conventionnels utilisent
l’axe (Oz), ils se comportent comme deux sources lumineuses ponctuelles émettant en phase. La respectivement des lasers infrarouges et rouges.
longueur d’onde de la lumière est λ. On observe la figure d’interférences sur un écran (Oxy). Les disques Blu-ray fonctionnent d’une manière similaire à celle des CD et des DVD, mais la
lumière écran percé longueur d’onde différente du laser d’un lecteur Blu-ray permet de stocker plus de données sur x x écran
incidente de deux trous un disque de même taille (12 cm de diamètre), la taille minimale du point sur lequel le laser d’observation
grave l’information étant limitée par la diffraction.
M Pour stocker davantage encore d’informations sur un disque, les laboratoires de recherche S 1
travaillent sur la mise au point d’un laser ultraviolet.
O'
a Côté étiquette Côté étiquette Côté étiquette O z
zone
non gravée disque S2
y y zone gravée
D

ax
La différence de marche en M (,x y) est δ S MSM pour aD≪ , xD≪ et yD≪ . 21
D l a ser
1. À quel phénomène est due la déviation de la lumière lors de son passage dans chaque trou ?
2. Exprimer le déphasage φ entre les deux ondes arrivant en un point M de l’écran. Pour quelles
valeurs de φ aura-t-on des interférences constructives ? destructives ? Zoom sur la zone
gravée et le spot 3. On appelle frange sombre un ensemble de points ayant une même valeur de φ, donnant des
laser interférences destructives. Donner l’équation cartésienne d’une frange sombre et en déduire
sa nature géométrique précise.
4. On appelle interfrange la distance notée i entre deux franges sombres. Calculer i pour Simple face 700 MB 4,7 GB 25 GB
Capacité de D  2,5 m, a  2,5 mm et λ  600 nm .
stockage Doubflaece 8,5 GB 50 GB 5. Montrer que le déphasage en x = 0,45 mm vaut 270°. S’agit-il d’une frange sombre, d’une a
frange brillante (intensité maximale) ou d’une frange intermédiaire ? 81 Donnée : on prendra pour la célérité de la lumière dans le vide et dans l’air c 3,0010 m s .

 Exercice 1.9. Ordres de grandeur pour la diffraction 1. a) Quel est le nom du phénomène physique responsable de l’irisation d’un CD ou d’un DVD
Une porte ouverte laisse passer à la fois le son et la lumière, mais ces deux types d’ondes ne se éclairé en lumière blanche ?
comportent pas de la même manière en la traversant. b) Calculer la valeur de la fréquence f de la radiation utilisée dans la technologie Blu-ray.
Considérons une embrasure de porte de largeur L = 60 cm. Une onde plane, soit sonore, soit c) Comparer, d’après les indications du texte, la longueur d’onde du laser Blu-ray à celles des
lumineuse, arrive perpendiculairement au plan de cette ouverture. systèmes CD et DVD.
81  1 On donne les célérités : c 3,0010 m s pour la lumière dans l’air, et c  340 m s pour le
2. On veut déterminer expérimentalement la longueur d’onde λ de la radiation Dson dans l’air à la température considérée. D’autre part, les fréquences des sons audibles sont
monochromatique d’un lecteur DVD. On utilise pour cela le montage ci-dessous, dans lequel un dans l’intervalle [20 Hz ; 20 kHz] tandis que celles de la lumière visible sont dans l’intervalle
faisceau laser est envoyé sur une fente fine de largeur a. On note θ le demi-écart angulaire 14 14[410 Hz ; 8 10 Hz] .
correspondant à la tache centrale de diffraction obtenue sur l’écran.
1. Expliquer pourquoi il faut se placer bien en face de la porte pour voir la lumière.
2. Dans le cas du son, peut-on se placer n’importe où, dans la pièce derrière la porte, pour bien
entendre ?
nn 16 Cha PITRE 1  16 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 17  
0,1 mm
0,6 mm
0,1 mm
1,2 mm

 Exercice 1.8. Expérience de Young*  Exercice 1.10. Le laser au quotidien
Le génial savant britannique Thomas YOUNG réalisa en 1803 une expérience clé pour établir la Si vous regardez aujourd’hui des DVD, naviguez sur le Web, scannez les codes barres, et si
nature ondulatoire de la lumière : ayant séparé en deux un mince faisceau de lumière, il observa certain(e)s peuvent se passer de leurs lunettes, c’est grâce à l’invention du laser, il y a 50 ans.
sur un écran des franges d’interférences résultant de la superposition des deux faisceaux Intéressons-nous aux lecteurs CD et DVD qui ont envahi notre quotidien. La nouvelle génération
obtenus. L’expérience a ensuite été perfectionnée en utilisant deux trous percés dans un écran. de lecteurs comporte un laser bleu (le Blu-ray) dont la technologie utilise une diode laser
Considérons les deux trous S et S percés dans un écran confondu avec le plan (O'xy), et fonctionnant à une longueur d’onde  = 405 nm dans le vide, d’une couleur bleue (en fait 1 2 B
séparés d’une distance a. Ces deux trous étant éclairés par un faisceau de lumière parallèle à violacée) pour lire et écrire les données. Les CD et les DVD conventionnels utilisent
l’axe (Oz), ils se comportent comme deux sources lumineuses ponctuelles émettant en phase. La respectivement des lasers infrarouges et rouges.
longueur d’onde de la lumière est λ. On observe la figure d’interférences sur un écran (Oxy). Les disques Blu-ray fonctionnent d’une manière similaire à celle des CD et des DVD, mais la
lumière écran percé longueur d’onde différente du laser d’un lecteur Blu-ray permet de stocker plus de données sur x x écran
incidente de deux trous un disque de même taille (12 cm de diamètre), la taille minimale du point sur lequel le laser d’observation
grave l’information étant limitée par la diffraction.
M Pour stocker davantage encore d’informations sur un disque, les laboratoires de recherche S 1
travaillent sur la mise au point d’un laser ultraviolet.
O'
a Côté étiquette Côté étiquette Côté étiquette O z
zone
non gravée disque S2
y y zone gravée
D

ax
La différence de marche en M (,x y) est δ S MSM pour aD≪ , xD≪ et yD≪ . 21
D l a ser
1. À quel phénomène est due la déviation de la lumière lors de son passage dans chaque trou ?
2. Exprimer le déphasage φ entre les deux ondes arrivant en un point M de l’écran. Pour quelles
valeurs de φ aura-t-on des interférences constructives ? destructives ? Zoom sur la zone
gravée et le spot 3. On appelle frange sombre un ensemble de points ayant une même valeur de φ, donnant des
laser interférences destructives. Donner l’équation cartésienne d’une frange sombre et en déduire
sa nature géométrique précise.
4. On appelle interfrange la distance notée i entre deux franges sombres. Calculer i pour Simple face 700 MB 4,7 GB 25 GB
Capacité de D  2,5 m, a  2,5 mm et λ  600 nm .
stockage Doubflaece 8,5 GB 50 GB 5. Montrer que le déphasage en x = 0,45 mm vaut 270°. S’agit-il d’une frange sombre, d’une a
frange brillante (intensité maximale) ou d’une frange intermédiaire ? 81 Donnée : on prendra pour la célérité de la lumière dans le vide et dans l’air c 3,0010 m s .

 Exercice 1.9. Ordres de grandeur pour la diffraction 1. a) Quel est le nom du phénomène physique responsable de l’irisation d’un CD ou d’un DVD
Une porte ouverte laisse passer à la fois le son et la lumière, mais ces deux types d’ondes ne se éclairé en lumière blanche ?
comportent pas de la même manière en la traversant. b) Calculer la valeur de la fréquence f de la radiation utilisée dans la technologie Blu-ray.
Considérons une embrasure de porte de largeur L = 60 cm. Une onde plane, soit sonore, soit c) Comparer, d’après les indications du texte, la longueur d’onde du laser Blu-ray à celles des
lumineuse, arrive perpendiculairement au plan de cette ouverture. systèmes CD et DVD.
81  1 On donne les célérités : c 3,0010 m s pour la lumière dans l’air, et c  340 m s pour le
2. On veut déterminer expérimentalement la longueur d’onde λ de la radiation Dson dans l’air à la température considérée. D’autre part, les fréquences des sons audibles sont
monochromatique d’un lecteur DVD. On utilise pour cela le montage ci-dessous, dans lequel un dans l’intervalle [20 Hz ; 20 kHz] tandis que celles de la lumière visible sont dans l’intervalle
faisceau laser est envoyé sur une fente fine de largeur a. On note θ le demi-écart angulaire 14 14[410 Hz ; 8 10 Hz] .
correspondant à la tache centrale de diffraction obtenue sur l’écran.
1. Expliquer pourquoi il faut se placer bien en face de la porte pour voir la lumière.
2. Dans le cas du son, peut-on se placer n’importe où, dans la pièce derrière la porte, pour bien
entendre ?
PROPaga TION D’uN sIgNaL 17 nn  16 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
0,1 mm
0,6 mm
0,1 mm
1,2 mm

D   Corrigé des vrai/faux
Écran
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Laser DVD
vrai vrai faux faux vrai faux vrai vrai vrai vrai
θ L
3. Les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide.

4. Elles sont liées par la relation λ  cT .

7. Elle peut être nulle en certains points, mais sera non nulle ailleurs.


6. Seules des ondes de même fréquence donnent lieu au phénomène d’interférences. a) Établir la relation entre θ, L (largeur de la tache centrale de diffraction) et D (distance entre
le fil et l’écran).
On supposera θ suffisamment petit pour considérer tanθθ (avec  en radians).
 Les erreurs classiques b) Donner la relation entre θ, λ et a. D
c) En déduire l’expression de λ en fonction de L, a et D. D – Dans l’étude du profil d’une onde quelconque, non périodique, ne pas
d) Pour la figure de diffraction obtenue avec un laser « DVD », on mesure L = 4,8 cm. confondre les variations en fonction de x, à t donné (aspect global instantané du
On remplace alors le laser « DVD » par le laser utilisé dans le lecteur Blu-ray sans modifier le système) et les variations en fonction de t, à x donné (vibrations locales au cours du
reste du montage, on obtient une tache de diffraction de largeur L′ = 3,0 cm. temps).
À partir de ces deux expériences, calculer la valeur de la longueur d’onde λ de la radiation D – Ne pas confondre les différentes grandeurs caractéristiques d’une onde
monochromatique d’un lecteur DVD et la comparer au résultat de la question 1. c. sinusoïdales ni leurs dimensions (T est un temps, f et ω sont les inverses d’un
temps, λ est une longueur).
– Les interférences ne se produisent qu’entre deux ondes sinusoïdales de même
 Pour vous aider à démarrer nature et de même fréquence : ne pas rechercher d’interférences hors de ces
critères.
Exercice 1.2. La longueur d’onde λ est liée à la fréquence f de ces ondes, et non à la
période T de répétition des impulsions.
Exercice 1.3. Déterminer le retard de ut () par rapport à ut() , et préciser les
valeurs de ce retard donnant deux courbes superposées.
Exercice 1.8. Question 2 : le déphasage des deux ondes en un point est
proportionnel à la différence de marche en ce point.
Exercice 1.9. Question 1 : montrer que l’angle de diffraction est très faible.
nn 18 Cha PITRE 1  18 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 19  
Corrigé
D   Corrigé des vrai/faux
Écran
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Laser DVD
vrai vrai faux faux vrai faux vrai vrai vrai vrai
θ L
3. Les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide.

4. Elles sont liées par la relation λ  cT .

7. Elle peut être nulle en certains points, mais sera non nulle ailleurs.


6. Seules des ondes de même fréquence donnent lieu au phénomène d’interférences. a) Établir la relation entre θ, L (largeur de la tache centrale de diffraction) et D (distance entre
le fil et l’écran).
On supposera θ suffisamment petit pour considérer tanθθ (avec  en radians).
 Les erreurs classiques b) Donner la relation entre θ, λ et a. D
c) En déduire l’expression de λ en fonction de L, a et D. D – Dans l’étude du profil d’une onde quelconque, non périodique, ne pas
d) Pour la figure de diffraction obtenue avec un laser « DVD », on mesure L = 4,8 cm. confondre les variations en fonction de x, à t donné (aspect global instantané du
On remplace alors le laser « DVD » par le laser utilisé dans le lecteur Blu-ray sans modifier le système) et les variations en fonction de t, à x donné (vibrations locales au cours du
reste du montage, on obtient une tache de diffraction de largeur L′ = 3,0 cm. temps).
À partir de ces deux expériences, calculer la valeur de la longueur d’onde λ de la radiation D – Ne pas confondre les différentes grandeurs caractéristiques d’une onde
monochromatique d’un lecteur DVD et la comparer au résultat de la question 1. c. sinusoïdales ni leurs dimensions (T est un temps, f et ω sont les inverses d’un
temps, λ est une longueur).
– Les interférences ne se produisent qu’entre deux ondes sinusoïdales de même
 Pour vous aider à démarrer nature et de même fréquence : ne pas rechercher d’interférences hors de ces
critères.
Exercice 1.2. La longueur d’onde λ est liée à la fréquence f de ces ondes, et non à la
période T de répétition des impulsions.
Exercice 1.3. Déterminer le retard de ut () par rapport à ut() , et préciser les
valeurs de ce retard donnant deux courbes superposées.
Exercice 1.8. Question 2 : le déphasage des deux ondes en un point est
proportionnel à la différence de marche en ce point.
Exercice 1.9. Question 1 : montrer que l’angle de diffraction est très faible.
PROPaga TION D’uN sIgNaL 19 nn  18 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Corrigé
Corri
4. La vitesse est plus grande là où la hauteur d’eau est plus grande, donc vers le haut de la   Corrigé des exercices vague : ainsi le profil à l’avant va s’accentuer petit à petit jusqu’au déferlement de la vague :
_________ Exercice 1.1_______________________________
1. À l’instant t, l’onde s’est déplacée d’une distance ct  330 m , d’où le profil suivant, avec le _________ Exercice 1.2_______________________________
front de l’onde aux alentours de x = 730 m et une queue autour de x = 380 m.
c
1. a) λ  . AN λ 10,3 cm . y(x,0)
f
L’oscillation à l’intérieur de chaque impulsion a une fréquence f, donc une période Tf1 , à imp
ne pas confondre avec la période T séparant deux émissions d’impulsions. Le nombre
τ
d’oscillations pendant la durée τ d’une impulsion est donc : Nf  τ . AN N  2900 . 0 x 100 m 500 m 1000 m Timp
 Méthode 1.1
b) Le temps que met l’onde pour faire un aller-retour entre le radar et un objet détecté à une
86 2. Le front de l’onde, qui est en x = 400 m à l’instant t = 0, atteint l’abscisse x avec un retard f 0 T ct2 d ct 3,0010 6 10Ad  d  450 mdistance d est : t  , d’où . AN d   soit , et de AAx  x 2000  400T f c 2 22t  . Application numérique (AN) : t   3,6 soit t  290 s  4 min 50 s .
c 20 d 12,0 km d 13,5 kmmême et . B C
La diminution progressive des amplitudes des échos est due à l’absorption partielle des ondes  Le facteur 3,6 correspond à la conversion des kilomètres par heure en mètres
par l’air : plus la distance parcourue dans l’air est grande, plus l’onde est atténuée. par seconde. D’autre part, la précision des données ne permet pas de donner plus
c) Le radar ne peut pas détecter les échos tant qu’il émet, donc la détection de ne peut avoir lieu deux chiffres significatifs dans le résultat.

ddqu’à des instants t > τ = 2,0 μs. Cela correspond à des distances d telles que . AN min
3. Déterminons les instants particuliers pour l’onde à l’abscisse x . Le front d’onde arrive avec d 2
x  x d 150 mdf . minun retard t  180 s  3 min . Le sommet, qui était en x  350 m à l’instant t = 0, 0f s
c Δf f  f v Δ f 7   5 10 0,00005 %2. La variation relative de fréquence est . AN xxds ff c farrive en t  170 s  3 min 10 s . Enfin la queue de la vague, qui était en x  50 m à s q
c
81 avec c 3,0010 m s .
xxdq
l’instant t = 0, arrive en t   240 s  4 min . Pour pouvoir détecter l’effet Doppler, avec ce véhicule pourtant très rapide, il faut donc des 0 s
c appareils pouvant mesurer la fréquence avec au moins 7 chiffres significatifs (et même plus si
L’évolution temporelle à l’abscisse x a donc l’allure suivante : d on veut de la précision sur la vitesse), ce qui n’est pas toujours le cas avec les circuits
y(x ,t) d électroniques utilisés.
3. Deux impulsions successives sont séparées d’une durée T. Si l’objet est immobile, les échos
sont aussi séparés de T = 100,0 μs. En revanche, s’il se déplace le calcul est plus compliqué.
– La première impulsion est émise à t  0 alors que l’objet est à une distance d de l’émetteur.
Cette impulsion atteint l’objet à un instant t tel que la distance c t parcourue par l’onde entre 0 1 1
0 t 1 min 2 min 3 min 4 min et t est égale à la distance d  vt séparant l’objet de l’émetteur à t : c t  d  vt soit 1 1 1 11
 L’onde apparaît toujours « à l’envers » quand on compare le graphe temporel à d
t  . Après réflexion sur l’objet, l’impulsion parcourt la même distance pendant la même 1x donné et le graphe spatial à t donné : ici le point considéré monte d’abord très cv
vite, lorsqu’il est atteint par le front de la vague, puis redescend lentement au fur et 2 d
durée dans l’autre sens et revient donc au niveau de l’antenne à l’instant tt 2  . 21à mesure que le « dos » passe. cv
nn 20 Cha PITRE 1  20 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 21  
Corrigé
4. La vitesse est plus grande là où la hauteur d’eau est plus grande, donc vers le haut de la   Corrigé des exercices vague : ainsi le profil à l’avant va s’accentuer petit à petit jusqu’au déferlement de la vague :
_________ Exercice 1.1_______________________________
1. À l’instant t, l’onde s’est déplacée d’une distance ct  330 m , d’où le profil suivant, avec le _________ Exercice 1.2_______________________________
front de l’onde aux alentours de x = 730 m et une queue autour de x = 380 m.
c
1. a) λ  . AN λ 10,3 cm . y(x,0)
f
L’oscillation à l’intérieur de chaque impulsion a une fréquence f, donc une période Tf1 , à imp
ne pas confondre avec la période T séparant deux émissions d’impulsions. Le nombre
τ
d’oscillations pendant la durée τ d’une impulsion est donc : Nf  τ . AN N  2900 . 0 x 100 m 500 m 1000 m Timp
 Méthode 1.1
b) Le temps que met l’onde pour faire un aller-retour entre le radar et un objet détecté à une
86 2. Le front de l’onde, qui est en x = 400 m à l’instant t = 0, atteint l’abscisse x avec un retard f 0 T ct2 d ct 3,0010 6 10Ad  d  450 mdistance d est : t  , d’où . AN d   soit , et de AAx  x 2000  400T f c 2 22t  . Application numérique (AN) : t   3,6 soit t  290 s  4 min 50 s .
c 20 d 12,0 km d 13,5 kmmême et . B C
La diminution progressive des amplitudes des échos est due à l’absorption partielle des ondes  Le facteur 3,6 correspond à la conversion des kilomètres par heure en mètres
par l’air : plus la distance parcourue dans l’air est grande, plus l’onde est atténuée. par seconde. D’autre part, la précision des données ne permet pas de donner plus
c) Le radar ne peut pas détecter les échos tant qu’il émet, donc la détection de ne peut avoir lieu deux chiffres significatifs dans le résultat.

ddqu’à des instants t > τ = 2,0 μs. Cela correspond à des distances d telles que . AN min
3. Déterminons les instants particuliers pour l’onde à l’abscisse x . Le front d’onde arrive avec d 2
x  x d 150 mdf . minun retard t  180 s  3 min . Le sommet, qui était en x  350 m à l’instant t = 0, 0f s
c Δf f  f v Δ f 7   5 10 0,00005 %2. La variation relative de fréquence est . AN xxds ff c farrive en t  170 s  3 min 10 s . Enfin la queue de la vague, qui était en x  50 m à s q
c
81 avec c 3,0010 m s .
xxdq
l’instant t = 0, arrive en t   240 s  4 min . Pour pouvoir détecter l’effet Doppler, avec ce véhicule pourtant très rapide, il faut donc des 0 s
c appareils pouvant mesurer la fréquence avec au moins 7 chiffres significatifs (et même plus si
L’évolution temporelle à l’abscisse x a donc l’allure suivante : d on veut de la précision sur la vitesse), ce qui n’est pas toujours le cas avec les circuits
y(x ,t) d électroniques utilisés.
3. Deux impulsions successives sont séparées d’une durée T. Si l’objet est immobile, les échos
sont aussi séparés de T = 100,0 μs. En revanche, s’il se déplace le calcul est plus compliqué.
– La première impulsion est émise à t  0 alors que l’objet est à une distance d de l’émetteur.
Cette impulsion atteint l’objet à un instant t tel que la distance c t parcourue par l’onde entre 0 1 1
0 t 1 min 2 min 3 min 4 min et t est égale à la distance d  vt séparant l’objet de l’émetteur à t : c t  d  vt soit 1 1 1 11
 L’onde apparaît toujours « à l’envers » quand on compare le graphe temporel à d
t  . Après réflexion sur l’objet, l’impulsion parcourt la même distance pendant la même 1x donné et le graphe spatial à t donné : ici le point considéré monte d’abord très cv
vite, lorsqu’il est atteint par le front de la vague, puis redescend lentement au fur et 2 d
durée dans l’autre sens et revient donc au niveau de l’antenne à l’instant tt 2  . 21à mesure que le « dos » passe. cv
PROPaga TION D’uN sIgNaL 21 nn  20 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Corrigé
Corri
– La deuxième impulsion est émise à t  T alors que l’objet est à une distance l’onde a un retard λ c entre deux de ces maxima. Puisque le retard entre un maximum et le 3
td vt d vT de l’émetteur. Cette impulsion atteint l’objet à un instant tel que la distance 3 4 λ c
suivant est la période temporelle T, on obtient par identification : T  soit f  .
t tct( t )( c t T ) parcourue par l’onde entre et est égale à la distance d  vt séparant λ43 4 3 4 4 c
d  cT  Méthode 1.2
l’objet de l’émetteur à t : c()tT d vt soit t  . Elle revient sur l’antenne après 4 4 4 4
c  v
λ 3λ 5λ
d  cT 2(dc v)T 3. Entre deux points en opposition de phase, la distance peut être , , …
la même durée t  T , donc à l’instant t  t  (tT )2 T . 2 2 24 54 4
c  v cv
λ
λ2 d λ 12 cmcv La plus petite valeur est d  , d’où . AN .
ΔtT– Finalement le décalage temporel recherché est Δt  t  t , soit . 252
cv
c 1c  2 fd c 12 m sOr λ  cT  , donc . AN .
 Notons que pour v  0 , c’est-à-dire pour un objet immobile, on retrouve bien f
ΔtT . xM
Δt  20 ms4. a) M reçoit l’onde avec un retard Δt  . AN .
cAn Δt 100,0 μs avec la précision permise par les données. Pour pouvoir distinguer cette
b) La position de M est telle que SM  42d  λ : M oscille donc en phase avec S. valeur Δt de la valeur T pour un objet immobile, cette méthode nécessiterait également une
5. On constate que t  4T : après 4 périodes, la corde est revenue dans le même état qu’à 1Δt  T 22v v 6précision extrêmement grande :   110 0,0001 % , soit un écart relatif l’instant t = 0, donc à cet instant, S est confondu avec O.
Tc  v c
Une photographie de la corde à cette instant donnerait donc l’allure suivante :
juste deux fois plus grand que dans la méthode précédente. y (mm) M 4. Entre deux impulsions successives, c’est-à-dire sur une durée T, la distance d a augmenté de λ
S 4πv T  π  4 1φ2 kv T φ 1,83 radv T , donc la phase a augmenté de . AN un peu plus de , 1 1  
λ 2 
0 x (cm) 6 12 18 21 24 valeur tout à fait mesurable.
5. Mesurer la vitesse transversale v est beaucoup plus facile : il suffit de repérer sur l’écran On peut hésiter entre deux possibilités pour tracer cette sinusoïde : elle passe par l’origine, mais 2
ensuite est-ce que le début de la courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe ? Or on sait qu’à différentes positions successives de la cible, et de diviser la distance parcourue par la durée.
cet instant, comme à l’instant initial, le point S se déplace vers le haut. Vérifiez que si vous 2 2La norme de la vitesse est alors v  vv . 1 2 déplacez la sinusoïde ci-dessus vers la droite (sens de propagation de l’onde), cela revient bien à
faire monter S.
_________ Exercice 1.3_______________________________
_________ Exercice 1.5_______________________________ 1. L’onde reçue par le microphone a un retard (décalage temporel) Δt  d c par rapport à
l’onde émise par le haut-parleur, donc ut () (en phase avec le signal du microphone) a le même 1. La longueur d’onde est l’écart entre deux maxima consécutifs, donc entre les rayons de deux
cercles clairs successifs sur la photo. Pour plus de précision, on mesure l’écart entre le deuxième retard par rapport à ut() (en phase avec le signal du haut-parleur).
cercle et le sixième (les deux étant bien nets), soit 4 longueurs d’onde : avec l’échelle indiquée Les deux courbes coïncident si leur décalage temporel est un multiple de la période T, soit
1λ  0,90 cm cf λ c 18 cm son trouve un écart e  3,6 cm , d’où . Alors . AN . c1
d  n Δt  d cn T . Comme T  , on en tire la relation : . 1f f 2. La période des ondes est T   0,05 s  50 ms . Donc tT 2 : après un nombre entier de 1
fc 1c  f ()d  d c  330 m s2. L’écart entre d et d vaut donc , d’où . AN . 211 2 périodes, toutes les grandeurs reprennent la même valeur, donc la photo serait identique. f
D’autre part, tT 2,5 : après une demi-période supplémentaire, les maxima deviennent des 2
minima et inversement, donc le contraste de la photo serait inversé (les cercles blancs _________ Exercice 1.4_______________________________
deviendraient noirs et inversement).
1
z(x,t) Z cos(ωtk x φ)1. Par définition : T  . AN T 10 ms . 3. Pour x > 0, l’onde se déplace vers les x croissants : . m
f
z(x,t) Z cos(ωtkx φ)Pour x < 0, l’onde se déplace vers les x décroissants : . m
2. À un instant t donné, l’onde présente des maxima voisins séparés d’une distance λ, donc
nn 22 Cha PITRE 1  22 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 23  
Corrigé
– La deuxième impulsion est émise à t  T alors que l’objet est à une distance l’onde a un retard λ c entre deux de ces maxima. Puisque le retard entre un maximum et le 3
td vt d vT de l’émetteur. Cette impulsion atteint l’objet à un instant tel que la distance 3 4 λ c
suivant est la période temporelle T, on obtient par identification : T  soit f  .
t tct( t )( c t T ) parcourue par l’onde entre et est égale à la distance d  vt séparant λ43 4 3 4 4 c
d  cT  Méthode 1.2
l’objet de l’émetteur à t : c()tT d vt soit t  . Elle revient sur l’antenne après 4 4 4 4
c  v
λ 3λ 5λ
d  cT 2(dc v)T 3. Entre deux points en opposition de phase, la distance peut être , , …
la même durée t  T , donc à l’instant t  t  (tT )2 T . 2 2 24 54 4
c  v cv
λ
λ2 d λ 12 cmcv La plus petite valeur est d  , d’où . AN .
ΔtT– Finalement le décalage temporel recherché est Δt  t  t , soit . 252
cv
c 1c  2 fd c 12 m sOr λ  cT  , donc . AN .
 Notons que pour v  0 , c’est-à-dire pour un objet immobile, on retrouve bien f
ΔtT . xM
Δt  20 ms4. a) M reçoit l’onde avec un retard Δt  . AN .
cAn Δt 100,0 μs avec la précision permise par les données. Pour pouvoir distinguer cette
b) La position de M est telle que SM  42d  λ : M oscille donc en phase avec S. valeur Δt de la valeur T pour un objet immobile, cette méthode nécessiterait également une
5. On constate que t  4T : après 4 périodes, la corde est revenue dans le même état qu’à 1Δt  T 22v v 6précision extrêmement grande :   110 0,0001 % , soit un écart relatif l’instant t = 0, donc à cet instant, S est confondu avec O.
Tc  v c
Une photographie de la corde à cette instant donnerait donc l’allure suivante :
juste deux fois plus grand que dans la méthode précédente. y (mm) M 4. Entre deux impulsions successives, c’est-à-dire sur une durée T, la distance d a augmenté de λ
S 4πv T  π  4 1φ2 kv T φ 1,83 radv T , donc la phase a augmenté de . AN un peu plus de , 1 1  
λ 2 
0 x (cm) 6 12 18 21 24 valeur tout à fait mesurable.
5. Mesurer la vitesse transversale v est beaucoup plus facile : il suffit de repérer sur l’écran On peut hésiter entre deux possibilités pour tracer cette sinusoïde : elle passe par l’origine, mais 2
ensuite est-ce que le début de la courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe ? Or on sait qu’à différentes positions successives de la cible, et de diviser la distance parcourue par la durée.
cet instant, comme à l’instant initial, le point S se déplace vers le haut. Vérifiez que si vous 2 2La norme de la vitesse est alors v  vv . 1 2 déplacez la sinusoïde ci-dessus vers la droite (sens de propagation de l’onde), cela revient bien à
faire monter S.
_________ Exercice 1.3_______________________________
_________ Exercice 1.5_______________________________ 1. L’onde reçue par le microphone a un retard (décalage temporel) Δt  d c par rapport à
l’onde émise par le haut-parleur, donc ut () (en phase avec le signal du microphone) a le même 1. La longueur d’onde est l’écart entre deux maxima consécutifs, donc entre les rayons de deux
cercles clairs successifs sur la photo. Pour plus de précision, on mesure l’écart entre le deuxième retard par rapport à ut() (en phase avec le signal du haut-parleur).
cercle et le sixième (les deux étant bien nets), soit 4 longueurs d’onde : avec l’échelle indiquée Les deux courbes coïncident si leur décalage temporel est un multiple de la période T, soit
1λ  0,90 cm cf λ c 18 cm son trouve un écart e  3,6 cm , d’où . Alors . AN . c1
d  n Δt  d cn T . Comme T  , on en tire la relation : . 1f f 2. La période des ondes est T   0,05 s  50 ms . Donc tT 2 : après un nombre entier de 1
fc 1c  f ()d  d c  330 m s2. L’écart entre d et d vaut donc , d’où . AN . 211 2 périodes, toutes les grandeurs reprennent la même valeur, donc la photo serait identique. f
D’autre part, tT 2,5 : après une demi-période supplémentaire, les maxima deviennent des 2
minima et inversement, donc le contraste de la photo serait inversé (les cercles blancs _________ Exercice 1.4_______________________________
deviendraient noirs et inversement).
1
z(x,t) Z cos(ωtk x φ)1. Par définition : T  . AN T 10 ms . 3. Pour x > 0, l’onde se déplace vers les x croissants : . m
f
z(x,t) Z cos(ωtkx φ)Pour x < 0, l’onde se déplace vers les x décroissants : . m
2. À un instant t donné, l’onde présente des maxima voisins séparés d’une distance λ, donc
PROPaga TION D’uN sIgNaL 23 nn  22 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Corrigé
Corri
4. Au cours de la propagation, une même énergie totale E se répartit sur des cercles de c) Les nœuds sont les points où l’amplitude 2asin(kx) est nulle :
2périmètre 2π r de plus en plus grand, avec une densité de la forme k Z ()r : πλm x  nn  xn  12,5 cmk x  nπ soit avec n entier. AN . nœuds nœuds
k 2 A E2 Zr () E k Z ()r  2πr cte donc l’amplitude est de la forme avec A   cte .  m m D’après la théorie des interférences, deux ondes qui se superposent en un point donnent un 2π kr  
signal nul, c’est-à-dire des interférences destructives, si leur déphasage est un multiple impair de
A π. Vérifions que c’est bien le cas ici pour les abscisses ci-dessus. Il faut écrire les deux signaux z(x,t) cos(ωt kx φ)L’expression de l’onde sur l’axe ( Ox) est donc : pour x > 0, et
x sous la même forme acos(ωtM φ( )) :
A ω x ω x z(x,t)  cos(ωtkx φ) pour x < 0. yt ( )  a cos ωt  d’où φ(M )   ;  iM i
 x  c c
ω x ω x ω x   
y (t)atcos ω  atcos ω  π d’où φ(M )   π .    rM r _________ Exercice 1.6_______________________________  c  c  c
ω xc Le déphasage entre eux est donc φ(M ) φ (MM) φ ( ) 2 π 2kx π . Pour les points 1. λ  . AN 15 km λ15000 km . Il faudrait donc des antennes de plusieurs kilomètres ! r i
cf
ci-dessus, 2k x  2nπ donc on a bien trouvé φ(Mn)  (2 1) π . 2. Cette fois on trouve 2,8 m λ 3,4 m . Les antennes peuvent donc cette fois avoir une taille
de l’ordre du mètre ou de quelques dizaines de centimètres.
_________ Exercice 1.8_______________________________ 3. Si les stations de radio émettaient toutes dans le domaine des audiofréquences, leurs
1. La déviation de la lumière dans toutes les directions par les trous est la diffraction. émissions se mélangeraient et il n’y aurait aucun moyen pour le récepteur de les séparer. Tandis
2. Le déphasage est proportionnel à la différence des chemins parcourus par les deux ondes : que l’émission de chaque station dans son propre domaine de fréquences permet de la séparer
des autres par filtrage (voir chapitre 8). 2π 2πax
φδ k  δ soit φ  . Les interférences sont constructives si φ  2πm , et destructives
λ Dλ
_________ Exercice 1.7_______________________________ si φ  (2m 1) π , avec m entier.
1. a) L’onde se propage vers les x croissants donc elle arrive au point M avec un retard xc 1 λ D2πax 
xm   cte3. D’après la question précédente : φ   (2m 1) π donc . Dans le  x λ D  2 apar rapport au point O : alors yt ( ) acos ω t  . M   c plan (Oxy), une équation de la forme x  cte caractérise une droite parallèle à l’axe (Oy).
La figure d’interférences a donc l’allure ci-contre. x ω 2π f
b) Cette équation horaire peut encore s’écrire y (t)  acos(ω)t  k x en posant k   . M 4. L’interfrange i est la distance entre les franges repérées par m
cc
λ D i 2π c et m 1 , soit i  . AN i  0,60 mm . 1AN k  25 rad  m . La longueur d’onde est λ   . AN λ  25 cm . a
kf
Les franges sont très serrées mais visibles à l’œil nu. y
2. a) L’onde incidente est l’onde précédente, valant yt ( ) acos(ω)t à l’origine B. L’onde Bi 2πaxa φ  270 5. On calcule φ  : on obtient φ  4,7 rad soit réfléchie en B est déphasée de φ, soit yt ( ) acos(ωt  φ) . Or B est fixé, donc son élongation Br λ D
résultant des deux ondes est toujours nulle : yt ( )acos(ωt)acos(ωt φ) 0,t . qui n’est pas multiple de 180° (ou π en radians). En ce point l’intensité n’est donc ni maximale, B
ni minimale : on est sur une frange intermédiaire. Cela impose donc φπ puisque cos(θπ) cosθ , soit yt ( )  acos(ω)t . Br
 x _________ Exercice 1.9_______________________________ b) L’onde incidente est toujours yt ( ) acos ωt  . L’onde réfléchie se propage vers M i   c 1. Au passage à travers une ouverture de largeur L, une onde subit le phénomène de diffraction
λ x qui la fait diverger. La largeur angulaire  de la zone d’intensité importante vérifie sin θ  , les x décroissants donc yt ( )acos ωt . L’élongation résultante est alors : M r  c L 
c c x  x   où λ  est la longueur d’onde, soit sin θ  . y (t)atcos ω  atcos ω  soit y (t)  2asin(kx)sin(ω) t .     MM    Lff c  c   
nn 24 Cha PITRE 1  24 HAPITRE 1 PROPAGATION D’UN SIGNAL 25  
Corrigé



4. Au cours de la propagation, une même énergie totale E se répartit sur des cercles de c) Les nœuds sont les points où l’amplitude 2asin(kx) est nulle :
2périmètre 2π r de plus en plus grand, avec une densité de la forme k Z ()r : πλm x  nn  xn  12,5 cmk x  nπ soit avec n entier. AN . nœuds nœuds
k 2 A E2 Zr () E k Z ()r  2πr cte donc l’amplitude est de la forme avec A   cte .  m m D’après la théorie des interférences, deux ondes qui se superposent en un point donnent un 2π kr  
signal nul, c’est-à-dire des interférences destructives, si leur déphasage est un multiple impair de
A π. Vérifions que c’est bien le cas ici pour les abscisses ci-dessus. Il faut écrire les deux signaux z(x,t) cos(ωt kx φ)L’expression de l’onde sur l’axe ( Ox) est donc : pour x > 0, et
x sous la même forme acos(ωtM φ( )) :
A ω x ω x z(x,t)  cos(ωtkx φ) pour x < 0. yt ( )  a cos ωt  d’où φ(M )   ;  iM i
 x  c c
ω x ω x ω x   
y (t)atcos ω  atcos ω  π d’où φ(M )   π .    rM r _________ Exercice 1.6_______________________________  c  c  c
ω xc Le déphasage entre eux est donc φ(M ) φ (MM) φ () 2 π 2kx π . Pour les points 1. λ  . AN 15 km λ15000 km . Il faudrait donc des antennes de plusieurs kilomètres ! r i
cf
ci-dessus, 2k x  2nπ donc on a bien trouvé φ(Mn)  (2 1) π . 2. Cette fois on trouve 2,8 m λ 3,4 m . Les antennes peuvent donc cette fois avoir une taille
de l’ordre du mètre ou de quelques dizaines de centimètres.
_________ Exercice 1.8_______________________________ 3. Si les stations de radio émettaient toutes dans le domaine des audiofréquences, leurs
1. La déviation de la lumière dans toutes les directions par les trous est la diffraction. émissions se mélangeraient et il n’y aurait aucun moyen pour le récepteur de les séparer. Tandis
2. Le déphasage est proportionnel à la différence des chemins parcourus par les deux ondes : que l’émission de chaque station dans son propre domaine de fréquences permet de la séparer
des autres par filtrage (voir chapitre 8). 2π 2πax
φδ k  δ soit φ  . Les interférences sont constructives si φ  2πm , et destructives
λ Dλ
_________ Exercice 1.7_______________________________ si φ  (2m 1) π , avec m entier.
1. a) L’onde se propage vers les x croissants donc elle arrive au point M avec un retard xc 1 λ D2πax 
xm   cte3. D’après la question précédente : φ   (2m 1) π donc . Dans le  x λ D  2 apar rapport au point O : alors yt ( ) acos ω t  . M   c plan (Oxy), une équation de la forme x  cte caractérise une droite parallèle à l’axe (Oy). 
La figure d’interférences a donc l’allure ci-contre. x ω 2π f
b) Cette équation horaire peut encore s’écrire y (t)  acos(ω)t  k x en posant k   . M 4. L’interfrange i est la distance entre les franges repérées par m
cc
λ D i 2π c et m 1 , soit i  . AN i  0,60 mm . 1AN k  25 rad  m . La longueur d’onde est λ   . AN λ  25 cm . a
kf
Les franges sont très serrées mais visibles à l’œil nu. y
2. a) L’onde incidente est l’onde précédente, valant yt ( ) acos(ω)t à l’origine B. L’onde Bi 2πaxa φ  270 5. On calcule φ  : on obtient φ  4,7 rad soit réfléchie en B est déphasée de φ, soit yt ( ) acos(ωt  φ) . Or B est fixé, donc son élongation Br λ D
résultant des deux ondes est toujours nulle : yt ( )acos(ωt)acos(ωt φ) 0,t . qui n’est pas multiple de 180° (ou π en radians). En ce point l’intensité n’est donc ni maximale, B
ni minimale : on est sur une frange intermédiaire. Cela impose donc φπ puisque cos(θπ) cosθ , soit yt ( )  acos(ω)t . Br
 x _________ Exercice 1.9_______________________________ b) L’onde incidente est toujours yt ( ) acos ωt  . L’onde réfléchie se propage vers M i   c 1. Au passage à travers une ouverture de largeur L, une onde subit le phénomène de diffraction
λ x qui la fait diverger. La largeur angulaire  de la zone d’intensité importante vérifie sin θ  , les x décroissants donc yt ( )acos ωt . L’élongation résultante est alors : M r  c L 
c c x  x   où λ  est la longueur d’onde, soit sin θ  . y (t)atcos ω  atcos ω  soit y (t)  2asin(kx)sin(ω) t .     MM    Lff c  c   
PROPaga TION D’uN sIgNaL 25 nn  24 CHAPITRE 1 PROPAGA’U SIGA 
Corrigé
Corri



7 6Faisons l’application numérique pour des ondes lumineuses : 6,110  sinθ1,2 10 soit le
même encadrement pour  (en radians). La diffraction de la lumière est donc quasi nulle, et
toute l’onde continue dans la direction incidente : il faut donc se placer en face de la porte pour
être éclairé(e).

2. Faisons l’application numérique pour des ondes sonores. Pour les sons les plus aigus (20
kHz) on trouve sinθ  0,028 , soit θ 1,6  : les sons très aigus sont donc très peu diffractés. En
revanche l’angle augmente lorsque la fréquence diminue, et on trouve par exemple sin θ  0,5 ,
soit θ  60  , pour une fréquence de l’ordre de 1 kHz, correspondant à la voix humaine : ce type
de son est donc très largement diffracté par la porte, et on peut donc bien entendre en n’étant pas
en face de la porte. Quant aux fréquences les plus basses, la formule précédente n’est plus
valable puisqu’elle donne sin θ1 : l’onde est donc diffractée uniformément dans tout l’espace,
et on peut se placer n’importe où dans la pièce suivante pour entendre distinctement les sons
graves.
_________ Exercice 1.10 _____________________________
1. a) L’irisation de la lumière à la surface d’un CD ou d’un DVD est due à la diffraction de la
lumière par les fines rainures de la surface, qui constituent ce qu’on appelle un résea u.
c c 14b) λ  d’où f  . AN f 7,4110 Hz 741 THz .
λf B
c) On ne dispose pas de valeur numériques, mais les CD et DVD utilisant des lasers infrarouges
et rouges, leurs longueurs d’onde sont supérieures à celle du Blu-ray.
L 2 L
2. a) On voit un triangle rectangle dans lequel on peut écrire : tan θ  , soit θ 
D 2 D
compte tenu de l’approximation indiquée.
λ
b) Dans une figure de diffraction, la largeur angulaire de la tache centrale vérifie sin θ  , soit
a
λDici θ  .
a
aL
c) En combinant les deux on obtient λ  . D
2 D
aL L
d) λ  donc en faisant le rapport on obtient λλ  . AN λ  648 nm . B DB D
L 2 D
Comme prévu à la question 1. c, c’est bien une valeur supérieure à celle du Blu-ray, et qui
correspond à une couleur rouge.

nn 26 Cha PITRE 1  26 HAPITRE 1
7 6Faisons l’application numérique pour des ondes lumineuses : 6,110  sinθ1,2 10 soit le
même encadrement pour  (en radians). La diffraction de la lumière est donc quasi nulle, et
toute l’onde continue dans la direction incidente : il faut donc se placer en face de la porte pour
être éclairé(e).

2. Faisons l’application numérique pour des ondes sonores. Pour les sons les plus aigus (20
kHz) on trouve sinθ  0,028 , soit θ 1,6  : les sons très aigus sont donc très peu diffractés. En Chapitre 2
revanche l’angle augmente lorsque la fréquence diminue, et on trouve par exemple sin θ  0,5 ,
soit θ  60  , pour une fréquence de l’ordre de 1 kHz, correspondant à la voix humaine : ce type
de son est donc très largement diffracté par la porte, et on peut donc bien entendre en n’étant pas
en face de la porte. Quant aux fréquences les plus basses, la formule précédente n’est plus Bases de l’optique
valable puisqu’elle donne sin θ1 : l’onde est donc diffractée uniformément dans tout l’espace,
et on peut se placer n’importe où dans la pièce suivante pour entendre distinctement les sons
graves. géométrique
_________ Exercice 1.10 _____________________________
1. a) L’irisation de la lumière à la surface d’un CD ou d’un DVD est due à la diffraction de la
lumière par les fines rainures de la surface, qui constituent ce qu’on appelle un résea u.
c c Willebrord Snell (1580-1626) est un mathématicien 14b) λ  d’où f  . AN f 7,4110 Hz 741 THz .
λ et physicien hollandais. Enfant prodige, il acquiert f B
bientôt une immense culture dans le domaine c) On ne dispose pas de valeur numériques, mais les CD et DVD utilisant des lasers infrarouges
scientifque. Il rencontre les plus grands savants et rouges, leurs longueurs d’onde sont supérieures à celle du Blu-ray.
de son époque et se lance dans des recherches L 2 L
2. a) On voit un triangle rectangle dans lequel on peut écrire : tan θ  , soit θ  dans de nombreux domaines : astronomie, mesure
D 2 D
de la Terre, approximation du nombre π. En optique,
compte tenu de l’approximation indiquée.
il s’intéresse aux miroirs concaves et convexes. Il énonce
λ
la loi de réfraction atribuée en France à Descartes .b) Dans une figure de diffraction, la largeur angulaire de la tache centrale vérifie sin θ  , soit
a
λDici θ  .
a
aL
c) En combinant les deux on obtient λ  . D ■ Un peu d'histoire2 D
aL L Qui a découvert la loi de réfraction de la lumière ? En 984, le mathématicien arabe
d) λ  donc en faisant le rapport on obtient λλ  . AN λ  648 nm . B DB D Ibn Sahl explique, schémas à l’appui, le lien entre l’angle d’incidence et celui de L 2 D
réfraction d’un rayon lumineux. Ses travaux restent totalement inconnus en Occident. Comme prévu à la question 1. c, c’est bien une valeur supérieure à celle du Blu-ray, et qui
Thomas Harriot découvre cete loi en 1602 mais il ne fait aucune publication. Elle est correspond à une couleur rouge.
à nouveau énoncée en 1621 par le mathématicien hollandais Willebrord Snell qui, lui
non plus, n’en fait pas état publiquement. En 1637 René Descartes publie le Discours
de la méthode dans lequel il énonce les principes de la rationalité scientifque. Il le fait
suivre de trois appendices ; le premier est un manuel d’optique dans lequel il énonce
la loi de réfraction, sans connaître les travaux de ses prédécesseurs. Quelques années
plus tard, Pierre de Fermat justife cete loi par le principe du temps minimum de
parcours.
  26 CHAPITRE 1
UN SCIENTIFIQUE  Résumé de cours
 Propagation de la lumière
 Nature de la lumière
– Selon le modèle ondulatoire de la lumière, il s’agit d’une onde électromagnétique, c’est-à-  Objectifs
dire d’une propagation de variations périodiques des champs électrique et magnétique, dans un
milieu matériel ou dans le vide.
 Ce qu’il faut connaître Une lumière monochromatique est décrite par une fonction sinusoïdale de fréquence f. La
14 14lumière visible correspond à l’intervalle 410 Hz f  810 Hz environ. Les autres  Les définitions concernant la lumière (aspects ondulatoire et particulaire), sa
propagation et ses sources fréquences correspondent à d’autres types d’ondes électromagnétiques (voir chapitre 1).
– Un autre modèle, dit particulaire ou corpusculaire, décrit la lumière (et les autres ondes
 Le modèle de l’optique géométrique et ses limites
électromagnétiques) comme un flux de particules appelés photons.
Un photon est une particule de masse nulle, de charge nulle, possédant une énergie E  hf où  Les lois de Snell–Descartes pour la réflexion et la réfraction
34h 6,6310 J s est la constante de Planck et f la fréquence : cette formule relie donc les
 Les définitions concernant les systèmes optiques et la formation d’images
deux modèles. Le modèle particulaire permet notamment d’interpréter les interactions entre
 Les conditions de l’approximation de Gauss et ses conséquences lumière et matière : une particule (électron, molécule…) peut changer de niveau d’énergie en
absorbant ou en émettant un photon.  Le principe de fonctionnement d’une fibre optique
 Indice et longueur d’onde  Ce qu’il faut savoir faire 1– La célérité (vitesse de propagation) de la lumière dans le vide est c  299792458 m s .
 Relier la longueur d’onde dans le vide, celle dans un autre milieu et la couleur c
v Sa célérité dans un milieu transparent quelconque est où n est l’indice de réfraction
n Utiliser les lois de Snell–Descartes pour déterminer des rayons réfléchis
( n 1 ), caractéristique du milieu et dépendant de la fréquence (donc de la longueur d’onde). ou réfractés
n = 1,0003 pour l’air (conditions usuelles), n = 1,33 pour l’eau, n = 1,5 à 1,8 pour les verres.
 Étudier les cas de réfraction limite et réflexion totale – Une lumière monochromatique a une fréquence f déterminée par l’émetteur, et une longueur
v c λ Calculer des angles et des distances avec des formules géométriques 0d’onde λ telle que λ  . La longueur d’onde dans le vide est λ  , donc λ  . 0
nf f
 Construire l’image d’un objet par un miroir plan et identifier sa nature réelle
– Échelle des couleurs : ou virtuelle
violet bleu v e r t jaune orangé r o u g e λ (nm) 0
 Établir les expressions du cône d’acceptance et de la dispersion intermodale
400 450 500 550 600 650 700 750 800 d’une fibre optique

 Approximation de l’optique géométrique
L’optique géométrique modélise la lumière comme un ensemble de rayons lumineux : chaque
rayon est une courbe décrite par la lumière pour aller d’un point à un autre.
Les rayons lumineux sont indépendants les uns des autres ; ceci suppose qu’il n’y a pas
d’interférences (toujours vrai en pratique).
Dans un milieu transparent homogène et isotrope (seul type de milieu envisagé ici), les rayons
sont rectilignes ; ceci suppose qu’on évite la diffraction, tous les systèmes étant suffisamment
larges.
BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 29     Résumé de cours
 Propagation de la lumière
 Nature de la lumière
– Selon le modèle ondulatoire de la lumière, il s’agit d’une onde électromagnétique, c’est-à-  Objectifs
dire d’une propagation de variations périodiques des champs électrique et magnétique, dans un
milieu matériel ou dans le vide.
 Ce qu’il faut connaître Une lumière monochromatique est décrite par une fonction sinusoïdale de fréquence f. La
14 14lumière visible correspond à l’intervalle 410 Hz f  810 Hz environ. Les autres  Les définitions concernant la lumière (aspects ondulatoire et particulaire), sa
propagation et ses sources fréquences correspondent à d’autres types d’ondes électromagnétiques (voir chapitre 1).
– Un autre modèle, dit particulaire ou corpusculaire, décrit la lumière (et les autres ondes
 Le modèle de l’optique géométrique et ses limites
électromagnétiques) comme un flux de particules appelés photons.
Un photon est une particule de masse nulle, de charge nulle, possédant une énergie E  hf où  Les lois de Snell–Descartes pour la réflexion et la réfraction
34h 6,6310 J s est la constante de Planck et f la fréquence : cette formule relie donc les
 Les définitions concernant les systèmes optiques et la formation d’images
deux modèles. Le modèle particulaire permet notamment d’interpréter les interactions entre
 Les conditions de l’approximation de Gauss et ses conséquences lumière et matière : une particule (électron, molécule…) peut changer de niveau d’énergie en
absorbant ou en émettant un photon.  Le principe de fonctionnement d’une fibre optique
 Indice et longueur d’onde  Ce qu’il faut savoir faire 1– La célérité (vitesse de propagation) de la lumière dans le vide est c  299792458 m s .
 Relier la longueur d’onde dans le vide, celle dans un autre milieu et la couleur c
v Sa célérité dans un milieu transparent quelconque est où n est l’indice de réfraction
n Utiliser les lois de Snell–Descartes pour déterminer des rayons réfléchis
( n 1 ), caractéristique du milieu et dépendant de la fréquence (donc de la longueur d’onde). ou réfractés
n = 1,0003 pour l’air (conditions usuelles), n = 1,33 pour l’eau, n = 1,5 à 1,8 pour les verres.
 Étudier les cas de réfraction limite et réflexion totale – Une lumière monochromatique a une fréquence f déterminée par l’émetteur, et une longueur
v c λ Calculer des angles et des distances avec des formules géométriques 0d’onde λ telle que λ  . La longueur d’onde dans le vide est λ  , donc λ  . 0
nf f
 Construire l’image d’un objet par un miroir plan et identifier sa nature réelle
– Échelle des couleurs : ou virtuelle
violet bleu v e r t jaune orangé r o u g e λ (nm) 0
 Établir les expressions du cône d’acceptance et de la dispersion intermodale
400 450 500 550 600 650 700 750 800 d’une fibre optique

 Approximation de l’optique géométrique
L’optique géométrique modélise la lumière comme un ensemble de rayons lumineux : chaque
rayon est une courbe décrite par la lumière pour aller d’un point à un autre.
Les rayons lumineux sont indépendants les uns des autres ; ceci suppose qu’il n’y a pas
d’interférences (toujours vrai en pratique).
Dans un milieu transparent homogène et isotrope (seul type de milieu envisagé ici), les rayons
sont rectilignes ; ceci suppose qu’on évite la diffraction, tous les systèmes étant suffisamment
larges.
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 29 nnBASES DE ’QUE GÉOÉTQU  Ces lois ont pour conséquence la loi de retour inverse de la lumière : le trajet suivi par la  Sources de lumière
lumière pour aller d’un point A à un point B est le même que celui suivi pour aller de B à A.
 Types de sources Remarques
– Les sources de lumière blanche (lampes à incandescence, à LED blanche…) ont un spectre – Lorsque le rayon réfracté est présent, on néglige souvent le rayon réfléchi.
continu (constitué de toutes les fréquences dans l’intervalle du visible, et même au-delà). – Si la surface est un miroir, il n’y a pas de rayon réfracté.
– Les lampes spectrales (notamment à vapeur métallique : mercure, sodium…) ont un spectre
caractéristique de l’élément chimique, qui peut être considéré comme d is cret (constitué  Réfraction limite et réflexion totale
seulement de quelques fréquences distinctes). – Si nn , il y a toujours un rayon réfracté (en plus du rayon réfléchi). 21
– Les lasers émettent une lumière qui peut être considérée comme monochromatique.
– Si nn , le rayon réfracté n’existe que lorsque l’angle i est inférieur à une valeur limite, 21 1
n Modèle de la source ponctuelle monochromatique π 2notée i : celle-ci correspond au cas où i  , soit i  arcsin . limlim 2  Une source de lumière est en général étendue (elle présente une certaine surface). Mais elle peut 2 n 1
être m o d él isé e comme un ensemble de sources ponctuelles. Lorsque ii , il n’y a pas de réfraction, il y a donc réflexion totale. 1 limDe plus on se limitera, si nécessaire, à des sources ponctuelles monochromatiques.
 Méthode 2.1. Déterminer un rayon réfracté et étudier la réfraction limite
 Application : fibre optique  Réflexion et réfraction
Une application du phénomène de réflexion totale est la fibre optique à saut d’indice : un fil
cylindrique transparent constitué d’un cœur d’indice n entouré d’une gaine d’indice nn . c gc Description
gaine d’indice n Lorsqu’un rayon lumineux, dit incident, arrive sur un dioptre (interface entre deux milieux g
indice n 0d’indices différents), il donne naissance en général à un rayon réfléchi (dans le milieu initial) et
à un rayon transmis ou réfracté (dans le second milieu).
cœur d’indice n θ cÀ partir du point d’intersection entre le rayon incident et le dioptre, on définit la normale, droite
orthogonale au dioptre. Cette normale et le rayon incident définissent le plan d’incidence.
θθ– Tout rayon pénétrant dans la fibre avec un angle sera guidé par réflexion interne : a Lois de Snell–Descartes
l’angle maximal θ caractérise le cône d’acceptance de la fibre. Son ouverture numérique est a1. Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence.
22on sinθ où n est l’indice du milieu extérieur. Le calcul donne o  n n .   2. L’angle i de réflexion est : ii  (ou bien i i avec des angles non orientés). n0 a 0 n cg1 11 11
3. L’angle i de réfraction est lié à l’angle i d’incidence par : n sini n sini . – Lors du guidage d’un faisceau lumineux dans une fibre optique de longueur donnée, tous les 2 1 1 1 2 2
rayons n’ont pas la même durée de trajet : on appelle dispersion intermodale la différence de rayon rayon
temps Δτ entre les rayons les plus lents et les rayons les plus rapides. Pour une bonne incident réfléchi
transmission de l’information, Δτ ne doit pas être trop élevée.
i 1  Méthode 2.2. Établir l’expression de l’ouverture numérique d’une fibre optique i plan 1 milieu
tangent d’indice n 1
 Formation d’images par un système optique
milieu
 Système optique d’indice n 2dioptre Un système optique est un ensemble de dioptres et/ou de miroirs, qui modifie la trajectoire des
rayons lumineux. Son rôle est de donner une image d’un objet. i 2 rayon normale
réfracté  Stigmatisme, objets et images
Les expressions avec des angles orientés montrent que le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont Une intersection d’un grand nombre de rayons incidents, ou de leurs prolongements, est appelée
de l’autre côté de la normale, par rapport au rayon incident. point objet. Il est réel si les rayons sont vraiment issus de ce point, et virtuel si seuls les

nn 30 Cha PITRE 2  30 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 31   Ces lois ont pour conséquence la loi de retour inverse de la lumière : le trajet suivi par la  Sources de lumière
lumière pour aller d’un point A à un point B est le même que celui suivi pour aller de B à A.
 Types de sources Remarques
– Les sources de lumière blanche (lampes à incandescence, à LED blanche…) ont un spectre – Lorsque le rayon réfracté est présent, on néglige souvent le rayon réfléchi.
continu (constitué de toutes les fréquences dans l’intervalle du visible, et même au-delà). – Si la surface est un miroir, il n’y a pas de rayon réfracté.
– Les lampes spectrales (notamment à vapeur métallique : mercure, sodium…) ont un spectre
caractéristique de l’élément chimique, qui peut être considéré comme d is cret (constitué  Réfraction limite et réflexion totale
seulement de quelques fréquences distinctes). – Si nn , il y a toujours un rayon réfracté (en plus du rayon réfléchi). 21
– Les lasers émettent une lumière qui peut être considérée comme monochromatique.
– Si nn , le rayon réfracté n’existe que lorsque l’angle i est inférieur à une valeur limite, 21 1
n Modèle de la source ponctuelle monochromatique π 2notée i : celle-ci correspond au cas où i  , soit i  arcsin . limlim 2  Une source de lumière est en général étendue (elle présente une certaine surface). Mais elle peut 2 n 1
être m o d él isé e comme un ensemble de sources ponctuelles. Lorsque ii , il n’y a pas de réfraction, il y a donc réflexion totale. 1 limDe plus on se limitera, si nécessaire, à des sources ponctuelles monochromatiques.
 Méthode 2.1. Déterminer un rayon réfracté et étudier la réfraction limite
 Application : fibre optique  Réflexion et réfraction
Une application du phénomène de réflexion totale est la fibre optique à saut d’indice : un fil
cylindrique transparent constitué d’un cœur d’indice n entouré d’une gaine d’indice nn . c gc Description
gaine d’indice n Lorsqu’un rayon lumineux, dit incident, arrive sur un dioptre (interface entre deux milieux g
indice n 0d’indices différents), il donne naissance en général à un rayon réfléchi (dans le milieu initial) et
à un rayon transmis ou réfracté (dans le second milieu).
cœur d’indice n θ cÀ partir du point d’intersection entre le rayon incident et le dioptre, on définit la normale, droite
orthogonale au dioptre. Cette normale et le rayon incident définissent le plan d’incidence.
θθ– Tout rayon pénétrant dans la fibre avec un angle sera guidé par réflexion interne : a Lois de Snell–Descartes
l’angle maximal θ caractérise le cône d’acceptance de la fibre. Son ouverture numérique est a1. Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence.
22on sinθ où n est l’indice du milieu extérieur. Le calcul donne o  n n .   2. L’angle i de réflexion est : ii  (ou bien i i avec des angles non orientés). n0 a 0 n cg1 11 11
3. L’angle i de réfraction est lié à l’angle i d’incidence par : n sini n sini . – Lors du guidage d’un faisceau lumineux dans une fibre optique de longueur donnée, tous les 2 1 1 1 2 2
rayons n’ont pas la même durée de trajet : on appelle dispersion intermodale la différence de rayon rayon
temps Δτ entre les rayons les plus lents et les rayons les plus rapides. Pour une bonne incident réfléchi
transmission de l’information, Δτ ne doit pas être trop élevée.
i 1  Méthode 2.2. Établir l’expression de l’ouverture numérique d’une fibre optique i plan 1 milieu
tangent d’indice n 1
 Formation d’images par un système optique
milieu
 Système optique d’indice n 2dioptre Un système optique est un ensemble de dioptres et/ou de miroirs, qui modifie la trajectoire des
rayons lumineux. Son rôle est de donner une image d’un objet. i 2 rayon normale
réfracté  Stigmatisme, objets et images
Les expressions avec des angles orientés montrent que le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont Une intersection d’un grand nombre de rayons incidents, ou de leurs prolongements, est appelée
de l’autre côté de la normale, par rapport au rayon incident. point objet. Il est réel si les rayons sont vraiment issus de ce point, et virtuel si seuls les

Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 31 nn  30 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU  prolongements des rayons convergent vers ce point. Des rayons incidents parallèles entre eux
définissent un objet à l’infini (cas limite d’un objet réel ou virtuel).
Après la traversée d’un système optique, on peut envisager deux cas :
– soit les rayons émergents correspondant aux rayons issus de chaque point objet A convergent
vers un point A' ou semblent provenir d’un point A', on dit alors que le système est stigmatique
A′ A A A′ et A' est appelé point image de A ;
– soit ces rayons émergent de façon désordonnée, et le système n’est pas stigmatique.
Pour un système stigmatique, l’image est réelle si les rayons convergent vraiment vers A', et
virtuelle s’ils semblent provenir de A' (leurs prolongements se coupant en A ). Enfin l’image objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle
est à l’infini si les rayons émergents sont parallèles entre eux (cas limite d’une image réelle ou
 Méthode 2.4. Déterminer l’image d’un objet par un miroir plan
virtuelle).
Quelques exemples de combinaisons possibles :
 Systèmes centrés
Définition S S
Un système optique est centré s’il possède un axe de symétrie de révolution, appelé axe
optique. Un rayon incident confondu avec cet axe ne sera donc pas dévié par le système.
objet image objet image De plus, d’après la première loi de Snell–Descartes, un rayon incident contenu dans un plan ponctuel ponctuelle ponctuel ponctuelle
méridien (contenant l’axe) sera ensuite réfracté et/ou réfléchi dans ce plan. réel réelle réel virtuelle
Aplanétisme
Un système centré sera utilisable comme instrument s’il possède la propriété d’aplanétisme : S S
l’image d’un objet plan orthogonal à l’axe optique est également plane et orthogonale à l’axe.
objet image objet Conditions de Gauss
ponctuel ponctuelle ponctuel image Aucun système optique, excepté le miroir plan, n’est rigoureusement stigmatique ; cependant,
virtuel virtuel réelle ponctuelle les grains d’un détecteur (cellules de la rétine, d’une plaque numérique…) ne sont pas ponctuels
virtuelle
mais ont eux-mêmes une certaine largeur, donc un stigmatisme approché est suffisant. objet ponctuel
à l’infini image ponctuelle Pour les systèmes optiques centrés, on peut obtenir un stigmatisme approché en ne laissant
à l’infini S pénétrer dans le système que les rayons paraxiaux, c’est-à-dire rencontrant le système près de
l’axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci. Ce sont les conditions de Gauss, qui se
réalisent pratiquement à l’aide d’un diaphragme et en observant des objets petits et/ou éloignés.
Foyers et plans focaux
Les systèmes optiques centrés, dans les conditions de Gauss, possèdent deux points particuliers :
Un objet réel se trouve donc du côté de la lumière incidente, avant la face d’entrée du système, – le foyer principal objet F dont l’image par le système est à l’infini sur l’axe ;
– le foyer principal image F', image d’un point objet situé sur l’axe et à l’infini. contrairement à un objet virtuel.
Une image réelle se trouve du côté de la lumière émergente, après la face de sortie du système, Si ces deux points sont à l’infini, le système est dit afocal (c’est le cas du miroir plan).
contrairement à une image virtuelle.
Le plan passant par F (resp. F ) et orthogonal à l’axe est le plan focal objet (resp. image).  Méthode 2.3. Calculer des distances à partir des angles

– D’après la propriété d’aplanétisme, en dehors de F', tout point du plan focal image, appelé
 Exemple du miroir plan foyer image secondaire, est l’image d’un point objet situé à l’infini mais hors de l’axe.
Le miroir plan est un exemple simple de système optique. – De même, en dehors de F, tout point du plan focal objet, appelé foyer objet secondaire, a
L’image d’un point objet A par un miroir plan est un point image A′ symétrique de A par rapport son image à l’infini mais hors de l’axe.
au miroir. Si A est réel, A′ est virtuelle ; si A est virtuel, A′ est réelle.

nn 32 Cha PITRE 2  32 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 33   prolongements des rayons convergent vers ce point. Des rayons incidents parallèles entre eux
définissent un objet à l’infini (cas limite d’un objet réel ou virtuel).
Après la traversée d’un système optique, on peut envisager deux cas :
– soit les rayons émergents correspondant aux rayons issus de chaque point objet A convergent
vers un point A' ou semblent provenir d’un point A', on dit alors que le système est stigmatique
A′ A A A′ et A' est appelé point image de A ;
– soit ces rayons émergent de façon désordonnée, et le système n’est pas stigmatique.
Pour un système stigmatique, l’image est réelle si les rayons convergent vraiment vers A', et
virtuelle s’ils semblent provenir de A' (leurs prolongements se coupant en A ). Enfin l’image objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle
est à l’infini si les rayons émergents sont parallèles entre eux (cas limite d’une image réelle ou
 Méthode 2.4. Déterminer l’image d’un objet par un miroir plan
virtuelle).
Quelques exemples de combinaisons possibles :
 Systèmes centrés
Définition S S
Un système optique est centré s’il possède un axe de symétrie de révolution, appelé axe
optique. Un rayon incident confondu avec cet axe ne sera donc pas dévié par le système.
objet image objet image De plus, d’après la première loi de Snell–Descartes, un rayon incident contenu dans un plan ponctuel ponctuelle ponctuel ponctuelle
méridien (contenant l’axe) sera ensuite réfracté et/ou réfléchi dans ce plan. réel réelle réel virtuelle
Aplanétisme
Un système centré sera utilisable comme instrument s’il possède la propriété d’aplanétisme : S S
l’image d’un objet plan orthogonal à l’axe optique est également plane et orthogonale à l’axe.
objet image objet Conditions de Gauss
ponctuel ponctuelle ponctuel image Aucun système optique, excepté le miroir plan, n’est rigoureusement stigmatique ; cependant,
virtuel virtuel réelle ponctuelle les grains d’un détecteur (cellules de la rétine, d’une plaque numérique…) ne sont pas ponctuels
virtuelle
mais ont eux-mêmes une certaine largeur, donc un stigmatisme approché est suffisant. objet ponctuel
à l’infini image ponctuelle Pour les systèmes optiques centrés, on peut obtenir un stigmatisme approché en ne laissant
à l’infini S pénétrer dans le système que les rayons paraxiaux, c’est-à-dire rencontrant le système près de
l’axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci. Ce sont les conditions de Gauss, qui se
réalisent pratiquement à l’aide d’un diaphragme et en observant des objets petits et/ou éloignés.
Foyers et plans focaux
Les systèmes optiques centrés, dans les conditions de Gauss, possèdent deux points particuliers :
Un objet réel se trouve donc du côté de la lumière incidente, avant la face d’entrée du système, – le foyer principal objet F dont l’image par le système est à l’infini sur l’axe ;
– le foyer principal image F', image d’un point objet situé sur l’axe et à l’infini. contrairement à un objet virtuel.
Une image réelle se trouve du côté de la lumière émergente, après la face de sortie du système, Si ces deux points sont à l’infini, le système est dit afocal (c’est le cas du miroir plan).
contrairement à une image virtuelle.
Le plan passant par F (resp. F ) et orthogonal à l’axe est le plan focal objet (resp. image).  Méthode 2.3. Calculer des distances à partir des angles

– D’après la propriété d’aplanétisme, en dehors de F', tout point du plan focal image, appelé
 Exemple du miroir plan foyer image secondaire, est l’image d’un point objet situé à l’infini mais hors de l’axe.
Le miroir plan est un exemple simple de système optique. – De même, en dehors de F, tout point du plan focal objet, appelé foyer objet secondaire, a
L’image d’un point objet A par un miroir plan est un point image A′ symétrique de A par rapport son image à l’infini mais hors de l’axe.
au miroir. Si A est réel, A′ est virtuelle ; si A est virtuel, A′ est réelle.

Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 33 nn  32 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 

  Méthodes n B g
indice n 0
A i r
n θ c
 Comment utiliser les lois de Snell–Descartes ?

 Méthode 2.1. Déterminer un rayon réfracté et étudier la réfraction Au point B, comme nn , il existe pour l’angle i d’incidence une valeur limite i telle que c g lim
limite
n ng g
sin i  . La condition de réflexion totale s’écrit : sini  (1). lim
n nn n c c1 1– La loi de la réfraction donne sinii sin , d’où i  arcsin sin i . 2 1 2 1  πn n2 2 Au point A, la loi de Snell–Descartes s’écrit : n sin θ  nrsin (2). Or ri  (angles 0 c
2n1– Le rayon réfracté n’existe que si on trouve sin i 1 , donc si sin i 1 ou 2 1 πn2 complémentaires dans le triangle rectangle), donc sin r sin  i  cosi .  
2n2encore sin i  . Cette condition est toujours vérifiée si nn ; mais si nn 1 2 1 2 1 On doit donc déterminer, à partir de la relation (1), une inégalité pour cosi : sachant que n1
2 22n n n  ng g c gn 22 2 22 sin iicos 1, la relation (1) devient : 1cos i d’où cos i1  . alors l’angle incident i ne doit pas dépasser la valeur limite i  arcsin 221 lim   n nnc ccn 1
22n  npour que le rayon réfracté existe. c g 22Finalement : (2) n sin θ n cosin  nn n sin θ . 0 c c c g 0 a2nc
 Exercices 2.4 à 2.6, 2.8 à 2.13, 2.15 22L’ouverture numérique est donc : o  n  n . n c g
Exemple : un rayon lumineux passe de l’eau ( n 1,3 ) vers l’air ( n 1,0 ). Le rayon incident 1 2
forme un angle i  30  avec la normale au dioptre au point d’intersection avec le dioptre. Le 1
 Comment obtenir les relations géométriques cherchées ?
n1rayon réfracté formera avec cette même normale un angle ii arcsin sin  40,6° . 21 
n2  Méthode 2.3. Calculer des distances à partir des angles
n2L’angle limite vaut i  arcsin  50,3° . Les rayons ayant un angle incident supérieur à lim  Les lois de Snell–Descartes ne donnent que des relations entre des angles. Pour n 1 déterminer des distances ou des mesures algébriques, on combine ces lois avec des
cette valeur ne donnent pas naissance à un rayon réfracté : dans ce cas, il y a seulement un rayon relations de trigonométrie, notamment dans des triangles rectangles.
réfléchi et le dioptre se comporte comme un miroir.
 Exercices 2.11, 2.12, 2.13, 2.15  Méthode 2.2. Établir l’expression de l’ouverture numérique d’une fibre
B optique
Dans ce triangle rectangle on peut écrire : – Après avoir défini les trois angles qui interviennent dans les calculs, on écrit la
AC BC BCcondition de réflexion totale sur le dioptre entre le cœur et la gaine, et la loi de la cosα  , sin α  , tan α  .
AB AB ACréfraction au point d’entrée dans la fibre (dioptre entre l’extérieur et le cœur).
α
– On relie géométriquement deux de ces angles, et la combinaison de toutes ces
A C relations fait apparaître l’inégalité cherchée sur l’angle d’entrée.
 Exercice 2.15
nn 34 Cha PITRE 2  34 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 35  
Méthodes

  Méthodes n B g
indice n 0
A i r
n θ c
 Comment utiliser les lois de Snell–Descartes ?

 Méthode 2.1. Déterminer un rayon réfracté et étudier la réfraction Au point B, comme nn , il existe pour l’angle i d’incidence une valeur limite i telle que c g lim
limite
n ng g
sin i  . La condition de réflexion totale s’écrit : sini  (1). lim
n nn n c c1 1– La loi de la réfraction donne sinii sin , d’où i  arcsin sin i . 2 1 2 1  πn n2 2 Au point A, la loi de Snell–Descartes s’écrit : n sin θ  nrsin (2). Or ri  (angles 0 c
2n1– Le rayon réfracté n’existe que si on trouve sin i 1 , donc si sin i 1 ou 2 1 πn2 complémentaires dans le triangle rectangle), donc sin r sin  i  cosi .  
2n2encore sin i  . Cette condition est toujours vérifiée si nn ; mais si nn 1 2 1 2 1 On doit donc déterminer, à partir de la relation (1), une inégalité pour cosi : sachant que n1
2 22n n n  ng g c gn 22 2 22 sin iicos 1, la relation (1) devient : 1cos i d’où cos i1  . alors l’angle incident i ne doit pas dépasser la valeur limite i  arcsin 221 lim   n nnc ccn 1
22n  npour que le rayon réfracté existe. c g 22Finalement : (2) n sin θ n cosin  nn n sin θ . 0 c c c g 0 a2nc
 Exercices 2.4 à 2.6, 2.8 à 2.13, 2.15 22L’ouverture numérique est donc : o  n  n . n c g
Exemple : un rayon lumineux passe de l’eau ( n 1,3 ) vers l’air ( n 1,0 ). Le rayon incident 1 2
forme un angle i  30  avec la normale au dioptre au point d’intersection avec le dioptre. Le 1
 Comment obtenir les relations géométriques cherchées ?
n1rayon réfracté formera avec cette même normale un angle ii arcsin sin  40,6° . 21 
n2  Méthode 2.3. Calculer des distances à partir des angles
n2L’angle limite vaut i  arcsin  50,3° . Les rayons ayant un angle incident supérieur à lim  Les lois de Snell–Descartes ne donnent que des relations entre des angles. Pour n 1 déterminer des distances ou des mesures algébriques, on combine ces lois avec des
cette valeur ne donnent pas naissance à un rayon réfracté : dans ce cas, il y a seulement un rayon relations de trigonométrie, notamment dans des triangles rectangles.
réfléchi et le dioptre se comporte comme un miroir.
 Exercices 2.11, 2.12, 2.13, 2.15  Méthode 2.2. Établir l’expression de l’ouverture numérique d’une fibre
B optique
Dans ce triangle rectangle on peut écrire : – Après avoir défini les trois angles qui interviennent dans les calculs, on écrit la
AC BC BCcondition de réflexion totale sur le dioptre entre le cœur et la gaine, et la loi de la cosα  , sin α  , tan α  .
AB AB ACréfraction au point d’entrée dans la fibre (dioptre entre l’extérieur et le cœur).
α
– On relie géométriquement deux de ces angles, et la combinaison de toutes ces
A C relations fait apparaître l’inégalité cherchée sur l’angle d’entrée.
 Exercice 2.15
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 35 nn  34 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Méthodes
Méthodes
B La formule de la tangente peut aussi s’écrire   Vrai/Faux
avec un angle orienté et des mesures
algébriques :
CB
tan α  . α
AC
A C Vrai Faux
B 1. La lumière se propage plus vite dans l’eau ( n 1,3) que dans l’air eauEnfin on peut écrire la formule des sinus pour   ( n 1,0) . airun triangle quelconque :
2. L’indice d’un milieu homogène transparent et isotrope dépend de la BC CA AB β   .   fréquence de la lumière qui le traverse. α sin α sinβ sin γ γ
3. La lumière solaire peut être considérée comme monochromatique. A C  
4. La lumière d’un laser peut être considérée comme monochromatique.  
 Comment déterminer l’image d’un objet ponctuel par un
5. Lors du passage d’un milieu d’indice faible à un milieu d’indice plus système optique ?   élevé, le rayon se rapproche de la normale.
6. On peut observer un phénomène de réflexion totale lorsqu’un rayon  Méthode 2.4. Déterminer l’image d’un objet par un miroir plan   lumineux passe d’un milieu peu réfringent à un milieu plus réfringent.
7. Lors du phénomène de réflexion, la direction du rayon réfléchi dépend
Tracer au moins trois rayons incidents se coupant en un même point A, réel ou   de la longueur d’onde de la lumière.
virtuel. Construire les rayons réfléchis selon les lois de Snell–Descartes. On
8. Lors du phénomène de réfraction, la direction du rayon réfracté constate que ces rayons, ou leurs prolongements, se coupent en un même point A′,   dépend de la longueur d’onde de la lumière. qui est donc l’image de A. Et les différents triangles symétriques montrent que A′
est le symétrique de A par rapport au plan du miroir. 9. Un système optique centré ne dévie pas les rayons incidents parallèles   à son axe optique.
10. Le foyer principal image F' d’un système optique centré est l’image  Exercice 2.14   par ce système du foyer principal objet F.
A′
ii  2 2
i2 I
i1 A
ii   11

Pour un point objet A réel (faisceau incident divergent), comme ci-dessus, l’image A′ est
l’intersection des prolongements des rayons réfléchis (faisceau réfléchi divergent également),
donc A′ est un point image virtuel. Effectivement, quand on se regarde dans une glace, notre
image est virtuelle : si on mettait un écran là où semble se trouver notre image, c’est-à-dire
derrière le mur où est fixé le miroir, on ne verrait rien sur l’écran !

nn 36 Cha PITRE 2  36 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 37  
B La formule de la tangente peut aussi s’écrire   Vrai/Faux
avec un angle orienté et des mesures
algébriques :
CB
tan α  . α
AC
A C Vrai Faux
B 1. La lumière se propage plus vite dans l’eau ( n 1,3) que dans l’air eauEnfin on peut écrire la formule des sinus pour   ( n 1,0) . airun triangle quelconque :
2. L’indice d’un milieu homogène transparent et isotrope dépend de la BC CA AB β   .   fréquence de la lumière qui le traverse. α sin α sinβ sin γ γ
3. La lumière solaire peut être considérée comme monochromatique. A C  
4. La lumière d’un laser peut être considérée comme monochromatique.  
 Comment déterminer l’image d’un objet ponctuel par un
5. Lors du passage d’un milieu d’indice faible à un milieu d’indice plus système optique ?   élevé, le rayon se rapproche de la normale.
6. On peut observer un phénomène de réflexion totale lorsqu’un rayon  Méthode 2.4. Déterminer l’image d’un objet par un miroir plan   lumineux passe d’un milieu peu réfringent à un milieu plus réfringent.
7. Lors du phénomène de réflexion, la direction du rayon réfléchi dépend
Tracer au moins trois rayons incidents se coupant en un même point A, réel ou   de la longueur d’onde de la lumière.
virtuel. Construire les rayons réfléchis selon les lois de Snell–Descartes. On
8. Lors du phénomène de réfraction, la direction du rayon réfracté constate que ces rayons, ou leurs prolongements, se coupent en un même point A′,   dépend de la longueur d’onde de la lumière. qui est donc l’image de A. Et les différents triangles symétriques montrent que A′
est le symétrique de A par rapport au plan du miroir. 9. Un système optique centré ne dévie pas les rayons incidents parallèles   à son axe optique.
10. Le foyer principal image F' d’un système optique centré est l’image  Exercice 2.14   par ce système du foyer principal objet F.
A′
i  i 2 2
i2 I
i1 A
ii   11

Pour un point objet A réel (faisceau incident divergent), comme ci-dessus, l’image A′ est
l’intersection des prolongements des rayons réfléchis (faisceau réfléchi divergent également),
donc A′ est un point image virtuel. Effectivement, quand on se regarde dans une glace, notre
image est virtuelle : si on mettait un écran là où semble se trouver notre image, c’est-à-dire
derrière le mur où est fixé le miroir, on ne verrait rien sur l’écran !

Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 37 nn  36 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
B
Données : l’indice du verre est donné par la formule de Cauchy : nA  , avec A 1,504 et   Énoncé des exercices 2λ0
15B  4,188 10 unité SI ; l’indice de l’air est n = 1,000. a
 Exercice 2.5. Condition d’émergence
 Indice et longueur d’onde 1. Quelle est la condition pour qu’un rayon passant de l’eau (indice n = 1,33) à l’air eau
(indice n = 1,00) soit réfracté ? air
air  Exercice 2.1. Fréquence et longueur d’onde 2. On place une source de lumière (supposée ponctuelle)
La lumière visible possède des longueurs d’onde dans le vide comprises entre 0,40 et 0,80 μm. au fond d’une piscine remplie d’eau, de profondeur
d eau d = 2,50 m. Donner les dimensions de la zone de la 1. À quel intervalle de fréquences cela correspond-il ?
surface qui sera traversée par des rayons lumineux. 2. Que deviennent ces longueurs d’onde :
A
a) dans l’eau, d’indice n = 1,3 ? b) dans un verre, d’indice n' = 1,5 ?
 Exercice 2.6. Capteur de niveau d’eau 8 -1Donnée : c 3,0010 m s .
On désire connaitre le niveau du liquide dans un château d’eau. Pour
cela on l’équipe d’un capteur optique schématisé sur la figure
ci Exercice 2.2. Longueur d’onde et couleur
contre. L’émetteur (E) est un faisceau laser et le récepteur (R) une
14Un laser émet une radiation lumineuse quasi monochromatique de fréquence f  4,73 10 Hz . photodiode. Cette dernière fournit un signal électrique lorsqu’elle
81 On donne c 3,0010 m s (vitesse de la lumière dans le vide). reçoit de la puissance lumineuse.
L’indice du verre est n = 1,5 ; celui de l’air est 1. 1. Pourquoi qualifie-t-on cette radiation de « quasi monochromatique » ?
1. Montrer que le faisceau laser se réfléchit totalement sur les faces 2. Quelle est la longueur d’onde dans le vide de cette radiation ? Quelle est sa couleur ?
et ressort en (R). 3. On considère maintenant que cette radiation se propage dans un milieu d’indice 1,66.
2. À la place de l’air, il y a maintenant de l’eau d’indice n' = 1,33. Quelle est la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu ?
Le récepteur (R) reçoit il toujours de la lumière ? Quelle est alors la longueur d’onde de la radiation du laser ? Quelle est sa couleur ?
3. Expliquer comment utiliser ce dispositif pour connaitre le niveau
de remplissage du château d’eau.  Exercice 2.3. Loi de Cauchy
D’après G2E La formule de Cauchy, donnant l’indice d’un verre pour une radiation monochromatique de
B
longueur d’onde λ dans le vide, est : n  A  où A et B sont des constantes. 0  Exercice 2.7 Construction de Descartes* 2λ0
On considère un rayon lumineux passant d’un milieu d’indice n  1,5 (verre) à un milieu 1 1. Donner les dimensions de AB et , et leurs unités dans le Système international.
d’indice n  1,0 (air). 2. Des mesures effectuées avec un même verre ont donné : 2
1. a) Faire un schéma du plan d’incidence, avec le milieu 1 en haut, et tracer le rayon incident. n 1,618 pour une radiation rouge de longueur d’onde dans le vide λ  768 nm ; r 0r
On note I le point d’intersection de ce rayon avec le dioptre. n 1,652 pour une radiation violette de longueur d’onde dans le vide λ  434 nm . v 0v
b) Construire dans le milieu 2 deux demi-cercles de même centre I, l’un ( C ) de rayon 1a) Calculer les valeurs de AB et .
proportionnel à n et l’autre ( C ) de rayon proportionnel à n (échelle au choix). 1 2 2b) En déduire la valeur de l’indice pour une radiation jaune telle que λ  589 nm . 0j
Soit J le point d’intersection du prolongement du rayon incident avec C : à partir de J, on trace 1
une droite Δ parallèle à la normale. On note alors K le point d’intersection de Δ avec C : la 2
droite (IK) obtenue donne la direction du rayon réfracté.  Réflexion et réfraction
c) Construire le rayon réfracté selon cette méthode.
 Exercice 2.4. Réfraction et dispersion 2. Démontrer, par des considérations géométriques, qu’on retrouve la loi de Snell–Descartes de
Un rayon lumineux, se propageant dans l’air, arrive avec une incidence i = 40° sur un dioptre la réfraction en utilisant cette construction.
air/verre plan. Si ce rayon est constitué de lumière blanche, calculer l’écart angulaire entre les 3. Montrer, à partir de cette construction, qu’il existe une valeur limite de i au-delà de laquelle
rayons réfractés extrêmes. il n’y a plus de rayon réfracté. Faire la construction de Descartes correspondante. Calculer
cet angle et vérifier qu’on retrouve le résultat donné par les formules.
nn 38 Cha PITRE 2  38 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 39  
B
Données : l’indice du verre est donné par la formule de Cauchy : nA  , avec A 1,504 et   Énoncé des exercices 2λ0
15B  4,188 10 unité SI ; l’indice de l’air est n = 1,000. a
 Exercice 2.5. Condition d’émergence
 Indice et longueur d’onde 1. Quelle est la condition pour qu’un rayon passant de l’eau (indice n = 1,33) à l’air eau
(indice n = 1,00) soit réfracté ? air
air  Exercice 2.1. Fréquence et longueur d’onde 2. On place une source de lumière (supposée ponctuelle)
La lumière visible possède des longueurs d’onde dans le vide comprises entre 0,40 et 0,80 μm. au fond d’une piscine remplie d’eau, de profondeur
d eau d = 2,50 m. Donner les dimensions de la zone de la 1. À quel intervalle de fréquences cela correspond-il ?
surface qui sera traversée par des rayons lumineux. 2. Que deviennent ces longueurs d’onde :
A
a) dans l’eau, d’indice n = 1,3 ? b) dans un verre, d’indice n' = 1,5 ?
 Exercice 2.6. Capteur de niveau d’eau 8 -1Donnée : c 3,0010 m s .
On désire connaitre le niveau du liquide dans un château d’eau. Pour
cela on l’équipe d’un capteur optique schématisé sur la figure
ci Exercice 2.2. Longueur d’onde et couleur
contre. L’émetteur (E) est un faisceau laser et le récepteur (R) une
14Un laser émet une radiation lumineuse quasi monochromatique de fréquence f  4,73 10 Hz . photodiode. Cette dernière fournit un signal électrique lorsqu’elle
81 On donne c 3,0010 m s (vitesse de la lumière dans le vide). reçoit de la puissance lumineuse.
L’indice du verre est n = 1,5 ; celui de l’air est 1. 1. Pourquoi qualifie-t-on cette radiation de « quasi monochromatique » ?
1. Montrer que le faisceau laser se réfléchit totalement sur les faces 2. Quelle est la longueur d’onde dans le vide de cette radiation ? Quelle est sa couleur ?
et ressort en (R). 3. On considère maintenant que cette radiation se propage dans un milieu d’indice 1,66.
2. À la place de l’air, il y a maintenant de l’eau d’indice n' = 1,33. Quelle est la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu ?
Le récepteur (R) reçoit il toujours de la lumière ? Quelle est alors la longueur d’onde de la radiation du laser ? Quelle est sa couleur ?
3. Expliquer comment utiliser ce dispositif pour connaitre le niveau
de remplissage du château d’eau.  Exercice 2.3. Loi de Cauchy
D’après G2E La formule de Cauchy, donnant l’indice d’un verre pour une radiation monochromatique de
B
longueur d’onde λ dans le vide, est : n  A  où A et B sont des constantes. 0  Exercice 2.7 Construction de Descartes* 2λ0
On considère un rayon lumineux passant d’un milieu d’indice n  1,5 (verre) à un milieu 1 1. Donner les dimensions de AB et , et leurs unités dans le Système international.
d’indice n  1,0 (air). 2. Des mesures effectuées avec un même verre ont donné : 2
1. a) Faire un schéma du plan d’incidence, avec le milieu 1 en haut, et tracer le rayon incident. n 1,618 pour une radiation rouge de longueur d’onde dans le vide λ  768 nm ; r 0r
On note I le point d’intersection de ce rayon avec le dioptre. n 1,652 pour une radiation violette de longueur d’onde dans le vide λ  434 nm . v 0v
b) Construire dans le milieu 2 deux demi-cercles de même centre I, l’un ( C ) de rayon 1a) Calculer les valeurs de AB et .
proportionnel à n et l’autre ( C ) de rayon proportionnel à n (échelle au choix). 1 2 2b) En déduire la valeur de l’indice pour une radiation jaune telle que λ  589 nm . 0j
Soit J le point d’intersection du prolongement du rayon incident avec C : à partir de J, on trace 1
une droite Δ parallèle à la normale. On note alors K le point d’intersection de Δ avec C : la 2
droite (IK) obtenue donne la direction du rayon réfracté.  Réflexion et réfraction
c) Construire le rayon réfracté selon cette méthode.
 Exercice 2.4. Réfraction et dispersion 2. Démontrer, par des considérations géométriques, qu’on retrouve la loi de Snell–Descartes de
Un rayon lumineux, se propageant dans l’air, arrive avec une incidence i = 40° sur un dioptre la réfraction en utilisant cette construction.
air/verre plan. Si ce rayon est constitué de lumière blanche, calculer l’écart angulaire entre les 3. Montrer, à partir de cette construction, qu’il existe une valeur limite de i au-delà de laquelle
rayons réfractés extrêmes. il n’y a plus de rayon réfracté. Faire la construction de Descartes correspondante. Calculer
cet angle et vérifier qu’on retrouve le résultat donné par les formules.
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 39 nn  38 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
 Exercice 2.8. Thermomètre*  Exercice 2.10. Arc-en-ciel**
Lorsque le Soleil illumine un rideau de pluie, chaque goutte d’eau constitue une sphère
On considère un thermomètre à colonne de réceptionnant un faisceau de rayons parallèles entre eux. On recherche les conditions pour H mercure mercure, dont l’enveloppe est un cylindre en que la lumière émergente, issue d’une goutte d’eau, se présente sous forme d'un faisceau de
r verre de rayon extérieur R et de rayon intérieur r. lumière parallèle (c’est à cette condition que l’intensité lumineuse sera maximale, donc
r α observable pour l’œil). Pour cela on fait intervenir l’angle de déviation D de la lumière à
Montrer qu’à partir d’une certaine valeur de , M travers la goutte d'eau, mesuré entre le rayon émergent et le rayon incident. Cet angle de R O
déviation D est une fonction de l’angle d'incidence i. On admettra que la condition de un observateur voit le mercure comme s’il
R verre d Dremplissait entièrement un cylindre de rayon R, parallélisme des rayons émergents se traduit mathématiquement par  0 .
c'est-à-dire que l’épaisseur du verre n’est plus di
visible. On pourra utiliser les points O, M, H et 1. Rappeler les lois de Snell–Descartes pour la réfraction d’un rayon lumineux passant de l’air
l’angle α. L’indice du verre est n  1,5 . d r
(milieu d’indice unité) vers un milieu d’indice n. Exprimer la dérivée exclusivement en di
fonction de l’indice n et du sinus de l’angle d’incidence.
 Exercice 2.9. Mesure de l’indice d’un prisme**
2. Une goutte d’eau quelconque, représentée par une sphère de centre O et de rayon R, est On réalise la dispersion de la lumière au moyen d’un prisme en
atteinte par la lumière solaire sous des incidences variables, comprises entre 0° et 90°. Son verre, d’angle A entre ses deux faces utiles, et d’indice de réfraction
indice, pour une radiation donnée, sera noté n tandis que celui de l’air sera pris égal à l’unité. n pour une longueur d’onde donnée. Le milieu extérieur est l’air,
d’indice pris égal à 1. Répondre aux questions a, b, c ci-après pour chacun des trois cas suivants :
– lumière directement transmise (figure 1) ; Soit un rayon parvenant au point I sur la face d’entrée avec un
– lumière transmise après une réflexion partielle à l’intérieur de la goutte (figure 2) ; angle d’incidence i : il émerge par la face de sortie en un point J
avec un angle i'. On note D l’angle mesurant la déviation entre le – lumière transmise après deux réflexions à l’intérieur de la goutte (figure 3).

rayon incident et le rayon émergent.
i K
1 i 1 n r
n r α A
α β D I J R i' i β r r' γ
D1 δ
D Figure 1 Figure 2 2
1. Appliquer la loi de Snell–Descartes en I et J. Établir également les deux relations
géo a) Exprimer en fonction de l’angle d’incidence i ou métriques : Ar  r et D ii  A . (Ces quatre relations sont les formules du prisme.)
γ δ de l’angle de réfraction r, tous les angles marqués 2. Montrer que l’existence du rayon émergent en J dépend d’une condition sur r , puis en
de lettres grecques. déduire une condition sur i. β φ
b) En déduire l’angle de déviation D propre à 3. Montrer que l’existence d’un rayon émergent impose aussi une condition sur A. α
chaque cas, en fonction de i et de r. 4. Pour un prisme en verre flint d’indice n 1,74 , vérifier que l’angle usuel A  60  convient. r ξ c) Rechercher ensuite, si elle existe, une condition Déterminer alors numériquement l’encadrement de i.
d’émergence d’un faisceau parallèle, exprimée i 5. On constate expérimentalement que, lorsqu’on fait varier i de 0° à 90° en tournant le prisme,
par une relation entre le sinus de l’angle la déviation D passe par un minimum unique D . Figure 3 D m 3d’incidence et l’indice n de l’eau.
a) Justifier sans calcul que ce minimum correspond nécessairement à i  i  .
b) Exprimer alors D en fonction de i et A, puis en déduire l’indice n en fonction de D et A. m m
nn 40 Cha PITRE 2  40 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 41  
 Exercice 2.8. Thermomètre*  Exercice 2.10. Arc-en-ciel**
Lorsque le Soleil illumine un rideau de pluie, chaque goutte d’eau constitue une sphère
On considère un thermomètre à colonne de réceptionnant un faisceau de rayons parallèles entre eux. On recherche les conditions pour H mercure mercure, dont l’enveloppe est un cylindre en que la lumière émergente, issue d’une goutte d’eau, se présente sous forme d'un faisceau de
r verre de rayon extérieur R et de rayon intérieur r. lumière parallèle (c’est à cette condition que l’intensité lumineuse sera maximale, donc
r α observable pour l’œil). Pour cela on fait intervenir l’angle de déviation D de la lumière à
Montrer qu’à partir d’une certaine valeur de , M travers la goutte d'eau, mesuré entre le rayon émergent et le rayon incident. Cet angle de R O
déviation D est une fonction de l’angle d'incidence i. On admettra que la condition de un observateur voit le mercure comme s’il
R verre d Dremplissait entièrement un cylindre de rayon R, parallélisme des rayons émergents se traduit mathématiquement par  0 .
c'est-à-dire que l’épaisseur du verre n’est plus di
visible. On pourra utiliser les points O, M, H et 1. Rappeler les lois de Snell–Descartes pour la réfraction d’un rayon lumineux passant de l’air
l’angle α. L’indice du verre est n  1,5 . d r
(milieu d’indice unité) vers un milieu d’indice n. Exprimer la dérivée exclusivement en di
fonction de l’indice n et du sinus de l’angle d’incidence.
 Exercice 2.9. Mesure de l’indice d’un prisme**
2. Une goutte d’eau quelconque, représentée par une sphère de centre O et de rayon R, est On réalise la dispersion de la lumière au moyen d’un prisme en
atteinte par la lumière solaire sous des incidences variables, comprises entre 0° et 90°. Son verre, d’angle A entre ses deux faces utiles, et d’indice de réfraction
indice, pour une radiation donnée, sera noté n tandis que celui de l’air sera pris égal à l’unité. n pour une longueur d’onde donnée. Le milieu extérieur est l’air,
d’indice pris égal à 1. Répondre aux questions a, b, c ci-après pour chacun des trois cas suivants :
– lumière directement transmise (figure 1) ; Soit un rayon parvenant au point I sur la face d’entrée avec un
– lumière transmise après une réflexion partielle à l’intérieur de la goutte (figure 2) ; angle d’incidence i : il émerge par la face de sortie en un point J
avec un angle i'. On note D l’angle mesurant la déviation entre le – lumière transmise après deux réflexions à l’intérieur de la goutte (figure 3).

rayon incident et le rayon émergent.
i K
1 i 1 n r
n r α A
α β D I J R i' i β r r' γ
D1 δ
D Figure 1 Figure 2 2
1. Appliquer la loi de Snell–Descartes en I et J. Établir également les deux relations
géo a) Exprimer en fonction de l’angle d’incidence i ou métriques : Ar  r et D ii  A . (Ces quatre relations sont les formules du prisme.)
γ δ de l’angle de réfraction r, tous les angles marqués 2. Montrer que l’existence du rayon émergent en J dépend d’une condition sur r , puis en
de lettres grecques. déduire une condition sur i. β φ
b) En déduire l’angle de déviation D propre à 3. Montrer que l’existence d’un rayon émergent impose aussi une condition sur A. α
chaque cas, en fonction de i et de r. 4. Pour un prisme en verre flint d’indice n 1,74 , vérifier que l’angle usuel A  60  convient. r ξ c) Rechercher ensuite, si elle existe, une condition Déterminer alors numériquement l’encadrement de i.
d’émergence d’un faisceau parallèle, exprimée i 5. On constate expérimentalement que, lorsqu’on fait varier i de 0° à 90° en tournant le prisme,
par une relation entre le sinus de l’angle la déviation D passe par un minimum unique D . Figure 3 D m 3d’incidence et l’indice n de l’eau.
a) Justifier sans calcul que ce minimum correspond nécessairement à i  i  .
b) Exprimer alors D en fonction de i et A, puis en déduire l’indice n en fonction de D et A. m m
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 41 nn  40 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Madame Michu se trouve face à un rideau de pluie, et observe le ciel en tournant le dos au  Exercice 2.13. Lentille demi-boule*
Soleil, qui est assez bas sur l’horizon. On considère une lentille en forme de demi-boule de rayon R et d’indice n, plongée dans l’air

d’indice 1. Un faisceau lumineux cylindrique, de rayon a, arrive sous incidence normale sur la 3. Montrer qu’elle ne pourra observer la lumière transmise que si la goutte d’eau se trouve sur
face plane de la lentille.
deux cônes d’axes confondus avec la direction solaire et de demi-angles au sommet θ et 2 1. Un rayon donné de ce faisceau émerge en coupant l’axe optique en un point A'. Établir la
θ . Exprimer ces deux angles en fonction de D et D . 3 2 3 relation donnant CA' en fonction de R = CS et des angles i et r.

4. Les angles θ et θ dépendant de l’indice n de l’eau, on observe une séparation des couleurs 2 3 I
due au fait que cet indice varie en fonction de la longueur d’onde. Calculer ces angles pour le r
a i rouge (indice 1,3317) et le violet (indice 1,3448). A'

5. Dessiner les deux arcs-en-ciel qui apparaissent dans le champ de vision de Madame Michu, C S
1 en notant la position respective des rouges et des violets sur chacun des deux. n 1


 Formation d’images par un système optique 2. En déduire la limite CF' de CA' lorsqu’on se place dans l’approximation de Gauss (à définir).
Quelle propriété de la lentille obtient-on ? Que représente le point F' ?
 Exercice 2.11. Stigmatisme du dioptre plan* 3. Quelle est la valeur limite a du rayon du faisceau incident si l’on veut que tous les rayons 0
ressortent de la lentille ? Faire l’application numérique pour n = 1,5 et R = 5,0 cm. Un dioptre plan sépare un milieu y
d’indice n d’un milieu d’indice n . 1 2 i 2
 Exercice 2.14. Jeux avec un ou deux miroirs** On considère rayon issu d’un point A,
On considère un miroir plan contenu dans le plan J situé dans le milieu d’indice n , et 1 y xOz et un objet ponctuel A placé sur l’axe Oy
d’angle d’incidence orienté i . On note 1 ( OA  a ). On cherche à déterminer l’image A′ de A
A' l’intersection du rayon réfracté avec par le miroir. n n 1 2 A l’axe perpendiculaire au dioptre et A i A' x 1 1. Construire les rayons réfléchis correspondant aux O
passant par A. θ1 rayons incidents AJ et AK.
 2. Établir les équations des droites des rayons 1. Exprimer OA en fonction de OA, sini , n et n . 1 1 2
θréfléchis en fonction des tangentes des angles θ 2 1
2. Le système est-il rigoureusement stigmatique ? O J K
et θ . 2
x 3. Déterminer les coordonnées du point 3. En utilisant une approximation, déterminer l’image du point objet A, puis d’un objet AB
d’intersection C de ces deux droites. parallèle au dioptre.
4. Quelle est l’image de A par le miroir ? En déduire

 Exercice 2.12. Lame à faces parallèles* une propriété caractéristique du miroir plan.
On considère une lame de verre à faces parallèles,
On place maintenant deux miroirs plans identiques, (m ) 2d’épaisseur e, d’indice n, plongée dans l’air d’indice 1. e (m ) 1
parallèles et distants de d. Un objet ponctuel A est Un rayon incident arrive avec un angle d’incidence i.
placé entre les deux miroirs à la distance x de (m ). 1
1. Déterminer l’écart d entre le rayon incident et le rayon On note A l’image de A par (m ), puis A l’image de 1 1 2
émergent en fonction de n et sini . A par (m ), etc. i A 1 2d
2. Faire l’application numérique pour e = 4 mm, n = 1,5 5. Déterminer, en fonction de x et d, les mesures
et i = 50°. algébriques AA , AA , AA et AA . 1 2 3 4 x
d 3. Cette lame est-elle stigmatique ? Quel est son effet sur
6. En déduire AA . Combien d’images peut-on nla vision d’un objet ?
observer ?

nn 42 Cha PITRE 2  42 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 43  
Madame Michu se trouve face à un rideau de pluie, et observe le ciel en tournant le dos au  Exercice 2.13. Lentille demi-boule*
Soleil, qui est assez bas sur l’horizon. On considère une lentille en forme de demi-boule de rayon R et d’indice n, plongée dans l’air

d’indice 1. Un faisceau lumineux cylindrique, de rayon a, arrive sous incidence normale sur la 3. Montrer qu’elle ne pourra observer la lumière transmise que si la goutte d’eau se trouve sur
face plane de la lentille.
deux cônes d’axes confondus avec la direction solaire et de demi-angles au sommet θ et 2 1. Un rayon donné de ce faisceau émerge en coupant l’axe optique en un point A'. Établir la
θ . Exprimer ces deux angles en fonction de D et D . 3 2 3 relation donnant CA' en fonction de R = CS et des angles i et r.

4. Les angles θ et θ dépendant de l’indice n de l’eau, on observe une séparation des couleurs 2 3 I
due au fait que cet indice varie en fonction de la longueur d’onde. Calculer ces angles pour le r
a i rouge (indice 1,3317) et le violet (indice 1,3448). A'

5. Dessiner les deux arcs-en-ciel qui apparaissent dans le champ de vision de Madame Michu, C S
1 en notant la position respective des rouges et des violets sur chacun des deux. n 1


 Formation d’images par un système optique 2. En déduire la limite CF' de CA' lorsqu’on se place dans l’approximation de Gauss (à définir).
Quelle propriété de la lentille obtient-on ? Que représente le point F' ?
 Exercice 2.11. Stigmatisme du dioptre plan* 3. Quelle est la valeur limite a du rayon du faisceau incident si l’on veut que tous les rayons 0
ressortent de la lentille ? Faire l’application numérique pour n = 1,5 et R = 5,0 cm. Un dioptre plan sépare un milieu y
d’indice n d’un milieu d’indice n . 1 2 i 2
 Exercice 2.14. Jeux avec un ou deux miroirs** On considère rayon issu d’un point A,
On considère un miroir plan contenu dans le plan J situé dans le milieu d’indice n , et 1 y xOz et un objet ponctuel A placé sur l’axe Oy
d’angle d’incidence orienté i . On note 1 ( OA  a ). On cherche à déterminer l’image A′ de A
A' l’intersection du rayon réfracté avec par le miroir. n n 1 2 A l’axe perpendiculaire au dioptre et A i A' x 1 1. Construire les rayons réfléchis correspondant aux O
passant par A. θ1 rayons incidents AJ et AK.
 2. Établir les équations des droites des rayons 1. Exprimer OA en fonction de OA, sini , n et n . 1 1 2
θréfléchis en fonction des tangentes des angles θ 2 1
2. Le système est-il rigoureusement stigmatique ? O J K
et θ . 2
x 3. Déterminer les coordonnées du point 3. En utilisant une approximation, déterminer l’image du point objet A, puis d’un objet AB
d’intersection C de ces deux droites. parallèle au dioptre.
4. Quelle est l’image de A par le miroir ? En déduire

 Exercice 2.12. Lame à faces parallèles* une propriété caractéristique du miroir plan.
On considère une lame de verre à faces parallèles,
On place maintenant deux miroirs plans identiques, (m ) 2d’épaisseur e, d’indice n, plongée dans l’air d’indice 1. e (m ) 1
parallèles et distants de d. Un objet ponctuel A est Un rayon incident arrive avec un angle d’incidence i.
placé entre les deux miroirs à la distance x de (m ). 1
1. Déterminer l’écart d entre le rayon incident et le rayon On note A l’image de A par (m ), puis A l’image de 1 1 2
émergent en fonction de n et sini . A par (m ), etc. i A 1 2d
2. Faire l’application numérique pour e = 4 mm, n = 1,5 5. Déterminer, en fonction de x et d, les mesures
et i = 50°. algébriques AA , AA , AA et AA . 1 2 3 4 x
d 3. Cette lame est-elle stigmatique ? Quel est son effet sur
6. En déduire AA . Combien d’images peut-on nla vision d’un objet ?
observer ?

Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 43 nn  42 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
2. On note τ la durée du trajet d’un rayon lumineux dans la fibre. Déterminer l’intervalle de
(m ) On place à présent les deux miroirs comme indiqué 1
temps Δτ  τ  τ entre les rayons les plus lents et les plus rapides en fonction de n , max min csur le schéma de telle façon qu’ils forment entre eux
n , L et de la célérité c de la lumière dans le vide. gun angle α  60° .
θ 81 On place un objet ponctuel A entre eux. On note A 1 A Calculer Δτ pour L 1,0 km, sachant que c 3,0010 m s .
l’image de A par (m ), puis A l’image de A par (m ), 1 2 1 2 3. Lors d’une communication par cette fibre optique, on envoie à l’entrée de la fibre des
etc. impulsions lumineuses avec une fréquence f. On souhaite récupérer ces impulsions distinctes
α 7. Construire les images A , A , A , A et A . 1 2 3 4 5 en sortie ( L 1,0 km). Monter que la fréquence f doit être inférieure à une certaine valeur. (m ) 2
8. Combien d’images peut-on observer ? O

D’après CCINP
 Pour vous aider à démarrer
 Fibre optique
Exercice 2.3. Tous les termes d’une somme ont la même dimension, qui est aussi
 Exercice 2.15. Caractéristiques d’une fibre optique
celle de la somme elle-même.
Les câbles à fibres optiques permettent la transmission à haut débit de tous types de signaux Exercices 2.9 et 2.10. La somme des trois angles d’un triangle vaut π.
électromagnétiques, sur de longues distances avec très peu d’atténuation ; ceux-ci se propagent
Exercices 2.11 et 2.12. Pour savoir si le système est rigoureusement stigmatique, il
comme la lumière. Chaque câble comporte un grand nombre de fibres très fines.
faut vérifier si tous les rayons issus d’un point A semblent venir d’un même point
A' après avoir traversé le système. Penser à utiliser le rayon non dévié.
Exercice 2.13. Faire apparaître le projeté H de I sur l’axe, et calculer séparément
CH (facile) et HA' (plus difficile) pour en déduire CA' = CH + HA'.
Exercice 2.15. Pour que le rayon demeure dans la fibre, il faut qu’il y ait toujours
réflexion totale au niveau du dioptre entre le cœur et la gaine.

Une fibre optique à saut d’indice est assimilée à un cylindre de révolution d’axe (Oz), de
longueur L, constitué d’un cœur en polyméthacrylate de méthyle, de rayon a (de l’ordre de 8 à
50 µm) et d’indice n 1,49 , entouré d’une couche cylindrique de polymère fluoré, la gaine, c
d’épaisseur ba et d’indice n 1,40 . On supposera que le milieu extérieur a un indice de 1. g
Un rayon pénètre dans la fibre en O, en faisant un angle θ avec l’axe (Oz).
gaine d’indice n g
b
a cœur d’indice n c
O z
θ


1. Déterminer la valeur maximale admissible θ de l’angle θ pour que le rayon puisse être a
guidé dans la fibre, et calculer l’ouverture numérique on sinθ . n0 a
nn 44 Cha PITRE 2  44 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 45  
2. On note τ la durée du trajet d’un rayon lumineux dans la fibre. Déterminer l’intervalle de
(m ) On place à présent les deux miroirs comme indiqué 1
temps Δτ  τ  τ entre les rayons les plus lents et les plus rapides en fonction de n , max min csur le schéma de telle façon qu’ils forment entre eux
n , L et de la célérité c de la lumière dans le vide. gun angle α  60° .
θ 81 On place un objet ponctuel A entre eux. On note A 1 A Calculer Δτ pour L 1,0 km, sachant que c 3,0010 m s .
l’image de A par (m ), puis A l’image de A par (m ), 1 2 1 2 3. Lors d’une communication par cette fibre optique, on envoie à l’entrée de la fibre des
etc. impulsions lumineuses avec une fréquence f. On souhaite récupérer ces impulsions distinctes
α 7. Construire les images A , A , A , A et A . 1 2 3 4 5 en sortie ( L 1,0 km). Monter que la fréquence f doit être inférieure à une certaine valeur. (m ) 2
8. Combien d’images peut-on observer ? O

D’après CCINP
 Pour vous aider à démarrer
 Fibre optique
Exercice 2.3. Tous les termes d’une somme ont la même dimension, qui est aussi
 Exercice 2.15. Caractéristiques d’une fibre optique
celle de la somme elle-même.
Les câbles à fibres optiques permettent la transmission à haut débit de tous types de signaux Exercices 2.9 et 2.10. La somme des trois angles d’un triangle vaut π.
électromagnétiques, sur de longues distances avec très peu d’atténuation ; ceux-ci se propagent
Exercices 2.11 et 2.12. Pour savoir si le système est rigoureusement stigmatique, il
comme la lumière. Chaque câble comporte un grand nombre de fibres très fines.
faut vérifier si tous les rayons issus d’un point A semblent venir d’un même point
A' après avoir traversé le système. Penser à utiliser le rayon non dévié.
Exercice 2.13. Faire apparaître le projeté H de I sur l’axe, et calculer séparément
CH (facile) et HA' (plus difficile) pour en déduire CA' = CH + HA'.
Exercice 2.15. Pour que le rayon demeure dans la fibre, il faut qu’il y ait toujours
réflexion totale au niveau du dioptre entre le cœur et la gaine.

Une fibre optique à saut d’indice est assimilée à un cylindre de révolution d’axe (Oz), de
longueur L, constitué d’un cœur en polyméthacrylate de méthyle, de rayon a (de l’ordre de 8 à
50 µm) et d’indice n 1,49 , entouré d’une couche cylindrique de polymère fluoré, la gaine, c
d’épaisseur ba et d’indice n 1,40 . On supposera que le milieu extérieur a un indice de 1. g
Un rayon pénètre dans la fibre en O, en faisant un angle θ avec l’axe (Oz).
gaine d’indice n g
b
a cœur d’indice n c
O z
θ


1. Déterminer la valeur maximale admissible θ de l’angle θ pour que le rayon puisse être a
guidé dans la fibre, et calculer l’ouverture numérique on sinθ . n0 a
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 45 nn  44 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
  Corrigé des vrai/faux   Corrigé des exercices
_________ Exercice 2.1_______________________________
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
c 14f  7,5 10 Hz1. On applique la relation f  , ce qui donne pour λ  0,40 μm , et pour 0faux vrai faux vrai vrai faux faux vrai faux faux λ0
14f  3,8 10 Hz λ  0,80 μm , . 0
c 2. La fréquence ne dépend pas du milieu, c’est une caractéristique intrinsèque d’une lumière 1. La vitesse de la lumière est v  donc vv  . eau air
n donnée. Mais la longueur d’onde est modifiée lorsque la lumière change de milieu.
λ05. La lumière solaire peut être décomposée (à l’aide d’un prisme, par exemple) en une infinité a) λ  . Application numérique (AN) : 0,31 μm et 0,62 μm .
nde radiations de longueurs d’ondes différentes.
λ0 b) λ  . Application numérique (AN) : 0,27 μm et 0,54 μm .
n8. Une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour observer une réflexion totale est que
l’indice du premier milieu soit supérieur à celui du deuxième.
_________ Exercice 2.2_______________________________
9. Seul le rayon confondu avec l’axe optique n’est pas dévié ; les autres sont déviés vers le 1. Cette lumière n’est pas rigoureusement monochromatique (ce qui n’est qu’un cas idéal),
foyer image principal. mais elle en est « très proche », c’est-à-dire que l’intervalle de fréquences est extrêmement étroit
autour de la valeur f donnée. Et en tous cas, la lumière laser possède une monochromaticité
beaucoup plus grande que n’importe quel autre type de lumière.
 Les erreurs classiques c
2. On utilise la formule λ  . AN λ  0,63 μm . La couleur perçue par l’œil humain est 00
f– Faire attention à l’unité d’angle utilisée dans les calculs (degrés ou radians).
rouge (car le rouge couvre l’intervalle approximatif de 0,62 à 0,80 μm dans le vide). – Les angles d’incidence, de réflexion et de réfraction sont mesurés à partir de la
c v λ81  0normale au dioptre, et non par rapport au dioptre lui-même. 3. La vitesse est v  . AN v1,8110 m s . La longueur d’onde devient λ   .
– Bien vérifier l’homogénéité des formules ! Par exemple, une longueur ne peut n f n
être égale qu’à une autre longueur, mais en aucun cas à l’inverse d’une longueur, AN λ  0,38 μm . En revanche, la couleur, qui dépend de la fréquence et qui est donc 0
ou à un produit de deux longueurs…
intrinsèque, reste rouge.
_________ Exercice 2.3_______________________________
1. A est sans dimension, donc sans unité (comme n) et B a la dimension d’une longueur au
2carré ; il s’exprime donc en mètres carrés (m ) dans le SI.
B B
2. a) Il faut donc résoudre le système : nA  (1) et nA  (2) . r v2 2λ λ0r 0v
nnvrB On élimine A en effectuant la soustraction (2)  (1) , ce qui permet d’obtenir .
221 λ 1λ0 v 0r
1,652 1,618 15 2AN B  soit B  9,41 10 m . On en déduit A 1,602 .
72 72(4,3410 )(7,68 10 )
159,41 10
b) n  1,602  soit n 1,629 . j j72(5,89 10 )
nn 46 Cha PITRE 2  46 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 47  
Corrigé
  Corrigé des vrai/faux   Corrigé des exercices
_________ Exercice 2.1_______________________________
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
c 14f  7,5 10 Hz1. On applique la relation f  , ce qui donne pour λ  0,40 μm , et pour 0faux vrai faux vrai vrai faux faux vrai faux faux λ0
14f  3,8 10 Hz λ  0,80 μm , . 0
c 2. La fréquence ne dépend pas du milieu, c’est une caractéristique intrinsèque d’une lumière 1. La vitesse de la lumière est v  donc vv  . eau air
n donnée. Mais la longueur d’onde est modifiée lorsque la lumière change de milieu.
λ05. La lumière solaire peut être décomposée (à l’aide d’un prisme, par exemple) en une infinité a) λ  . Application numérique (AN) : 0,31 μm et 0,62 μm .
nde radiations de longueurs d’ondes différentes.
λ0 b) λ  . Application numérique (AN) : 0,27 μm et 0,54 μm .
n8. Une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour observer une réflexion totale est que
l’indice du premier milieu soit supérieur à celui du deuxième.
_________ Exercice 2.2_______________________________
9. Seul le rayon confondu avec l’axe optique n’est pas dévié ; les autres sont déviés vers le 1. Cette lumière n’est pas rigoureusement monochromatique (ce qui n’est qu’un cas idéal),
foyer image principal. mais elle en est « très proche », c’est-à-dire que l’intervalle de fréquences est extrêmement étroit
autour de la valeur f donnée. Et en tous cas, la lumière laser possède une monochromaticité
beaucoup plus grande que n’importe quel autre type de lumière.
 Les erreurs classiques c
2. On utilise la formule λ  . AN λ  0,63 μm . La couleur perçue par l’œil humain est 00
f– Faire attention à l’unité d’angle utilisée dans les calculs (degrés ou radians).
rouge (car le rouge couvre l’intervalle approximatif de 0,62 à 0,80 μm dans le vide). – Les angles d’incidence, de réflexion et de réfraction sont mesurés à partir de la
c v λ81  0normale au dioptre, et non par rapport au dioptre lui-même. 3. La vitesse est v  . AN v1,8110 m s . La longueur d’onde devient λ   .
– Bien vérifier l’homogénéité des formules ! Par exemple, une longueur ne peut n f n
être égale qu’à une autre longueur, mais en aucun cas à l’inverse d’une longueur, AN λ  0,38 μm . En revanche, la couleur, qui dépend de la fréquence et qui est donc 0
ou à un produit de deux longueurs…
intrinsèque, reste rouge.
_________ Exercice 2.3_______________________________
1. A est sans dimension, donc sans unité (comme n) et B a la dimension d’une longueur au
2carré ; il s’exprime donc en mètres carrés (m ) dans le SI.
B B
2. a) Il faut donc résoudre le système : nA  (1) et nA  (2) . r v2 2λ λ0r 0v
nnvrB On élimine A en effectuant la soustraction (2)  (1) , ce qui permet d’obtenir .
221 λ 1λ0 v 0r
1,652 1,618 15 2AN B  soit B  9,41 10 m . On en déduit A 1,602 .
72 72(4,3410 )(7,68 10 )
159,41 10
b) n  1,602  soit n 1,629 . j j72(5,89 10 )
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 47 nn  46 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
Corri
_________ Exercice 2.4_______________________________ _________ Exercice 2.7_______________________________
Le rayon lumineux réfracté dans le verre aura un angle de réfraction r tel que sinin sin r , soit 1. a) b) c) Voir schéma.
i
sin i
r  arcsin . Or l’indice n dépend de la longueur d’onde dans le vide de la lumière   2. En notant H le projeté orthogonal de J (ou K) sur le n
dioptre, on peut écrire les relations trigonométriques : n incidente. Pour la lumière blanche, les valeurs extrêmes sont λ  400 nm (violet) et 10 v
HI HI HI HI
et . λ  800 nm (rouge). On a donc pour les indices correspondants n 1,530 et n 1,511. sin i   sin r  0r v r H I IJ n IK n1 2
sin 40  sin 40 
Δ Les angles de réfraction sont r  arcsin  24,84° et r  arcsin  25,17° , ce On en déduit donc que HI  n sini  n sin r . v r 1 2    n 21,530 1,511  On retrouve bien la loi de la réfraction :
qui représente un écart angulaire Δrr  r  0,33 20' . rv n sin in sin r . 12 K n 1 Méthode 2.1
 Méthode 2.3 J n 2 _________ Exercice 2.5_______________________________
1. Il faut que l’angle i d’incidence du rayon soit inférieur à l’angle limite, soit r
1
ii arcsin  48,8  .  Méthode 2.1 lim  3. L’angle limite d’incidence i s’obtient pour 1,33 lim
π i  (ou 90°), on peut donc le déterminer 2 i air lim2. Un rayon pourra traverser le dioptre eau-air si I 2H
son angle d’incidence est inférieur à l’angle limite graphiquement. Pour une valeur de i supérieure à 1 n 1
calculé précédemment. d i eau lim I i , il n’y a plus de point K donc on ne peut plus lim
La zone cherchée sera donc un disque de rayon
construire de rayon réfracté. K A IH  d tani  2,85 m . lim Dans le cas où un rayon lumineux passe du verre n n 1 2
( n  1,5 ) à l’air ( n  1), l’angle limite vaut 1 2
_________ Exercice 2.6_______________________________
 1 J i  arcsin  41,8° . Pour i  41,8° il y aura ℓ 1 n 1  21,51. Sur les dioptres verre/air, l’angle de réflexion totale est i  arcsin  41 50 . Or  lim   Δ n réflexion totale.
l’angle d’incidence du faisceau laser est i  45  , donc i  i : il y a réflexion totale sur la face lim
oblique de gauche (avec un angle de réflexion de 45°), puis à nouveau sur la face de droite (avec _________ Exercice 2.8
les mêmes angles), et le rayon revient finalement entièrement vers (R). Pour qu’on obtienne l’effet indiqué, un rayon issu de H (sur le bord du mercure) doit émerger en
 Méthode 2.1
1
 M à la limite de la réflexion totale, ce qui revient à dire sin αsin α . n lim2. La nouvelle valeur de l’angle de réflexion totale est i  arcsin  62 30 . Maintenant nlim n r 1r
 0,67Or sin α  (dans le triangle rectangle OHM), donc la condition s’écrit : . ii : il n’y a plus réflexion totale. Cependant il y a toujours une réflexion partielle en même lim R Rn
temps que la réfraction, donc le récepteur reçoit encore un peu de lumière, mais avec une
 Méthode 2.1
intensité beaucoup plus faible que dans le cas précédent.
3. On peut suspendre ce dispositif au-dessus du réservoir et le faire descendre progressivement,
_________ Exercice 2.9_______________________________
tout en observant le signal capté par (R). L’intensité de ce signal reste sensiblement constante
sin in sin r sin in sin r1. Lois de Snell–Descartes : en I, (équation 1) ; en J, (2). tant que le capteur est au-dessus de l’eau, puis diminue brusquement lorsqu’il s’immerge dans
l’eau. Ainsi, en repérant la distance dont on a fait descendre le capteur (longueur de fil  ππ  
– Par ailleurs, dans le triangle IJK, la somme des angles vaut π : Ar  r  π   déroulé…), on peut connaître le niveau de l’eau. 2 2   
Ar  rd’où (3).
nn 48 Cha PITRE 2  48 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 49  
Corrigé
_________ Exercice 2.4_______________________________ _________ Exercice 2.7_______________________________
Le rayon lumineux réfracté dans le verre aura un angle de réfraction r tel que sinin sin r , soit 1. a) b) c) Voir schéma.
i
sin i
r  arcsin . Or l’indice n dépend de la longueur d’onde dans le vide de la lumière   2. En notant H le projeté orthogonal de J (ou K) sur le n
dioptre, on peut écrire les relations trigonométriques : n incidente. Pour la lumière blanche, les valeurs extrêmes sont λ  400 nm (violet) et 10 v
HI HI HI HI
et . λ  800 nm (rouge). On a donc pour les indices correspondants n 1,530 et n 1,511. sin i   sin r  0r v r H I IJ n IK n1 2
sin 40  sin 40 
Δ Les angles de réfraction sont r  arcsin  24,84° et r  arcsin  25,17° , ce On en déduit donc que HI  n sini  n sin r . v r 1 2    n 21,530 1,511  On retrouve bien la loi de la réfraction :
qui représente un écart angulaire Δrr  r  0,33 20' . rv n sin in sin r . 12 K n 1 Méthode 2.1
 Méthode 2.3 J n 2 _________ Exercice 2.5_______________________________
1. Il faut que l’angle i d’incidence du rayon soit inférieur à l’angle limite, soit r
1
ii arcsin  48,8  .  Méthode 2.1 lim  3. L’angle limite d’incidence i s’obtient pour 1,33 lim
π i  (ou 90°), on peut donc le déterminer 2 i air lim2. Un rayon pourra traverser le dioptre eau-air si I 2H
son angle d’incidence est inférieur à l’angle limite graphiquement. Pour une valeur de i supérieure à 1 n 1
calculé précédemment. d i eau lim I i , il n’y a plus de point K donc on ne peut plus lim
La zone cherchée sera donc un disque de rayon
construire de rayon réfracté. K A IH  d tani  2,85 m . lim Dans le cas où un rayon lumineux passe du verre n n 1 2
( n  1,5 ) à l’air ( n  1), l’angle limite vaut 1 2
_________ Exercice 2.6_______________________________
 1 J i  arcsin  41,8° . Pour i  41,8° il y aura ℓ 1 n 1  21,51. Sur les dioptres verre/air, l’angle de réflexion totale est i  arcsin  41 50 . Or  lim   Δ n réflexion totale.
l’angle d’incidence du faisceau laser est i  45  , donc i  i : il y a réflexion totale sur la face lim
oblique de gauche (avec un angle de réflexion de 45°), puis à nouveau sur la face de droite (avec _________ Exercice 2.8
les mêmes angles), et le rayon revient finalement entièrement vers (R). Pour qu’on obtienne l’effet indiqué, un rayon issu de H (sur le bord du mercure) doit émerger en
 Méthode 2.1
1
 M à la limite de la réflexion totale, ce qui revient à dire sin αsin α . n lim2. La nouvelle valeur de l’angle de réflexion totale est i  arcsin  62 30 . Maintenant nlim n r 1r
 0,67Or sin α  (dans le triangle rectangle OHM), donc la condition s’écrit : . ii : il n’y a plus réflexion totale. Cependant il y a toujours une réflexion partielle en même lim R Rn
temps que la réfraction, donc le récepteur reçoit encore un peu de lumière, mais avec une
 Méthode 2.1
intensité beaucoup plus faible que dans le cas précédent.
3. On peut suspendre ce dispositif au-dessus du réservoir et le faire descendre progressivement,
_________ Exercice 2.9_______________________________
tout en observant le signal capté par (R). L’intensité de ce signal reste sensiblement constante
sin in sin r sin in sin r1. Lois de Snell–Descartes : en I, (équation 1) ; en J, (2). tant que le capteur est au-dessus de l’eau, puis diminue brusquement lorsqu’il s’immerge dans
l’eau. Ainsi, en repérant la distance dont on a fait descendre le capteur (longueur de fil  ππ  
– Par ailleurs, dans le triangle IJK, la somme des angles vaut π : Ar  r  π   déroulé…), on peut connaître le niveau de l’eau. 2 2   
Ar  rd’où (3).
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 49 nn  48 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
Corri
– Pour la déviation D, il faut remarquer que le rayon incident est dévié deux fois dans le même d r cosi
Écrivons la différentielle de cette expression : cosiid  ncos r d r , soit  . sens (vers la droite sur notre schéma). En I, le rayon entre dans le prisme en tournant de di ncosr
 i r ( 0) ; puis en J, il tourne de ir ( 0) . La déviation totale est donc Di  i rr , et 2d r 1  sin i2En utilisant la relation (1) et la relation cosi  1  sin i , on obtient :  . en utilisant la relation (3) on obtient D ii A (4). 22din  sin i
2. La réfraction en I (de l’air au verre, d’indice plus grand) existe pour toute valeur de i. En
2. Figure 1
revanche, en J (du verre à l’air) elle est conditionnée à la valeur de r' : il faut que
a) α  r et β  i .
1
rr arcsin pour que le rayon émerge en J et ne subisse pas de réflexion totale. lim b) D  2(ir ) .   1n
ddDr1c) d D  2dir 2d et . La condition d’émergence d’un faisceau parallèle est  21 1 1  ddiiLa relation (3) Ar  r impose donc rA arcsin et la relation (1) donne alors : n  2dD dr d r 1  sin i1  0 , soit  1 . Or, d’après le résultat de la question 1,  , ce qui impose   1  22di di din  sin ii  arcsin nAsin  arcsin  i . L’angle d’incidence doit être assez grand.   min   
n 22 2   que nisin 1 sin i , donc que . Cette solution triviale n’a pas d’intérêt (il faudrait n  1
 Méthode 2.1 que l’indice de l’eau soit le même que celui de l’air !). Il n’est donc pas possible d’observer le
faisceau parallèle recherché dans ces conditions. π
 Les fonctions sinus et arcsinus sont croissantes entre 0 et , donc une valeur
2 Figure 2
minimale pour un angle correspond à une valeur minimale pour son sinus. a) αβ  γ  r et δ  i .
b) D  2(i r) π2 r . 2sini 1 1
3. D’après (1), sin r   donc r  arcsin .   c) d D 2(did r) 2d r 2di 4d r . La condition d’émergence du faisceau parallèle s’écrit 2nn n
2d1r 4  n 1 22 2 2Si on considère la condition sur r' : r   arcsin ainsi que la relation (3), on en déduit qu’il  et le résultat de la question 1 conduit à nisin 4(1 sin i) , soit sin i  .  3n d2i 

1 Figure 3 A 2arcsin Aest impératif d’avoir pour que la lumière puisse émerger du prisme.   max
n a) φ  δ  γβ  α  r et ξ  i . 
Celui-ci doit donc être assez pointu. b) D 2(ir ) 2(π 2)r . 3

d1r4. Pour n 1,74 , A  70 10 donc la valeur A  60  convient. max c) d D 2(did r) 4d r 2di 6d r donc la condition recherchée s’écrit  , ce qui 3
d3iLa condition sur i est alors : 47 9 i  90 .
29  n2donne, en utilisant le résultat de la question 1 : sin i  . 5. a) D’après la loi de retour inverse de la lumière, si on obtient une déviation minimale dans
8
un sens pour un angle incident i, la déviation est aussi minimale dans l’autre sens, en inversant
D 3. Madame Michu ne verra la lumière 3les rôles des rayons émergent et incident, donc pour un angle incident i'. Le minimum étant
émergente que si la condition d’émergence unique, on trouve nécessairement ii .
d’un faisceau parallèle est vérifiée, ce qui  b) D’après les relations (1) et (2), si i  i , alors rr . Les relations (4) et (3) donnent alors : Soleil
correspond au schéma ci-contre.
AD m On constate les relations θπ  D et sin 22 A  D A sin i 2mD  2iA d’où i  ; et r  . Or n  , soit n  . θπ D  . m 33 θ A2 2 sin r  3 D 2sin θ Les gouttes devront donc être sur un cône   22 centré sur l’observatrice et d’axe parallèle
observatrice
aux rayons incidents.
_________ Exercice 2.10 _____________________________ On observera deux arcs : l’un dû à la simple réflexion de la lumière dans une goutte (cas de la
figure 2) et l’autre dû à la double réflexion (cas de la figure 3). 1. Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et sin in sin r (1).
nn 50 Cha PITRE 2  0 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 51  
Corrigé
– Pour la déviation D, il faut remarquer que le rayon incident est dévié deux fois dans le même d r cosi
Écrivons la différentielle de cette expression : cosiid  ncos r d r , soit  . sens (vers la droite sur notre schéma). En I, le rayon entre dans le prisme en tournant de di ncosr
 i r ( 0) ; puis en J, il tourne de ir ( 0) . La déviation totale est donc Di  i rr , et 2d r 1  sin i2En utilisant la relation (1) et la relation cosi  1  sin i , on obtient :  . en utilisant la relation (3) on obtient D ii A (4). 22din  sin i
2. La réfraction en I (de l’air au verre, d’indice plus grand) existe pour toute valeur de i. En
2. Figure 1
revanche, en J (du verre à l’air) elle est conditionnée à la valeur de r' : il faut que
a) α  r et β  i .
1
rr arcsin pour que le rayon émerge en J et ne subisse pas de réflexion totale. lim b) D  2(ir ) .   1n
ddDr1c) d D  2dir 2d et . La condition d’émergence d’un faisceau parallèle est  21 1 1  iiLa relation (3) Ar  r impose donc rA arcsin et la relation (1) donne alors : n  2dD dr d r 1  sin i1  0 , soit  1 . Or, d’après le résultat de la question 1,  , ce qui impose   1  22di di din  sin ii  arcsin nAsin  arcsin  i . L’angle d’incidence doit être assez grand.   min   
n 22 2   que nisin 1 sin i , donc que . Cette solution triviale n’a pas d’intérêt (il faudrait n  1
 Méthode 2.1 que l’indice de l’eau soit le même que celui de l’air !). Il n’est donc pas possible d’observer le
faisceau parallèle recherché dans ces conditions. π
 Les fonctions sinus et arcsinus sont croissantes entre 0 et , donc une valeur
2 Figure 2
minimale pour un angle correspond à une valeur minimale pour son sinus. a) αβ  γ  r et δ  i .
b) D  2(i r) π2 r . 2sini 1 1
3. D’après (1), sin r   donc r  arcsin .   c) d D 2(did r) 2d r 2di 4d r . La condition d’émergence du faisceau parallèle s’écrit 2nn n
2d1r 4  n 1 22 2 2Si on considère la condition sur r' : r   arcsin ainsi que la relation (3), on en déduit qu’il  et le résultat de la question 1 conduit à nisin 4(1 sin i) , soit sin i  .  3n d2i 

1 Figure 3 A 2arcsin Aest impératif d’avoir pour que la lumière puisse émerger du prisme.   max
n a) φ  δ  γβ  α  r et ξ  i . 
Celui-ci doit donc être assez pointu. b) D 2(ir ) 2(π 2)r . 3

d1r4. Pour n 1,74 , A  70 10 donc la valeur A  60  convient. max c) d D 2(did r) 4d r 2di 6d r donc la condition recherchée s’écrit  , ce qui 3
d3iLa condition sur i est alors : 47 9 i  90 .
29  n2donne, en utilisant le résultat de la question 1 : sin i  . 5. a) D’après la loi de retour inverse de la lumière, si on obtient une déviation minimale dans
8
un sens pour un angle incident i, la déviation est aussi minimale dans l’autre sens, en inversant
D 3. Madame Michu ne verra la lumière 3les rôles des rayons émergent et incident, donc pour un angle incident i'. Le minimum étant
émergente que si la condition d’émergence unique, on trouve nécessairement ii .
d’un faisceau parallèle est vérifiée, ce qui  b) D’après les relations (1) et (2), si i  i , alors rr . Les relations (4) et (3) donnent alors : Soleil
correspond au schéma ci-contre.
AD m On constate les relations θπ  D et sin 22 A  D A sin i 2mD  2iA d’où i  ; et r  . Or n  , soit n  . θπ D  . m 33 θ A2 2 sin r  3 D 2sin θ Les gouttes devront donc être sur un cône   22 centré sur l’observatrice et d’axe parallèle
observatrice
aux rayons incidents.
_________ Exercice 2.10 _____________________________ On observera deux arcs : l’un dû à la simple réflexion de la lumière dans une goutte (cas de la
figure 2) et l’autre dû à la double réflexion (cas de la figure 3). 1. Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et sin in sin r (1).
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 51 nn  50 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
Corri
2 24  n n14. Pour la simple réflexion : θπ  D , avec D  2(ir )π2r , et i  arcsin ; 2 222 2 2 Or cosii 1  sin , n sini  n sini et cosi 1sin i 1 sin i , ce qui 1 1 1 12 2 2 2 1 3 n 2
sin i
2 22quant à r, il se calcule par la relation r  arcsin . Pour la double réflexion : θπ D  , 33  nn sin i21n permet, après simplification, d’obtenir OA  OA .
2 22nn sin i2 119  n sini
avec D 2(ir ) 2(π 2)r , i  arcsin et toujours r  arcsin . 3   2. La position de A' dépend de l’angle i , donc du rayon étudié. On ne peut donc pas dire que 18 n
tous les rayons issus de A sembleront venir de A' après réflexion : le dioptre n’est pas un
Angle (en degrés) i r D θ i r D θ 2 2 2 2 3 3 3 3 système rigoureusement stigmatique et A' n’est pas l’image de A.
Violet 3. Si i est faible, c’est-à-dire si on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport 58,75 39,48 139,58 40,41 71,50 44,85 233,87 53,87 1( n  1,3448 )
n2Rouge à (Ox), alors sin i ≪1 d’où OA  OA . Cette relation ne dépend plus de i donc A' est bien 1 159,51 40,33 137,71 42,29 71,92 45,56 230,48 50,48 n1( n  1,3317 )
l’image de A dans ces conditions.
5. On constate que l’arc secondaire (obtenu par double réflexion) est au-dessus de l’arc
primaire (obtenu par simple réflexion) et que les couleurs des deux arcs sont inversées. B' B
x A A' O
violet

Cette relation étant valable pour tout point de l’objet AB, on en déduit que A'B', image de AB par
arc secondaire le dioptre, est également parallèle au dioptre et plus proche de ce dernier si n  n (mais plus 21
éloignée si nn ). 21
_________ Exercice 2.12 _____________________________
arc primaire
1. Un peu de trigonométrie permet de résoudre ce problème. K
Il est conseillé de faire un schéma très clair et de nommer les
rouge points remarquables : O, I, J et K. e
d  JK cosi  (IK  IJ )cosi  ei(tan  tan r)cosi
sinir sin J 2 e  1 sin i .  O r 2 21sin ir1 sin I
On utilise alors la loi de la réfraction : sini  nsin r d’où i
d
2 1  sin i
de sin i 1  .  
22ni sin _________ Exercice 2.11 _____________________________   
 Méthode 2.3 OJ OJ
1. tan i  , tan i  et la loi de la réfraction en J s’écrit n sini  n sini . 1 2 1 12 2 d  1,54 mm2. AN . AO AO
 Méthode 2.3
3. Cherchons l’image donnée par la lame d’un point A. Pour cela, on construit le trajet de deux
 Ici on travaille avec des angles orientés, ce qui permet d’obtenir des mesures rayons issus de A (on choisit l’un des deux orthogonal à la lame par commodité).
algébriques et pas seulement des distances. Mais il faut les orienter correctement ! Tout d’abord, il faut vérifier le stigmatisme de la lame, c'est-à-dire vérifier que la position de A'
ne dépend pas de l’inclinaison des rayons issus de A. tan i sin iicos1 12Ces trois relations entraînent que OA  OA  OA . Ce n’est pas vrai de façon exacte, car la formule précédente dépend de i. tan i cosi sin i2
nn 52 Cha PITRE 2  52 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 53  
Corrigé
2 24  n n14. Pour la simple réflexion : θπ  D , avec D  2(ir )π2r , et i  arcsin ; 2 222 2 2 Or cosii 1  sin , n sini  n sini et cosi 1sin i 1 sin i , ce qui 1 1 1 12 2 2 2 1 3 n 2
sin i
2quant à r, il se calcule par la relation r  arcsin . Pour la double réflexion : θπ D  , 33  nn sin i21n permet, après simplification, d’obtenir OA  OA .
2 22nn sin i2 119  n sini
avec D 2(ir ) 2(π 2)r , i  arcsin et toujours r  arcsin . 3   2. La position de A' dépend de l’angle i , donc du rayon étudié. On ne peut donc pas dire que 18 n
tous les rayons issus de A sembleront venir de A' après réflexion : le dioptre n’est pas un
Angle (en degrés) i r D θ i r D θ 2 2 2 2 3 3 3 3 système rigoureusement stigmatique et A' n’est pas l’image de A.
Violet 3. Si i est faible, c’est-à-dire si on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport 58,75 39,48 139,58 40,41 71,50 44,85 233,87 53,87 1( n  1,3448 )
n2Rouge à (Ox), alors sin i ≪1 d’où OA  OA . Cette relation ne dépend plus de i donc A' est bien 1 159,51 40,33 137,71 42,29 71,92 45,56 230,48 50,48 n1( n  1,3317 )
l’image de A dans ces conditions.
5. On constate que l’arc secondaire (obtenu par double réflexion) est au-dessus de l’arc
primaire (obtenu par simple réflexion) et que les couleurs des deux arcs sont inversées. B' B
x A A' O
violet

Cette relation étant valable pour tout point de l’objet AB, on en déduit que A'B', image de AB par
arc secondaire le dioptre, est également parallèle au dioptre et plus proche de ce dernier si n  n (mais plus 21
éloignée si nn ). 21
_________ Exercice 2.12 _____________________________
arc primaire
1. Un peu de trigonométrie permet de résoudre ce problème. K
Il est conseillé de faire un schéma très clair et de nommer les
rouge points remarquables : O, I, J et K. e
d  JK cosi  (IK  IJ )cosi  ei(tan  tan r)cosi
sinir sin J 2 e  1 sin i .  O r 2 21sin1 sin I
On utilise alors la loi de la réfraction : sini  nsin r d’où i
d
2 1  sin i
de sin i 1  .  
22ni sin _________ Exercice 2.11 _____________________________   
 Méthode 2.3 OJ OJ
1. tan i  , tan i  et la loi de la réfraction en J s’écrit n sini  n sini . 1 2 1 12 2 d  1,54 mm2. AN . AO AO
 Méthode 2.3
3. Cherchons l’image donnée par la lame d’un point A. Pour cela, on construit le trajet de deux
 Ici on travaille avec des angles orientés, ce qui permet d’obtenir des mesures rayons issus de A (on choisit l’un des deux orthogonal à la lame par commodité).
algébriques et pas seulement des distances. Mais il faut les orienter correctement ! Tout d’abord, il faut vérifier le stigmatisme de la lame, c'est-à-dire vérifier que la position de A'
ne dépend pas de l’inclinaison des rayons issus de A. tan i sin iicos1 12Ces trois relations entraînent que OA  OA  OA . Ce n’est pas vrai de façon exacte, car la formule précédente dépend de i. tan i cosi sin i2 12
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 53 nn  52 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
Corri
Mais pour i très faible : sinii ≪1 donc _________ Exercice 2.14 _____________________________
1 d 1. Voir schéma. y d ei 1 . De plus sin i   i donc  n AA  Méthode 2.4 
1d 1 2. Le rayon (1) a pour pente . L’équation on trouve AA  e 1 , qui est A  tanθ1in
θ1 xindépendant de i : la lame à face parallèle est A cherchée est donc de la forme y   k . On A' 1
stigmatique pour les angles faibles. tanθ1
θ2 On constate alors que l’image A' est plus détermine la constante k en imposant que le point J J K O
proche de la lame que A. La lame donne donc OJ x appartienne à cette droite, soit 0   k et donc l’impression de rapprocher les objets. tan θ1
OJ _________ Exercice 2.13 _____________________________ ka . L’équation de la droite du rayon
tanθ11. On définit le point I, intersection entre le rayon incident et le dioptre sphérique, et le point H,
C x projeté orthogonal de I sur l’axe, ce qui définit deux triangles rectangles. ya réfléchi (1) est donc : . 1Le rayon n’étant pas dévié par la face plane de la lentille (car il arrive selon la normale), on peut tanθ1
se contenter de considérer la réfraction au niveau de la face sphérique : nisin  sin r . 1
Pour le rayon (2), on utilise la même méthode en notant que sa pente est et en utilisant le RisinHI HI tanθ 2 CA  Rcosi CA CHHA  et HI  Rsin i , donc .
tan i tan(ri ) tan(ri ) x
ya point K pour déterminer la constante. L’équation recherchée est alors . 2
tanθ2I
r 3. Pour déterminer le point d’intersection C, on cherche à résoudre l’équation y  y . 12
a i A' x xC Caa  x  0 y   aDonc et , vu que tan θ  tanθ , alors et . C C12
tanθ tanθ1 2C H S
(1) 4. Les angles θ et θ étant quelconques, on peut en déduire que tous les rayons issus de A n 1 2
semblent venir de C après réflexion. C est donc l’image de A par le miroir. 1
Ce n’est pas une approximation mais un résultat exact : il y a stigmatisme rigoureux du miroir.
 Méthode 2.3
 Le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique.
2. L’approximation de Gauss consiste à se limiter à des rayons paraxiaux, ce qui permet
i ≪1d’écrire , d’où également r ≪1. Alors sinitanii , donc la loi de Snell–Descartes (m ) 5. 2 (m ) 1
nRRi Ri
   CF devient ni  r ; et cosi 1 d’où CAR  R soit CA  .
ri ni i n 1 A A A1 2
On a, dans ces conditions, une lentille stigmatique dont F' est le foyer principal image.
3. Pour qu’un rayon émergent existe, il faut que la loi de Snell–Descartes donne sin r 1 donc
x
1 a R0sin i  . Or sini  , la condition est donc a  3,3 cm . 0 d nn R
AA  2x ; AA AA A A 2x 2(dx)  2d ; 1 2 1 12
AA AA A A 2d 2(2dx) 2d 2x ; 3 2 23
AA AA A A 2d 2x 2(3dx)  4d . 4 3 3 4
6. En continuant la suite, et par extrapolation, on obtient :
– si n est pair, AA   nd ; n
– si n est impair, AA (n1)d 2x . n
nn 54 Cha PITRE 2  54 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 55  
Corrigé
Mais pour i très faible : sinii ≪1 donc _________ Exercice 2.14 _____________________________
1 d 1. Voir schéma. y d ei 1 . De plus sin i   i donc  n AA  Méthode 2.4 
1d 1 2. Le rayon (1) a pour pente . L’équation on trouve AA  e 1 , qui est A  tanθ1in
θ1 xindépendant de i : la lame à face parallèle est A cherchée est donc de la forme y   k . On A' 1
stigmatique pour les angles faibles. tanθ1
θ2 On constate alors que l’image A' est plus détermine la constante k en imposant que le point J J K O
proche de la lame que A. La lame donne donc OJ x appartienne à cette droite, soit 0   k et donc l’impression de rapprocher les objets. tan θ1
OJ _________ Exercice 2.13 _____________________________ ka . L’équation de la droite du rayon
tanθ11. On définit le point I, intersection entre le rayon incident et le dioptre sphérique, et le point H,
C x projeté orthogonal de I sur l’axe, ce qui définit deux triangles rectangles. ya réfléchi (1) est donc : . 1Le rayon n’étant pas dévié par la face plane de la lentille (car il arrive selon la normale), on peut tanθ1
se contenter de considérer la réfraction au niveau de la face sphérique : nisin  sin r . 1
Pour le rayon (2), on utilise la même méthode en notant que sa pente est et en utilisant le RisinHI HI tanθ 2 CA  Rcosi CA CHHA  et HI  Rsin i , donc .
tan i tan(ri ) tan(ri ) x
ya point K pour déterminer la constante. L’équation recherchée est alors . 2
tanθ2I
r 3. Pour déterminer le point d’intersection C, on cherche à résoudre l’équation y  y . 12
a i A' x xC Caa  x  0 y   aDonc et , vu que tan θ  tanθ , alors et . C C12
tanθ tanθ1 2C H S
(1) 4. Les angles θ et θ étant quelconques, on peut en déduire que tous les rayons issus de A n 1 2
semblent venir de C après réflexion. C est donc l’image de A par le miroir. 1
Ce n’est pas une approximation mais un résultat exact : il y a stigmatisme rigoureux du miroir.
 Méthode 2.3
 Le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique.
2. L’approximation de Gauss consiste à se limiter à des rayons paraxiaux, ce qui permet
i ≪1d’écrire , d’où également r ≪1. Alors sinitanii , donc la loi de Snell–Descartes (m ) 5. 2 (m ) 1
nRRi Ri
   CF devient ni  r ; et cosi 1 d’où CAR  R soit CA  .
ri ni i n 1 A A A1 2
On a, dans ces conditions, une lentille stigmatique dont F' est le foyer principal image.
3. Pour qu’un rayon émergent existe, il faut que la loi de Snell–Descartes donne sin r 1 donc
x
1 a R0sin i  . Or sini  , la condition est donc a  3,3 cm . 0 d nn R
AA  2x ; AA AA A A 2x 2(dx)  2d ; 1 2 1 12
AA AA A A 2d 2(2dx) 2d 2x ; 3 2 23
AA AA A A 2d 2x 2(3d x) 4d . 4 3 3 4
6. En continuant la suite, et par extrapolation, on obtient :
– si n est pair, AA   nd ; n
– si n est impair, AA (n1)d 2x . n
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 55 nn  54 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
Corri
On peut donc (en théorie) observer une infinité d’images. d c
2. La durée de parcours d’une distance d, à la célérité v, est τ  . Or v  , et pour le rayon A (m ) 11 v nc
L Lncdessiné, d  , donc τ  .
θ A cos r crcos
A4  Méthode 2.3 7. Les images sont toutes situées sur un
cercle de centre O et de rayon OA. Le rayon le plus rapide est celui qui parcourt le trajet le plus court, ce qui correspond à θ0 α
Voir schéma. (m ) Ln2 cdonc r  0 et cosr 1. Par conséquent τ  . O min8. On constate que A est confondue avec A. 6 c
On pourra donc observer six images
A3 Le rayon le plus lent correspond à θθ et à l’angle αα correspondant à la réflexion distinctes. a lim
A5 2n Lng climite en I, sachant que sin α   cos r . Donc τ  . lim lim min
n cnc g
A2 Ln ()n  ncc g
On en déduit : Δτ τ  τ  . max min
cng _________ Exercice 2.15 _____________________________
1. Cette résolution nécessite de bien identifier ce qui se passe en chaque point utile. Pour que le Δτ  320 nsAN pour une longueur de fibre L 1,0 km : .
rayon se propage dans le cœur de la fibre, il doit y avoir tout d’abord une réfraction en O (le
3. Pour que les impulsions lumineuses puissent être bien séparées à la sortie de la fibre, il faut rayon entrant dans le cœur) puis une réflexion totale en I et en tous les points analogues
1successifs : ainsi le rayon suivra une ligne brisée sans sortir du cœur. ff que la durée T entre deux impulsions soit supérieure à Δτ , soit . max
Δτ
I
AN f  3,1 MHz . b max
a
α r
z
O H
θ
n n g g
Donc sin θ  n sin r (1) et αα arcsin ou sin α  (2). D’autre part, la somme des c lim 
n n c c
π π
angles dans le triangle OHI est égale à π : αr  π donc α   r (3).
2 2
2n ng g2D’après (3), sin α  cosr et (2) peut donc s’écrire cos r  ou 1sin r . 
n nc  c
2
2 nsin θ  g 22On utilise alors (1) et on obtient 1 , d’où θ arcsin n n  θ .  cg  a 2nncc 
Si l’angle θ vérifie cette condition, le rayon restera dans la fibre et sera guidé par elle.
22o  sin θ  nn o  0,51On a donc trouvé . AN . n a cg n
 Méthodes 2.1, 2.2
nn 56 Cha PITRE 2  56 HAPITRE 2 BASES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 57  
Corrigé
On peut donc (en théorie) observer une infinité d’images. d c
2. La durée de parcours d’une distance d, à la célérité v, est τ  . Or v  , et pour le rayon A (m ) 11 v nc
L L ncdessiné, d  , donc τ  .
θ A cos r crcos
A4  Méthode 2.3 7. Les images sont toutes situées sur un
cercle de centre O et de rayon OA. Le rayon le plus rapide est celui qui parcourt le trajet le plus court, ce qui correspond à θ0 α
Voir schéma. (m ) Ln2 cdonc r  0 et cosr 1. Par conséquent τ  . O min8. On constate que A est confondue avec A. 6 c
On pourra donc observer six images
A3 Le rayon le plus lent correspond à θθ et à l’angle αα correspondant à la réflexion distinctes. a lim
A5 2n Lng climite en I, sachant que sin α   cos r . Donc τ  . lim lim min
n cnc g
A2 Ln ()n  ncc g
On en déduit : Δτ τ  τ  . max min
cng _________ Exercice 2.15 _____________________________
1. Cette résolution nécessite de bien identifier ce qui se passe en chaque point utile. Pour que le Δτ  320 nsAN pour une longueur de fibre L 1,0 km : .
rayon se propage dans le cœur de la fibre, il doit y avoir tout d’abord une réfraction en O (le
3. Pour que les impulsions lumineuses puissent être bien séparées à la sortie de la fibre, il faut rayon entrant dans le cœur) puis une réflexion totale en I et en tous les points analogues
1successifs : ainsi le rayon suivra une ligne brisée sans sortir du cœur. ff que la durée T entre deux impulsions soit supérieure à Δτ , soit . max
Δτ
I
AN f  3,1 MHz . b max
a
α r
z
O H
θ
n n g g
Donc sin θ  n sin r (1) et αα arcsin ou sin α  (2). D’autre part, la somme des c lim 
n n c c
π π
angles dans le triangle OHI est égale à π : αr  π donc α   r (3).
2 2
2n ng g2D’après (3), sin α  cosr et (2) peut donc s’écrire cos r  ou 1sin r . 
n nc  c
2
2 nsin θ  g 22On utilise alors (1) et on obtient 1 , d’où θ arcsin n n  θ .  cg  a 2nncc 
Si l’angle θ vérifie cette condition, le rayon restera dans la fibre et sera guidé par elle.
22o  sin θ  nn o  0,51On a donc trouvé . AN . n a cg n
 Méthodes 2.1, 2.2
Bas Es DE L’OPTIqu E gÉOMÉTRIqu E 57 nn  56 CHAPITRE 2 BASES DE ’QUE GÉOÉTQU 
Corrigé
CorriChapitre 3
Lentilles minces
Connu sous le nom d’Alhazen en Occident, le savant
arabe Al-Hassan ibn Al-HAitHAm (965-1039) vivait
au Caire. Il consacre ses recherches à l’optique
et comprend que la lumière vient à l’œil et non l’inverse ;
« sinon nous verrions la nuit » ajoute-t-il.
Ceci lui permet de construire des miroirs sphériques
et des lentilles grâce à des propriétés géométriques
qu’il met en lumière. Il construit une chambre
noire qui lui permet d’observer les éclipses.
■ Un peu d'histoire
Dans l’Antiquité, Euclide , Héron et Ptolémée se sont intéressés à l’optique en
introduisant la notion de rayon lumineux. Le dernier a étudié la réfexion et la réfraction.
Le savant arabe Ibn Sahl expose dans son ouvrage Sur les miroirs ardents et les lentilles
diverses propriétés des rayons lumineux. De nombreuses expériences astucieuses
permetent à Al -Haitham d’établir une théorie sérieuse sur le sujet.
eÀ la fn du xvi siècle, apparaissent en Italie, ou peut-être aux Pays-Bas, les premières
lentilles. Ceci permet à Galilée de découvrir en 1610 des satellites de Jupiter à l’aide
de l’une des premières lunetes astronomiques. Christiaan Huygens, mais surtout
Isaac Newton, apportent des éléments théoriques à la compréhension de la lumière.
Grâce à des prismes et des lentilles, le savant anglais établit la composition de la
lumière blanche et explique la présence d’arcs-en-ciel.
UN SCIENTIFIQUE  Résumé de cours
 Propriétés d’une lentille
 Définition et classification
Une lentille est un système optique centré, constitué d’un milieu transparent homogène et
isotrope délimité par deux dioptres sphériques (ou un dioptre plan et un dioptre sphérique).
Les lentilles à bords minces sont convergentes ; celles à bords épais sont divergentes.
  Objectifs On se limitera aux lentilles minces (dont l’épaisseur est négligeable) utilisées dans les
conditions de Gauss.
 Ce qu’il faut connaître Lentilles convergentes Lentilles divergentes
 Les propriétés des lentilles convergentes et divergentes
 Les définitions de la distance focale et de la vergence d’une lentille
 Les formules de conjugaison et de grandissement de Descartes
 Le modèle de l’œil et les ordres de grandeur de sa limite de résolution et de sa lentille lentille ménisque lentille lentille ménisque
plage d’accommodation convergent biconvexe plan-convexe biconcave plan-concave divergent
 Le modèle de l’appareil photographique
 Caractéristiques d’une lentille mince
Une lentille mince possède :
 Ce qu’il faut savoir faire – un centre optique O et un axe optique passant par O ;
– un foyer objet F sur l’axe optique, et un foyer image F' symétrique de F par rapport à O.
 Construire des rayons lumineux traversant une lentille
On note f  OF la distance focale objet et f OF la distance focale image (appelée aussi
 Faire la construction géométrique d’une image, et identifier sa nature réelle ou
simplement focale).
virtuelle
1 1 1V   La vergence d’une lentille est et s’exprime en m ou dioptries (δ).
 Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement de Descartes ff
 Construire géométriquement la profondeur de champ pour un réglage donné de V et f sont positives pour une lentille convergente, négatives pour une lentille divergente.
l’appareil photographique

 Schématisation
Lentilles convergentes Lentilles divergentes
O O F F' F' F

Par convention, la lumière se propage de la gauche vers la droite sur les schémas.
 Méthode 3.1. Construction d’un rayon particulier
 Méthode 3.2. Construction d’un rayon quelconque
LENTILLES MINCES 61     Résumé de cours
 Propriétés d’une lentille
 Définition et classification
Une lentille est un système optique centré, constitué d’un milieu transparent homogène et
isotrope délimité par deux dioptres sphériques (ou un dioptre plan et un dioptre sphérique).
Les lentilles à bords minces sont convergentes ; celles à bords épais sont divergentes.
  Objectifs On se limitera aux lentilles minces (dont l’épaisseur est négligeable) utilisées dans les
conditions de Gauss.
 Ce qu’il faut connaître Lentilles convergentes Lentilles divergentes
 Les propriétés des lentilles convergentes et divergentes
 Les définitions de la distance focale et de la vergence d’une lentille
 Les formules de conjugaison et de grandissement de Descartes
 Le modèle de l’œil et les ordres de grandeur de sa limite de résolution et de sa lentille lentille ménisque lentille lentille ménisque
plage d’accommodation convergent biconvexe plan-convexe biconcave plan-concave divergent
 Le modèle de l’appareil photographique
 Caractéristiques d’une lentille mince
Une lentille mince possède :
 Ce qu’il faut savoir faire – un centre optique O et un axe optique passant par O ;
– un foyer objet F sur l’axe optique, et un foyer image F' symétrique de F par rapport à O.
 Construire des rayons lumineux traversant une lentille
On note f  OF la distance focale objet et f OF la distance focale image (appelée aussi
 Faire la construction géométrique d’une image, et identifier sa nature réelle ou
simplement focale).
virtuelle
1 1 1V   La vergence d’une lentille est et s’exprime en m ou dioptries (δ).
 Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement de Descartes ff
 Construire géométriquement la profondeur de champ pour un réglage donné de V et f sont positives pour une lentille convergente, négatives pour une lentille divergente.
l’appareil photographique

 Schématisation
Lentilles convergentes Lentilles divergentes
O O F F' F' F

Par convention, la lumière se propage de la gauche vers la droite sur les schémas.
 Méthode 3.1. Construction d’un rayon particulier
 Méthode 3.2. Construction d’un rayon quelconque
LENTILLEs MINCEs 61 nnLENLLESMINCES   Image donnée par une lentille capteur
B d
 Construction graphique
F′ A On représente un objet par un segment AB, orthogonal à l’axe, avec A sur l’axe et B au-dessus.
On peut déterminer graphiquement les positions des images B ' puis A ' en traçant au moins deux F
B′ rayons issus de B. Inversement, on peut aussi déterminer l’objet AB à partir de l’image A ' B '.
boîtier
 Méthode 3.3. Construction graphique d’une image ou d’un objet objectif

 Formules de Descartes  Profondeur de champ
L’image peut également être déterminée à partir de l’objet (ou inversement) par le calcul, à Aucune image n’est rigoureusement ponctuelle, mais l’image d’un point est acceptable si sa
l’aide des formules de Descartes : formule de conjugaison (qui relie les positions de A et de A ') taille ne dépasse pas la taille d’un pixel du capteur. Si on effectue la mise au point sur un plan à
et formule de grandissement (qui relie les tailles de AB et de A' B'). une distance D, les plans situés plus loin ou plus près peuvent donner aussi des images nettes.
La profondeur de champ est la distance entre le plan le plus proche et le plan le plus lointain Formule de conjugaison Formule de grandissement
donnant des images nettes. Elle augmente quand la distance de mise au point augmente, quand 11 1  A B OA . le diaphragme est moins ouvert, et quand la focale diminue.  .
OA OA O F AB OA

AB
Le grandissement (transversal) est souvent noté γ.
AB
Sa valeur absolue indique si l’image est a grandie ( γ1 ) ou rét réci e ( γ1 ) par rapport à
l’objet. Son signe indique si elle est d ro ite, c’est-à-dire dans le même sens que l’objet ( γ0 ),
ou ren versé e ( γ0 ).
 Méthode 3.4. Détermination d’une image ou d’un objet avec les formules de Descartes

Grande profondeur de champ Faible profondeur de champ
 Formation d’une image sur un écran
Pour former une image réelle sur un écran, à partir d’un objet réel :
– seule une lentille convergente peut convenir ;  L’œil
– la distance D entre l’objet et l’écran doit vérifier Df 4  .
 Description  Méthode 3.5. Détermination de la distance minimale de projection
corps L’œil humain, vu en coupe, a la structure ci-contre.
vitré – L’iris (partie colorée), percé de la pupille de iris
diamètre variable, permet de contrôler le flux  L’appareil photographique
lumineux pénétrant dans l’œil. rétine
– Le cristallin constitue (avec la cornée) une
 Principe pupille lentille biconvexe dont la courbure peut être
Un appareil photographique comporte principalement :
modifiée par un muscle, ce qui fait varier sa focale.
– un objectif, modélisé par une lentille mince convergente de focale f  ;
– Le corps vitré est une substance fluide
– un capteur situé derrière la lentille, à une distance d réglable (mise au point) entre d et transparente. min
cornée – La rétine est tapissée de cellules réceptrices : d , en fonction de la distance de l’objet à photographier ; la valeur df   étant utilisée nerf max min
optique c’est là que se forme l’image (réelle). Ces cellules lorsque l’objet à photographier est à l’infini ; cristallin
communiquent alors les informations au cerveau. – un diaphragme de diamètre réglable, qui permet de contrôler la quantité de lumière qui
pénètre dans l’appareil. Deux points peuvent être vus distinctement si leur écart angulaire est supérieur à
4 α  3 10 rad : leurs images se forment alors sur deux cellules distinctes de la rétine. min
nn 62 Cha PITRE 3  62 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 63    Image donnée par une lentille capteur
B d
 Construction graphique
F′ A On représente un objet par un segment AB, orthogonal à l’axe, avec A sur l’axe et B au-dessus.
On peut déterminer graphiquement les positions des images B ' puis A ' en traçant au moins deux F
B′ rayons issus de B. Inversement, on peut aussi déterminer l’objet AB à partir de l’image A ' B '.
boîtier
 Méthode 3.3. Construction graphique d’une image ou d’un objet objectif

 Formules de Descartes  Profondeur de champ
L’image peut également être déterminée à partir de l’objet (ou inversement) par le calcul, à Aucune image n’est rigoureusement ponctuelle, mais l’image d’un point est acceptable si sa
l’aide des formules de Descartes : formule de conjugaison (qui relie les positions de A et de A ') taille ne dépasse pas la taille d’un pixel du capteur. Si on effectue la mise au point sur un plan à
et formule de grandissement (qui relie les tailles de AB et de A' B'). une distance D, les plans situés plus loin ou plus près peuvent donner aussi des images nettes.
La profondeur de champ est la distance entre le plan le plus proche et le plan le plus lointain Formule de conjugaison Formule de grandissement
donnant des images nettes. Elle augmente quand la distance de mise au point augmente, quand 11 1  A B OA . le diaphragme est moins ouvert, et quand la focale diminue.  .
OA OA O F AB OA

AB
Le grandissement (transversal) est souvent noté γ.
AB
Sa valeur absolue indique si l’image est a grandie ( γ1 ) ou rét réci e ( γ1 ) par rapport à
l’objet. Son signe indique si elle est d ro ite, c’est-à-dire dans le même sens que l’objet ( γ0 ),
ou ren versé e ( γ0 ).
 Méthode 3.4. Détermination d’une image ou d’un objet avec les formules de Descartes

Grande profondeur de champ Faible profondeur de champ
 Formation d’une image sur un écran
Pour former une image réelle sur un écran, à partir d’un objet réel :
– seule une lentille convergente peut convenir ;  L’œil
– la distance D entre l’objet et l’écran doit vérifier Df 4  .
 Description  Méthode 3.5. Détermination de la distance minimale de projection
corps L’œil humain, vu en coupe, a la structure ci-contre.
vitré – L’iris (partie colorée), percé de la pupille de iris
diamètre variable, permet de contrôler le flux  L’appareil photographique
lumineux pénétrant dans l’œil. rétine
– Le cristallin constitue (avec la cornée) une
 Principe pupille lentille biconvexe dont la courbure peut être
Un appareil photographique comporte principalement :
modifiée par un muscle, ce qui fait varier sa focale.
– un objectif, modélisé par une lentille mince convergente de focale f  ;
– Le corps vitré est une substance fluide
– un capteur situé derrière la lentille, à une distance d réglable (mise au point) entre d et transparente. min
cornée – La rétine est tapissée de cellules réceptrices : d , en fonction de la distance de l’objet à photographier ; la valeur df   étant utilisée nerf max min
optique c’est là que se forme l’image (réelle). Ces cellules lorsque l’objet à photographier est à l’infini ; cristallin
communiquent alors les informations au cerveau. – un diaphragme de diamètre réglable, qui permet de contrôler la quantité de lumière qui
pénètre dans l’appareil. Deux points peuvent être vus distinctement si leur écart angulaire est supérieur à
4 α  3 10 rad : leurs images se forment alors sur deux cellules distinctes de la rétine. min
LENTILLEs MINCEs 63 nn  62 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES63 
 Modélisation   Méthodes On peut modéliser l’œil par une lentille convergente (cristallin) de distance focale réglable, et
un écran (rétine), situés à une distance fixe l’un de l’autre (profondeur de l’œil).
 Fonctionnement de l’œil emmétrope
Œil au repos  Comment construire graphiquement des rayons lumineux ?
Un œil emmétrope (sans défaut) est réglé, au df  0
repos, pour voir des objets à l’infini. L’image  Méthode 3.1. Construction d’un rayon particulier B 
se forme sur la rétine et la profondeur de l’œil
est alors égale à la focale du cristallin. Il existe trois rayons particuliers : les règles suivantes permettent de construire
Le point que voit un œil au repos est le plus B' immédiatement le rayon émergent à partir du rayon incident, ou l’inverse.
éloigné de l’œil, appelé punctum remotum 1) Un rayon incident passant par le centre optique O n’est pas dévié. cristallin rétine (PR) : il est à l’infini pour un œil emmétrope. 2) Si le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le support du rayon émergent
passe par le foyer image F'.
Accommodation
3) Si le support du rayon incident passe par le foyer objet F, le rayon émergent est
La distance cristallin-rétine est fixe, donc pour d
parallèle à l’axe. B voir un objet proche l’œil doit diminuer sa
focale, en contractant le muscle associé au
 Exercices 3.1, 3.2, 3.3, 3.8, 3.9, 3.11 cristallin : ce processus est l’accommodation.
Lorsque l’œil est en accommodation A
ff B' 0maximale, le point visible est le plus proche (1)
de l’œil, appelé punctum proximum (PP). (2)
La distance entre un œil emmétrope et son PP est notée d et vaut conventionnellement 0,25 m. m
L’intervalle entre le PP et le PR est appelé plage d’accommodation. F O F'
(3)
 Associations de lentilles

 Principe général
 Méthode 3.2. Construction d’un rayon quelconque
Si un système optique est constitué de deux lentilles successives, l’image donnée par la
première devient un objet pour la deuxième, qui en donne à son tour une image. Ceci peut être Dans le cas d’un rayon quelconque, on peut procéder de deux façons symétriques.
schématisé de la manière suivante : – On choisit l’un des rayons incidents particuliers, parallèle au rayon incident
L L1 2AB A B  AB étudié (deux possibilités : celui passant par O ou celui passant par F), et on trace ii
son rayon émergent. Alors ce rayon émergent et celui que l’on cherche se coupent AB AB A Bi iLe grandissement global est alors   soit γγ  γ . 12 dans le plan focal image.
AB A B ABi i – On peut aussi choisir l’un des rayons incidents particuliers coupant le rayon
Ce fonctionnement se généralise à une association de trois lentilles ou plus. incident étudié dans le plan focal objet (deux possibilités également : celui passant
par O ou celui parallèle à l’axe), et tracer son rayon émergent. Alors ce rayon
 Théorème des vergences pour des lentilles accolées émergent et celui que l’on cherche sont parallèles entre eux.
Dans le cas où on associe deux lentilles de vergences V et V en les accolant, c’est-à-dire sans 1 2
laisser d’espace entre elles, on obtient un système équivalent à une seule lentille de vergence V  Exercice 3.1, 3.8, 3.9, 3.16
telle que V  V V . 1 2
 Méthode 3.6. Détermination de l’image donnée par une association
nn 64 Cha PITRE 3  64 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 65  
Méthodes
 Modélisation   Méthodes On peut modéliser l’œil par une lentille convergente (cristallin) de distance focale réglable, et
un écran (rétine), situés à une distance fixe l’un de l’autre (profondeur de l’œil).
 Fonctionnement de l’œil emmétrope
Œil au repos  Comment construire graphiquement des rayons lumineux ?
Un œil emmétrope (sans défaut) est réglé, au df  0
repos, pour voir des objets à l’infini. L’image  Méthode 3.1. Construction d’un rayon particulier B 
se forme sur la rétine et la profondeur de l’œil
est alors égale à la focale du cristallin. Il existe trois rayons particuliers : les règles suivantes permettent de construire
Le point que voit un œil au repos est le plus B' immédiatement le rayon émergent à partir du rayon incident, ou l’inverse.
éloigné de l’œil, appelé punctum remotum 1) Un rayon incident passant par le centre optique O n’est pas dévié. cristallin rétine (PR) : il est à l’infini pour un œil emmétrope. 2) Si le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le support du rayon émergent
passe par le foyer image F'.
Accommodation
3) Si le support du rayon incident passe par le foyer objet F, le rayon émergent est
La distance cristallin-rétine est fixe, donc pour d
parallèle à l’axe. B voir un objet proche l’œil doit diminuer sa
focale, en contractant le muscle associé au
 Exercices 3.1, 3.2, 3.3, 3.8, 3.9, 3.11 cristallin : ce processus est l’accommodation.
Lorsque l’œil est en accommodation A
ff B' 0maximale, le point visible est le plus proche (1)
de l’œil, appelé punctum proximum (PP). (2)
La distance entre un œil emmétrope et son PP est notée d et vaut conventionnellement 0,25 m. m
L’intervalle entre le PP et le PR est appelé plage d’accommodation. F O F'
(3)
 Associations de lentilles

 Principe général
 Méthode 3.2. Construction d’un rayon quelconque
Si un système optique est constitué de deux lentilles successives, l’image donnée par la
première devient un objet pour la deuxième, qui en donne à son tour une image. Ceci peut être Dans le cas d’un rayon quelconque, on peut procéder de deux façons symétriques.
schématisé de la manière suivante : – On choisit l’un des rayons incidents particuliers, parallèle au rayon incident
L L1 2AB A B  AB étudié (deux possibilités : celui passant par O ou celui passant par F), et on trace ii
son rayon émergent. Alors ce rayon émergent et celui que l’on cherche se coupent AB AB A Bi iLe grandissement global est alors   soit γγ  γ . 12 dans le plan focal image.
AB A B ABi i – On peut aussi choisir l’un des rayons incidents particuliers coupant le rayon
Ce fonctionnement se généralise à une association de trois lentilles ou plus. incident étudié dans le plan focal objet (deux possibilités également : celui passant
par O ou celui parallèle à l’axe), et tracer son rayon émergent. Alors ce rayon
 Théorème des vergences pour des lentilles accolées émergent et celui que l’on cherche sont parallèles entre eux.
Dans le cas où on associe deux lentilles de vergences V et V en les accolant, c’est-à-dire sans 1 2
laisser d’espace entre elles, on obtient un système équivalent à une seule lentille de vergence V  Exercice 3.1, 3.8, 3.9, 3.16
telle que V  V V . 1 2
 Méthode 3.6. Détermination de l’image donnée par une association
LENTILLEs MINCEs 65 nn  64 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES 
Méthodes
Méthodes
rayon quelconque  Méthode 3.4. Détermination d’une image ou d’un objet avec les
de départ
formules de Descartes

On peut déterminer la position et la taille de l’image en utilisant les formules de
F' F' Descartes :
F F – la formule de conjugaison donne la position de A' (sur l’axe) ;
– la formule de grandissement donne la taille de A'B' à partir de sa position.
Il faut faire attention à bien utiliser des mesures algébriques et non des distances.

 Exercices 3.3, 3.4, 3.6, 3.11, 3.14, 3.16
 Comment déterminer l’image d’un objet par une lentille ?
Exemple : quelle est l’image d’un objet AB haut de 2,0 cm, placé 80 cm avant une lentille mince
convergente, de focale f   20 cm ?  Méthode 3.3. Construction graphique d’une image ou d'un objet
Les données sont, en mesures algébriques : OA  80 cm (objet réel), OF   20 cm et
L’objet AB est orthogonal à l’axe, A étant sur l’axe. On cherche l’image A ' B '.
AB  2,0 cm (si toutes les longueurs sont en centimètres, il n’est pas nécessaire de les
Celle-ci est également orthogonale à l’axe (par aplanétisme de la lentille) et A' est
convertir en mètres).
sur l’axe (puisque celui-ci correspond à un rayon particulier).
11 1 11 1 OA  OF– On choisit au moins deux rayons incidents particuliers dont les supports passent Formule de conjugaison :  d’où   soit
par B, et on trace les rayons émergents correspondants. OAOA OF OA OA OFOA OF
– L’intersection des supports de ces rayons émergents donne B'. OA OF 
OA   OA   27 cm– On projette alors B ' orthogonalement sur l’axe pour obtenir A '. . Application numérique : (image réelle).
OA  OFDe façon inverse, on peut ainsi obtenir l’objet AB à partir de l’image A' B'.
OA
La formule de grandissement donne alors la taille de l’image : A B   AB .
OA Exercices 3.2, 3.3, 3.8, 3.11, 3.13
AB  0,67 cmAN (image renversée et rétrécie).
B B
 Méthode 3.5. Détermination de la distance minimale de projection
B '
F F' A ' La distance D entre un objet réel et l’écran où on veut former son image étant
fixée, utiliser l’un des formules de conjugaison pour déterminer l’endroit où il faut A F O A F' A ' O
placer la lentille (convergente). Le calcul montre alors que la condition pour qu’il y
B ' ait des solutions est Df 4 .
Lentille convergente, Lentille divergente,
objet réel (avant F), image réelle objet réel, image virtuelle  Exercice 3.6

B
A et A' sont fixés, tels que AA   D , et on cherche où placer la lentille, donc le point O : on peut
B ' donc prendre comme inconnue x  OA.
11 1 1 11
 F O A ' F' A Formule de Descartes :  avec x OA OAAA x D , donc 
xxf x  D x f 
2 2 d’où l’équation du second degré xDx D f 0 . Discriminant : Δ4 D  Df .
Lentille convergente,
objet virtuel, image réelle
nn 66 Cha PITRE 3  66 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 67  
Méthodes
rayon quelconque  Méthode 3.4. Détermination d’une image ou d’un objet avec les
de départ
formules de Descartes

On peut déterminer la position et la taille de l’image en utilisant les formules de
F' F' Descartes :
F F – la formule de conjugaison donne la position de A' (sur l’axe) ;
– la formule de grandissement donne la taille de A'B' à partir de sa position.
Il faut faire attention à bien utiliser des mesures algébriques et non des distances.

 Exercices 3.3, 3.4, 3.6, 3.11, 3.14, 3.16
 Comment déterminer l’image d’un objet par une lentille ?
Exemple : quelle est l’image d’un objet AB haut de 2,0 cm, placé 80 cm avant une lentille mince
convergente, de focale f   20 cm ?  Méthode 3.3. Construction graphique d’une image ou d'un objet
Les données sont, en mesures algébriques : OA  80 cm (objet réel), OF   20 cm et
L’objet AB est orthogonal à l’axe, A étant sur l’axe. On cherche l’image A ' B '.
AB  2,0 cm (si toutes les longueurs sont en centimètres, il n’est pas nécessaire de les
Celle-ci est également orthogonale à l’axe (par aplanétisme de la lentille) et A' est
convertir en mètres).
sur l’axe (puisque celui-ci correspond à un rayon particulier).
11 1 11 1 OA  OF– On choisit au moins deux rayons incidents particuliers dont les supports passent Formule de conjugaison :  d’où   soit
par B, et on trace les rayons émergents correspondants. OAOA OF OA OA OFOA OF
– L’intersection des supports de ces rayons émergents donne B'. OA OF 
OA   OA   27 cm– On projette alors B ' orthogonalement sur l’axe pour obtenir A '. . Application numérique : (image réelle).
OA  OFDe façon inverse, on peut ainsi obtenir l’objet AB à partir de l’image A' B'.
OA
La formule de grandissement donne alors la taille de l’image : A B   AB .
OA Exercices 3.2, 3.3, 3.8, 3.11, 3.13
AB  0,67 cmAN (image renversée et rétrécie).
B B
 Méthode 3.5. Détermination de la distance minimale de projection
B '
F F' A ' La distance D entre un objet réel et l’écran où on veut former son image étant
fixée, utiliser l’un des formules de conjugaison pour déterminer l’endroit où il faut A F O A F' A ' O
placer la lentille (convergente). Le calcul montre alors que la condition pour qu’il y
B ' ait des solutions est Df 4 .
Lentille convergente, Lentille divergente,
objet réel (avant F), image réelle objet réel, image virtuelle  Exercice 3.6

B
A et A' sont fixés, tels que AA   D , et on cherche où placer la lentille, donc le point O : on peut
B ' donc prendre comme inconnue x  OA.
11 1 1 11
 F O A ' F' A Formule de Descartes :  avec x OA OAAA x D , donc 
xxf x  D x f 
2 2 d’où l’équation du second degré xDx D f 0 . Discriminant : Δ4 D  Df .
Lentille convergente,
objet virtuel, image réelle
LENTILLEs MINCEs 67 nn  66 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES 
Méthodes
Méthodes
Si Δ0 , soit Df 4 , il y a deux solutions distinctes (soit deux positions possibles de la   Vrai/Faux
2D D  4 Df 
lentille) : x  .
2
Le cas limite théorique Δ0 , soit Df 4 , est celui où les deux positions sont confondues.
Si Df 4  , il n’y a aucune solution : il est impossible de former une image réelle d’un objet
Vrai Faux
réel si la distance objet - écran est trop petite (moins de 4 fois la focale).
1. L’image du foyer principal objet d’une lentille mince est le foyer   principal image.
2. Le foyer principal image F' d’une lentille divergente est situé avant la  Comment traiter l’association de deux lentilles ?   lentille.
 Méthode 3.6. Détermination de l’image donnée par une association 3. Une lentille divergente a une vergence négative.  
Considérons l’association coaxiale de deux lentilles L (O , f  ) et L (O , f  ). 1 1 1 2 2 2 4. L’image d’un objet réel par une lentille divergente est toujours   – Si les lentilles sont séparées, la lentille L donne d’un objet AB une image virtuelle. 1
intermédiaire AB , qui sert alors d’objet à la lentille L qui en donne une image 1 1 2 5. Un grandissement négatif indique que l’image est plus petite que   l’objet. AB AB A B11finale A'B' . Le grandissement global est alors   soit γγ  γ . 12 6. Deux lentilles minces accolées, de focales f  et f  , sont équivalentes AB A B AB 1 211   à une seule lentille mince de focale f  ff . 1 2– Si les lentilles sont accolées, alors OO et l’association est équivalente à une 12
7. Le punctum remotum d’un œil emmétrope est situé à l’infini. 1 11   lentille unique de centre OO  O et de focale f  telle que   . Cela 12  f ff12 8. Quand un œil accommode, la distance focale du cristallin devient plus
revient à dire que la lentille équivalente a une vergence V  V V .   12 courte.
9. Un appareil photographique donne une image virtuelle d’un objet réel.  
 Exercices 3.8, 3.9, 3.11, 3.16
10. En diminuant la largeur du diaphragme d’un appareil photographique,   Supposons qu’on accole une lentille mince convergente de focale f  50 cm (soit V  2,0 δ ) on diminue la luminosité mais on augmente la profondeur de champ. 1 1
et une lentille mince divergente de focale f  25 cm (soit V  4,0 δ ). 2 2
L L1 2Nommons les images successives : AB A B A B  1 1
11 1 11
On applique deux fois la formule de Descartes :    V et  V . 1 2
 OA OA O F OA OA1 1 1 11 2 21
11
Or OO , noté O, donc en additionnant membre à membre on obtient :  VV . 12 12
OA OA
Cette association est donc équivalente à une lentille unique de vergence V VV2,0 δ 12
donc de focale f  50 cm : elle est divergente.
L’image qu’elle donne d’un objet peut alors être déterminée par une construction ou par le
calcul en considérant cette lentille unique, avec les méthodes vues précédemment.



nn 68 Cha PITRE 3  68 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 69  
Si Δ0 , soit Df 4 , il y a deux solutions distinctes (soit deux positions possibles de la   Vrai/Faux
2D D  4 Df 
lentille) : x  .
2
Le cas limite théorique Δ0 , soit Df 4 , est celui où les deux positions sont confondues.
Si Df 4  , il n’y a aucune solution : il est impossible de former une image réelle d’un objet
Vrai Faux
réel si la distance objet - écran est trop petite (moins de 4 fois la focale).
1. L’image du foyer principal objet d’une lentille mince est le foyer   principal image.
2. Le foyer principal image F' d’une lentille divergente est situé avant la  Comment traiter l’association de deux lentilles ?   lentille.
 Méthode 3.6. Détermination de l’image donnée par une association 3. Une lentille divergente a une vergence négative.  
Considérons l’association coaxiale de deux lentilles L (O , f  ) et L (O , f  ). 1 1 1 2 2 2 4. L’image d’un objet réel par une lentille divergente est toujours   – Si les lentilles sont séparées, la lentille L donne d’un objet AB une image virtuelle. 1
intermédiaire AB , qui sert alors d’objet à la lentille L qui en donne une image 1 1 2 5. Un grandissement négatif indique que l’image est plus petite que   l’objet. AB AB A B11finale A'B' . Le grandissement global est alors   soit γγ  γ . 12 6. Deux lentilles minces accolées, de focales f  et f  , sont équivalentes AB A B AB 1 211   à une seule lentille mince de focale f  ff . 1 2– Si les lentilles sont accolées, alors OO et l’association est équivalente à une 12
7. Le punctum remotum d’un œil emmétrope est situé à l’infini. 1 11   lentille unique de centre OO  O et de focale f  telle que   . Cela 12  f ff12 8. Quand un œil accommode, la distance focale du cristallin devient plus
revient à dire que la lentille équivalente a une vergence V  V V .   12 courte.
9. Un appareil photographique donne une image virtuelle d’un objet réel.  
 Exercices 3.8, 3.9, 3.11, 3.16
10. En diminuant la largeur du diaphragme d’un appareil photographique,   Supposons qu’on accole une lentille mince convergente de focale f  50 cm (soit V  2,0 δ ) on diminue la luminosité mais on augmente la profondeur de champ. 1 1
et une lentille mince divergente de focale f  25 cm (soit V  4,0 δ ). 2 2
L L1 2Nommons les images successives : AB A B A B  1 1
11 1 11
On applique deux fois la formule de Descartes :    V et  V . 1 2
 OA OA O F OA OA1 1 1 11 2 21
11
Or OO , noté O, donc en additionnant membre à membre on obtient :  VV . 12 12
OA OA
Cette association est donc équivalente à une lentille unique de vergence V VV2,0 δ 12
donc de focale f  50 cm : elle est divergente.
L’image qu’elle donne d’un objet peut alors être déterminée par une construction ou par le
calcul en considérant cette lentille unique, avec les méthodes vues précédemment.



LENTILLEs MINCEs 69 nn  68 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES 
 Détermination d’une image   Énoncé des exercices
 Exercice 3.3. Lentille convergente
1. Un objet AB de 0,5 cm est placé à 30 cm devant une lentille convergente de focale
f   20 cm , perpendiculairement à son axe. Déterminer la position, la taille et la nature de
l’image en utilisant les formules de Descartes.  Constructions graphiques élémentaires
2. Retrouver ces résultats par une construction graphique.
3. Quelle image cette lentille donnerait-elle d’un objet virtuel de même taille placé 30 cm après  Exercice 3.1. Tracés de rayons
son centre ? Vérifier graphiquement. Représenter les rayons émergents correspondants aux rayons incidents dans les six cas suivants.
1 . 2.
 Exercice 3.4. Lentille divergente*
Étudier, à partir des formules de conjugaison et de grandissement de Descartes, les différents O O F F F' F'
types d’images (réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou rétrécie) que peut donner
une lentille divergente en fonction de la position de l’objet (envisager un objet réel ou virtuel).
3 . 4.

 Focométrie
O F F' F' F O
Dans cette partie, on utilise un banc
optique gradué sur lequel peuvent
coulisser des supports, munis d’un 5 . 6.
repère permettant de déterminer leur
position sur le banc. Ces supports
F F' O F F' O peuvent recevoir les différents éléments
utilisés en optique au laboratoire :
lampe, objet, lentille, miroir, écran…
 Exercice 3.2. Constructions d’images
Reproduire chacune des deux figures ci-dessous, et construire l’image de l’objet AB. Attention,
dans les deux cas la lumière se propage de gauche à droite, selon la convention habituelle.
 Exercice 3.5. Vérification expérimentale des formules
1. B On place un objet à la graduation « 0 » du banc (l’objet est constitué par une lettre imprimée sur
un papier calque et éclairé par une lampe blanche). On place alors une lentille convergente sur
un deuxième support et un écran sur un troisième. Les trois supports étant sur le banc (la lentille
entre l’objet et l’écran), on déplace l’écran de façon à observer une image nette. O F A F'
On note alors la graduation x de la lentille et celle x de l’écran et on reporte dans un tableau 1 2
les différentes valeurs obtenues (en cm) :

2. x 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 15,0 20,0 25,0 30,0 40,0 50,0 1B
x 79,2 51,1 41,0 37,3 33,0 32,1 33,2 36,9 41,1 50,3 59,8 2

1. On note A la position de l’objet, O celle de la lentille et A' celle de l’écran. Représenter O F A = F'
1 1
graphiquement en fonction de et vérifier la formule de conjugaison.
OA OA
2. Déterminer la vergence de la lentille utilisée.
nn 70 Cha PITRE 3  70 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 71  



 Détermination d’une image   Énoncé des exercices
 Exercice 3.3. Lentille convergente
1. Un objet AB de 0,5 cm est placé à 30 cm devant une lentille convergente de focale
f   20 cm , perpendiculairement à son axe. Déterminer la position, la taille et la nature de
l’image en utilisant les formules de Descartes.  Constructions graphiques élémentaires
2. Retrouver ces résultats par une construction graphique.
3. Quelle image cette lentille donnerait-elle d’un objet virtuel de même taille placé 30 cm après  Exercice 3.1. Tracés de rayons
son centre ? Vérifier graphiquement. Représenter les rayons émergents correspondants aux rayons incidents dans les six cas suivants.
1 . 2.
 Exercice 3.4. Lentille divergente*
Étudier, à partir des formules de conjugaison et de grandissement de Descartes, les différents O O F F F' F'
types d’images (réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou rétrécie) que peut donner
une lentille divergente en fonction de la position de l’objet (envisager un objet réel ou virtuel).
3 . 4.

 Focométrie
O F F' F' F O
Dans cette partie, on utilise un banc
optique gradué sur lequel peuvent
coulisser des supports, munis d’un 5 . 6.
repère permettant de déterminer leur
position sur le banc. Ces supports
F F' O F F' O peuvent recevoir les différents éléments
utilisés en optique au laboratoire :
lampe, objet, lentille, miroir, écran…
 Exercice 3.2. Constructions d’images
Reproduire chacune des deux figures ci-dessous, et construire l’image de l’objet AB. Attention,
dans les deux cas la lumière se propage de gauche à droite, selon la convention habituelle.
 Exercice 3.5. Vérification expérimentale des formules
1. B On place un objet à la graduation « 0 » du banc (l’objet est constitué par une lettre imprimée sur
un papier calque et éclairé par une lampe blanche). On place alors une lentille convergente sur
un deuxième support et un écran sur un troisième. Les trois supports étant sur le banc (la lentille
entre l’objet et l’écran), on déplace l’écran de façon à observer une image nette. O F A F'
On note alors la graduation x de la lentille et celle x de l’écran et on reporte dans un tableau 1 2
les différentes valeurs obtenues (en cm) :

2. x 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 15,0 20,0 25,0 30,0 40,0 50,0 1B
x 79,2 51,1 41,0 37,3 33,0 32,1 33,2 36,9 41,1 50,3 59,8 2

1. On note A la position de l’objet, O celle de la lentille et A' celle de l’écran. Représenter O F A = F'
1 1
graphiquement en fonction de et vérifier la formule de conjugaison.
OA OA
2. Déterminer la vergence de la lentille utilisée.
LENTILLEs MINCEs 71 nn  70 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES 



3. On peut associer un diaphragme à la lentille sur son support. Quel est son effet ? Est-ce  L’œil et la loupe
judicieux pour ces mesures expérimentales ?
 Exercice 3.10. Pouvoir séparateur de l’œil
 Exercice 3.6. Méthode de Bessel* 4Le pouvoir séparateur d’un œil emmétrope est α  3,0 10 rad, c’est-à-dire que deux points minOn place l’objet sur la graduation « 0 » et on fixe l’écran à une distance D  60,0 cm de lui. On
peuvent être vus distinctement si leur écart angulaire est supérieur à cette valeur.
déplace ensuite la lentille entre ces deux positions à la recherche d’une image nette sur l’écran.
1. Jusqu’à quelle distance cet œil peut-il distinguer deux traits parallèles séparés de
1. Montrer qu’il existe deux positions de la lentille donnant une image nette, à condition que D
d  2,0 mm ?
soit supérieure à une certaine valeur (à préciser).
2. Quelle doit être la taille d’une lettre d’un panneau autoroutier pour être lue à 250 m ? (Faire 2. On note d la distance entre ces deux positions. Montrer qu’on peut exprimer la focale f  de
l’étude avec la lettre E.)
la lentille en fonction de D et d.
3. Si on assimile l’œil à une lentille convergente associée à un écran (rétine) placé à une
3. On a mesuré d  41,0 cm . Calculer la focale de la lentille.
distance fixe L  20 mm derrière, quelle est la taille moyenne d’un récepteur de la rétine ?
 Exercice 3.7. Méthode de Silbermann  Exercice 3.11. Loupe et oculaire*
On place l’objet, la lentille et l’écran dans cet ordre sur le banc de façon à observer sur l’écran 1. Toto utilise une lentille mince convergente de focale f  3,0 cm comme loupe. Son œil,
une image renversée et de même taille que l’objet. On note D la distance entre l’objet et l’écran.
emmétrope (PP à la distance d = 25 cm), est au foyer image de la lentille. Dans ces conditions, m1. Montrer qu’il existe alors une relation simple entre D et la focale f de la lentille.
il observe un objet AB de hauteur 5,0 mm, placé au foyer objet.
2. Vérifier qu’il s’agit d’un cas particulier de la situation de l’exercice précédent. Déterminer le grossissement commercial de cette loupe, défini comme le rapport entre
l’angle α' sous lequel on voit l’image à l’infini de l’objet à travers la loupe, et l’angle α sous
 Exercice 3.8. Méthode d’autocollimation* lequel on verrait ce même objet à l’œil nu à la distance minimale de vision distincte d . m
On place sur un même support une lentille mince 2. Un oculaire est constitué de deux lentilles L et L identiques à la lentille précédente, et 1 2B
convergente de focale f et un miroir plan. On déplace A séparées par une distance OO  2,0 cm . 12
A' alors l’ensemble de façon à former sur le support de a) Déterminer les foyers principaux F et F' de ce système. B' l’objet une image renversée et de même taille que l’objet. b) Toto observe l’objet précédent, placé à 0,75 cm devant O , son œil étant placé en F'. 1
1. Montrer que, dans ce cas, la distance entre le système {lentille + miroir} et l’objet Déterminer le grossissement commercial de ce système.
correspond à la focale de la lentille.
2. Justifier par une représentation graphique modélisant le trajet des rayons lumineux.
 Projecteurs et appareils photographiques
 Exercice 3.9. Mesure de la focale d’une lentille divergente*
1. Pourquoi les méthodes de Bessel et de Silbermann (exercices 3 . 6 et 3 . 7) ne sont-elles pas  Exercice 3.12. Projection
utilisables pour des lentilles divergentes ?
1. On veut projeter sur un mur l’image d’une diapositive de taille 24 mm × 36 mm à l’aide
2. Pour mesurer la focale d’une lentille divergente, on peut utiliser l’additivité des vergences
d’une lentille de focale f  8,0 cm . Le mur étant à 5,0 m derrière la lentille, préciser la
pour des lentilles accolées. On place par exemple sur un même support une lentille
position de la diapositive et les dimensions de l’image nette obtenue sur le mur.  convergente de focale f  8,0 cm et une lentille divergente de focale inconnue f . 1 2
2. On souhaite à présent obtenir une image 40 fois plus grande que l’objet. Ce dernier restant
L’association de ces deux lentilles donne d’un objet placé à 70 cm du support une image
fixe, indiquer dans quel sens et de quelle distance il faut déplacer la lentille et l’écran.
réelle située 25,5 cm après. Déterminer f  . 2
3. On peut aussi utiliser la méthode de Badal. Pour cela on utilise deux lentilles convergentes  Exercice 3.13. Conception d’un projecteur de diapositives**
  LO( ,)f et LO( ,)f séparées par une distance OO supérieure à f . On place alors 1 11 2 22 12 2 1. On cherche à concevoir un projecteur de diapositives ( 24 mm  36 mm ) permettant
d’obtel’objet dans le plan focal objet de L de façon à obtenir une image réelle dans le plan focal nir une image de 1,20 m de large sur un écran situé en E à L  3,0 m du centre optique de la 1
image de L . On note la position de l’image. On place ensuite la lentille divergente de lentille ()L pour une diapositive horizontale. On note e  IF et m  FE . On considère la 2 1
focale f inconnue dans le plan focal objet de L . L’image définitive A'B' se forme alors au- source lumineuse S comme ponctuelle. La diapositive est centrée en I sur l’axe optique. 2
delà de F : on note δ le déplacement de cette image provoqué par la lentille divergente. 2
 Déterminer f en fonction de f et δ. 2
nn 72 Cha PITRE 3  72 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 73  
3. On peut associer un diaphragme à la lentille sur son support. Quel est son effet ? Est-ce  L’œil et la loupe
judicieux pour ces mesures expérimentales ?
 Exercice 3.10. Pouvoir séparateur de l’œil
 Exercice 3.6. Méthode de Bessel* 4Le pouvoir séparateur d’un œil emmétrope est α  3,0 10 rad, c’est-à-dire que deux points minOn place l’objet sur la graduation « 0 » et on fixe l’écran à une distance D  60,0 cm de lui. On
peuvent être vus distinctement si leur écart angulaire est supérieur à cette valeur.
déplace ensuite la lentille entre ces deux positions à la recherche d’une image nette sur l’écran.
1. Jusqu’à quelle distance cet œil peut-il distinguer deux traits parallèles séparés de
1. Montrer qu’il existe deux positions de la lentille donnant une image nette, à condition que D
d  2,0 mm ?
soit supérieure à une certaine valeur (à préciser).
2. Quelle doit être la taille d’une lettre d’un panneau autoroutier pour être lue à 250 m ? (Faire 2. On note d la distance entre ces deux positions. Montrer qu’on peut exprimer la focale f  de
l’étude avec la lettre E.)
la lentille en fonction de D et d.
3. Si on assimile l’œil à une lentille convergente associée à un écran (rétine) placé à une
3. On a mesuré d  41,0 cm . Calculer la focale de la lentille.
distance fixe L  20 mm derrière, quelle est la taille moyenne d’un récepteur de la rétine ?
 Exercice 3.7. Méthode de Silbermann  Exercice 3.11. Loupe et oculaire*
On place l’objet, la lentille et l’écran dans cet ordre sur le banc de façon à observer sur l’écran 1. Toto utilise une lentille mince convergente de focale f  3,0 cm comme loupe. Son œil,
une image renversée et de même taille que l’objet. On note D la distance entre l’objet et l’écran.
emmétrope (PP à la distance d = 25 cm), est au foyer image de la lentille. Dans ces conditions, m1. Montrer qu’il existe alors une relation simple entre D et la focale f de la lentille.
il observe un objet AB de hauteur 5,0 mm, placé au foyer objet.
2. Vérifier qu’il s’agit d’un cas particulier de la situation de l’exercice précédent. Déterminer le grossissement commercial de cette loupe, défini comme le rapport entre
l’angle α' sous lequel on voit l’image à l’infini de l’objet à travers la loupe, et l’angle α sous
 Exercice 3.8. Méthode d’autocollimation* lequel on verrait ce même objet à l’œil nu à la distance minimale de vision distincte d . m
On place sur un même support une lentille mince 2. Un oculaire est constitué de deux lentilles L et L identiques à la lentille précédente, et 1 2B
convergente de focale f et un miroir plan. On déplace A séparées par une distance OO  2,0 cm . 12
A' alors l’ensemble de façon à former sur le support de a) Déterminer les foyers principaux F et F' de ce système. B' l’objet une image renversée et de même taille que l’objet. b) Toto observe l’objet précédent, placé à 0,75 cm devant O , son œil étant placé en F'. 1
1. Montrer que, dans ce cas, la distance entre le système {lentille + miroir} et l’objet Déterminer le grossissement commercial de ce système.
correspond à la focale de la lentille.
2. Justifier par une représentation graphique modélisant le trajet des rayons lumineux.
 Projecteurs et appareils photographiques
 Exercice 3.9. Mesure de la focale d’une lentille divergente*
1. Pourquoi les méthodes de Bessel et de Silbermann (exercices 3 . 6 et 3 . 7) ne sont-elles pas  Exercice 3.12. Projection
utilisables pour des lentilles divergentes ?
1. On veut projeter sur un mur l’image d’une diapositive de taille 24 mm × 36 mm à l’aide
2. Pour mesurer la focale d’une lentille divergente, on peut utiliser l’additivité des vergences
d’une lentille de focale f  8,0 cm . Le mur étant à 5,0 m derrière la lentille, préciser la
pour des lentilles accolées. On place par exemple sur un même support une lentille
position de la diapositive et les dimensions de l’image nette obtenue sur le mur.  convergente de focale f  8,0 cm et une lentille divergente de focale inconnue f . 1 2
2. On souhaite à présent obtenir une image 40 fois plus grande que l’objet. Ce dernier restant
L’association de ces deux lentilles donne d’un objet placé à 70 cm du support une image
fixe, indiquer dans quel sens et de quelle distance il faut déplacer la lentille et l’écran.
réelle située 25,5 cm après. Déterminer f  . 2
3. On peut aussi utiliser la méthode de Badal. Pour cela on utilise deux lentilles convergentes  Exercice 3.13. Conception d’un projecteur de diapositives**
  LO( ,)f et LO( ,)f séparées par une distance OO supérieure à f . On place alors 1 11 2 22 12 2 1. On cherche à concevoir un projecteur de diapositives ( 24 mm  36 mm ) permettant
d’obtel’objet dans le plan focal objet de L de façon à obtenir une image réelle dans le plan focal nir une image de 1,20 m de large sur un écran situé en E à L  3,0 m du centre optique de la 1
image de L . On note la position de l’image. On place ensuite la lentille divergente de lentille ()L pour une diapositive horizontale. On note e  IF et m  FE . On considère la 2 1
focale f inconnue dans le plan focal objet de L . L’image définitive A'B' se forme alors au- source lumineuse S comme ponctuelle. La diapositive est centrée en I sur l’axe optique. 2
delà de F : on note δ le déplacement de cette image provoqué par la lentille divergente. 2
 Déterminer f en fonction de f et δ. 2
LENTILLEs MINCEs 73 nn  72 CHAPITRE 3 LENLLESMINCES73 
 Exercice 3.14. Appareil photographique ()L 1
Madame Michu utilise encore son vieil appareil photographique argentique, avec une pellicule G
de taille 24 mm  36 mm .
L’objectif de l’appareil est assimilable à une lentille convergente de focale f  5,0 cm , et la S F F' I O E
pellicule est située derrière la lentille, à une distance d, réglable, de son centre O. d peut varier
entre 50 mm et 55 mm.
1. Madame Michu veut photographier un arbre de 10 m de haut, situé à une distance de 50 m. D
Quelle sera la hauteur de l’image de l’arbre sur la pellicule ?
2. Jusqu’à quelle distance peut-elle s’approcher pour avoir toujours l’arbre en entier sur la
a) Quel est le grandissement γ nécessaire ? Commenter le signe. pellicule ?
b) Déterminer graphiquement les images G' et D' des points G et D représentant respectivement 3. Montrer qu’il existe une distance minimale en deçà de laquelle il n’y aura pas d’image.
les bords gauche et droit de la diapositive. Dans quel sens faut-il placer la diapositive ?
c) Déterminer les expressions de m, e et f en fonction du grandissement γ et de L. Faire  Exercice 3.15. Mesure de la profondeur d’un pont*
l’application numérique pour le grandissement souhaité. Résolution de problème
d) On souhaite pouvoir obtenir une image nette par déplacement de l’objectif pour des valeurs
Voici la photographie d’un pont qui, comme l’indique le panneau, est interdit aux véhicules
de L comprises entre 2,0 m et 5,0 m. Déterminer la course OO de l’objectif pour min max dont la hauteur excède 4,3 m. Cette image a été prise avec un appareil photo numérique équipé
satisfaire à cette condition. d’un capteur de 15 millions de pixels, et dont la taille est de 24 mm × 36 mm. L’objectif de cet
2. Pour réaliser un projecteur de meilleure qualité, on interpose une lentille ()L convergente 0 appareil photo a une focale de 35 mm.
de centre O' entre la source et la diapositive. On la place de sorte que le pinceau lumineux issu
de S englobe toute la largeur de la diapositive et se focalise en O, centre optique de la lentille
()L . 1
()L ()L 0 1
G
S O' I F F' O E
D

a) Tracer l’enveloppe « utile » du pinceau lumineux entre S et E (définie par les rayons limites)
et déterminer graphiquement les foyers de ()L . 0
b) La focale de ()L est f 1,8 cm et la distance SI est fixée à 5,0 cm. Déterminer la position 0 0
O de ()L correspondant à la position O de ()L . min 0 min 1
c) Déterminer la position O de ()L correspondant à la position O de ()L . Commenter. max 0 max 1
d) Quel est l’intérêt du placement de ()L ? 0
D’après CCINP


À partir de cette photo, estimer la profondeur du pont.

nn 74 Cha PITRE 3  74 HAPITRE 3 LENTILLES MINCES 75  

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