Didactiques: bilans et perspectives
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Description

Tout didacticien, peu importe la discipline à laquelle il est rattaché (mathématiques, sciences et technologies, langues maternelles, langues secondes ou étrangères, astronomie, arts, histoire, géographie, éthique et culture religieuse), s’engage fréquemment dans des discussions et des réflexions sur la didactique et ses origines et, plus particulièrement, sur les cours, la recherche et l’évolution des disciplines dans le contexte de la formation des futurs enseignants. Les origines de la didactique remontent à la philosophie grecque, précisément aux termes didaktos (enseigné, appris) et didaskw (enseigner, instruire, apprendre). Cette présence des deux pôles, à savoir l’enseignement et l’apprentissage, ne permettait pas à l’origine de différencier la didactique de la pédagogie. Progressivement, la didactique s’est distinguée de la pédagogie par le rôle central des contenus disciplinaires et par sa dimension épistémologique, c’est-à-dire par la nature des connaissances à enseigner. Ont ainsi vu le jour les didactiques disciplinaires, différentes de la didactique générale.
Les auteurs du présent ouvrage rendent ici accessibles des connaissances issues de la recherche dans les différentes didactiques. Ce livre intéressera étudiants en éducation et professionnels de la didactique. Ils y trouveront des connaissances utiles à la formation et y découvriront le rôle de grandes figures dans chaque discipline.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 13 septembre 2017
Nombre de lectures 2
EAN13 9782760547926
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0065€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

DIDACTIQUES bilans et perspectives
Sous la direction de Sonia El Euch , Audrey Groleau et Ghislain Samson
Presses de l’Université du Québec Le Delta I, 2875, boulevard Laurier, bureau 450, Québec (Québec) G1V 2M2
Téléphone : 418 657-4399
Télécopieur : 418 657-2096
Courriel : puq@puq.ca
Internet : www.puq.ca



Révision Hélène Ricard
Correction d’épreuves Carine Paradis
Mise en page et adaptation numérique Studio C1C4
Images de couverture iStock

ISBN 978-2-7605-4790-2 ISBN PDF 978-2-7605-4791-9 ISBN EPUB 978-2-7605-4792-6

Dépôt légal : 3 e trimestre 2017 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada © 2017 – Presses de l’Université du Québec Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés
Remerciements
Nos remerciements s’adressent en premier lieu à l’Université du Québec à Trois-Rivières (UQTR), et particulièrement au Décanat de la recherche et de la création, pour l’aide financière à la publication qui nous a été accordée.
Nous tenons aussi à exprimer notre reconnaissance envers les personnes suivantes :
Félix Bouvier, professeur à l’UQTR, pour sa lecture attentive de certains chapitres ;
Stéphane Trudel, doctorant en éducation à l’UQTR, pour sa recherche documentaire ;
Claude Fortin, chargé de cours à l’Université de Sherbrooke, pour son regard politique sur certains enjeux ;
Odette Larouche, technicienne en édition, pour ses lectures attentives et ses suggestions constructives.
Nos remerciements les plus chaleureux s’adressent bien entendu aux auteurs. Nous avons eu le plaisir de découvrir les enjeux qui les animent. Qu’ils trouvent ici l’expression de notre grande reconnaissance pour leurs contributions, leur ouverture aux commentaires et suggestions, et leur confiance en ce projet de collectif rassembleur.
Liste des encadrés
2.1 Problème tiré de Défi mathématique
2.2 Trois problèmes « semblables »
2.3 Situation susceptible de faire ressortir la conception « dépendance »
5.1 Exemple tiré de Maurer (2001)
5.2 Exemple tiré de Dumais, Lafontaine et Pharand (2015)
5.3 Exemple tiré de Dumais et al . (2015)
Liste des figures
1.1 Exemple d’une activité travaillant l’effet de la distance numérique (EDN)
1.2 Exemple d’une activité travaillant l’effet du rapport numérique (ERN)
1.3 Exemples de cartes permettant de travailler les deux formes de subitisation
1.4 Exemple d’inclusion numérique
1.5 Exemple d’une tâche travaillant l’inclusion numérique
1.6 Épreuves de conservation du nombre des petits ensembles
1.7 Exemple de cartes travaillant le sens des nombres et permettant de travailler l’inhibition
2.1 Diagramme en arbre des résultats de trois lancers d’une pièce de monnaie
4.1 Schéma fonctionnel du mécanisme des phases de la Lune et de la Terre et des éclipses de Lune et de Soleil
4.2 Illustration du mécanisme des saisons
4.3 Le processus de découverte en astronomie
5.1 Typologie des objets d’enseignement/ apprentissage de l’oral
11.1 Différents modèles de collaboration entre les disciplines
12.1 Différentes représentations du triangle didactique
Liste des tableaux
I.1 Les concepts pédagogie et didactique dans différents types de rapports
1.1 Niveaux d’acquisition liés au principe de suite stable
3.1 Principales caractéristiques des quatre courants de recherche
4.1 Fiche d’observation des phases de la Lune (fragment)
Liste des sigles
BÉPEP
Baccalauréat en éducation préscolaire et enseignement primaire
CNRTL
Centre national de ressources textuelles et lexicales
CREDIF
Centre de recherche et d’études pour la diffusion du français
CSE
Conseil supérieur de l’éducation
DAM
Didactique des arts et du mouvement
DPAEE
Dévolution de la posture d’auteur et de l’expérience esthétique
ÉCR
Éthique et culture religieuse
EDN
Effet de la distance numérique
ERN
Effet du rapport numérique
L1
Langue première
L2
Langue seconde
M
Mathématique
MAO
Méthode audio-orale
MELS
Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport
MEQ
Ministère de l’Éducation du Québec
MST
Mathématiques, sciences et technologie
PELO
Programme d’enseignement des langues d’origine
PFEQ
Programme de formation de l’école québécoise
PISA
Program for International Student Assessment
QSV
Question socialement vive
SAÉ
Situation d’apprentissage et d’évaluation
SEA
Situation d’enseignement-apprentissage
SGAV
Méthode structuro-globale audio-visuelle
SPHQ
Société des professeurs d’histoire du Québec
ST
Science et technologie
TIC
Technologies de l’information et de la communication
UQTR
Université du Québec à Trois-Rivières
Introduction
La pédagogie, la didactique générale et les didactiques disciplinaires
Où en sommes-nous ?
Sonia El Euch, Audrey Groleau, Ghislain Samson
Comme didacticiens, il nous est arrivé à maintes reprises d’engager des discussions sur la didactique et ses origines, et plus particulièrement sur les cours, la recherche et l’évolution des disciplines dans le contexte de la formation des futurs enseignants. Nous savons que les racines de la didactique remontent aux philosophes grecs avec les termes διδακτός (enseigné, appris), et διδάσκω (enseigner, instruire, apprendre). Cette présence des deux pôles, à savoir l’enseignement et l’apprentissage, ne permet pas de différencier, à l’origine, la didactique de la pédagogie. Toutefois, comme nous l’expliquerons ci-dessous, progressivement, la didactique s’est distinguée de la pédagogie par le rôle central des contenus disciplinaires et par sa dimension épistémologique, c’est-à-dire par la nature des connaissances à enseigner. Ont ainsi vu le jour les didactiques disciplinaires, différentes de la didactique générale. Après plus de 30 ans d’existence de ces didactiques disciplinaires, il nous est paru utile de rendre disponible un ouvrage qui inclut les connaissances issues de la recherche dans les différentes didactiques, un ouvrage qui soit une sorte de manuel dans lequel l’étudiant en éducation peut trouver des connaissances utiles à sa formation et peut voir le rôle de grandes figures dans chaque discipline.
La pédagogie et la didactique
La pédagogie et la didactique sont des termes très souvent confondus chez les non-spécialistes de ces champs. Pour les spécialistes, par contre, non seulement pédagogie et didactique renvoient à des concepts différents, mais aussi à des rapports différents entre ces concepts, allant d’un rapport conflictuel à un rapport d’égalité (ou d’équilibre), en passant par un rapport de disqualification, d’inclusion ou de complémentarité. Le tableau I.1 résume les caractéristiques de chaque concept à l’intérieur de ces différents types de rapports.

Tableau I.1 Les concepts pédagogie et didactique dans différents types de rapports
Type de rapport : conflit
Pédagogie
Basée sur une mise en œuvre pratique. Semble avoir une connotation positive.
Didactique
Porte sur une discipline particulière. Semble avoir une connotation négative.
Auteurs
Demaizière et Dubuisson (1992)
Pédagogie
Se situe entre l’art et la science. A une valeur péjorative. Selon Gautier, la manière avec laquelle on écrit en pédagogie est différente de celle qu’on retrouve dans un écrit scientifique.
Didactique
(Le texte de Gautier n’aborde pas explicitement la didactique, possiblement parce que l’ouvrage a été rédigé en anglais et que le terme didactique n’est habituellement pas employé dans cette langue.)
Auteurs
Gautier (1992)
Type de rapport : disqualification
Pédagogie
A été absorbée par les didactiques.
Didactique
A une grande place dans la Théorie des situations didactiques.
Auteurs
Brousseau (1998)
Type de rapport : inclusion
Pédagogie
L’ensemble des relations d’apprentissage, d’enseignement et de didactique.
Didactique
La relation entre l’agent (enseignant, moyens et processus) et l’objet (les objectifs d’enseignement).
Auteurs
Legendre (2005)
Pédagogie
Le formalisme de la représentation du contenu d’enseignement (p. ex. la représentation de la multiplication par un calcul progressif ou un calcul en tableau).
Didactique
Le contenu d’enseignement (p. ex. la multiplication).
Auteurs
Marquet (2011)
Pédagogie
Est subordonnée à la didactique.
Didactique
« La didactique n’est réductible ni à la connaissance d’une discipline, ni à la psychologie, ni à la pédagogie, ni à l’histoire, ni à l’épistémologie. Elle suppose tout cela, elle ne s’y réduit pas. »
Auteurs
Vergnaud (1977, p. 5)
Type de rapport : complémentarité
Pédagogie
La relation entre l’enseignant et l’apprenant. L’accent est mis sur la formation.
Didactique
La relation entre l’enseignant et le savoir. L’accent est mis sur le contenu à enseigner.
Auteurs
Houssaye (1992)
Pédagogie
La régulation fonctionnelle et dialectique entre les processus enseignement et apprentissage. Elle est de l’ordre du flux de la communication, de l’énergie et du temps.
Didactique
La régulation de l’acquisition du savoir.
Auteurs
Altet (2013)
Pédagogie
La logique de l’apprentissage par rapport à la logique de la classe. Un contrat implicite de droit coutumier entre l’apprenant et l’enseignant.
Didactique
La logique des apprentissages à partir des logiques des contenus. Le rapport au savoir que vivent les apprenants.
Auteurs
Develay (1998 1 )
Pédagogie
Porte sur l’aspect relationnel en situation d’enseignement-apprentissage.
Didactique
Porte sur l’aspect cognitif en situation d’enseignement-apprentissage.
Auteurs
Labelle (1996)
Pédagogie
Pratique concrète selon le contexte.
Didactique
Sur le plan des concepts.
Auteurs
Bailly (1997)
Pédagogie
Centrée sur l’action. Un « moment pédagogique » est « chaud » et multidimensionnel.
Didactique
Centrée sur la recherche. Un « moment didactique » est « froid » et réductionniste.
Auteurs
Astolfi (1997)
Type de rapport : équilibre
Pédagogie
Le processus de former. Relie l’enseignant à l’apprenant. Basée sur l’économie de la communication.
Didactique
Le processus d’enseigner. Relie l’enseignant au savoir. Basée sur la gestion de l’information.
Auteurs
Rézeau (2001)
Ce qui se dégage de ce tableau, qui ne vise pas l’exhaustivité, est l’accent mis sur la généralité des processus mis en œuvre en pédagogie. Ces processus d’ordre psychologique ou sociologique sont transférables d’une discipline à une autre. Ils sont le point commun des enseignants disciplinaires puisque tous partagent des savoirs théoriques et pratiques sur les compétences professionnelles, la gestion de classe, l’organisation de situations d’apprentissage-évaluation, la motivation des apprenants, etc. Ce qui se dégage également de ce tableau est l’accent mis sur la spécificité des processus mis en œuvre en didactique, des processus qui sont plutôt d’ordre cognitif et qui reposent sur les concepts propres à une discipline particulière.
Ce qui est à retenir est justement cette différence entre les deux disciplines. Comme l’a suggéré Astolfi (1997), le type de rapport entre les deux concepts reflète les différentes positions des auteurs et ne devrait pas être pris comme une délimitation de territoires :
le fond du débat est épistémologique, et on sait qu’il n’y a pas de vérité de l’épistémologie. Seulement des positions. En définitive, il ne s’agit pas tant de savoir s’il est vrai (ou non) que didactique et pédagogie sont superposables que de savoir ce qu’on gagne (ou ce qu’on perd) à le prétendre et à le discuter (Astolfi et Houssaye, 1996, p. 21).
La didactique générale et les didactiques disciplinaires
La didactique étant l’étude des questions d’ordre cognitif dans une situation d’apprentissage-évaluation dans le cadre d’une discipline scolaire particulière, il est plus approprié, selon Thouin (2014), de parler des didactiques . En effet, la didactique d’une discipline scolaire (p. ex. la didactique des langues, la didactique des mathématiques, la didactique des sciences, la didactique des sciences humaines) repose sur des concepts, des théories et des modèles qui sont propres à cette discipline scolaire, car ils prennent en compte sa structure et sa nature propres. À vrai dire, la didactique disciplinaire ne se justifie pas uniquement par les savoirs qui lui sont propres.
[Elle] réfère non seulement aux savoirs ou aux connaissances d’ordre intellectuel à faire acquérir […], mais également à tout ce qui relève de la discipline en question, qu’il s’agisse de savoirs, de savoir-faire, de savoir-être, d’attitudes, de valeurs reliées à la discipline, etc. (Germain, 2000, p. 28).
Par ailleurs, avec l’évolution rapide du domaine de la didactique, l’on ne parle plus de processus de transmission des savoirs, de savoir-faire, etc. de l’enseignant à l’apprenant. Il s’agit, de nos jours, d’un processus de médiation et de construction de connaissances , plutôt que d’acquisition de savoirs (Thouin, 2014). L’enseignant est un médiateur entre les connaissances et l’apprenant.
Ce processus de médiation est commun aux différentes didactiques. Ainsi, malgré les concepts, les théories et les modèles propres à chaque didactique disciplinaire, il existe des notions communes à l’ensemble des didactiques et des recherches en didactique, telles que le triangle didactique, les mécanismes d’appropriation et la démarche didactique. Ces notions, parmi bien d’autres, se déploient dans les didactiques disciplinaires et leurs sous-domaines de plus en plus spécifiques, comme la didactique de l’oral, la didactique de l’astronomie et la didactique de l’histoire, par exemple.
Le présent ouvrage : un regard sur quelques didactiques disciplinaires
Cet ouvrage propose une incursion dans quelques didactiques disciplinaires et un regard plutôt interdisciplinaire sur certaines didactiques. Il est composé de trois parties. La première partie traite de la didactique dans le domaine des mathématiques ainsi que dans le domaine des sciences et de la technologie. La deuxième partie aborde la didactique dans le contexte des sciences humaines, des sciences sociales et des arts. Enfin, la troisième partie explore le domaine de l’interdisciplinarité en didactique, avant de conclure sur un bilan de l’ouvrage.
La première partie, composée de quatre chapitres, commence par une contribution d’ Isabelle Deshaies intitulée « L’apport de la didactique des mathématiques au préscolaire : vers une meilleure compréhension du programme de formation ». L’auteure relève et définit des éléments didactiques qui gagneraient à être abordés avec des élèves du préscolaire en amont de l’enseignement plus formel des mathématiques. Il s’agit du sens des nombres, de la subitisation, du comptage et du dénombrement, de l’inclusion numérique et de la conservation du nombre. Elle propose, dans chacun des cas, une ou quelques activités qui pourraient être réalisées au préscolaire et approfondies au premier cycle du primaire. L’auteure complète son chapitre en soulignant le potentiel des recherches en neurosciences – et notamment l’enseignement par inhibition – pour soutenir les premiers apprentissages mathématiques des apprenants.
Dans le deuxième chapitre de l’ouvrage, « La mise à contribution de la didactique des mathématiques dans l’enseignement et la recherche : une incursion du côté des probabilités et de la statistique au primaire et au secondaire », les auteurs Caroline Lajoie et Mathieu Thibault montrent que les enseignants et les chercheurs font appel, chacun à leur manière, aux mêmes concepts issus de la didactique des mathématiques. Ils illustrent leurs propos en présentant des manières dont les concepts d’analyse a priori et de variables didactiques, d’une part, et de conceptions, d’autre part, peuvent être employés lorsque les enseignants et les chercheurs s’intéressent à l’enseignement et à l’apprentissage des probabilités et des statistiques.
Audrey Groleau et Chantal Pouliot se penchent, dans le troisième chapitre, sur l’enseignement des controverses techno-scientifiques sous l’angle de quatre courants de recherche issus de la didactique et de la sociologie des sciences : les controverses sociotechniques, l’éducation aux sciences et à la technologie activiste, les controverses socioscientifiques, et les questions socialement vives. Dans leur contribution, intitulée « Aborder les controverses techno-scientifiques en classe de sciences : les convergences et divergences de quatre courants de recherche », les auteures décrivent les caractéristiques et les visées de ces courants de recherche, puis mettent en lumière les ressemblances et les différences entre les courants.
Dans le quatrième chapitre, « La didactique de l’astronomie », Pierre Chastenay explore d’abord des conceptions que les élèves du primaire et du secondaire peuvent entretenir face aux phénomènes astronomiques. Il expose ensuite les principales sources de ces conceptions : les particularités de l’astronomie, les manuels scolaires et les ouvrages destinés aux jeunes ainsi que la formation des enseignantes et des enseignants. L’auteur suggère, pour faire évoluer ces conceptions, d’adopter une démarche d’apprentissage de l’astronomie semblable au processus de découverte des astronomes. Cette démarche prend la forme d’un cycle de quatre étapes : le questionnement, l’observation, la modélisation et la prédiction, et elle s’appuie sur des outils informatiques tels que le planétarium ou les applications pour téléphones intelligents.
La deuxième partie de l’ouvrage est constituée de six chapitres. Elle débute par un chapitre intitulé « La didactique de l’oral au préscolaire et au primaire au Québec : portrait d’un domaine de recherche en émergence ». Les auteurs, Christian Dumais , Emmanuelle Soucy et Ginette Plessis-Bélair , font un tour d’horizon de la didactique de l’oral, une ramification de la didactique du français qui, bien qu’elle ait émergé récemment, est en pleine effervescence. Ils font ce tour d’horizon en faisant d’abord voir l’importance de l’oral, autant pour la réussite des élèves que pour le développement de leur plein potentiel. Ils définissent ensuite l’oral du point de vue de la didactique, en rappelant notamment que l’oral constitue à la fois un médium et un objet d’enseignement, puis ils présentent les caractéristiques de trois approches didactiques de l’oral : l’oral pragmatique, l’oral par les genres et l’oral intégré. Dans les deux dernières sections du chapitre, les auteurs dessinent une cartographie des travaux de recherche réalisés en didactique de l’oral et font ressortir les perspectives de recherche.
Dans le sixième chapitre du volume, intitulé « La didactique des langues secondes ou étrangères : quelle approche, quelle méthode, quelle méthodologie ? », Sonia El Euch effectue un survol historique de l’enseignement et de l’apprentissage des langues secondes ou étrangères. Elle précise d’abord ce qui distingue l’approche de la méthode et de la méthodologie, puis elle détaille les approches et méthodes privilégiées en didactique des langues secondes et étrangères pendant trois périodes historiques – avant le XX e siècle, pendant la première moitié du XX e siècle, et de la fin du XX e siècle à aujourd’hui. L’auteure conclut son chapitre en formulant le souhait que les enseignants de langues secondes et étrangères pratiquent un éclectisme expert, c’est-à-dire qu’ils soient en mesure de sélectionner les meilleures approches et méthodes en fonction des besoins de leurs élèves et des objectifs d’apprentissage, et cela, en appliquant les 13 principes énoncés par Kumaravadivelu en 2003.
Catinca Adriana Stan , dans le septième chapitre intitulé « La didactique de l’histoire au Québec : défis et perspectives au XXI e siècle », retrace l’évolution de la didactique de l’histoire au Québec, de la Nouvelle-France à aujourd’hui. Elle classe de plus les recherches menées en didactique de l’histoire en trois catégories principales : celles qui invitent les élèves à mieux comprendre leur histoire par l’entremise du patrimoine, celles qui sont relatives à l’éducation à la citoyenneté et celles qui concernent la formation des enseignants d’histoire. Tout au long du texte, l’auteure rend visibles les débats qui animent depuis de nombreuses années la didactique de l’histoire, en particulier les débats relatifs à ses visées, à savoir la construction d’une identité nationale et le développement d’habiletés intellectuelles. Ces visées reflètent respectivement l’approche adoptée par l’enseignant-historien et celle adoptée par l’enseignant-didacticien.
« Enseigner et apprendre dans une perspective planétaire : l’apport de la géographie », rédigé par David Lefrançois et Stéphanie Demers , est le huitième chapitre de cet ouvrage collectif. Les auteurs s’attardent dans la première partie du texte à ce que signifie l’idée d’interpréter le monde selon une perspective planétaire. Dans la deuxième partie, ils mènent une réflexion au sujet de la pertinence et de la faisabilité du développement d’une perspective planétaire, et cela, en s’appuyant sur des recherches réalisées auprès d’adolescents. Dans les troisième et quatrième parties, ils présentent et comparent le programme gallois d’éducation à la citoyenneté durable et les programmes québécois de Géographie et de Monde contemporain à l’aide de la lentille de la perspective planétaire. Ils concluent le chapitre en montrant que le cours de géographie est un lieu tout indiqué pour favoriser le développement d’une perspective planétaire.
Le neuvième chapitre titré « Didactique du programme Éthique et culture religieuse : les questions épistémologiques », de Denis Jeffrey et Sivane Hirsch, porte sur les aspects épistémologiques de la didactique de l’éthique et de la culture religieuse. Les auteurs présentent d’abord le programme et ses orientations. Ils rappellent que si la mise en place des volets « éthique » et « dialogue » du programme s’est pratiquement faite sans heurts, le volet « culture religieuse » a suscité et suscite toujours d’importants débats. Ils recensent ensuite plusieurs obstacles et difficultés associés à l’enseignement de ce dernier volet du programme. Ils citent aussi des raisons souvent employées pour justifier la pertinence de son enseignement : pour mieux connaître le religieux, pour favoriser le vivre-ensemble et pour permettre la clarification des valeurs communes. Les auteurs concluent le texte en se penchant sur la nature de la culture religieuse et en suggérant que ce volet soit enseigné selon une approche à la fois scientifique et critique.
Dans le dixième chapitre de l’ouvrage, intitulé « Enjeux et défis de la didactique des arts plastiques au primaire », Myriam Lemonchois retrace d’abord l’histoire de l’enseignement des arts plastiques. Cette histoire est notamment traversée par des transformations dans les visées de cet enseignement (p. ex. la formation de base pour tous ou pour les élèves qui ont un don), dans la place – plus ou moins grande – qui y est accordée à l’appréciation des grandes œuvres ou à la création, et enfin dans la manière dont on conçoit l’enfant qui se familiarise avec les arts plastiques. L’auteure recense également les mémoires et les thèses en didactique des arts plastiques qui ont été déposés dans l’espace francophone, et en arrive à la conclusion que bien que le Québec soit un leader en ce sens, peu de recherches ont été réalisées dans le domaine de la didactique des arts plastiques au primaire. Elle fait un retour sur ce qui est connu et reste à explorer en didactique des arts plastiques, puis propose qu’une piste intéressante pour la recherche soit celle de la dévolution de la posture d’auteur et de l’expérience esthétique.
La troisième partie de l’ouvrage débute par une question soulevée par Ghislain Samson , Catherine Simard , Alexandre Gareau et Édith Allard , à savoir s’il existe une didactique de l’interdisciplinarité. Dans ce onzième chapitre, les auteurs tentent de répondre à cette question dans le contexte de la mathématique et de la science et de la technologie. Ils proposent un bref retour dans le temps et s’interrogent sur la place de l’intégration et de l’interdisciplinarité dans les curricula scolaires pour en arriver au renouveau pédagogique des années 2000. Essentiellement, leur chapitre se divise en quatre parties. Dans la première partie, ils définissent les concepts proches mais distincts d’intégration, d’interdisciplinarité, de multidisciplinarité, de pluridisciplinarité, de transdisciplinarité et d’adisciplinarité. La deuxième partie est consacrée à l’illustration de l’interdisciplinarité entre les mathématiques, la science et la technologie au préscolaire, au primaire et au secondaire. Dans la troisième partie, les auteurs s’interrogent sur l’existence ou non d’une didactique de l’interdisciplinarité et finissent par évoquer, dans la quatrième partie, plusieurs pistes pour favoriser la collaboration entre les disciplines.
Dans le douzième chapitre, proposé par Audrey Groleau et Sivane Hirsch et intitulé « L’enseignement et l’apprentissage de la didactique : une conversation autour de leurs enjeux et de leurs défis », les deux didacticiennes discutent et réfléchissent au sujet de l’enseignement et de l’apprentissage de la didactique. Tout au long de leur conversation, elles explorent quelques définitions de la didactique, se penchent sur les visées que poursuivent les cours de didactique et réfléchissent aux apports et défis des différentes modalités d’organisation des cours de didactique. Elles se questionnent également sur l’intérêt d’offrir des cours de didactique en interdisciplinarité et sur les approches pédagogiques qui peuvent être employées en classe de didactique. Les auteures concluent leur dialogue en explicitant quelques-unes des valeurs qui les animent en tant qu’enseignantes de didactique.
Le treizième et dernier chapitre de l’ouvrage, de Sonia El Euch et Stéphane Martineau , s’intitule « Quel rôle joue le politique dans les didactiques ? » Pour répondre à cette question, ils ont scruté les manières dont le politique traverse les programmes scolaires au Québec, puis ils se sont intéressés à deux disciplines fortement teintées par le politique, soit l’enseignement des langues et l’enseignement de l’histoire. Dans le premier cas, des choix politiques influencent par exemple les langues enseignées, la place qui leur est consacrée dans les programmes scolaires, les personnes qui assurent la responsabilité de cet enseignement, et ainsi de suite. Dans le second cas, le politique agit sur la manière dont un peuple raconte son histoire ou dans les visées poursuivies par l’enseignement et l’apprentissage de l’histoire. Les auteurs détaillent également les aspects politiques de l’évaluation des apprentissages, et concluent le chapitre en insistant sur l’idée selon laquelle le politique est omniprésent dans la didactique, et que de tenter de l’en affranchir serait illusoire.
Les différentes perspectives proposées dans cet ouvrage ont non seulement pour objectif d’exposer l’origine des connaissances dans certaines didactiques disciplinaires, mais aussi de faire naître chez l’étudiant le goût d’aller plus loin en recherche dans ces disciplines en le faisant réfléchir et en suscitant le développement de son esprit critique.
Références
Altet, M. (2013). Les pédagogies de l’apprentissage , Paris, Presses universitaires de France.
Astolfi, J.-P. (1997). « Du “tout” didactique au “plus” didactique », Revue française de pédagogie , 120, p. 67-73.
Astolfi, J.-P. et J. Houssaye (1996). « Didactique et pédagogie sont dans un bateau… », Éducations , 7, p. 18-21.
Bailly, D. (1997). Didactique de l’anglais. (1) Objectifs et contenus de l’enseignement , Paris, Nathan.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques , Grenoble, La Pensée Sauvage.
Demaizière, F. et C. Dubuisson (1992). De l’EAO aux NTF – Utiliser l’ordinateur pour la formation , Paris, Ophrys.
Develay, M. (1997). « Origines, malentendus et spécificités de la didactique », Revue française de pédagogie , 120 (1), p. 59-66, < http://doi.org/10.3406/rfp.1997.1156 >, consulté le 14 avril 2017.
Develay, M. (1998). « Didactique et pédagogie », dans J.-C. Ruano-Borbolan (dir.), Éduquer et former , Auxerre, Presses universitaires de France, p. 265-282.
Gautier, C. (1992). « Between crystal and smoke : Or, how to miss the point in the debate about action in research », dans W. Pinar et W. Reynolds (dir.), Understanding Curriculum as a Phonomenological and Deconstructed Text , New York, Teachers College Press, p. 184-194.
Germain, C. (2000). « Didactique générale, didactique des langues et linguistique appliquée », Revue canadienne de linguistique appliquée , 3 (1-2), p. 23-33.
Houssaye, J. (1992). Le triangle pédagogique , 2 e édition, Berne, Peter Lang.
Labelle, J.-M. (1996). La réciprocité éducative , Paris, Presses universitaires de France.
Legendre, R. (2005). Dictionnaire actuel de l’éducation , Paris, Guérin.
Marquet, P. (2011). « E-Learning et conflit instrumental », Recherche et formation , 68, p. 31-46.
Rézeau, J. (2001). Médiatisation et médiation pédagogique dans un environnement multimédia. Le cas de l’apprentissage de l’anglais en histoire de l’art à l’université , < http://joseph.rezeau.pagesperso-orange.fr/recherche/theseNet/index.htm >, consulté le 14 avril 2017.
Thouin, M. (2014). Réaliser une recherche en didactique , Québec, Éditions MultiMondes.
Vergnaud, G. (1977). « Activité et connaissance opératoire », Bulletin de l’Association des professeurs de mathématiques , 307, p. 52-65.
PARTIE 1
LES MATHÉMATIQUES, LES SCIENCES ET LA TECHNOLOGIE
Chapitre 1
L’apport de la didactique des mathématiques au préscolaire
Vers une meilleure compréhension du programme de formation
Isabelle Deshaies
Les mathématiques constituent un vaste champ d’apprentissage qui nécessite de comprendre, de modifier ses représentations et de créer des liens pour retenir les nouvelles informations. Bien que ce processus semble simple en soi, de nombreuses recherches démontrent que depuis plusieurs années, de 6 à 7 % des élèves d’âge scolaire éprouvent de grandes difficultés en mathématiques (Charron et al. , 2001 ; De Vriendt et Van Nieuwenhoven, 2010 ; Fuchs et Fuchs, 2005). Afin de mieux comprendre ces difficultés et d’en saisir les différentes sources, plusieurs chercheurs se sont penchés sur les études en didactique des mathématiques (p. ex. Brousseau, 1989 ; Deblois, 1996 ; Wozniak et Margolinas, 2009).
La didactique des mathématiques met en évidence le rôle primordial de l’enseignant comme médiateur entre l’élève et le savoir (Vergnaud, 1999). Pour parvenir à cette médiation, l’enseignant se doit de maîtriser chacune des connaissances à l’étude et ainsi d’être en mesure de fournir aux élèves des situations d’apprentissage leur permettant une réelle construction des savoirs. Pour une médiation réussie, l’enseignant doit aussi comprendre les difficultés d’apprentissage en mathématiques afin de les dissiper, à défaut de les prévenir. Une intervention ou une médiation réussie présuppose des réponses à la question suivante : quelles sont les notions que l’élève doit pouvoir mobiliser dès son entrée au préscolaire ?
Un nombre considérable d’études spécifient que les élèves en difficulté d’apprentissage sont plus lents dans les tâches élémentaires nécessitant des procédures mathématiques comme la lecture des nombres, la comparaison des nombres, la récitation d’une séquence de nombres et le dénombrement (Landerl, Bevan et Butterworth, 2004), de même que dans les tâches qui requièrent la manipulation de quantité de nombres (Rousselle et Noël, 2007) et la subitisation 2 de petites quantités numériques (Koontz et Berch, 1996). Ces études permettent de constater que les notions en jeu sont souvent celles qui devraient être acquises durant la période préscolaire ou dès les premières années de scolarisation. En fait, les recherches montrent non seulement que les premiers apprentissages en mathématiques jouent un rôle important dans le fait d’éprouver ou non des difficultés dans cette discipline, mais aussi que les habiletés précoces en mathématiques sont un important prédicteur de la réussite scolaire (Clark, Pritchard et Woodward, 2010 ; Duncan et al ., 2007 ; Rourke et Conway, 1997). Les résultats de ces recherches en didactique des mathématiques trouvent-ils écho dans les programmes d’enseignement ?
Actuellement, le volet préscolaire du Programme de formation de l’école québécoise (PFEQ) du ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport (MELS) (2003) amène les élèves à développer huit types de connaissances mathématiques, soit : les jeux de nombres, le dénombrement, l’association, la comparaison, le regroupement et la classification, la régularité, l’estimation et la mesure. Ces connaissances laissent beaucoup de place à l’interprétation, et les notions qui leur sont associées ne sont pas suffisamment précises — d’où l’importance de s’y intéresser. Toutefois, une meilleure compréhension de la capacité naturelle des élèves à faire des mathématiques est essentielle afin de permettre à l’enseignant d’exercer son rôle de médiateur. À cet égard, les élèves du préscolaire détiendraient un sens inné des mathématiques : le sens des nombres (Dehaene, 2011). Selon l’auteur, celui-ci est lié à l’idée du sens approximatif des nombres et serait présent dès les premiers mois de vie des enfants. Il est en quelque sorte la fondation des apprentissages mathématiques ultérieurs chez l’élève.
Dans le texte qui suit, il sera donc question des éléments didactiques essentiels à la réussite des élèves en mathématiques préalables à l’enseignement formel et systématique, soit le sens des nombres, la subitisation, le comptage numérique et le dénombrement, la conservation du nombre et l’inclusion numérique (Dehaene, 2011 ; Deshaies, Miron et Masson, 2015). Ces différentes notions seront exposées dans une perspective didactique tout en faisant le lien avec la pratique enseignante au préscolaire. En terminant, et pour ouvrir de nouvelles pistes de recherche, il sera question de la contribution des neurosciences visant à outiller les élèves pour contrer leurs fausses conceptions lors de leurs apprentissages mathématiques.
1.1 Le sens des nombres
Le sens des nombres est l’idée selon laquelle l’être humain a une intuition de grandeur face aux quantités numériques (Dehaene, 2011). Ce sens des nombres permet de déterminer approximativement la quantité d’objets qui constituent un ensemble. Il permet également de déterminer, lors de la comparaison de deux ensembles d’objets, lequel en a le plus ou le moins, ou si ces deux ensembles sont d’égale valeur, sans avoir recours au dénombrement. L’acquisition du sens des nombres a des répercussions sur l’apprentissage du développement numérique, puisqu’il permet une meilleure appropriation du nombre symbolique (Dehaene, 2011 ; Deshaies, Miron et Masson, 2015), ce qui en fait un préalable essentiel à travailler dès le préscolaire.
Afin de mesurer la discrimination de grandeur numérique, les chercheurs utilisent un paradigme de comparaison de l’ampleur (De Smedt et al ., 2013 ; Nosworthy et al ., 2013). Dans ce type de tâches, les participants sont invités à choisir lequel des deux ensembles non symboliques est supérieur à l’autre. Deux effets ont été définis dans les études de la comparaison de grandeur (Ansari, 2008 ; Nosworthy et al ., 2013) : l’effet de la distance numérique (EDN) et l’effet du rapport numérique (ERN).
L’EDN est la facilité des individus à juger plus rapidement deux nombres lorsque ceux-ci sont numériquement éloignés (p. ex. 2 et 6) par rapport à ceux qui sont numériquement plus rapprochés (p. ex. 6 et 7). La figure 1.1 illustre une activité qui travaille l’EDN.
L’ERN est la facilité des participants à comparer plus rapidement et avec plus de précision deux nombres de moindre ampleur par rapport à deux nombres d’une grande ampleur, et ce, même lorsque la distance entre les nombres demeure constante (p. ex. la comparaison de 3 et 4 est plus facile que la comparaison de 7 et 8). De plus, il est plus facile de comparer deux ensembles qui, numériquement, sont placés de la plus petite valeur à la plus grande valeur que l’inverse (p. ex. comparer un ensemble de 5 points à un ensemble de 8 points est plus facile que de comparer un ensemble de 8 points à un ensemble de 5 points) (Ansari, 2008 ; Kolkman, Kroesbergen et Leseman, 2013 ; Soltész et Szűcs, 2014). La figure 1.2 illustre le concept d’ERN.

Figure 1.1 Exemple d’une activité travaillant l’effet de la distance numérique (EDN) 3


Figure 1.2 Exemple d’une activité travaillant l’effet du rapport numérique (ERN)

En somme, le sens des nombres semble être à la base des compétences en arithmétique. Pour être capable de traiter un nombre (comparaison, calcul, etc.), il se révèle essentiel de connaître la magnitude 4 que le nombre à l’étude représente (Nosworthy et al ., 2013). Sans une compréhension de cette magnitude des nombres, l’association entre le nombre sous sa forme non symbolique et le nombre sous sa forme symbolique demeure un réel défi. Entre autres, les recherches de Piazza et ses collaborateurs (2014) et Dehaene (2011) démontrent que cette capacité numérique d’amplitude des nombres serait une aptitude importante dans le traitement des nombres et pourrait servir de base pour l’apprentissage de la signification numérique des chiffres arabes. Selon la recherche de Nosworthy et al . (2013), l’habileté à comparer des ensembles de points en prenant en considération l’EDN et l’ERN dès le préscolaire serait un prédicteur de réussite en mathématiques.
En pratique, en classe préscolaire, l’utilisation des cartes d’ensembles de points comme celles illustrées aux figures 1.1 et 1.2 permet de travailler le sens des nombres. Leur examen amène les élèves à comparer les deux ensembles en ayant seulement recours à leur sens approximatif des nombres. Cette activité peut également se vivre au début du premier cycle et permettra une transition vers l’acquisition des nombres symboliques (Dehaene, 2011).
Certaines applications logicielles permettent le travail sur le sens des nombres et l’inhibition. On peut, entre autres, consulter le site Panamath 5 et le jeu Number Race 6 .
1.2 La subitisation
La subitisation est la perception intuitive, rapide et innée des petites quantités, sans avoir à recourir aux stratégies de comptage. En ce sens, très tôt, le jeune enfant reconnaît de un à quatre objets sans effectuer de comptage verbal (Butterworth, 2005 ; Butterworth et Dehaene, 1999 ; Piazza et al ., 2002). Par contre, dès que la quantité dépasse quatre éléments, la perception intuitive devient plus lente et le risque d’erreurs augmente.
Ce processus naturel à tous les humains, soit celui de reconnaître les ensembles de nombres jusqu’à quatre sans avoir à dénombrer, est généralement connu sous le nom de « subitisation perceptuelle » (Clements, 1999 ; Gelman et Tucker, 1975). Toutefois, une deuxième forme de subitisation, cette fois-ci liée à la capacité de comptage, est présente. Elle est désignée par l’expression subitisation conceptuelle . La subitisation conceptuelle concerne la façon dont un individu reconnaît « une quantité entière comme le résultat de la reconnaissance de plus petites quantités, qui constituent le même ensemble » (Conderman, Jung et Hartman, 2014, p. 20). Plus généralement, elle peut être résumée comme la gestion systématique des numérosités perceptives (subitisation perceptuelle) pour faciliter la gestion des numérosités plus grandes (Obersteiner, Reiss et Ufer, 2013). Une illustration courante de la subitisation conceptuelle est perceptible lorsqu’on présente deux dés à un élève et qu’il doit déterminer le nombre de points sur ces deux dés ; par exemple, un dé de 3 et un dé de 4. La cardinalité de chacun de ces deux dés étant issue de la subitisation perceptuelle, la somme de ceux-ci, issue de la subitisation conceptuelle, amène l’émergence du 7.
En somme, l’habileté de subitisation est liée à la capacité de reconnaître et de manipuler des nombres spatialement (en utilisant, par exemple, des dés, des dominos, des boîtes de 10 et des doigts). Elle joue un rôle important dans le développement de la compréhension mathématique des enfants en lien à la fois avec les nombres et l’arithmétique (Mulligan et Mitchelmore, 2009 ; Van Nes et de Lange, 2007 ; Van Nes et Van Eerde, 2010). En plus d’être un outil puissant pour le développement de la compréhension générale des nombres chez les enfants (Penner-Wilger et al ., 2007), la subitisation conceptuelle est liée positivement à une variété de résultats d’apprentissages particuliers au niveau du comptage et de la vitesse de comptage, ainsi que de la compréhension de la cardinalité (Baroody, 2004 ; Butterworth, 2005). La subitisation conceptuelle sous-tend la compréhension qu’ont les élèves de l’équivalence des différentes décompositions ou représentations des nombres (Van Nes et de Lange, 2007), la commutativité (Van Eerde, 1996) et la connaissance de partie-tout (Young-Loveridge, 2011) nécessaires à la compréhension du nombre. Prenons par exemple l’addition de 8 + 6 = 14. L’élève pourra la résoudre en décomposant les nombres qui la composent. Il pourra, par exemple, faire 5 + 5 = 10 et 3 + 1 = 4. Par la suite, il ne lui reste plus qu’à faire 10 + 4 = 14 pour trouver la solution. En ce sens, la mauvaise performance aux tâches requérant à la fois la subitisation perceptuelle et conceptuelle peut être liée à des difficultés ultérieures en mathématiques (Landerl, Bevan et Butterworth, 2004).
En pratique, en classe préscolaire, l’utilisation des représentations canoniques (comme sur un dé) est essentielle aux élèves pour la reconnaissance de la subitisation perceptuelle et conceptuelle (Clements, 2007 ; Penner-Wilger et al ., 2007). Les jeux à partir de dés, de dominos, de cartes à point ou de boîtes de 10 permettent de travailler les deux formes de subitisation, comme l’illustre la figure 1.3.

Figure 1.3 Exemples de cartes permettant de travailler les deux formes de subitisation

En résumé, les deux formes de subitisation permettent aux élèves de reconnaître les différentes configurations des nombres. Plus encore, le travail sur les deux types de subitisation permet aux élèves non seulement d’acquérir des représentations des nombres, mais également d’amorcer un premier travail sur la décomposition et les faits numériques 7 , qui sera poursuivi lors du premier cycle du primaire.
1.3 Le comptage et le dénombrement
Très tôt, dès qu’il sait parler et sous l’influence de son environnement, le jeune enfant énonce ses premiers mots nombres. Il prend conscience du langage des nombres qui va l’introduire dans des conduites spécifiques de comptage verbal des nombres ainsi que de la conceptualisation progressive du nombre (Bideaud, Lehalle et Vilette, 2004). Dénombrer n’est pas seulement quantifier, c’est aussi et surtout savoir quand et quoi dénombrer : les élèves ne savent pas toujours quoi compter. En fait, dénombrer une collection d’objets signifie pouvoir dire combien d’objets comporte cette collection. Cette connaissance est proche des notions « autant que, plus que et moins que ».
Selon les recherches de Gelman (1972a, 1972b et 1978) et Gelman et Meck (1983), cinq principes préexistants au comptage permettent et favorisent l’apprentissage du dénombrement :
Le principe de suite stable : Les termes désignant les nombres doivent être engendrés dans le même ordre au cours du comptage (p. ex., un, deux, trois, et non deux, quatre et huit).
Le principe de la correspondance terme à terme : À chaque objet compté correspond une et une seule marque représentative.
Le principe de cardinalité : La marque représentative qui désigne le dernier élément compté représente le nombre total d’éléments.
Le principe d’abstraction : Le comptage s’applique à tout objet ou entité, quelle que soit sa nature ou sa fonction, si bien qu’on peut compter un ensemble d’objets hétérogènes (p. ex. l’élève pourrait compter de gros jetons avec des petits jetons et chacun d’eux aurait une valeur de 1, même s’ils ont une apparence différente).
Le principe de non-pertinence de l’ordre : L’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont énumérés n’affecte pas le comptage, à condition que la correspondance terme à terme soit respectée.
1.3.1 En pratique : la suite stable
En classe préscolaire, il est essentiel de travailler la séquence de nombres avec les élèves (chaîne numérique verbale). Plusieurs niveaux d’acquisition chevauchent cette longue et lente acquisition (Fuson, 1988 et 1991 ; Fuson, Richards et Briars, 1982). Le tableau 1.1 présente une description ainsi que les activités pouvant être réalisées en classe et démontrant l’acquisition des différents niveaux.

Tableau 1.1 Niveaux d’acquisition liés au principe de suite stable
Niveau : le chapelet
Comportement de l’élève
La série de mots nombres récitée par l’élève n’est pas différenciée au sein de la séquence. Par exemple : un-deux-trois-quatre, etc.
Activité à faire en classe
Compter le plus loin possible.
Niveau : la chaîne insécable
Comportement de l’élève
L’élève sent le besoin de toujours compter à partir de 1. Il ne peut compter à partir d’un autre nombre. Ce niveau est marqué par l’habileté à compter jusqu’à un mot nombre présélectionné (arrêt au niveau d’une borne supérieure).
Activité à faire en classe
Compter jusqu’à un nombre donné, par exemple, 8.
Niveau : la chaîne sécable
Comportement de l’élève
L’élève peut compter à partir de n’importe quel nombre et il est capable de nommer le mot nombre qui suit un nombre donné sans avoir besoin de recompter. Ce niveau est marqué par trois habiletés : compter à partir d’une borne inférieure, compter à partir d’une borne inférieure jusqu’à une borne supérieure, et compter à rebours.
Activité à faire en classe
Compter à partir d’un nombre donné, par exemple, 2.
Compter à partir d’un nombre donné jusqu’à un nombre donné, par exemple, de 2 à 8.
Compter d’un nombre donné à rebours jusqu’à 1, par exemple, de 8 à 1.
Niveau : la chaîne dénombrable
Comportement de l’élève
L’élève peut compter « X » à partir d’un nombre donné, et il peut compter d’un nombre donné à un autre et trouver le nombre de mots nombres compris entre les deux nombres donnés.
Activité à faire en classe
Par exemple, tu es à 5. Compte 3. Quel est ce nouveau nombre ? 8.
Il y a un nombre donné, par exemple 5, et un autre nombre donné, disons, 7. Combien de nombres séparent ces deux nombres ?
Source : Inspiré de Fuson, 1988 et 1991 ; Fuson et al ., 1982 ; Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005.
En somme, toutes les activités liées au comptage et au dénombrement permettent non seulement un apprentissage de la part de l’élève, mais également de relever des lacunes chez certains élèves.
Ce processus d’apprentissage se poursuit du préscolaire au premier cycle du primaire. Après le préscolaire, aux quatre niveaux décrits s’ajoute la chaîne bidirectionnelle. En fait, il s’agit du plus haut niveau de maîtrise de la séquence numérique (Fuson, 1991). À ce niveau, l’élève est apte à compter des séquences de façon très fluide, autant en ordre croissant que décroissant, et à changer de direction rapidement et de manière flexible à partir de n’importe quel nombre donné (Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005).
1.3.2 En pratique : la correspondance terme à terme
Le principe de la correspondance terme à terme requiert que les élèves soient capables de faire correspondre un seul mot nombre à chaque élément de l’ensemble à dénombrer. Celui-ci ne nécessite pas que l’élève compte les éléments dans un ordre particulier (Gelman et Meck, 1983). Cependant, certains élèves d’âge préscolaire y éprouvent des difficultés. Deux types d’erreurs émergent : 1) les erreurs de coordination, où l’élève n’arrive pas à faire correspondre la récitation de la comptine numérique avec le pointage (du regard ou du doigt) des éléments de la collection (Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005) ; 2) les erreurs de marquage, où l’élève ne distingue pas les éléments comptés des autres, oublie de compter un élément de la collection ou compte un élément plusieurs fois (Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005). Afin d’aider ces élèves, on doit exiger qu’ils prononcent un seul mot nombre en touchant un objet du doigt.
En classe préscolaire, on peut demander aux élèves de dénombrer des éléments suivant un modèle linéaire (les éléments sont alignés les uns à côté des autres) et suivant un modèle aléatoire (les éléments sont désorganisés). De plus, il est plus facile de dénombrer de vrais objets (p. ex. des petites voitures) qu’une image statique (p. ex. un dessin de petites voitures) puisque l’élève peut déplacer les objets lors du dénombrement ; ce qu’il ne peut faire avec une image statique.
Ce type d’activités peut être repris au cours du premier cycle du primaire en variant la numérosité de la collection à dénombrer.
1.3.3 En pratique : la cardinalité
Le principe de la cardinalité permet à l’élève de faire la relation entre le dénombrement et la cardinalité de la collection en lui posant la question : « Combien y a-t-il d’éléments en tout ? » À cette question, l’élève doit répondre le dernier mot nombre prononcé et non procéder à un recomptage de la collection.
En classe préscolaire, on peut demander aux élèves de répondre à la question : « Combien y a-t-il d’éléments en tout ? » pour une collection en modèle linéaire et en modèle aléatoire. Cela permettra d’observer si l’élève associe le dernier mot nombre à la cardinalité de la collection ou s’il ressent le besoin de recompter la collection pour répondre à la question. Ce questionnement peut être repris de la même façon au premier cycle, en variant la cardinalité de la collection.
1.3.4 En pratique : l’abstraction
Le principe de l’abstraction est lié à l’idée que la collection sur laquelle porte le dénombrement peut être constituée d’éléments hétérogènes tous pris comme des unités équivalentes (Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005). L’élève doit donc faire abstraction des propriétés des objets à dénombrer et il doit s’interroger sur quel type d’éléments les mots nombres doivent être mis en correspondance. En classe préscolaire, il est possible de proposer aux élèves de dénombrer des collections d’éléments hétérogènes. Les éléments peuvent varier en termes de forme, de taille, de couleur, etc.
Ce type d’activité peut être repris au premier cycle du primaire en variant les éléments de la collection, mais en présentant également des collections statiques aux élèves.
1.3.5 En pratique : la non-pertinence de l’ordre lors du dénombrement
Le principe de la non-pertinence de l’ordre lors du dénombrement sous-tend que l’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont énumérés n’affecte pas le résultat du comptage. Ainsi, n’importe quel élément de la collection peut devenir le premier ou le dernier à dénombrer. Le principe d’ordre stable permet de valider les deux premiers principes, soit la correspondance terme à terme et la cardinalité. Le principe de la non-pertinence de l’ordre donne l’information que la représentation de la numérosité d’un ensemble obtenu par comptage est invariante par rapport à l’ordre dans lequel l’ensemble a été compté (Van Nieuwenhoven, 1999). Un élève maîtrise ce principe s’il est d’accord pour dire que l’ordre dans lequel le comptage est effectué est sans importance puisque tous les objets sont comptés, une seule fois (Gelman, 1978). Selon l’auteur, les élèves qui maîtrisent ce principe comprennent donc concrètement que les nombres assignés aux objets lors d’un comptage n’appartiennent pas aux objets, chaque nombre peut être assigné à n’importe quel objet. En somme, c’est en comptant de différentes façons des collections d’objets que les enfants découvrent une propriété à propos de son comptage : la réorganisation des objets et l’ordre dans lequel ils les comptent n’ont pas d’incidence pour déterminer la cardinalité de l’ensemble (Baroody, 1987).
En classe préscolaire, on peut demander aux élèves de dénombrer des collections à partir de n’importe quel élément le constituant, tandis qu’au premier cycle du primaire, ce travail peut être poursuivi en variant la numérosité des collections et en présentant des collections réelles et statiques.
Bien que ces principes issus du comptage et favorisant l’apprentissage du dénombrement soient essentiels à la construction des notions mathématiques des élèves du préscolaire, le PFEQ n’aborde pas de façon explicite l’inclusion numérique des nombres ainsi que la conservation des nombres. Dans la section suivante, il sera question de ces deux notions.
1.4 L’inclusion numérique
L’inclusion numérique est une relation d’ordre entre les ensembles. La maîtrise de l’inclusion numérique fait référence au fait que les nombres s’emboîtent les uns dans les autres (Piaget et Szeminska, 1941). La maîtrise du principe d’inclusion numérique permet aux élèves de comprendre les classifications hiérarchiques. Comme le démontre la figure 1.4, par exemple, le 1, le 2 et le 3 sont inclus dans le 4, mais le 4 n’est pas compris dans le 3.

Figure 1.4 Exemple d’inclusion numérique

Source : Inspiré de Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005.
L’épreuve d’inclusion numérique, quant à elle, nous permet de voir si l’enfant est capable de réaliser des classifications hiérarchiques, c’est-à-dire s’il comprend que les classes peuvent s’emboîter les unes dans les autres et s’il apprend alors à raisonner sur les relations entre les parties et le tout ; deux classes peuvent être incluses l’une dans l’autre. Ainsi, la notion d’inclusion permet de comprendre les relations entre les parties et le tout (Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël, 2005).
En pratique, en classe préscolaire, afin de valider et de travailler cette notion, on peut par exemple dénombrer une quantité de jetons devant les élèves et les placer dans une boîte, puis interroger les élèves : s’il y a 8 jetons dans la boîte, on peut leur demander s’ils en ont assez pour en donner 6, 9 ou 3 à un autre élève, puis les inviter à justifier leur réponse. De plus, on peut utiliser une bande numérique qui permettra aux élèves de situer les nombres et ainsi constater les nombres qui précèdent ou qui suivent un nombre donné.
On peut également amener les élèves à résoudre des problèmes simples qui font appel à l’inclusion. Par exemple : sur un carton, il y a le dessin de trois singes et de deux lions. En montrant l’ensemble d’animaux, l’enseignant devra interroger ses élèves : « Y a-t-il plus de singes ou plus d’animaux ? » En ce sens, jusqu’à 6-7 ans, l’élève répond habituellement plus de singes. Il s’agit d’un défaut d’inclusion de la sous-classe des singes dans la classe des animaux. Pour construire le nombre, l’enfant doit retenir des classes leur structure d’inclusion : 1 est inclus dans 2, 2 est inclus dans 3, etc. Les activités présentées aux élèves s’inspirent fortement des tâches élaborées par Piaget (1952). La figure 1.5 présente une tâche travaillant l’inclusion numérique.

Figure 1.5 Exemple d’une tâche travaillant l’inclusion numérique

Source : Adapté de Deshaies, 2017.
Ce type de tâches permet aux élèves de s’interroger sur ce qu’il faut compter ainsi que sur ce qui est compris dans une classe. Cela aide beaucoup à comprendre les nuances des tâches de classification. Ce genre d’activité peut être repris au premier cycle en variant la forme ainsi que le nombre d’éléments à dénombrer.
1.5 La conservation du nombre
La conservation du nombre est définie comme la connaissance de ce qui modifie une quantité donnée et de ce qui ne la modifie pas (Tollefsrud-Anderson et al ., 1991). En fait, il s’agit du principe qu’un nombre ne change pas si aucune quantité n’est ajoutée ou retirée (Gelman, 1972a) et de l’idée de l’invariance du nombre ; quelle que soit la disposition des unités dont il est composé, le nombre demeure identique à lui-même (Piaget, 1952). L’épreuve la plus connue pour illustrer la conservation des petits ensembles est celle de Piaget (1952), comme présentée à la figure 1.6.

Figure 1.6 Épreuves de conservation du nombre des petits ensembles

Les élèves peuvent utiliser plusieurs stratégies pour trouver la solution, mais celles-ci ne démontrent cependant pas toute une maîtrise de la conservation du nombre (Bideaud, Lehalle et Villette, 2004) : 1) Ils peuvent tenter de trouver la solution par une absence totale de correspondance terme à terme entre les deux rangées de jetons. Dans ce cas, les élèves utiliseront leurs stratégies visuo-spatiales en associant le nombre à la longueur de la distribution des objets devant eux. Cette stratégie ne permet pas à l’élève de conserver le nombre. 2) Ils peuvent tenter une correspondance terme à terme entre les deux rangées de jetons, mais puisque visuellement elles ne sont pas identiques, et malgré l’utilisation de cette stratégie, les élèves ne conservent pas le nombre. 3) Les élèves utilisent la correspondance terme à terme, mais leurs réponses ne sont pas toujours justes. Selon la transformation réalisée et la numérosité des collections, ils ne conservent pas le nombre. 4) Les élèves ont une conservation justifiée parce qu’ils font preuve d’arguments d’identité (« C’est pareil, rien n’a été enlevé, rien n’a été ajouté »), d’arguments de réversibilité (« C’est toujours pareil, si je replace les jetons comme dans la première rangée, il y en aura la même quantité ») et d’arguments de compensation (« C’est pareil, la rangée du bas est plus longue, car les jetons sont plus espacés, tandis que ceux de la rangée du haut sont moins espacés »).
Ainsi, pour affirmer qu’un élève a la capacité de conserver le nombre, l’explication de sa réponse doit se situer dans une conservation justifiée. Pour observer si les élèves sont aptes à conserver le nombre, il est important de leur demander de justifier leur réponse et de les interroger sur celle-ci.
En pratique, en classe préscolaire, des activités visant à travailler la conservation du nombre avec des jetons déplacés devant les élèves peuvent être proposées. Les élèves sont ensuite interrogés. Par exemple, on peut leur raconter une histoire dans laquelle il y a des nombres (pendant le conte, les élèves devront faire correspondre les nombres aux jetons). Ils devront mettre le même nombre de jetons devant eux que les nombres mentionnés par l’enseignant durant l’histoire. Ensuite, l’enseignant leur pose des questions telles que : « Y a-t-il autant de jetons si nous comptons en commençant par la droite ou par la gauche ? » « Si nous déplaçons les jetons, y a-t-il le même nombre qu’au départ ? » Il est ensuite pertinent de demander aux élèves de prendre leurs jetons et de les placer en paquets, puis de leur demander si le nombre de jetons est toujours le même. On peut également proposer des activités statiques, comme dans la figure 1.6. Au premier cycle du primaire, on peut varier la numérosité des ensembles et dépasser le 10. Cela permet d’observer si l’acquisition de la conservation du nombre est présente seulement pour les petites numérosités ou avec tous les nombres.
1.6 L’inhibition
Les connaissances actuelles en neurosciences peuvent être un atout considérable pour aider les élèves à apprendre de façon efficace. En ce sens, à certains moments, les stratégies intuitives des élèves se révèlent être un obstacle à l’apprentissage et conduisent à des réponses incorrectes qui peuvent être difficiles à modifier (Masson et Brault Foisy, 2014). Dans un tel cas, l’apprentissage exige l’inhibition, soit de contrer les fausses stratégies. Lors de l’apprentissage de plusieurs notions nommées ci-dessus, les élèves sont face à certains pièges et peuvent avoir besoin d’inhiber leurs fausses stratégies. En ce qui a trait à l’acquisition du sens des nombres, il est à titre d’exemple possible de varier la grosseur des points. Ce changement de « forme » lors de la comparaison amène les élèves à inhiber, soit à comparer la quantité de points et non leur apparence (Soltész et Szűcs, 2014). Avec l’exemple illustré à la figure 1.7, l’élève pourrait avoir tendance à choisir la carte avec les plus gros points, puisque les points prennent plus de place et que cela semble « plus gros ».

Figure 1.7 Exemple de cartes travaillant le sens des nombres et permettant de travailler l’inhibition

En rapport avec le principe de la correspondance terme à terme, les élèves auront besoin d’inhiber leurs fausses stratégies lors de la correspondance d’éléments variant en termes de forme et de grosseur (dénombrer des collections d’éléments réels et dénombrer des collections d’éléments dessinés).
Dans le même ordre d’idées, en ce qui concerne l’inclusion numérique, les élèves doivent inhiber la sous-classe de la classe globale (p. ex. les singes font partie de la classe des animaux, donc, il y a plus d’animaux que de singes ; voir figure 1.5). Notons également qu’au regard du principe de conservation du nombre, les auteurs néo-piagétiens ont déclaré que les enfants en bas âge, soit d’âge préscolaire, sont incapables d’empêcher la stratégie visuo-spatiale selon laquelle la « longueur de la distribution est égale au nombre », puisqu’ils ne sont pas capables de contrer cette stratégie (Houdé, 2000, 2011 ; Piaget, 1952). À cet effet, l’inhibition devient un allié à considérer pour permettre aux élèves cette acquisition. La recherche a démontré que les élèves étaient aptes à conserver le nombre si un enseignement par inhibition avait été utilisé (Deshaies, 2017).
En terminant, bien qu’elles n’aient pas été détaillées précédemment, les tâches de comparaison d’ensembles et de nombres symboliques nécessitent également d’inhiber de fausses stratégies et font partie des huit connaissances à développer dans le PFEQ. Afin de comparer deux collections, les élèves ont besoin d’utiliser leurs stratégies de comptage, mais également d’être capables de générer les mots nombres dans une séquence conventionnelle correcte, d’assurer une correspondance terme à terme correcte entre la séquence verbale et les objets, d’appliquer la règle du dernier mot nombre à la suite du comptage des objets de la collection, et de déterminer l’équivalence de deux collections ou encore de préciser la relation qui lie ces deux collections (plus petite, plus grande) en fonction de la position du mot nombre dans la séquence verbale (Baroody, 1987 ; Van Nieuwenhoven, 1999). En ce sens, les recherches de Fuson (1988), Cowan (1987) et Cowan, Foster et Al-Zubaidi (1993) démontrent clairement que les jeunes enfants n’utilisent pas de façon adéquate le comptage comme un outil pour comparer le nombre d’éléments présents dans deux collections ; ils se fient davantage à la taille des ensembles comme indice perceptif de la quantité. L’inhibition devient un atout lors de cet apprentissage. Ainsi, l’enseignant doit amener les élèves à inhiber leur première stratégie de se fier uniquement à la grosseur de la collection, et à plutôt utiliser leur stratégie de comptage pour ensuite comparer. Bref, il faut les amener à comparer les nombres et non le visuel des collections.
En somme, l’enseignement de l’inhibition chez les élèves de 5 ans est possible grâce à la mise en place d’un dispositif didactique expérimental ainsi que d’alertes émotives (« Attention ! Il y a un piège ») (Lubin et al ., 2012). En ce sens, la recherche de Deshaies (2017) démontre les effets positifs d’une mise en place d’un enseignement par inhibition des notions mathématiques enseignées au préscolaire.
Conclusion
Les notions mathématiques définies et illustrées dans ce chapitre font partie des premiers apprentissages à travailler chez l’élève. Certaines de ces notions sont, de surcroît, prédictives de difficulté d’apprentissage. Or ces notions mathématiques ne sont pas toujours clairement explicitées dans les programmes scolaires (p. ex. le PFEQ). Ce point revêt une grande importance dans une relation de médiation entre l’élève et le savoir mathématique. En effet, il n’est pas suffisant que l’enseignant ait une meilleure connaissance de ces notions. Il faut également qu’il ait l’habileté à créer les contextes d’apprentissage appropriés pour permettre la construction du sens chez l’élève. Par la mise en place de ceux-ci, l’enseignant exerce pleinement son rôle de médiateur entre le savoir et l’élève. De plus, et comme nous l’avons mentionné précédemment, apprendre nécessite parfois de contrer de fausses stratégies (Masson et Brault Foisy, 2014). En ce sens, l’utilisation d’un enseignement par inhibition permettrait une meilleure acquisition de ces notions et outillerait davantage les élèves pour percevoir et contrer les pièges didactiques.
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Chapitre 2
La mise à contribution de la didactique des mathématiques dans l’enseignement et la recherche
Une incursion du côté des probabilités et de la statistique au primaire et au secondaire
Caroline Lajoie et Mathieu Thibault
Le chercheur en didactique des mathématiques et l’enseignant de mathématiques partagent un intérêt commun pour les phénomènes d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques. Aussi ont-ils souvent recours aux mêmes concepts didactiques (p. ex. les concepts d’erreur, de difficulté, de conception, de variable didactique) et aux mêmes outils méthodologiques (p. ex. l’analyse a priori , l’évaluation diagnostique, l’analyse conceptuelle). Ils exploitent parfois les mêmes problèmes ou situations mathématiques et ils lisent à l’occasion les mêmes articles scientifiques. De toute évidence, toutefois, le chercheur et l’enseignant ne s’intéressent pas tout à fait de la même manière aux phénomènes d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques. Aussi, l’interprétation que l’un et l’autre ont des outils de la didactique des mathématiques et l’appropriation qu’ils en font dans le cadre de leur travail respectif peuvent s’avérer passablement différentes.
Dans ce chapitre, nous proposons d’examiner plus en profondeur ce qui distingue les manières du chercheur des manières de l’enseignant de recourir à la didactique des mathématiques dans le cadre de leur travail – mais également d’examiner en quoi elles se ressemblent. Nous allons effectuer cette comparaison à partir de nos expériences en recherche, en enseignement des mathématiques et en enseignement de la didactique des mathématiques (tantôt dans un contexte de formation à l’enseignement, tantôt dans un contexte de formation à la recherche). Les exemples utilisés pour appuyer notre propos sont en lien avec la didactique des probabilités et de la statistique 8 , et sont tirés en grande majorité de travaux de recherche réalisés au Québec. L’outil méthodologique et les concepts didactiques que nous avons retenus sont, respectivement, l’analyse a priori , les variables didactiques et les conceptions.
2.1 L’analyse a priori et les variables didactiques en didactique des mathématiques
L’analyse a priori et les variables didactiques sont des outils théoriques qui ont été développés par Guy Brousseau, didacticien des mathématiques français, fondateur de la Théorie des situations 9 . Ces outils sont utilisés, souvent de manière explicite, tant dans la recherche en didactique des mathématiques que dans la formation (initiale ou continue) à l’enseignement des mathématiques. Ils se retrouvent aussi dans le quotidien de l’enseignant de mathématiques, mais souvent de manière beaucoup plus implicite.
Dans un contexte de formation à l’enseignement ou dans un contexte d’enseignement, l’analyse a priori peut être considérée, comme mentionné par Dorier (2010, p. 1), comme une « aide à une prise de recul pour aborder des situations de classe » ou encore comme « un travail de préparation d’activités existantes de façon distanciée ». Se plaçant dans la peau d’un enseignant, Dorier (2010, p. 2) présente ainsi la question au cœur de l’analyse a priori d’une situation ou d’un problème : « Avec tout ce que mes élèves savent et ce qu’ils ont à leur disposition – le milieu –, comment la question que je leur pose ou le problème que je leur soumets peut-il prendre sens – problème de dévolution 10 – et que doivent-ils apprendre de nouveau pour arriver à le résoudre ? ». L’auteur poursuit en insistant sur un point essentiel de l’analyse a priori , soit la mise en évidence de certains choix qui sont faits lorsqu’une activité est proposée à des élèves, et il introduit par le fait même le concept de variables didactiques :
Un point essentiel de l’analyse a priori consiste à faire apparaître les choix qui sont faits en creux quand on propose une activité à des élèves. En effet, toute activité de classe comporte une part importante de choix qui sont faits plus ou moins délibérément, voire consciemment, par l’enseignant (ou les manuels avant eux). Ces choix ne sont pas coupables, ils sont inévitables, mais ils sont faits contre d’autres (possibles mais non retenus). Le propre de l’analyse a priori est de mettre à jour certains (on ne peut jamais tout embrasser) de ces choix, les autres alternatives et leurs conséquences en termes d’objectifs de savoir et de possibilité d’acquisition de connaissances. C’est ce qui est au cœur de la détermination des variables didactiques (Dorier, 2010, p. 3).
Le concept de variables didactiques est quant à lui souvent défini comme suit dans les écrits scientifiques en didactique des mathématiques :
Un champ de problèmes peut être engendré à partir d’une situation par la modification des valeurs de certaines variables qui, à leur tour, font changer les caractéristiques des stratégies de solution (coût, validité, complexité… etc.) […] Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont à considérer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler un professeur sont particulièrement intéressantes : ce sont les variables didactiques (Brousseau, 1982a, cité dans Bessot, 2003, p. 13).
Il est à noter que les chercheurs qui choisissent/adaptent/composent des problèmes dans le cadre de leurs travaux de recherche ne font pas nécessairement tous explicitement référence au concept de variable didactique. Prenant son origine en France, ce concept est utilisé surtout (peut-être même exclusivement) dans des travaux rédigés en français. Toutefois, même lorsque ce concept n’est pas présent de manière explicite, le chercheur donne souvent accès à ses intentions, justifications, etc. derrière les problèmes/situations qu’il propose, adoptant ainsi une démarche qui peut être apparentée à celle de l’analyse a priori .
2.1.1 L’analyse a priori et les variables didactiques dans le contexte de l’enseignement du concept de moyenne
Pour illustrer les concepts didactiques d’analyse a priori et de variables didactiques, nous avons choisi de nous attarder à l’enseignement du concept de moyenne (arithmétique), et ce, pour deux raisons principales. L’apprentissage et l’enseignement du concept de moyenne ont été largement étudiés par des chercheurs québécois qui ont eu recours, plus ou moins explicitement, à des analyses a priori impliquant un jeu sur des variables didactiques. La moyenne est un concept statistique de base qui fait partie de notre quotidien et qui est présent dans presque tout le cursus scolaire obligatoire au Québec, du primaire au secondaire (Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport [MELS], 2006a, 2006b et 2007).
Depuis plusieurs années, les enseignants de mathématiques d’un peu partout dans le monde sont encouragés à faire développer des procédures personnelles de calcul, tant par les chercheurs et les formateurs que par les documents ministériels officiels (Hodgson et Lajoie, 2015 ; MELS, 2006b ; National Council of Teachers of Mathematics, 2000 ; Verschaffel et al. , 2015). Pour ce faire, l’enseignant ne peut se permettre de proposer n’importe quelle activité ou situation, ou n’importe quel problème. Certains choix qu’il fera s’avéreront effectivement plus judicieux que d’autres.
Dans un article présentant ce que des élèves américains de 4 e année peuvent faire lorsque leur enseignant les encourage à développer leurs propres manières de calculer une moyenne, Kamii, Pritchett et Nelson (1996) décrivent différentes procédures personnelles. Voici un exemple de procédure d’élève pour trouver la moyenne de 2, 9, 3 et 6 : « Le point milieu entre 2 et 6 est 4, et le point milieu entre 9 et 3 est 6. Puisque le point milieu entre 4 et 6 est 5, la moyenne des quatre nombres est 5 » (Kamii, Pritchett et Nelson, 1996, p. 79, traduction libre). Le lecteur aura tôt fait de remarquer que le choix des nombres proposés à l’élève pour le calcul de la moyenne n’a rien d’anodin ! On comprendra rapidement, par exemple, qu’une telle procédure n’aurait pu émerger si les nombres avaient été très grands ou encore très éloignés les uns des autres, s’ils avaient été des nombres fractionnaires, décimaux ou des nombres dont la moyenne n’est pas un naturel, si la liste avait été très longue, etc. Un enseignant qui se retrouverait face à une telle procédure personnelle (qui fonctionne dans ce cas-ci puisque le nombre de données est une puissance de deux, mais qui ne fonctionne pas de manière générale) aurait tendance à proposer rapidement, à brûle-pourpoint, une autre liste de nombres (choisie stratégiquement) pour voir comment l’élève procède pour trouver la moyenne attendue (recours à la même procédure, adaptation de la procédure ou abandon de la procédure au profit d’une autre). Ces mêmes constats peuvent être faits pour tous les exemples de procédures énumérées par Kamii, Pritchett et Nelson (1996) : chaque fois, les nombres proposés initialement aux élèves pour le calcul de la moyenne se prêtent bien au développement de procédures personnelles par les élèves. D’autres nombres peuvent ensuite être proposés pour voir comment les élèves adaptent, raffinent ou encore modifient leurs procédures personnelles.
Au Québec, le concept de moyenne est introduit explicitement dans le Programme de formation de l’école québécoise (PFEQ) dès le troisième cycle du primaire (MELS, 2006b) et il revient plus tard aux deux cycles du secondaire (MELS, 2006a et 2007). Au troisième cycle du primaire, on trouve explicitement parmi les « savoirs essentiels » à acquérir le « sens et [le] calcul de la moyenne arithmétique » (MELS, 2006b, p. 138). Conséquemment, on remarque dans les manuels scolaires québécois, du moins dans ceux que nous avons consultés, que les problèmes proposés aux élèves du troisième cycle visent à donner un certain sens au concept lui-même, en plus de les amener à calculer la moyenne (pour certaines listes de données bien choisies). Aussi, sans surprise, il est possible de constater que les problèmes proposés à ce niveau scolaire pour introduire le concept de moyenne sont différents de ceux proposés plus tard au secondaire, et ce, tant par les contextes en jeu, les nombres impliqués, le nombre de données impliquées, etc. Conséquemment, les procédures attendues par l’enseignant du troisième cycle du primaire ne sont pas les mêmes que celles attendues par l’enseignant du secondaire.
Analysons par exemple le problème de l’encadré 2.1, tiré d’un manuel scolaire québécois du troisième cycle du primaire.

Encadré 2.1 Problème tiré de Défi mathématique
Au cours des 5 parties de hockey du Tournoi national féminin, Jade a marqué 3, 5, 2, 1 et 4 buts. Coralie a marqué le même nombre total de buts que Jade, mais elle a réussi le même nombre de buts à chaque partie. Elles ont donc obtenu la même moyenne de buts marqués par partie. Quelle est cette moyenne ?
Source : Lyons et Lyons, 2005, p. 134.
Ce problème vise clairement à introduire le concept de moyenne à l’élève puisqu’on trouve, à même l’énoncé du problème, une définition déguisée de la moyenne de même qu’une piste pour trouver celle-ci : le même nombre de buts au total ainsi qu’un nombre égal de buts à chaque partie. L’enseignant du primaire peut en fait se permettre de proposer ce problème avant même d’avoir enseigné quelque procédure de calcul de la moyenne que ce soit, par exemple l’algorithme usuel de somme-division , pour reprendre les mots de Gattuso (1999, p. 80). Dans ce cas, l’enseignant s’attendra à différentes procédures, dont une qui consisterait à faire des essais et erreurs, une autre qui consisterait à jouer avec les points de Jade de manière à obtenir chaque jour un même nombre de points, ou une autre encore qui consisterait à voir combien on doit faire de buts chaque jour pour avoir le même nombre total de buts (15) en 5 parties. Certains choix des auteurs du manuel rendent cette attente réaliste : le contexte est familier pour l’élève, les nombres impliqués sont de petits nombres entiers, le nombre de parties est restreint, etc. Plus tard, une fois que les élèves auront l’habitude de calculer des moyennes, les problèmes qui leur seront proposés ne viseront plus à introduire le concept de moyenne ou à les amener à développer des procédures personnelles de calcul de la moyenne. Ils traduiront d’autres intentions.
L’enseignant est donc appelé, dans son quotidien, à soupeser la valeur et le potentiel des situations et problèmes qu’il soumet à ses élèves, et à modifier au besoin ces situations et problèmes selon ses intentions. Nous reconnaissons dans cette composante du travail de l’enseignant un type informel d’analyse a priori et de jeu sur des variables didactiques qui peut prendre forme dans divers contextes d’enseignement, dont l’évaluation diagnostique, l’introduction d’un concept, la consolidation des apprentissages (dans un devoir, par exemple) et l’évaluation.
2.1.2 Le concept de moyenne dans la recherche en didactique des mathématiques : un jeu réfléchi sur plusieurs variables didactiques
Plusieurs articles de recherche en didactique des mathématiques ont été consacrés au concept de moyenne. Au Québec, par exemple, des chercheurs se sont attardés à la complexité du concept de moyenne et aux divers sens que ce concept peut prendre (Gattuso, 1999), à l’évolution de ce concept dans l’histoire (Lavoie et Gattuso, 1998), à sa place dans les programmes d’études d’ici et d’ailleurs (Gattuso et Vermette, 2013), aux stratégies de résolution utilisées par des élèves du secondaire, du cégep ou de la formation des maîtres (Gattuso et Mary, 1997, pour l’ensemble de ces niveaux ; Mary et Gattuso, 2005, pour le secondaire) pour résoudre des problèmes de moyenne. Or, la plupart de ces travaux font intervenir de « bons problèmes », sélectionnés ou construits de toutes pièces par les chercheurs avec diverses intentions : faire ressortir des difficultés reliées à la compréhension de ce concept, révéler diverses conceptions des élèves à l’égard de la moyenne (la moyenne comme algorithme, valeur la plus fréquente, valeur du milieu, valeur raisonnable, valeur habituelle ou typique… 11 ), voir si la réussite à certains problèmes de moyenne est la même d’un niveau scolaire à l’autre, voir comment la structure d’un problème, ou encore le contexte du problème, influence les réponses des élèves, etc.
Les problèmes présentés dans les divers articles de recherche font souvent l’objet d’une analyse a priori qui met en évidence le jeu fait par les chercheurs sur différentes variables didactiques selon les intentions visées. Voici, par exemple, des choix faits par Gattuso et Mary (1997) en ce qui concerne certaines variables didactiques : des nombres « très simples » (pour minimiser les difficultés de calcul) ; des contextes aussi familiers que possible (pour diminuer l’effet du contexte) ; des nombres choisis de manière à ce que la moyenne soit différente du terme milieu (pour déceler l’occurrence d’une telle confusion) ; la présence de zéro dans la liste de données (pour voir comment les élèves en tiennent compte dans le calcul de la moyenne) ; l’absence de la moyenne dans la liste de données (pour voir si les élèves rejettent une moyenne qui ne serait pas égale à une donnée de la liste) ; puis une structure de problème telle que l’algorithme de somme-division ne peut être appliqué directement (pour voir comment les élèves procèdent dans un tel cas). Il est à noter que bien d’autres choix pourraient être faits (p. ex. des nombres plus grands, des fractions, des nombres décimaux, des nombres négatifs, des cas où la moyenne n’est pas un nombre entier, etc.) pour explorer leurs conséquences sur les procédures des élèves.
Le jeu mené par les chercheurs sur les variables didactiques aura souvent une incidence sur la complexité du problème et, par le fait même, sur les procédures utilisées pour résoudre les problèmes. Or c’est souvent cette incidence qui sera examinée plus en détail par les chercheurs. Voici, par exemple, à l’encadré 2.2, trois problèmes proposés par Mary et Gattuso (2005) à des élèves du secondaire.
Ces problèmes de moyenne sont à première vue semblables : chaque fois, on sait combien les amis ont en moyenne pour la sortie, puis on se demande ce qui arrive à la moyenne si une modification de l’effectif et des données survient. Pourtant, comme le révèle l’analyse a priori réalisée par leurs conceptrices, ils ne sont pas si semblables que ça.

Encadré 2.2 Trois problèmes « semblables »
Un groupe de 7 amis voulant faire une sortie se vident les poches. Ils ont en moyenne 12 $ chacun. Jean-Philippe se joint au groupe et n’a pas un sou. Qu’arrive-t-il maintenant à la moyenne ?
Un groupe de 8 amis voulant faire une sortie se vident les poches. Ils ont en moyenne 11 $ chacun. Pierre, après avoir réfléchi, reprend les 4 $ qu’il avait donnés, car il doit aller travailler. À ce moment, Jean-Philippe se joint à eux pour la sortie, mais il n’a pas un sou. Qu’arrive-t-il maintenant à la moyenne ?
Un groupe de 9 amis voulant faire une sortie se vident les poches. Ils ont en moyenne 12 $ chacun. Pierre, après avoir réfléchi, dit qu’il doit aller travailler et quitte le groupe. De toute façon, il n’avait pas un sou. Qu’arrive-t-il à la moyenne maintenant qu’il a quitté le groupe ?
Source : Mary et Gattuso, 2005, p. 88.
Pour le problème 1, on ajoute une donnée égale à zéro car un ami se joint au groupe, mais il n’a pas d’argent ; donc l’effectif augmente, mais le montant total ne change pas. Dans le problème 2, l’effectif reste le même (un ami part et un autre arrive), une donnée non nulle est remplacée par une autre égale à zéro ; ce changement entraîne une modification du montant total. Dans le problème 3, on enlève une donnée égale à zéro car un ami part, mais comme il n’a pas d’argent, le montant total reste inchangé (Mary et Gattuso, 2005, p. 88).
Comme prévu, les résultats de Mary et Gattuso (2005) montrent bien comment le type et le sens des modifications apportées aux données influencent les stratégies des élèves, et comment diverses conceptions et glissements de sens apparaissent dans certains cas et pas dans d’autres. Les auteures tirent d’ailleurs de leur analyse quelques recommandations pour l’enseignement, notamment : « Prendre comme point de départ les anticipations et stratégies des élèves peut être l’occasion d’une discussion fructueuse pour une meilleure compréhension de la moyenne et pour affronter les conceptions inadéquates latentes dans l’esprit des élèves » (Mary et Gattuso, 2005, p. 101). Les conceptions sont justement notre objet d’étude pour la prochaine section.
2.2 Les conceptions en didactique des mathématiques
Dans les travaux en didactique des mathématiques et en didactique des sciences, les conceptions sont étudiées depuis plusieurs décennies. Plus particulièrement, les conceptions en probabilités ont fait couler beaucoup d’encre en didactique des mathématiques, mais aussi plus largement dans les domaines de l’éducation et de la psychologie. En effet, selon les chercheurs qui s’y sont intéressés au Québec, ces conceptions sont nombreuses et elles persistent autant chez les élèves du primaire (Savard, 2008), du secondaire (Thibault, 2011a et 2011b), du collégial (Dubois, 2002 ; Rouan et Pallascio, 1994) et même par la suite dans la vie adulte (Roy, 2005).
Dans les écrits scientifiques, on trouve plusieurs expressions liées aux conceptions, par exemple : conceptions erronées (ou misconceptions ), conceptions primitives, conceptions spontanées, fausses conceptions, intuitions, heuristiques, biais, etc. (Shaughnessy, 1992). Comme le remarque Savard (2008), ces termes sont connotés négativement et laissent sous-entendre que les conceptions mènent forcément à des erreurs. Même si nous reconnaissons les difficultés que celles-ci peuvent engendrer pour l’apprentissage des probabilités, nous choisissons d’aller dans le même sens que Savard (2008) en utilisant tout simplement l’expression conceptions probabilistes . Nous choisissons d’utiliser le terme conception de façon neutre, en admettant qu’une conception puisse être viable pour l’apprenant dans une situation donnée, et pas nécessairement viable dans d’autres situations. Voilà pourquoi on associera généralement un domaine de validité restreint aux conceptions (Savard, 2008).
De façon plus formelle, nous définissons une conception comme un type de connaissance locale (Brousseau, 1998 ; Savard, 2008), soit une construction mentale adaptative (Dubois, 2002 ; Janvier, 1987) servant à expliquer le monde qui nous entoure (De Vecchi, 2010) à partir de nos connaissances antérieures. Ainsi, une conception est dynamique (Brousseau, 1998) et peut donc évoluer à travers le temps (Fischbein, 1975). De plus, même si une conception prend parfois la forme d’une intuition évidente pour l’apprenant (Fourez et Larochelle, 2003), elle peut tout de même reposer sur une réflexion mentale plus profonde (Sfard, 1991), que cette réflexion soit consciente ou non. Puisqu’on ne peut pas atteindre directement les conceptions d’un apprenant, ces dernières peuvent être inférées à partir des manifestations qui émergent dans certains contextes, ce qui nous permet d’en apprendre davantage sur l’apprenant qui manifeste ces conceptions (Giordan, 1998).
Cela étant dit, il apparaît important de faciliter un processus d’évolution des conceptions probabilistes chez les élèves pour les outiller face à des situations de hasard et d’argent, de manière à éclairer leur jugement critique et éviter un comportement de jeu excessif (Savard, 2008 ; Thibault, 2011b). Pour ce faire, on peut avoir recours, dans l’enseignement, à des situations qui permettent aux conceptions de se manifester.
2.2.1 Une situation permettant à la conception « dépe

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