Éléments d'analyse complexe

Lambert Marcel, Réal Gélinas

Description

Les nombres complexes - Fonctions et dérivées - Fonctions élémentaires - Intégration - Séries de puissances - Calcul des résidus - Transformations conformes - Exercices et réponses.

Sujets

• mathématique
• exercices
• Picard
• Puissance
• Résidu
• Courbes
• Transformation
• Série
• Dé
• Intégration
• Riemann
• Variable
• Théorème
• Science
• Fonction
• Dérivée
• Nombre

Informations

• Publié par: Presses de l'Université du Québec
• Date de parution: 05 juillet 1988
• Nombre de lectures: 45
• EAN13: 9782760520592
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 10 Mo

Extrait

ÉLÉMENTS D’ANALYSE COMPLEXE

ÉLÉMENTS D’ANALYSE COMPLEXE

Réal Gélinas / Marcel Lambert

1994 Presses de l’Université du Québec 2875, boul. Laurier, Sainte-Foy (Québec) G1V 2M3

Réimpressions : février 1991 - juin 1994

ISBN 2-7605-0488-3

Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés ©1988 Presses de l’Université du Québec e Dépôt légal — 3 trimestre 1988 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada

Avant-propos

Ce livre est destiné aux étudiants en mathématiques et en sciences qui prennent un premier contact avec la théorie des variables complexes. Nous pensons répondre à un besoin car on ne trouve pas facilement de livre français adapté à leur préparation dans ce domaine. La matière est présentée selon la tradition américaine. Nous avons aussi divisé les sujets de façon à faire des paragraphes plutôt courts, comme on pourra le voir en parcourant la table des matières.

Le contenu, dans son ensemble, est tout à fait classique pour un premier cours. Cependant nous avons voulu ouvrir certains horizons à l’étudiant en effleurant quelques sujets plus avancés comme, par exemple, les fonctions multiformes et les surfaces de Riemann, le théorème de Picard, l’indice d’un point par rapport à une courbe, le théorème de Riemann sur les transformations conformes. Nous pensons ainsi avoir mieux fait voir aux étudiants la richesse de cette théorie et les avoir incités à poursuivre. À la fin de chaque chapitre, nous suggérons beaucoup de problèmes avec leurs réponses. Certains de ces exercices sont destinés à l’assimilation de la théorie déjà expliquée mais plusieurs vont au delà et approfondissent quelque peu les sujets étudiés. Nous espérons que ce texte sera utile à ceux qui veulent s’initier à l’une des plus belles théories mathématiques qui soient. Réal Gélinas Marcel Lambert

Table des matières

Chapitre 1 : Les nombres complexes 1.1 Introduction 1.2 Le corps des complexes 1.3 Compléments et remarques 1.4 Représentation graphique des n.c. 1.5 Le conjugué d'un nombre complexe 1.6 Le module d'un nombre complexe 1.7 Compléments et remarques 1.8 Géométrie en termes de z et z 1.9 Forme polaire des nombres complexes 1.10 Forme exponentielle des nombres complexes 1.11 Puissances. Racines. Formule de De Moivre 1.12 Suite de nombres complexes 1.13 Compléments et remarques 1.14 Projection stéréographique 1.15 Compléments et remarques Exercices Réponses

Chapitre 2 : Fonctions. Dérivées.

2.1 Notion de fonction 2.2 Représentation graphique d'une fonction 2.3 Limite d'une fonction 2.4 Continuité 2.5 Dérivée 2.6 Formules de différentiation 2.7 Signification géométrique de la dérivée 2.8 Les conditions de Cauchy-Riemann 2.9 Les conditions de C.-R. en polaires 2.10 L'Équation de Laplace. Les fonctions harmoniques 2.11 Courbes orthogonales 2.12 Les dérivées partielles en z et z 2.13 Compléments et remarques

1 1 3 4 5 5 7 8 9 10 12 14 16 17 21 22 33

37 38 39 44 48 51 51 52 56 59 61 62 66

Exercices Réponses

Chapitre 3 : Fonctions élémentaires

3.1 Introduction z 3.2 La fonction exponentielle e 3.3 La transformation exponentielle 3.4 Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus 3.5 Autres fonctions trigonométriques 3.6 Les fonctions hyperboliques sinus et cosinus 3.7 Autres fonctions hyperboliques 3.8 Compléments et remarques 3.9 La fonction logarithmique 3.10 Compléments et remarques 3.11 La fonction puissance W 3.12 Propriétés de z 3.13 Fonctions multiformes. Surfaces de Riemann 3.14 Fonctions trigonométriques inverses 3.15 Fonctions hyperboliques inverses Exercices Réponses

Chapitre 4 : Intégration

4.1 Intégration. Définitions 4.2 Exemples importants 4.3 Propriétés de l’intégrale 4.4 Théorème de Cauchy 4.5 L’intégrale indéfinie 4.6 Formule de Cauchy 4.7 Les dérivées des fonctions analytiques 4.8 Quelques conséquences du théorème de Cauchy 4.9 Indice d’un point par rapport à une courbe Exercices Réponses

Chapitre 5 : Séries de puissances

5.1 5.2 5.3 5.4

Propriétés des séries de puissances Convergence uniforme Série de Taylor Remarques

67 77

79 79 82 83 85 87 88 89 90 91 94 95 97 102 103 105 112

115 122 123 126 136 137 140 148 152 159 171

175 178 182 184