Processus stochastiques discrets et filtrages optimaux

Jean-Claude Bertein, Roger Ceschi

Description

Cet ouvrage s'intéresse aux fondements des principaux filtres optimaux. Il propose plusieurs rappels sur les vecteurs aléatoires et sur les vecteurs gaussiens. L'étude des processus à temps discrets permet ensuite d'aborder le filtrage numérique , un chapitre sur l'estimation donne les résultats principaux, nécessaires à la construction du filtre de Wiener et du filtre adaptatif utilisés dans le cas de signaux stationnaires. L'ouvrage s'achève par l'étude du filtrage de Kalman qui généralise le filtrage optimal dans le cas de signaux non stationnaires. Des exercices avec solutions ponctuent chaque chapitre et des exemples pratiques sont traités avec le logiciel Matlab©. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants de second cycle, d'IUP, d'écoles d'ingénieurs ainsi qu'à tout scientifique souhaitant retrouver les fondements des principaux filtres optimaux.
Avant-propos. Introduction. Vecteurs aléatoires. Vecteurs gaussiens. Généralités sur les processus à temps discret. Estimation. Le filtre de Wiener. Filtrage adaptatif : algorithme du gradient et du LMS. Le filtre de Kalman. Annexes. Table des symboles et notations. Bibliographie. Index.

Sujets

• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 04 novembre 2005
• Nombre de lectures: 47
• EAN13: 9782746242180
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Processus stochastiques discrets
et filtrages optimaux© LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr
ISBN 2-7462-1201-3
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Code de la propriété intellectuelle.Processus
stochastiques discrets
et filtrages optimaux
Jean-Claude Bertein
Roger CeschiA nos familles’
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TABLE DES MATI¨RES
Avant-propos................................................ 11
Introduction................................................. 13
Chapitre 1. Vecteurs alØatoires .................................. 15
1.1. DØfinitions et propriØtØs gØnØrales............................ 15
1 21.2. Les espaces L (dP) et L (dP)................................ 32
1.2.1. DØfinitions......................................... 32
1.2.2. PropriØtØs 34
1.3. EspØrance mathØmatique et applications........................ 35
1.3.1. DØfinitions 35
1.3.2. Fonctions caractØristiques dun vecteur alØatoire.............. 45
1.4. Variables et vecteurs alØatoires du second ordre .................. 50
21.5. IndØpendance linØaire des vecteurs de L (dP).................... 57
1.6. EspØrance conditionnelle (cas des vecteurs densitØ) .............. 61
1.7. Exercices du chapitre 1.................................... 66
Chapitre 2. Vecteurs gaussiens................................... 71
2.1. Quelques rappels sur les variables alØatoires gaussiennes ........... 71
2.2. DØfinition et caractØrisation des vecteurs gaussiens................ 73
2.3. RØsultats relatifs lindØpendance............................ 75
2.4. Transformation affine dun vecteur gaussien .................... 79
2.5. Existence des vecteurs gaussiens ............................. 81
2.6. Exercices du chapitre 2.................................... 90







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8 Processus stochastiques et filtrages optimaux
Chapitre 3. GØnØralitØs sur les processus temps discret ............... 99
3.1. DØfinition ............................................. 99
3.2. Processus stationnaires du deuxiŁme ordre et mesure spectrale....... 111
3.2.1. DensitØ spectrale ................................... 111
3.3. ReprØsentation spectrale d un processus stationnaire
du deuxiŁme ordre ......................................... 114
3.3.1. ProblŁme 115
3.3.2. RØsultats 116
3.3.2.1. Processus accr oissements orthogonaux
et mesure associØe .................................... 116
3.3.2.2. IntØgrale stochastique de Wiener .................... 117
3.3.2.3. ReprØsentation spectrale .......................... 118
3.4. GØnØralitØs sur le filtrage numØrique ......................... 119
3.5. Exemple important : processus autorØgressif ................... 131
3.6. Exercices du chapitre 3................................... 136
Chapitre 4. Estimation........................................ 143
4.1. Position du problŁme .................................... 143
4.2. Estimation linØaire ...................................... 146
4.3. Meilleure estimation EspØrance conditionnelle ................. 156
4.4. Exemple : prØdiction dun processus autorØgressif AR (1) .......... 164
4.5. Processus multivariØs 166
4.6. Exercices du chapitre 4................................... 174
Chapitre 5. Le filtre de Wiener ................................. 179
5.1. Introduction........................................... 179
5.1.1. Position du problŁme ................................ 179
5.2. RØsolution et calcul du filtre Finite Impulse Response (FIR) ........ 181
5.3. Evaluation de lerreur minimale ............................ 182
5.4. RØsolution et calcul du filtre Infinite Impulse Response (IIR) ........ 184
5.5. Evaluation de lerreur minimale 187
5.6. Exercices du chapitre 5................................... 188
Chapitre 6. Filtrage adaptatif : algorithme du gradient et du LMS ...... 193
6.1. Introduction........................................... 193
6.2. Position du problŁme .................................... 195
6.3. ReprØsentation des donnØes................................ 196
6.4. Minimisation de la fonction coßt ............................ 198
6.4.1. Calcul du coßt ..................................... 200
6.5. Algorithme du gradient................................... 202












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Table des matiŁres 9
6.6. Estimation du gradient et algorithme LMS ..................... 205
6.7. InterprØtation gØomØtrique ................................ 207
6.8. StabilitØ et convergence .................................. 211
6.8.1. Convergence de lalgorithme du LMS .................... 215
6.9. Exemple dapplication de lalgorithme LMS ................... 215
6.10. Exercice du chapitre 6 223
Chapitre 7. Le filtre de Kalman................................. 225
7.1. Position du problŁme .................................... 225
7.2. Approche de lestimation 228
7.2.1. Cas scalaire ....................................... 228
7.2.2. Cas multivariØ ..................................... 231
7.3. Filtrage de Kalman...................................... 232
7.3.1. Equation dØtat 232
7.3.2. Equation dobservations .............................. 233
7.3.3. Processus dinnovation ............................... 234
7.3.4. Matrice de covariance du processus dinnovation ............ 235
7.3.5. Estimation ........................................ 236
7.3.6. Equation de Riccati ................................. 244
7.3.7. Algorithme et rØsumØ ................................ 246
7.3.8. Equations du filtre de Kalman dans le cas non linØaire......... 247
7.4. Exercices du chapitre 7................................... 248
Annexes................................................... 255
Table des symboles et notations 267
Bibliographie............................................... 269
Index..................................................... 271











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AVANT-PROPOS
Le filtrage optimal discret appliquØ aux signaux stationnaires et non stationnaires
permet de traiter de la maniŁre la plus efficace possible, au sens du critŁre choisi,
tous les problŁmes que lon peut rencontrer dans les situations d extraction de
signaux bruitØs.
Il constitue la brique ØlØmentaire nØcessaire dans les domaines les plus divers :
calcul des orbites ou de guidages d aØronefs dans le domaine aØrospatial ou
aØronautique, calcul de filtres dans le domaine des tØlØcommunications ou dans le
domaine de la commande des systŁmes ou encore dans celui des traitements de
signaux sismiques, la liste est non exhaustive.
De plus, lØtude et les rØsultats obtenus sur des signaux discrets permet une
implØmentation trŁs facile sur calculateur.
Dans leur ouvrage, les auteurs ont eu le souci permanent de la pØdagogie et ils
l ont souvent prØfØrØe lØrudition ; tous les prØliminaires mathØmatiques et
probabilistes utiles la bonne comprØhension du filtrage optimal ont ØtØ traitØs de
fa on rigoureuse. Il ne sera pas toujours nØcessaire d avoir recours d autres
ouvrages pour acquØrir une bonne connaissance des sujets ØtudiØs.
Gr ce cet ouvrage, le lecteur pourra non seulement comprendre le filtrage
optimal discret mais pourra de plus approfondir aisØment les diffØrents aspects de ce
large domaine. ’
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INTRODUCTION
Cet ouvrage a pour but de prØsenter les bases du filtrage optimal discret dune
maniŁre progressive et rigoureuse.
Le caractŁre optimal s entend au sens oø nous choisissons toujours le critŁre qui
2 minimise la norme L de l erreur.
Le premier chapitre aborde les vecteurs alØatoires, ses principales dØfinitions et
propriØtØs.
Le second chapitre traite des vecteurs gaussiens. Etant donnØ limportance
pratique de cette notion, les dØfinitions et rØsultats sont accompagnØs de nombreux
commentaires et schØmas explicatifs.
Le troisiŁme chapitre, « GØnØralitØs sur les processus temps discrets », est de
nature plus physique que les prØcØdents et peut Œtre considØrØ comme une
introduction au filtrage numØrique. Les rØsultats essentiels pour la suite seront
donnØs.
Le chapitre 4, « Estimation », nous apporte les briques essentielles la
construction des filtres optimaux. Les rØsultats obtenus sur les projections dans les
espaces de Hilbert constituent la clef de voßte des dØmonstrations venir.
Le chapitre 5 traite du filtre de Wiener, dispositif Ølectronique bien adaptØ au
traitement des signaux stationnaires du second ordre. Des calculs pratiques de tels
filtres, rØponse impulsionnelle finie ou infinie, seront dØveloppØs.
Le filtrage adaptatif, qui est le sujet traitØ au chapitre 6, peut Œtre considØrØ
comme une application assez directe de la mØthode du gradient dØterministe ou
stochastique. Au bout du processus dadaptation ou de convergence, nous retrouvons
le filtre de Wiener. 14 Processus stochastiques et filtrages optimaux
L ouvrage s achŁve avec l Øtude du filtrag e de Kalman qui permet le traitement
des signaux stationnaires ou non stationnaires ; on peut dire que de ce point de vue,
il gØnØralise le filtre optimal de Wiener.
Chaque chapitre est ponctuØ par une sØrie d exercices corrigØs et des exemples
rØsolus sont Øgalement fournis en