À la (re)découverte de l'arithmétique de Diophante

Serge Coquerand

Description

En se confrontant à l'oeuvre de P. Fermat, qui lui-même se confrontait au travail de Diophante, S. Coquerand compose un essai de mathématiques inédit, pointu, riche d'observations, d'annotations, mais aussi de propositions de résolutions, qui éveilleront la curiosité de tous les amoureux de l'arithmétique. Complété encore par la résolution de problèmes méconnus, car issus d'une traduction arabe de Diophante qui nous est récemment parvenue, cet ouvrage acquiert une profondeur historique indéniable et est une invitation à jeter un regard neuf sur les classiques.

Sujets

• Antiquité
• Diophante d'Alexandrie
• Resolution
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: publibook
• Date de parution: 01 octobre 2015
• Nombre de lectures: 22
• EAN13: 9782342042665
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

À la (re)découverte
de l’arithmétique
de Diophante

Du même auteur

L’Équation de Pell-Fermat
2 2
x –dy =1 revisitée,
Publibook, 2015

Serge Coquerand









À la (re)découverte
de l’arithmétique
de Diophante

Édition complétée et enrichie de quatre
livres de l’Arithmétique de Diophante

Énoncés et résolutions de tous les problèmes contenus dans les
livres l à Vl parus dans le livre de Pierre Fermat sous le titre de
"Précis des œuvres mathématiques et de l’arithmétique
de Diophante"par M.E.Brassinne, complétés et enrichis de
quatre livres retrouvés dans une traduction arabe.









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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015

Préface

C'est en 1853 que paraît une édition en français du livre
Précis des œuvres mathématiques de P.Fermat par E.
Brassinne, professeur à l'école impériale d'artillerie à
Toulouse. L'auteur mentionne dans son introduction la
publication en latin du Recueil des Mémoires de P.Fermat
en 1679 des principales découvertes de Fermat. Du fait de
la rareté des exemplaires, la nécessité d'une réimpression
s'avérait nécessaire. Le Gouvernement français avait alors
voté un projet de loi dans lequel un crédit était accordé
pour une réimpression des œuvres complètes de P.Fermat.
Malheureusement des circonstances firent que ce projet ne
vit jamais le jour. Peut-être était-ce dû en partie aux
nombreux fragments rédigés en latin.
C'est pourquoi le professeur Brassinne proposa de
rédiger en français une partie des œuvres de Fermat en
"s'approchant à n'altérer ni à n'omettre aucune des idées ou
des démonstrations de l'inventeur et en profitant pour notre
exposition des avantages de l'écriture algébrique
moderne".
La seconde partie de son Précis est consacrée aux six
livres complets de l'Arithmétique de Diophante. On y
retrouve des résolutions attribuées à Diophante, lequel
résout quelques problèmes déterminés et un grand nombre
de problèmes indéterminés qui ne dépassent pas le second
degré. Fermat généralise et cherche à obtenir un nombre
infini de solutions. Il perfectionne le procédé des doubles
égalités et il l'étend aux triples égalités.

9

Ce livre présente les six livres parus dans l'édition de
1853 augmentés de la résolution complète de tous les
problèmes énoncés.
Enfin, la troisième partie est consacrée aux quatre
livres retrouvés dans une traduction arabe et publiés
en français en 2013 par MM Roshdi Rashed et
Christian Houzel sous le titre "Les Arithmétiques de
Diophante", p 265 à 367, éditions de Gruyter.

10

Livre I



Le livre I comprend 43 problèmes et l’édition dont il est
fait mention commence ainsi :
Diophante établit d’abord quelques définitions, qu’il est
inutile de rappeler, et il admet la règle des signes, qu’on
démontre dans la multiplication algébrique, comme un
axiome.Les solutions des problèmes que Diophante
propose doivent être rationnelles, c’est-à-dire entières ou
fractionnaires.

Ci-après en écriture italique : le texte tel qu’il est imprimé
dans sa version originale de M.E.Brassinne.
En caractère droit : l’apport du présent auteur.

Proposition l :Diviser un nombre donné en deux parties,
qui diffèrent entre elles d’un nombre donné.

Résolution I :Soientܰle nombre donné etο൏ ܰla
différence des parties. Siݔest la première partie, alorsݔെܰ,
qui est la deuxième partie, remplit la première condition. Il
faut ensuite queെݔെܰݔʹൌሻݔെܰሺégaleǻ, donc que
ଵ
ݔൌሺܰ൅οሻ.
ଶ

Proposition II :Diviser un nombre donné en deux parties
qui soient entre elles dans un rapport donné.

11

Résolution II: Soientܰ lenombre donné et݇le rapport
donné,ݔpremière partie du nombre, laܰݔെ
ladeuxième partie du nombre pour satisfaire à la première
௫
condition. Il faut ensuite queൌ݇, la première partie
ே ି ௫
ே௞ ே
xet la deuxième partie vaudraܰݔെ. sera
௞ ା ଵ௞ ା ଵ


Proposition III:un nombre donné en deux par- Diviser
ties, telles que la plus grande soit égale au triple de la
plus petite, plus quatre unités.

Résolution III :Soientܰle nombre donné,ݔla partie la

plus grande,ܰȂ ݔ lapartie la plus petite qui remplit la
première condition. Il faut ensuite satisfaire la deuxième
condition൅ Ͷሺܰ െ ݔሻݔ ൌ͵. La première partieݔ
vauଷே ା ସே ି ସ
dra etla deuxième partieܰ Ȃ ݔ .sera égale à
ସ ସ

Proposition IV :Trouver deux nombres qui soient dans un
rapport donné et qui diffèrent d’une quantité donnée.

Résolution IV: Soient݇ ൐ͳ lerapport donné etǻ la

différence. On veut trouver deux nombresܽ etܾ,ܽ൐ܾ,
tels queܽ ൌܾ݇ et߂ൌܾെܽ. Les nombres seront
௞ο ο
ܽ ൌ etܾ ൌ .
௞ ି ଵ௞ ି ଵ

Proposition V :Diviser un nombre en deux parties, telles
qu’une fraction de la première partie, ajoutée à une
fraction de la seconde, fasse un nombre donné.

12

Résolution V: Soientܰnombre donné, leݔ lapremière

partie etܰ Ȃ ݔ ladeuxième partie du nombre pour
satis

faire à la première condition,ߜݔ etߚሺܰȂ ݔሻfractions les
de chacune des parties. La deuxième condition devient
ሺଵ ି ఉሻே
ߜݔ൅ߚሺܰെݔሻൌܰ, d’où la première partieݔ ൌ
ఋ ି ఉ
ሺఋ ି ଵሻே
et la deuxièmepartieൌݔെܰ.
ఋ ି ఉ

Proposition VI :Diviser un nombre en deux parties, telles
qu’une fraction de la première, diminuée d’une fraction de
la seconde, fasse une différence donnée.

Résolution VI: Soientǻ ladifférence donnée,ݔpre- la
mière partie etെܰݔdeuxième partie du nombre pour la

satisfaire à la première condition,ߜݔetߚ ሺܰȂݔሻles
fractions de chacune des parties. On veut remplir la deuxième
conditionߚሺܰെݔሻൌ߂ߜݔെ,d’où la première partie
ο ା ఉேఋே ି ο
ݔ ൌ et la deuxième partieܰ െ ݔൌ
ఋ ା ఉఋ ା ο
avec߂ ൏ ߜܰsi on veutǤ൐ Ͳܰ െ ݔ

Proposition VII: Trouverun nombre tel, qu’en le
diminuant successivement de deux nombres donnés, les deux
restes soient dans un rapport assigné.

13

Résolution VII :Soientܽetܾ les deux nombres donnés,
ݎ ݎ݇
ଵpremier reste, leଶle deuxième reste, et le rapport
ݎ ൌ݇ݎ ്݇ ͳ
donné tel queଵ ଶOn cherche un nombre, .
ܰ ܰെ ܽൌݎ ݎȂ ܾൌ
avecଵ etଵݎଶ, d’où le nombre
௞௕
ܰൌܽ൅.
௞ ି ଵ

Proposition VIII: Trouverun nombre tel, qu’en
l’augmentant successivement de deux nombres donnés, les
deux sommes soient dans un rapport assigné.

Résolution VIII :Soientܽetbles deux nombres donnés
et݇ le rapport donné. On cherche un nombreܰ tel que la
première sommeܰܽ൅puis la deuxième somme ,
ܰ൅ܽ൅ܾtels que soientሻ൅ܾ൅ܽሺܰൌ݇൅ܽܰ avec
kb
݇൏ͳ, d’où le nombreN = െa.
1ିk

Proposition IX: Trouverun nombre tel, qu’étant
retranché de deux nombres donnés, les deux restes soient dans
un rapport assigné.

Résolution IX: Soientܽ etܾ lesdeux no