Algebra, livre ebook

This textbook covers key topics in abstract algebra, including groups, rings, modules, and fields, as well as the linear representations of finite groups, Hopf algebras, Lie algebras, and category theory. It offers essential algebraic foundations for graduate students in mathematics and physics, and is enriched with numerous examples to facilitate understanding. It is intended for readers with a background in linear algebra.

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

CHAPTER 1

Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Semigroups, Monoids and Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 The Action of a Group on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 The Sylow Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Direct Products and Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 Simple Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8 Nilpotent Groups and Solvable Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

CHAPTER 2

Rings and Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Rings and Ring Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Modules, Indecomposable Modules and Free Modules . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Projective Modules and Injective Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4 Homological Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.5 Tensor Product and Weak Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.6 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.7 Noetherian Modules and UFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.8 Finitely Generated Modules Over a PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

CHAPTER 3

Fields and Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.1 Extensions of Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2 Splitting Fields and Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3 The Fundamental Theorem of Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.4 Radical Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.5 Construction with Straight-Edge and Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.6 The Hilbert Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

CHAPTER 4

Introduction to Various Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.1 Associative Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.2 Coassociative Coalgebras and Hopf Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.3 Nonassociative Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CHAPTER 5

Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.1 Category, Limit and Colimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.2 Functors and Natural Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.3 Abelian Categories and Homological Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

VIII Contents