Algèbre, confidentialité et intégrité en multimédia

Alain Poli, Philippe Guillot

Description

Cet ouvrage est consacré à l'algèbre (éléments d'algèbre, algèbre linéaire et multilinéaire) et à ses applications en cryptographie et codes correcteurs d'erreurs.
Il étudie de façon approfondie les structures algébriques finies que sont les groupes de permutations, les anneaux et les corps finis. Il décrit aussi les circuits électroniques réalisant des calculs dans les corps finis puis la complexité de certains algorithmes.
La confidentialité des données (cryptographie) et leur intégrité (codes correcteurs) en multimédia sont ensuite présentées en détails. De nombreux exemples d'applications réelles sont enfin développés (CD, DVD, disques optiques, sondes lointaines, télévision numérique terrestre, etc.).
Ce livre, conçu de façon pédagogique, est accessible aux étudiants mais aussi à toutes personnes intéressées par l'algèbre et la sécurité. Il comporte deux cents exercices et problèmes classés par ordre de difficulté croissante, avec leurs corrigés complets.
Introduction. Chapitre 1. Éléments d'algèbre. Chapitre 2. Algèbre linéaire et multilinéaire. Chapitre 3. Groupes et corps finis. Chapitre 4. Anneaux finis. Chapitre 5. Cryptographie symétrique. Chapitre 6. Cryptographie à clé publique. Chapitre 7. Codes correcteurs. Chapitre 8. Exercices et problèmes. Énoncés. Solutions. Bibliographie. Index.

Sujets

• Algèbre
• Arithmétique
• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 07 octobre 2009
• Nombre de lectures: 67
• EAN13: 9782746240674
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

AlgŁbre, confidentialitØ et intØgritØ en multimØdia



































' LAVOISIER, 2009
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-2460-5
ISSN 1242-7691


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d identification et sont des marque s de leurs dØtenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, October 2009.





AlgŁbre, confidentialitØ

et intØgritØ en multimØdia










Alain Poli

Philippe Guillot













’
Collection dirigØe par Jean-Charles Pomerol





BANATRE Michel et al. Informatique diffuse, 2007.
BARTHELEMY Pierre, ROLLAND Robert et VERON Pascal Cryptographie, 2005.
CARDON Alain La complexitØ organisØe : systŁmes adaptatifs, 2004.
CHRISMENT Claude et al. Bases de donnØes relationnelles, 2008.
FAURE Alain Classification et commande par rØseaux de neurones, 2006.
FOURNIER Jean-Claude ThØorie des graphes et applications, 2005.
PARIS StØphane Le multimØdia et la compression, 2009.
PARIS StØphane Le multimØdia, 2009.
PIERSON Jacky La biomØtrie, 2007.
POLI Alain et GUILLOT Philippe AlgŁbre et protection de linformation , 2005.
ROSENTHAL-SABROUX Camille et CARVALHO Americo Management et
gouvernance des SI, 2009.
VARRETTE SØbastien et BERNARD Nicolas Programmation avancØe en C
avec exercices corrigØs, 2006.
VERDRET Philippe De Perl Java : programmation des expressions rØguliŁres ,
2004.
Tabledesmatières
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chapitre1.Elémentsd’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1. Ensemblesfinisouinfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. Partiesd’unensemble,ensembledespartiesd’unensemble . . 18
1.1.3. Constructiond’ensemblesàpartird’ensembles,
departiesàpartirdeparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3.1. Constructiond’ensemblesàpartird’ensembles . . . . . . 19
1.1.3.2. Constructionsdepartiesàpartirdeparties . . . . . . . . 19
1.1.3.3. Recouvrementetpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Ordreetéquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Relationd’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Relationd’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Partiesetapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Composéed’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3. Propriétéspossiblespouruneapplication . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3.1. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3.2. Applicationsimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Enrichissement desensembles:loisdecomposition . . . . . . . . . 23
1.4.1. Lesloisdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1.1. Loidecompositioninterne . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1.2. Loidecompositionexterne . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2. Propriétéspossiblespourlesloisinternes . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2.1. Loiproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3. Tablecartésienned’uneloiinterne . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Enrichissement desapplications:lesmorphismes . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Propriétésd’unmorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Ensemblesstructurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
56 Algèbre,confidencialitéetintégritéenmultimédia
1.6.1. Groupes,sous­groupes,morphismesdegroupes . . . . . . . . 26
1.6.1.1. Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.1.2. Sous­groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1.3. Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.2. Anneaux,sous­anneaux,idéaux,morphismesd’anneaux . . . 28
1.6.2.1. Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.2. Sous­anneaux,idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.3. Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.3. Corps,sous­corps,morphismesdecorps . . . . . . . . . . . . 29
1.6.3.1. Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.3.2. Sous­corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3.3. Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.4. Espacesvectoriels,sous­espacesvectoriels,
applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.4.1. Espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.4.2. Sous­espacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.4.3. Applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.5. Classeslatéralesd’unesous­structure . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.5.1. Sous­structuresetclasseslatérales . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.5.2. Classeslatéralesdunoyaudef etrésolutiond’équations 32
1.6.5.3. Classeslatéralesetstructuresquotients . . . . . . . . . . 33
1.7. Anneauxetcorpsimportants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1. Anneauximportants:ZetK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1.1. Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1.2. Divisionlongue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1.3. Ladivisionlongueetledéveloppementdefractions.. . . 35
1.7.1.4. Lesdeuxordres,PGCDetPPCM . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.1.5. Nombrespremiers,polynômesirréductibles . . . . . . . 36
1.7.1.6. L’indicateurd’Euler:ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.1.7. Une«bonne»application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.1.8. Egalitéd’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1.9. Anneauprincipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1.10.EgalitédeBezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1.11.Ladécompositionprimaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.1.12.CalculsdePGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2. Corpsimportants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2.1. Racinesdepolynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2.2. IrréductiblessurRousuruncorpsfiniF . . . . . . . . 40q
Chapitre2.Algèbrelinéaire etmultilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. Quelquespropriétésdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. Indépendancelinéaireetdépendancelinéaireder vecteurs . . 41
2.1.2. Systèmesdegénérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. Systèmeminimaldegénérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.4. BasedeE,dimensiondeE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Tabledesmatières 7
2.1.5. Compléterunebased’unsous­espacevectoriel . . . . . . . . . 43
2.1.6. Sommedesous­espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.7. Sommedirectedesous­espacesvectoriels,supplémentaire . . 44
2.1.8. Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.8.1. Représentationd’unvecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.8.2. Représentationd’uneapplicationlinéaire,
etreprésentationdel’imaged’unvecteur . . . . . . . . . 46
2.1.8.3. Représentationd’unesommededeuxapplications
linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.8.4. Représentationd’unecomposéededeuxapplications
linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.9. Changementdereprésentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.9.1. VecteurdeE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.9.2. Applicationlinéairef deE dansF . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.10.Anneauximportantsenalgèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.10.1.End(E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.10.2.K[h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.10.3.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51n
2.1.10.4.M [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51n
2.1.11.Calculmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.11.1.Manipulationsélémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.11.2.Expressionsmatricielles desmanipulationsélémentaires 51
2.1.11.3.AlgorithmedeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.11.4.Recherchedel’inversed’unematriceM carrée,d’ordren 53
2.1.11.5.Recherchedenoyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.11.6.Résolutiondesystèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. PlusloinenAlgèbreLinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1. Déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1.1. Autresdéveloppementsd’undéterminant . . . . . . . . . 58
2.2.1.2. Propriétésd’undéterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1.3. DéterminantetalgorithmedeGauss. . . . . . . . . . . . 60
2.2.1.4. Leproduitd’unematriceetdesonadjointe
(verslethéorèmedeCayley­H