Applications mathématiques avec MATLAB Vol. 2 : analyse et analyse numérique , livre ebook

Analyse et analyse numérique© LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
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2-7462-0993-4 ISBN Général
2-7462-0995-0 ISBN Volume 2
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®AVEC MATLAB
Analyse
et analyse numérique
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah LabbasTabledesmatiŁres
Avant-propos ..................................... 11
PREMI¨RE PARTIE.ANALYSE .......................... 15
Chapitre1.SuitesrØelles .............................. 17
1.1. GØnØralitØssurlessuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Limited unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Approcheintuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. CasdelimiteÞnie ........................... 19
1.2.3. CasdelimiteinÞnie .......................... 22
1.3. PropriØtØsdeslimitesdesuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. CasdelimitesÞnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. CasdeinÞnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3. CalculsdelimitesavecMatlab.................... 23
1.4. Suitesmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.rØcurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2. EtudecomplŁted unexemplemodŁle . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1. Limited unesuiteetmajorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2. Etuded unesuiterØcurrente(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.3. Etuded unesuite(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chapitre2.FonctionsnumØriquesd unevariablerØelle ........... 37
2.1. RappelsgØnØrauxsurlesfonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1. Majorationd unefonctionetextrema . . . . . . . . . . . . . . . . 37
56 MathØmatiques avecMatlab
2.1.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3. PØriodicitØ,paritØetimparitØd unefonction . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.5. Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.6. Finjectives,surjectives,bijectives . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Limited unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2. RØsultatfondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. ContinuitØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3. RØsultatsgØnØrauxsurlacontinuitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. DØrivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3. InterprØtationgØomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.4. PropriØtØsgØnØrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.5. DØrivØessuccessives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.6. ConsØquencesdeladØrivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.7. Etuded unefonctionavec Matlab .................. 53
2.4.8. Retouràl exemplemodŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. FonctionstrigonomØtriquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.1. Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2. Fonctionarcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.3. Farccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.4. Fonctionarctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.5. ExemplemodŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6. Comparaisondedeuxfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.1. Notiondevoisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.2. NotationsditesdeLandau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7. FormulesdeTayloretdØveloppementslimitØs . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.1. DiversesformulesdeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.2. ExemplesdecalculsdeD.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7.3. ApplicationdesD.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.8.1. BijectionrØciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.8.2. Etudedefonctionetconstructiondecourbe . . . . . . . . . . . . 76
2.8.3. Etuded unepØriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.8.4. FonctiontrigonomØtriqueinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.8.5. D.L.etØtudedelimite(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8.6. D.L.etrecherched asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Tabledes matiŁres 7
2.8.7. D.L.etØtudedelimite(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Chapitre3.IntØgration ............................... 91
3.1. IntØgraledeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.3. PropriØtØsgØnØrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2. Primitived unefonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1. Casd unecontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2. Casd unefonctionintØgrablequelconque . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.3. Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3. CalculintØgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1. CalculintØgralavecMatlab...................... 100
3.3.2. Changementdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.3. IntØgrationparparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4. DØcompositionenØlØmentssimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1. Lesfonctionspolyn mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.2. Fractionsrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. IntØgrationdefractionsrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.1. Calculsdeprimitivesusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.2. LinØarisationsd expressionstrigonomØtriques . . . . . . . . . . . 114
3.6.3. Changementdevariable(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.4.dev(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.5. DØcompositionenØlØmentssimples . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
DEUXI¨ME PARTIE.ANALYSE NUM RIQUE L MENTAIRE ........ 123
Chapitre4.ArithmØtique del ordinateur ................... 125
4.1. ReprØsentationdesentiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1. GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.3. FonctionsprØdØÞniesdeMatlab ................... 127
4.2. ReprØsentationdesrØelspositifsenvirguleÞxe ............. 127
4.2.1. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2.2. Exempleenbase2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.3. Exenbase8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.4. CalculsavecMatlab.......................... 130
4.3. ReprØsentationdesrØelsenvirguleßottante . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.1. GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308 MathØmatiques avecMatlab
4.3.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4. LesrØelsenV.F.Nà chiffres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.1. Enbase10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.2. Enbase2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13