Information quantique, livre ebook

L’information quantique est un sujet fondamentalement pluridisciplinaire impliquant mathématiciens, informaticiens et physiciens, théoriciens et expérimentateurs, ingénieurs et chercheurs. Ces dernières années ont vu naître plusieurs start-up ainsi que des produits commerciaux. Les progrès dans ce domaine dépendront en grande partie du fait que les chercheurs de ces différentes spécialités et les industriels parviennent à parler et à comprendre un langage commun.
C’est dans cet esprit que ce livre expose les bases de la théorie de l’information classique et celles de la physique quantique, tout comme il décrit les composants utilisés, les expériences et leurs principaux résultats, afin de faire le point sur l’état de l’art des réalisations concrètes en 2025. Ainsi le lecteur découvrira les entropies classique de Shannon et quantique de von Neumann, la description des principaux protocoles de cryptographie quantique mais aussi les performances des premiers prototypes de répéteurs quantiques ainsi que différentes pistes pour l’ordinateur quantique.
Chaque lectrice ou lecteur, quelle que soit la communauté à laquelle elle ou il appartient, trouvera dans cet ouvrage des notions clés pour compléter ses connaissances et accéder à l’abondante littérature scientifique sur le sujet.

Préface i

Avant-propos v

Liste des encadrés 2

Liste des sigles et acronymes 3

1 Information classique 7

1.1 L’entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Entropie et théorème de codage de Shannon . . . . . . . 12

1.1.3 Propriétés de l’entropie de Shannon . . . . . . . . . . . 16

1.1.4 Capacité de transmission d’un canal bruité . . . . . . . 19

1.2 La cryptographie classique : clé secrète et clé publique . . . . . 21

1.2.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2 Chiffrement à clé secrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Chiffrement à clé publique . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.4 Mathématiques du chiffrement RSA . . . . . . . . . . . 25

1.3 Complexité algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.1 Machines de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.2 Classes de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Le bit quantique ou qubit 43

2.1 États d’un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Tomographie, clonage, discrimination . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Projecteurs et valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.2 Estimation (ou tomographie) d’un qubit . . . . . . . . . 52

2.2.3 Théorème de non-clonage . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.4 Discrimination sans erreur entre états non orthogonaux 58

2.2.5 Discrimination avec erreur entre états non orthogonaux 59

2.3 Dynamique d’un qubit : oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . 62

2.4 Physique quantique et information . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4.1 Formalisme général de la physique quantique . . . . . . 69

2.4.2 Information et superposition . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Champ électromagnétique quantifié et photons 83

3.1 Oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.1 États propres du hamiltonien ou « états nombre » . . . 84

3.1.2 États cohérents de l’oscillateur harmonique . . . . . . . 89

3.2 Concept de photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3 États cohérents du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 97

3.4 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.1 Lame séparatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.2 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5 Interaction photon-atome : le hamiltonien de Jaynes-Cummings 107

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4 Systèmes quantiques intriqués 113

4.1 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 Opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.2 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.3 Purification d’un opérateur densité . . . . . . . . . . . . 125

4.2.4 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3 Opérateur densité pour un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Réalisations expérimentales d’états intriqués . . . . . . . . . . . 130

4.4.1 Intrication photon-atome . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4.2 Transfert d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.5 États conditionnels (ou relatifs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6 Inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5 Information et intrication 151

5.1 Clonage quantique approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2 Intrication et perte de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3 Définition générale de la décohérence . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.4 Évolution unitaire et représentation de Kraus . . . . . . . . . . 161

5.5 Mesures généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.6 Compression des données quantiques . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.6.1 Entropies de Shannon et de von Neumann . . . . . . . . 170

5.6.2 Compression pour trois qubits . . . . . . . . . . . . . . 173

5.6.3 Compression : cas général de n qubits . . . . . . . . . . 176

5.7 Capacité d’un canal quantique : la borne de Holevo . . . . . . . 178

5.7.1 Propriétés de l’entropie de von Neumann . . . . . . . . 178

5.7.2 Entropie de von Neumann et évolution temporelle . . . 184

5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6 Communications quantiques 201

6.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.1.1 Photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.1.2 Paires de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.1.3 Paires de photons intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.1.4 États graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.1.5 États gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2 Détecteurs de photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.2.1 Principe général et caractéristiques d’un détecteur de photons uniques . . . . . . . 235

6.2.2 Photodiodes à avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2.3 Nanofils supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.3 Détections homodyne et hétérodyne . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.4 Fonctions de base d’un réseau de communications quantiques . 241

6.4.1 Mesure dans la base de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.4.2 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.4.3 Transfert d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.4.4 Purification d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4.5 Mémoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6.5 Répéteur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.5.1 Répéteurs utilisant l’interaction lumière matière . . . . 263

6.5.2 Répéteurs entièrement photoniques . . . . . . . . . . . . 271

6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7 Cryptographie quantique 283

7.1 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7.2 Premiers protocoles de distribution quantique de clé . . . . . . 285

7.2.1 Protocole BB84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

7.2.2 Paramètres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.2.3 Protocole d’Ekert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

7.2.4 Protocoles à variables continues . . . . . . . . . . . . . . 296

7.2.5 Sécurité d’un protocole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

7.2.6 Exemples d’attaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

7.3 Protocoles basés sur l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.3.1 Protocole indépendant de tous les dispositifs . . . . . . 303

7.3.2 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 306

7.3.3 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 310

7.4 Réalisations expérimentales de distribution quantique de clé . . 315

7.4.1 Protocole BB84 avec des états leurres et en liaison fibrée 315

7.4.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

7.4.3 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 319

7.4.4 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 321

7.4.5 Communications quantiques spatiales . . . . . . . . . . 325

7.5 Au delà de la distribution de clé . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

8 Calcul quantique : le logiciel 335

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.2 Calcul réversible classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

8.3 Portes logiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

8.4 Algorithme de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

8.5 Algorithme de recherche de Grover . . . . . . . . . . . . . . . . 348

8.6 Algorithme de factorisation de Shor . . . . . . . . . . . . . . . 353

8.6.1 Transformation de Fourier quantique . . . . . . . . . . . 354

8.6.2 Recherche de la période d’une fonction . . . . . . . . . . 358

8.6.3 Décomposition en facteurs premiers et chiffrement RSA 362

8.7 Complexité algorithmique et accélération quantique . . . . . . . 363

8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

9 Codes correcteurs d’erreurs quantiques 375

9.1 Code de répétition à trois qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

9.2 Codes correcteurs d’erreurs classiques . . . . . . . . . . . . . . 387

9.2.1 Tests de parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

9.2.2 Codes de Hamming rn; ks . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

9.2.3 Codes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

9.2.4 Codes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

9.3 Codes Caldebank-Shor-Steane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

9.4 Codes à stabilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

9.4.1 Définition des erreurs et propriétés . . . . . . . . . . . . 404

9.4.2 Stabilisateurs et leurs générateurs . . . . . . . . . . . . 407

9.5 Logique quantique tolérante aux erreurs . . . . . . . . . . . . . 412

9.5.1 Théorème du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

9.5.2 Calcul avec des qubits logiques . . . . . . . . . . . . . . 416

9.6 Codes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

9.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

10 Calcul quantique : le matériel 433

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

10.2 Ions piégés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

10.3 Qubits supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

10.3.1 Supraconductivité et jonctions Josephson . . . . . . . . 446

10.3.2 Quantification de circuits oscillants . . . . . . . . . . . . 453

10.3.3 Circuits de type SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

10.3.4 Qubits de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

10.3.5 Qubits de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

10.4 Calcul photonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

10.4.1 Optique linéaire et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

10.4.2 Échantillonnage bosonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

10.4.3 Réalisations diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

10.4.4 Système basé sur une interaction lumière matière . . . . 499

10.5 Atomes neutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

11 Conclusion générale 517

12 Corrigés d’une sélection d’exercices 521

12.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

12.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

12.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

12.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

12.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

12.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

12.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

12.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

12.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Bibliographie 573

Glossaire 583

Index 591