Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles, livre ebook

Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives.

Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés.
Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents.

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1. Un peu d’histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 4

2. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 74

3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 89

3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 93

3.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4. Un théorème d’existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152

4.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion . . . . . . . 160

4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 184

5.3. Solutions mild dans l’espace L2t F0;1H  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.4. Solutions mild dans l’espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.3. Inégalité forte d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.2. Le modèle d’hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 284

7.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.2. Un modèle d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

8.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 302

8.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

8.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

9. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

9.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

9.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

10.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur . . . 340

10.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

10.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

10.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

10.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387