L’équation aux S-unités - Voyage géométrique en théorie des nombres
380 pages
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L’équation aux S-unités - Voyage géométrique en théorie des nombres , livre ebook

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Description

L’objectif de cet ouvrage est de dévoiler, à travers l’étude de la preuve d’un résultat important et récent, la beauté de certains concepts et outils fondamentaux de l’arithmétique contemporaine. Outils mélangeant géométrie et algèbre avec l'arithmétique. On s’intéresse plus précisément à un théorème relatif à la finitude des solutions de l’équation aux S-unités, qui constitue un problème central de cette discipline.Au cours de l’élucidation de la démonstration, qui constitue le fil rouge du texte, le lecteur découvrira les notions clés qui ont jalonné l’histoire de l’étude des nombres, de Diophante à nos jours. Ce livre n’a pas vocation à être un cours d’arithmétique exhaustif, mais cherche plutôt à permettre au plus grand nombre, étudiants en troisième année de licence ou curieux de mathématiques, de comprendre en profondeur un article de recherche dans cette discipline. Il est accompagné de nombreux exemples et illustrations.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 14 septembre 2021
Nombre de lectures 0
EAN13 9782340059528
Langue Français
Poids de l'ouvrage 9 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,2100€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

Khalil Bendriss
Paul Boisseau
Adam David
Félix Rebotier
Louis Rustenholz
L’équation
aux S-unités
Voyage géométrique
en théorie des nombres
Préface de
Diego Izquierdo
K. Bendriss, P. Boisseau,
A. David, F. Rebotier,
L’équation aux S-unités
L. RustenholzRéférences sciences
L’équation aux S-unités
Voyage géométrique
en théorie des nombres
Khalil Bendriss
Paul Boisseau
Adam David
Félix Rebotier
Louis Rustenholz
Préface de Diego Izquierdo�

Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
paul.delaboulaye@editions-ellipses.fr
PRÉFACE
Retrouvez tous les livres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr
Ce livre est l’aboutissement du remarquable Projet Scientifique Collectif réalisé
par les auteurs à l’École Polytechnique pendant leur deuxième année de scolarité.
Il s’agit d’une véritable promenade dans le monde fascinant de l’arithmétique.
L’approcheestoriginaleetintéressante:plutôtqu’écrireunmanuelclassiqueprésentantde
manièrescolaireetlinéairelescontenususuelsd’uncoursd’arithmétique,lesauteurs
ont préféré faire voyager le lecteur, en choisissant comme destination un monument
de l’analyse diophantienne, la finitude du nombre de solutions de l’équation aux -
unités. Au cours de ce voyage, le lecteur est invité à faire de nombreux détours afin
de découvrir quelques pierres angulaires qui ont façonné la théorie des nombres telle
qu’on la connaît aujourd’hui : c’est le cas, par exemple, de la géométrie des nombres
développée par Minkowski, ou encore la théorie des corps -adiques.
Grâce à une présentation claire, fluide et pédagogique jonchée de nombreux
exemples éclairants, ce livre constitue une formidable introduction à l’arithmétique
accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires concernant les
ISBN 9782340-056701 structures algébriques usuelles (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels). Sa
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2021 lectureestunmomentdepurbonheurmathématique,etjenepeuxquelaconseillerà
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris
tous ceux qui sont intrigués par l’arithmétique et ses interactions avec des domaines

aussi variés que l’algèbre, l’analyse et la géométrie.


En vous souhaitant une très bonne lecture,

Diego Izquierdo
Professeur Monge à l’École polytechnique�

PRÉFACE
Ce livre est l’aboutissement du remarquable Projet Scientifique Collectif réalisé
par les auteurs à l’École Polytechnique pendant leur deuxième année de scolarité.
Il s’agit d’une véritable promenade dans le monde fascinant de l’arithmétique.
L’approcheestoriginaleetintéressante:plutôtqu’écrireunmanuelclassiqueprésentantde
manièrescolaireetlinéairelescontenususuelsd’uncoursd’arithmétique,lesauteurs
ont préféré faire voyager le lecteur, en choisissant comme destination un monument
de l’analyse diophantienne, la finitude du nombre de solutions de l’équation aux -
unités. Au cours de ce voyage, le lecteur est invité à faire de nombreux détours afin
de découvrir quelques pierres angulaires qui ont façonné la théorie des nombres telle
qu’on la connaît aujourd’hui : c’est le cas, par exemple, de la géométrie des nombres
développée par Minkowski, ou encore la théorie des corps -adiques.
Grâce à une présentation claire, fluide et pédagogique jonchée de nombreux
exemples éclairants, ce livre constitue une formidable introduction à l’arithmétique
accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires concernant les
structures algébriques usuelles (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels). Sa
lectureestunmomentdepurbonheurmathématique,etjenepeuxquelaconseillerà
tous ceux qui sont intrigués par l’arithmétique et ses interactions avec des domaines
aussi variés que l’algèbre, l’analyse et la géométrie.
En vous souhaitant une très bonne lecture,
Diego Izquierdo
Professeur Monge à l’École polytechnique�



TABLEDESMATIÈRES
Introduction 9
Cadre et objectifs du voyage ................. ....... 9
Contexte scientifique : le monde diophantien . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial . . . . . . . . . . . . . 13
Histoire du problème ....... ................. .... 17
Quelques applications ........... ................ . 20
Idée de la preuve, plan, dépendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Remerciements ................. .............. 29
1 Introductionauxcorpsdenombres 31
1.1 Qu’est-ce qu’un nombre? ................ ....... 34
1.2 Algébricité et transcendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Qu’est-ce qu’un entier? ....... ................ . 42
1.3.1 La notion d’entier algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2 Comportement des entiers dans les extensions . . . . . . . . 49
1.4 Manipuler les nombres ................. ....... 51
1.5 Incarner les nombres . ................. ....... 59
2 Géométriedesnombres 73
2.1 Réseaux ............... ................ . 75
2.1.1 Qu’est-ce qu’un réseau? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.2 Théorème de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2 vu comme un réseau .. ................ ..... 88
2.2.1 Le plongement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.2 Finitude sur . ................ ....... 93�



TABLEDESMATIÈRES
Introduction 9
Cadre et objectifs du voyage ................. ....... 9
IntroducContextetion scientifique : le monde diophantien . . . . . . . . . . . . .9. . . 10
Cadre et objectifs du voyage 9Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial . . . . . . . . . . . . . 13
Histoire du problème ....... .... 17Contexte scientifque : le monde diophantien 10
Quelques applications ........... ................ . 20Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial 13
Idée de la preuve, plan, dépendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Histoire du problème 17
Remerciements ................. .............. 29
Quelques applications 20
Idée de la preuve, plan, dépendances 22
1 Introductionauxcorpsdenombres 31
Remerciements 291.1 Qu’est-ce qu’un nombre? ................ ....... 34
1 Introduction aux corps de nombres 311.2 Algébricité et transcendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1 Qu’est-ce qu’un nombre? 341.3 Q’est-ce qu’un entier? ....... . 42
1.2 Algébricité et transcendance 37
1.3.1 La notion d’entier algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 Qu’est-ce qu’un entier? 421.3.2 Comportement des entiers dans les extensions . . . . . . . . 49
1.4 Manipuler les nombres 511.4 Manipuler ls nombres ................. ....... 51
1.5 Inca1r.5ner lIens ncaronmerblresn o m b r e s . 59 59
2 Géométrie des nombres 73
2 Géométriedesnombres 73
2 1 Réseaux 75
2.1 Réseaux ............... ................ . 75
2 2 O vu comme un réseau 88k
2.1.1 Qu’est-ce qu’un réseau? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Arithmétique des idéaux 97
2.1.2 Théorème de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre 100
2.2 vu comme un réseau .. ..... 88
3.2 Arithmétique dans O 125k2.2.1 Le plongement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.2 Finitude sur . ................ ....... 93�







6 Table des matières
3 Arithmétiquedesidéaux 974 Le théorème des unités de Dirichlet 183
3.1 dans un anneau commutatif intègre . . . . . . . . . . 1004 1 Structuredes unités 187
3.1.1 Décomposition en éléments irréductibles . . . . . . . . . . 101
4 2 Structure des S-unités 200
3.1.2 en idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . 114
5 Corps valués 2033.2 Arithmétique dans . ................ ....... 125
5.1 Places 2043.2.1 Géométrie des idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.2 Finitude des classes ........... ........... 1335.2 Complétion 220
3.2.3 est de Dedekind .......... 145
5.3 Les théorèmes d’Ostrowski 245
3.2.4 L’arithmétique classique retrouvée . . . . . . . . . . . . . . 148
6 Hauteurs de nombres 2493.2.5 Ramification et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1 Le théorème de Northcott sur Q 250
4 LethéorèmedesunitésdeDirichlet 183
6.2 Mesure de la complexité des nombres 252
4.1 Structure des unités . ................ ......... 187
6.3 Théorème de Northcott 2624.2 Structure des -unités .............. ........... 200
7 Rappels préliminaires à la preuve 265
5 Corpsvalués 2037.1 Des notions d’analyse complexe 265
5.1 Places .............. ................. .. 204
7.2 Produit tensoriel 288
5.1.1 Comment mesurer la complexité des nombres? . . . . . . . 205
8 Finitude et borne pour l’équation aux S-unités 3135.1.2 Géométries non archimédiennes . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.1 Géométr5.1.3isation hPlacesauteurultramétriques,-compatible des ovaluations,bjets de tidéauxype fnipremiers . 31. .5. . 215
5.2 Complétion ..... ................ ......... 2208.2 Analyse par la hauteur de la forme de l’équation 325
5.2.1 Quelques diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.3 Démonstration fnale 353
5.2.2 Places archimédiennes et plongements . . . . . . . . . . . . 228
8.4 Conclusion 3675.2.3 Les nombres -adiques ....... ............. 232
5.3 Les théorèmes d’Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459 Conclusion 369
5.3.1 Classification des places sur ℚ . ............... 246
Références 373
5.3.2 des places sur . 246
5.3.3 D’autres Ostrowski ........... ........... 246Index375
6 Hauteursdenombres 249
6.1 Le théorème de Northcott sur ℚ .. ................ .. 250
6.2 Mesure de la complexité des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.1 La formule du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.2 Hauteur sur . ....... 255
6.2.3 Manipuler les hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2.4 Hauteur absolue ............ ........... 261
6.3 Théorème de Northcott ............ 262�







6 Table des matières
3 Arithmétiquedesidéaux 97
3.1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre . . . . . . . . . . 100
3.1.1 Décomposition en éléments irréductibles . . . . . . . . . . 101
3.1.2 Décomposition en idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2 Arithmétique dans . ................ ....... 125
3.2.1 Géométrie des idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.2 Finitude des classes ........... ........... 133
3.2.3 est de Dedekind .......... ........... 145
3.2.4 L’arithmétique classique retrouvée . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.5 Ramification et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4 LethéorèmedesunitésdeDirichlet 183
4.1 Structure des unités . ................ ......... 187
4.2 Structure des -unités .............. ........... 200
5 Corpsvalués 203
5.1 Places .............. ................. .. 204
5.1.1 Comment mesurer la complexité des nombres? . . . . . . . 205
5.1.2 Géométries non archimédiennes . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.1.3 Places ultramétriques, valuations, idéaux premiers . . . . . 215
5.2 Complétion ..... ................ ......... 220
5.2.1 Quelques diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.2.2 Places archimédiennes et plongements . . . . . . . . . . . . 228
5.2.3 Les nombres -adiques ....... ............. 232
5.3 Les théorèmes d’Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.1 Classification des places sur ℚ . ............... 246
5.3.2 Classification des places sur . ............... 246
5.3.3 D’autres Ostrowski ........... ........... 246
6 Hauteursdenombres 249
6.1 Le théorème de Northcott sur ℚ .. ................ .. 250
6.2 Mesure de la complexité des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.1 La formule du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.2 Hauteur sur . ................ ....... 255
6.2.3 Manipuler les hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2.4 Hauteur absolue ............ ........... 261
6.3 Théorème de Northcott ............ ............ 262�

INTRODUCTION
La pensée peut être munie d’objets abstraits qui l’incarnent, la cristallisent, et
prennent leur propre vie, se libérant du flux continu et tumultueux des idées. Dans
cette naissance du raisonnement, les nombres sont des compagnons rencontrés tôt.
Les nombres – entiers tout d’abord – ne sont pas seulement des objets élémentaires
du monde mathématique : ils sont également
fondamentaux.
Lathéoriedesnombresfournitdesproblèmesqui,sileurénoncéestremarquablementsimple,onttenuenéchecdesgénérationsdemathématiciens,pendantplusieurs
siècles.C’estquelesstructuresquiviventdanslesnombressontrichesetcomplexes:
en les étudiant sous le prisme de théories mathématiques variées, on y découvre des
connexions profondes qui deviennent idées fécondes.
Ce livre n’a aucunement la prétention d’offrir une visite guidée exhaustive de
cet univers. On va plutôt s’y balader et choisir sur la carte – au milieu de territoires
inconnus–unobjectifquinouspermettrad’autantmieuxexplorer.Aucoursdenotre
voyage, on aura ainsi l’occasion d’étudier la géométrie des nombres, d’observer les
symétries de structures algébriques qui s’y cachent, ou de relâcher notre regard pour
s’éclipser dans un monde analytique plus lisse.
Notre objectif final, ce point bien localisé sur la carte, a un nom : l’équation aux
-unités.
Cadre et objectifs du voyage
Ce voyage mathématique a lieu dans le cadre du Projet Scientifique Collectif
(PSC), proposé par l’École polytechnique aux élèves de deuxième année du cycle
ingénieur. Nous sommes ainsi 5 à nous y être lancés, guidés et soutenus par notre
tuteur, Diego Izquierdo.
L’objectif de cet ouvrage est multiple.
Le premier objectif, qui guide la structure du texte, est la démonstration d’un
résultat puissant pour l’étude des équations diophantiennes : la finitude de
l’équation
aux-unités.Plusprécisément,ons’intéresseàlapreuveproposéeen1996parBeukersetSchlickewei,qu’onplaceradanssoncontextescientifiqueetdontonprésentera
l’intérêt dans la suite de cette introduction.�

INTRODUCTION
La pensée peut être munie d’objets abstraits qui l’incarnent, la cristallisent, et
prennent leur propre vie, se libérant du flux continu et tumultueux des idées. Dans
cette naissance du raisonnement, les nombres sont des compagnons rencontrés tôt.
Les nombres – entiers tout d’abord – ne sont pas seulement des objets élémentaires
du monde mathématique : ils sont également
fondamentaux.
Lathéoriedesnombresfournitdesproblèmesqui,sileurénoncéestremarquablementsimple,onttenuenéchecdesgénérationsdemathématiciens,pendantplusieurs
siècles.C’estquelesstructuresquiviventdanslesnombressontrichesetcomplexes:
en les étudiant sous le prisme de théories mathématiques variées, on y découvre des
connexions profondes qui deviennent idées fécondes.
Ce livre n’a aucunement la prétention d’offrir une visite guidée exhaustive de
cet univers. On va plutôt s’y balader et choisir sur la carte – au milieu de territoires
inconnus–unobjectifquinouspermettrad’autantmieuxexplorer.Aucoursdenotre
voyage, on aura ainsi l’occasion d’étudier la géométrie des nombres, d’observer les
symétries de structures algébriques qui s’y cachent, ou de relâcher notre regard pour
s’éclipser dans un monde analytique plus lisse.
Notre objectif final, ce point bien localisé sur la carte, a un nom : l’équation aux
-unités.
Cadre et objectifs du voyage
Ce voyage mathématique a lieu dans le cadre du Projet Scientifique Collectif
(PSC), proposé par l’École polytechnique aux élèves de deuxième année du cycle
ingénieur. Nous sommes ainsi 5 à nous y être lancés, guidés et soutenus par notre
tuteur, Diego Izquierdo.
L’objectif de cet ouvrage est multiple.
Le premier objectif, qui guide la structure du texte, est la démonstration d’un
résultat puissant pour l’étude des équations diophantiennes : la finitude de
l’équation
aux-unités.Plusprécisément,ons’intéresseàlapreuveproposéeen1996parBeukersetSchlickewei,qu’onplaceradanssoncontextescientifiqueetdontonprésentera
l’intérêt dans la suite de cette introduction.�




10 Introduction Contextescientifique:lemondediophantien 11
Notredeuxièmeobjectifaété,enrestituantl’ensembledenosrecherchesdansun On peut aborder un point de vue géométrique sur cette question : étudier les
sounique texte, de permettre au lecteur d’étudier ce théorème et sa preuve en limitant lutionsentièresd’équationspolynomiales,c’est étudier les points entiers de variétés
autant que possible les lectures annexes. En effet, la compréhension de l’article de algébriques.
Beukers et Schlickewei présuppose la connaissance de notions et résultats qui, s’ils Les question sont alors les suivantes. Est-ce qu’il y a des points entiers? Est-ce
sont bien sûr traités dans la littérature, ne sont généralement abordés que dans des qu’il y en a beaucoup? À quelle densité? Un nombre fini? Y a-t-il une structure sur
cours de niveau M2, voire souvent connus des seuls spécialistes. Notre ambition a cespoints,algébriqueougéométrique?
donc été de construire un parcours cohérent, permettant au lecteur dès le niveau de C’estlamoralemodernedumondediophantien,nourridegéométriealgébrique:
L3, voire L2, de comprendre et se construire une intuition du théorème et du monde lespropriétésarithmétiquessontcontrôléespardespropriétésgéométriques!
mathématique qui le soutient. Pour cela, il nous a fallu reconstruire de nombreux Historiquement,
résultats intermédiaires, réinterpréter et adapter des démonstrations, etc. : construire
• Pendant plusieurs siècles, seules quelques équations particulières ont pu êtreune démarche et son intuition.
traitées,laborieusement,souventdefaçonad-hocetaucasparcas.Notre troisième objectif concerne les utilisations de ce livre : sa quasi-totalité
présente des mondes mathématiques qui prennent sens bien au-delà de l’étude de • Une prise de recul permet néanmoins de construire de puissants outils et
stral’équation aux -unités. Nous avons nous-mêmes tiré énormément partie de nom- tégiesauXVII etXVIII siècle.
breux mémoires mis à disposition par leur auteurs, quand bien même ce que nous y Au XVIIème Fermat introduit quelques grands problèmes (l’équation de
Pellcherchions ne représentait qu’une fraction du texte – souvent pas son objectif final. Fermat sur laquelle on reviendra plusieurs fois, ou la dernière conjecture de
Nous espérons ainsi que cet ouvrage saura trouver des lecteurs pour lesquels il sera Fermat qui n’est devenue le théorème de Fermat-Wiles que trois siècles plus
un apport dans leurs propres recherches. tard en 1994), et propose des démonstrations par descente infinie – certaines
erronées–dediversrésultatssurdeséquationsparticulières.
Le siècle suivant, Euler, Lagrange, Legendre et Gauss font partie de ceux qui
développent la profondeur théorique du domaine. Par exemple, de premiersContexte scientifique : le monde diophantien
travauxenthéorieanalytiquedesnombressontentrepris,etlaloideréciprocité
quadratiqueestdémontrée.
• LeXIX siècleamèneunenrichissementconséquentdelathéoriedesnombres.La question scientifique centrale, qui fait naître les théories développées dans ce
Pour ne retenir qu’un nom, évoquons celui de Dirichlet : on le retrouvera delivre, est la suivante : comment étudier les équations – polynomiales – à solutions
nombreuses fois dans ce livre, par exemple aux chapitre 3 où on parlera deentières? On parle d’équations diophantiennes.
l’arithmétique des idéaux, qui permet de généraliser la notion de
décomposiS’il peut sembler plus naturel de chercher les solutions de ces équations dans
tion en facteurs premiers à des anneaux qui n’en admettent pas, ou quand on
les entiers, qui sont a priori des objets plus simples que les réels par exemple, cette
montreraauchapitre4le théorème des unités de Dirichlet,profondrésultatde
restrictionrendenfaitleproblèmebeaucoupplusdifficile–onpourraaussidireque
théoriealgébriquedesnombres.
c’est ce qui en fait le charme.
• Grâce à cette nouvelle profondeur, le début du XX siècle conçoit enfin lesAu-delàducharme,pourquoichercherdessolutionsentières?C’estlenaturelqui
premiers outils généraux pour aborder les équations diophantiennes. On voitrevient:enlogistique,etdoncenoptimisationopérationnelle,ontravaillesouvent in
ainsiapparaîtrelathéoriedeshauteurs(introduiteauxchapitres5et6),quime-fine avec une quantité entière d’objets. De ce fait, ces problèmes sont généralement
sure la complexité algébrique de solutions d’équations diophantiennes, ou destrèsdifficiles!Eninformatique,l’universestfinietdiscret:ilfautlecomprendrepour
méthodes dues à Axel Thue qui s’appuient sur l’approximation diophantienneaborderlacryptographie,lacompressionetlacorrectionautomatiquedesignaux,ou
maisqu’onn’abordepasici.quantité d’autres domaines. Plus généralement, on peut se contenter de dire que les
nombresentierssontfondamentauxetréapparaissentnaturellementlorsdel’étudede C’esten1909queThuedémontreunthéorèmequiserapeuàpeuaméliorépour
nombreux objets. aboutiren1996aurésultatdeBeukersetSchlickeweiqu’onétudieici.�




10 Introduction Contextescientifique:lemondediophantien 11
Notredeuxièmeobjectifaété,enrestituantl’ensembledenosrecherchesdansun On peut aborder un point de vue géométrique sur cette question : étudier les
sounique texte, de permettre au lecteur d’étudier ce théorème et sa preuve en limitant lutionsentièresd’équationspolynomiales,c’est étudier les points entiers de variétés
autant que possible les lectures annexes. En effet, la compréhension de l’article de algébriques.
Beukers et Schlickewei présuppose la connaissance de notions et résultats qui, s’ils Les question sont alors les suivantes. Est-ce qu’il y a des points entiers? Est-ce
sont bien sûr traités dans la littérature, ne sont généralement abordés que dans des qu’il y en a beaucoup? À quelle densité? Un nombre fini? Y a-t-il une structure sur
cours de niveau M2, voire souvent connus des seuls spécialistes. Notre ambition a cespoints,algébriqueougéométrique?
donc été de construire un parcours cohérent, permettant au lecteur dès le niveau de C’estlamoralemodernedumondediophantien,nourridegéométriealgébrique:
L3, voire L2, de comprendre et se construire une intuition du théorème et du monde lespropriétésarithmétiquessontcontrôléespardespropriétésgéométriques!
mathématique qui le soutient. Pour cela, il nous a fallu reconstruire de nombreux Historiquement,
résultats intermédiaires, réinterpréter et adapter des démonstrations, etc. : construire
• Pendant plusieurs siècles, seules quelques équations particulières ont pu êtreune démarche et son intuition.
traitées,laborieusement,souventdefaçonad-hocetaucasparcas.Notre troisième objectif concerne les utilisations de ce livre : sa quasi-totalité
présente des mondes mathématiques qui prennent sens bien au-delà de l’étude de • Une prise de recul permet néanmoins de construire de puissants outils et
stral’équation aux -unités. Nous avons nous-mêmes tiré énormément partie de nom- tégiesauXVII etXVIII siècle.
breux mémoires mis à disposition par leur auteurs, quand bien même ce que nous y Au XVIIème Fermat introduit quelques grands problèmes (l’équation de
Pellcherchions ne représentait qu’une fraction du texte – souvent pas son objectif final. Fermat sur laquelle on reviendra plusieurs fois, ou la dernière conjecture de
Nous espérons ainsi que cet ouvrage saura trouver des lecteurs pour lesquels il sera qui n’est devenue le théorème de Fermat-Wiles que trois siècles plus
un apport dans leurs propres recherches. tard en 1994), et propose des démonstrations par descente infinie – certaines
erronées–dediversrésultatssurdeséquationsparticulières.
Le siècle suivant, Euler, Lagrange, Legendre et Gauss font partie de ceux qui
développent la profondeur théorique du domaine. Par exemple, de premiersContexte scientifique : le monde diophantien
travauxenthéorieanalytiquedesnombressontentrepris,etlaloideréciprocité
quadratiqueestdémontrée.
• LeXIX siècleamèneunenrichissementconséquentdelathéoriedesnombres.La question scientifique centrale, qui fait naître les théories développées dans ce
Pour ne retenir qu’un nom, évoquons celui de Dirichlet : on le retrouvera delivre, est la suivante : comment étudier les équations – polynomiales – à solutions
nombreuses fois dans ce livre, par exemple aux chapitre 3 où on parlera deentières? On parle d’équations diophantiennes.
l’arithmétique des idéaux, qui permet de généraliser la notion de
décomposiS’il peut sembler plus naturel de chercher les solutions de ces équations dans
tion en facteurs premiers à des anneaux qui n’en admettent pas, ou quand on
les entiers, qui sont a priori des objets plus simples que les réels par exemple, cette
montreraauchapitre4le théorème des unités de Dirichlet,profondrésultatde
restrictionrendenfaitleproblèmebeaucoupplusdifficile–onpourraaussidireque
théoriealgébriquedesnombres.
c’est ce qui en fait le charme.
• Grâce à cette nouvelle profondeur, le début du XX siècle conçoit enfin lesAu-delàducharme,pourquoichercherdessolutionsentières?C’estlenaturelqui
premiers outils généraux pour aborder les équations diophantiennes. On voitrevient:enlogistique,etdoncenoptimisationopérationnelle,ontravaillesouvent in
ainsiapparaîtrelathéoriedeshauteurs(introduiteauxchapitres5et6),quime-fine avec une quantité entière d’objets. De ce fait, ces problèmes sont généralement
sure la complexité algébrique de solutions d’équations diophantiennes, ou destrèsdifficiles!Eninformatique,l’universestfinietdiscret:ilfautlecomprendrepour
méthodes dues à Axel Thue qui s’appuient sur l’approximation diophantienneaborderlacryptographie,lacompressionetlacorrectionautomatiquedesignaux,ou
maisqu’onn’abordepasici.quantité d’autres domaines. Plus généralement, on peut se contenter de dire que les
nombresentierssontfondamentauxetréapparaissentnaturellementlorsdel’étudede C’esten1909queThuedémontreunthéorèmequiserapeuàpeuaméliorépour
nombreux objets. aboutiren1996aurésultatdeBeukersetSchlickeweiqu’onétudieici.�


















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12 Introduction Lethéorème 13
∗On en reparlera un peu plus tard, mais on peut déjà dire ceci : il s’agit, en- s’agit de considérer ��� qui n’est pas un carré parfait, , et d’étudier
fin, d’un résultat de finitude non trivial qui peut s’appliquer à une large classe lessolutions de
2 2d’équations. − =
• En1983GerdFaltingsdémontreunrésultatmajeur,trèsprofond,quiluivaudra
lamédailleFieldsen1986.Quandonditque«lespropriétésarithmétiquessont • LethéorèmedeMordell(énoncéplushaut)s’appliqueauxcourbeselliptiques,
contrôléespardespropriétésgéométriques»,ontfaitlargementréférenceàça. etparticipeàleurconférerunintérêtparticulier.
Oncitecethéorèmedefaçoninformelle.Ilestladémonstrationd’uneconjec- Elles apparaissent à la fois dans un nombre croissant d’applications
informatureémiseparLouisMordellen1922,quiavaitparailleursdémontréen1920 tiques et dans des questions profondes de mathématiques pures. Elles
appaunthéorèmequ’onvaciterparlamêmeoccasion. raissent par exemple dans la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, en lien
avecdes«courbesmodulaires»:ladémonstrationdecetteconjectureapermis
Théorème1(ThéorèmedeFaltings).
Considéronsunecourbealgébrique
dedémontrerlethéorèmedeFermat-Wiles.Onpeutégalementciterlaconjecdéfinie, pour un polynôme , par l’équation
ture de Birch et Swinnerton-Dyer, un des sept problèmes du millénaire (à ce
jour seule la conjecture de Poincaré a été résolue par Grigori Perelman), qui(� (
s’énonceenreliantavecellesdesobjetsanalytiques.
Informellement, elles sont décrites par les équations de la forme suivante, oùOn cherche à caractériser le nombre de points de à coordonnées
estunpolynômeunitairededegré 3:rationnelles.
Le nombre de solutions dépend du genre de (qui correspond
intuitive2 =ment à son nombre de trous).
• Si le genre vaut , alors �� ou .
• Nous venons de le dire, le théorème de Mordell s’applique aux courbes
ellip• Silegenrevaut 1,alors �� ou estunecourbeelliptique.Dans
tiques:ellessontdegenre 1.Pourvoirpluslargequecettecontrainte,onpeut
ce deuxième cas, Mordell a montré en 1920 que l’on pouvait munir
s’intéresserauxcourbeshyperelliptiques,définiesparleséquationsdelaforme
les points rationnels de d’une structure de groupe abélien de type
suivante,où :
fini.
2 =
• Si le genre est plus grand ou égal à 2, alors �� . C’est le point
démontré par Faltings. Legenredelacourbeestalorscontrôléparledegréde.
• LethéorèmedeFaltingsesttrèspuissant,maisiln’estabsolumentpasexplicite.
Enparticulier,danslecasdefinitude,onn’aaucunebornesurladensitédeso- Lethéorème
lutions, voire sur le nombre de solutions. Un domaine de recherche actuel très
actif consiste à expliciter Faltings, de façon à pouvoir par exemple s’en servir
dans des algorithmes ou dans des raisonnements numériques. C’est là qu’in- Ledécorétantplacé,passonsenfinàl’énoncéduthéorèmedontladémonstration
tervient l’équation aux -unités : elle fournit un angle d’attaque intéressant, estl’objectiffinaldecelivre.
puisquelethéorèmedefinitudeassociéestaucontrairetrèsexplicite. On parlera de son histoire dans la partie suivante, puis on présentera quelques
Avantd’enfinénoncerlethéorèmedel’équationaux-unités,présentonsrapide- applications(quineserontpasétudiéesdanscetexte).
ment quelques classes d’équations diophantiennes particulières qu’il est intéressant On va maintenant présenter l’équation aux -unités dans le contexte de , puis
d’étudier. dansuncontexteplusgénéral,puismontrersuruncasélémentairenontrivialqueses
• Onenreparleraplustard,maislesgrandeséquationshistoriquesontbiensûrun solutionssontennombrefini.Remarquezlasimplicitédecetteéquation:c’estcequi
intérêtillustratif.Citonsl’équationdePell-Fermat,surlaquelleonreviendra.Il expliquequedenombreuxproblèmesdiophantienss’yramènent.�


















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12 Introduction Lethéorème 13
∗On en reparlera un peu plus tard, mais on peut déjà dire ceci : il s’agit, en- s’agit de considérer ��� qui n’est pas un carré parfait, , et d’étudier
fin, d’un résultat de finitude non trivial qui peut s’appliquer à une large classe lessolutions de
2 2d’équations. − =
• En1983GerdFaltingsdémontreunrésultatmajeur,trèsprofond,quiluivaudra
lamédailleFieldsen1986.Quandonditque«lespropriétésarithmétiquessont • LethéorèmedeMordell(énoncéplushaut)s’appliqueauxcourbeselliptiques,
contrôléespardespropriétésgéométriques»,ontfaitlargementréférenceàça. etparticipeàleurconférerunintérêtparticulier.
Oncitecethéorèmedefaçoninformelle.Ilestladémonstrationd’uneconjec- Elles apparaissent à la fois dans un nombre croissant d’applications
informatureémiseparLouisMordellen1922,quiavaitparailleursdémontréen1920 tiques et dans des questions profondes de mathématiques pures. Elles
appaunthéorèmequ’onvaciterparlamêmeoccasion. raissent par exemple dans la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, en lien
avecdes«courbesmodulaires»:ladémonstrationdecetteconjectureapermis
Théorème1(ThéorèmedeFaltings).
Considéronsunecourbealgébrique
dedémontrerlethéorèmedeFermat-Wiles.Onpeutégalementciterlaconjecdéfinie, pour un polynôme , par l’équation
ture de Birch et Swinnerton-Dyer, un des sept problèmes du millénaire (à ce
jour seule la conjecture de Poincaré a été résolue par Grigori Perelman), qui(� (
s’énonceenreliantavecellesdesobjetsanalytiques.
Informellement, elles sont décrites par les équations de la forme suivante, oùOn cherche à caractériser le nombre de points de à coordonnées
estunpolynômeunitairededegré 3:rationnelles.
Le nombre de solutions dépend du genre de (qui correspond
intuitive2 =ment à son nombre de trous).
• Si le genre vaut , alors �� ou .
• Nous venons de le dire, le théorème de Mordell s’applique aux courbes
ellip• Silegenrevaut 1,alors �� ou estunecourbeelliptique.Dans
tiques:ellessontdegenre 1.Pourvoirpluslargequecettecontrainte,onpeut
ce deuxième cas, Mordell a montré en 1920 que l’on pouvait munir
s’intéresserauxcourbeshyperelliptiques,définiesparleséquationsdelaforme
les points rationnels de d’une structure de groupe abélien de type
suivante,où :
fini.
2 =
• Si le genre est plus grand ou égal à 2, alors �� . C’est le point
démontré par Faltings. Legenredelacourbeestalorscontrôléparledegréde.
• LethéorèmedeFaltingsesttrèspuissant,maisiln’estabsolumentpasexplicite.
Enparticulier,danslecasdefinitude,onn’aaucunebornesurladensitédeso- Lethéorème
lutions, voire sur le nombre de solutions. Un domaine de recherche actuel très
actif consiste à expliciter Faltings, de façon à pouvoir par exemple s’en servir
dans des algorithmes ou dans des raisonnements numériques. C’est là qu’in- Ledécorétantplacé,passonsenfinàl’énoncéduthéorèmedontladémonstration
tervient l’équation aux -unités : elle fournit un angle d’attaque intéressant, estl’objectiffinaldecelivre.
puisquelethéorèmedefinitudeassociéestaucontrairetrèsexplicite. On parlera de son histoire dans la partie suivante, puis on présentera quelques
Avantd’enfinénoncerlethéorèmedel’équationaux-unités,présentonsrapide- applications(quineserontpasétudiéesdanscetexte).
ment quelques classes d’équations diophantiennes particulières qu’il est intéressant On va maintenant présenter l’équation aux -unités dans le contexte de , puis
d’étudier. dansuncontexteplusgénéral,puismontrersuruncasélémentairenontrivialqueses
• Onenreparleraplustard,maislesgrandeséquationshistoriquesontbiensûrun solutionssontennombrefini.Remarquezlasimplicitédecetteéquation:c’estcequi
intérêtillustratif.Citonsl’équationdePell-Fermat,surlaquelleonreviendra.Il expliquequedenombreuxproblèmesdiophantienss’yramènent.�





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14 Introduction Lethéorème 15
•Unpremiercadrepourl’équation: ℤ
Définition0.0.1. Soient un corps de nombres et , ..., }⊂� un1
ensemblefini.Ondéfinit parDans ℤ,l’équationaux-unitéspeuts’énoncerdelamanièresuivante.
Étantdonné unensemblefinidenombrespremiers,onsedemandesil’équation
−1 −1[ , ..., ].1
���
3admet un nombre fini de solutions (�� ℤ telle que sont deux à deux Ainsi, si on note ⟨� la partie multiplicative engendrée par , c’est à dire
l’enpremiersentreeuxetonttousleursfacteurspremiersdans. sembledesproduitsd’élémentsde,ona
On peut d’ores et déjà réécrire cette équation en posant ... }et ℤ1
−1 −1l’anneau ℤ[ ... ].L’équationaux-unitésdevientalors ×1 { ∣ �, ⟨� }.
���
× ∗estdoncenquelquesorte« restreintà ⟨� ».×où ℤ ,l’ensembledesélémentsinversiblesde ℤ ,quipeut-êtreiciexplicité:
De façon analogue au cas entier, on a le résultat suivant, démontré en 1996 par
× 1 BeukersetSchlickewei[2].ℤ {± ... ∣ ℤ}.1
Avec cette formulation, on dispose du théorème suivant, démontré par le
mathéThéorème3(BeukersetSchlickewei,1996). Soit un corps de nombres. Soit
maticiend’origineallemandeKurtMahleren1933[1]. × 2⊂� un ensemble fini. L’équation d’inconnues (�, (�
Théorème 2 (Mahler, 1933). Soit ... }un ensemble de nombres1 ���
×premiers distincts. L’équation d’inconnues ℤ
admet un nombre fini de solutions.
��� 16�De plus, ce nombre de solutions est borné par 2 , où est le rang sans
×torsion de en tant que groupe abélien de type fini, et est donné par leadmet un nombre fini de solutions.
théorème des -unités de Dirichlet (théorème 12 de ce texte).
Mahlerproposedéjàen1933unebornedunombredesolutions,maiselleesttrès
mauvaiseetapportepeud’informations. En fait, comme on le verra au dernier chapitre, le résultat montré par Beukers et
×Ilestpossibledeconsidérercerésultatsurdesstructuresplusgénérales. Schlickeweiestplusgénéraletnes’appliquepasqu’à ,bienquecetexempleen
soitlamotivation.
•Lecadregénéralde
•UncasélémentaireDanslapremièreexpressiondel’équation,ontravaillaitdans ℤ
quiétaitunsousanneau de ℚ. L’idée est maintenant de voir ce qui se passe pour des corps plus gros, Avant d’aller plus loin, regardons ce qu’il se passe dans le cas non trivial le plus
mais qui ont toujours des propriétés assez agréables pour qu’on puisse y formuler le simple. Plaçons-nous dans le cadre de la première formulation : et ℤ .
problème. Prenons 2,
}.Onadoncl’expression
Onverradanscelivrequececadrenaturelestceluidescorpsdenombres,c’est×à-diredesextensionsfiniesde ℚ. ℤ ±2 | , ℤ}.
Dans le cas de un corps de nombres, on verra que c’est l’anneau des entiers
algébriques de , noté , qui joue un rôle analogue à ℤ en préservant certaines Autrementdit,résoudrel’équation
propriétés, par exemple une certaine notion de primalité. La reformulation est alors
×lasuivante. ��� où , ℤ�





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14 Introduction Lethéorème 15
•Unpremiercadrepourl’équation: ℤ
Définition0.0.1. Soient un corps de nombres et , ..., }⊂� un1
ensemblefini.Ondéfinit parDans ℤ,l’équationaux-unitéspeuts’énoncerdelamanièresuivante.
Étantdonné unensemblefinidenombrespremiers,onsedemandesil’équation
−1 −1[ , ..., ].1
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3admet un nombre fini de solutions (�� ℤ telle que sont deux à deux Ainsi, si on note ⟨� la partie multiplicative engendrée par , c’est à dire
l’enpremiersentreeuxetonttousleursfacteurspremiersdans. sembledesproduitsd’élémentsde,ona
On peut d’ores et déjà réécrire cette équation en posant ... }et ℤ1
−1 −1l’anneau ℤ[ ... ].L’équationaux-unitésdevientalors ×1 { ∣ �, ⟨� }.
���
× ∗estdoncenquelquesorte« restreintà ⟨� ».×où ℤ ,l’ensembledesélémentsinversiblesde ℤ ,quipeut-êtreiciexplicité:
De façon analogue au cas entier, on a le résultat suivant, démontré en 1996 par
× 1 BeukersetSchlickewei[2].ℤ {± ... ∣ ℤ}.1
Avec cette formulation, on dispose du théorème suivant, démontré par le
mathéThéorème3(BeukersetSchlickewei,1996). Soit un corps de nombres. Soit
maticiend’origineallemandeKurtMahleren1933[1]. × 2⊂� un ensemble fini. L’équation d’inconnues (�, (�
Théorème 2 (Mahler, 1933). Soit ... }un ensemble de nombres1 ���
×premiers distincts. L’équation d’inconnues ℤ
admet un nombre fini de solutions.
��� 16�De plus, ce nombre de solutions est borné par 2 , où est le rang sans
×torsion de en tant que groupe abélien de type fini, et est donné par leadmet un nombre fini de solutions.
théorème des -unités de Dirichlet (théorème 12 de ce texte).
Mahlerproposedéjàen1933unebornedunombredesolutions,maiselleesttrès
mauvaiseetapportepeud’informations. En fait, comme on le verra au dernier chapitre, le résultat montré par Beukers et
×Ilestpossibledeconsidérercerésultatsurdesstructuresplusgénérales. Schlickeweiestplusgénéraletnes’appliquepasqu’à ,bienquecetexempleen
soitlamotivation.
•Lecadregénéralde
•UncasélémentaireDanslapremièreexpressiondel’équation,ontravaillaitdans ℤ
quiétaitunsousanneau de ℚ. L’idée est maintenant de voir ce qui se passe pour des corps plus gros, Avant d’aller plus loin, regardons ce qu’il se passe dans le cas non trivial le plus
mais qui ont toujours des propriétés assez agréables pour qu’on puisse y formuler le simple. Plaçons-nous dans le cadre de la première formulation : et ℤ .
problème. Prenons 2,
}.Onadoncl’expression
Onverradanscelivrequececadrenaturelestceluidescorpsdenombres,c’est×à-diredesextensionsfiniesde ℚ. ℤ ±2 | , ℤ}.
Dans le cas de un corps de nombres, on verra que c’est l’anneau des entiers
algébriques de , noté , qui joue un rôle analogue à ℤ en préservant certaines Autrementdit,résoudrel’équation
propriétés, par exemple une certaine notion de primalité. La reformulation est alors
×lasuivante. ��� où , ℤ�























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16 Introduction Histoireduproblème 17
2revientàtrouverdeuxcouples (� ,� )et (� ,� )de ℤ telsque Histoireduproblème1 1 2 2
1 1 2 2±2 3 ±2 3 = 1.
Onvoitd’abordquecelarevientàrésoudrel’équation Historiquement, le problème de l’équation aux -unités est issu de la théorie de
l’approximationdiophantienne:àquelpointpeut-onbienapprocherdesirrationnels,
2 −3 = ±1 où , �� . (1)
éventuellement algébriques, par des rationnels? Autrement dit, comment mesurer le
«degréd’irrationalité»desnombres?Eneffet,sionaunesolutionavecdesexposantsstrictementnégatifs,onpeutnettoyer
lesexpressionsetévaluermodulo 2ou 3soitpourconclureàuneabsurdité,soitpour Ces résultats sont rapidement appliqués à l’étude des points entiers d’équations
serameneraucasentier.Enfin,sionauniquementdespuissancespositives,uneéva- fourniespardes formes binaires.
luation modulo 2 ou 3 permet encore de conclure qu’on est dans le cas de l’équation Le problème est ensuite réduit en une équation qui en cristallise l’essence : c’est
(1).Onépargneaulecteurcesdétails.Passonsàlarésolutiondel’équation. l’équation aux -unités.
Ondistinguelecas 1ou −1.
Premiercas
•ApproximationdiophantienneetthéorèmedeThue-Mahler-Roth
2 −3 =1 où , �� .
Introduisonslanotionde degré d’irrationalité d’unréel.• Si = ,iln’yapasdesolution.
• Si =1,l’uniquesolutionest = .
Définition0.0.2. Soit �� .Onappelle degré d’irrationalité de laquantité
• Si =2,est = 1 .
• Si 3 , on remarque que 2 ≡ [8] . En raisonnant sur la parité de on sup {� ∣ ∣� ∣≤ pouruneinfinitéde �� telsque+2� 2��1remarqueque 3 ≡ 1[8]et 3 ≡ 3[8].Aucuncouple (� , �) nenouspermet
doncd’avoir 2 −3 =1.
quel’onnote
Secondcas
2 −3 = −1 où , �� .
Ainsi,defaçonpeut-êtresurprenante,unnombre«trèsirrationnel»estunnombre
• Si = ,pasdesolution.
quipeutêtretrèsbienapprochépardesrationnels.
• Si =1,l’uniquesolutionest = 1 .
• CettequestionaétéétudiéedèsleXIX siècleparDirichlet.Grâceàsaméthode• Si =2,pasdesolution.
destiroirs,ildémontrequelesnombresrationnelssont très mal approchéspar
• Si 3 ,ondistingueànouveauselonlesvaleursde.
d’autresrationnels
∘ Si estimpair,alors 3 ≡ 3[4]et 2 −3 ≡ −3 = 1[4]:pasdesolution.
∀�
∘ Si = 4 alors 3 − 1 ≡ [5] et 3 −1n’estpasunepuissancede 2:pas
alorsquepourlesirrationels,onadesolution.
∘ Si = 4 2 alors 3 − 1 ≡ 8[16]et on ne peut pas avoir 3 − 1=2
∀�puisque 3 .
Ainsionabienunnombrefinidesolutions,etlethéorèmedeMalherestvérifié.
• Danslesannées1840,Liouvilledémontrequepourtout algébriquededegré
Onvoitbienàtraverscetexemplequedesstratégies«ad-hoc»vontparfoispermettre
, ≤ . Cela lui permet pour la première fois de construire un nombrederésoudrelescasparticuliers,maissûrementpasd’obtenirunrésultatgénéral.
dontonsaitdémontrerqu’ilesttranscendant: la constante de Liouville.Cela représente bien la situation des équations diophantienne, et explique
pourquoi les résultats au sujet de ces équations ont été aussi tardifs (majoritairement au • En1909,Thue[3]amélioresignificativementcerésultat:pourtout algébrique
XIX etXX siècle),alorsqu’ellessontétudiéesdepuisl’Antiquité. dedegré, ≤ + .
2�























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16 Introduction Histoireduproblème 17
2revientàtrouverdeuxcouples (� ,� )et (� ,� )de ℤ telsque Histoireduproblème1 1 2 2
1 1 2 2±2 3 ±2 3 = 1.
Onvoitd’abordquecelarevientàrésoudrel’équation Historiquement, le problème de l’équation aux -unités est issu de la théorie de
l’approximationdiophantienne:àquelpointpeut-onbienapprocherdesirrationnels,
2 −3 = ±1 où , �� . (1)
éventuellement algébriques, par des rationnels? Autrement dit, comment mesurer le
«degréd’irrationalité»desnombres?Eneffet,sionaunesolutionavecdesexposantsstrictementnégatifs,onpeutnettoyer
lesexpressionsetévaluermodulo 2ou 3soitpourconclureàuneabsurdité,soitpour Ces résultats sont rapidement appliqués à l’étude des points entiers d’équations
serameneraucasentier.Enfin,sionauniquementdespuissancespositives,uneéva- fourniespardes formes binaires.
luation modulo 2 ou 3 permet encore de conclure qu’on est dans le cas de l’équation Le problème est ensuite réduit en une équation qui en cristallise l’essence : c’est
(1).Onépargneaulecteurcesdétails.Passonsàlarésolutiondel’équation. l’équation aux -unités.
Ondistinguelecas 1ou −1.
Premiercas
•ApproximationdiophantienneetthéorèmedeThue-Mahler-Roth
2 −3 =1 où , �� .
Introduisonslanotionde degré d’irrationalité d’unréel.• Si = ,iln’yapasdesolution.
• Si =1,l’uniquesolutionest = .
Définition0.0.2. Soit �� .Onappelle degré d’irrationalité de laquantité
• Si =2,l’uniquesolutionest = 1 .
• Si 3 , on remarque que 2 ≡ [8] . En raisonnant sur la parité de on sup {� ∣ ∣� ∣≤ pouruneinfinitéde �� telsque+2� 2��1remarqueque 3 ≡ 1[8]et 3 ≡ 3[8].Aucuncouple (� , �) nenouspermet
doncd’avoir 2 −3 =1.
quel’onnote
Secondcas
2 −3 = −1 où , �� .
Ainsi,defaçonpeut-êtresurprenante,unnombre«trèsirrationnel»estunnombre
• Si = ,pasdesolution.
quipeutêtretrèsbienapprochépardesrationnels.
• Si =1,l’uniquesolutionest = 1 .
• CettequestionaétéétudiéedèsleXIX siècleparDirichlet.Grâceàsaméthode• Si =2,pasdesolution.
destiroirs,ildémontrequelesnombresrationnelssont très mal approchéspar
• Si 3 ,ondistingueànouveauselonlesvaleursde.
d’autresrationnels
∘ Si estimpair,alors 3 ≡ 3[4]et 2 −3 ≡ −3 = 1[4]:pasdesolution.
∀�
∘ Si = 4 alors 3 − 1 ≡ [5] et 3 −1n’estpasunepuissancede 2:pas
alorsquepourlesirrationels,onadesolution.
∘ Si = 4 2 alors 3 − 1 ≡ 8[16]et on ne peut pas avoir 3 − 1=2
∀�puisque 3 .
Ainsionabienunnombrefinidesolutions,etlethéorèmedeMalherestvérifié.
• Danslesannées1840,Liouvilledémontrequepourtout algébriquededegré
Onvoitbienàtraverscetexemplequedesstratégies«ad-hoc»vontparfoispermettre
, ≤ . Cela lui permet pour la première fois de construire un nombrederésoudrelescasparticuliers,maissûrementpasd’obtenirunrésultatgénéral.
dontonsaitdémontrerqu’ilesttranscendant: la constante de Liouville.Cela représente bien la situation des équations diophantienne, et explique
pourquoi les résultats au sujet de ces équations ont été aussi tardifs (majoritairement au • En1909,Thue[3]amélioresignificativementcerésultat:pourtout algébrique
XIX etXX siècle),alorsqu’ellessontétudiéesdepuisl’Antiquité. dedegré, ≤ + .
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18 Introduction Histoireduproblème 19
• CerésultatestencoreamélioréparSiegel[4],quiobtient •
Lagénéralisation-adiquedeMahleren1933[1]permetd’étendreconsidérablementcerésultat.Uncorollairedurésultatdémontrédanscetarticleestque,
min ( pourtous , ..., nombrespremiersdistincts,l’équation11 �� 1

1Enparticulier, . |� , | ⋯�1
• Plusieurs autres améliorations ont lieu, jusqu’à ce que Roth démontre
finalea seulement un nombre fini de solutions, où les inconnues sont les , etmenten1955cequideviendralethéorèmedeThue-Siegel-Roth:laconstante
, ..., ℕ .1estoptimalepourlesirrationnelsalgébriques.Autrementdit
Cetyped’équationestappelé équation de Thue-Mahler.
∀ ℚ/ℚ
•Équationaux-unitésPlusprécisément,pourtout ,l’équationprésentéedansladéfinition0.0.2
n’aqu’unnombrefinidesolutions. Cesrésultatspeuvents’appliqueràl’étudedeséquationsaux-unités,présentées
• Remarquons que Mahler avait généralisé ce théorème aux nombres -adiques plus haut. En retour, les bornes sur le nombre de solutions d’équations aux -unités
en 1933 [1] (les nombres -adiques sont présentés au chapitre 5 de ce texte).
peuventêtreappliquéespourobtenirdenouveauxrésultatssurdesproblèmesded’apC’estcethéorèmequisereformuleenlafinitudedel’équationaux-unitéssur proximation de type approximation diophantienne, ou des équations avec forme
biℤ.Onlereformuleicienlangagemoderne. nairedutypeéquationsdeThue-Mahler.
Il y a également d’autres applications plus vastes : on en présente rapidement
Théorème (Source du théorème 2). Soit un ensemble fini de nombres
quelques-unesunpeuplusloin.
premiers.Soit ℤ dedegré ≥3irréductibledans ℚ,quiadmetune
• Dès son article de 1933, Mahler [1] démontre le théorème 2 en appliquant sesracine ℚ pour chaque �� .
résultats à l’équation aux -unités sur . La formulation de l’époque est queAlors, pour tous ≥ et , où est la constante de Siegel citée0 0
pourtouspremiersdistincts , ..., ,� , ..., ,� , ..., ,l’équation1 1 �1plus haut, l’équation
1 �11 ⋯� ⋯� ⋯�1 1 �1−�∏ min (, ∣� − ∣ )
n’admetqu’unnombrefinidesolutionsenlesexposants , ..., �� .1
Mahlerproposedéjàunebornesurlenombredecessolutions,maiselleesttrèsadmet seulement un nombre fini de solutions en , ℤ premiers entre
mauvaise et n’apporte que peu d’informations : c’est avant tout un résultat deeux.
finitude.
• En 1966, Lewis et Mahler collaborent [5]. En obtenant une borne bien plus•FormesbinairesetéquationsdeThue-Mahler
explicitepourlenombredesolutionsdeséquationsdeThue-Mahler(avecune
Lesrésultatsd’approximationdiophantienneprésentésplushautpeuventêtrein- hypothèse dont on peut en fait se passer), ils en déduisent une borne explicite
terprétés sous l’angle de la finitude de solutions d’équations sur des formes binaires bienmeilleuresurlenombredesolutionsdel’équationaux-unitésdans .
homogènes. • Cerésultatestensuiteprogressivementamélioréetgénéralisé,jusqu’àl’article
�−1Plus précisément, on se donne �� ℚ , ,0 1 [6] de Evertse en 1984, qui pose la terminologie d’équations aux -unités, en
irréductible,dedegré ≥ 3 . se plaçant dans le cadre de , et qui traite complètement le problème, tout
∗• LerésultatobtenuparThueen1909[3]indiquequepourtout ,l’équa- enapportantuneborneexplicite.
tion •
Onarriveàl’articlequinousintéresse:en1996,BeukersetSchlickeweiamé, ��� liorent encore largement la borne, tout en obtenant un résultat qui s’applique
aseulementunnombrefinidesolutionsen , ℤ . à des sous-groupe de type fini plus généraux [2]. De façon peut-être même�






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18 Introduction Histoireduproblème 19
• CerésultatestencoreamélioréparSiegel[4],quiobtient •
Lagénéralisation-adiquedeMahleren1933[1]permetd’étendreconsidérablementcerésultat.Uncorollairedurésultatdémontrédanscetarticleestque,
min ( pourtous , ..., nombrespremiersdistincts,l’équation11 �� 1

1Enparticulier, . |� , | ⋯�1
• Plusieurs autres améliorations ont lieu, jusqu’à ce que Roth démontre
finalea seulement un nombre fini de solutions, où les inconnues sont les , etmenten1955cequideviendralethéorèmedeThue-Siegel-Roth:laconstante
, ..., ℕ .1estoptimalepourlesirrationnelsalgébriques.Autrementdit
Cetyped’équationestappelé équation de Thue-Mahler.
∀ ℚ/ℚ
•Équationaux-unitésPlusprécisément,pourtout ,l’équationprésentéedansladéfinition0.0.2
n’aqu’unnombrefinidesolutions. Cesrésultatspeuvents’appliqueràl’étudedeséquationsaux-unités,présentées
• Remarquons que Mahler avait généralisé ce théorème aux nombres -adiques plus haut. En retour, les bornes sur le nombre de solutions d’équations aux -unités
en 1933 [1] (les nombres -adiques sont présentés au chapitre 5 de ce texte).
peuventêtreappliquéespourobtenirdenouveauxrésultatssurdesproblèmesded’apC’estcethéorèmequisereformuleenlafinitudedel’équationaux-unitéssur proximation de type approximation diophantienne, ou des équations avec forme
biℤ.Onlereformuleicienlangagemoderne. nairedutypeéquationsdeThue-Mahler.
Il y a également d’autres applications plus vastes : on en présente rapidement
Théorème (Source du théorème 2). Soit un ensemble fini de nombres
quelques-unesunpeuplusloin.
premiers.Soit ℤ dedegré ≥3irréductibledans ℚ,quiadmetune
• Dès son article de 1933, Mahler [1] démontre le théorème 2 en appliquant sesracine ℚ pour chaque �� .
résultats à l’équation aux -unités sur . La formulation de l’époque est queAlors, pour tous ≥ et , où est la constante de Siegel citée0 0
pourtouspremiersdistincts , ..., ,� , ..., ,� , ..., ,l’équation1 1 �1plus haut, l’équation
1 �11 ⋯� ⋯� ⋯�1 1 �1−�∏ min (, ∣� − ∣ )
n’admetqu’unnombrefinidesolutionsenlesexposants , ..., �� .1
Mahlerproposedéjàunebornesurlenombredecessolutions,maiselleesttrèsadmet seulement un nombre fini de solutions en , ℤ premiers entre
mauvaise et n’apporte que peu d’informations : c’est avant tout un résultat deeux.
finitude.
• En 1966, Lewis et Mahler collaborent [5]. En obtenant une borne bien plus•FormesbinairesetéquationsdeThue-Mahler
explicitepourlenombredesolutionsdeséquationsdeThue-Mahler(avecune
Lesrésultatsd’approximationdiophantienneprésentésplushautpeuventêtrein- hypothèse dont on peut en fait se passer), ils en déduisent une borne explicite
terprétés sous l’angle de la finitude de solutions d’équations sur des formes binaires bienmeilleuresurlenombredesolutionsdel’équationaux-unitésdans .
homogènes. • Cerésultatestensuiteprogressivementamélioréetgénéralisé,jusqu’àl’article
�−1Plus précisément, on se donne �� ℚ , ,0 1 [6] de Evertse en 1984, qui pose la terminologie d’équations aux -unités, en
irréductible,dedegré ≥ 3 . se plaçant dans le cadre de , et qui traite complètement le problème, tout
∗• LerésultatobtenuparThueen1909[3]indiquequepourtout ,l’équa- enapportantuneborneexplicite.
tion •
Onarriveàl’articlequinousintéresse:en1996,BeukersetSchlickeweiamé, ��� liorent encore largement la borne, tout en obtenant un résultat qui s’applique
aseulementunnombrefinidesolutionsen , ℤ . à des sous-groupe de type fini plus généraux [2]. De façon peut-être même�







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20 Introduction Quelquesapplications 21
plus importante, cette preuve est beaucoup plus simple que les précédentes : • ThéorèmedeSiegeletéquationshyperelliptiques
elles’appuiesurdenouvellesidées,enutilisantunegéométrisationcompatible Soient uncorpsdenombreset ayantaumoins 3racinessimples.
aveclahauteur,qu’onétudieradanscelivre.Notonsl’utilisationcrucialed’un Soitdeplus unensemblefinid’idéauxpremiersde
.L’équation
résultatsurleshauteursdeBeukersetZagier,quinefutenfaitpubliéquel’an2 =néesuivante[7].
• DepuislerésultatdeBeukersetSchlickeweiqu’onétudieici,lesujetrestefort n’admetqu’unnombrefinidesolutionsen .
actif, en particulier dans l’objectif d’obtenir des résultats plus explicites. On
• Collisionsdesuitesrécurrentescompte ainsi pas moins de 8 articles au sujet de «S-unit equation» publié sur
arXiventrejanvier2019etavril2020.Donnonscommeexemple«Arobustim- ℕDéfinition0.0.3. On dit que est une suite récurrente linéaire de
plementation for solving the S-unit equation and several applications»[8], qui ∗rang s’ilexiste ... ��
telsque1implémenteunsolveurSagepourl’équationaux-unités,etenprofitepourdémontreruneversionasymptotiqueduthéorèmedeFermat-Wilessurdescorps ∀ ��� =� +⋯+�1 1
denombresparticuliers.
etque estminimalpourcettepropriété.
∗Dans ce cas, on dispose de ... et de ... �� dis-Quelquesapplications 1 1
tinctstelsque
∀ ��� =� +⋯+� .Présentons quelques situations dans lesquelles on peut appliquer le théorème de 1 1
finitudepourl’équationaux-unités.
S’il existe distincts tels que /� , on dit que est dégénérée.Onnedémontrerapasquecesproblèmess’yréduisebien.
Danslecascontraire,onditque est non-dégénérée.Plusieurs de ces résultats sont issus de ce chapitre [9] d’un livre de 1988 dont
Evertse et Györy font partie des auteurs, ou encore du livre «Lecture notes on
Diophantineanalysis»[10],deUmbertoZannier,publiéen2009. Lesthéorèmesdefinitudepourl’équationaux-unitéspermettentdedémontrer
lefaitsuivant.
• ÉnoncéhistoriquedeMahler
Soient un sous ℤ-module de de type fini, et une suite récurrente
Pourtouspremiersdistincts , ..., ,� , ..., ,� , ..., ,l’équation1 1 �1 linéairederang ≥2.Si estnondégénérée,alorsl’équation
1 �11 ⋯� +� ⋯� =� ⋯�1 1 �1 =�
n’admetqu’unnombrefinidesolutionsenlesexposants , ..., ∈ℤ.1 n’admetqu’unnombrefinidesolutionsen / , �� ≥� .
• ÉquationsdeThue-Mahler ℕ• Un corollaire de ce résultat est le suivant. Soit une suite récurrente
Soient un corps de nombres et ∈ , un polynôme homogène de linéaire.
degré ≥3 sans facteurs multiples. Alors, pour tout ensemble fini d’idéaux
Sil’ensemble = deszérosde estinfini,alors estultimement∗premiersde etpourtout ∈� ,l’équation
périodique.
• On ne s’aventurera que peu dans cette voie, mais remarquons que l’équation, =
aux -unités permet d’aborder des questions liées à la conjecture , comme
admetseulementunnombrefinidesolutionsen �, ∈ . onlevoitparexempledanscetarticlede2010[11]duhongroisKálmánGyöry,
quiabeaucoupcontribuéàl’étudeetàlacommunicationautourdeséquations
aux-unités.�







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20 Introduction Quelquesapplications 21
plus importante, cette preuve est beaucoup plus simple que les précédentes : • ThéorèmedeSiegeletéquationshyperelliptiques
elles’appuiesurdenouvellesidées,enutilisantunegéométrisationcompatible Soient uncorpsdenombreset ayantaumoins 3racinessimples.
aveclahauteur,qu’onétudieradanscelivre.Notonsl’utilisationcrucialed’un Soitdeplus unensemblefinid’idéauxpremiersde
.L’équation
résultatsurleshauteursdeBeukersetZagier,quinefutenfaitpubliéquel’an2 =néesuivante[7].
• DepuislerésultatdeBeukersetSchlickeweiqu’onétudieici,lesujetrestefort n’admetqu’unnombrefinidesolutionsen .
actif, en particulier dans l’objectif d’obtenir des résultats plus explicites. On
• Collisionsdesuitesrécurrentescompte ainsi pas moins de 8 articles au sujet de «S-unit equation» publié sur
arXiventrejanvier2019etavril2020.Donnonscommeexemple«Arobustim- ℕDéfinition0.0.3. On dit que est une suite récurrente linéaire de
plementation for solving the S-unit equation and several applications»[8], qui ∗rang s’ilexiste ... ��
telsque1implémenteunsolveurSagepourl’équationaux-unités,etenprofitepourdémontreruneversionasymptotiqueduthéorèmedeFermat-Wilessurdescorps ∀ ��� =� +⋯+�1 1
denombresparticuliers.
etque estminimalpourcettepropriété.
∗Dans ce cas, on dispose de ... et de ... �� dis-Quelquesapplications 1 1
tinctstelsque
∀ ��� =� +⋯+� .Présentons quelques situations dans lesquelles on peut appliquer le théorème de 1 1
finitudepourl’équationaux-unités.
S’il existe distincts tels que /� , on dit que est dégénérée.Onnedémontrerapasquecesproblèmess’yréduisebien.
Danslecascontraire,onditque est non-dégénérée.Plusieurs de ces résultats sont issus de ce chapitre [9] d’un livre de 1988 dont
Evertse et Györy font partie des auteurs, ou encore du livre «Lecture notes on
Diophantineanalysis»[10],deUmbertoZannier,publiéen2009. Lesthéorèmesdefinitudepourl’équationaux-unitéspermettentdedémontrer
lefaitsuivant.
• ÉnoncéhistoriquedeMahler
Soient un sous ℤ-module de de type fini, et une suite récurrente
Pourtouspremiersdistincts , ..., ,� , ..., ,� , ..., ,l’équation1 1 �1 linéairederang ≥2.Si estnondégénérée,alorsl’équation
1 �11 ⋯� +� ⋯� =� ⋯�1 1 �1 =�
n’admetqu’unnombrefinidesolutionsenlesexposants , ..., ∈ℤ.1 n’admetqu’unnombrefinidesolutionsen / , �� ≥� .
• ÉquationsdeThue-Mahler ℕ• Un corollaire de ce résultat est le suivant. Soit une suite récurrente
Soient un corps de nombres et ∈ , un polynôme homogène de linéaire.
degré ≥3 sans facteurs multiples. Alors, pour tout ensemble fini d’idéaux
Sil’ensemble = deszérosde estinfini,alors estultimement∗premiersde etpourtout ∈� ,l’équation
périodique.
• On ne s’aventurera que peu dans cette voie, mais remarquons que l’équation, =
aux -unités permet d’aborder des questions liées à la conjecture , comme
admetseulementunnombrefinidesolutionsen �, ∈ . onlevoitparexempledanscetarticlede2010[11]duhongroisKálmánGyöry,
quiabeaucoupcontribuéàl’étudeetàlacommunicationautourdeséquations
aux-unités.��

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22 Introduction Mouvementdutexte 23
Laconjecture estuneconjecturetrèscélèbredethéoriedesnombres,reliant cesinteractionsestfourniepar lathéorie dela hauteur,quipermet demesurer
leurs propriétés additive et multiplicative, et est parfois présentée comme le lacomplexitédesnombres,etquiestconstruiteauchapitre6ens’appuyantsur
problèmenonrésoluleplusimportantenanalysediophantienne. lechapitre5.
UnénoncédecetteconjectureénoncéeparlefrançaisJosephOesterléen1988 On va ainsi analyser la structure de l’équation aux -unités sous l’angle de la
etlebritanniqueDavidMasseren1985est: hauteurdanslapartie8.2,puistraduirececid’unpointdevuegéométrique.
• C’est au moment de cette analyse de la structure de l’équation par la théorie
« Onconsidèrel’équation ��� ,où, et sontdesentierspositifssans
des hauteurs que Beukers et Schlickewei s’appuient de façon cruciale sur un
facteurcommun,etoù estleproduitdesfacteurspremiersdistinctsde .
théorème de la théorie des hauteurs issu d’un autre article [7]. On en profite
Pourtout �� etpourl’ensembledessolutions,lerapport estborné.»1 pourledémontrerdansnotrecontexte.
Onmobilisepourceladesidéesissuesdel’analysecomplexe,qu’onexploreàOn peut percevoir qu’un lien puisse exister entre la conjecture et l’étude
lapartie7.1.de l’équation aux -unités, puisqu’elles connectent toutes deux des propriétés
additivesavecdespropriétésmultiplicatives. • Pour pouvoir espérer tirer des résultats de finitude de ces propriétés
géométriques, on va avoir besoin que notre espace soit de dimension finie. C’est
leCetteconjecturefaitl’objetd’uneintenselittérature.LejaponaisShinichiMothéorème des -unités de Dirichlet, démontré au chapitre 4, qui nous permetchizuki,professeuràl’universitédeKyoto,abeaucouptravaillésurlesujet,et
×d’obtenir ceci en affirmant que est un groupe abélien de type fini. Ceapubliéen2012sursonsitepersonneluneséried’articlequienproposentune
résultat s’appuie de façon cruciale sur la structure géométrique des nombresdémonstration. Cette démonstration revendiquée n’a toujours pas été validée
généralisés (chapitre 2), ainsi que sur leurs propriétés arithmétiques (chapitrepar la communauté mathématique, bien que Mochizuki en ait obtenu la
publi3).cation en avril 2020 dans le journal Publications of the Research Institute for
Mathematical Sciences,dontilestéditeurenchef. • À ce stade l’ensemble des solutions a été plongé dans un espace réel, de
dimension finie, muni d’une norme adaptée à la mesure de la complexité des
solutions. Les interactions entre ces dernières ont de plus été traduites en in-Mouvementdutexte
égalitésnumériques,puisenpropriétésgéométriques.
Tout le reste n’est plus qu’arguments géométriques, et on n’a plus besoin de
×regarder l’équation aux -unités ou . On obtient ainsi un théorème plus•Idéedelapreuve
généralqueleproblèmequ’ons’étaitposéaudébut.
Donnons dès maintenant l’idée globale de la démonstration de Beukers et Schli- Onmetdonctoutensembledansl’ultimepartie8.3,ens’appuyantsurdesidées
ckewei,qu’onprésentedanscetexteaveclesnotionssurlesquelleselles’appuie.
derecouvrementd’espacespardesboules(sous-partie8.3.2),ainsiquesurdiL’objectif va être d’adopter un point de vue géométrique sur l’ensemble des so- verses propriétés de géométrie discrète déjà mobilisées pour la géométrie des
lutions nombres(chapitre2).2× ) ∣
Avant de faire tout ceci, on devra bien comprendre les termes du problème, et la
généralisationqu’onfaitenétudiantlescorpsdenombres plutôtque ℚ,lesanneauxPlusieursthéorèmesetthéoriesvontêtremobiliséesàceteffet.
d’entiers plutôtque ℤ,cequ’onintroduitauchapitre1,puiscommentgénéraliser
• On veut plonger dans un ℚ-espace vectoriel puis un ℝ-espace vectoriel : on
l’arithmétiquede ℤàdesanneauxplussauvages,cequiestl’objetduchapitre3.abesoindelanotiondeproduittensoriel,abordéedanslapartie7.2,puisdela
complétiondecorpsvalué,abordéeauchapitre5.
× •ContenudulivreCettegéométrisationde estréaliséeàlapartie8.1.
• Onveutquecetespacesoitmunid’unenormequipermetdemesurerlesinter-
L’idéedelapreuveétantdonnée,présentonsmaintenantunplanpluslinéaire,peractions entre les points de – entre les solutions de l’équation. La mesure de mettantdeparlerdesgrandesidéesprésentéedanscetexte.Lelecteurquisouhaiterait��

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22 Introduction Mouvementdutexte 23
Laconjecture estuneconjecturetrèscélèbredethéoriedesnombres,reliant cesinteractionsestfourniepar lathéorie dela hauteur,quipermet demesurer
leurs propriétés additive et multiplicative, et est parfois présentée comme le lacomplexitédesnombres,etquiestconstruiteauchapitre6ens’appuyantsur
problèmenonrésoluleplusimportantenanalysediophantienne. lechapitre5.
UnénoncédecetteconjectureénoncéeparlefrançaisJosephOesterléen1988 On va ainsi analyser la structure de l’équation aux -unités sous l’angle de la
etlebritanniqueDavidMasseren1985est: hauteurdanslapartie8.2,puistraduirececid’unpointdevuegéométrique.
• C’est au moment de cette analyse de la structure de l’équation par la théorie
« Onconsidèrel’équation ��� ,où, et sontdesentierspositifssans
des hauteurs que Beukers et Schlickewei s’appuient de façon cruciale sur un
facteurcommun,etoù estleproduitdesfacteurspremiersdistinctsde .
théorème de la théorie des hauteurs issu d’un autre article [7]. On en profite
Pourtout �� etpourl’ensembledessolutions,lerapport estborné.»1 pourledémontrerdansnotrecontexte.
Onmobilisepourceladesidéesissuesdel’analysecomplexe,qu’onexploreàOn peut percevoir qu’un lien puisse exister entre la conjecture et l’étude
lapartie7.1.de l’équation aux -unités, puisqu’elles connectent toutes deux des propriétés
additivesavecdespropriétésmultiplicatives. • Pour pouvoir espérer tirer des résultats de finitude de ces propriétés
géométriques, on va avoir besoin que notre espace soit de dimension finie. C’est
leCetteconjecturefaitl’objetd’uneintenselittérature.LejaponaisShinichiMothéorème des -unités de Dirichlet, démontré au chapitre 4, qui nous permetchizuki,professeuràl’universitédeKyoto,abeaucouptravaillésurlesujet,et
×d’obtenir ceci en affirmant que est un groupe abélien de type fini. Ceapubliéen2012sursonsitepersonneluneséried’articlequienproposentune
résultat s’appuie de façon cruciale sur la structure géométrique des nombresdémonstration. Cette démonstration revendiquée n’a toujours pas été validée
généralisés (chapitre 2), ainsi que sur leurs propriétés arithmétiques (chapitrepar la communauté mathématique, bien que Mochizuki en ait obtenu la
publi3).cation en avril 2020 dans le journal Publications of the Research Institute for
Mathematical Sciences,dontilestéditeurenchef. • À ce stade l’ensemble des solutions a été plongé dans un espace réel, de
dimension finie, muni d’une norme adaptée à la mesure de la complexité des
solutions. Les interactions entre ces dernières ont de plus été traduites en in-Mouvementdutexte
égalitésnumériques,puisenpropriétésgéométriques.
Tout le reste n’est plus qu’arguments géométriques, et on n’a plus besoin de
×regarder l’équation aux -unités ou . On obtient ainsi un théorème plus•Idéedelapreuve
généralqueleproblèmequ’ons’étaitposéaudébut.
Donnons dès maintenant l’idée globale de la démonstration de Beukers et Schli- Onmetdonctoutensembledansl’ultimepartie8.3,ens’appuyantsurdesidées
ckewei,qu’onprésentedanscetexteaveclesnotionssurlesquelleselles’appuie.
derecouvrementd’espacespardesboules(sous-partie8.3.2),ainsiquesurdiL’objectif va être d’adopter un point de vue géométrique sur l’ensemble des so- verses propriétés de géométrie discrète déjà mobilisées pour la géométrie des
lutions nombres(chapitre2).2× ) ∣
Avant de faire tout ceci, on devra bien comprendre les termes du problème, et la
généralisationqu’onfaitenétudiantlescorpsdenombres plutôtque ℚ,lesanneauxPlusieursthéorèmesetthéoriesvontêtremobiliséesàceteffet.
d’entiers plutôtque ℤ,cequ’onintroduitauchapitre1,puiscommentgénéraliser
• On veut plonger dans un ℚ-espace vectoriel puis un ℝ-espace vectoriel : on
l’arithmétiquede ℤàdesanneauxplussauvages,cequiestl’objetduchapitre3.abesoindelanotiondeproduittensoriel,abordéedanslapartie7.2,puisdela
complétiondecorpsvalué,abordéeauchapitre5.
× •ContenudulivreCettegéométrisationde estréaliséeàlapartie8.1.
• Onveutquecetespacesoitmunid’unenormequipermetdemesurerlesinter-
L’idéedelapreuveétantdonnée,présentonsmaintenantunplanpluslinéaire,peractions entre les points de – entre les solutions de l’équation. La mesure de mettantdeparlerdesgrandesidéesprésentéedanscetexte.Lelecteurquisouhaiterait�






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24 Introduction Mouvementdutexte 25
y faire son marché pour découvrir des théories mathématiques, sans nécessairement On introduit également les notions de ramification et d’inertie, qui permettent
allerjusqu’àl’équationaux-unités,yestdoncinvité. d’étudier la façon dont les idéaux premiers dans des sur-corps «vivent
audessus»desidéauxpremiersassociésaucorpssous-jacentetinteragissentavec• Lepremierchapitreintroduitladémarchequiconsisteàrésoudredesproblèmes
eux,cequiestexplicitédanslethéorème11.Àcetteoccasion,onétudieleslo-diophantiens en prenant du recul. On généralise ainsi la notion de nombre et
×calisés, ce qui permet de commencer l’étude de , l’objet sur lequel ported’entier, en définissant les corps de nombres puis leur anneau des entiers
l’équationaux-unités..Ondécouvreainsiprogressivementlestermesduproblème,etonsemunit
d’outils qui permettent de premières manipulations et démonstrations sur ces • Le quatrième chapitre aborde et démontre le théorème des unités de Dirichlet
nombres, comme la norme, la trace ou le polynôme caractéristique. Enfin, on (13), puis sa généralisation : le théorème des -unités de Dirichlet (12). En
conclut ce chapitre en s’interrogeant sur les différentes façons «d’incarner» s’appuyant sur tout ce qui a été construit aux chapitres 1 et 2, on étudie ainsi
× ×ces corps de nombres, et on verra que les choix qui apparaissent à ce moment la structure de puis , ce qui révèle qu’on peut les voir comme des
révèlent beaucoup sur le corps qu’on incarne. Ce sera l’occasion d’aborder la groupesabéliensdetypefini,quipeuventcettefoisavoirunetorsion.
notionde plongement,etdedémontrerle théorème de l’élément primitif (4).
CerésultatfournitunedesbriquesdebasepourconstruireunespacededimenAfin de motiver ces notions, on utilisera l’exemple «fil rouge» des équations sion finiedanslapreuvedeBeukersetSchlickewei.
de Pell-Fermat quiontétél’originehistoriquedeleurétude. Plus généralement, l’étude des unités est nécessaire pour se ramener aux
élé• Ledeuxièmechapitreabordeunpointdevuegéométriquesurlesnombres,qui ments après s’être élevé dans le monde des idéaux pour y faire de
l’arithmése révèle être extrêmement fertile. On commence par y faire de la géométrie tique.
discrète, en définissant puis en caractérisant les réseaux, et on montre le
re• Lecinquièmechapitreabordelathéoriedes corps
valués.Ens’intéressantaux
marquablethéorèmedeMinkowski(6).Lesoutilsgéométriquesdéveloppésici
différentesmanièresd’étudierlacomplexitédesnombres,onestmenésàs’intéserontappliquésdansdenombreuxcontextes.
resserauxdifférentesvaleursabsoluesdontonpeutmuniruncorpsdenombres.
On les utilise en particulier pour faire à proprement parler de la géométrie des
Commeseulelatopologieinduitefournitdel’informationsurlesnombres,on
nombres.Onconstruitainsileplongementcanoniquede ,quipermetdevoir
se retrouve à classifier et caractériser des places. C’est l’objet du théorème
l’anneaudesentiersd’uncorpsdenombresdedegré commeunréseaude ℝ ,
d’Ostrowski (14), qu’on montre sur ℚ puis sur un corps de nombres général
grâce à un théorème dû à Dedekind (5). Cela nous permet du même temps de
(15).
commencer à expliciter la structure algébrique des entiers, puisqu’on obtient
Onvoitainsiapparaîtredesplacesarchimédiennesporteusesd’informational-≅ℤ .
gébrique, et des places ultramétriques porteuses d’information arithmétique.

Letroisièmechapitreestunchapitred’arithmétique.OnyabordedesidéesproCesdernièresinduisentdes géométries
non-archimédiennes,quelquepeuexofondes développées par Dedekind qui, découvrant des anneaux plus sauvages
tiques,qu’onpeutprendreplaisiràexplorer.
que ℤ,chercheàyreconstruireautantquepossiblel’arithmétiqueclassique.
Pourtoutcomprendre,ilestnécessaired’étudierlacomplétiondescorpsvalués
Si on n’a plus toujours le théorème fondamental de l’arithmétique (7), qui
expourcesdifférentesplaces.Enplusdepropriétésuniverselles,ons’intéresseà
prime sur ℤ l’existence d’une décomposition unique en éléments premiers, on
des complétés particuliers, ce qui est l’occasion d’une initiation au monde
des
retrouvesurlesanneauxdeDedekindunedécompositionuniqueenidéauxprenombres -adiques,etmême
-adiques.
miers(c’estlethéorème9).Pourreconstruirel’arithmétique,ilfautdoncaccep• Lesixièmechapitredéveloppelathéoriedelahauteur,outilessentielpourétu-terdepasserd’une arithmétique des élémentsàune arithmétique des idéaux.
dierlacomplexitédesnombresetobtenirdesrésultatsdedensitéetfinitudesurOncherchealorsàétudierl’arithmétique de
puisquec’estl’objetquinous
deséquationsdiophantiennescommecellequinousintéresse.intéresse.Ondéfinitunerelationd’équivalenceentresesidéaux,etontirepartie du point de vue géométrique associant idéal et sous-réseau pour démontrer Ontireainsipartieduchapitreprécédent,pourconstruirelahauteursur ℚ,puis
le théorème de finitude des classes (10). L’arithmétique classique est alors re- sur , puis sur ℚ, en combinant astucieusement les informations fournies par
trouvéeestréinventée:ondémontreque estdeDedekind(théorème8),et les différentes places. «Astucieusement» signifie : en utilisant les propriétés
ondisposedoncd’uneuniquefactorisationen idéaux premiers. remarquablesissuesdelathéoriedescomplétions.�






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24 Introduction Mouvementdutexte 25
y faire son marché pour découvrir des théories mathématiques, sans nécessairement On introduit également les notions de ramification et d’inertie, qui permettent
allerjusqu’àl’équationaux-unités,yestdoncinvité. d’étudier la façon dont les idéaux premiers dans des sur-corps «vivent
audessus»desidéauxpremiersassociésaucorpssous-jacentetinteragissentavec• Lepremierchapitreintroduitladémarchequiconsisteàrésoudredesproblèmes
eux,cequiestexplicitédanslethéorème11.Àcetteoccasion,onétudieleslo-diophantiens en prenant du recul. On généralise ainsi la notion de nombre et
×calisés, ce qui permet de commencer l’étude de , l’objet sur lequel ported’entier, en définissant les corps de nombres puis leur anneau des entiers
l’équationaux-unités..Ondécouvreainsiprogressivementlestermesduproblème,etonsemunit
d’outils qui permettent de premières manipulations et démonstrations sur ces • Le quatrième chapitre aborde et démontre le théorème des unités de Dirichlet
nombres, comme la norme, la trace ou le polynôme caractéristique. Enfin, on (13), puis sa généralisation : le théorème des -unités de Dirichlet (12). En
conclut ce chapitre en s’interrogeant sur les différentes façons «d’incarner» s’appuyant sur tout ce qui a été construit aux chapitres 1 et 2, on étudie ainsi
× ×ces corps de nombres, et on verra que les choix qui apparaissent à ce moment la structure de puis , ce qui révèle qu’on peut les voir comme des
révèlent beaucoup sur le corps qu’on incarne. Ce sera l’occasion d’aborder la groupesabéliensdetypefini,quipeuventcettefoisavoirunetorsion.
notionde plongement,etdedémontrerle théorème de l’élément primitif (4).
CerésultatfournitunedesbriquesdebasepourconstruireunespacededimenAfin de motiver ces notions, on utilisera l’exemple «fil rouge» des équations sion finiedanslapreuvedeBeukersetSchlickewei.
de Pell-Fermat quiontétél’originehistoriquedeleurétude. Plus généralement, l’étude des unités est nécessaire pour se ramener aux
élé• Ledeuxièmechapitreabordeunpointdevuegéométriquesurlesnombres,qui ments après s’être élevé dans le monde des idéaux pour y faire de
l’arithmése révèle être extrêmement fertile. On commence par y faire de la géométrie tique.
discrète, en définissant puis en caractérisant les réseaux, et on montre le
re• Lecinquièmechapitreabordelathéoriedes corps
valués.Ens’intéressantaux
marquablethéorèmedeMinkowski(6).Lesoutilsgéométriquesdéveloppésici
différentesmanièresd’étudierlacomplexitédesnombres,onestmenésàs’intéserontappliquésdansdenombreuxcontextes.
resserauxdifférentesvaleursabsoluesdontonpeutmuniruncorpsdenombres.
On les utilise en particulier pour faire à proprement parler de la géométrie des
Commeseulelatopologieinduitefournitdel’informationsurlesnombres,on
nombres.Onconstruitainsileplongementcanoniquede ,quipermetdevoir
se retrouve à classifier et caractériser des places. C’est l’objet du théorème
l’anneaudesentiersd’uncorpsdenombresdedegré commeunréseaude ℝ ,
d’Ostrowski (14), qu’on montre sur ℚ puis sur un corps de nombres général
grâce à un théorème dû à Dedekind (5). Cela nous permet du même temps de
(15).
commencer à expliciter la structure algébrique des entiers, puisqu’on obtient
Onvoitainsiapparaîtredesplacesarchimédiennesporteusesd’informational-≅ℤ .
gébrique, et des places ultramétriques porteuses d’information arithmétique.

Letroisièmechapitreestunchapitred’arithmétique.OnyabordedesidéesproCesdernièresinduisentdes géométries
non-archimédiennes,quelquepeuexofondes développées par Dedekind qui, découvrant des anneaux plus sauvages
tiques,qu’onpeutprendreplaisiràexplorer.
que ℤ,chercheàyreconstruireautantquepossiblel’arithmétiqueclassique.
Pourtoutcomprendre,ilestnécessaired’étudierlacomplétiondescorpsvalués
Si on n’a plus toujours le théorème fondamental de l’arithmétique (7), qui
expourcesdifférentesplaces.Enplusdepropriétésuniverselles,ons’intéresseà
prime sur ℤ l’existence d’une décomposition unique en éléments premiers, on
des complétés particuliers, ce qui est l’occasion d’une initiation au monde
des
retrouvesurlesanneauxdeDedekindunedécompositionuniqueenidéauxprenombres -adiques,etmême
-adiques.
miers(c’estlethéorème9).Pourreconstruirel’arithmétique,ilfautdoncaccep• Lesixièmechapitredéveloppelathéoriedelahauteur,outilessentielpourétu-terdepasserd’une arithmétique des élémentsàune arithmétique des idéaux.
dierlacomplexitédesnombresetobtenirdesrésultatsdedensitéetfinitudesurOncherchealorsàétudierl’arithmétique de
puisquec’estl’objetquinous
deséquationsdiophantiennescommecellequinousintéresse.intéresse.Ondéfinitunerelationd’équivalenceentresesidéaux,etontirepartie du point de vue géométrique associant idéal et sous-réseau pour démontrer Ontireainsipartieduchapitreprécédent,pourconstruirelahauteursur ℚ,puis
le théorème de finitude des classes (10). L’arithmétique classique est alors re- sur , puis sur ℚ, en combinant astucieusement les informations fournies par
trouvéeestréinventée:ondémontreque estdeDedekind(théorème8),et les différentes places. «Astucieusement» signifie : en utilisant les propriétés
ondisposedoncd’uneuniquefactorisationen idéaux premiers. remarquablesissuesdelathéoriedescomplétions.�



��






26 Introduction Mouvementdutexte 27
On obtient une hauteur qui possède de bonnes propriétés qui permettent de •Diagrammededépendances
la manipuler, et un puissant théorème de finitude : le théorème de Northcott,
Comme nous l’avons dit plus tôt, nous espérons ainsi que les lecteurs pourront
d’abordsur ℚ(16),puissur ℚtoutentier(17)–cequiinclutdonctousles.
piocherleschapitresquiserontlesplusintéressantsàaborderpoureux.
Ce chapitre, après le chapitre 4, fournit ainsi le deuxième outil théorique fon- Par exemple, le lecteur qui viendrait uniquement découvrir la théorie des corps
damentalquipermetd’aborderlapreuvedeBeukersetSchlickewei. valués et les théorèmes d’Ostrowski pourra sauter directement jusqu’au chapitre 5,
et récupérer ensuite – si son bagage théorique n’était pas suffisant – les quelques• Le septième chapitre aborde d’ultimes préliminaires à la preuve, dont on ne
s’estpasservijusque-là. résultatspréliminairesutilisés,quisontcitésetdémontrésplustôtdansletexte.
Au contraire, le lecteur qui souhaiterait directement étudier la démonstration deUne première partie d’analyse complexe rappelle quelques faits majeurs de
Beukers et Schlickewei, de façon plus détaillée que dans l’article original, mais sanscette théorie. Sur ℂ, le fait d’être dérivable est équivalent à être développable
∞ réapprendretouslesconceptssurlesquelsellesefonde,pourradirectementpasserauensérieentière,etdoncdeclasse
.Cetteforterigidité,qu’onexprimeendichapitre8.sant que les fonctions holomorphes sont exactement les fonctions analytiques,
Pourtousleslecteurs–ycomprisceuxsouhaitantétudiertoutcelivre,enencom-est à l’origine de phénomènes remarquables : la formule intégrale de Cauchy,
prenant l’agencement, peut-être pour concevoir eux-mêmes leur parcours de lectureleprincipedeszérosisolés,leprincipeduprolongementanalytique,laformule
–onproposedonclediagrammededépendanceci-dessous.delamoyenne,laformuledumaximum,...Elleprésenteensuitelethéorèmede
On renvoie le lecteur à l’introduction «contenu» qui est juste au-dessus, ainsiPuiseux (18) qui montre l’existence d’une décomposition, en produit de
polyqu’auplandétaillé,pourqu’ilpuisseestimersonniveaudefamiliaritéaveclesthéo-nômesdedegré 1,den’importequelpolynômeàcoefficientsdanslecorpsdes
riesetthéorèmesabordésdanslesdifférentschapitres.fractionsdessériesentièresdePuiseux.Cettedécompositionest«héritée»,en
Ce diagramme de dépendance se lit de la façon suivante : on écrit �� dèsutilisant le lemme de Hensel 7.1.22, de la des polynômes
comque présupposedesnotionsouutilisedesrésultatsde.plexesenfacteursdedegré 1.
Une seconde partie introduit le produit tensoriel comme solution d’un certain
problème universel (19). On l’étudie sur des anneaux et des modules, pour
commencer à le manipuler puis à s’en servir pour construire l’extension des
scalaires. 1
• Enfin, le huitième et ultime chapitre est pleinement consacré à la preuve de
BeukersetSchlickewei. 2
On construit ainsi dans la partie 8.1 l’espace géométrique muni d’une norme
3issue de la hauteur dans lequel les solutions de l’équation aux -unités vont
×pouvoir s’incarner. C’est fondamentalement le fait que soit de type fini
5qui permet ceci, et la construction fonctionne en ne retenant que cette
hypothèse.
4 6La partie 8.2 analyse la structure de l’équation aux -unités sous l’angle de
la
hauteurpourobtenirdesinégalitésnumériquesfortesquisontensuiteinterprétéesgéométriquement.Pourcela,ons’appuiesurlethéorème21,dûàBeukers 7 .2 8.1 8.2 7 .1
etZagier[7],quiestdémontréenutilisantdesidéesrichesetdiverses.
ThV2 ThV1Enfin,lapartie8.3démontrelethéorèmedeBeukersetSchlickewei,quiétend
encoreunpeulerésultatau-delàdel’équationaux-unités,enmettanttousles
argumentsensembleetenconcluantgrâceàdesidéesderecouvrementd’espace
pardesboules. ThV3�



��






26 Introduction Mouvementdutexte 27
On obtient une hauteur qui possède de bonnes propriétés qui permettent de •Diagrammededépendances
la manipuler, et un puissant théorème de finitude : le théorème de Northcott,
Comme nous l’avons dit plus tôt, nous espérons ainsi que les lecteurs pourront
d’abordsur ℚ(16),puissur ℚtoutentier(17)–cequiinclutdonctousles.
piocherleschapitresquiserontlesplusintéressantsàaborderpoureux.
Ce chapitre, après le chapitre 4, fournit ainsi le deuxième outil théorique fon- Par exemple, le lecteur qui viendrait uniquement découvrir la théorie des corps
damentalquipermetd’aborderlapreuvedeBeukersetSchlickewei. valués et les théorèmes d’Ostrowski pourra sauter directement jusqu’au chapitre 5,
et récupérer ensuite – si son bagage théorique n’était pas suffisant – les quelques• Le septième chapitre aborde d’ultimes préliminaires à la preuve, dont on ne
s’estpasservijusque-là. résultatspréliminairesutilisés,quisontcitésetdémontrésplustôtdansletexte.
Au contraire, le lecteur qui souhaiterait directement étudier la démonstration deUne première partie d’analyse complexe rappelle quelques faits majeurs de
Beukers et Schlickewei, de façon plus détaillée que dans l’article original, mais sanscette théorie. Sur ℂ, le fait d’être dérivable est équivalent à être développable
∞ réapprendretouslesconceptssurlesquelsellesefonde,pourradirectementpasserauensérieentière,etdoncdeclasse
.Cetteforterigidité,qu’onexprimeendichapitre8.sant que les fonctions holomorphes sont exactement les fonctions analytiques,
Pourtousleslecteurs–ycomprisceuxsouhaitantétudiertoutcelivre,enencom-est à l’origine de phénomènes remarquables : la formule intégrale de Cauchy,
prenant l’agencement, peut-être pour concevoir eux-mêmes leur parcours de lectureleprincipedeszérosisolés,leprincipeduprolongementanalytique,laformule
–onproposedonclediagrammededépendanceci-dessous.delamoyenne,laformuledumaximum,...Elleprésenteensuitelethéorèmede
On renvoie le lecteur à l’introduction «contenu» qui est juste au-dessus, ainsiPuiseux (18) qui montre l’existence d’une décomposition, en produit de
polyqu’auplandétaillé,pourqu’ilpuisseestimersonniveaudefamiliaritéaveclesthéo-nômesdedegré 1,den’importequelpolynômeàcoefficientsdanslecorpsdes
riesetthéorèmesabordésdanslesdifférentschapitres.fractionsdessériesentièresdePuiseux.Cettedécompositionest«héritée»,en
Ce diagramme de dépendance se lit de la façon suivante : on écrit �� dèsutilisant le lemme de Hensel 7.1.22, de la décomposition des polynômes
comque présupposedesnotionsouutilisedesrésultatsde.plexesenfacteursdedegré 1.
Une seconde partie introduit le produit tensoriel comme solution d’un certain
problème universel (19). On l’étudie sur des anneaux et des modules, pour
commencer à le manipuler puis à s’en servir pour construire l’extension des
scalaires. 1
• Enfin, le huitième et ultime chapitre est pleinement consacré à la preuve de
BeukersetSchlickewei. 2
On construit ainsi dans la partie 8.1 l’espace géométrique muni d’une norme
3issue de la hauteur dans lequel les solutions de l’équation aux -unités vont
×pouvoir s’incarner. C’est fondamentalement le fait que soit de type fini
5qui permet ceci, et la construction fonctionne en ne retenant que cette
hypothèse.
4 6La partie 8.2 analyse la structure de l’équation aux -unités sous l’angle de
la
hauteurpourobtenirdesinégalitésnumériquesfortesquisontensuiteinterprétéesgéométriquement.Pourcela,ons’appuiesurlethéorème21,dûàBeukers 7 .2 8.1 8.2 7 .1
etZagier[7],quiestdémontréenutilisantdesidéesrichesetdiverses.
ThV2 ThV1Enfin,lapartie8.3démontrelethéorèmedeBeukersetSchlickewei,quiétend
encoreunpeulerésultatau-delàdel’équationaux-unités,enmettanttousles
argumentsensembleetenconcluantgrâceàdesidéesderecouvrementd’espace
pardesboules. ThV3�


��

























28 Introduction

«ThV1»renvoieàlaversiongéométriqueduthéorèmedanslapreuvedeBeukers et Schlickewei, qui s’applique directement à un espace dans lequel on a
desinégalitésparticulièressurlesnormesdepoints.Ceshypothèsestrèsspéci- Remerciements 29
fiquesétantposées,ladémonstrationdecerésultatn’utilisequedesarguments
derecouvrementdel’espacepardesboules.
• «ThV2»renvoieaurésultatplusgénéraldémontréparBeukersetSchlickewei, Remerciements
et qui donne une borne au nombre de solutions de �� , où (�� ,
∗ 2où estunsous-groupedetypefinide (ℂ .
Nous tenons tout d’abord à remercier M. Diego Izquierdo, professeur Monge àPlusspécifiquement,ildonnecettebornepour (�� ,où estla ℚ-clôture
l’Ecolepolytechnique,pourtoutel’aidequ’ilnousaapportée.Ilnousaencadrépen-de (maisonadoncenparticulier ).
dantunandanslecadreduProjetScientifiqueCommun(PSC),àraisond’uneréunion
• «ThV3» renvoie au théorème de Beukers et Schlickewei pour l’équation aux
par semaine. C’est lui qui nous a guidé pas à pas dans notre voyage, et nous a aidé à
× 2-unités ��� ,où (�� (
.
nousapproprierlessujetssurlesquelsnousavonstravaillé.NousluisommestrèsreEn utilisant le théorème de -unités de Dirichlet démontré au chapitre 4, c’est connaissants de nous avoir fait rencontrer cet univers mathématique fascinant qu’est
uncorollairede«ThV2». lathéoriedesnombres.
Nous remercions M. Javier Fresan, professeur et coordinateur des PSC à l’EcoleDe plus, la flèche en pointillés entre 3 et 5 indique le fait que l’arithmétique des
polytechnique, qui nous a suggéré de publier notre rapport et apporté son aide pouridéaux n’est utilisée que pour quelques résultats de la théorie des corps valués : les
les démarches. Il a vu l’intérêt que pouvait avoir notre travail en tant qu’ouvrageplaces ultramétriques d’un corps d’un nombre. En revanche, ces résultats sont
cruintroductif,etnousaencouragéàlerendreaccessibleàunpublicpluslarge.ciauxpourlathéoriedelahauteurduchapitre6.
Nous remercions aussi la maison d’éditions Ellipses qui s’est intéressée à notre
projetetnousadonnél’opportunitédel’éditer.
Noustenonsàremercierl’ensembledudépartementdemathématiquesdel’Ecole
polytechniquequiencadrelaréalisationdesPSCetleurpermetd’exister.
Enfin, merci à tous ceux qui nous ont fait aimer les mathématiques durant
notre
scolarité,professeursdelycée,deprépaoudel’X,ainsiquel’associationpourl’animationmathématiqueAnimath.�


��

























28 Introduction

«ThV1»renvoieàlaversiongéométriqueduthéorèmedanslapreuvedeBeukers et Schlickewei, qui s’applique directement à un espace dans lequel on a
desinégalitésparticulièressurlesnormesdepoints.Ceshypothèsestrèsspéci- Remerciements 29
fiquesétantposées,ladémonstrationdecerésultatn’utilisequedesarguments
derecouvrementdel’espacepardesboules.
• «ThV2»renvoieaurésultatplusgénéraldémontréparBeukersetSchlickewei, Remerciements
et qui donne une borne au nombre de solutions de �� , où (�� ,
∗ 2où estunsous-groupedetypefinide (ℂ .
Nous tenons tout d’abord à remercier M. Diego Izquierdo, professeur Monge àPlusspécifiquement,ildonnecettebornepour (�� ,où estla ℚ-clôture
l’Ecolepolytechnique,pourtoutel’aidequ’ilnousaapportée.Ilnousaencadrépen-de (maisonadoncenparticulier ).
dantunandanslecadreduProjetScientifiqueCommun(PSC),àraisond’uneréunion
• «ThV3» renvoie au théorème de Beukers et Schlickewei pour l’équation aux
par semaine. C’est lui qui nous a guidé pas à pas dans notre voyage, et nous a aidé à
× 2-unités ��� ,où (�� (
.
nousapproprierlessujetssurlesquelsnousavonstravaillé.NousluisommestrèsreEn utilisant le théorème de -unités de Dirichlet démontré au chapitre 4, c’est connaissants de nous avoir fait rencontrer cet univers mathématique fascinant qu’est
uncorollairede«ThV2». lathéoriedesnombres.
Nous remercions M. Javier Fresan, professeur et coordinateur des PSC à l’EcoleDe plus, la flèche en pointillés entre 3 et 5 indique le fait que l’arithmétique des
polytechnique, qui nous a suggéré de publier notre rapport et apporté son aide pouridéaux n’est utilisée que pour quelques résultats de la théorie des corps valués : les
les démarches. Il a vu l’intérêt que pouvait avoir notre travail en tant qu’ouvrageplaces ultramétriques d’un corps d’un nombre. En revanche, ces résultats sont
cruintroductif,etnousaencouragéàlerendreaccessibleàunpublicpluslarge.ciauxpourlathéoriedelahauteurduchapitre6.
Nous remercions aussi la maison d’éditions Ellipses qui s’est intéressée à notre
projetetnousadonnél’opportunitédel’éditer.
Noustenonsàremercierl’ensembledudépartementdemathématiquesdel’Ecole
polytechniquequiencadrelaréalisationdesPSCetleurpermetd’exister.
Enfin, merci à tous ceux qui nous ont fait aimer les durant
notre
scolarité,professeursdelycée,deprépaoudel’X,ainsiquel’associationpourl’animationmathématiqueAnimath.�




















INTRODUCTIONAUXCORPS
DENOMBRES
L’objectif de ce livre est, on l’a vu, d’obtenir des résultats sur une catégorie
d’équations,appelées« équationdes-unités»,etprésentéauthéorème(3).Cetype
de problèmes appartient à une famille beaucoup plus générale, celui des équations
diophantiennes. Or, on va le voir, l’équation des -unités est pédagogiquement
intéressante dans la mesure où son étude fait appel à un grand nombre de concepts issus
de cette théorie. En fait, les deux premiers chapitres de cet ouvrage introduisent des
notions classiques et incontournables de la théorie des équations diophantiennes. Le
développement d’outils plus spécifiques et adaptés à l’équation des -unités
commenceàs’opéreràpartirduchapitre3,bienquecesderniersaientdesapplicationsà
beaucoupd’autresproblèmesdiophantiens.
De façon très générale, une équation diophantienne est un problème de la forme
suivante.
Définition1.0.1(Equationdiophantienne). Onappelleéquationdiophantienne
uneéquationd’inconnue (� , ..., )∈ ℤ dutype1
(� , ..., ) = 0,1
où estunpolynômeà indéterminésàcoefficientsdansuncorps.
Il est bien connu que la résolution générale de ces équations est un problème
extrêmementdifficile.Citonslecélèbreexemplesuivant.
Exemple1.0.1(DernierthéorèmedeFermat). Soit
unentierstrictementsupé3rieurà2.L’étudedel’équationd’inconnue (�, , ) ∈ ℤ
+ =�




















INTRODUCTIONAUXCORPS
DENOMBRES
L’objectif de ce livre est, on l’a vu, d’obtenir des résultats sur une catégorie
d’équations,appelées« équationdes-unités»,etprésentéauthéorème(3).Cetype
de problèmes appartient à une famille beaucoup plus générale, celui des équations
diophantiennes. Or, on va le voir, l’équation des -unités est pédagogiquement
intéressante dans la mesure où son étude fait appel à un grand nombre de concepts issus
de cette théorie. En fait, les deux premiers chapitres de cet ouvrage introduisent des
notions classiques et incontournables de la théorie des équations diophantiennes. Le
développement d’outils plus spécifiques et adaptés à l’équation des -unités
commenceàs’opéreràpartirduchapitre3,bienquecesderniersaientdesapplicationsà
beaucoupd’autresproblèmesdiophantiens.
De façon très générale, une équation diophantienne est un problème de la forme
suivante.
Définition1.0.1(Equationdiophantienne). Onappelleéquationdiophantienne
uneéquationd’inconnue (� , ..., )∈ ℤ dutype1
(� , ..., ) = 0,1
où estunpolynômeà indéterminésàcoefficientsdansuncorps.
Il est bien connu que la résolution générale de ces équations est un problème
extrêmementdifficile.Citonslecélèbreexemplesuivant.
Exemple1.0.1(DernierthéorèmedeFermat). Soit
unentierstrictementsupé3rieurà2.L’étudedel’équationd’inconnue (�, , ) ∈ ℤ
+ =�























��

















32 I–Introductionauxcorpsdenombres I–Introductionauxcorpsdenombres 33
estappelée«DernierthéorèmedeFermat»,cethéorèmestipulantquel’équation adoptée (Diophante ayant vécu vers le II ou III siècle de notre ère). Il n’est pas
n’apasdesolutionavec . du tout question ici de développer son histoire, qui mériterait un livre à elle seule!
Maisilestcrucialderemarquerquel’approchemoderne,quicommenceàs’affirmer
En fait ce problème est même impossible en général! En l’an 1900, David Hil- auXVIII siècleavecGaussnotamment,reposesurl’idéequ’introduiredenouveaux
bert présente au siècle naissant une liste de 23 problèmes qui devaient marquer son nombresfournituncadreplusadapté.Considéronsl’exempleéloquentsuivant,qu’on
ehistoire.Le10 problèmeétaitlesuivant. reprendrasouventparlasuite.
Exemple1.0.2(ProblèmeXdeHilbert,1900). Exemple1.0.4(EquationsdePell-Fermat). Soit unnombreentierpositifsans
2facteurscarrés.Oncherchelessolutionsdel’équationd’inconnue (��
10.EntscheidungderLösbarkeiteinerDiophantischenGleichung.
2 2«EineDiophantischeGleichungmitirgendwelchenUnbekanntenundmit − = 1.
ganzenrationalenZahlencoefficientenseivorgelegt:mansolleinVerfahren
Cetteéquationseréécritangeben,nachwelchemsichmittelsteinerendlichenAnzahlvonOperationen
√ √entscheidenläßt,obdieGleichunginganzenrationalenZahlenlösbarist.»
(��� �(� − = 1.
Enfrançais,celadonne:
La seconde équation invite à chercher les solutions non plus dans mais dans
X.Delapossibilitéderésoudreuneéquationdiophantienne. un nouvel ensemble stable par addition et multiplication, contenant , mais aussi un
√ √ 2«Ondonneuneéquationdiophantienneàunnombrequelconqued’inconnues nombre vérifiant =� .
etàcoefficientsentiersrationnels:ondemandedetrouveruneméthodepar Cesontdesremarquesdecettenaturequiontmotivél’apparitiondelanotionde
laquelle,aumoyend’unnombrefinid’opérations,onpourradistinguersi corpsdenombres.Fondamentalement,ceconceptrépondàladémarchesuivante.
l’équationestrésolubleennombresentiersrationnels.»
• Jeconnaisbien ℚ,quicontient eteststableparaddition,passageàl’opposé,
multiplication,passageàl’inverse(c’estuncorps).
En 1970, le mathématicien russe Iouri Vladimirovitch Matiassevitch répond par la
• L’étude d’une équation diophantienne m’invite à regarder des nombres dont
négative.
l’écriture fait intervenir des rationnels et des nombres ... irrationnels1
mais«sympathiques».
Exemple1.0.3(ThéorèmedeMatiassevitch,1970).
• Je me place donc dans un nouveau corps, contenant ℚ et ... , que je de-1LedixièmeproblèmedeHilbertestindécidable.
mandeminimal.Onlenote ℚ[� ...
].1Plusprécisément,sionappelleensemblediophantientoutensembledesolu• Enfin, je dois redescendre de mon gros corps à l’ensemble des entiers, afin detionsdans ℕ d’uneéquationdiophantienneen variables,alors
trouverlessolutionsdemonéquation.
Lesensemblesdiophantienssontexactementlesensemblesrécursivement
Ici l’appellation de «sympathique» revient à dire que ces nombres sont certes
énumérables.
compliqués car non rationnels, mais qu’ils apparaissent assez naturellement à partir
de ℚ comme racines d’un polynôme à coefficient dans ℚ. Dans ces conditions, laPar conséquent, on sait par la théorie de la décidabilité qu’il ne peut
exister
structurecherchéedansletroisièmepointestcelledecorpsdenombres,etestl’objetd’algorithmequiterminetoujoursenuntempsfini,quiprendenentréeuneéquadecechapitre.Détaillonsmaintenantlesrésultatsobtenus.tiondiophantiennequelconqueenplusieursvariablesetannonceensortiesielle
admetdessolutions. • Danslapartie1.1,intitulée«
Qu’est-cequ’unnombre?»,onintroduitlesformalismes des extensions de corps, ce qui permet d’aboutir à la définition d’un
L’étude des équations diophantiennes est très ancienne et a mobilisé des généra- corpsdenombres:ils’agitd’uncorpsquiétend ℚetquiestunespacevectoriel
tions de mathématiciens, et ce dès l’Antiquité, comme en témoigne la dénomination dedimensionfiniesur ℚ.�























��

















32 I–Introductionauxcorpsdenombres I–Introductionauxcorpsdenombres 33
estappelée«DernierthéorèmedeFermat»,cethéorèmestipulantquel’équation adoptée (Diophante ayant vécu vers le II ou III siècle de notre ère). Il n’est pas
n’apasdesolutionavec . du tout question ici de développer son histoire, qui mériterait un livre à elle seule!
Maisilestcrucialderemarquerquel’approchemoderne,quicommenceàs’affirmer
En fait ce problème est même impossible en général! En l’an 1900, David Hil- auXVIII siècleavecGaussnotamment,reposesurl’idéequ’introduiredenouveaux
bert présente au siècle naissant une liste de 23 problèmes qui devaient marquer son nombresfournituncadreplusadapté.Considéronsl’exempleéloquentsuivant,qu’on
ehistoire.Le10 problèmeétaitlesuivant. reprendrasouventparlasuite.
Exemple1.0.2(ProblèmeXdeHilbert,1900). Exemple1.0.4(EquationsdePell-Fermat). Soit unnombreentierpositifsans
2facteurscarrés.Oncherchelessolutionsdel’équationd’inconnue (��
10.EntscheidungderLösbarkeiteinerDiophantischenGleichung.
2 2«EineDiophantischeGleichungmitirgendwelchenUnbekanntenundmit − = 1.
ganzenrationalenZahlencoefficientenseivorgelegt:mansolleinVerfahren
Cetteéquationseréécritangeben,nachwelchemsichmittelsteinerendlichenAnzahlvonOperationen
√ √entscheidenläßt,obdieGleichunginganzenrationalenZahlenlösbarist.»
(��� �(� − = 1.
Enfrançais,celadonne:
La seconde équation invite à chercher les solutions non plus dans mais dans
X.Delapossibilitéderésoudreuneéquationdiophantienne. un nouvel ensemble stable par addition et multiplication, contenant , mais aussi un
√ √ 2«Ondonneuneéquationdiophantienneàunnombrequelconqued’inconnues nombre vérifiant =� .
etàcoefficientsentiersrationnels:ondemandedetrouveruneméthodepar Cesontdesremarquesdecettenaturequiontmotivél’apparitiondelanotionde
laquelle,aumoyend’unnombrefinid’opérations,onpourradistinguersi corpsdenombres.Fondamentalement,ceconceptrépondàladémarchesuivante.
l’équationestrésolubleennombresentiersrationnels.»
• Jeconnaisbien ℚ,quicontient eteststableparaddition,passageàl’opposé,
multiplication,passageàl’inverse(c’estuncorps).
En 1970, le mathématicien russe Iouri Vladimirovitch Matiassevitch répond par la
• L’étude d’une équation diophantienne m’invite à regarder des nombres dont
négative.
l’écriture fait intervenir des rationnels et des nombres ... irrationnels1
mais«sympathiques».
Exemple1.0.3(ThéorèmedeMatiassevitch,1970).
• Je me place donc dans un nouveau corps, contenant ℚ et ... , que je de-1LedixièmeproblèmedeHilbertestindécidable.
mandeminimal.Onlenote ℚ[� ...
].1Plusprécisément,sionappelleensemblediophantientoutensembledesolu• Enfin, je dois redescendre de mon gros corps à l’ensemble des entiers, afin detionsdans ℕ d’uneéquationdiophantienneen variables,alors
trouverlessolutionsdemonéquation.
Lesensemblesdiophantienssontexactementlesensemblesrécursivement
Ici l’appellation de «sympathique» revient à dire que ces nombres sont certes
énumérables.
compliqués car non rationnels, mais qu’ils apparaissent assez naturellement à partir
de ℚ comme racines d’un polynôme à coefficient dans ℚ. Dans ces conditions, laPar conséquent, on sait par la théorie de la décidabilité qu’il ne peut
exister
structurecherchéedansletroisièmepointestcelledecorpsdenombres,etestl’objetd’algorithmequiterminetoujoursenuntempsfini,quiprendenentréeuneéquadecechapitre.Détaillonsmaintenantlesrésultatsobtenus.tiondiophantiennequelconqueenplusieursvariablesetannonceensortiesielle
admetdessolutions. • Danslapartie1.1,intitulée«
Qu’est-cequ’unnombre?»,onintroduitlesformalismes des extensions de corps, ce qui permet d’aboutir à la définition d’un
L’étude des équations diophantiennes est très ancienne et a mobilisé des généra- corpsdenombres:ils’agitd’uncorpsquiétend ℚetquiestunespacevectoriel
tions de mathématiciens, et ce dès l’Antiquité, comme en témoigne la dénomination dedimensionfiniesur ℚ.�
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34 I–Introductionauxcorpsdenombres 1.1 Qu’est-cequ’unnombre? 35
• Lapartie1.2permetdevérifierquecettedéfinitioncoïncideavecladémarche
Définition1.1.1(Extensiondecorps). Soient et deuxcorps.Onditque
présentée ci-dessus : un corps de nombres s’obtient en ajoutant des éléments
estuneextensionde s’ilexisteunmorphismedecorps .
algébriquesà ℚ.
Onnotecetterelation.

Unefoisleconceptdecorpsdenombresbienposé,ons’interrogesurlasignification de la notion d’éléments entiers dans un tel corps, dont l’ensemble
Lecasleplussimpled’extensionestceluidonnéparlemorphismed’inclusion.
jouerait un rôle analogue à ℤ pour ℚ. Il s’agit de l’objectif de la partie 1.3. On
observealorsquecommedanslecasdesrationnels,onretrouvelefaitque
Exemple1.1.1. ℂestuneextensionde ℝvialemorphisme
estunanneauetquesoncorpsdesfractionsde n’estautreque.
Unefoistouteslesdéfinitionsposées,onchercheàmieuxcomprendrelastructure �� ℝ ℂ
de .Onavuque étaitunanneau,maisest-ildetypefinicommegroupeadditif?
Si oui, comment caractériser ses familles génératrices et son rang? Pour répondre à
cesquestions,onintroduituncertainnombred’outils.
Cet exemple donne envie de dire que si est une extension de , alors est
• La partie 1.4 définit ces outils, qui sont la norme, la trace ou encore le poly- plus gros que . Dans le cas du morphisme d’inclusion, on a simplement .
nôme caractéristique d’un élément de . Elle met aussi en évidence les liens Plus généralement, cela provient du fait bien connu qu’un morphisme de corps est
qui les unissent. En particulier, on voit une manière algébrique de caractériser nécessairementinjectif.Danslasuite,onidentifieradonc avec .Ainsile
lefaitqu’unefamilled’élémentsde engendrelecorpstoutentiersur ℚ.Cette terme« d’extension»estbienjustifié.
caractérisationfaitintervenirunequantité:le discriminant de la famille.
• Cecadreétantposé,l’ultimepartie1.5apporteunenouvellepierreconceptuelle Proposition1.1.1. Tout morphisme de corps est injectif.
fondamentale pour l’étude de et . L’idée principale consiste à observer
qu’onpeutvoir commeunsous-corpsde ℂdeplusieursmanières,quicorres- Démonstration. Soit unmorphismedecorps.Soit �� Ker(�.Supposons
pondentauxplongementsde.LathéoriedeGaloisfournitalorsdesrésultats
parl’absurde ��
.Alors,
permettantdecomprendrelafaçondontcesplongementsopèrentsur.Enpar−1 −1ticulier,lesderniersrésultatsdecechapitreannoncentl’intuitionduchapitre2: (� (� = (�� = ( = (car estunmorphisme)
en faisant opérer les plongements sur , on en obtient des incarnations dans
ℂquirévèlentsastructure.
C’estabsurdecar (� = .Ainsi, = et estinjectif.
1.1 Qu’est-cequ’unnombre?
Sionauneextension,onpeutvoir commeunespacevectorielsurlecorps
. La vérification des axiomes est immédiate. Cela amène à considérer la définition
suivante.Danstoutelasuite,leterme«corps»désignerauncorpscommutatif.
On l’a vu, la notion de base de notre problème est celle de corps de nombres. Il
Définition1.1.2(Degréd’uneextension). Soit uneextensiondecorps.Ons’agit d’un corps obtenu à partir de ℚ en y ajoutant des éléments algébriques. Mais
appelle degré d’une extension, noté [� , le degré du -espace vectoriel .avant d’aborder ce point de vue, il convient de faire quelques généralités sur les
exSicedegréestfini,ondiraquel’extension estfinie.tensionsdecorps.Lepointclévaêtrequesi estuneextensiond’uncorps,alors
peut être muni d’une structure de -espace vectoriel. Dans ce cadre, un corps de
nombresestuneextensionfiniede ℚdedimensionfinie.
Cette sous-partie reprend les définitions et propriétés énoncées dans le premier Exemple1.1.2. Enreprenantl’exempleprécédent, [ℂ ℝ =2 .
chapitreducoursd’algèbredeM1d’OlivierDebarredispenséàl’ENS.[12]. Mais [ℝ ℚ =∞ . En effet, si par l’absurde on suppose qu’on a une ℚ-base de
Lanotiond’extensiondecorpsadmetunedéfinitiontrèsnaturelle.�
��

��























��





��


��





��



















��





























��



34 I–Introductionauxcorpsdenombres 1.1 Qu’est-cequ’unnombre? 35
• Lapartie1.2permetdevérifierquecettedéfinitioncoïncideavecladémarche
Définition1.1.1(Extensiondecorps). Soient et deuxcorps.Onditque
présentée ci-dessus : un corps de nombres s’obtient en ajoutant des éléments
estuneextensionde s’ilexisteunmorphismedecorps .
algébriquesà ℚ.
Onnotecetterelation.

Unefoisleconceptdecorpsdenombresbienposé,ons’interrogesurlasignification de la notion d’éléments entiers dans un tel corps, dont l’ensemble
Lecasleplussimpled’extensionestceluidonnéparlemorphismed’inclusion.
jouerait un rôle analogue à ℤ pour ℚ. Il s’agit de l’objectif de la partie 1.3. On
observealorsquecommedanslecasdesrationnels,onretrouvelefaitque
Exemple1.1.1. ℂestuneextensionde ℝvialemorphisme
estunanneauetquesoncorpsdesfractionsde n’estautreque.
Unefoistouteslesdéfinitionsposées,onchercheàmieuxcomprendrelastructure �� ℝ ℂ
de .Onavuque étaitunanneau,maisest-ildetypefinicommegroupeadditif?
Si oui, comment caractériser ses familles génératrices et son rang? Pour répondre à
cesquestions,onintroduituncertainnombred’outils.
Cet exemple donne envie de dire que si est une extension de , alors est
• La partie 1.4 définit ces outils, qui sont la norme, la trace ou encore le poly- plus gros que . Dans le cas du morphisme d’inclusion, on a simplement .
nôme caractéristique d’un élément de . Elle met aussi en évidence les liens Plus généralement, cela provient du fait bien connu qu’un morphisme de corps est
qui les unissent. En particulier, on voit une manière algébrique de caractériser nécessairementinjectif.Danslasuite,onidentifieradonc avec .Ainsile
lefaitqu’unefamilled’élémentsde engendrelecorpstoutentiersur ℚ.Cette terme« d’extension»estbienjustifié.
caractérisationfaitintervenirunequantité:le discriminant de la famille.
• Cecadreétantposé,l’ultimepartie1.5apporteunenouvellepierreconceptuelle Proposition1.1.1. Tout morphisme de corps est injectif.
fondamentale pour l’étude de et . L’idée principale consiste à observer
qu’onpeutvoir commeunsous-corpsde ℂdeplusieursmanières,quicorres- Démonstration. Soit unmorphismedecorps.Soit �� Ker(�.Supposons
pondentauxplongementsde.LathéoriedeGaloisfournitalorsdesrésultats
parl’absurde ��
.Alors,
permettantdecomprendrelafaçondontcesplongementsopèrentsur.Enpar−1 −1ticulier,lesderniersrésultatsdecechapitreannoncentl’intuitionduchapitre2: (� (� = (�� = ( = (car estunmorphisme)
en faisant opérer les plongements sur , on en obtient des incarnations dans
ℂquirévèlentsastructure.
C’estabsurdecar (� = .Ainsi, = et estinjectif.
1.1 Qu’est-cequ’unnombre?
Sionauneextension,onpeutvoir commeunespacevectorielsurlecorps
. La vérification des axiomes est immédiate. Cela amène à considérer la définition
suivante.Danstoutelasuite,leterme«corps»désignerauncorpscommutatif.
On l’a vu, la notion de base de notre problème est celle de corps de nombres. Il
Définition1.1.2(Degréd’uneextension). Soit uneextensiondecorps.Ons’agit d’un corps obtenu à partir de ℚ en y ajoutant des éléments algébriques. Mais
appelle degré d’une extension, noté [� , le degré du -espace vectoriel .avant d’aborder ce point de vue, il convient de faire quelques généralités sur les
exSicedegréestfini,ondiraquel’extension estfinie.tensionsdecorps.Lepointclévaêtrequesi estuneextensiond’uncorps,alors
peut être muni d’une structure de -espace vectoriel. Dans ce cadre, un corps de
nombresestuneextensionfiniede ℚdedimensionfinie.
Cette sous-partie reprend les définitions et propriétés énoncées dans le premier Exemple1.1.2. Enreprenantl’exempleprécédent, [ℂ ℝ =2 .
chapitreducoursd’algèbredeM1d’OlivierDebarredispenséàl’ENS.[12]. Mais [ℝ ℚ =∞ . En effet, si par l’absurde on suppose qu’on a une ℚ-base de
Lanotiond’extensiondecorpsadmetunedéfinitiontrèsnaturelle.�



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36 I–Introductionauxcorpsdenombres 1.2 Algébricitéettranscendance 37
ℝà éléments (� , ..., ),alorsVect (� , ..., )estdénombrable,cequin’est1 ℚ 1 Définition1.1.3(Corpsdenombres). Uncorpsdenombres estuneextension
paslecasde ℝ.
finiede ℚ,qu’onvoitcommeunsous-corpsde ℂ.
Lecalculeffectifdeladimensiond’uneextensionpeutsefaireenconsidérantun
corpsintermédiaireetenexploitantlethéorèmedelabasetélescopique. Lefaitquenotrecorps soitinclusdans ℂpermetdedonneruneexistenceconcrète
auxnombres.Ils’agitvéritablementd’uneconvention,danslamesureoùsionprend
Proposition1.1.2(Basetélescopique). Soient et deuxextensionsde une extension finie quelconque de ℚ, on peut toujours la plonger dans ℂ grâce à un
corps finies. Alors est finie et [� [ [ . morphisme de corps. Autrement dit, toute extension finie de ℚ est isomorphe à un
corpsdenombres.
Démonstration. Soit (� , ...� )unebasedu-espacevectoriel ,et (� , ..., )une1 1
basedu-espacevectoriel .Introduisonslafamille Exemple1.1.3. ℚestuncorpsdenombres,maispas ℝpuisque [ℝ ∶ℚ]=∞.
(� ,� , ..., ,� ,� , ..., ).1 1 1 2 1 2 1 2 2
Enutilisantlethéorèmedelabasetélescopique,onobservedepluslefaitsuivant.
Vérifionsque estunebasedu-espacevectoriel .
• Liberté Proposition1.1.3. Soit uneextensiondecorpsde
nombres.Alorsl’extenSoient , ..., ,� , ..., desscalairesde telsque1,1 1,� 2,1 ,� sion est finie.
∑ ∑ 0.,� Démonstration. Parlethéorèmedelabasetélescopique,ona
�1 �1
[� ∶ ℚ] = [ ∶ ][� ∶ ℚ]Alors,
∑ ( ∑ ) 0. Comme [� ∶ ℚ] est fini et [� ∶ ℚ] non nul, [� ∶ ] est fini et donc l’extension,�
�1 �1 estfinie.
Or,les ∑ sontdesélémentsde,doncparlibertéde (� , ..., ),,� 1�1
1.2 Algébricitéettranscendance
∀� [, ∑ 0.,�
�1
OnvavoirmaintenantquecettedéfinitionpermetbiendeseplacerdanslecadreComme (� ,� , ..., )estunefamillelibred’élémentsde,onendéduitque1 2
deladémarcheprécédente.Sijedisposed’élémentsirrationnels , , quejeveux∀� ∀� 0 . estdonclibre. 1,�
ajouterà ℚ,jepeuxconstruirelepluspetitcorpscontenant ℚainsique , , ,qui1• Génératrice
seranoté ℚ[� , , ].L’objectifdecettepartieestdevérifierlefaitsuivant,rassurant1Il s’agit simplement d’une base télescopique. Pour �� , on décompose
d’unpointdevueterminologique.
∑ dans le -espace vectoriel , puis on décompose chacun des
�1
dans la base (� ,� , ..., )du -espace vectoriel . Cela conclut que1 2 Proposition1.2.1. Soient , , desélémentsirrationnelsetalgébriquessur1engendrele-espacevectoriel .
ℚ. Alors le corps ℚ[� , , ] est un corps de nombres.1
estdoncunebasedu-espacevectoriel ,etonadirectementenregardantle
cardinalde que [� [ [ .
Iciencore, onsélectionne les définitions etpropriétés quinous serontutiles pour
lasuiteens’appuyantsurlecoursd’OlivierDebarre[12].Ondisposemaintenantdetouslesélémentspourdéfinirlescorpsdenombres.La
Maiscommençonsd’abordpardéfinirlestermesduproblème.définitionestexactementcelleannoncée.�



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36 I–Introductionauxcorpsdenombres 1.2 Algébricitéettranscendance 37
ℝà éléments (� , ..., ),alorsVect (� , ..., )estdénombrable,cequin’est1 ℚ 1 Définition1.1.3(Corpsdenombres). Uncorpsdenombres estuneextension
paslecasde ℝ.
finiede ℚ,qu’onvoitcommeunsous-corpsde ℂ.
Lecalculeffectifdeladimensiond’uneextensionpeutsefaireenconsidérantun
corpsintermédiaireetenexploitantlethéorèmedelabasetélescopique. Lefaitquenotrecorps soitinclusdans ℂpermetdedonneruneexistenceconcrète
auxnombres.Ils’agitvéritablementd’uneconvention,danslamesureoùsionprend
Proposition1.1.2(Basetélescopique). Soient et deuxextensionsde une extension finie quelconque de ℚ, on peut toujours la plonger dans ℂ grâce à un
corps finies. Alors est finie et [� [ [ . morphisme de corps. Autrement dit, toute extension finie de ℚ est isomorphe à un
corpsdenombres.
Démonstration. Soit (� , ...� )unebasedu-espacevectoriel ,et (� , ..., )une1 1
basedu-espacevectoriel .Introduisonslafamille Exemple1.1.3. ℚestuncorpsdenombres,maispas ℝpuisque [ℝ ∶ℚ]=∞.
(� ,� , ..., ,� ,� , ..., ).1 1 1 2 1 2 1 2 2
Enutilisantlethéorèmedelabasetélescopique,onobservedepluslefaitsuivant.
Vérifionsque estunebasedu-espacevectoriel .
• Liberté Proposition1.1.3. Soit uneextensiondecorpsde
nombres.Alorsl’extenSoient , ..., ,� , ..., desscalairesde telsque1,1 1,� 2,1 ,� sion est finie.
∑ ∑ 0.,� Démonstration. Parlethéorèmedelabasetélescopique,ona
�1 �1
[� ∶ ℚ] = [ ∶ ][� ∶ ℚ]Alors,
∑ ( ∑ ) 0. Comme [� ∶ ℚ] est fini et [� ∶ ℚ] non nul, [� ∶ ] est fini et donc l’extension,�
�1 �1 estfinie.
Or,les ∑ sontdesélémentsde,doncparlibertéde (� , ..., ),,� 1�1
1.2 Algébricitéettranscendance
∀� [[, ∑ 0.,�
�1
OnvavoirmaintenantquecettedéfinitionpermetbiendeseplacerdanslecadreComme (� ,� , ..., )estunefamillelibred’élémentsde,onendéduitque1 2
deladémarcheprécédente.Sijedisposed’élémentsirrationnels , , quejeveux∀� ∀� 0 . estdonclibre. 1,�
ajouterà ℚ,jepeuxconstruirelepluspetitcorpscontenant ℚainsique , , ,qui1• Génératrice
seranoté ℚ[� , , ].L’objectifdecettepartieestdevérifierlefaitsuivant,rassurant1Il s’agit simplement d’une base télescopique. Pour �� , on décompose
d’unpointdevueterminologique.
∑ dans le -espace vectoriel , puis on décompose chacun des
�1
dans la base (� ,� , ..., )du -espace vectoriel . Cela conclut que1 2 Proposition1.2.1. Soient , , desélémentsirrationnelsetalgébriquessur1engendrele-espacevectoriel .
ℚ. Alors le corps ℚ[� , , ] est un corps de nombres.1
estdoncunebasedu-espacevectoriel ,etonadirectementenregardantle
cardinalde que [� [ [ .
Iciencore, on sélectionne les définitions etpropriétés quinous serontutiles pour
lasuiteens’appuyantsurlecoursd’OlivierDebarre[12].Ondisposemaintenantdetouslesélémentspourdéfinirlescorpsdenombres.La
Maiscommençonsd’abordpardéfinirlestermesduproblème.définitionestexactementcelleannoncée.

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