L’équation aux S-unités - Voyage géométrique en théorie des nombres

Rebotier Félix, Boisseau Paul, Rustenholz Louis, David Adam, Bendriss Khalil

Description

L’objectif de cet ouvrage est de dévoiler, à travers l’étude de la preuve d’un résultat important et récent, la beauté de certains concepts et outils fondamentaux de l’arithmétique contemporaine. Outils mélangeant géométrie et algèbre avec l'arithmétique. On s’intéresse plus précisément à un théorème relatif à la finitude des solutions de l’équation aux S-unités, qui constitue un problème central de cette discipline.Au cours de l’élucidation de la démonstration, qui constitue le fil rouge du texte, le lecteur découvrira les notions clés qui ont jalonné l’histoire de l’étude des nombres, de Diophante à nos jours. Ce livre n’a pas vocation à être un cours d’arithmétique exhaustif, mais cherche plutôt à permettre au plus grand nombre, étudiants en troisième année de licence ou curieux de mathématiques, de comprendre en profondeur un article de recherche dans cette discipline. Il est accompagné de nombreux exemples et illustrations.

Sujets

• Géométrie
• Algèbre
• Mathématiques
• Mathematics
• mathématiques
• Mathématiques
• Géométrie
• Mathématiques
• Mathématiques

Informations

• Publié par: Editions Ellipses
• Date de parution: 14 septembre 2021
• Nombre de lectures: 9
• EAN13: 9782340059528
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 9 Mo

Extrait

Khalil Bendriss
Paul Boisseau
Adam David
Félix Rebotier
Louis Rustenholz
L’équation
aux S-unités
Voyage géométrique
en théorie des nombres
Préface de
Diego Izquierdo
K. Bendriss, P. Boisseau,
A. David, F. Rebotier,
L’équation aux S-unités
L. RustenholzRéférences sciences
L’équation aux S-unités
Voyage géométrique
en théorie des nombres
Khalil Bendriss
Paul Boisseau
Adam David
Félix Rebotier
Louis Rustenholz
Préface de Diego Izquierdo�
�
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
[e-mail]
PRÉFACE
Retrouvez tous les livres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr
Ce livre est l’aboutissement du remarquable Projet Scientifique Collectif réalisé
par les auteurs à l’École Polytechnique pendant leur deuxième année de scolarité.
Il s’agit d’une véritable promenade dans le monde fascinant de l’arithmétique.
L’approcheestoriginaleetintéressante:plutôtqu’écrireunmanuelclassiqueprésentantde
manièrescolaireetlinéairelescontenususuelsd’uncoursd’arithmétique,lesauteurs
ont préféré faire voyager le lecteur, en choisissant comme destination un monument
de l’analyse diophantienne, la finitude du nombre de solutions de l’équation aux -
unités. Au cours de ce voyage, le lecteur est invité à faire de nombreux détours afin
de découvrir quelques pierres angulaires qui ont façonné la théorie des nombres telle
qu’on la connaît aujourd’hui : c’est le cas, par exemple, de la géométrie des nombres
développée par Minkowski, ou encore la théorie des corps -adiques.
Grâce à une présentation claire, fluide et pédagogique jonchée de nombreux
exemples éclairants, ce livre constitue une formidable introduction à l’arithmétique
accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires concernant les
ISBN 9782340-056701 structures algébriques usuelles (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels). Sa
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2021 lectureestunmomentdepurbonheurmathématique,etjenepeuxquelaconseillerà
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris
tous ceux qui sont intrigués par l’arithmétique et ses interactions avec des domaines

aussi variés que l’algèbre, l’analyse et la géométrie.


En vous souhaitant une très bonne lecture,

Diego Izquierdo
Professeur Monge à l’École polytechnique�
�
PRÉFACE
Ce livre est l’aboutissement du remarquable Projet Scientifique Collectif réalisé
par les auteurs à l’École Polytechnique pendant leur deuxième année de scolarité.
Il s’agit d’une véritable promenade dans le monde fascinant de l’arithmétique.
L’approcheestoriginaleetintéressante:plutôtqu’écrireunmanuelclassiqueprésentantde
manièrescolaireetlinéairelescontenususuelsd’uncoursd’arithmétique,lesauteurs
ont préféré faire voyager le lecteur, en choisissant comme destination un monument
de l’analyse diophantienne, la finitude du nombre de solutions de l’équation aux -
unités. Au cours de ce voyage, le lecteur est invité à faire de nombreux détours afin
de découvrir quelques pierres angulaires qui ont façonné la théorie des nombres telle
qu’on la connaît aujourd’hui : c’est le cas, par exemple, de la géométrie des nombres
développée par Minkowski, ou encore la théorie des corps -adiques.
Grâce à une présentation claire, fluide et pédagogique jonchée de nombreux
exemples éclairants, ce livre constitue une formidable introduction à l’arithmétique
accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires concernant les
structures algébriques usuelles (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels). Sa
lectureestunmomentdepurbonheurmathématique,etjenepeuxquelaconseillerà
tous ceux qui sont intrigués par l’arithmétique et ses interactions avec des domaines
aussi variés que l’algèbre, l’analyse et la géométrie.
En vous souhaitant une très bonne lecture,
Diego Izquierdo
Professeur Monge à l’École polytechnique�
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TABLEDESMATIÈRES
Introduction 9
Cadre et objectifs du voyage ................. ....... 9
Contexte scientifique : le monde diophantien . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial . . . . . . . . . . . . . 13
Histoire du problème ....... ................. .... 17
Quelques applications ........... ................ . 20
Idée de la preuve, plan, dépendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Remerciements ................. .............. 29
1 Introductionauxcorpsdenombres 31
1.1 Qu’est-ce qu’un nombre? ................ ....... 34
1.2 Algébricité et transcendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Qu’est-ce qu’un entier? ....... ................ . 42
1.3.1 La notion d’entier algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2 Comportement des entiers dans les extensions . . . . . . . . 49
1.4 Manipuler les nombres ................. ....... 51
1.5 Incarner les nombres . ................. ....... 59
2 Géométriedesnombres 73
2.1 Réseaux ............... ................ . 75
2.1.1 Qu’est-ce qu’un réseau? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.2 Théorème de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2 vu comme un réseau .. ................ ..... 88
2.2.1 Le plongement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.2 Finitude sur . ................ ....... 93�
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TABLEDESMATIÈRES
Introduction 9
Cadre et objectifs du voyage ................. ....... 9
IntroducContextetion scientifique : le monde diophantien . . . . . . . . . . . . .9. . . 10
Cadre et objectifs du voyage 9Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial . . . . . . . . . . . . . 13
Histoire du problème ....... .... 17Contexte scientifque : le monde diophantien 10
Quelques applications ........... ................ . 20Énoncés du théorème, cas élémentaire non trivial 13
Idée de la preuve, plan, dépendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Histoire du problème 17
Remerciements ................. .............. 29
Quelques applications 20
Idée de la preuve, plan, dépendances 22
1 Introductionauxcorpsdenombres 31
Remerciements 291.1 Qu’est-ce qu’un nombre? ................ ....... 34
1 Introduction aux corps de nombres 311.2 Algébricité et transcendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1 Qu’est-ce qu’un nombre? 341.3 Q’est-ce qu’un entier? ....... . 42
1.2 Algébricité et transcendance 37
1.3.1 La notion d’entier algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 Qu’est-ce qu’un entier? 421.3.2 Comportement des entiers dans les extensions . . . . . . . . 49
1.4 Manipuler les nombres 511.4 Manipuler ls nombres ................. ....... 51
1.5 Inca1r.5ner lIens ncaronmerblresn o m b r e s . 59 59
2 Géométrie des nombres 73
2 Géométriedesnombres 73
2 1 Réseaux 75
2.1 Réseaux ............... ................ . 75
2 2 O vu comme un réseau 88k
2.1.1 Qu’est-ce qu’un réseau? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Arithmétique des idéaux 97
2.1.2 Théorème de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1 Arithmét