MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 1 – Les torseurs , livre ebook

Ce premier manuel consacré à l’étude des torseurs se compose de deux parties.La première partie, Notes de cours, met l’accent sur l’atout mathématique appelé torseur. Ce dernier joue un rôle central dans la modélisation de la mécanique du solide et présente le principe fondamental de la dynamique sous une forme particulièrement concise. Les notions d’invariants (scalaire et vectoriel), de torseurs particuliers (glisseur et couple) ainsi que la notion d’axe central y sont présentées. Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Avant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Application linéaire symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . 161.3 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Champ antisymétrique (ou champ de moments) . . . . . . . . . . 283.5 Champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Théorème de Delassus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Éléments de réduction - Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Produit ou comoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Invariants d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.1 Invariant scalaire ou automoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Invariant vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2 Pas d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3 Moment central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 Équation vectorielle de l’axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Interprétation géométrique – Représentation graphique de l’axe central . .. . . . . . . . . . . . . . 417.6 Détermination analytique de l’axe central . . . . . . . . . . . . . 427.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1 Torseur glisseur ou torseur à résultante . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 Décomposition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Décomposition centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110 Interprétation géométrique - Origine du mot torseur . . . . . . . . . . . 5211 Classification des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312 Torseur associé à un ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313 Torseur associé à une densité de vecteurs ⃗ f(M) . . . . . . . . . . . . . 5514 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Partie B : problèmes corrigés 61Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Problème 1 : équation vectorielle et axe central d’un torseur . . . . . . . 63Problème 2 : moment et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . 64Problème 3 : comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Problème 4 : somme de trois glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Problème 5 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Problème 6 : somme de trois vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . 70Problème 7 : somme de cinq glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Problème 8 : torseur défini par un champ de moments . . . . . . . . . . . 74Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Problème 1 : détermination de la résultante d’un torseur . . . . . . . . . 78Problème 2 : champ de moments dépendant d’un paramètre . . . . . . . 80Problème 3 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Problème 4 : résultante et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 83Problème 5 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 84Problème 6 : somme de trois glisseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problème 7 : somme de trois glisseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 88Problème 8 : combinaison linéaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . 90Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Problème 1 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 95Problème 2 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-I . . . . . . . 98Problème 3 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-II . . . . . . 101Problème 4 : décomposition centrale d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 103Problème 5 : somme de deux torseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 104Problème 6 : somme de deux torseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 106Problème 7 : produit et somme d’un glisseur et d’un couple . . . . . . . . 110Problème 8 : somme et produit de deux glisseurs . . . . . . . . . . . . . . 114Annexes 117Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Annexe 3 : diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Bibliographie 131Index alphabétique 139