Mécanique du solide indéformable Tome 3 - La géométrie des masses, livre ebook

Ce troisième manuel consacré à la géométrie des masses se compose de deux parties. 
La première partie, Notes de cours, met l’accent sur les notions importantes de centre de masse, de matrice d’inertie, de symétrie matérielle, de base principale d’inertie et de moment d’inertie par rapport à un axe quelconque. Par ailleurs, les deux théorèmes de Guldin, celui de Huygens et celui de Koenig sont énoncés et illustrés par des applications pédagogiques ciblées.
Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.

Table des matières

Avant-propos 1

Partie A : notes de cours 7

1 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Applications pédagogiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . 23

2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Signification physique du moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Calcul de I(S/Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Signification physique des produits d’inertie . . . . . . . . . . . . 31

3 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Expression du moment d’inertie en fonction de la matrice d’inertie 37

3.4 Base principale d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Quadrique d’inertie-Ellipsoïde d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Quadrique d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Ellipsoïde d’inertie : interprétation géométrique de la matrice d’inertie . . .. . . . . . . . . . . . 53

5 Matrice d’inertie d’un système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Partie B : problèmes corrigés 63

Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Problème 1 : demi-cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Problème 2 : quart de cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Problème 3 : deux barres perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Problème 4 : plaque ayant la forme d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . 73

Problème 5 : plaque rectangulaire mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Problème 6 : plaque ayant la forme d’un demi-disque . . . . . . . . . . . 79

Problème 7 : plaque ayant la forme d’un quart de disque . . . . . . . . . 82

Problème 8 : plaque ayant la forme d’un quart d’ellipse . . . . . . . . . . 87

Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Problème 1 : huitième de sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Problème 2 : ellipsoïde plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Problème 3 : plaque ayant la forme d’un triangle équilatéral . . . . . . . . 97

Problème 4 : calotte sphérique creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Problème 5 : plaque ayant la forme d’un triangle rectangle . . . . . . . . 103

Problème 6 : demi-sphère pleine (demi-boule) . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Problème 7 : calotte parabolique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Problème 8 : cône homogène plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Problème 1 : demi-cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Problème 2 : demi-cône plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Problème 3 : système composé d’un cylindre plein et d’une demi-boule . . 127

Problème 4 : système composé d’un cône plein et d’une demi-boule . . . . 132

Problème 5 : calotte sphérique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Problème 6 : système composé d’une calotte sphérique et d’un cylindre . 145

Problème 7 : tore creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Problème 8 : tore plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Annexes 159

Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Table des matières 5

Bibliographie 183

Index alphabétique 191