Symétries continues , livre ebook

Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII.Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variablescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45***********II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur deCasimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finiedes groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré :masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite nonrelativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états deDirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équationsd’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques,spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par unematrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicitéde moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurstensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombrequantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’unvecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état parpermutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516***********X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569