Topologie et continuité

Salomon Ofman

Description

L'origine de cet ouvrage est un cours donné plusieurs années de suite à l'Université Paris 7, pour des étudiants n'ayant pas ou peu de formation mathématique. Il s'agit d'une introduction à la topologie, une partie importante portant sur des questions de la théorie des ensembles, généralement négligées car considérées comme acquises, en particulier la manière de nommer et de manipuler les noms des objets. L'objectif de cet ouvrage est donc d'initier un lecteur non mathématicien au raisonnement mathématique. Les questions mathématiques les plus abstraites se retrouvent aussi un peu partout en philosophie.

Sujets

• Philosophie
• Cours
• Annales
• manuels
• Philosophie et théologie

Informations

• Publié par: L'Harmattan
• Date de parution: 01 juin 2016
• Nombre de lectures: 44
• EAN13: 9782140011085
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 20 Mo

Extrait

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Une approche mathématique
et philosophique

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TOPOLOGIE & CONTINUITÉ

© L’Harmattan, 2016
5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris

www.harmattan.com
[e-mail]

ISBN : 978-2-343-08714-6
EAN : 9782343087146

Salomon OFMAN

TOPOLOGIE & CONTINUITÉ





Une approche mathématique et philosophique

Autres ouvrages de l’auteur :
G´om´trie ComplexeorguoisNan¸cecFrs´cSlaticAutte,)i-itcevanoc(rido
entifiques et Industrielles, Hermann, 1996
Pens´e et rationnel :Spinoza, L’Harmattan, 2003
G´om´trie Complexe IIc(doitnoriceFranavecsNor¸coicA,)teugs´tilaut
Scientifiques et Industrielles, Hermann, 2004

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AVANT-PROPOS ET INDICATIONS D‘USAGE

Le but principal de cet ouvrage est d’introduire le lecteur ` la mani`re de
raisonner en math´matiques.La topologie est un exemple de th´orie abstraite
construite ` partir de notions extrˆmement intuitives telle la continuit´.Elle
pr´sente en outre l’avantage d’unifier ce qui, de tout temps, avait ´t´ consid´r´
comme radicalement disjoint, le discret et le continu.

La premi`re partiepropose une (re-)d´couverte de notions de base des
math´matiques, en insistant longuement sur les points pr´sentant des
difficult´s lorsqu’on n’a pas derri`re soi une longue pratique math´matique.La
pr´sentation est n´cessairement tr`s diff´rente des cours publi´s jusqu’` pr´sent.
Ceux-ci visent en effet ` l’apprentissage du maximum de connaissances en un
minimum de temps, leur cible ´tant un public essentiellement form´ d’´tudiants
de classes pr´paratoires en vue de leurs concours.On trouvera ici des ´l´ments
n´cessaires ` la compr´hension de tout texte de math´matique, et plus
particuli`rement de ce qui va suivre.Ils peuvent et doivent ˆtre ´tudi´s pour
eux-mˆmes, dans la mesure o`, d’une part on y lit d´j` la mani`re g´n´rale
de proc´der en math´matiques, et d’autre part parce que c’est alors qu’il est
le plus simple de rapprocher raisonnements math´matiques et raisonnements
philosophiques.

La seconde partieest plus sp´cialis´e puisqu’on entre dans le domaine
de la topologie proprement dit.En fait, le premier chapitre en est encore
ind´pendant, quoique essentiel pour ce qui va suivre.On peut dire qu’il s’agit
l` d’une reprise formalis´e par les math´matiques pour ´laborer une th´orie de
la nomination.En elle-mˆme, elle ne pr´sente pas de difficult´s, c’est plutˆt
qu’il s’agit d’acqu´rir une souplesse de raisonnement, ce qui n’est pas si facile,
le seul moyen d’y parvenir ´tant la pratique r´p´t´e.
La plus grande part de ce qui suit alors est la pr´sentation nouvelle de
la notion de continuit´ par la topologie, dont on a d´j` soulign´ le caract`re
unificateur.
L` encore notre approche est diff´rente de l’approche usuelle.Alors que
celle-ci consid`re n´cessaire d’introduire d`s que possible les notions de
‘m´triques’ et de nombres r´els, nous avons fait l’impasse sur ces derniers.Leur
construction rigoureuse est d´licate et demande beaucoup de temps.En outre,
elle n’est pas n´cessaire ` notre projet.Les questions relatives ` la
continuit´ ont ´t´ consid´r´es depuis toujours essentiellement li´e ` ce qu’en langage
moderne on appelle les ‘nombres r´els’.Pourtant, et c’est le deuxi`me aspect
int´ressant de la topologie, il est paradoxalement possible d’´tudier toutes ces

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notions en consid´rant les seuls rationnels, et tr`s souvent mˆme, de se
restreindre ` des ensembles finis.C’est la d´marche adopt´e ici.
Dans la derni`re partie, nous donnons de mani`re tr`s ´l´mentaire des
constructions omnipr´sentes dans les math´matiques contemporaines, conduisant `
la distinction, puis au passage de ce qu’on nomme des situations ‘locales’ ` des
situations ‘globales’.Un exemple physique tr`s simple, qui depuis l’Antiquit´
n’a pas manqu´ de soulever des paradoxes, est la perception que nous avons
de notre environnement.Nous vivons dans un milieu ` trois dimensions, mais
nousnousd´pla¸cons`pieds,`v´loouenvoiture,surunplan(sauf,etencore
pour de brefs moments, en avion).Pourtant nous savons que la terre sur
laquelle nous ´voluons est sph´rique.Il n’est donc pas absurde d’opposer local et
global, et de dire que localement notre milieu est un plan, mais que globalement
c’est une sph`re.
`lasuiteducoursonpropose,divis´ssuivantlespartiesauxquellesils
r´f`rent, des exercices non corrig´s, mais dont l’´nonc´ par lui-mˆme sugg`re
la solution pas ` pas.Il est recommand´ d’essayer de les r´soudre pour tester
sa compr´hension de chaque chapitre.
Enfin le lecteur trouvera en annexes la plupart des textes philosophiques
utilis´s. Celane devrait certainement pas l’empˆcher de consulter les œuvres
originales, ne serait-ce que pour les mettre en perspective.

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TOPOLOGIE & CONTINUIT´
Une approche math´matique et philosophique I

‘Ainsi les math´matiques peuvent ˆtre d´finies comme la discipline o` l’on
ne sait jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est vrai’ (Bertrand Russel,
International monthly, 1901, p.84).

INTRODUCTIONG´N´RALE

Ce livre est la mise en forme d’un cours donn´ pendant plusieurs ann´es
` l’universit´ Paris 7.C’est une introduction ` la topologie, l’une des th´ories
math´matiques les plus abstraites, bien qu’issue de notions aussi intuitives que
celles de proximit´ et de variation r´guli`re.
Ce cours s’adressait ` des ´tudiants de niveaux math´matiques tr`s
diff´rents. Pourcertains, de formation scientifique, il s’agissait d’aborder un sujet
nouveau qu’ils allaient approfondir dans la suite de leurs ´tudes.D’autres,
ayant suivi un parcours plus litt´raire, allaient ´tudier des questions qui
n´cessitaient, entre autres choses, de comprendre les sp´cifit´s d’un raisonnement
math´matique.

L’objectif de cet ouvrage est donc double.D’une part, donner les bases
d’une th´orie math´matique d´termin´e, la topologie ; d’autre part, de mani`re
plus g´n´rale, apprendre ` former des raisonnements coh´rents, ainsi qu’on est
suppos´ le faire en math´matiques.Il s’agit de comprendre comment
construire une argumentation coh´rente, passant par la maıtrise de ce qu’autrefois
on appelait le raisonnement ‘more geometrico’ (‘` la mani`re des g´om`tres’).
Probl´matique qui d´passe largement le cadre des math´matiques proprement
dites,lesquestions´thiqueselles-mˆmespouvantˆtrecon¸cuessouscetteforme,
ainsi Spinoza ´crivant pr´cis´ment ‘more geometrico’*.
On trouvera donc ici une introduction ` la topologie moderne illustr´e,
entre autres, par des textes philosophiques, et une r´flexion sur les origines
des notions introduites permettant une meilleure compr´hension des questions
´tudi´es. Lesuns auront ainsi l’occassion d’´largir leur champ de connaissances,
les autres d’´tablir des relations entre ces questions et leur savoir dans des
domaines usuellement consid´r´s sans rapports.

* Letitre original de l’un des ses ouvrages les plus c´l`bres estEthica
Ordine Geometrico demonstrata, c’est-`-diremontued´elonr´esrde’lroqiht´’l
g´om´triqueabr´g´ simplement enehiqul’´t.

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L’ensemble des connaissances requises dans ce cours est r´duit au
minimum, les d´finitions n´cessaires y ´tant syst´matiquement rappel´es.Dans le
mˆme esprit, on privil´gie toujours la clart´ d’exposition sur le formalisme ou
la bri`vet´, ce qu’on appelle en math´matiques du terme vague ‘d’esth´tique’.
Ainsi, on ne trouvera pas explicitement l’appareil logico-axiomatique
sousjacent. Lelecteur int´ress´ pourra se reporter par exemple au petit livre de
Paul Halmos,Naive Set Theoryqui en donne une approche relativement simple.

Le titre ‘Topologie et contiunuit´’ est d’une certaine mani`re pl´onastique.
En math´matiques modernes en effet, la continuit´, c’est-`-dire, intuitivement,
l’´tudedecequichangedefac¸onr´guli`re,sansvariationstropbrutales,est
une parti