Vibrations et ondes
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Description

Vivrations et ondes présente en détail les phénomènes vibratoires et ondulatoires mécaniques et électromagnétiques.
Après l'étude des vibrations à un et plusieurs degrés de liberté, il introduit les notions-clés telles que le phénomène de superposition, l'analyse de Fourier ou la résonance. Vibrations et ondes analyse la propagation des ondes mécaniques (élastiques, sonores et à la surface des liquides), des ondes électromagnétiques et les phénomènes de réflexion et de réfraction, d'interférence, de diffraction et de propagation dans les milieux limités (ondes guidées et ondes stationnaires).
Les principes de base et les lois sont énoncés et démontrés d'une manière didactique. Les notions et les techniques mathématiques utiles sont graduellement introduites. Les aspects physiques et les applications sont entièrement développés.
Adapté aux tendances actuelles de l'enseignement de la physique, Vibrations et ondes propose un ensemble d'outils pédagogiques : des exemples résolus, un résumé des principaux résultats, des conseils pour la résolution des exercices, des questions de réflexion et de nombreux exercices groupés par sections et classés par difficulté croissante.
Chapitre 1. Oscillations libres. Chapitre 2. Superposition des grandeurs harmoniques, analyse de Fourier. Chapitre 3. Oscillations forcées. Chapitre 4. Propagation dans les milieux illimités. Chapitre 5. Ondes mécaniques. Chapitre 6. Ondes électromagnétiques. Chapitre 7. Réflexion et réfraction des ondes. Chapitre 8. Interférence et diffraction. Chapitre 9. Ondes stationnaires et ondes guidées. Réponses de quelques exercices. Annexes 1, 2, 3. Bibliographie. Index.

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Informations

Publié par
Date de parution 16 avril 2010
Nombre de lectures 45
EAN13 9782746240919
Langue Français
Poids de l'ouvrage 4 Mo

Informations légales : prix de location à la page €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait




































Vibrations et ondes

















© LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-2556-5
ISSN 1952-2401


Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,
que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
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dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
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Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, April 2010.





































Vibrations
et ondes









Tamer Bécherrawy


COLLECTIONSCIENCES ETTECHNOLOGIES
sous la direction de Pierre-Noël Favennec







Jacques Brochard et Christian Chatellier – Traitement harmonique des systèmes
électroniques non linéaires, 2009

APAST (Association Pour l’Animation Scientifique du Trégor) – Science,
technologies et territoire, 2008

Olivier Rioul – Théorie des probabilités, 2008

Azzedine Boudrioua – Optique intégrée, 2006

Tullio Tanzi et Frédéric Delmer – Ingénierie du risque, 2006

Yves Narbonne – Découverte des réseaux par la systémique, 2006

Yves Narbonne – Complexité et systémique, 2005

Jacques Papet-Lépine – La modélisation de la foudre, 2005

André Moliton – Processus fondamentaux en électromagnétisme dans les milieux
matériels, 2004

André Moliton – Bases de l'électromagnétisme dans les milieux matériels, 2004

André Moliton – Applications de l'électromagnétisme dans les milieux matériels,
2004

Dans la série Vibrations, ondes et optique de Tamer Bécherrawy,
volume 1 —Vibrations mécaniques et électromagnétiques
volume 2 —Ondes mécaniques
volume 3 —Ondes électromagnétiques
volume 4 —Ondes optiques

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 1. Oscillations libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Oscillations et ondes, période et fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2. Vibrations harmoniques : équation différentielle et linéarité .. . . . . .14

1.3. Représentation complexe et représentation de Fresnel. . . . . . . . . .17

1.4. Masse soumise à une forceKx20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Oscillations angulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

1.6. Oscillations amorties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.6.1. Cas de grand amortissement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.6.2. Cas d’un amortissement critique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.6.3. Cas de faible amortissement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

1.7. Dissipation de l’énergie d’un oscillateur amorti. . . . . . . . . . . . . .30

1.8. Circuits électromagnétiques oscillants .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.9. Oscillations au voisinage d’une position d’équilibre stable.. . . . . . .33

1.10. Oscillateurs non linéaires .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.11. Systèmes à deux degrés de liberté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1.12. Généralisation aux systèmes àn. . . . . . . . . . . .degrés de liberté40

1.13. Variables normales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

1.14. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

1.15. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

1.16. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

1.17. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

6 Vibrationset ondes

Chapitre 2. Superposition des grandeurs harmoniques,
analyse de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1. Superposition de deux grandeurs harmoniques scalaires
de même fréquence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

2.2. Superposition de deux grandeurs vectorielles perpendiculaires
et de même fréquence, polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2.3. Superposition de deux vibrations perpendiculaires
de fréquences différentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

2.4. Superposition de grandeurs scalaires de périodes différentes,
battements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

2.5. Analyse de Fourier d’une fonction périodique. . . . . . . . . . . . . . .70

2.6. Analyse de Fourier d’une fonction apériodique. . . . . . . . . . . . . .74

2.7. Spectre d’un signal, relation d’incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . .77

2.8. Fonction de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

2.9. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

2.10. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

2.11. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

2.12. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Chapitre 3.Oscillations forcées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1. Régime transitoire et régime permanent .. . . . . . . . . . . . . . . . . .93

3.2. Cas d’une force d’excitation harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . .95

3.3. Résonance.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3.4. Impédance, énergie d’un oscillateur en régime permanent .. . . . . . .98

3.5. Impédance complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

3.6. Oscillations électromagnétiques entretenues. . . . . . . . . . . . . . . .104

3.7. Excitation à partir de l’équilibre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

3.8. Réponse à une force quelconque, systèmes non linéaires .. . . . . . . .108

3.9. Excitation d’un système d’oscillateurs couplés. . . . . . . . . . . . . . .110

3.10. Généralisation des notions de force extérieure et d’impédance.. . . .113

3.11. Quelques applications .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.12. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

3.13. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

3.14. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

3.15. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Chapitre 4.Propagation dans les milieux illimités . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1. Propagation à une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

4.2. Propagation à deux et à trois dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . .127

4.3. Propagation d’une onde vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Table des matières7

4.4. Polarisation des ondes vectorielles transversales. . . . . . . . . . . . . .133

4.5. Onde monochromatique, vecteur d’onde et longueur d’onde. . . . . .135

4.6. Dispersion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

4.7. Vitesse de groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4.8. Analyse de Fourier des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

4.9. Modulation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

4.10. Energie des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

4.11. Autres équations des ondes non amorties, grandeurs conservées. . . . .148

4.12. Notion d’impédance d’un milieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

4.13. Ondes amorties .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

4.14. Sources et observateurs en mouvement, effet Doppler et onde
de choc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

4.15. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

4.16. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

4.17. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

4.18. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

Chapitre 5. Ondes mécaniques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1. Oscillations transversales sur une corde tendue. . . . . . . . . . . . . .169

5.2. Déformation et contrainte dans les solides. . . . . . . . . . . . . . . . .172

5.3. Onde le long d’un ressort massif et une tige. . . . . . . . . . . . . . . .175

5.4. Propagation du son dans un tuyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

5.5. Onde sur une membrane élastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

5.6. Ondes mécaniques à trois dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

5.7. Energie des ondes mécaniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

5.8. Ondes progressives, impédance et intensité .. . . . . . . . . . . . . . . .188

5.9. Infrasons et ultrasons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

5.10. Ondes de surface .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

5.11. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

5.12. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

5.13. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

5.14. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

Chapitre 6. Ondes électromagnétiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1. Relations principales de la théorie électromagnétique. . . . . . . . . . .209

6.2. Ondes électromagnétiques dans le vide et les diélectriques
illimités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

6.2.1. Equations de propagation des champs dans le vide et
les diélectriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

6.2.2. Ondes électromagnétiques planes et harmoniques dans
les diélectriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

8 Vibrationset ondes

6.2.3. Densité d’énergie et vecteur de Poynting dans
les diélectriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

6.2.4. Polarisation des ondes électromagnétiques .. . . . . . . . . . . . .215

6.2.5. Densités d’impulsion et de moment cinétique, pression
de radiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

6.3. Ondes électromagnétiques dans les plasmas. . . . . . . . . . . . . . . .219

6.4. Ondes électromagnétiques dans les conducteurs ohmiques.. . . . . . .222

6.5. Quantification des ondes électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . .225

6.6. Classification et quelques caractéristiques des ondes
électromagnétiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

6.7. Emission du rayonnement électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . .228

6.8. Emission spontanée et émission stimulée. . . . . . . . . . . . . . . . . .230

6.9. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

6.10. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

6.11. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

6.12. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

Chapitre 7. Réflexion et réfraction des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.1. Réflexion d’une onde élastique sur deux cordes jointes.. . . . . . . . .243

7.2. Réflexion d’une onde sonore à une dimension .. . . . . . . . . . . . . .247

7.3. Lois générales de réflexion et de transmission des ondes à
trois dimensions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

7.4. Réflexion et réfraction d’une onde sonore à trois dimensions. . . . . .253

7.5. Réflexion et réfraction d’une onde e-m sur l’interface
des diélectriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

7.5.1. Cas d’une onde polarisée dans le plan d’incidence. . . . . . . . .255

7.5.2. Cas d’une onde polarisée perpendiculairement au plan
d’incidence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

7.5.3. Conservation de l’énergie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

7.5.4. Polarisation par réflexion de Brewster.. . . . . . . . . . . . . . . .260

7.6. Cas d’une onde amortie dans le second milieu .. . . . . . . . . . . . . .262

7.7. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

7.8. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

7.9. Questions de réflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

7.10. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269

Chapitre 8. Interférence et diffraction .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.1. Ordre et franges d’interférence de deux ondes. . . . . . . . . . . . . . .275

8.2. Intensité et contraste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

8.3. Interférence des ondes lumineuses, expérience de Young. . . . . . . .279

8.4. Superposition de plusieurs ondes, conditions d’interférence .. . . . . .283

Table des matières9

8.5. Holographie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

8.6. Couches minces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

8.7. Principe de Huygens-Fresnel et diffraction par une ouverture .. . . . .290

8.8. Réseaux à une dimension.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295

8.9. Diffraction des rayons X .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298

8.10. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

8.11. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

8.12. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

8.13. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

Chapitre 9. Ondes stationnaires et ondes guidées . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.1. Ondes stationnaires et modes normaux des ondes à
une dimension .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312

9.2. Ondes stationnaires sur une membrane et dans une cavité
rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

9.3.Analyse de Fourier des ondes stationnaires .. . . . . . . . . . . . . . . .320

9.4. Résonance et ondes stationnaires .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323

9.5. Ondes sonores guidées entre deux plaques planes .. . . . . . . . . . . .324

9.6. Onde sonore dans un tuyau rectangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . .327

9.7. Ondes sur un câble idéal comme une chaîne d’oscillateurs
couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329

9.8. Guides d’ondes métalliques pour les ondes électromagnétiques. . . . .331

9.9. Guide d’ondes formé par deux plaques planes et parallèles. . . . . . .332

9.10. Guides d’ondes électromagnétiques à un seul conducteur.. . . . . . .337

9.11. Applications des guides d’ondes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

9.12. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342

9.13. Conseils pour résoudre les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345

9.14. Questions de réflexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

9.15. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347

Réponses de quelques exercices355. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Annexes 1, 2, 3375 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie393. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index395. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

AVANT-PROPOS

Les phénomènes vibratoires et les phénomènes ondulatoires sont rencontrés dans
toutes les branches de la physique: mécanique, géophysique, électromagnétisme,
optique, physique quantique, etc. Certains ont commencé à être observés dans
e
l’Antiquité, mais leur analyse scientifique n’a commencé qu’auXVII siècle.Ils
comprennent les vibrations et les ondes mécaniques, les vibrations et les ondes
électromagnétiques, les ondes de matière, etc. Les vibrations et les ondes

e
électromagnétiques ont été découvertes auXIXsiècle et les ondes de matière au

e
XXsiècle. Chaque domaine de la physique a ses propres concepts et, parfois, son
propre langage mathématique. Néanmoins, quelle que soit leur nature, les vibrations
et les ondes ont des propriétés communes : modes, formes de l’énergie, superposition,
interférence, diffraction, etc.

Le but de ce texte est d’étudier les phénomènes vibratoires et ondulatoires au
niveau de la première ou deuxième année universitaire, et des classes préparatoires aux
divers concours. Il n’est pas conçu comme un cours de physique particulier. Les sujets

étant de différents niveaux de difficulté, nous avons marqué d’un astérisque ( ) les
sections qui présentent une certaine difficulté.

Le chapitre 1 introduit les notions de base et étudie des exemples de vibrations
des systèmes mécaniques et électromagnétiques à un et à plusieurs degrés de liberté.
Le chapitre 2 étudie la superposition des mouvements vibratoires et introduit
l’analyse de Fourier. Le chapitre 3 analyse les vibrations forcées et les résonances.
Le chapitre 4 introduit les notions de base de la théorie des ondes dans les milieux
illimités :équations de propagation et leurs solutions, densité et propagation de
l’énergie, etc. Le chapitre 5 est consacré à l’étude des ondes mécaniques (élastiques,
sonores et à la surface des liquides). Dans le chapitre 6, nous rappelons les lois de
base de l’électromagnétisme et nous analysons les ondes électromagnétiques dans
les isolants, les plasmas et les conducteurs. La réflexion et la réfraction sont étudiées

12 Vibrationset ondes

dans le chapitre 7, l’interférence et la diffraction dans le chapitre 8 et les ondes
stationnaires et guidées dans le chapitre 9. Nous ne considérons pas dans ce texte
l’émission des ondes ni l’étude des dispositifs optiques.

Les techniques mathématiques nécessaires sont introduites au fur et à mesure.
Pour faciliter le travail, nous avons ajouté des annexes donnant les principales
formules mathématiques utiles. Nous avons essayé d’utiliser des notations claires,
désignant chaque grandeur par un symbole particulier. Ainsi, nous avons utilisé des
symboles en italique pour les grandeurs scalaires, en gras pour les grandeurs
vectorielles et des symboles soulignés pour les grandeurs complexes. Les grandeurs
de même type sont distinguées par un indice (f(fr),f(ex),F(E), etc. pour les divers types
de force). L’énergie est désignée parEdans le cas des phénomènes mécaniques et
parUdans le cas des phénomènes électromagnétiques pour éviter la confusion avec
~
le module du champ électriqueE. La fréquence est représentée par le symboleQau
lieu du symbole grecQhabituel pour éviter sa confusion avec la vitessev.

Un vecteur unitaire est souvent représenté pare, les vecteurs unitaires des axes
de référence sont désignés parex,eyetex. Pour simplifier l’écriture des sommations
nous désignons parfois les coordonnées cartésiennesx,yetzpar x,xetx
1 23
respectivement et les composantes d’un vecteurVparV1 { Vx,V2 { Vy etV3 { Vz.
Nous désignons la dérivée deu(x,y,z,t) par rapport au temps paruouwtuet les
2 2
dérivées partielles parwxupourwu/wx,wxtupourwu/wxwt,etc. Nous utilisons aussi la
notatupour lesVpourwV/wx(ietj= 1, 2, 3).
ionwidérivées partielleswu/wxietwi jj i

Pour entraîner l’étudiant, nous avons inclus des exemples résolus dans le texte. A
la fin de chaque chapitre, nous avons résumé les principaux résultats du chapitre et
ajouté certainsconseils pour résoudre les exercices. Nous avons inclus un certain
nombre dequestions de réflexionqui n’exigent souvent aucun calcul, mais une
analyse du phénomène ou simplement une analyse ou une synthèse de certaines
connaissances. Nous avons inclus aussi un bon nombre d’exercices groupés par
sections identiques à celles du texte. Nous avons marqué d’un losange () les
exercices de difficulté moyenne et de deux losanges () ceux qui sont plutôt
difficiles. Cette classification dépend évidemment du niveau de connaissances du
lecteur. Pour aider l’étudiant à résoudre les exercices, nous avons inclus une petite
liste d’intégrales utiles, les unités et les constantes physiques, et nous avons donné
les réponses à la plupart des exercices à la fin du texte.

En écrivant ce texte, nous souhaitons rendre le sujet plus accessible et plus utile à
l’étudiant et fournir un bon outil de travail à l’enseignant.
TAMERBÉCHERRAWY

CHAPITRE1

Oscillations libres

Nous introduisons dans ce chapitre les notions de base des vibrations libres.
Nous commençons par une étude de l’équation différentielle des vibrations non
amorties, sa solution générale et ses représentations trigonométriques, complexes et
vectorielles. Nous étudions ensuite l’équation des vibrations amorties et ses
solutions. Nous analysons quelques systèmes oscillants simples à un degré de liberté
en insistant sur la notion d’énergie qui est considérée en physique moderne comme
une grandeur plus fondamentale que la force. Nous généralisons ces résultats aux
systèmes en faibles mouvements près d’une position d’équilibre. Nous analysons
ensuite un système à deux et à plusieurs degrés de liberté.

1.1. Oscillations et ondes, période et fréquence

Lesvibrationsou oscillations sontles mouvements ou les changements d’état
des systèmes physiques de part et d’autre d’une position d’équilibre qui se répètent
plus ou moins régulièrement dans le temps. Les ondesdes vibrations qui se sont
propagent d’un endroit à un autre. On rencontre les phénomènes vibratoires et
ondulatoires dans presque toutes les branches de la physique : mécanique, géophysique,
électromagnétisme, optique, physique quantique, etc. Nous considérons dans ce
texte deux sortes de vibrations:les vibrations mécaniquespendule, d’une (d’un
corde, etc.) etles vibrations électromagnétiques(des circuits électriques, des ondes
radio, etc.).

Les vibrations sontlibressi, après une excitation initiale, le système vibrant n’est
soumis à aucune force extérieure. En revanche, les vibrations sont ditesforcéessi le

14 Vibrationset ondes

système vibre sous l’effet de forces extérieures permanentes en même temps que
ses forces internes.

Une vibration estpériodiquesi le système physique se retrouve exactement dans
le même état aux instants séparés par un intervalle de tempsT, appelépériode de
vibration. Toute grandeur physiqueudu système reprend alors la même valeur après
des intervalles de tempsT, 2T, 3T, etc. La figure 1.1a illustre la variation d’une
grandeur périodiqueuen fonction du temps. La périodicité deupeut être exprimée
mathématiquement par la relation :


u



O


u(t) =u(t+T) =u(t+ 2T) = ... =u(t+nT).

T
u(t)

u(t+T)
T

(a)

t

u
A
A cosI
O
A

T
u(t)

T

(b)

[1.1]


I
Figure 1.1. a) Vibration périodique ; b) vibration harmonique u=Acos(Zt + )

t

~

LafréquenceQest le nombre de vibrations complètes par unité de temps. Elle
est reliée à la période par :

~
Q= 1/T.

[1.2]

1
La période est exprimée ordinairement ensecondesappelée(s) et la fréquence en s
3
aussihertz(Hz). Pour les hautes fréquences, on emploie lekilohertzHz),(kHz = 10
6 9
lemégahertz(MHz = 10Hz) et legigahertz(GHz = 10Hz).

1.2. Vibrations harmoniques : équation différentielle et linéarité

La vibration la plus simple est la vibrationharmoniqueousinusoïdale:

u=Acos(Zt+I)

[1.3]


La constanteAestl’amplitudeet la constanteZest lapulsation. (Zt+I) est laphase
à l’instanttetIest laphase initiale(souvent appeléephase, pour simplifier). La
phase a les dimensions d’un angle, elle est donc exprimée enradians (rad)et la
pulsationZest exprimée enradians par seconde(rad/s).Aetus’expriment avec les
mêmes unités. La fonction harmonique [1.3] est illustrée sur la figure 1.1b.

Oscillations libres15

Les fonctions sinusoïdales reprennent les mêmes valeurs si la phase varie de
2S (ou2nS avecnentier). La fonctionu reprenddonc la même valeur après une
~
périodeTtelle queZ(t+T) +I= Zt+I+ 2S, d’où les relations deZ àTetQ

~
Z= 2S/T= 2S Q

[1.4]

En dérivant l’expression [1.3] deux fois par rapport au temps, nous trouvons :

u { du/dt=AZsin(Zt+I) =AZcos(Zt+I+S/2)
2 22 2
u { d u/dt=AZcos(Zt+I) =AZcos(Zt+I+S).

[1.5]
[1.6]

Nous en déduisons queuvérifie l’équation différentielle des oscillations harmoniques :

2
u+Zu= 0.

[1.7]

C’est une équation différentielle de second degré, homogène et à coefficients
constants. Lapulsation normale(oupulsation propre)Zdu système dépend de ses
caractéristiques physiques (masses, forces, etc.). L’expression [1.3] est lasolution
généraleou lemode normald’oscillation ; toute solution est de cette forme et toute
expression de cette forme est un état possible d’oscillation. Lesconstantes
d’intégration AetIde la façon d’exciter le système, c’est-à-dire des dépendent
conditions initiales quisont les valeurs deu etu à un instant particulierto. Par

exemple, prenantto0, nous avons =u(0) =AcosI etu(0) =AZ sinI cequi
donne :

2 22
A=u(0)u(0)/Z, [1.8]
cosI=u(0)/A, etsinI=u(0)/ZA [1.9]

Les relations [1.9] déterminent la phaseIà 2Sprès. Nous pouvons aussi écrire :

tanI=u(0)/Zu(0)

[1.10]

Cependant, cette relation seule ne permet de déterminerIqu’àSAu lieu de près.
[1.3], il est possible d’utiliser la formeu=Asin(Zt +Ic). En ajoutant ou en
retranchantS/2 ouS àla phase, il est toujours possible d’écrire toute vibration
harmonique sous la forme [1.3] avec une amplitudeApositive.

L’équation d’oscillation [1.7] estlinéaireethomogène.Elle a donc une propriété
remarquable : siu(t) est une solution etCest une constante arbitraire,Cu(t) est aussi
une solution. Plus généralement,si u1(t)et u2(t)sont deux solutions,toute combinaison
linéaire avec des coefficients C1 et C2 arbitraires:

u(t) =C1u1(t) +C2 u2(t)

[1.11]

16 Vibrationset ondes

est aussi une solution de l’équation. Les conditions initiales deu(t) sont des
combinaisons linéaires des conditions initiales deu1(t) etu2(t) avec les mêmes
coefficientsC1etC2. C’est leprincipe de superpositiondes solutions.

2 22
L’équation [1.7] peut être écrite sous la formeD.u= 0 oùD=d/dt+Z. D’une
façon générale, unopérateur Dtransforme une fonctionuen une autre fonction
désignée parD.u. SiDvérifie la conditionD.(C1u1+C2u2) =C1D.u1+C2D.u2, il
est ditlinéaire. Siu1etu2sont deux solutions d’une équation différentielle, linéaire
et homogèneD.u0, toute combinaison linéaire =u=C1u1+C2u2 estaussi une
solution, quelles que soient les constantesC1 et C2. Siu1etu2sont deux solutions
indépendantes de l’équation différentielle de second ordreDu = 0,uest sa solution
générale car elle contient deux constantes arbitrairesC1 etC2. Une équation
différentielleD.u =f n’estpas homogène car elle contient un termefindépendant
deu.

La solution générale de l’équation différentielle [1.7] peut être écrite sous l’une
des formes suivantes :

u(t) =Acos(Zt+I)
=Acsin (Zt+Ic)
=A1cos(Zt) +A2sin(Zt).

[1.12]
[1.13]
[1.14]

Ces expressions équivalentes dépendent de deux paramètres qui peuvent être
déterminés en utilisant les conditions initiales. Les relations entre ces paramètres
sont :

Ac =AetIc=I+S/2
A1=AcosI=AsinIc etA2=AsinI=AcosIc.

[1.15]
[1.16]

Notons que, dans la forme [1.14],A1etA2sont positives, négatives ou nulles. Si les
amplitudesAetAc sont choisies positives, nous avons les relations :

A=

2 2
A+A, tanI=A2/A1 tanIc=A1/A2.
1 2

[1.17]

EXEMPLE1.1.– Ecrire l’expressionu= 3 cos(Zt) + 2 cos(Zt–S/3) sous la forme
u=Acos(Zt+I).

SOLUTION– En développant cos(Zt–S/3), nous trouvons :

S S
u= 3 cos(Zt) + 2 coscos(Zt) + 2 sinsin(Zt) = 4 cos(Zt) + 1,732 sin(Zt)
3 3

Nous pouvons aussi écrireu=Acos(Zt+I ) =AcosIcos(Zt)AsinI sin(Zt) si
AcosI4 et =AsinI =1,732. Elevant au carré et ajoutant ces deux équations,

Oscillations libres17

2 22
nous trouvonsA= 4+ 1,732 , d’oùA= 4,359, cosI= 0,9177 et sinI=0,3974.
Nous en déduisons queI=0,4086 radetx= 4,359 cos(Zt 0,4086).

1.3. Représentation complexe et représentation de Fresnel

Unevariable complexe (quenous désignons par un symbole souligné) s’écrit
sous la forme algébrique :

z=x+ iy,x=Re z ety=Im z,

[1.18]

2
où i{ 1. Lapartie réelle dez estxet sapartie imaginaireesty. Un nombre
complexez estreprésenté parfois par un point de coordonnéesx ety1.2a (figure
appeléediagramme d’Argand). Nous pouvons aussi utiliser la forme exponentielle :

iI
z=Ue oùU {| z | =module zetI=phase z.

[1.19]

1
U {| z | est lemoduledezetIest laphasedez:. En utilisant la relation d’Euler

iI
e= cosI+ i sinI



nous trouvons les relations entre les deux formes :








x=UcosI,y=UsinI;U=

O

x =Re z

U=_z_

I

(a)

z

y=Imz

[1.20]

2 2
xy,cosI=x/U, sinI =y/U [1.21]

y2

y1

x

U

U
I

x
1
(b)

U

I

x2

z=z1+z2

y
I

Figure 1.2.a) Nombre complexe z ; b) somme de deux grandeurs complexes z1et z2


iT2
1. Pour établir la relation d’Euler, on écrit la série de Taylor :e1 + (i =T)/1! + (iT) /2 ! +
3 42 34
(iT)/3 ! +(iT)/4 ! + … Notantq=ue i1, i=i, i=1 …, nouspouvons réécrire cette série
iT2 43
sous la forme :e=[1 T/2! +T/4! + …]+ i [T/1! T/3! +…]. Lepremier crochet est la
série de Taylor pour cosT et le second crochet est la série de sin T, d’où la relation d’Euler.

18 Vibrationset ondes

La somme de deux nombres complexes peut être facilement évaluée en utilisant
la forme algébrique (figure 1.2b) :

z1+z2= (x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+x2) + i(y1+y2).

[1.22]

Le produit et le quotient de deux nombres complexes peuvent être évalués facilement en
utilisant la forme exponentielle :

iIiIi(I I)
1 21 2
z1z2= (U1e) (U2e) =U1U1e
iIiIi(I I)
1 21 2
z1/z2= (U1e)/(U2e) = (U1/U1)e

[1.23]
[1.24]

Il est facile de vérifier que l’équation différentielle [1.7] admet lasolution
complexegénérale :

iZtiD
u(t) =C e avecC { C e

[1.25]


oùCestl’amplitude complexeetC= |C| est son module. Cette expression dépend
aussi de deux paramètres réelsCetD. En prenant la partie réelle, nous trouvons :

i(Zt D)
u(t) =Re u(t) =Re[C e] =Ccos(Zt+D).

Comparant avec la formeu=Acos(Zt+I), nous déduisons que :


A = | C| =module CetI=D=phase C.

[1.26]

[1.27]

Ainsi, l’amplitude et la phase de la grandeur réelleusont respectivement égales
au module et la phase de l’amplitude complexeC.









y
u
u
I½S A
ZA
I


ZA
O

I½S
u
A/Z
³ dt u

(a)

x

y


ZA
O
u(t)

u(t)
ZtI½S
ZA
u(t)
ZtI½S
A
A/Z
Zt I
u(t)x
³dt u(t)

(b)

Figure 1.3.Deux représentations semblables d’une oscillation harmonique, ses dérivées
et sa primitive : a) représentation par une fonction exponentielle complexe et
b) représentation par des vecteurs tournants (ou de Fresnel)

Oscillations libres19

La dérivée de la fonctionuet sa primitive sont données par les expressions :

i(Zt I Si/ 2)S/ 2iZt
u= iZ u(t) =ZA e=ZA ee
i(Zt I S/ 2)iS/ 2iZt
³ dt u(t) =u/iZ AZe= (A/Z)e e.

[1.28]
[1.29]

Pour dériver la fonction harmoniqueu, on la multiplie donc par iZ, ce qui revientà
multiplier son amplitude parZet augmenter sa phase deS/2 (figure 1.3a). La
primitive deuest obtenue en la divisant par iZ,ce qui revientà diviser son
amplitude parZet diminuer sa phase deS/2. Ces fonctions dépendent du temps
iZt
simplement par un facteure. La forme exponentielle est donc beaucoup plus
facile à manipuler que les fonctions trigonométriques. A cause de la linéarité des
équations, la partie réelle, qui représente effectivement la grandeur physique, est
évaluée à la fin du calcul. Ainsi, pour ajouter deux fonctions harmoniques, il
suffit d’ajouter algébriquement leurs amplitudes complexes. Il faut noter que la
représentation complexe n’est pas valable pour des grandeurs non linéaires, telles
que l’énergie. De telles grandeurs n’obéissent pas au principe de superposition;
elles doivent donc être évaluées directement en utilisant les grandeurs réelles.

Considérons le vecteuru(t) demoduleAet qui forme un angle (Zt+I) avec un

axeOx(figure 1.3b). Ce vecteur tourne autour deOà la vitesse angulaireZdans le
sens contraire à celui des aiguilles d’une montre en partant d’un angleIà l’instant
t =0. Lareprésentation de Fresnel (oupar desvecteurs tournants) consiste à
considérer la fonctionu=Acos(Zt+I) comme la projection deu(t) surOx.

La dérivée deu(t), donnée par [1.5], est représentée par le vecteur de longueur
ZAavance de phase de enS/2 suru(t) et sa dérivée seconde est représentée par le
2
vecteur de longueurZAavance de phase de enS suru(t). La primitive deu(t) est
JJJJG
représentée par le vecteur³dt u(t) de longueurA/Zet en retard de phase deS/2 sur
u(t). Si toutes les grandeurs à considérer ont la même pulsationZ, il suffit de les
représenter à l’instantt =0 ; leur représentation à l’instantt estobtenue par une
rotation de la figure d’un angleZt.

Deux fonctions harmoniques sont ditesisochrones sielles ont la même pulsation.
JJJJJGJJJJJG
Les vecteurs de Fresnelu(t) etu(t) quiles représentent tournent alors autour de
1 2
l’origine à la même vitesse angulaireZet forment entre eux un angle constantI I.
– u1 etu2 sonten phase(elles ont la même phase à l’origine siI I;
les vecteurs qui les représentent sont alors colinéaires et dans le même sens ;
– u1 etu2sont enopposition de phasesi leurs phases diffèrent deS; les vecteurs
qui les représentent sont alors orientés dans des directions opposées ;
– u1 etu2 sontenquadratureleurs phases diffèrent de siS/2 ouS/2 ;
les vecteurs qui les représentent sont alors orthogonaux.

20 Vibrationset ondes

EXEMPLE 1.2.a) –Utilisant la représentation complexe, évaluer la somme des
fonctions harmoniquesu1 =A cos(Zt) etu2=B sin(Zt).b) Retrouverle même
résultat en utilisant la représentation de Fresnel.

SOLUTION–
iZt
a)Les fonctionsu1etu2sont respectivement les parties réelles deu1=A eet
i(Zt S/2) iZtiZt
u2 =B e=iB e. Leur superposition estu=u1+u2= Ceoù
iI
l’amplitude complexe estC=A iBqu’on peut écrire aussiC eavec :

C=

2 2
AB, cosI=A/Cet sinI BC.

i(ZtI)
La fonction complexeus’écrit doncu=A eet, en prenant sa partie réelle,
nous trouvonsu=Ccos(Zt+I).
JJG
b)Les fonctionsu1 etu2 sont représentées par les vecteursu et
1
JJG
urespectivement de modulesA etBet qui forment les anglesZtet (Zt S/2)
2
JJGJJG
avec l’axeOx(figure 1.4a).u etusont donc orthogonaux. La superposition de
1 2
JJG JJG
u etureprésentée par le vecteur estu quiest l’hypoténuse du triangle
1 2
2 2
rectangle ainsi formé. Le théorème de Pythagore donne son moduleC =AB.
JJG
Le vecteuru forme avecu un angleItel que tanI=B/A. C’est « l’avance » de
1
phase deusuru1. Par exemple, siAetB sont positifs,Iest compris entreS/2 et
0 ;uest alors effectivement en retard suru1. Commeu1etu2ont la même pulsation,
nous pouvons faire la représentation de Fresnel à l’instantt= 0 (figure 1.4b).


S/2
B
u u
1
1u OA
2
I
A
I

B
Ztu
C
C
u
u
2
Ox

(a)(b)

Figure 1.4.Exemple 1.2

1.4. Masse soumise à une forceKx

Considérons un corps de massemassimilable à une particule libre de se déplacer
sur un axeOxsous l’effet d’une forceFreliée au déplacementxpar l’équation :

F=Kx

[1.30]

Oscillations libres21

oùKest uneconstante de forcepositive. La force étant nulle pourx= 0, ce point est
une position d’équilibre de la particule. D’autre part,F estuneforce de rappel car
elle est de signe opposé à celui dex; elle tend à ramener la particule au pointOsi
elle en est écartée. L’originex= 0 est donc uneposition d’équilibre stable. Un
ressort élastique, dont l’une des extrémités est fixée, réalise idéalement cette loi de
force. Si une massemest attachée à l’extrémité libre et déplacée dexà partir de sa
position d’équilibre, le ressort exerce sur elle une forceF=Kx(figure 1.5).

m

x
O
F=Kx

x = 0,F=0


x > 0,F<0


x < 0,F>0

Figure 1.5.Masse ponctuelle attirée par une force –Kx
et sa réalisation par un ressort de constante K

L’équation du mouvement de la masse estF=mx, soit en utilisant [1.30] :

x+ (K/m)x= 0.

[1.31]

Nous trouvons donc l’équation de l’oscillateur harmonique [1.7] avec une pulsation :

Z=

K/m.

[1.32]

La solution générale est de la forme [1.3] pour la position et [1.5] pour la vitesse. Pour
tenir compte des conditions initiales, nous notons que la position du corps et sa
vitesse ne peuvent pas subir de discontinuités car cela correspondrait à une force ou
une puissance d’excitation infinie.

L’énergie de l’oscillateur peut prendre deux formes : uneénergie cinétique E(C)et
uneénergie potentielle E(P).

L’énergie cinétique s’écrit :

2 22
E(C)= ½mx= ½KAsin (Zt+I).

[1.33]

L’énergie potentielleE(P)à la positionxest l’énergie de la particule si elle s’y trouve
sans vitesse. Pour calculerE(P), supposons que la particule est initialement au repos

22 Vibrationset ondes

enxoqu’on la déplace jusqu’à etxassez lentement pour que sa vitesse et, par suite,
son énergie cinétique restent négligeables au cours du mouvement. Lorsque la
particule se trouve à la position[, on doit exercer sur elle une forceF(ex) =K[,
exactement l’opposée de la force de rappel [1.30]. Un déplacementd[nécessite un
travaildE(ex) =F(ex)d[=K[d[Le travail fourni pour la déplacer dexo àxest donc :

x x2 2
dE=d[K[ = ½Kx ½Kxo.
³(ex)³
x x
o o

[1.34]

Ce résultat reste valable si la vitesse initiale et la vitesse finale sont nulles ou égales
quelles que soient les positions et les vitesses intermédiaires de la particule. Si la
particule est maintenue au pointx, ce travail reste emmagasiné par l’oscillateur
comme énergie potentielle. Nous notons que l’expression [1.34] représente la
variation'E(P)de l’énergie potentielle entre les positionsxoetx. L’énergie
potentielle est donc déterminée à une constante additive près. Nous fixons cette
constante en prenantE(P)= 0 à la position d’équilibrex= 0 et nous écrivons :

2 22
E(P)= ½Kx= ½KAcos (Zt+I).


ZA
x
x
A

O

A

ZA

T/2 T2T

(a)

t

O

E(C)E(P)

T/2

(b)

T

E
(T)

3T/2

t

xm

[1.35]

E
(T)

E(P) E(C)

O

(c)

x
m

Figure 1.6.a) Le déplacement x et la vitessex d’un oscillateur en fonction du temps.b) Les
énergies E(C),E(P) et E(T) en fonction du temps.E c)(C) et E(P) en fonction de x

L’énergie totalede l’oscillateur est :

2
E(T)=E(C)+E(P)= ½KA.

[1.36]

Elle est donc conservée au cours du temps. En effet, le système étant isolé, il
n’échange aucune énergie avec l’extérieur et aucune force ne dissipe son énergie
interne. Les variations de la positionx, de la vitessex et des énergiesE(C),E(P)et
E(T) en fonction du temps sont illustrées sur les figures 1.6a et 1.6b dans le cas
d’une particule écartée initialement au pointxoet lâchée sans vitesse initiale (donc
A=xoetI0). A l’instant =t= 0, l’énergie est purement potentielle et égale à
2
½KA. Lorsque la particule est lâchée, le déplacement et l’énergie potentielle
diminuent, tandis que la vitesse et l’énergie cinétique augmentent. A l’instantt = T/4,

Oscillations libres23

la particule est à la position d’équilibreO; son énergie potentielle est nulle. Elle a
été complètement transformée en énergie cinétique qui atteint alors sa valeur
2
maximale ½KA avecla masse se déplaçant à la vitesse maximaleZA. La particule
continue ensuite son mouvement vers lesxnégatifs ;alors, l’énergie potentielle
augmente et l’énergie cinétique diminue. Lorsqu’elle atteint le pointx =A, toute
l’énergie est redevenue potentielle. La vitesse est alors nulle et la particule rebrousse
chemin sous l’effet de la force de rappel. L’énergie de l’oscillateur se transforme
ainsi périodiquement d’une forme en l’autre sans modification de l’énergie totale.

2
La figure 1.6c illustre les variations deE(P)= ½KxetE(C)=E(T)E(P)en fonction
dex. La position d’équilibre stable (x= 0) est un minimum de l’énergie potentielle et
c’est une propriété générale des systèmes physiques. En effet, la force étant reliée à
l’énergie potentielle par l’équationF=dE(P)/dx, l’équilibre exige quedE(P)/dx= 0
enx= 0. Cela veut dire quex= 0 est un minimum ou un maximum deE(P).
L’équilibre est stable si, pourx> 0, par exemple, la force est négative, ce qui est le
cas si la positionx= 0 est un minimum deE(P). D’autre part, pour une valeur donnée
E(T)de l’énergie, les intersections de la droiteE(P)=E(T) avec la courbeE(P)(x)
déterminent les limitesr xmde la région accessible au déplacement. Ces positions
correspondent àE(C)= 0 donc à un arrêt momentané du corps et son rebroussement
chemin carE(C)ne peut pas être négative. Nous avons doncxm= 2E/K.
(T)

EXEMPLE1.3. – En utilisant la loi de conservation de l’énergie, établir l’équation
du mouvement d’une particule de massemattirée vers l’origineOavec une force
3
F=Kx. Quelle est la fréquence d’oscillation sim= 100 g etK= 4,0u?10 N/m
Quelle est l’élongation maximale si la masse est amenée au point d’abscisse
x= 5 cm et lancée à une vitesse de 10 m/s ?
2 2
SOLUTION –L’énergie totale de cet oscillateur estE(T)= ½m x+ ½Kx. Comme
E(T)est constante, en dérivant cette équation par rapport au temps, nous trouvons :

22
½m(2x x) + ½K(2xx) = 0x(x+Zxoù) = 0Z=K/m.

2
Cette équation est vérifiée six= 0 (ce qui correspond au repos) ou six +Zx = 0 qui
~
est l’équation des oscillations harmoniques. La fréquence estQ=K/m/2S= 32 Hz.
Si la particule est lancée du pointx(0) = 5 cm à une vitessex(0) = 10 m/s, son
2 2
énergie totale estE(T)= ½m x+ ½Kx= 10 J. Lorsqu’elle atteint son élongation
maximalexm, sa vitesse est nulle et son énergie est totalement potentielle. Nous avons
2
alors ½Kxm=E(T), d’oùxm =2E/K7,1 cm. =Ce résultat peut aussi être
(T)
obtenu en écrivant explicitement la solution qui correspond aux conditions initiales
(voir la section 1.2). L’équation [1.8] donne l’amplitude du mouvement
2 22
qui est égale à
A= (0)xZ= 7,1 cm
x(0) /xm.

24 Vibrationset ondes

1.5. Oscillations angulaires

Considérons un corps rigide libre de tourner autour d’un axeOz(figure 1.7a).
Repérons la position du corps par l’angleTd’un planPsolidaire du corps et passant
par l’axeOzavec le planOxzqui coïncide avec la positionPodu planPlorsque le
corps est en équilibre. L’équation du mouvement de rotation du corps autour deOz

estJT=*zoùJest le moment d’inertie du corps et*zest la composante du moment
des forces extérieures qui agissent sur le corps. L’angle orientéT est positif si la
rotation est dans la direction des doigts de la main droite, le pouce étant orienté dans
la direction positive deOz. Nous considérons le cas d’un corps soumis à un couple
ˆ ˆ
de rappel*z=KToùKest une constante positive.*ztend à ramener le corps à la

position d’équilibre stableT= 0. L’équation du mouvementJT=*zs’écrit alors :


2
T+Z T = 0oùZ=

ˆ
K/J.

[1.37]


La solution générale pourTet la vitesse angulaireTsont respectivement de la forme
2

[1.3] et [1.5]. L’énergie cinétique du corps en rotation estE(C)= ½J T. Une analyse
semblable à celle d’une masse attirée par une forceKx montreque l’énergie
potentielle, c’est-à-dire le travail fourni pour tourner le corps de la position
2
ˆ
d’équilibreT= 0 à la positionTestE(P)= ½KT. L’énergie totale de l’oscillateur est
donc :

ˆ ˆ
2 22 22 2
E(T)=E(C)+E(P)= ½JZAsin (Zt+I) + ½KA cos (Zt+I)= ½KA. [1.38]

Elle est conservée au cours du mouvement car le système est isolé.



O O
z
x
x

PoPyT T
L

Ly

G
O
m
M
ymg
z z
x Tmg

(a)(b) (c)

Figure 1.7.Oscillations angulaires : a) pendule de torsion ; b) pendule de gravité simple.
c) pendule de gravité réel;l’angleTest positif dans ces positions

Oscillations libres25

Un exemple simple d’un oscillateur angulaire est le pendule de torsion,
c’est-àdire un corps suspendu à l’extrémité d’une tige ou un fil de torsion (figure 1.7a). La
ˆ
tige exerce un couple de rappel*z =KT. La constante de rappel (ou detorsion)
ˆ
4
estK= µR/2LoùRest le rayon de la tige etLest sa longueur. µ est une constante
appeléemodule de glissementqui dépend du matériau (voir la section 5.2).

Le pendule de gravité est un autre exemple courant d’oscillateurs angulaires.
Considérons unpendule simple, c’est-à-dire une massemponctuelle presque
suspendue à l’extrémitéMd’un fil léger et inextensible de longueurL.mest libre
d’osciller dans le plan verticalOxz(figure 1.7b). La position de la masse est repérée par
l’angleT du fil avec la verticale descendanteOz. Test mesuré algébriquement selon la
règle de la main droite autour deOy. Soitex,eyetezles vecteurs unitaires des axes
de coordonnées. La force de rappel est la force de pesanteurf =mgez. Son moment
est*=OMu f=mgLsinT ey.*est de sens opposé àT; il est donc un moment de
2
rappel. Le moment d’inertie de la masse autour deOy estJ =mL. L’équation du
2

mouvementJT=*z s’écrit alorsmLT=mgLsinTou encore :


T+ (g/L) sinT = 0.[1.39]

Un pendule réel est un corps rigide oscillant autour d’un axe horizontalOy
(figure 1.7c). Désignons parGcentre de gravité, sonmmasse et saJ sonmoment
d’inertie autour deOyposons etOG =L. La pesanteur est équivalente à une force
uniquemgez appliquéeenG. Le moment de rappel est donc* =OGu mgez=

mgLsinT eyet l’équation du mouvement s’écritJT= mgLsinTou encore :


T+ (mgL/J) sinT = 0.

[1.40]

L’équation du pendule simple [1.39] ou réel [1.40] n’est pas linéaire. Elle ne se
réduit à une forme linéaire [1.7] que pour les faibles oscillations. En effet, siT est
3 5
faible, nous pouvons écrire sinT =T T/3! +T/5! ... Conservant seulement le
premier ordre de ce développement, l’équation du mouvement approchée s’écrit :

2

T+Z T = 0oùZ=

mgL/J

[1.41]

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsationZ=mgL/J etde
2
périodeT= 2SJ/mgL. Dans le cas d’un pendule simple,J=mL, alors :

Z=

g/L,T= 2S

L/g.

[1.42]

26 Vibrationset ondes

La période des faibles oscillations ne dépend pas de l’amplitude ni de la massemdu
pendule simple ou la densité d’un pendule réel s’il est homogène. Cela est dû au fait
que la force de pesanteur est proportionnelle à la masse.

1.6. Oscillations amorties

Un oscillateur réel est toujours soumis à desforces dissipativesde l’énergie,
telles que les forces de frottement entre solides ou de viscosité dans les fluides.
L’énergie étant proportionnelle au carré de l’amplitude, celle-ci diminue
graduellement jusqu’à l’arrêt de l’oscillateur; nous disons que l’oscillateur
estamorti.

Considérons, par exemple, un corps qui oscille sur l’axe desx. La force de
frottement est une fonction de la vitessexqui s’annule à la limitexo0. La forme
la plus simple de cette force estF(fr) =bx oùbest laconstante de frottement
positive.Le signe () indique queF(fr)est dans le sens opposé à la vitesse. Ce type
de frottement est ditvisqueux. L’équation du mouvementmx=6Fprend alors la
forme :

2
x+ 2Ex + Zox= 0

[1.43]

où E { b/2mest lecoefficient d’amortissementetZo=K/mest lapulsation propre
(c’est-à-dire la pulsation des oscillations en absence du frottement). Pour résoudre
Kt
l’équation [1.43], nous pouvons chercher les solutions de la formex=C eoùKest
une constante à déterminer. En substituant cette expression àxdans l’équation [1.43],
nous trouvons queKdoit être une racine del’équation caractéristique:

2 2
K 2EK+Zo= 0.

La forme de la solution dépend de la nature des racines de cette équation.

1.6.1.Cas de grand amortissement

Ce cas correspond à un frottement important (E>Zo). Posons :

V=

2 2
E Z.
o

[1.44]

[1.45]

Les racines de l’équation caractéristique sont alors réelles et positivesK1=E Vet
Kt
K2=E V. Dans ce cas, nous trouvons deux solutions particulièresxi=Ciequi
i
décroissent exponentiellement dans le temps. La solution générale s’écrit alors :

(E V)t(E V)t
KtKt
x(t) =C1e+C2e=C1e+C2e
1 2
(E V)t(E V)t
x(t) =C1(V E)e C2(V+E)e.

Oscillations libres27

[1.46]
[1.47]

Les conditions initiales déterminent les constantes d’intégrationC1 etC2. Elles
s’écriventx(0) =C1+C2etx(0) =C1(V E) C2(V+E), ce qui donne :

C1= (1/2V) [(V+E)x(0) +x(0)],C2= (1/2V) [(V E)x(0)x(0)].

[1.48]

En particulier, si le corps est écarté jusqu’à une positionxo etlâché sans vitesse
initiale à l’instantt= 0, la solution s’écrit :

(E V)t(E V)t
x= (xo/2V) [(V+E)e+ (V E)e],
2(E V)t(E V)t
x= (Zoxo/2V) [ee].

[1.49]

Le mouvement est représenté sur la figure 1.8a par la courbe (1) pourZo= 10 rad/s
11
etEs etla courbe (2) pour =15Zo= 10 rad/s etEs .La solution est la =13
somme de deux fonctions décroissantes exponentiellement en fonction du temps
(car les coefficients detdans les exponentielles sont négatifs). L’oscillateur revient
donc à l’équilibre sans osciller. CommeE V E Vle premier terme diminue
plus lentement que le second ; il domine donc le mouvement à long terme. On dit
que le mouvement est amorti avec uneconstante d’atténuationG=E V


x x
1
((1)Z= 10 rad/s etE= 15sx(t)
x
o
o x
oEt
1x e
o
(2)Z= 10 rad/s etE=13 s
o

(3) Amortissement critique


0,5t


Et
–x e
o
O0,6 0,80,2 0,4t
~
T


(a)
(b)
–1

Figure 1.8. a) mouvement très amorti pourZo= 10 rad/s(courbe1pourE= 15 s
1 –1
et courbe2pourE= 13 s) et mouvement critique (courbe3pourE= 10 s).
–1 –1
b) mouvement oscillatoire peu amorti pourZo= 10 setE= 2 s

1.6.2.Cas d’un amortissement critique

Dans le cas particulierE=Zo, l’équation caractéristique admet la racine double
Et
K1=K2=EL’équation du mouvement admet alors la solutionx=F e. Comme
elle ne contient qu’une seule constante d’intégration, elle n’est pas la solution
Et
générale. Pour trouver celle-ci, écrivonsx =F(t)eet substituons-la dans

28 Vibrationset ondes

l’équation [1.43] avecE Zo. Nous trouvons que l’équation est identiquement

vérifiée siF(t) est une solution de l’équation différentielleF= 0 dont la solution
générale estF=A+Bt. La solution générale de l’équation du mouvement est donc :

EtEt
x= (A+Bt)e etx = [B E A EBt]e

[1.50]

Si le corps est initialement écarté jusqu’àxoet lâché sans vitesse, la solution est:


EtEt
x=xo(1 +Et) e,x=xoEt e.

[1.51]

Ce mouvement est représenté par la courbe (3) de la figure 1.8a. Le corps revient à
sa position d’équilibre avec uneconstante d’atténuation G=Esans osciller.

1.6.3.Cas de faible amortissement

Ce cas correspond àE<Zo. Posons :

ˆ
Z=

2 2
Z E.
o

[1.52]

ˆ
L’équation caractéristique admet alors les deux racines complexesK1=E iZet
ˆ
K2=E iZ. La solution générale s’écrit donc :

ˆZtˆZt
K
1tK2tEt
x=C1e+C2e=e[C1e+C2e].

Nous pouvons aussi écrire la solution sous l’une des formes suivantes :

ˆ ˆ
EtEt
x=A ecos(Zt+I){ A esin(Zt+Ic)
ˆZt
ˆ ˆ
EtEt
{ e[A1cosZt+A2sinZt]{eRe[A e],

[1.53]

[1.54]

A1etA2sont reliées àC1etC2par les équationsA1=C1+C2etA2= i(C1C2) et les
constantesA,I,Ic,A1,A2sont reliées par les équations [1.15] à [1.17].

Nous pouvons écrire la solutionxet la vitesse correspondante sous la forme :

Et
ˆ
x=A ecos(Zt+I)
ˆ ˆˆ
Et
x =A e[Ecos(Zt+I) +Zsin(Zt+I)]
ˆ ˆ
Et
=AZoecos(Zt+I S Dtan) oùD=Z/E(0 <D<S/2)

[1.55]

[1.56]

Si, par exemple, le système est écarté jusqu’àxolâché sans vitesse initiale, les et
ˆ
conditions initiales s’écriventxo =AcosI0 et =A(E cosI +ZsinIen Nous

Oscillations libres29

ˆ ˆ
déduisons queA=xoZo/Z, cos I=Z/ZoetsinI EZRLa solution s’écrit donc :

ˆ ˆ
Et
x(t) = (xoZo/Z) ecos(Zt+I).

[1.57]

ˆ
Et
La solutionx=A ecos(Zt+I) est représentée sur la figure 1.8b. Elle ressemble à
Et
un mouvement harmonique, sauf que son amplitudeA edécroît exponentiellement
dans le temps. Dans ce cas, le mouvement est oscillatoire amorti avec uneconstante
d’atténuationE. Il n’est pas strictement périodique carxetxne reprennent pas les
mêmes valeurs après une période. Cependant, le système passe périodiquement par
sa position d’équilibre ; nous disons que le mouvement estpseudo-périodique de
ˆ
pseudo-pulsation Z. La positionxest maximale ou minimale aux instantst tels
ˆ ˆ
quex= 0, c’est-à-dire tan(Zt+I) =E Z, soit aux instantstn telsqueZtn+I =
ˆ
Arctan(E Z) +nS oùn estun nombre entier. Cette relation montrexatteint les
ˆ
ˆ
maxima périodiquement avec une pseudo-périodeT= 2S/Z. Les valeurs des maxima
EtEt
ˆ ˆ
n n
sontxn =A ecos(Ztn +I) =r(AZ/Zo)e. Aprèsune oscillation complète,
ˆ ˆ
ETE(tt)ET
n n2
l’amplitude est réduite par un facteure, c’est-à-direxn+2/xn =e=e.
ˆ ˆ
Nous pouvons aussi écrireET= ln(xn/xn+2). La quantitéETest appeléedécrément
logarithmiquede l’oscillateur.

ˆ
GT
Dans tous les cas, le mouvement oscillatoire s’atténue commee oùla
2 2
constante d’atténuationGégale à est E E Z dansle cas d’un grand
o
amortissement et àEles cas d’un faible amortissement ou un amortissement dans
critique. Les oscillations s’atténuent le plus rapidementG maximal)si
l’amortissement est critique (E =Zo). C’est souhaitable pour certains systèmes, tels
que les voitures ou un instrument de mesure pour permettre de relever rapidement
les valeurs mesurées.

L’inverse de la constante d’atténuationW1/ =G estle temps de relaxation. Pour
t/W345
t =5W, 8W10 etW, le facteurevaut 6,7u, 3 10u 10et 4,5u 10

respectivement. Après un intervalle de temps égal à environ 10W, l’amplitude du
mouvement oscillatoire devient donc si faible que nous pouvons considérer
l’oscillateur comme revenu à l’équilibre. Le temps de relaxation est, en quelque
sorte, une mesure du temps de retour de l’oscillateur au repos. On définit lefacteur
de qualité:

fq=SW/To=Zo/2E

[1.58]

C’est approximativement le nombre d’oscillations que le système effectue avant
d’atteindre le régime permanent ou l’équilibre. Le facteur de qualité est inférieur à
0,5 si l’oscillateur est très amorti, égal à 0,5 dans le cas d’un oscillateur critique et
supérieur à 0,5 dans le cas d’un oscillateur peu amorti. Comme ordre de grandeur, le

30 Vibrationset ondes

3 4
facteur de qualité est 250 à 1500 pour les tremblements de Terre, 10 pourles10 à
8
instruments de musique et 10 pourles atomes excités.

1.7. Dissipation de l’énergie d’un oscillateur amorti

Nous étudions le cas d’un corps ponctuel en mouvement sur un axe rectiligne de
la section précédente ; cette analyse est valable dans le cas de n’importe quel
système oscillant, qu’il soit mécanique ou électromagnétique. Dans le cas d’un
faible amortissement, la solution générale de cette équation est de la forme [1.55]
pourxet [1.56] pourx. L’énergie totale de l’oscillateur s’écrit :

2Et~ ~~ ~
2 22
E(T) =E(C)+E(P)= ½mA e[Z+ 2Ecos (Zt+I) +E Zsin 2(Zt+I)] [1.59]

La variation deE(T)pendant l’intervalle de tempsdtest :
2Et~ ~~
2 2
dE(T) =2EmA e[Zsin(Zt + I) + Ecos(Zt +I)] dt.

[1.60]

Elle est toujours négative, ce qui veut dire que l’énergie totale diminue.
L’énergie dissipée par la force de frottementF(fr)=bxpendantdts’écrit :

2 2
dE(fr)=F(fr)dx=F(fr)xdt=bxdt= 2mExdt.

[1.61]

En utilisant l’expression [1.56] dex, nous vérifions quedE(fr) = dE(T). La
diminution de l’énergie totale est donc égale à la dissipation d’énergie par le
frottement.

E(T)(0)
<E(T)(t) >

E(T)(t)
~

T

O t

Figure 1.9. Variation de l’énergie d’un oscillateur peu amorti (courbe en trait plein)
et de son énergie moyenne (courbe en pointillé) en fonction du temps

2Et
Tout en décroissant en fonction du temps à cause de l’exponentiellee,
l’énergie totale [1.59] oscille légèrement (voir la figure 1.9). Pour voir comment
l’énergie diminue en éliminant ces faibles oscillations, calculons sa valeur moyenne
~ ~
pendant une oscillation complète entret½Tett+ ½T:

1
<E(T)(t) > =
~
T

~
tT/ 2
~dt'E(T)(tc).
³
tT/ 2

[1.62]

Oscillations libres31

2Et
Pour simplifier, supposons que le facteurevarie très peu pendant une période
d’oscillation ; c’est effectivement le cas si le temps de relaxationWtrès long, est
~
comparé à la pseudo-périodeT. Nous pouvons alors écrire :

2~
mAt T2/ 22

2Et~ ~~ ~
<E(T)(t) > =e~dt'[Z+ 2Ecos (Ztc+I) +E Zsin 2(Ztc+I)].
³

tT/ 2
2T
22t/W
2Et
<E(T)(t) > = ½KA e=E(T)(0)e. [1.63]

oùE(T)(0) est l’énergie initiale etW= 1/Eest le temps de relaxation. Ainsi, l’énergie
moyenne décroît exponentiellement en fonction du temps (figure 1.9).

EXEMPLE1.4. –Montrer que les valeurs moyennes de sin(nZt) et cos(nZt) sur
2 2
une période sont nulles, tandis que celle des cos (nZt) et sin (nZt) sont égales à ½.

SOLUTION– La valeur moyenne de sin(nZt) sur une période est :

tT/2
< sin(nZt) > = (1/T)dt'sin(nZtc)
³tT/2

=(1/nTZ) [cos(nZtnZT/2)cos(nZtnZT/2)]

=(1/2nS) [cos(nZtnS)cos(nZtnS)] = 0.

Une analyse semblable montre que < cos(nZt) > = 0. L’interprétation de ce résultat
est simple: les fonctions sin(nZt) et cos(nZt) prennent des valeurs opposées
pendant chaque périodeT; leur moyenne sur une période est donc nulle. Quant aux
carrés de ces fonctions, ils ne peuvent pas être nuls car ils sont toujours positifs.
2 2
Nous avons en effet sinnZt= ½½ cos(2nZt) et cosnZt= ½½ cos(2nZt). La
2
moyenne de cos(2nZt) étant nulle, nous trouvons que les moyennes de sinnZtet
2
cosnZtsont égales au terme constant ½.

1.8. Circuits électromagnétiques oscillants

Considérons un circuit formé d’un condensateur de capacitéC, une
selfinductanceLune résistance etRmontés en série. L’équilibre correspond au
condensateur non chargé, l’intensité de courantInulle et la différence de potentiel
nulle partout. On débranche le condensateur et on lui donne une chargeQo (àl’aide
d’une f.é.m. continue auxiliaire) (figure 1.10a) puis on débranche la f.é.m. et on
connecte le condensateur àLetRà l’instantt= 0 (figure 1.10b). En désignant parQla
charge etIl’intensité de courant orientée comme sur la figure, nous avons la

relationI=Q. Les tensions aux bornes du condensateur, de la self-inductance et de

la résistance sont respectivementVN–VM=Q/C,VM–VP=LIetVP–VN=RI.

32 Vibrationset ondes


Ajoutant membre à membre, nous obtenons l’équationQ/C+LI +RI= 0,
c’est-àdire :


2
Q+ 2EQ+ZoQoù= 0Zo= 1/

LC etE=R/2L.

[1.64]

C’est l’équation d’un oscillateur amorti avec une pulsation propreZoun et
coefficient d’amortissementE.

L’analyse de la section 1.6 peut être répétée ici. La solution est non oscillatoire si
E ! Zo(c’est-à-direR> 2L/C), critique siE Zo(c’est-à-direR= 2L/C) et
oscillatoire siE Zo(c’est-à-direR< 2L/C). Dans le cas de faible résistance, la
2 22
~2
pseudo-pulsation estZ =Z E= 1/LCR/4Let la solution est de la forme
o
[1.55] pour la charge et [1.56] pour l’intensité. L’énergie électrique emmagasinée
2
dans le condensateur estU(E)=Q/2Cet l’énergie magnétique emmagasinée dans la
2
self-inductance estU(M) =½LI. L’énergie totale emmagasinée dans le circuit est
donc :








2 22
2Et~ ~~ ~
U(EM)=U(E)+E(M)= ½LA e[Z+ 2Ecos (Zt+I) + EZsin 2(Zt+I)].

M

+Q

L

E

C

(a)

Q

R

N

M

I(t)

L

+Q

P

C

(b)

Q

R

[1.65]

N

Figure 1.10. a) Chargement initial d’un condensateur et b)circuit oscillant LCR

Les constantesA etIêtre déterminées en imposant les conditions peuvent
initiales. Nous notons que l’énergie du circuit ne peut pas subir de discontinuités ;Qet
Isont donc continues. Par exemple, si à l’instantt =0, le condensateur porte une
chargeQoet on ferme le circuit, nous devons avoirAcosI QoetAZosinI = 0.
~ ~
Nous en déduisons queA=QoZo/Zet tanI= E Z(avecS/2 I . L’énergie
2
totale emmagasinée diminue à partir de sa valeur initialeQo/2Cà cause de l’effet
2
Joule. Le facteur de qualité du circuit est=Z
fqo/2E=L/CR.

Oscillations libres33

EXEMPLE1.5.– On charge un condensateur de 1,0 µF sous une tension de 20 V
et on le branche sur une self-inductance de 0,20 H et une résistance
R100 =:placées en série.a)Déterminer le coefficient d’amortissement, la
pseudo-fréquence, le temps de relaxation et le facteur de qualité. b) Ecrireles
expressions de la charge et de l’intensité de courant. Au bout de combien de temps
l’amplitude de l’intensité est-elle réduite au centième de sa valeur initiale. Au bout
de combien de temps l’énergie moyenne est-elle dissipée à 99 % ?
SOLUTION–
a)La pulsationZode ce circuit estZo =1/LC= 2200 rad/s. Le coefficient
d’amortissement, la pseudo-fréquence d’oscillation, le temps de relaxation et le
facteur de qualité de ce circuit sont respectivement :

~2 2~
1
E=R/2L= 250 s,Z=EZ = 2 222 rad/s Q= 354 Hz
o
3
W= 1/E= 4,00u10 setfq=SW/To= ½WZo= 4,45

b)La charge et l’intensité de courant sont :
Et~Et~
Q=A ecos(Zt+I) etI=A e[Ecos(Zt+I)Z sin(Zt+I)].

Les conditions initialesQ=Qo=CV= 20 µC etI= 0 sont vérifiées siAcosI=Qo
~
etA(E cosI Z sinI) = 0. En prenant l’amplitudeApositive, la première
équation donne cosI> 0 doncS/2 I S/2 et la deuxième équation donne tanI =
~
E Z = 0,1125 d’oùI =0,112 rad etA= 20,1 µC. L’intensité s’écrit aussi :

Et
I=A e

~ ~ ~Et~
2 2
Z E[sinIcos(Zt +I) cos I sin(Zt + I)] =AZoesin(Zt)

Et
L’amplitude de l’intensitéAZoeest réduite au centième de sa valeur initiale au
22
EtEt
bout du tempsttel queAZoe10 = AZo, d’oùeet= 10t= 18,4 ms.
2Et
L’énergie moyenne diminue selon la loi <UEM> =UEM(0)e. Elle est dissipée à
2
99 % dans la résistance lorsque <UEM> = 10UEM(0), c’est-à-dire :

2Et2
e= 10 Et= ln10 t= 9,21 ms.

1.9. Oscillations au voisinage d’une position d’équilibre stable

Un système physique està un degré de libertési son état est déterminé par une
seule variable ou coordonnée généralisée q. Une position d’équilibre stableqe
correspond à un état d’énergie potentielle minimale. Si le système est légèrement
écarté de cette position, uneforce de rappell’y ramène. Il a alors un comportement
oscillatoire et il peut être parfois modélisé comme unoscillateur harmoniquepour les

34 Vibrationset ondes

faibles variations deu{ q qe. L’énergie totale du système est une certaine fonction
E(T)(u,u) de la coordonnée généraliséeuet de la vitesse généraliséeu=qque nous
supposons continue. Nous supposons que la vitesse généralisée est suffisamment faible
2
pour pouvoir développerE(T)en puissances deu, limitées au termeu:

2
E(T)=)(u)+\(u)u+½ µ(u)u

où les coefficients),\et µ sont des fonctions deutelles que :

[1.66]

2 2
)(u) =E(T)(u,u) ,\(u) =wE(T)/wu, µ(u) =wE(T)/wu [1.67]
u 0u 0u 0

Lorsque la vitesseu estnulle, l’énergie du système est purement potentielle,
c’est-à-direE(P)=)(u). Dans le cas d’un faible déplacementu, nous pouvons faire un
développement de)(u) en puissances deu limitéau second ordre, obtenant
2
ainsi)(u) =)o +)cou+ ½Ku où)o,)coetKsont respectivement les valeurs de
2
)(u),d)duetd)dupouru= 0. La valeuru = 0 est une position d’équilibre stable
si elle correspond à un minimum de l’énergie potentielle)(u). En effet, le système
ne peut pas s’éloigner de cette position sans une force extérieure car cela
correspondrait à une augmentation de l’énergie cinétique donc à une diminution de
l’énergie potentielle à cause de la conservation de l’énergie et cela est impossible.
Nous devons donc avoir)co= 0 etK0. D’autre part, l’énergie potentielle est >
déterminée à une constante additive près. Nous prenons)o = 0, c’est-à-dire
l’énergie potentielle nulle à la position d’équilibre. L’ensemble des deuxième et
troisième termes de [1.66] peut être considéré comme l’énergie cinétique.
Cependant, celle-ci est positive, quelle que soitucar la vitesse ne fait qu’augmenter
l’énergie du système. Cela n’est possible que si\(u) = 0 et µ(u) > 0. Nous pouvons
2
donc écrireE(C)½ µ( =u)u. Dans le cas de faibles déplacements, µ peut être prise
constante. Nous pouvons donc écrire, pour les faibles mouvements au voisinage de
l’équilibre :

22 te
E(T)=E(C)+E(P)= ½µu+ ½Ku=C.

En dérivant cette équation par rapport au temps, nous obtenons :

u(µu+Ku) = 0.

[1.68]

[1.69]

Cette équation peut être vérifiée siu= 0, c’est-à-dire si le système est au repos au
point d’équilibre stable ou bien si son mouvement obéit à l’équation :

µu+Ku= 0,

[1.70]

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