Propagation d'ondes accoustiques et élastiques

Jean Brac

Description

Cet ouvrage propose une méthode de construction de schémas numériques de grande précision sur la base d'une analyse spectrale de l'erreur. Ces schémas sont appliqués à la propagation des ondes mais ils peuvent l'être à la résolution par différences finies de tout autre système d'équations aux dérivées partielles. Plusieurs formulations du problème continu sont exposées mais on retient la formulation en vitesses de déplacement et en contraintes. D'autre part, une analyse des caractéristiques des équations de la propagation conduit à faire une comparaison avec les caractéristiques des équations de la mécanique des fluides et d'indiquer les conditions de la filiation. La discrétisation des équations est basée sur les schémas en grilles décalées. On effectue des développements de Taylor à des ordres élevés et une analyse de l'erreur de discrétisation par transformée de Fourier. Puis, on introduit la notion d'approximation optimale en contraste avec les approximations basées sur l'erreur de troncature. Les schémas construits restent de type convolutif. Le calcul s'avère très efficace sur la base de l'erreur relative de discrétisation. L'algorithme de calcul des coefficients d'approximation optimale est fourni en Fortran dans une annexe. L'élévation de l'ordre en temps consiste à reporter le calcul des dérivées d'ordre élevé en temps sur des dérivées d'ordre élevé en espace. Enfin, l'analyse des conditions de stabilité et de dispersion est réalisée pour prendre en compte l'approximation optimale des dérivées pour des ordres élevés en espace et en temps.
Brève histoire des ondes. Équations des ondes élastodynamiques en continu. Discrétisation des équations élastodynamiques. Approximations optimales des opérateurs de dérivation. Schémas d'ordre élevé en temps. Stabilité et dispersion. Annexes.

Sujets

• Physique
• Acoustique
• Mécanique
• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 88
• EAN13: 9782746217249
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 6 Mo

Extrait

Propagation d’ondes acoustiques et élastiquesJe dédie ce livre
à mon épouse Laurence et à mes joyeux enfants : Amélie, Damien, Marie,
Clémence, Bérengère et Constance.
La rédaction de ce livre a été l’occasion de multiples discussions avec Florence
Delprat-Jannaud, Isabelle Faille, Laurence Nicolétis, Stéphanie Patault, Pierre
Duclos, Charles Naville et Quang Huy Tran. Je les remercie pour leurs conseils,
leur soutien et leur relecture.
Roland Glowinski est à l’initiative de ce livre et il a ravivé la flamme quand elle
vacillait.
Le livre a fortifié nos amitiés.
© LAVOISIER, 2003
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
ISBN 2-7462-0623-4
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.Propagation
d’ondes
acoustiques
et élastiques
Jean BracEXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL
Analyse spectrale, Francis CASTANIÉ (dir.), 2003.
Théorie du bruit et applications en physique, Philippe RÉFRÉGIER, 2002.
Décision et reconnaissance des formes en signal, Régis LENGELLÉ (dir.), 2002.
Lois d’échelle, fractales et ondelettes – 2 volumes, Patrice ABRY, Paulo GONÇALVÈS,
Jacques LÉVY VÉHEL (dir.), 2002.
Vibrations des milieux continus, Jean-Louis GUYADER, 2002.
Analyse de signaux bidimensionnels, René GARELLO (dir.), 2001.
Acoustique industrielle et aéroacoustique, Serge LÉWY, 2001.
Signaux et images sous Matlab, Gérard BLANCHET, Maurice CHARBIT, 2001.
Approche bayésienne pour les problèmes inverses, Jérôme IDIER (dir.), 2001.
Petite histoire de l'acoustique, Pierre LIÉNARD, 2001.
Processus aléatoires pour communications numériques, Bernard LACAZE, 2000.
Manuel d'acoustique fondamentale, Michel BRUNEAU, 1998.
Les méthodes à haute résolution – traitement d'antenne et analyse spectrale,
Sylvie MARCOS (dir.), 1998.
Table des matières
Chapitre 1. Brève histoire des ondes ... ... ... ... ... ... ... .. 9
1.1. Généralités et antiquités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Premiersinstruments ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 14
1.3. Renaissance... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 17
1.4. L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
e1.5. Le XIX siècle . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 33
1.6. Modernité. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 36
1.7. La dualité onde particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8. Lasciences’inspiredelanature .. ... ... ... ... ... ... .. 49
1.9. Denosjours . . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 53
Chapitre 2. Equations des ondes élastodynamiques en continu .. ... .. 57
2.1. Equations élastodynamiques en continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.1. Formulation (1) en déplacementu et contraintes . ... ... .. 67
2.1.2. Fo (2) enuuniquement... ... ... .. 69
2.1.3. Avantages et inconvénients des deux formulations . . . . . . . . . 69
2.1.4. Formulation2Davecabsorption . . ... ... ... ... ... .. 71
2.1.5. Formulation du problème 2D de propagation élastique . . . . . . 71
2.2. Classification des équations des ondes et comparaison avec les équa
tionsd’Euler... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 72
2.2.1. Rappel concernant la classification des équations aux dérivées
partielles. . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 73
2.2.2. Etude du genre d’un système d’équations aux dérivées partielles . 74
2.2.3. Equation des ondes acoustiques à une dimension d’espace . . . . 78
2.2.3.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.3.2. Discussion du genre de la forme générale et conséquences . 79
2.2.3.3. Influence des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.4. Equation des ondes acoustiques à deux dimensions d’espace . . . 82
2.2.4.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
56 Propagations d’ondes acoustique et élastique
2.2.4.2. Discussiondugenre ... ... ... ... ... ... ... .. 83
2.2.4.3. Interprétation dans le diagramme espace temps . . . . . . . 85
2.2.5. Ecoulement d’un gaz compressible à une dimension d’espace . . 85
2.2.5.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.5.2. Discussiondugenre ... ... ... ... ... ... ... .. 87
2.2.5.3. Comparaison de la propagation et de la diffusion . . . . . . 88
2.2.5.4. Passage des équations d’Euler à l’équation de propagation
des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2.6. Ecoulement d’un fluide compressible à deux dimensions d’espace 91
2.2.7. Ecoul d’un fluide insible à deux dimensions d’espace 93
2.2.7.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.7.2. Analysedugenredusystème. ... ... ... ... ... .. 93
2.2.8. Equations des ondes élastiques à deux dimensions d’espace . . . 94
Chapitre 3. Discrétisation des équations élastodynamiques . ... ... .. 97
3.1. Rappeld’analysenumérique . ... ... ... ... ... ... ... .. 98
3.2. Grilles décalées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Schéma explicite d’intégration en temps des équations [2.28] . . . . . 103
3.4. Discrétisation des équations à l’ordre 2 en temps et 4 en espace . . . . 106
3.5. Discrétisation des équations à l 2 en temps et 8 en espace . . . . 111
3.6. Généralisation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7. Avantages et inconvénients de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre 4. Approximations optimales des opérateurs de dérivation .. .. 119
4.1. RappelssurlatransforméedeFourier . . ... ... ... ... ... .. 120
4.2. Analyse spectrale de l’approximation de l’opérateur de dérivation par
développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1. Analyse spectrale de l’approximation discrète de la dérivée pre
mière. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 123
4.2.2. Analyse spectrale de l’approximation discrète de la dérivée
deuxième . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 128
4.3. Approximation optimale des opérateurs de dérivation . . . . . . . . . . 131
4.3.1. Approximation optimale de la dérivée première . . . . . . . . . . 132
4.3.2.mation optimale de la dérivée deuxième . . . . . . . . . . 134
4.4. Amélioration de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.1. Calcul de l’opérateur optimal en erreur relative pour la dérivée
première .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 137
4.4.2. Calcul de l’opérateur optimal en erreur relative pour la dérivée
deuxième . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 140
4.5. Comparaisondesrésultats. . . ... ... ... ... ... ... ... .. 145
4.5.1. Comparaisondeserreurs ... ... ... ... ... ... ... .. 145
4.5.2. Comparaisondesmolécules . ... ... ... ... ... ... .. 147
4.5.3. Vérification à l’aide des dérivées statiques de la fonction Ricker . 151
Table des matières 7
4.5.4. Propagation d’un Ricker en milieu homogène . . . . . . . . . . . 155
4.5.4.1. Propagation 3D en milieu acoustique . . . . . . . . . . . . . 155
4.5.4.2. Propagation en milieu acoustique et élastique 2D . . . . . . 158
4.5.4.3. Commentaires sur le front réfléchi P sur l’interface . . . . . 163
Chapitre 5. Schémas d’ordre élevé en temps . ... ... ... ... ... .. 169
5.1. Elévation de l’ordre en temps dans le cas de la propagation acoustique 170
5.1.1. Ordre 4entemps... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 171
5.1.2. Ordre 6entemps... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 172
5.1.3. Méthode économique d’élévation de l’ordre en temps . . . . . . . 173
5.2. Ordre 4 en temps pour le cas élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.1. Schéma de discrétisation deu à l’ordre 4entemps ... ... .. 177
5.2.2. Schéma de discrétisation pour à l’ordre 4entemps . . ... .. 178
5.2.3. Encombrement mémoire et coût des schémas d’ordre 2 et 4 en
temps ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 180
5.2.4. Ordre supérieur à 4entemps . ... ... ... ... ... ... .. 181
5.2.5. Autresschémas ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 184
5.2.6. Résultats de modélisation d’ordre élevé en temps . . . . . . . . . 185
Chapitre 6. Stabilité et dispersion .. ... ... ... ... ... ... ... .. 189
6.1. Condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.1. Résolution de l’équation de stabilité avec des paramètres discrets 193
6.1.2. Etude de l’équation de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2. Dispersion ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 198
6.2.1. Erreursurlavitessedephase . ... ... ... ... ... ... .. 199
6.2.2. Erreur sur la vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2.3. Courbesdedispersion . . ... ... ... ... ... ... ... .. 201
Annexes ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 209
A. Approximateurs au sens de Taylor de dérivées à l’ordre 2N... ... .. 209
A.1. Discrétisationdulaplacien ... ... ... ... ... ... ... .. 209
A.1.1. Développements limités préliminaires pour l’approximation
deladérivéedeuxième . . ... ... ... ... ... ... .. 210
A.1.2. Calcul des coefficients d’approximateurs de la dérivée
deuxième.. ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 211
A.1.3. Constitution du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.1.4. Dérivées paires 2k ièmes à l’ordre2(N− k+1).. ... .. 213
A.2. Dérivées d’ordre quelconque sur des grilles symétriques . . . . . . 213
A.2.1. Dérivéesimpaires.. ... ... ... ... ... ... ... .. 214
A.2.2. Dérivéespaires . . .