Fiabilité des ouvrages (traité MIM)

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Comment identifier les dysfonctionnements les plus probables et les scénarios de défaillance critiques ? Comment décrire et exploiter des données relatives à des matériaux hétérogènes, variables dans l'espace ou le temps ? Comment quantifier la fiabilité ou la durée de vie d'un système ? Comment exploiter l'information acquise dans le temps pour actualiser les calculs fiabilistes ? Comment optimiser une politique d'inspection et de maintenance ?
Ce traité sur la fiabilité des ouvrages apporte des éléments de réponse. Les auteurs, issus d'entreprises ou d'établissements publics de recherche, exposent des méthodes éprouvées ou plus récentes et les appliquent à divers domaines (construction, nucléaire, pétrolier). Ces méthodes sont applicables à tout système complexe en contexte incertain.
L'ouvrage s'adresse ainsi aux communautés du génie civil, de la mécanique ainsi qu'à tous les utilisateurs de la théorie de la fiabilité, dans le secteur industriel ou académique. Étudiants (Masters ou écoles d'ingénieur), doctorants, ingénieurs, chercheurs y trouveront bases de réflexion et outils.
Avant-propos -J. BAROTH, F. SCHOEFS, D. BREYSSE. Introduction -J. BAROTH, A. CHATEAUNEUF, F. SCHOEFS. Méthodes qualitatives d'évaluation de la sûreté des ouvrages de génie civil. Chapitre 1. Méthodes d'analyse système et d'analyse des défaillances. Chapitre 2. Méthodes pour la modélisation des scénarios de défaillance. Chapitre 3. Application à un aménagement hydraulique de génie civil. Hétérogénéité et variabilité des matériaux : conséquences sur la sécurité et la sûreté. Chapitre 4. Les données incertaines en géotechnique. Chapitre 5. Quelques estimations de la variabilité de propriétés de matériaux. Chapitre 6. Fiabilité d'une semelle de fondation superficielle. Métamodèles pour la fiabilité des ouvrages. Chapitre 7. Surfaces de réponse physiques et polynomiales. Chapitre 8. Surfaces de réponse par chaos polynomial. Méthodes pour la fiabilité des ouvrages dans le temps. Chapitre 9. Agrégation et unification de données. Chapitre 10. Approches probabilistes de fiabilité dans le temps. Chapitre 11. Méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov. Chapitre 12. Actualisation de la fiabilité par le retour d'expérience. Optimisation de la maintenance par la fiabilité. Chapitre 13. Politiques de maintenance. Chapitre 14. Modèles de coûts de maintenance. Chapitre 15. Aspects pratiques : mise en œuvre industrielle et limites dans un contexte multicritère. Conclusion. Notations. Index.

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Publié par
Date de parution 14 février 2011
Nombre de visites sur la page 22
EAN13 9782746241602
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,1012 €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

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Fiabilité des ouvrages




































© LAVOISIER, 2011
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-3144-3


Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,
que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, February 2011.





Fiabilité des ouvrages


sûreté, variabilité, maintenance, sécurité













sous la direction de

Julien Baroth
Franck Schoefs
Denys Breysse
















Il a été tiré de cet ouvrage
30 exemplaires hors commerce réservés
aux membres du comité scientifique,
aux auteurs et à l’éditeur
numérotés de 1 à 30
Fiabilité des ouvrages
sous la direction de Julien Baroth, Franck Schoefs et Denys Breysse
fait partie de la série GÉOMATÉRIAUX
série dirigée par Félix Darve





Le traité Mécanique et Ingénierie des Matériaux répond au besoin de
disposer d’un ensemble complet de connaissances et méthodes nécessaires à
la maîtrise de ce domaine.

Conçu volontairement dans un esprit d’échange disciplinaire, le traité MIM
est l’état de l’art dans les domaines suivants retenus par le comité scientifique :


Géomécanique
Matériaux
Environnement et risques


Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux
qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans
chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses
points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d’un guide pour ses
réflexions ou pour ses choix.

Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été
choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour la
qualité des résultats obtenus.















Liste des auteurs

Julien BAROTH Frédéric DUPRAT
IUT1 – 3SR LMDC
INSA Université Joseph Fourier
Toulouse CNRS
Grenoble INP
Antoine MARACHE
GHYMAC Marc BERVEILLER
Université Bordeaux 1 EDF R&D
Moret-sur-Loing
Frédéric PERRIN
Phimeca Engineering Géraud BLATMAN
Cournon d’Auvergne EDF R&D
Moret-sur-Loing
Laurent PEYRAS
Cemagref Daniel BOISSIER
Aix-en-Provence Polytech’Clermont-Ferrand
LaMI
Franck SCHOEFS Université Blaise Pascal
GeM Clermont-Ferrand
Université de Nantes
Denys BREYSSE
Bruno SUDRET GHYMAC
Phimeca Engineering Université Bordeaux 1
Paris
Bruno CAPRA
Aurélie TALON OXAND
Polytech’Clermont-Ferrand Avon
LaMI
Université Blaise Pascal Gilles CELEUX
Clermont-Ferrand INRIA Saclay-Île-de-France
Orsay

Alaa CHATEAUNEUF
Polytech’Clermont-Ferrand
LaMI
Université Blaise Pascal
Clermont-Ferrand
Table des matières
Avant-propos ....................................... 17
Julien BAROTH, Franck SCHOEFS et Denys BREYSSE
Introduction ........................................ 21
Julien BAROTH, Alaa CHATEAUNEUF et Franck SCHOEFS
PREMIÈRE PARTIE. Méthodes qualitatives d’évaluation de la sûreté
des ouvrages de génie civil ............................... 39
Chapitre 1. Méthodes d’analyse système et d’analyse des défaillances ... 43
Daniel BOISSIER, Laurent PEYRAS et Aurélie TALON
1.1. Introduction.................................... 43 
1.2. Analyse structurelle ............................... 45 
1.2.1. Les sous-systèmes ............................ 45 
1.2.2. Les environnements ........................... 46 
1.2.3. Les limites de l’analyse ......................... 46 
1.2.4. Les échelles d’étude47 
1.3. Analyse fonctionnelle.............................. 48 
1.3.1. Principes de l’analyse fonctionnelle .................. 48 
1.3.2. Analyse fonctionnelle externe ..................... 49 
1.3.3. Analyse fonctionnelle interne ...................... 51 
1.4. Analyse des modes de défaillances et de leurs effets (AMDE) ..... 53 
1.4.1. Principes de l’AMDE .......................... 53 
1.4.2. AMDE Processus ............................. 54 
1.4.3. AMDE Produit55 
1.5. Bibliographie ................................... 58 


















10 Fiabilité des ouvrages
Chapitre 2. Méthodes pour la modélisation des scénarios de défaillance .... 61
Daniel BOISSIER, Laurent PEYRAS et Aurélie TALON
2.1. Introduction.................................... 61 
2.2. Méthode de l’arbre d’événement ....................... 62 
2.3. Méthode de l’arbre des causes......................... 63 
2.3.1. Recueil d’information .......................... 65 
2.3.2. Construction de l’arbre des causes ................... 65 
2.4. Méthode du nœud papillon........................... 66 
2.5. Méthodes d’évaluation de la criticité ..................... 70 
2.5.1. Formulation de la criticité ........................ 70 
2.5.2. Pratiques du génie civil75 
2.6. Bibliographie ................................... 75 
Chapitre 3. Application à un aménagement hydraulique de génie civil ..... 79
Daniel BOISSIER, Laurent PEYRAS et Aurélie TALON
3.1. Contexte et démarche de l’étude de sûreté de fonctionnement ...... 79 
3.2. Analyse fonctionnelle et analyse des modes de défaillance ........ 81 
3.2.1. Analyse fonctionnelle du système ................... 81 
3.2.2. Analyse des modes de défaillance et de leurs effets ......... 83 
3.3. Construction des scénarios de défaillance .................. 84 
3.4. Analyse de la criticité des scénarios ..................... 85 
3.4.1. Etude hydrologique ............................ 86 
3.4.2. Modélisation hydraulique et analyse quantitative
des conséquences ................................. 87 
3.4.3. Evaluation des probabilités de défaillance technologique ..... 88 
3.4.4. Représentation de la criticité des scénarios .............. 90 
3.5. Synthèse sur l’application ........................... 93 
3.6. Bibliographie ................................... 93 
DEUXIÈME PARTIE. Hétérogénéité et variabilité des matériaux :
conséquences sur la sécurité et la sûreté ...................... 95
Chapitre 4. Les données incertaines en géotechnique .............. 99
Denys BREYSSE, Julien BAROTH, Gilles CELEUX, Aurélie TALON
et Daniel BOISSIER
4.1. Diversité des sources d’incertitude en géotechnique ............ 99 
4.1.1. Terrains erratiques, peu désordonnés ou anthropiques ....... 100 
4.1.2. Sources d’incertitudes, erreurs, variabilité .............. 100 
4.1.3. Corrélations entre les propriétés des matériaux ........... 103 
4.2. Données aberrantes, censurées et pauvres .................. 103 
4.2.1. Données aberrantes ............................ 104 


















Table des matières 11
4.2.2. Données censurées ............................ 105 
4.2.3. Données pauvres ............................. 105 
4.3. Représentation statistique des données.................... 106 
4.3.1. Notations .................................. 106 
4.3.2. Variabilité spatiale des propriétés des matériaux .......... 107 
4.4. Modélisation des données ........................... 108 
4.4.1. Modélisations probabiliste et possibiliste ............... 108 
4.4.2. Des variables aléatoires utiles (gaussienne, Weibull) ........ 110 
4.4.3. Méthode du maximum de vraisemblance ............... 111 
4.4.4. Exemple de mesures de résistance d’éprouvettes en béton..... 115 
4.5. Conclusion .................................... 115 
4.6. Bibliographie ................................... 116 
Chapitre 5. Quelques estimations de la variabilité
de propriétés de matériaux .............................. 119
Denys BREYSSE et Antoine MARACHE
5.1. Introduction119 
5.2. Estimation de valeurs moyennes ....................... 119 
5.2.1. Echantillonnage et estimation ...................... 119 
5.2.2. Nombre de données nécessaires pour une estimation ........ 123 
5.3. Estimation de valeurs caractéristiques .................... 123 
5.3.1. Valeur caractéristique et fractile d’une distribution ......... 123 
5.3.2. Exemple de mesures de résistance d’éprouvettes en bois ..... 124 
5.3.3. Optimisation du nombre d’essais utiles ................ 125 
5.3.4. Estimation de la résistance mécanique en place du béton ..... 127 
5.4. Principes d’une étude géostatistique ..................... 128 
5.4.1. Outils de la modélisation géostatistique 128 
5.4.2. Méthodes d’estimation et de simulation................ 131 
5.4.3. Etude de mesures pressiométriques en milieu urbain ........ 133 
5.5. Bibliographie ................................... 137 
Chapitre 6. Fiabilité d’une semelle
de fondation superficielle ................................ 139
Denys BREYSSE
6.1. Introduction.................................... 139 
6.2. Modèles de capacité portante d’une semelle filante – Erreur de modèle . . 140 
6.3. Effets de la variabilité du sol sur la variabilité de la capacité portante
et la sécurité de la semelle .............................. 143 
6.3.1. Méthodologie ............................... 143 
6.3.2. Sol purement frottant ........................... 145 
6.3.3. Sol avec frottement et cohésion..................... 148 






















12 Fiabilité des ouvrages
6.4. Prise en compte de la structure de corrélation spatiale et influence
sur la sécurité de la semelle.............................. 151 
6.4.1. Corrélation spatiale et réduction de variance ............. 151 
6.4.2. Prise en compte de la corrélation spatiale et résultats ........ 154 
6.5. Conclusions.................................... 157 
6.5.1. Sur l’exemple traité............................ 157 
6.5.2. A caractère général158 
6.6. Bibliographie ................................... 159 
TROISIÈME PARTIE. Métamodèles pour la fiabilité des ouvrages ....... 161
Chapitre 7. Surfaces de réponse physiques et polynomiales .......... 165
Frédéric DUPRAT, Franck SCHOEFS et Bruno SUDRET
7.1. Introduction.................................... 165 
7.2. Historique de la méthode des surfaces de réponse ............. 166 
7.3. Concept de surface de réponse ........................ 167 
7.3.1. Définitions de base ............................ 167 
7.3.2. Différentes formulations ......................... 168 
7.3.3. Critères de construction169 
7.4. Méthodes de calcul de fiabilité ........................ 173 
7.4.1. Problème de fiabilité et simulation de Monte-Carlo ......... 173 
7.4.2. Méthode FORM.............................. 174 
7.5. Surfaces de réponse polynomiales ...................... 175 
7.5.1. Formulation générale ........................... 175 
7.5.2. Choix de l’espace de travail ....................... 177 
7.5.3. Expression de la surface de réponse .................. 178 
7.5.4. Construction du plan d’expériences180 
7.5.5. Exemple d’une méthode adaptative183 
7.6. Conclusion .................................... 189 
7.7. Bibliographie ................................... 189 
Chapitre 8. Surfaces de réponse par chaos polynomial ............. 195
Bruno SUDRET, Géraud BLATMAN et Marc BERVEILLER
8.1. Introduction195 
8.1.1. Problème de fiabilité ........................... 195 
8.1.2. De Monte-Carlo aux chaos polynomiaux ............... 196 
8.2. Construction de la base du chaos polynomial ................ 197 
8.2.1. Polynômes orthogonaux ......................... 197 
8.2.2. Exemple .................................. 199 
8.3. Calcul des coefficients du développement.................. 200 
8.3.1. Introduction ................................ 200 



























Table des matières 13
8.3.2. Méthodes de projection ......................... 201 
8.3.3. Méthodes de régression203 
8.3.4. Post-traitement des coefficients..................... 206 
8.4. Applications en fiabilité des structures .................... 207 
8.4.1. Treillis élastique .............................. 207 
8.4.2. Ossature de bâtiment ........................... 209 
8.5. Conclusion .................................... 214 
8.6. Bibliographie ................................... 214 
QUATRIÈME PARTIE. Méthodes pour la fiabilité des ouvrages
dans le temps ....................................... 219
Chapitre 9. Agrégation et unification de données ................ 223
Daniel BOISSIER et Aurélie TALON
9.1. Introduction.................................... 223 
9.2. Méthodes d’agrégation et d’unification de données ............ 223 
9.2.1. Méthodes d’unification des données .................. 225 
9.2.2. Méthodes d’agrégation des données .................. 230 
9.3. Evaluation du temps d’évacuation de l’immeuble en cas d’incendie .... 231 
9.4. Conclusion235 
9.5. Bibliographie ................................... 235 
Chapitre 10. Approches probabilistes de fiabilité dans le temps ....... 237
Bruno SUDRET
10.1. Introduction237 
10.2. Processus stochastiques ............................ 238 
10.2.1. Définition et propriétés élémentaires ................. 238 
10.2.2. Processus gaussiens ........................... 239 
10.2.3. Processus de renouvellement à saut ................. 240 
10.3. Problèmes de fiabilité dépendant du temps ................ 242 
10.3.1. Position du problème .......................... 242 
10.3.2. Dégradation de la résistance et problèmes
à marge décroissante ............................... 243 
10.3.3. Cas général ................................ 244 
10.4. Méthode PHI2 ................................. 247 
10.4.1. Taux de franchissement et fiabilité système ............. 247 
10.4.2. Mise en œuvre de la méthode PHI2 – Cas stationnaire ...... 248 
10.4.3. Mise en œuvre de la métI2 – Cas non stationnaire ... 250 
10.4.4. Exemple semi-analytique ....................... 250 
10.5. Application : treillis sous chargement dépendant du temps ....... 252 
10.6. Conclusion ................................... 253 
10.7. Bibliographie .................................. 255 























14 Fiabilité des ouvrages
Chapitre 11. Méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov ....... 257
Gilles CELEUX
11.1. Introduction ................................... 257 
11.2. Les méthodes bayésiennes .......................... 258 
11.2.1. Estimation bayésienne de la moyenne d’une loi normale ..... 259 
11.3. Les méthodes MCMC dans le cas de données pauvres ......... 260 
11.3.1. Problèmes statistiques à information faible ............. 260 
11.3.2. Traduction des informations a priori en lois a priori ....... 261 
11.3.3. Approximation de la loi a posteriori ................. 263 
11.3.4. Une méthode MCMC courante : l’échantillonnage de Gibbs . . 263 
11.3.5. L’échantillonnage préférentiel adaptatif ............... 265 
11.4. Estimation de la durée de vie d’un système en série
à partir de données censurées et incomplètes ................... 267 
11.4.1. Choix des lois a priori ......................... 268 
11.4.2. Traduction des informations a priori en lois a priori ....... 269 
11.4.3. L’échantillonnage de Gibbs ...................... 270 
11.4.4. Une procédure d’échantillonnage préférentiel adaptative (EPA) . . 270 
11.5. Conclusion ................................... 273 
11.6. Bibliographie .................................. 274 
Chapitre 12. Actualisation de la fiabilité par le retour d’expérience ..... 275
Bruno SUDRET et Frédéric PERRIN
12.1. Introduction275 
12.2. Formulation du problème : lien mesures-modèle ............. 276 
12.3. Calcul d’une probabilité de défaillance et son actualisation....... 277 
12.3.1. Problème de fiabilité .......................... 277 
12.3.2. Actualisation de la probabilité de défaillance ............ 279 
12.4. Actualisation d’un intervalle de confiance sur les prévisions ...... 281 
12.4.1. Quantiles comme solution d’un problème de fiabilité inverse .... 281 
12.4.2. Actualisation des quantiles de la réponse .............. 282 
12.4.3. Conclusion ................................ 282 
12.5. Actualisation de la loi des paramètres d’entrée d’un modèle ...... 283 
12.5.1. Rappel du formalisme bayésien .................... 283 
12.5.2. Actualisation de la loi des paramètres d’entrée d’un modèle... 283 
12.6. Application aux prévisions du fluage dans les enceintes
de confinement des centrales nucléaires...................... 286 
12.6.1. Problématique industrielle ....................... 286 
12.6.2. Modèles utilisés ............................. 287 
12.6.3. Déformations différées a priori et a posteriori ........... 290 
12.7. Conclusion ................................... 293 
12.8. Bibliographie .................................. 294 






















Table des matières 15
CINQUIÈME PARTIE. Optimisation de la maintenance par la fiabilité .... 297 
Chapitre 13. Politiques de maintenance ...................... 301
Alaa CHATEAUNEUF
13.1. Maintenance .................................. 301 
13.1.1. Distribution de la durée de vie..................... 301 
13.1.2. Cycle de maintenance.......................... 302 
13.1.3. Planification de la maintenance .................... 304 
13.2. Types de maintenance ............................. 306 
13.2.1. Choix d’une politique de maintenance ................ 306 
13.2.2. Programme de maintenance ...................... 308 
13.2.3. Programme d’inspection ........................ 309 
13.3. Modèles de maintenance ........................... 311 
13.3.1. Modèle de maintenance parfaite AGAN............... 311 
13.3.2. Modèle de maintenance minimale ABAO.............. 312 
13.3.3. Modèle de maintenance imparfaite ou inefficace BTO/WTO .... 314 
13.3.4. Politique de maintenance complexe ................. 316 
13.4. Conclusion ................................... 318 
13.5. Bibliographie .................................. 318 
Chapitre 14. Modèles de coûts de maintenance .................. 321
Alaa CHATEAUNEUF, Franck SCHOEFS et Bruno CAPRA
14.1. Maintenance préventive............................ 321 
14.2. Maintenance basée sur le temps (remplacement par blocs) ....... 323 
14.2.1. Modèle I324 
14.2.2. Modèle II ................................. 324 
14.2.3. Modèle III ................................ 325 
14.3. Maintenance basée sur l’âge ......................... 325 
14.4. Modèles d’inspection ............................. 326 
14.4.1. Impact de l’inspection sur les coûts ................. 326 
14.4.2. Cas de l’inspection imparfaite..................... 327 
14.5. Systèmes à grande longévité334 
14.6. Critères de choix d’une politique de maintenance ............ 335 
14.7. Conduit tubulaire soumis à la corrosion .................. 335 
14.8. Conclusion ................................... 341 
14.9. Bibliographie .................................. 341 




























16 Fiabilité des ouvrages
Chapitre 15. Aspects pratiques : mise en œuvre industrielle
et limites dans un contexte multicritère ....................... 343
Alaa CHATEAUNEUF, Franck SCHOEFS et Bruno CAPRA
15.1. Introduction ................................... 343 
15.2. Concession autoroutière à fortes exigences de performances...... 346 
15.2.1. Contexte et enjeux............................ 346 
15.2.2. Méthodologie employée ........................ 348 
15.2.3. Résultats obtenus351 
15.3. Vieillissement des structures de génie civil :
apports de l’actualisation des données pour la maintenance .......... 353 
15.3.1. Contexte et enjeux353 
15.3.2. Risque de corrosion d’une tour aéroréfrigerante354 
15.3.3. Actualisation bayésienne ........................ 355 
15.4. Conclusion ................................... 358 
15.5. Bibliographie .................................. 359 
Conclusion ......................................... 361
Notations .......................................... 365
Index ............................................ 373













Avant-propos
Du 26 au 28 mars 2008, les journées « Fiabilité des matériaux et des
1structures » (JNFiab’08) ont réuni à l’Université de Nantes la communauté
française en fiabilité et analyse de risques appliquées aux matériaux et aux
esstructures. Ce colloque faisait suite à plusieurs manifestations : 5 journées
es 2« Fiabilité des matériaux et des structures », 2 journées de formation Méc@proba ,
es2 journées scientifiques du groupement d’intérêt scientifique « Maîtrise des risques
3dans le génie civil » (GIS MRGenCi ). Il en a rassemblé les thématiques et les
préoccupations, en prolongeant le premier atelier commun entre les Associations
4 5 esfrançaises de génie civil (AFGC ) et de mécanique (AFM) , lors des 25 rencontres
6annuelles de l’Association universitaire de génie civil (AUGC , 23-25 mai 2007), à
Bordeaux. L’idée du présent traité est venue à l’occasion de ces journées, organisées
par le GIS MRGenCi et Méc@Proba, où les auteurs ont fait état de leurs avancées
dans le domaine.
Si les exemples d’ouvrages présentés dans ce traité restent dans le domaine du
génie civil (domaines nucléaire, pétrolier, des bâtiments ou des barrages), les
méthodes abordées seront tout autant applicables à tout système mécanique
complexe en présence d’un grand nombre d’incertitudes. Le présent traité s’adresse
ainsi aux communautés familières du génie civil ou de la mécanique ou encore de la
théorie de la fiabilité, autant issues de l’industrie que de l’université, ayant eu une
initiation à des travaux de recherche et développement. Etudiants en Masters, en

1. http://www.sciences.univ-nantes.fr/jfms2008/DownloadJFMS2008.pdf.
2. http://www.lamsid.cnrs-bellevue.fr/vf/actualites/journee_proba/plaquette_proba.pdf.
3.mrgenci.u-bordeaux1.fr/.
4.afgc.asso.fr/.
5. http://www.afm.asso.fr/.
6.augc.asso.fr/. 18 Fiabilité des ouvrages
école d’ingénieurs et doctorants, ingénieurs et chargés de recherche y trouveront des
méthodes expliquées et appliquées.
Les auteurs sont reconnaissants envers les deux principaux relecteurs,
personnalités aux carrières complémentaires : Maurice Lemaire, professeur des
7universités, enseignant à l’Institut français de mécanique avancée (IFMA ) et à
8l’Université Blaise Pascal (UBP), à Clermont-Ferrand, consultant au sein de
9l’entreprise Phimeca qu’il a cofondée, ainsi que André Lannoy, vice-président de
10l’Institut pour la maîtrise des risques (IMdR ), après avoir fait carrière comme
ingénieur-chercheur puis conseiller scientifique à EdF R&D. André Lannoy coanime
en particulier le groupe de travail et de réflexion « Sécurité et sûreté des structures »
11(GTR 3S ), dont plusieurs auteurs de ce traité font partie.
Les auteurs ont souhaité en particulier exprimer leur reconnaissance envers
Maurice Lemaire, pour sa contribution au développement de la fiabilité des
structures. Les quelques lignes suivantes donnent quelques éléments sur sa carrière
et ses apports sur les plans de la production scientifique, de la valorisation et avant
tout de la formation, qui a conduit plusieurs des auteurs à poursuivre dans cette voie.
12Titulaire de diplômes de l’Institut national des sciences appliquées (INSA
Lyon, 1968), puis d’études approfondies de mathématiques appliquées (1969), il
devient docteur-ingénieur (1971). Après un doctorat d’état (1975), il est nommé au
13CUST (école d’ingénieurs devenue Polytech’ Clermont-Ferrand ), au sein de
l’UBP (1976). Il participe à la création de l’IFMA (1987), où il est professeur depuis
1991.
Maurice Lemaire crée le Laboratoire de recherches et applications en mécanique
14avancée (LaRAMA) en 1989 (laboratoire IFMA/UBP devenu LaMI ), dont il est
directeur jusqu’en 2005. Directeur de la recherche de l’IFMA de 1991 à 2007, il a
encadré 44 doctorants et participé à 180 jurys de thèses.
15Cofondateur des journées « Fiabilité des matériaux et des structures » (Cachan,
e1994), coorganisateur de la 7 Conférence internationale sur les applications des

7. www.ifma.fr/.
8. www.univ-bpclermont.fr/.
9. http://www.phimeca.com/.
10. http://www.imdr.eu.
11.imdr.eu/v2/extranet/detail_gtr.php?id=36.
12. www.insa-france.fr/.
13.polytech-clermontferrand.fr/.
14. www.ifma.fr/lami/.
15. www.sciences.univ-nantes.fr/jfms2008/DownloadJFMS2008.pdf. Avant-propos 19
16statistiques et probabilités dans le génie civil (ICASP , 1995 à Paris), puis président
de l’Association internationale des approches du risque et de la fiabilité dans le
17génie civil (CERRA ) de 1995 à 1999, il est membre du comité scientifique du
Groupe international IFIP WG 7.5 concernant la fiabilité et l’optimisation des
18 19structures , Maurice Lemaire est également fondateur des journées Méc@proba ,
(Marne-la-Vallée, 2006).
Promoteur de la commission scientifique « Mécanique probabiliste des
20 21matériaux et des structures » de l’Association française de mécanique (AFM ),
porteur de nombreux projets de recherche industriels, il apporte aussi un appui
scientifique et un soutien constant dans le développement de la société Phimeca
Engineering, qu’il a cofondée en 2001.
Nul doute que Maurice Lemaire a contribué au développement de la fiabilité des
structures aux niveaux national et international.
Les auteurs recommandent donc au lecteur de consulter ses publications citées
dans cet ouvrage.
Les auteurs expriment leur reconnaissance envers le GIS MRGenCi qui a rendu
l’écriture de cet ouvrage possible. Ce groupement, créé à l'initiative de messieurs
Breysse (Professeur à l'Université Bordeaux I), Boissier (Professeur à l'UBP),
Melacca (SMA-BTP) et Gérard (PDG OXAND SA), regroupe aujourd'hui plus de
30 industriels, sociétés savantes, universités et écoles d'ingénieurs.
Que les auteurs, relecteurs et toutes les personnes qui ont contribué à la
réalisation de ce traité qui contribueront ensuite à sa diffusion soient enfin
remerciés.
Julien BAROTH
Franck SCHOEFS
Denys BREYSSE

16. International Conference on Applications of Statistics and Probability in Civil Engineering,
www.icassp2011.com/.
17. International Civil Engineering Risk and Reliability Association, www.ce.berkeley.edu/
projects/cerra/.
18. Reliability and Optimization of Structural Systems, www.era.bv.tum.de/IFIP/.
19. www.lamsid.cnrs-bellevue.fr/vf/actualites/journee_proba/plaquette_proba.pdf.
20.afm.asso.fr/PrésentationdelAFM/Commissions/MPMS.
21. www.afm.asso.fr/. Introduction
Contexte et objectifs du traité
Ce traité décrit et illustre quelques méthodes visant à améliorer la prévision de la
durée de vie et de la gestion du bon fonctionnement d’ouvrages. Les auteurs sont
issus d’entreprises ou d’universités, et présentent ici un travail commun, avec le
souhait de compléter des travaux antérieurs. Ceux de Ditlevsen et Madsen [DIT 96]
ou de Maurice Lemaire [LEM 05] ont concerné la fiabilité des structures,
c’est-àdire l’étude de la capacité d’une structure à assurer une fonction définie, dans des
conditions données (environnement, durée de vie, etc.). Les travaux de Jean-Louis
Favre [FAV 04] ont décrit davantage la sécurité des ouvrages géotechniques. Les
notions d’incertitude liées aux caractéristiques des matériaux ou des sollicitations
ont été abordées, ainsi que des méthodes de traitement statistique puis probabiliste
appliquées à des ouvrages réels. Le présent travail emprunte des notions de base
introduites par ces derniers auteurs. En particulier, les notions d’incertitude ou de
fiabilité sont rappelées dans ce chapitre introductif. Les auteurs se fixent pour
objectif de présenter des méthodes de traitement des données et de calcul parfois très
récentes et donc encore peu diffusées, en les appliquant à des exemples d’ouvrages.
Si les exemples d’ouvrages présentés dans ce traité restent dans le domaine du
génie civil (domaines nucléaire, pétrolier, des bâtiments ou des barrages), les
méthodes abordées sont tout autant applicables à tout système mécanique complexe
en contexte incertain. Le présent traité s’adresse ainsi aux communautés familières du
génie civil ou de la mécanique ou encore de la théorie de la fiabilité, autant issues de
l’industrie que de l’université, ayant eu une initiation à des travaux de recherche et
développement. Etudiants, en particulier élèves-ingénieurs et doctorants, ingénieurs,
chargés de recherche peuvent trouver un intérêt dans ce travail.

Introduction rédigée par Julien BAROTH, Alaa CHATEAUNEUF et Franck SCHOEFS. 22 Fiabilité des ouvrages
Un ouvrage est considéré ici comme un système qui doit assumer une ou
plusieurs fonctions globales. Il est formé de composants, sous-composants,
structures, acteurs humains, procédures, d’une organisation dans un environnement
donné. Il remplit des fonctions élémentaires, qui contribuent à la réalisation de ces
fonctions globales [CRE 03]. Le système est identifiable, décomposable à partir des
fonctions qu’il accomplit (approche fonctionnelle) en éléments structurels (ou des
sous-systèmes) interdépendants (approche structurelle). L’ouvrage est qualifié de
sûr, s’il est apte à remplir ses fonctions, pendant la durée de service prévue, sans
dommage pour lui-même et son environnement (NF X60-010). La sûreté de
l’ouvrage peut être quantifiée par sa probabilité de ne pas assurer l’une de ses
fonctions, sur sa durée de vie prévisionnelle [MRG 09]. Cette probabilité de
défaillance, notée P , est mathématiquement complémentaire à la fiabu f
système, souvent notée R = 1-P. L’objectif de ce traité est donc de présenter des f
méthodes permettant des analyses fonctionnelles (parties 1, 4 et 5) ou structurelles
(parties 1 à 5), plaçant les systèmes étudiés dans un état de fonctionnement ne
portant pas atteinte aux personnes, aux biens et à l’environnement. Ces systèmes
sont alors placés en sécurité [MRG 09]. Une part importante est consacrée au calcul
de fiabilité, celle-ci dépendant ou non du temps (parties 3 et 4).
Nous introduisons dans les paragraphes suivants les notions développées au fil
du traité, une dizaine de questions auxquelles il apporte des éléments de réponse,
ainsi que les illustrations proposées.
Méthodes qualitative et quantitative d’évaluation de la sûreté d’un ouvrage
L’étude de la sûreté d’un ouvrage peut être menée par une analyse système,
suivie d’une analyse des modes de défaillance et d’une modélisation des scénarios
de défaillance, permettant de répondre à des questions cruciales :
– comment mettre en évidence les dysfonctionnements les plus vraisemblables et
les scénarios de défaillance les plus critiques, sur lesquels est menée éventuellement
une analyse de risque ?
– quelles sont les mesures préventives susceptibles d’améliorer la sûreté du
système ?
La première partie du traité répond à ces questions. Elle présente des méthodes
qualitatives d’évaluation de la sûreté des ouvrages. Ces méthodes permettent
d’analyser un système, ses défaillances, et de modéliser des scénarios de défaillance
et d’évaluer leur criticité. Une application des méthodes d’évaluation de la criticité
des scénarios est ensuite proposée pour un aménagement hydraulique de génie civil. Introduction 23
Au delà des méthodes qualitatives, des méthodes quantitatives complémentaires
sont présentées dans les quatre parties suivantes du traité. Pour un scénario de
défaillance donné, la troisième question peut être équivalente à celle-ci :
– comment évaluer, puis éventuellement réduire, la probabilité d’apparition des
événements engendrant une défaillance, ou comment évaluer, puis éventuellement
réduire, la gravité des conséquences d’une défaillance ?
Des éléments de réponse sont donnés par l’analyse des incertitudes liées à la
connaissance de l’ouvrage et des actions qu’il subit. Un choix délibéré dans ce traité
est de se focaliser sur les premières incertitudes, en s’attachant plus particulièrement
aux incertitudes liées à la connaissance des matériaux de construction. En ce qui
concerne l’étude des actions, le lecteur peut se référer aux sources suivantes :
[COL 03] concernant les charges climatiques de neige et de vent, [SMI 96, SCH 07]
pour les actions de houle, ou [PEY 09] quant aux chargements de provenance
hydrologique.
Des matériaux aux propriétés incertaines
Les sources d’incertitudes liées aux matériaux sont multiples. Mieux les
connaître ou les réduire permettra d’atteindre une plus grande sécurité [FAV 04].
Ainsi l’ensemble du traité tente de répondre aux questions suivantes :
– comment décrire et exploiter des données incertaines, a fortiori concernant les
caractéristiques des matériaux en géotechnique ? Quelles sont les conséquences sur
la sûreté des ouvrages, leur hétérogénéité ou leur variabilité ?
Un premier classement consiste à regrouper les incertitudes en deux catégories
vis-à-vis de l’état de l’ouvrage étudié :
– les incertitudes internes sont liées aux variables affectant l’état interne de la
structure, telles que les propriétés des matériaux (module d’élasticité, coefficient de
Poisson, masse volumique, coefficient de dilatation thermique, etc.), les paramètres
géométriques (dimensions, sections, moments d’inertie…), les conditions aux
limites internes (hors les actions de surface ou de volume) et les liaisons internes ;
– les incertitudes externes sont liées aux variables indépendantes de l’état interne
de la structure, telles que les actions naturelles (vent, houle, neige, température,
séisme, etc.) et les charges de fonctionnement (charges permanentes, charges
d’exploitation, etc.).
Dans certains cas cette distinction peut être délicate : pour un rideau de
palplanches, par exemple, l’incertitude sur le poids propre du sol au voisinage du
rideau est externe si on considère la résistante du rideau, et interne si on considère la 24 Fiabilité des ouvrages
stabilité au grand glissement. Le tableau 1 propose en outre une typologie plus
détaillée de ces incertitudes qui ne pose pas ce problème.
Un deuxième classement identifie les incertitudes aléatoires (ou intrinsèques) et
les incertitudes épistémiques, qui sont parfois quantifiables et peuvent
éventuellement être modélisées par des variables aléatoires à introduire dans le modèle de
comportement. Parmi les incertitudes intrinsèques, on peut relever les incertitudes
physiques, inhérentes à la nature des paramètres incertains du système : résistance,
charges, environnement, dimensions géométriques, conditions aux limites, etc. En
revanche, l’incertitude due à un manque de connaissance des phénomènes physiques
est épistémique, car elle peut être réduite par des efforts en recherche ou en
acquisition d’informations.

Type d’incertitude Nature des incertitudes Moyen de les réduire
Ne peuvent être ni réduites ni
supprimées – elles peuvent Paramètres
Incertitudes environnementaux, seulement être quantifiées
Incertitudes (développement de intrinsèques variabilité spatiale ou
aléatoires
(naturelles) temporelle des propriétés des connaissances, acquisition de
matériaux données) et prises en
22compte
Relations empiriques
Incertitudes
et théoriques pour décrire Peuvent être réduites
de modèle :
les processus physiques en améliorant les
modèle
(adéquation du modèle pour connaissances et les modèles
physique Incertitudes décrire la réalité)
épistémiques
Incertitudes Liées au caractère limité Peuvent être réduites
de modèle : des données disponibles en soignant la collecte
distribution (échantillonnage), au mode des données (plus
statistique de collecte… nombreuses, plus précises)
Erreurs Peuvent être réduites par
Opérateurs, procédures,
Incertitudes humaines une meilleure organisation
équipement et coordination
ontologiques et et des compétences accrues
entre les intervenants
d’organisation (contrôle, qualité, formation)
Tableau 1. Typologie des incertitudes et moyens d’action [BRE 09]
L’écart entre le système réel et son modèle, plus ou moins simplifié, conduit
cependant aussi à des incertitudes. Cette incertitude de modélisation est aussi
épistémique ; elle peut parfois être intégrée dans un calcul de la fiabilité, à travers

22. Une meilleure qualité des processus de fabrication et de contrôle peut cependant réduire la
variabilité des propriétés des matériaux et éliminer des défauts flagrants. Introduction 25
l’introduction de variables aléatoires supplémentaires pour représenter la dispersion
des résultats du modèle (analytique, numérique ou expérimental) par rapport au
phénomène physique.
Le tableau 1 présente de plus les incertitudes ontologiques (ou
phénoménologiques), plus difficiles à cerner que les autres. On qualifie ainsi les incertitudes
attachées à des systèmes ou processus aléatoires non imaginés (exemple de
l’accident du Concorde à Paris en 2000) ou trop complexes pour être modélisés
[TAN 07].
Pour l’ingénieur, le questionnement sur les incertitudes n’a pas à s’accompagner
d’un questionnement sur le caractère déterministe (ou non) de la réalité, qui relève
plus souvent d’une démarche de conceptualisation d’ordre philosophique. Il
concerne simplement des objets, des processus, des phénomènes qui ne sont pas
totalement prévisibles : l’incertitude concerne l’ingénieur dans la mesure où elle
limite sa capacité de prévision [MAT 08]. Au delà d’une classification des
incertitudes (qui dépend du degré de finesse des modèles employés), la priorité est
de savoir comment les réduire ou les maîtriser (questions 3 et 4).
Evolution de la réglementation
Dans cette optique, la dernière décennie a vu naître une réglementation
européenne (les Eurocodes) permettant une prise en compte plus rigoureuse de la
variabilité des matériaux, dans un formalisme déterministe qui repose sur des
valeurs définies sur des bases probabilistes et des situations de défaillances
formalisées, selon leurs conséquences sous forme d’états limites de service (ELS) et
ultimes (ELU). Les ELS correspondent à des conditions au delà desquelles les
exigences d’aptitude au service spécifiées pour l’ouvrage (ou partie) ne sont plus
satisfaites. Ces états sont en général reliés à des exigences de confort (vibrations),
d’esthétique (déformations excessives), de durabilité (fissuration, corrosion), de bon
fonctionnement des équipements (isolation, étanchéité…), sans qu’il en résulte à
court terme la ruine de la structure. Les ELU sont associés à l’effondrement de
l’ouvrage, ou à d’autres formes de défaillance structurale : rupture de l’équilibre de
l’ouvrage, atteinte de la résistance maximale d’une partie de la structure, défaillance
du sol support ; on définit aussi l’état limite accidentel (ou défaillance progressive)
pour les systèmes exposés aux charges variables, ainsi que l’état limite de fatigue
(condition de durabilité). Le principe des Eurocodes peut se résumer à :
– a) associer à chaque scénario de défaillance des états limites appropriés ;
– b) caractériser les paramètres influant sur les critères d’état-limite considérés,
en utilisant des outils statistiques puis probabilistes ; 26 Fiabilité des ouvrages
– c) remplacer les distributions complètes des variables probabilisées par des
valeurs moyennes, de dispersion ou caractéristiques ;
– d) négliger la dispersion de certaines données, en les considérant
déterministes ;
– e) prendre en compte les incertitudes négligées, en introduisant des coefficients
forfaitaires.
Cette approche réglementaire est qualifiée de semi-probabiliste, car elle tient compte
d’une modélisation probabiliste de paramètres incertains (b), tout en introduisant des
coefficients (de sécurité) partiels (e). La deuxième partie du traité rappelle les définitions
des valeurs particulières (c) et utilise cette notion de dimensionnement semi-probabiliste
des Eurocodes, compromis entre un dimensionnement déterministe insuffisant, et un
dimensionnement probabiliste non praticable. On peut en outre distinguer quatre niveaux
parmi les méthodes de fiabilité :
– les méthodes de niveau I utilisent les valeurs spécifiques des variables
(résistance et charge par exemple) ; chaque variable aléatoire est représentée par une
valeur caractéristique au contenu statistique souvent mal défini ;
– les méthodes de niveau II consistent à caractériser les variables aléatoires par
leur valeur moyenne et leur variance ;
– les méthodes de niveau III nécessitent de plus, la connaissance de la loi de
distribution jointe de toutes les variables aléatoires, et permettent d’obtenir un indice
de fiabilité et une probabilité de défaillance comme mesures de la sûreté ;
– les méthodes de niveau IV visent à donner un niveau de fiabilité intégrant des
critères économiques : par exemple, prenant en compte les coûts de la construction,
de la maintenance, des réparations, des conséquences d’une rupture, etc.
L’un ou l’autre de ces 4 niveaux de méthodes de fiabilité sont considérés suivant
l’importance du problème analysé. Par exemple, les méthodes de niveau IV sont à
employer pour l’analyse de centrales nucléaires ; les méthodes de niveau I sont à
appliquer pour l’étude de structures simples à moindres enjeux (hangar de stockage
de produits non nocifs…). L’évaluation de la fiabilité (reliability assessment) des
structures à fort enjeu relève théoriquement du niveau III. Cependant une
simplification s’impose, du fait que la distribution jointe des variables est difficile à
déterminer. Et l’on se contente des distributions marginales avec, éventuellement,
des coefficients de corrélation pour modéliser l’interdépendance des variables. On
parle alors de méthode de niveau II avancé (advanced level II method). Introduction 27
Variabilité et hétérogénéité des matériaux
La deuxième partie du traité tente de répondre à la question 3, en montrant
comment utiliser les données disponibles pour décrire leur hétérogénéité et leur
variabilité. Le chapitre 4 concerne la caractérisation de l’incertitude des données en
géotechnique. L’identification des sources d’incertitude présentées ci-dessus, le
classement des données (aberrantes, censurées et pauvres), la représentation
statistique et la modélisation de ces données (probabiliste ou possibiliste). Si le lecteur est
renvoyé à d’autres lectures concernant les données aberrantes [LEM 99, MAG 00,
FAV 04, PLA 05], celui-ci trouvera en revanche des éléments de réponse à la
question 3, ainsi qu’à la question :
– comment exploiter des données limitées, voire censurées ?
Le chapitre 5 présente en effet quelques estimations de la variabilité des
matériaux (valeurs moyennes ou caractéristiques) et donne l’exemple d’une étude
géostatistique en ville [MAR 09]. Le chapitre 6 illustre les effets de la variabilité sur
l’exemple d’une semelle de fondation superficielle dont on recherche la fiabilité.
L’effet de la variabilité du sol sur la variabilité de la capacité portante et la sûreté de
la semelle est étudié. Enfin, la structure de corrélation spatiale est prise en
compte afin d’étudier son influence sur la sûreté de la semelle.
La quatrième partie, consacrée à des problèmes de fiabilité dépendant du temps,
complète la deuxième partie en montrant comment l’enrichissement de l’analyse
statistique et l’utilisation des approches bayésiennes permettent d’exploiter des
données pauvres.
Le calcul d’indicateurs de fiabilité – Couplage mécano-fiabiliste
Les parties 2 à 5 du traité utilisent le calcul d’indicateurs de fiabilité. Elles
répondent à la question :
– comment quantifier la fiabilité d’un système ou d’une structure ?
Ce calcul fait intervenir des niveaux de complexité d’ordres probabiliste et
mécanique. La complexité du modèle probabiliste dépend des distributions des
variables, de leurs limitations physiques et de leur interdépendance. La complexité
du comportement mécanique découle de sa dimension (nombre de composants), des
phénomènes transitoires et non linéaires, etc. Quand le fonctionnement du système
dépend de son état mécanique, il existe une interdépendance entre les rôles
mécanique et fiabiliste des variables de conception ; il s’agit du couplage
mécanofiabiliste [LEM 00], qui se décrit en cinq étapes : 28 Fiabilité des ouvrages
– identifier l’objet de la structure : sa fonction, son comportement, ses conditions
d’utilisation et ses défaillances potentielles (résultat de l’analyse des défaillances) ;
– élaborer des modèles prévisionnels du comportement mécanique avec et sans
défaillance, ainsi que des distributions probabilistes des variables de conception ;
– identifier les scénarios de défaillance potentiels. Le bon fonctionnement du
système est défini par des fonctions de performance G (ou des états limites G =0) à i i
respecter. La défaillance est atteinte si l’un de ces états limites est dépassé. Cette
analyse, souvent négligée, est déterminante et doit être aussi minutieuse que la
précédente ;
– pour chacun des scénarios de défaillance, calculer le niveau de fiabilité et les
facteurs de sensibilité. Ces derniers sont très utiles dans la prise de décision, pour le
contrôle de qualité et l’optimisation du système ;
– évaluer la probabilité de défaillance globale du système structural et définir des
coefficients partiels qui servent à la calibration des règlements.
On note X le vecteur des paramètres incertains X du modèle (par exemple : des i
actions extérieures : charges, vent, houle, séisme ou des caractéristiques géométriques :
dimensions, aire et moment d’inertie des sections, élancement ou des propriétés de
matériaux : limite élastique, module de Young, coefficient de Poisson, etc.). Nous
modélisons chaque paramètre par une variable aléatoire X, caractérisée par une loi de i
probabilité représentant l’incertitude sur la connaissance de ce paramètre (modélisation
probabiliste). Ceci peut être effectué par l’intermédiaire d’études statistiques, des
observations physiques ou par des avis d’experts (modélisation possibiliste en général
dans ce dernier cas).
A chaque scénario de défaillance est associée une fonction de performance (ou
marge de sûreté), notée G. L’inégalité G > 0 indique le domaine de sûreté D , alors s
que G ≤ 0 traduit le domaine de défaillance D. L’objectif est alors d’évaluer la f
probabilité P que les situations de calcul obtenues à partir des réalisations des f
variables aléatoires soient dans ce domaine de défaillance. Dans le cas simple de
deux variables représentant la résistance R et la sollicitation S, la fonction de
performance (ou marge de sûreté) s’écrit sous la forme G(R,S)=R-S. Dans la
pratique, les paramètres statistiques de la sollicitation S, et potentiellement ceux de
la résistance R, ne sont pas directement accessibles, parce que les mesures et les
observations ont été faites uniquement pour les paramètres incertains du vecteur X
dont elles sont issues. La variable G et le vecteur aléatoire X modélisant x sont reliés
par une transformation mécanique : G(R,S) ≡ G(X). Nous considérons que cette
transformation est connue (par exemple : calcul d’une sollicitation à partir d’une
hauteur de neige), même si dans certains cas, elle est uniquement disponible à l’aide
d’un algorithme, par exemple un code de calcul par éléments finis. "
Introduction 29
Dans le traité, des estimateurs de la fiabilité sont régulièrement rencontrés : la
probabilité de défaillance ainsi que les indices de fiabilité de Cornell et
HasoferLind (voir [LEM 05] pour une présentation détaillée).
a) La probabilité de défaillance est évaluée par l’intégration de la fonction de
densité conjointe sur le domaine de défaillance D : f
P = Prob[]G ≤ 0f
b) L’indice de Cornell consiste à mesurer la distance entre le point moyen de la
marge G et le point où la marge devient nulle (point de défaillance), cette distance
est mesurée en nombre d’écarts types. En d’autres termes, si m et σ représentent G G
respectivement la moyenne et l’écart type de la marge G, l’indice de Cornell β C
s’écrit par : β = m σ . Si la distribution de la marge suit une loi normale, on C G/ G
montre que la probabilité de défaillance est directement donnée par :
P = Φ(− β )f C
où Φ est la loi de répartition normale centrée réduite. Cette expression est donc
exacte si la loi de G est gaussienne (une combinaison linéaire de deux variables
gaussiennes, par exemple R-S, est gaussienne). Si cette condition n’est pas vérifiée,
l’indice de Cornell donne seulement une mesure qui n’est plus liée explicitement à
la probabilité de défaillance du système, et qui est d’autant moins utile qu’elle
s’éloigne des hypothèses de base : marge linéaire et de distribution normale.
c) L’indice de fiabilité de Hasofer-Lind [HAS 74] est un estimateur de la fiabilité
invariant. En effet, Hasofer et Lind ont proposé d’effectuer un changement de variables
physiques dans l’espace des variables gaussiennes centrées réduites (c’est-à-dire de
moyennes nulles, d’écarts types unitaires) et statistiquement indépendantes. Dans cet
espace normé, la probabilité de défaillance s’écrit alors en fonction du domaine de
défaillance : H ≤ 0
P = φ (u) du duf n 1 n∫
H (U )≤0
où est la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite à n φn
dimensions. Selon la définition de Hasofer et Lind, l’indice de fiabilité β est la
distance minimale entre l’origine et la courbe représentative de la fonction d’état
limite dans l’espace normé. De cette distance est déduit un hyperplan tangent à la
fonction d’état limite et un point P*, nommé « point de conception » (design point).
30 Fiabilité des ouvrages
Trouver β est donc un problème d’optimisation sous contrainte :
2β==mindu u()ii ∑ u{} i
sous la contrainte :Hu ( ) ≤ 0. i
Méthodes de calcul de la fiabilité
Pour réaliser le couplage mécano-fiabiliste, différentes approches sont possibles
et présentent autant de compromis entre la précision, le coût des indicateurs de
fiabilité, et le domaine de validité de la méthode (calcul mécanique fortement ou
faiblement non linéaire, nombre plus ou moins réduit de variables aléatoires, etc.).
Deux classes de méthodes usuelles couvrent la majorité des développements et
applications actuelles : la méthode de Monte-Carlo et une méthode d’approximation
au premier ou second ordre FORM/SORM (First/Second Order Reliability Methods).
Celles-ci sont introduites et employées dans les parties 2 à 5.
Les simulations de Monte-Carlo sont le moyen le plus robuste d’évaluer la
probabilité de défaillance d’un système complexe. Elles permettent d’obtenir des
résultats de référence et de contrôler les autres types d’approximation. Elles sont souvent
coûteuses. D’une manière générale, pour évaluer correctement une probabilité de l’ordre
−n n+2 n+3de 10 , il faut effectuer de 10 à 10 calculs mécaniques. Il est évident que cette
méthode est impossible à utiliser pour les grands systèmes à faible probabilité de
défaillance. Des techniques plus économes comme l’hypercube latin modifié, utilisé
dans [SCH 07] peuvent être envisagées comme alternatives.
Dans le cas de tirages dans l’espace standard, les méthodes FORM/SORM se
basent sur le calcul de l’indice de fiabilité, noté β , suivi par une approximation de la
probabilité de défaillance. L’indice de Hasofer et Lind [HAS 74] est le plus
couram∗ment utilisé. La recherche du point de conception P introduit auparavant peut être
effectuée par une méthode d’optimisation adaptée à la forme particulière du
problème. Une première approximation de est obtenue en remplaçant l’état limite P
f
∗H (u ) = 0 par un hyperplan tangent au point de conception P ; c’est la méthode du i
premier ordre (FORM). En tenant compte de la propriété de symétrie rotationnelle
de la densité de probabilité standard, nous estimons cette probabilité par [DIT 96] :
P ≈ Φ()− βfIntroduction 31
où est la fonction de répartition de Gauss. Le degré de précision de cette Φ
approximation est fonction de la non linéarité de l’état limite, notamment au
voisinage de P*.
L’objet de la troisième partie du traité est de présenter une autre classe de
méthodes de calcul de fiabilité, appelées « surfaces de réponse », dans la mesure où
la réponse mécanique, en général non explicite, est approchée par un métamodèle,
souvent réduit à une fonction polynomiale analytique explicite.
Cette famille de méthodes a fait l’objet de récents développements, qui sont
appliqués aux exemples d’un treillis, puis de l’ossature d’un bâtiment de plusieurs
étages. Cette partie répond donc à la question :
– comment évaluer la fiabilité d’un modèle mécanique trop coûteux ?
Les méthodes de calcul de fiabilité dans le temps
La quatrième partie du traité décrit les problèmes de fiabilité dépendant du temps,
présente la méthode « PHI2 », récemment développée [AND 04, SUD 08], ainsi que
l’actualisation de la fiabilité par le retour d’expérience. Les exemples d’application de
cette partie sont de nouveau un treillis, puis une enceinte de confinement de centrale
nucléaire. Les questions abordées ici peuvent alors se formuler ainsi :
– comment mettre en œuvre un calcul de fiabilité dépendant du temps ?
– que faire de l’information supplémentaire acquise dans le temps pour la mise à
jour de calculs de fiabilité ?
La modélisation des variabilités temporelles fait appel à la notion de processus
stochastiques ; c’est le cas pour l’étude des changements climatiques et de l’évolution
spatiale des caractéristiques des composants. Ces processus sont assimilés à une
infinité de variables aléatoires indexées sur le temps.
En plus de la moyenne et de l’écart type qui peuvent évoluer avec la variable
d’indexation, les processus stochastiques se caractérisent par la fonction
d’autocorrélation, qui implique une certaine dépendance entre les points voisins du même
processus.
En particulier, pour le problème de marge de sûreté abordée précédemment, R et
S sont modélisées par des processus stochastiques et notées R(t) et S(t). A un instant
t de la vie de l’ouvrage, la probabilité de défaillance instantanée est :
P ()t = P[]R()t ≤ S()tf32 Fiabilité des ouvrages
Si les densités instantanées f (x, t) et f (x, t) sont connues, la probabilité de R S
défaillance instantanée peut être calculée par l’intégrale : P (t)f
+∞
P ()t = F (x,t) f (x,t)dx ∫f −∞ R S
Dans la pratique, il n’est pas possible de détecter la défaillance de façon continue
sur l’axe du temps. Si la surcharge n’est pas appliquée par incréments, nous pouvons
discrétiser le temps en petits intervalles dans lesquels le niveau de sollicitation est
considéré constant, ce qui permet d’approcher la probabilité instantanée. Il est
légitime de penser que la probabilité instantanée peut être intégrée sur P (t)
f
l’intervalle [0, t] afin d’obtenir la probabilité de défaillance sur la période d’intérêt.
Néanmoins, la probabilité instantanée en t est fortement corrélée à la probabilité
instantanée en t + dt, surtout lorsque dt → 0 (le processus lui-même est
autocorrélé). Une solution classique consiste à représenter l’intégration de la
sollicitation, par l’utilisation des distributions des valeurs extrêmes (souvent
maximales), qui sont supposées représentatives sur la période d’observation. La
résistance peut parfois être supposée invariante dans le temps, mais reste dépendante
du temps en général, dans le cas de processus de corrosion par exemple [BOE 09] ;
il est aussi possible d’adopter une hypothèse pessimiste associée à la distribution de
valeurs extrêmes (c’est-à-dire minimales) de la résistance.
Le chapitre 10 (en particulier la figure 10.5), donne un exemple de calcul de la
probabilité instantanée, à ne pas confondre avec la probabilité cumulée, de la forme :
P ()t = P[]∃t ∈[0,t] / G(t) ≤ 0f ,c
Une autre approche est basée sur la considération de l’évolution de la marge de
sûreté G(t) sur la durée de vie de l’équipement ; dans ce cas, la marge est modélisée
par un processus stochastique. On cherche donc la probabilité que la marge soit
négative ou nulle sur l’intervalle d’observation ; cette approche est appelée méthode
du franchissement. L’instant auquel la marge devient négative ou nulle pour la
première fois est appelé temps à la défaillance, qui est donc une variable aléatoire.
La probabilité correspondante P[G(t) ≤ 0] est appelée probabilité du premier
franchissement ; pour les systèmes non réparables, cette dernière correspond à la
probabilité de défaillance. La distribution correspondante, par l’abus de définition
« défaillance ≡ fin de vie » est appelée distribution des durées de vie.
Afin de modéliser les phénomènes de dégradation avec ou sans chargement
monotone, on utilise des méthodes basées sur les processus stochastiques, introduits
au chapitre 10. Ceux-ci permettent de réaliser des sollicitations conformes aux Défaillance
précoce
Introduction 33
conditions de vie réelles de l’équipement. Théoriquement, la défaillance du
composant peut intervenir à n’importe quel instant après sa mise en service. Les
méthodes de génération de processus stochastiques [SHI 91] permettent de
reproduire des chargements qui se conforment au mieux aux conditions de vie
réelles des structures. Ces phénomènes peuvent être décrits statistiquement à partir
de mesures sur le processus dans le temps (c’est-à-dire mesures de la température,
de l’humidité relative, de la contrainte maximale, etc.).
Optimisation du cycle de vie des ouvrages
La cinquième partie concerne enfin l’optimisation de la maintenance par la fiabilité.
Elle présente les notions de maintenance et de cycle de vie, de coût total d’un système.
Des modèles de coûts de maintenance puis de systèmes sont ensuite introduits en vue
d’un choix de politique de maintenance. Les applications de cette partie concernent
plusieurs problèmes liés à la corrosion d’ouvrages en béton armé (poutre précontrainte,
aéroréfrigérant, etc.). Nous présentons dans les paragraphes suivants quelques notions
générales sur l’analyse du cycle de vie d’un ouvrage quelconque.
Au cours du cycle de vie d’un ouvrage, le taux de défaillance suit la courbe
convexe, illustrée sur la figure 1. Après une phase de défaillance précoce, due aux
erreurs de conception et de construction, le taux de déce est pratiquement
constant pour une grande partie de la durée de vie, tant que les mécanismes de
dégradation ne se sont pas manifestés. Après un certain temps, le phénomène de
dégradation se met en marche, conduisant à l’augmentation du taux de défaillance ;
c’est durant cette phase que la maintenance préventive peut améliorer la fiabilité
structurale et prolonger la durée de vie.
Défaillance structurale
Durée de vie de la structure
Figure 1. Courbe en baignoire
i illissementV e
Probabilité de défaillance34 Fiabilité des ouvrages
Du point de vue plus global, l’optimisation des structures doit tenir compte de
l’ensemble des coûts mis en jeu pendant toute la durée de vie.
La gestion de la durée de vie doit tenir compte du niveau de la fiabilité en
fonction de l’âge de l’ouvrage, des coûts associés aux différents événements
potentiels (perte de fonction, défaillance, inspection, réparation…), du service rendu
à la société par l’existence de l’ouvrage et de l’interaction avec l’environnement
dans l’optique du développement durable. Etant donné que le coût total est
également entaché d’incertitudes, l’optimisation de la conception et de la
maintenance doit tenir compte de la dimension aléatoire pour garantir les marges
nécessaires et pour maximiser l’espérance des bénéfices socio-économiques. Alors
que la conception s’intéresse à l’optimisation de la répartition de la matière dans le
système structural, la maintenance vise l’optimisation des méthodes et des
planifications des inspections ou réparations, en fonction de l’état de dégradation
(prévisionnel ou observé) et des interactions mécano-fiabilistes des composants dans
les systèmes mécaniques.
Conclusion du chapitre introductif
Ce chapitre introductif présente tout d’abord le cadre et l’organisation du traité. Il
aborde les méthodes qualitatives qui permettent d’analyser les modes de défaillances et
leur criticité (première partie), ainsi que des méthodes quantitatives de fiabilité
(deuxième à cinquième parties). La notion d’incertitude liée aux données des matériaux
de construction est introduite puis exploitée (deuxième et quatrièmes parties en
particulier). Ensuite, des méthodes d’évaluation de la fiabilité, sans et avec prise en
compte de l’échelle du temps, sont introduites (respectivement troisième et quatrième
parties). Enfin, une vision globale de la fiabilité système est permise, d’une part dans
l’étude fonctionnelle d’un barrage (première partie), d’autre part en incluant l’étude du
cycle de vie des ouvrages en cinquième partie (études de maintenance d’une concession
autoroutière et d’une tour aéroréfrigérante).
La figure 2 est un résumé possible de la démarche de l’analyse fiabiliste. La
première étape consiste à analyser le système mécanique, par des approches
fonctionnelle et structurelle. Cette première étape inclut une collecte d’informations
disponibles sur le système et la recherche des scénarios de défaillance potentiels,
ainsi que leur criticité. Une seconde étape consiste à définir des modèles mécanique
et probabiliste (ou possibiliste) à utiliser dans l’analyse. Ces deux modèles sont
complétés par la définition des scénarios de défaillance potentiels, pour former le
modèle mécano-fiabiliste. A défaut d’intégration directe de la probabilité de
défaillance (ce qui est très rare), des techniques de simulations de Monte-Carlo
peuvent être utilisées pourvu que le coût du calcul mécanique reste faible. Introduction 35
L’utilisation de métamodèles permet par exemple de réduire le coût d’un calcul
mécanique en lui substituant un calcul analytique approché.
Dans de nombreux cas réels, le calcul de l’indice de fiabilité est un moyen
efficace pour l’analyse des systèmes industriels. Le point de conception est obtenu
par un algorithme d’optimisation particulier, permettant de piloter directement
ou indirectement le modèle mécanique. A l’issue de cette étape, la probabilité
recherchée est estimée soit par les techniques FORM/SORM, soit par des tirages
d’importance au voisinage du point de conception. En plus du niveau de fiabilité, la
procédure permet au concepteur d’accéder aux facteurs d’importance des différents
paramètres mécaniques et probabilistes. Ces informations sont essentielles pour
l’optimisation du système en tenant compte des incertitudes aux différents niveaux
de la conception, de la fabrication, de l’installation et de la maintenance.
Collecte et validation
des informations
- Observations et données d'essais - Avis d'experts
- Retour d'expérience
- Etude de sensibilité préliminaire

Modèle mécanique Modèle probabiliste
- Modélisation du comportement - Choix des variables aléatoires
- Assurance de la précision requise - Affectation des lois de distribution - Couverture du domaine des aléas - Identification des paramètres
- Mise en place du couplage - Estimation des corrélations
Scénarios de défaillance
- Modes de défaillance
- Combinaisons des modes


Intégration directe de Intégration par
la probabilité de défaillance simulations de Monte Carlo

Calcul de l'indice de fiabilité

Etude de sensibilité Approximations de P P f f
Facteurs d'importance par tirage d'importance

Approximations de P P f f
FORM/SORM

Figure 2. Organigramme de l’analyse de fiabilité
M

o

d

è

l

e




f

i

a

b

i

l

i

s

t

e36 Fiabilité des ouvrages
Bibliographie
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