Les diagonales de l'infini

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27 pages
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Ni langage, ni outil, les mathématiques sont un discours logique dont les principes sont inventés par les mathématiciens qui en démontrent les conséquences après les avoir découvertes. Comme les êtres mathématiques sont des libres créations des mathématiciens, leur existence ne peut être constatée par l’expérience et doit être démontrée par une construction effective ou par une déduction logique. Les théories mathématiques sont aussi des créations inscrites dans un devenir, mais dont la vérité et la beauté demeurent. Cet ouvrage vise à illustrer les idées précédentes en explorant les liens entre les notions de diagonale et d’infini.




Michel Willem a enseigné les mathématiques à l’Université catholique de Louvain de 1981 à 2018. Auteur de cent-vingt publications, il a été élu à la Classe des Sciences de l’Académie royale de Belgique en 2005.

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Nombre de lectures 10
EAN13 9782803106714
Langue Français

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LES DIAGONALES DE L'INF INI
M W ICHEL ILLEM
Les diagonales de l'infini
Académie royale de Belgique rue Ducale, 1 - 1000 Bruxelles, Belgique www.academieroyale.be
Informations concernant la version numérique ISBN : 978-2-8031-0671-4 © 2019, Académie royale de Belgique
Collection L’Académie en poche Sous la responsabilité académique de Didier Viviers Volume 120
Diffusion Académie royale de Belgique www.academie-editions.be
Crédits Conception et réalisation : Laurent Hansen, Académie royale de Belgique Illustration de couverture : © Renee Jorgensen Bolinger,Logic and Computability, Huile sur toile, 2013, 28 × 35,6cm.
Publié en collaboration avec
Introduction
Ne pas se contredire, ne pas contredire l’expérience sont les règles fondamentales de la méthode scientifique. Encore les mathématiciens ne retiennent-ils que le premier précepte. La plus ancienne des sciences pose des questions fondamentales. Ni langage, ni outil, les mathématiques sont un discours logique dont les principes sont inventés par les mathématiciens qui en démontrent les conséquences après les avoir découvertes. Comme les êtres mathématiques sont des libres créations des mathématiciens, leur existence ne peut être constatée par l’expérience et doit être démontrée par une construction effective ou par une déduction logique. Les théories mathématiques sont aussi des créations inscrites dans un devenir, mais dont la vérité et la beauté demeurent. Après Euclide, comme après Phidias, on a fait autre chose, on n’a pas fait mieux. Les Éléments d’Euclide offrent encore le modèle de la méthode axiomatique. Ils doivent leur harmonie à l’austérité de leur style abstrait, déductif et lapidaire. Enfin, leur moindre attrait n’est pas de contrevenir à tous les dogmes des pédagogues. Nous illustrerons les idées précédentes en explorant les liens entre les notions de diagonale et d’infini. Le premier chapitre est consacré à la forme la plus simple d’infini mathématique, la répétition indéfinie. Nous y démontrons le principe d’incertitude de Pythagore : il est impossible de mesurer de manière exacte, avec la même unité, le côté et la diagonale d’un carré. Dans le deuxième chapitre, après avoir observé que le côté et la diagonale d’un carré comptent le même nombre de points, nous définissons la notion d’ensemble infini. Dans le troisième chapitre, nous construisons un ensemble dont les éléments sont si nombreux qu’ils ne peuvent être numérotés par la suite infinie des nombres naturels : 1, 2, 3, 4, 5,… Le quatrième chapitre est consacré à la notion de théorie axiomatique, dont la géométrie euclidienne et l’arithmétique sont des exemples. Enfin, dans le dernier chapitre, nous décrivons de manière informelle le théorème d’incomplétude de Gödel, qui affirme que toute théorie qui contient l’arithmétique est soit incomplète, soit incohérente. Les quelques démonstrations qui agrémentent le texte sont encadrées par des astérisques et peuvent être omises en première lecture. Nous utilisons les symboles >,≥,≤ qui signifient respectivement « strictement plus grand », « strictement plus petit », « plus grand ou égal », « plus petit ou égal ». Ils relient deux segments de droites ou deux nombres naturels. J’ai le grand plaisir de remercier Cathy Brichard qui, avec soin et compétence, a dactylographié le manuscrit.
1 CHAPITRE La diagonale de Pythagore
La logique peut être patiente, car elle est éternelle. Pierre Duhem U . E ’ NE MESURE GÉOMÉTRIQUE COMMENCE PHYSIQUEMENT LLE NE S ACHÈVE QUE métaphysiquement. Henri Lebesgue A . ÀnN 1. U COMMENCEMENT ÉTAIENT LES NATURELS CHAQUE NOMBRE NATUREL AJOUTONS OUS OBTENONS ainsi un nouveau natureln+ 1 : 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 4 = 3 + 1 L 1, 2, 3, 4,… . I ’ . E , A SUITE PEUT ÊTRE INDÉFINIMENT POURSUIVIE L N Y A PAS DE PLUS GRAND NATUREL N EFFET pour tout natureln, le natureln+ 1 est strictement plus grand quen. CONSIDÉRONSAVECLEPHILOSOPHE ZÉNOND’ÉLÉEUNSEGMENTDEDROITE. DIVISONS-LEENDEUX NTSÉGAUX. DIVISONSENCORELENOUVEAUSEGMENTENDEUSEGMENTSÉGAUX. COMMEDANSLECAS SEGME X , . I ’ . E PRÉCÉDENT CETTE OPÉRATION PEUT ÊTRE INDÉFINIMENT POURSUIVIE L N Y A PAS DE PLUS PETIT SEGMENT N effet, tout segment peut être divisé en deux segments égaux. Aristote remarque, dans laPhysique, que ladescente infinie a > b > c > d > …  . E , LICITE POUR LES GRANDEURS EST IMPOSSIBLE POUR LES NOMBRES NATURELS N EFFET IL N EXISTE PAS DE suite infinie strictement décroissante de nombres naturels. EXAMINONSUNEDESCENTEINFINIEQUINOUSCONDUIRAÀLUNEDESPLUSSURPRENANTESDÉCOUVERTES TIQUESDELAGRÈCEANTIQUEETMEDELHUMANITÉ. DANSLEMénon, SOCRATEDEMANDEÀUN MATHÉMA MÊ  ’ ’ ’b. P JEUNE ESCLAVE DE CONSTRUIRE UN CARRÉ DONT L AIRE SOIT LE DOUBLE DE L AIRE D UN CARRÉ DE CÔTÉ AR symétrie, la solution est donnée par le carré dont le côté est égal à la diagonale du carré de...