Les modèles mathématiques sont-ils des modèles à suivre ?

Jean Mawhin

Description

Les modèles mathématiques sont invoqués dans des domaines aussi différents que l’économie, les techniques, la climatologie, la démographie, la cosmologie, la médecine, la circulation routière, et la physique des particules. La notion est difficile à définir et la terminologie source de confusion. Il convient de clarifier le concept, en se servant de l’histoire et d’exemples.

Si la terminologie est récente, la notion est ancienne. Distinguer modèle et théorie dans une description mathématique d’un phénomène physique est délicat et lié au problème de la représentation mathématique de la réalité.

Le but de cet essai est d’expliquer, dans un langage simple, l’importance et les limitations de cet important outil de recherche scientifique et technique, et d’insister sur l’attitude critique nécessaire à son interprétation.

Jean Mawhin est professeur émérite de l’Université Catholique de Louvain et membre de la Classe des Sciences de l’Académie royale de Belgique. Mathématicien, il est l’auteur de plus de 400 publications sur l’analyse non linéaire et l’histoire des mathématiques.

Sujets

• Sciences
• Mathématiques
• Science formelle

Informations

• Publié par: Académie royale de Belgique
• Nombre de lectures: 29
• EAN13: 9782803106011
• Langue: Français

Extrait

LES MODÈLES MATHÉMATIQUES SONT-ILS DES MODÈLES À SU IVRE ?

J EAN M AWHIN

Les modèles mathématiques sont-ils des modèles à suivre ?

Académie royale de Belgique rue Ducale, 1 - 1000 Bruxelles, Belgique www.academieroyale.be

Informations concernant la version numérique ISBN : 978-2-8031-0601-1 © 2017, Académie royale de Belgique

Collection L’Académie en poche Sous la responsabilité académique de Véronique Dehant Volume 97

Diffusion Académie royale de Belgique www.academie-editions.be

Crédits Conception et réalisation : Laurent Hansen, Académie royale de Belgique

Couverture : Loredana Buscemi, Académie royale de Belgique

Publié en collaboration avec/avec le soutien de

Avant-propos

Longtemps confinés dans les universités, les instituts de recherche et les bureaux de développement, les modèles mathématiques ont littéralement envahi les médias depuis quelques années. Des modèles climatiques nous prédisent un avenir bien sombre si nous ne changeons pas nos habitudes et des modèles économiques font de même si nous les modifions trop. Des modèles financiers excellent à expliquer les crises boursières après qu’elles aient eu lieu, à défaut de les prédire. Nos gouvernants semblent construire leur budget sur des modèles qui surestiment les entrées et sous-estiment les dépenses. Ce sont aussi des modèles sophistiqués qui aident les météorologistes à prédire avec plus ou moins de bonheur le temps qu’il fera. L’expression « modèle mathématique » peut être source de confusion auprès du grand public. Elle rapproche en effet un substantif ambivalent avec un adjectif qui impose le respect. Un modèle est d’abord un idéal à imiter, alors qu’en sciences, c’est le modèle qui cherche à imiter, avec plus ou moins de succès, une réalité complexe. Par ailleurs, ce qui est mathématique est souvent pris pour absolument certain, alors que des mathématiques rigoureuses sur un modèle dépourvu de sens donnent des résultats dépourvus de sens. D’où le titre de ce petit livre, dont le modeste but est de démythifier les modèles mathématiques, montrer leur incontestable utilité et prévenir le danger d’en abuser. Si la terminologie est assez récente, la notion de modèle mathématique est très ancienne. On le montrera par des exemples. Notre regretté collègue et ami Nicolas Rouche (1925-2008) n’hésitait pas à écrire, dans un Appendice à son bel ouvrage deMécanique générale« l’histoire de la : science, c’est l’histoire de modèles inadéquats. » Cette thèse radicale n’est pas universellement partagée, mais nous semble aussi séduisante qu’éclairante. Elle est bien sûr liée au problème de la distinction entre modèle et théorie et entre théorie et réalité, qui a fait couler beaucoup d’encre et de salive, en particulier chez les philosophes des sciences. Le peintre surréaliste belge René Magritte (1898-1967) a posé le problème avec un minimum de mots et un maximum de pertinence dans son célèbre tableau «Ceci n’est pas une pipe». Après tout, un peintre n’est-il pas, par nature, un expert en modèles ? Dans cet ouvrage, avec une pointe de provocation, les théories mathématisées seront toujours considérées comme des modèles mathématiques. Nous n’obligeons personne à nous suivre dans cette voie, mais elle a le mérite de rendre les savants plus modestes et la science moins dogmatique. Ce texte n’est pas un modèle à suivre ; il n’est qu’une invitation à réfléchir. On ne parlera pas, dans ce petit livre, de la notion de modèle en logique mathématique, ni des discussions philosophiques (sans fin) sur la notion de modèle et ses avatars en sciences, ni des nombreuses techniques de modélisation mathématique, ni des relations entre modèles mathématiques et modèles informatiques. Dans les exemples, on évitera de faire appel à des notions mathématiques ou scientifiques sophistiquées. Les quelques formules mathématiques qui émaillent le texte n’utilisent que des mathématiques du niveau de l’enseignement secondaire. Elles ne devraient pas effrayer le lecteur, qui peut, s’il le désire, les ignorer sans perdre le fil du propos. Pourtant, si, au lieu de modèles mathématiques, cet essai parlait de modèles qualifiés de « top », peu de lecteurs seraient enclins à ignorer les images. Ce texte est la version développée d’exposés présentés en 2015 et 2016 au Forum-IRTS Lorraine à Nancy, au Collège Belgique à Namur et à ALTAIR à l’Université libre de Bruxelles. Les questions et les réactions des auditeurs ont été très précieuses. Qu’ils en soient remerciés. Les références aux citations et à des lectures complémentaires ont été rassemblées dans une bibliographie située en fin de volume. Pour rendre la lecture plus aisée, il n’y a pas de renvoi direct aux références dans le texte. Le lecteur n’aura aucune peine à faire les liens correspondants.

C 1 HAPITRE Les mots et la chose

« Madame, quel est votre mot, Et sur le mot et sur la chose ? […] Pour moi voici quel est mon mot Et sur le mot et sur la chose. » Abbé de Lattaignant L ES MOTS P OURUNDICTIONNAIREPASTROPRÉCENT , LESUBSTANTIF « MODÈLE » ESTUNEMPRUNTÀL ’ ITAL m IE o N dello e XVI , ( ). L D U SIÈCLE REPRÉSENTATION MINIATURE DE CE QUI SERA CONSTRUIT EN GRAND MODÈLE RÉDUIT E e  ’ , ’ . I XX TERME PREND ENSUITE LE SENS D OBJET RÉFÉRENT PUIS D IDÉAL À IMITER L FAUT ATTENDRE LE SIÈCLE pour voir apparaître le sens technico-scientifique sur lequel porte notre propos. L’ ADJECTIF  « MATHÉMATIQUE  », ISSUDULATIN mathematicus, LUI - MÊMEDÉRIVÉDUGREC mathematikos), « » , ( QUI AIME APPRENDRE SIGNIFIE BIEN SÛR RELATIF AUX MATHÉMATIQUES PUIS PAR  , « : , GLISSEMENT DE SENS QUI RÉSULTE DE QUALITÉS PROPRES AU RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE DÉDUCTIF rigoureux, exact », et en fin de compte « absolument certain, inévitable ». O NPEUTÊTRETENTÉD ’ ENCONCLUREOUDELAISSERENTENDREQU ’ UNMODÈLEMATHÉMATIQUEPOSSÈDEPAR  . C ’ , ESSENCE LA PERFECTION ULTIME LIÉE AUX DEUX MOTS QUI LE DÉFINISSENT ERTAINS NE S EN PRIVENT PAS souvent par ignorance, dans les médias ou chez les décideurs. I « L FAUT CONSULTER UN DICTIONNAIRE PLUS RÉCENT POUR TROUVER LE SENS DE MODÈLE COMME REPRÉSENTATIONSIMPLIFIÉED ’ UNPROCESSUS , D ’ UNSYSTÈME  », ETCELUIDE  « MODÈLEMATHÉMATIQUE  »  « ’ , COMME TRADUCTION D UNE OBSERVATION DANS LE BUT DE LUI APPLIQUER LES OUTILS TECHNIQUES ET  , , THÉORIES MATHÉMATIQUES ET EN SENS INVERSE LA TRADUCTION DES RÉSULTATS MATHÉMATIQUES OBTENUS EN prédictions ou opérations dans le monde réel ». L A CHOSE D ,a priori ’ ANS TOUTE MODÉLISATION MATHÉMATIQUE IL Y AURA UN CHOIX DE L ENVIRONNEMENT  ’ , ’ MATHÉMATIQUE SERVANT À DÉCRIRE L ENSEMBLE DES PHÉNOMÈNES DÉCRITS ET LA FORMULATION S IDENTIFIE rarement aux manifestations physiques réelles. L ESÉCUEILSDELAMODÉLISATIONMATHÉMATIQUEAPPARAISSENTAUSSITÔT . U NMODÈLETROPPRÉCISOU  . I TROP COMPLET CONDUIT À DES PROBLÈMES INSOLUBLES PAR LES MATHÉMATIQUES CONNUES L EST DONC IMPRATICABLE . L’ ANALOGIEAVECLEPETITTEXTE De la rigueur de la science DE  J ORGE  L UIS Borges (1899-1986), , , ’ OÙ POUR OBTENIR LA PRÉCISION ULTIME LES GÉOGRAPHES PROPOSENT UNE CARTE À L ÉCHELLE 1:1, est éclairante. « E NCETEMPIRE , L ’ ARTDELACARTOGRAPHIEFUTPOUSSÉÀUNETELLEPERFECTIONQUELACARTED ’ UNE  ’ . A SEULE PROVINCE OCCUPAIT TOUTE UNE VILLE ET LA CARTE DE L EMPIRE TOUTE UNE PROVINCE VEC LE EMPS , CESCARTESDÉMESURÉESCESSÈRENTDEDONNERSATISFACTIONETLESCOLLET ÈGES D CARTOGRAPHES  ’ , ’ , LEVÈRENT UNE CARTE DE L EMPIRE QUI AVAIT LE FORMAT DE L EMPIRE ET QUI COÏNCIDAIT AVEC LUI  . M ’ , POINT PAR POINT OINS PASSIONNÉES POUR L ÉTUDE DE LA CARTOGRAPHIE LES GÉNÉRATIONS SUIVANTES  , , ’ RÉFLÉCHIRENT QUE CETTE CARTE DILATÉE ÉTAIT INUTILE ET NON SANS IMPIÉTÉ ELLES L ABANDONNÈRENTÀ ’ . D ’ , L INCLÉMENCE DU SOLEIL ET DES HIVERS ANS LES DÉSERTS DE L OUEST SUBSISTENT DES RUINES TRÈS ABIMÉESDELACARTE . D ESANIMAUXETDESMENDIANTSLESHABITENT . D ANSTOUTLEPAYS , ILN ’ YA  ’ . » (S M ,Viajes de Varones PLUS D AUTRE TRACE DES DISCIPLINES GÉOGRAPHIQUES UAREZ IRANDA Prudentes, livre IV , chapitre XIV , Lérida, 1658) O B ’Sylvie and Bruno N PEUT PENSER QUE ORGES A TROUVÉ SON INSPIRATION DANS L OUVRAGE concluded DEL ’ ÉCRIVAINETPROFESSEURDEMATHÉMATIQUES L EWIS Carroll (1832-1898). L EDIALOGUE suivant peut être lu comme une allégorie des limites de la modélisation. « — C’ ESTUNEAUTRECHOSEQUENOUSAVONSAPPRISEDEVOTRE  N ATION , DIT  M EIN  H ERR , LA . M ’ . S , CARTOGRAPHIE AIS NOUS L AVONS MENÉE BEAUCOUP PLUS LOIN QUE VOUS ELON VOUS À QUELLE

échelle une carte détaillée est-elle réellement utile ? — Environ six pouces pour un mile. — S ! ’ M H . N IX POUCES SEULEMENT S EXCLAMA EIN ERR OUS SOMMES RAPIDEMENT PARVENUS À SIX YARDSPOURUNMILE . E TPUISESTVENUEL ’ IDÉELAPLUSGRANDIOSEDETOUTES . E NFAIT , NOUSAVONS réalisé une carte du pays, à l’échelle d’un mile pour un mile ! — L’avez-vous beaucoup utilisée ? demandai-je. — E LLEN ’ AJAMAISÉTÉDÉPLIÉEJUSQU ’ ÀPRÉSENT , DIT M EIN H ERR . L ESFERMIERSONTPROTESTÉ : ILS  ’ ! A ONT DIT QU ELLE ALLAIT COUVRIR TOUT LE PAYS ET CACHER LE SOLEIL USSI NOUS UTILISONS MAINTENANT  - , , LE PAYS LUI MÊME COMME SA PROPRE CARTE ET JE VOUS ASSURE QUE CELA CONVIENT PRESQUE AUSSI bien. » N R ’ : « L ICOLAS OUCHE EXPRIME CE POINT DE VUE D UNE AUTRE MANIÈRE E SEUL MODÈLE QUI SERAIT  ’ , . » E ENTIÈREMENT ADÉQUAT DEVRAIT ENGLOBER LA TOTALITÉ DE L UNIVERS Y COMPRIS LE SUJET PENSANT NCORE faudrait-il disposer des mathématiques pour le faire ! C EUX QUI COMPTENT SUR LA PUISSANCE DE CALCUL SANS CESSE CROISSANTE DES ORDINATEURS POUR PALLIER CETTE DIFFICULTÉ ET TRAITER DES MODÈLES ARBITRAIREMENT COMPLIQUÉS NE DOIVENT PAS OUBLIER LE DÉLICAT PROBLÈMEDEL ’ ADÉQUATIONENTRELESSOLUTIONSNUMÉRIQUESETLESSOLUTIONSRÉELLES . A INSI , EN MÉCANIQUEDESFLUIDES , LEMODÈLEATOMIQUEVOUDRAITQU ’ ONPARTEDESÉQUATIONSDE Newton  . C’ APPLIQUÉES À UN TRÈS GRAND NOMBRE DE PARTICULES EST UN PROBLÈME DISCRET DONT LA COMPLICATION  . O ’ , DÉPASSE NOS FORCES N L APPROCHE PAR UN MODÈLE CONTINU RÉGI PAR DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES  . L PARTIELLES NON LINÉAIRES EUR ÉTUDE MATHÉMATIQUE RIGOUREUSE DÉPASSE DE NOUVEAU NOS FORCES EN . O ’ , ’ - - GÉNÉRAL N FAIT APPEL À L ORDINATEUR QUI EXIGE UNE DISCRÉTISATION DU PROBLÈME C EST À DIRE À UN retour à un nombre fini de particules, qui n’ont rien à voir avec celles de départ. C’ ESTUNESITUATIONANALOGUEÀCELLEDELATRADUCTIOND ’ UNEPHRASEENFRANÇAISENANGLAIS ,  . L . B , TRADUITE À NOUVEAU EN FRANÇAIS ES DEUX PHRASES FRANÇAISES SONT EN GÉNÉRAL DIFFÉRENTES IEN SÛR LEMODÈLECONTINUDISCRÉTISÉSERAENGÉNÉRALTRAITABLEPARORDINATEURALORQUELEMODÈLEDISC S RET d’origine ne l’est pas, mais l’adéquation de deux problèmes repose souvent sur un acte de foi. A ’ ’ , UCUN MODÈLE UTILISABLE N EST DONC CORRECT PAR RAPPORT À CE QU IL PRÉTEND DÉCRIRE COMME LE soulignent avec pertinence Jean-Paul Delahaye et François Rechenman. « L , , ’ A QUESTION EST NON PAS DE SAVOIR SI UN MODÈLE EST CORRECT OU NON MAIS D APPRÉCIER SON ANSUNPROCESSUSDECOMPRÉHENSIONPROGRESSIVEDUSYSTÈMEETDESES APPORT D , . U COMPORTEMENTS MOTIVÉ PAR UN ENSEMBLE DE QUESTIONS INITIALEMENT EXPLICITÉES N BON modèle est un modèle utile. » Les mêmes auteurs ajoutent que « tout...