Optique guidée

Optique guidée

-

Livres
414 pages

Description

En deux décennies, les communications par fibres optiques ont pris un essor considérable et de nombreux dispositifs tout-fibre ont été développés. L'ouvrage Optique guidée – Fibres optiques et composants passifs tout-fibre expose les fondements de l'optique guidée linéaire et les solutions des équations d'onde appliquées aux structures guidantes simples, comme les guides d'onde plans à une dimension et les fibres optiques à symétrie circulaire. Il établit rigoureusement les solutions scalaires et vectorielles des modes guidés. Il traite aussi des dispositifs tout-fibre utilisés couramment en optique guidée, dont les réseaux distribués de Bragg intégrés aux fibres, les fibres effilées et leurs propriétés de filtrage spectral, les épissures entre fibres et les coupleurs à fibres employés comme diviseurs de puissance, séparateurs de longueurs d'onde ou de modes. De nombreux graphiques illustrent la théorie et les résultats expérimentaux. Une série de problèmes résolus complète l'ouvrage. Ce livre est un outil indispensable pour les étudiants des cycles supérieurs et les chercheurs du domaine qui veulent comprendre les propriétés fondamentales de la propagation de la lumière dans les structures optiques guidantes usuelles.

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Date de parution 08 juillet 2011
Nombre de lectures 153
EAN13 9782553015625
Licence : Tous droits réservés
Langue Français

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Extrait de la publication
Extrait de la publicationJacques
Bures
Optique
guidée
Pres ses interna tionales
Pol ytechniqu e
Fibres optiques et composants passifs tout-fbreCatalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec et
Bibliothèque et Archives Canada
Bures, Jacques
Optique guidée : fbres optiques et composants passifs tout-fbre
Comprend des réf. bibliogr. et un index.
ISBN 978-2-553-01420-8
1. Optique intégrée. 2. Guides d’ondes optiques. 3. Fibres optiques. 4. Optique
intégrée - Problèmes et exercices. I. Titre.
TA1660.B87 2008 621.36’93 C2009-940007-3
Optique guidée – Fibres optiques et composants passifs tout-fbre
Jacques Bures
Chargée de projet : Luce Venne-Forcione
Révision : Rolande Leblanc-Vadeboncœur
Couverture : Cyclone Design
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à l’adresse suivante : www.polymtl.ca/pub
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© Presses internationales Polytechnique, 2009
On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du présent ouvrage, sous quelque forme
ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir obtenu au préalable l’autorisation écrite
de l’éditeur.
erDépôt légal : 1 trimestre 2009 ISBN 978-2-553-01420-8 (version imprimée)
Bibliothèque et Archives nationales du Québec ISBN 978-2-553-01562-5 (version PDF) Archives Canada Imprimé au CanadaAvant-propos
Quoi de plus simple en apparence que la propagation de l’onde électromagnétique
plane, monochromatique et homogène dans l’espace libre… Le couple formé par
les champs électrique, E, et magnétique, H, intimement reliés par les équations de
Maxwell, se comporte très sagement : en effet, E et H sont partout proportionnels
et perpendiculaires en tout point et forment un plan normal à la direction de
propagation. Ces champs sont linéairement polarisés et le continuum de solutions
découlant de l’équation d’onde scalaire de Helmholtz suffit pour décrire
parfaitement la propagation de cette onde optique.
Malheureusement, même dans le vide, cette onde idéale s’étendant uniformément
dans tout l’espace n’existe pas dans la réalité, pas plus d’ailleurs que le rayon
infiniment étroit qui est son équivalent en optique géométrique. L’onde optique est
physiquement inhomogène et, pour en rendre compte correctement, il faut la
décomposer en spectre angulaire d’ondes planes homogènes, chacune obéissant à
l’équation de Helmholtz.
Tout se complique encore plus pour l’onde guidée, car maintenant le couple E, H
se dissipe fortement. Des interférences apparaissent dans les directions normales
aux frontières du guide et donnent lieu à des solutions discrètes et invariantes dans
la direction de propagation : ce sont les modes guidés. Des composantes
longitudinales e et h apparaissent et sont en quadrature avec les composantes transverses E z z t
et H, qui ne sont plus proportionnelles ni perpendiculaires. Les lignes de pola-t
risation dans le plan de section droite du guide ne sont plus des droites : elles ont
des allures variées, parfois même artistiques. L’équation d’onde scalaire n’est plus
valable et il faut utiliser les équations d’onde vectorielles beaucoup plus générales,
mais dont les solutions sont bien plus compliquées. Enfin, quelques problèmes
supplémentaires apparaissent quand le guide n’est plus invariant en
translation, comme c’est le cas de la fibre effilée, des réseaux de Bragg intégrés, des
coupleurs et des épissures.
C’est dans ce contexte de difficultés que j’ai élaboré cet ouvrage. Il s’adresse aux
étudiants des cycles supérieurs en optique du Département de génie physique de
l’École Polytechnique de Montréal et, plus particulièrement, aux étudiants du
groupe de recherche sur les fibres optiques. Durant ma carrière de professeur actif,
j’ai pu constater que certains étudiants, brillants pour la plupart, avaient dès le
début de leurs recherches en maîtrise ou au doctorat certaines difficultés de
compréhension concernant les concepts généraux de l’optique guidée et les
composants de base à fibres optiques comme les coupleurs, les fibres effilées ou les
réseaux de Bragg intégrés. IV Avant-propos
Il s’agit donc d’un ouvrage présentant un cours de base, mais de haut niveau, limité
cependant aux modes guidés en optique linéaire. Il part des équations de Maxwell
pour les milieux diélectriques. Les équations d’onde vectorielles qui en découlent
sont résolues exactement pour les guides d’onde plans à une dimension et pour les
fibres optiques multicouches à sauts d’indice et à symétrie circulaire. Dans les
autres cas, il faut faire appel à des techniques purement numériques. Une place
importante est réservée à la théorie et à la modélisation des composants de base à
fibres optiques. Ainsi, les notions fondamentales de guides perturbés, de couplage
de modes, de modes locaux, de couplage entre fibres et de supermodes sont
développées. À de rares exceptions près, toutes les démonstrations sont détaillées,
et ce, parfois au prix d’une certaine lourdeur. De nombreux graphiques illustrent la
théorie et les résultats expérimentaux. Quelques annexes indispensables ont été
ajoutées, comme les définitions, les propriétés et les intégrales des fonctions de
Bessel et modifiées de Bessel ainsi que les définitions des indices absolus des
milieux diélectriques utilisés dans les calculs. Enfin, une série de problèmes résolus
complète l’ouvrage.
Je suis très reconnaissant aux étudiants qui ont grandement contribué par
leurs recherches au développement du laboratoire des fibres optiques. Je remer-
cie particulièrement monsieur François Gonthier ainsi que madame Isabelle
Vaillancourt et messieurs Patrick Orsini et Denis Perron qui m’ont donné la
permission de reproduire certains résultats et certaines figures de leur mémoire de
maîtrise et de leur thèse de doctorat. Je remercie aussi tous ceux qui m’ont aidé
dans mon enseignement, particulièrement monsieur Xavier Daxhelet, qui m’a
fourni certains résultats numériques obtenus par la méthode des différences finies,
et aussi ma collègue, la professeure Suzanne Lacroix, avec laquelle j’ai eu et je
continue d’avoir de nombreuses discussions, toujours très fructueuses.
Jacques Bures
Professeur
Département de génie physique
École Polytechnique de Montréal

Décembre 2008

Table des matières
Avant-propos ......................................................................................................... III
Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées ............................................. XI
Chapitre 1 Équations d’onde vectorielles
1.1 Équations de Maxwell pour les milieux diélectriques ...................................... 1
1.2 Équations d’onde vectorielles inhomogènes .................................................... 2
1.3 Équations d’onde vectorielles hom....................................................... 4
1.4 Guides d’onde invariants en translation et modes de propagation ................... 4
1.4.1 Composantes polaires cylindriques ..................................................... 5
1.4.2 Composantes cartésiennes ................................................................... 9
1.5 Modes TE et TM ............................................................................................. 12
1.5.1 Cas des guides d’onde plans invariants en y et z ............................... 13
1.5.2 Cas d’une distribution d’indice n(r) à symétrie circulaire ................ 15
1.5.3 Conclusion sur les modes TE et TM .................................................. 16
1.6 Nature des solutions des équations d’onde vectorielles ................................. 16
1.7 Conclusion ...................................................................................................... 19
Chapitre 2 Propriétés fondamentales des modes vectoriels
2.1 Théorèmes de réciprocité ............................................................................... 21
2.2 Constante de propagation, vitesse de phase et conventions d’écriture ........... 23
2.3 Orthonormalité des modes guidés .................................................................. 26
2.4 Énergie électromagnétique emmagasinée ...................................................... 28
2.5 Vecteur de Poynting et densité de puissance.................................................. 29
2.6 Vitesse de groupe ........................................................................................... 30
2.6.1 Temps de parcours de groupe ........................................................... 32
2.6.2 Dispersion et élargissement des impulsions ...................................... 32
2.7 Décomposition des champs sur la base des modes guidés ............................. 33
2.8 Profil d’indice et indice effectif ..................................................................... 34
2.9 Fraction de puissance modale dans le cœur ................................................... 36
2.10 Conclusion ...................................................................................................... 36
Chapitre 3 Solutions vectorielles exactes pour les guides d’onde
3.1 Guides plans à une dimension ........................................................................ 38
3.1.1 Guide plan symétrique à saut d’indice .............................................. 38
3.1.2 Guide d’onde plan dissymétrique à saut d’indice ............................. 53
3.1.3 plan symétrique multicouches à saut d’indice ............ 58
3.2 Solutions exactes pour les fibres optiques à deux couches ............................ 65
3.2.1 Choix des solutions pour e et h ....................................................... 66 z z
3.2.2 Équation aux valeurs propres ............................................................ 68
3.2.3 Modes TE et TM (ν = 0) .................................................................... 69
Extrait de la publicationVI Table des matières

3.2.4 Modes hybrides HE et EH (ν ≠ 0) .................................................... 71
3.2.5 Limites asymptotiques des équations aux valeurs propres
des modes TE et TM .......................................................................... 71
3.2.6 Limites asymptotiqes
des modes HE et EH ......................................................................... 72
3.2.7 Solutions numériques U(V) ............................................................... 76
3.2.8 Expressions analytiques des champs ................................................. 77
3.2.9 Constantes de normalisation ............................................................. 83
3.2.10 Fraction de puissance véhiculée dans le cœur ................................... 85
3.2.11 Vitesse de groupe .............................................................................. 92
3.2.12 Polarisation des champs électrique et magnétique transverses ......... 92
3.2.13 Densité modale de puissance des modes hybrides ............................ 97
3.2.14 Distribution radiale des composantes des modes hybrides ............. 100
3.3 Solutions exactes pour les fibres optiques multicouches à saut d’indice ..... 102
3.3.1 Méthode matricielle ........................................................................ 105
3.3.2 Méthode de proche en proche ......................................................... 106
3.3.3 Cas des modes TE et TM ................................................................. 108
3.3.4 Exemple de calcul pour la fibre SMF28™ ...................................... 108
3.3.5 Courbes des indices effectifs ........................................................... 110
3.3.6 Vitesse de groupe et dispersion intramodale pour HE et EH 11 11
de la fibre SMF28™ ........................................................................ 111
3.3.7 Mode fondamental des fibres multicouches à saut d’indice ............ 113
3.4 Solutions exactes pour les fibres optiques à gradient d’indice ..................... 116
3.5 Conclusion .................................................................................................... 117
Chapitre 4 Théorie des modes scalaires
4.1 Équation d’onde scalaire .............................................................................. 122
4.2 Fibres à deux couches à saut d’indice .......................................................... 124
4.2.1 Équation aux valeurs propres .......................................................... 125
4.2.2 Valeurs limites de U(V) ................................................................... 126
4.2.3 Nomenclature des modes ................................................................ 128
4.2.4 Polarisation des modes LP .............................................................. 129
4.2.5 Graphique universel U(V) ............................................................... 130
4.2.6 Graphique n (V) ............................................................................. 131 eff
4.2.7 Normalisation des modes 131
4.2.8 Exemples de calcul de profils radiaux Ψ (r) ................................... 133
4.2.9 Fraction de puissance véhiculée dans le cœur ................................. 135
4.2.10 Vitesse de groupe ............................................................................ 137
4.3 Fibres multicouches à saut d’indice ............................................................. 139
4.3.1 Équation aux valeurs propres .......................................................... 139
4.3.2 Exemples de calculs numériques..................................................... 141
4.3.3 Normalisation des modes ................................................................ 144
4.3.4 Vitesse de groupe 144
4.3.5 Fraction de puissance véhiculée dans le cœur ................................. 145
4.4 Fibres à gradient d’indice ............................................................................. 145 Table des matières VII
4.4.1 Résolution de l’équation d’onde scalaire ........................................ 146
4.4.2 Autres calculs .................................................................................. 147
4.4.3 Exemple de calcul numérique ......................................................... 147
4.5 Conclusion .................................................................................................... 149
Chapitre 5 Dégénérescence des modes vectoriels et corrections
de polarisation
5.1 Dégénérescence des modes vectoriels en guidage faible
(fibre à deux couches) .................................................................................. 152
5.1.1 Formes dégénérées de l’équation aux valeurs propres .................... 152
5.1.2 Formes dégénérées des composantes des champs ........................... 153
5.1.3 Dégénérescence des polarisations ................................................... 156
5.1.4 Combinaisons des modes dégénérés en modes LP ......................... 159
5.1.5 Généralisation aux fibres multicouches et à gradient d’indice ........ 163
5.2 Corrections de polarisation pour les fibres à deux couches ......................... 163
5.2.1 Formule générale ............................................................................. 164
5.2.2 Approximation des champs voisins................................................. 165
5.2.3 Fibres à symétrie circulaire ............................................................. 165
5.3 Corrections de polarisation pour les autres fibres à symétrie circulaire ....... 171
5.3.1 Exemple 1 : la fibre à saut d’indice à N couches............................. 172
5.3.2 ple 2 : la fibre à profil d’indice continu ................................. 172
5.3.3 Exemple 3 : la fibre à profil d’indice composé ............................... 173
5.4 Conclusion .................................................................................................... 173
Chapitre 6 Couplage de modes et réseaux de Bragg
6.1 Équations générales de couplage de modes ................................................. 176
6.1.1 Équation de couplage pour un mode progressif j ............................ 176
6.1.2 un mode régressif -j ............................. 178
6.1.3 Équations générales de couplage..................................................... 179
6.1.4 Conservation de l’énergie ............................................................... 180
6.1.5 Couplage de deux modes en présence d’une perturbation
périodique et réseaux de Bragg ....................................................... 181
6.2 Couplage de deux modes codirectionnels .................................................... 182
6.2.1 Résolution des équations couplées .................................................. 183
6.2.2 Réponse en fréquence des réseaux de Bragg opérant
en transmission ................................................................................ 185
6.3 Couplage de deux modes contradirectionnels .............................................. 188
6.3.1 Résolution des équations couplées 188
6.3.2 Réponse en fréquence des réflecteurs de Bragg .............................. 193
6.4 Réalisation expérimentale des réseaux de Bragg ......................................... 197
6.4.1 Réseau réflecteur de Bragg obtenu par onde stationnaire ............... 197
6.4.2 enu par masque de phase ............... 204
6.4.3 Réseau de Bragg à long pas obtenu par décharge électrique .......... 209
6.4.4 Réseau de Bragg à long pas obtenu par laser CO .......................... 211 2
6.5 Conclusion .................................................................................................... 213 VIII Table des matières

Chapitre 7 Fibres effilées
7.1 Modes locaux ............................................................................................... 218
7.1.1 Modes normaux d’un guide local uniforme .................................... 218
7.1.2 Modes locaux de la fibre effilée ...................................................... 219
7.1.3 Orthonormalité des modes locaux ................................................... 219
7.1.4 Décomposition sur la base des modes locaux ................................. 220
7.2 Équations de couplage des m.................................................... 221
7.2.1 Équations de couplage et première forme des coefficients ............. 221
7.2.2 Symétrie des C .............................................................................. 223 jm
7.2.3 Deuxième forme des coefficients de couplage ................................ 223
7.2.4 Autre écriture des équations de couplage ........................................ 225
7.3 Cas des guides à N sauts d’indice et à symétrie circulaire ........................... 227
7.3.1 Modes vectoriels ............................................................................. 227
7.3.2 Mode scalaires en guidage faible .................................................... 228
7.4 Comportement modal des fibres effilées ...................................................... 229
7.4.1 Zones caractéristiques du guide 230
7.4.2 Interférométrie modale .................................................................... 231
7.5 Étude expérimentale d’une fibre effilée ....................................................... 233
7.5.1 Puissance transmise pendant l’étirage ............................................. 233
7.5.2 Réponse en longueur d’onde ........................................................... 234
7.5.3 Réponse en fonction de l’indice extérieur ....................................... 235
7.6 Applications technologiques des fibres effilées ........................................... 236
7.6.1 Capteur de température ................................................................... 236
7.6.2 Capteur de déplacement et de courbure .......................................... 237
7.6.3 Filtre spectral passe (λ ) /stoppe (λ ) ............................................... 237 p s
7.6.4 passe bande .............................................................. 241
7.6.5 Concentrateur de puissance ............................................................. 243
7.6.6 Fibres effilées à pentes très abruptes ou très faibles : adiabaticité .. 250
7.7 Conclusion ................................................................................................... 252
Chapitre 8 Épissures entre fibres
8.1 Transmission et réflexion à l’épissure .......................................................... 255
8.1.1 Calcul des amplitudes des modes réfléchis et transmis ................... 256
8.1.2 Calcul des intégrales de recouvrement I ........................................ 258 jk
8.1.3 Exemple de calcul numérique ......................................................... 259
8.2 Interféromètre modal en réflexion ................................................................ 260
8.3 mètre bimodal en transmission ....................................................... 263
8.4 Réflexion et transmission à l’entrée d’une fibre .......................................... 265
8.5 Conclusion .................................................................................................... 270
Chapitre 9 Coupleurs 2 × 2
9.1 Couplage par recouvrement des champs d’une fibre sur l’autre .................. 277
9.1.1 Équations et coefficients de couplage ............................................. 279
9.1.2 Fibres unimodales et coupleur adiabatique ..................................... 281
229.1.3 Interprétation de la quantité n x,,yz − n x,,yz ................... 282 () ()Table des matières IX
129.1.4 Expression de C pour deux fibres identiques à saut 1,1
d’indice n et n ............................................................................... 283 c g
119.1.5 e C , correction de β du mode LP 01011,1
de la fibre 1 ..................................................................................... 285
12 119.1.6 Calcul numérique de C et de C ............................................... 286 1,1 1,1
9.1.7 Résolution des équations couplées pour le coupleur adiabatique
à fibres identiques ........................................................................... 287
9.1.8 Matrice de transfert ......................................................................... 288
()2 ()1
9.1.9 Coupleur avec b 00= et b 01= ..................................... 289 () ()1 1
9.1.10 Exemples de calculs numériques et de modélisation
d’un coupleur .................................................................................. 289
129.1.11 Expression du coefficient de couplage C pour deux fibres j, k
différentes ........................................................................................ 293
9.1.12 Couplages autres que codirectionnel ou en désaccord de phase ..... 296
9.2 Couplage par battements entre les supermodes ........................................... 296
9.2.1 Illustration des premiers supermodes d’un coupleur 2 × 2
à fibres identiques ........................................................................... 297
9.2.2 Couplage par battements entre les deux premiers supermodes ....... 300
9.2.3 Calcul des supermodes .................................................................... 301
9.2.4 Modélisation de la structure partiellement fusionnée ...................... 303
9.2.5 Recherche des valeurs propres ........................................................ 305
9.3 Comparaison numérique des deux méthodes ............................................... 307
9.4 Résultats expérimentaux .............................................................................. 309
9.4.1 Présentation et analyse des résultats ................................................ 309
9.4.2 Modélisation des effets de la polarisation ....................................... 313
9.5 Coupleurs spéciaux ...................................................................................... 314
9.5.1 Coupleurs diviseurs de puissance indépendants
de la longueur d’onde ...................................................................... 314
9.5.2 Coupleurs à réponse abrupte ........................................................... 317
9.5.3 Coupleurs à réponse élargie ............................................................ 319
9.5.4 Coupleurs en boucle ........................................................................ 320
9.5.5 Coupleurs séparateurs de modes ..................................................... 325
9.6 Conclusion .................................................................................................... 327
Problèmes et solutions ........................................................................................ 331
Annexe A Fonctions de Bessel et modifiées de Bessel d’ordre entier ............... 363
Annexe B Démonstration de l’identité utilisée pour établir la formule
de la vitesse de groupe....................................................................... 373
Annexe C Méthode pour discerner les modes vectoriels HE et EH
d’une fibre multicouche..................................................................... 377
Annexe D Définitions des indices de réfraction ................................................. 385
Index ..................................................................................................................... 389
Symboles, opérateurs et systèmes
de coordonnées
SYMBOLES
* : complexe conjugué
i = -1
Re, Im : parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe
J : densité de courant
σ : densité de charge
ω : fréquence angulaire
k : nombre d’onde dans le vide
λ : longueur d’onde dans le vide
c : vitesse de la lumière dans le vide
n : indice du milieu; n (cœur), n (gaine), n (extérieur) c g e
ε : permittivité diélectrique (ε pour le vide) 0
μ : perméabilité magnétique (μ pour le vide) 0
r : vecteur position
nˆ : vecteur unitaire normal à une surface
ˆˆ ˆij, , k ou xyˆˆ, , zˆ: vecteurs unitaires des composantes cartésiennes
x, y, z : coordonnées cartésiennes
ˆˆ ˆrz, , ϕ :posantes polaires cylindriques
r, φ, z : coordonnées polaires cylindriques
E : vecteur champ électrique
ep électrique d’un mode j j
eˆp électrique normalisé d’un mode j j
ˆEe, , e : vecteurs champs électriques transverses tt t
H : vecteur champ magnétique
hp magnétique d’un mode j j
ˆh : vecteur champ magnétique normalisé d’un mode j
j
ˆHh, , h:vecteurs champs magnétiques transverses ttt
S : vecteur de Poynting A
A
A
A
A
A
XII Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées
e , h : composantes longitudinales des vecteurs champ électrique et magnétique e z z
et h
e , e ou e , e : composantes transverses cartésiennes ou polaires du vecteur champ x y r φ
électrique e
h , h ou h , h : composantes transverses cartésiennes ou polaires du vecteur x y r φ
champ magnétique h
e , h : amplitudes des vecteurs champ électrique et magnétique transverses e et h t t t t
β : constante de propagation axiale le long de l’axe z
ab= expiβz : amplitude modale d’un mode j (guide de section constante) ()jj j
z⎧⎫⎪⎪
az =b z expi β z dz : amplitude modale d’un mode j (guide de () ( ) (′′)⎨⎬jj j∫ 0 section variable) ⎩⎭
N : constante de normalisation d’un mode j j
, m : numérotation des modes scalaires linéairement polarisés LP m
ν, m : numodes vectoriels TE , TM , HE et EH 0m 0m νm νm
ρ ou ρ : rayon du cœur de la fibre
c
ρ : rayon de la gaine intermédiaire d’une fibre g
U, W, V : paramètres modaux et fréquence normalisée
Ψ r : champ radial d’un mode scalaire linéairement polarisé LP ()m m
ˆΨ ()r : champ radial normalisé d’un mode scalaire linéairement polarisé LP m m
∇ : opérateur gradient
∇ : opérateur gradient transverse t
2∇ : opérateur scalaire laplacien
2∇ : opérateur scalaire laplacien transverse t
2∇ : opérateur vecteur laplacien
2∇ : opérateur vecteur laplacien transverse t
δ : distribution de Dirac d
OPÉRATEURS
Opérateurs en composantes cartésiennes appliqués sur
⎧Un scalaire Ψ xy, ,z()⎪
⎨ ˆˆ ˆ ˆUn vecteurAAx,y,z=+zA=xA xy,,z+yA xy,,z+zA x,y,z () ( ) ()tz x y z⎪⎩
Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées XIII
• Opérateur gradient ∇
∂∂ΨΨ ∂Ψ ∂Ψ
ˆˆ ˆ ˆgradient : ∇∇ΨΨ()xy,,z=+zx= +y +z t ∂y ∂z
∂A∂∂AA ∂Ayzx zdivergence :∇∇⋅AA()xy,,z= ⋅ +=+ + tt ∂y ∂z
xyˆˆ zˆ
∂A⎧ ⎫∂Ay xˆrotationnel : ∇∧ A()x,,yz = ∂ ∂x ∂∂y ∂∂z et ∇∧=Az − tt ⎨ ⎬
∂∂x y⎩⎭AA Ax yz
2• Opérateur scalaire laplacien ∇
2 222∂Ψ ∂∂∂ΨΨΨ22∇=ΨΨ()xy,,z∇+ = + + t 22 2 2∂∂zx ∂y ∂z
2• Opérateur vecteur laplacien ∇
22 2 2 2ˆˆ ˆ∇AA()x,,yz =∇ =x ∇ A +y ∇ A +z ∇ A () () ()x yz
2∂ A∇∇()xy,,z=+ t 2∂z
22 2 2 2ˆˆ ˆ∇AA()x,,yz =∇ =x ∇ A +y ∇ A +z ∇ A () () ()tt tx ty tz
Opérateurs en composantes polaires cylindriques appliqués sur
⎧Un scalaire Ψφrz, ,()⎪

ˆˆUn vecteurAA()rz,,φφ=+zA=rA()rz,, + ϕA()rz,,φ +zA()r,,φz⎪ tz r φ z⎩
• Opérateur gradient ∇
ˆ∂∂ΨΨ ϕ∂Ψ ∂Ψˆgradient :∇∇Ψφ()rz,, =+Ψzr= + +z t r∂φ ∂z
∂ rA ∂A()∂∂AA11 r φzzdivergence : ∇∇⋅=AA()rz,,φ ⋅+ = + + ttzr r r∂φ∂z
ˆˆrzrϕ ˆ
1
rotationnel : ∇ ∧ A()rz,,φφ= ∂∂r ∂∂ ∂∂z et
r
ArA Arzφ
⎧ ⎫∂ rAˆ ()z ⎪ φ ∂A ⎪r ∇∧=A − ⎨ ⎬tt
rr∂∂φ⎪ ⎪⎩⎭
Extrait de la publication
XIV Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées
2• Opérateur scalaire laplacien ∇
2∂ Ψ
2 2∇ Ψ r,φ,z =∇ Ψ + () t 2∂z
2 2∂ Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂ Ψ
2∇ Ψ r,φ,z = + + ()t 2 2 2r ∂r∂r r ∂φ
2• Opérateur vecteur laplacien ∇
∂AA⎧⎫⎧ ⎫22 ∂φφrr22 2 2ˆˆ ˆ∇ϕAr()rz,,φ =∇A− − + ∇A+ − +z∇A ()⎨⎬r ⎨ φ ⎬ z 2 2rr∂∂r r⎩⎭⎩ ⎭
2∂ A∇∇AA()rz,,φ =+ t 2∂z
∂⎧⎫⎧ ⎫22AA ∂rr22 2 2ˆˆ ˆAr()rz,,φ =∇A− − + ∇A+ − +z∇A ()tt⎨⎬r ⎨t φ ⎬tz 2 2rr∂∂φφr r⎩⎭⎩ ⎭
RELATIONS ENTRE LES COORDONNÉES CARTÉSIENNES x, y, z
ET POLAIRES CYLINDRIQUES r, φ, z
Relations entre les coordonnées, les composantes d’un vecteur et les dérivées
d’un scalaire
⎧∂∂ΨΨ sinφ∂Ψ
=−cosφ⎪AA=−cosφφA sin⎧⎧xr= cosφ ⎪xrr∂φxr φ ⎨ ⎨ ⎨
yr= sinφ=+sinA cos cosφ∂Ψ⎩ yr φ⎩ ⎪=+sinφ
⎪∂∂yr r∂φ⎩
⎧ΨΨ ∂Ψ
=+cosφφ sin⎪⎧ 22 AA=+cosφφA sin⎧⎪rx=+y ⎪ ⎪∂∂rx ∂yrx y ⎨ ⎨ ⎨-sinAcos 1 ∂Ψφ = Arctan()yx ⎪ φ xy⎪ ⎩ ⎪⎩-sin cos
⎪rxφ ∂y⎩
Relations entre les vecteurs unitaires
ˆˆ⎧∂∂rr
ˆ==0, ϕ⎪ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆ ˆ⎧xr=−cosφφϕsin ⎧rx=+cosφφy sin ⎧rz∧=ϕ ⎪r φ
⎨ ⎨ ⎨ ⎨ˆ ˆ ˆˆ ˆˆˆyr=+sinϕcos φ-sxyin cos xy z∂∂ϕϕ⎩⎩ ⎩ ⎪ ˆ==0, -r
⎪r φ⎩
Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées XV

ˆ ˆx y
ˆr ˆϕ
φ ˆr

φ
ˆ ˆy x ˆˆ zz ⊗

ˆϕ
(a) (b)
Figure S.1 Vecteurs unitairesxyˆˆ, et rˆˆ, ϕ dans le plan de section droite pour :
a) zˆ entrant dans la page; b) zˆ sortant de la page. φ est toujours
l’angle entre xˆ et ˆ r.
DIVERS
Matrices inverses
-1
ab 1-d b⎡⎤ ⎡ ⎤
= avec Δ=−ad bc ⎢⎥ ⎢ ⎥cd -c aΔ⎣⎦ ⎣ ⎦
-1⎡⎤ei−−fh ch bi bf− ce()()( )⎡⎤ab c
1⎢⎥⎢⎥de f=− gf di ai−cg cd−af ( )( ) Δgh i⎣⎦ ()dh−−eg(bg ah)(ae− bd)⎣⎦
avec Δ=−aei hf+ b gf− di+ c dh− eg () ( ) ( )
Fonctions échelons ou fonctions d’Heaviside

bc+

1 c

x x
a 0
⎧0 pour x < 0 ⎧cx pour <a
Hx = bH x−+a c= () ()⎨ ⎨
1 pour x > 0 cb+> pour x a⎩ ⎩
Figure S.2 Illustration des fonctions échelons H(x) et bH x−+a c. ()
XVI Symboles, opérateurs et systèmes de coordonnées
Distributions de Dirac
∞∞dH x() 1 μ 22δμ()x== exp()-ikx dk= lim exp - x dx; ()d ∫∫ μ →∞dx 2π
π-1
δδ()-,x = (x) δδ()ax = ()x ,δδ()x, , yz = (x)δ(y)δ(z); dd dd dddd
a
122δδx−=ax()−a+δ(x+a) . (){}dd d
2 a
Ces distributions n’ont de sens que sous une intégrale :
+∞ +∞
fxxδ −=adx fa , δδx−−ax bdx=δa−b , () ( ) ( ) ()( ) ( )d dd d∫ ∫-∞ -∞
∞ ∞∞ ∞
δxiexpkxdx = 1, δδxyδzdxdydz = 1. () ( ) () ( ) ( )d dd d∫ ∫∫∫-∞ ---∞∞ ∞
Extrait de la publicationChapitre 1
Équations d’onde vectorielles
INTRODUCTION
Nous allons établir les équations d’onde vectorielles inhomogènes à partir des
équations générales de Maxwell pour les milieux diélectriques qui constituent
habituellement les guides d’onde. Pour ces milieux sans courant ni charge, on en
déduira des équations vectorielles homogènes. De plus, si le milieu de propagation
est invariant en translation, les solutions de ces équations décrivent les champs des
modes de propagation de la lumière dans ces guides.
Les champs modaux peuvent s’exprimer analytiquement pour les guides à saut
d’indice en termes de fonctions de Bessel et modifiées de Bessel pour les fibres à
symétrie circulaire ou en termes de fonctions circulaires et d’exponentielles pour
les guides plans à une dimension. Pour les profils à gradient d’indice, les solutions
sont en général purement numériques.
1.1 ÉQUATIONS DE MAXWELL POUR LES MILIEUX
DIÉLECTRIQUES
De façon générale, les champs électrique E et magnétique H d’une onde
électromagnétique monochromatique s’écrivent :
⎧Er, , tx= Ey, zexp-iωt() ( ) ( )⎪
(1.1) ⎨
Hr()= H(yz)exp(-iωt)⎪⎩
en coordonnées cartésiennes, ou
⎧Er(), , tr= E( φ, z)exp(-iωt)⎪
(1.2) ⎨
Hr= H φzexp-iωt() ( ) ( )⎪⎩
en coordonnées polaires cylindriques.
Un milieu diélectrique est caractérisé par une permittivité diélectrique
2εεrr= n et une perméabilité magnétique μ pratiquement égale à celle du () ( ) 0
vide, soit μ = μ . Les équations de Maxwell reliant les variations spatiales d’un 0
1champ à la variation temporelle de l’autre sont [1, 2] :

1 Les chiffres entre crochets renvoient aux références fournies à la fin des chapitres. 2 Chapitre 1
⎧ ∂H μ0∇∧=EH-μω =iiμ = kH⎪ 00
∂t ε⎪ 0
(1.3) ⎨
∂E ε⎪ 022 2∇∧=HJ+εωni=J−εnE=J−iknE00⎪ ∂t μ0⎩
avec les divergences
2⎧∇⋅=εσn E()⎪ 0 (1.4) ⎨
∇μ H 0⎪ 0⎩
où J est la densité de courant de déplacement, σ la densité de charge etωλ=π2 c =
k ε μ . 00
72 -7En unités MKSA, ε=π10 4 c F m et μ =π410 H m. Le facteur μ ε 0 0 00
est donc une impédance : c’est celle du vide qui vaut 377 Ω.
1.2 ÉQUATIONS D’ONDE VECTORIELLES INHOMOGÈNES [3]
Pour obtenir des équations vectorielles seulement en termes de E ou de H, il faut
éliminer le champ électrique ou magnétique dans les deux équations 1.3. Ces
équations seront inhomogènes, car elles vont contenir le vecteur densité de courant J.
Pour les établir, on va se servir des identités vectorielles suivantes :
2⎧∇∇∧∧AA=∇∇⋅ −∇A() ( )

⋅∧ A= 0 (1.5) ⎨
⎪∇∇∧=ΨΨAA∧ +∇Ψ∧A() ( )⎩
2où A est un vecteur, Ψ, un scalaire, ∇, l’opérateur gradient et ∇ , l’opérateur vecteur
2laplacien qu’il ne faut pas confondre avec l’opérateur scalaire laplacien ∇ .
Pour le champ électrique, on prend le rotationnel de la première équation 1.3 et, en
se servant de la seconde, on a :
⎧ ⎫μμ ε⎪ ⎪00 0 22∇∇∧∧EH=ik∇∧ =i kJ−iknE () ⎨ ⎬
εε μ ⎪ 0 ⎪⎩⎭
À l’aide de la première identité 1.5, il vient :
μ0222∇∇()⋅−EE ∇ =ikJ+knE
ε0
Extrait de la publicationChapitre 2
Propriétés fondamentales
des modes vectoriels
INTRODUCTION
Nous considérons dans ce chapitre le cas du guide d’onde diélectrique invariant en
translation, c’est-à-dire le long de la direction de propagation zˆ, sans sources de
courant (J = 0), mais qui peut être absorbant. Les champs vectoriels électrique et
magnétique E et H sont composés de deux parties. Si on néglige l’absorption, la
première représente une onde se propageant sans perte le long du guide : ce sont les
modes guidés en nombre fini. La seconde est une onde s’échappant vers l’extérieur
du guide : ce sont les modes de radiation.
Ces deux groupes de modes représentent toutes les solutions des équations de
Maxwell. Ils définissent une base complète de décomposition des champs E et H,
soit :
⎧EE=+E+E∑jj-rad
⎪ j

HH=+H+H∑jj-rad⎪
j⎩
où E et H sont les champs électrique et magnétique d’un mode guidé de numéro j, j j
les signes – renvoient aux modes guidés régressifs qui se propagent dans la
direction des z négatifs et l’indice rad renvoie aux modes de radiation.
Nous allons maintenant examiner les propriétés générales des modes guidés et de
leurs champs. Pour trouver certaines de ces propriétés, nous utiliserons le théorème
de réciprocité sous deux formes que nous allons d’abord établir.
2.1 THÉORÈMES DE RÉCIPROCITÉ
On considère deux situations électromagnétiques distinctes. La première est
caractérisée par un guide de profil d’indice n où se propage un mode (E, H). La seconde
est définie par un autre guide de profil d’indice n qui peut être complexe où se
propage un autre mode ( E, H ). Une première forme, dite conjuguée, du théorème
de réciprocité [1] est obtenue en définissant la quantité vectorielle F par : c
**FE=∧H+E∧H (2.1) cA
v
A
A
v
A
A
A
v
A
22 Chapitre 2
Les quantités non barrées satisfont aux équations de Maxwell sans densité de
courant J :
με00 2∇∇∧=EHik ∧H= -iknE (2.2)
εμ
et les quantités barrées satisfont à la forme conjuguée de ces équations, soit :
2με00** * **∇∇∧=EH-ik ∧H=iknE (2.3) ()
εμ
Dans ces équations, ε et μ sont réels ainsi que le nombre d’onde k qui est le 0 0
même pour les deux milieux. On écrit ensuite la divergence de F :
c
**∇∇⋅=FE⋅ ∧H +∇⋅E∧H () ()c
que l’on transforme à l’aide de l’identité vectorielle suivante :
∇∇⋅∧AB=B⋅ ∧A−A⋅∇∧B () ( ) ( )
ce qui donne :
** **∇∇⋅FH= ⋅∧E−E⋅∇∧H +H⋅∧∇ E −⋅∧E∇ H () () () ()c
puis, en remplaçant les parenthèses par les équations 2.2 et 2.3, on obtient :
2ε0 *2 *∇⋅=FE-ikn −n ⋅E (2.4) ()c { }μ0
où il n’y a plus de champs magnétiques. Ensuite, on utilise le théorème de la
divergence à deux dimensions qui transforme une intégrale de surface en une intégrale
de contour. Avec

ˆ∇∇=+ z t
∂z
et
ˆ∇⋅=AdS Α⋅ nd t∫∫S
il vient :

ˆ ˆ∇⋅=AAdS = ⋅z dS+ Α⋅ nd ∫∫ ∂z ∫SS
ˆoù S est une surface fermée délimitée par le contour et n un vecteur unitaire
normal à cette surface dirigé vers l’extérieur. Ce théorème appliqué à l’équation 2.4
donne :

ˆ ˆ∇⋅=FFdS ⋅z dS+F⋅nd cc c∫∫ ∂z ∫SSA
Propriétés fondamentales des modes vectoriels 23
Pour les deux situations électromagnétiques, les champs des modes sont finis et
on peut prendre le contour aussi loin que l’on veut dans le plan de section droite.
À l’infini, les champs deviennent nuls ainsi que l’intégrale de contour. Il reste :

ˆ∇⋅=FFdA ⋅z dA (2.5) cc∫∫ ∂zAA∞∞
où, en remplaçant F et ∇ ⋅ F par les équations 2.1 et 2.4, on obtient l’identité : c c
2ε ∂0 *2 * * *-ik n −⋅n EE dA= E∧H+E∧ Η⋅ zˆ dA (2.6) () {}{ }μ∫∫ ∂z0AA∞∞
où l’intégration se fait sur tout le plan de section droite A . ∞
Une deuxième forme du théorème de réciprocité [2] est obtenue en remplaçant
le F de l’équation 2.1 par G : c c
*G = E ∧ H (2.7)
c
en établissant que les deux milieux ont le même profil d’indice pouvant être
complexe, soit nn= , et sont sans courant. On procède de la même façon que
pour la première forme et il vient :
⎧ ⎫*⎪με ⎪00*2 *∇⋅=GHik ⋅H− nE⋅E (2.8) ()c ⎨ ⎬
εμ⎪ ⎪⎩⎭
On remplace F par G dans l’équation 2.5, ce qui conduit à : c c
⎧⎫ *⎪⎪με ∂00*2 * * ˆik HH⋅− n E⋅E dA= E∧⋅H zdA (2.9) ⎨⎬ ()∫∫εμ ∂zAA∞⎩⎭ ∞
Des choix appropriés des situations électromagnétiques, c’est-à-dire des quantités non
barrées et barrées, vont permettre de démontrer l’orthogonalité des modes, puis
d’établir des expressions intégrales pour la constante de propagation, les vitesses de
phase et de groupe ainsi que les coefficients de couplage entre modes.
2.2 CONSTANTE DE PROPAGATION, VITESSE DE PHASE
ET CONVENTIONS D’ÉCRITURE [3]
Lorsque le guide présente l’invariance en translation, on a vu que les champs
modaux s’écrivent sous la forme séparable :
⎧Ee==expizββe+zˆe expiz() ( ) ( )jj j tj zj j⎪
(2.10) ⎨
ˆHhexpizh+zh expiz⎪ () ( ) ()j jj tj zj j⎩Chapitre 3
Solutions vectorielles exactes
pour les guides d'onde
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons établir les solutions vectorielles exactes pour les
modes guidés par des guides plans et les fibres optiques. On commencera par les
guides les plus simples, c’est-à-dire les guides plans à une dimension, à deux
couches symétriques, puis dissymétriques, et, enfin, à trois couches symétriques.
Puis, nous étudierons successivement les fibres optiques à symétrie circulaire, à
deux et à trois couches, puis multicouches, et, enfin, à gradient d’indice.
Dans chacun des cas, nous allons établir les équations aux valeurs propres ou
encore appelées équations de dispersion à partir de la continuité des champs. Leurs
solutions discrètes en nombre fini déterminent les indices effectifs des modes
guidés, ce qui permet d’écrire les équations de toutes les composantes des champs
en tout point du plan de section droite.
En matière de rayons, le guidage à deux couches est assuré par la réflexion totale à
l’interface cœur-gaine et cela impose que n > n . À la section 2.8, avec n = n , c g max c
on a vu que :
11nk≤≤ β n ou kn ≤≤β kn et nn≤≤n cg g c g eff c
On déduit les deux inégalités :
22 2 22 2kn−≥β 0 et kn−≤β 0 (3.1) c g
Pour un guide à deux couches, il est pratique de définir les deux paramètres
modaux suivants, positifs ou nuls et sans dimension :
2222 2 222 2Uk=−ρβn =−kρnn dans le cœur() ( )cc eff
(3.2)
22 2 22 222 2Wkn=kρn−n dans la gaine ( )gg eff
d’où on déduit le paramètre V appelé paramètre du guide ou fréquence normalisée :
22 2 2VU=+W=kρn−n (3.3) cg
Le paramètre V dépend de tous les paramètres du guide : indices, diamètre et
longueur d’onde. Sa valeur numérique va déterminer le nombre de modes guidés. 38 Chapitre 3
3.1 GUIDES PLANS À UNE DIMENSION
Les guides plans à une dimension sont invariants en translation le long des deux
axes y et z. Le cœur a une épaisseur de 2ρ et son indice n peut être fonction de la c
seule variable x. La figure 3.1 illustre un guide plan symétrique à saut d’indice :
l’indice du cœur n est constant et, pour x > ρ, la gaine d’indice n s’étend à c g
l’infini.

x
z

n c
2ρ y0


Figure 3.1 Guide plan à saut d’indice, invariant selon z et y.

On a vu à la section 1.5 du premier chapitre que les guides plans à une dimension,
c’est-à-dire invariants en y et z, ne supportent que les modes TE et TM.
Nous allons examiner successivement le guide plan à deux couches d’indice
symétrique et dissymétrique, puis le guide symétrique à trois couches.
3.1.1 Guide plan symétrique à saut d’indice [1]
Solutions vectorielles exactes des modes TE (e = e = h = 0). On choisit de z x y
trouver d’abord les solutions pour la composante e (x), puis d’en déduire ensuite y
celles de h et de h . L’équation différentielle de e donnée dans les équations 1.30 z x y
doit être satisfaite dans le cœur et dans la gaine. Avec les définitions des
paramètres U et W données en 3.2, il vient :
2 2⎧de Uy 22+=ex0 dans le cœur pour≤ρρ avec U=kn−n⎪yc eff22dx ρ⎪
(3.4) ⎨ 2 2de Wy⎪ 22−=0 dans la gaine pour≥ avec W=kn−ny geff22⎪ dx ρ⎩
Les solutions de e sont des sinus ou cosinus oscillants dans le cœur et des expo-y
nentielles croissantes ou décroissantes dans la gaine. Physiquement, les champs
guidés doivent s’annuler à l’infini : on rejette donc les solutions croissantes dans la
gaine et on a : Solutions vectorielles exactes pour les guides d'onde 39
⎧⎧cos UxρρcosU sin Ux sinU dans le cœur() ()⎪⎪
e = ou (3.5) ⎨⎨y exp -Wxexp -W x x exp -Wx exp -W dans la gaine() () ()() ()⎩⎩
La solution en cosinus définit les modes pairs pour lesquels les composantes
transverses sont symétriques par rapport à l’axe Oy, alors que la solution en sinus
donne les modes impairs antisymétriques. Toute combinaison linéaire de ces deux
solutions dans le cœur est la solution complète de l’équation différentielle, mais il
est pratique de les étudier séparément. La valeur absolue x dans l’exponentielle
des modes pairs est nécessaire pour assurer partout la parité de e , soit e (-x) = e (x), y y y
alors que le facteur x x devant l’exponentielle des modes impairs assure partout
l’imparité de e , soit e (-x) = -e (x). À l’aide des constantes cosU, sinU et exp(-W), y y y
la continuité de la composante tangentielle e est assurée en x = ±ρ : en ces y
endroits, e = ±1. y
Modes TE pairs. La composante h se déduit de e à l’aide de l’équation 1.30 et de z y
la dérivée dx dx = x x :
dei ε y0h = -z
kdμ x0
(3.6)
⎧UUsin()x ρ cosU dans le cœuri ε ⎪0= ⎨
Wx x exp -Wx ρ exp -W dans la gainekρμ ()()()0 ⎪⎩
Pour trouver l’équation aux valeurs propres, il reste à exprimer la continuité de la
composante tangentielle h en x = ±ρ, ce qui donne : z
UUsin cosU =W (3.7)
d’où l’équation aux valeurs propres :
tanUW= U (3.8)
qui donne les valeurs discrètes du paramètre modal U pour une fréquence
norma22lisée V donnée, W étant relié à U et V par WV=−U . Enfin, de la valeur
22 2 2de U, on tire la constante de propagation βρ=−kn U ou l’indice effectif c
22 22 2nk==βΔn 12−UV , avec Δnn 2.n ()eff c cg c
Pour que les solutions existent, il faut que W soit défini, c’est-à-dire U ≤ V. À la
limite W → 0 quand U → V. c’est la coupure des modes définie par les fréquences
normalisées de coupure V . Ces valeurs sont obtenues pour tanU → 0, soit : c
U = V = mπ/2, m (entier pair) = 0, 2, 4, … (3.9) c cChapitre 4
Théorie des modes scalaires
INTRODUCTION
2À cause du terme lnn apparaissant dans les équations vectorielles homogènes 1.15,
on ne peut pas trouver de solutions analytiques générales pour ces équations, sauf
dans le cas de guides à profil à sauts d’indice où les indices sont constants dans
chaque couche.
L’approximation du « guidage faible » simplifie considérablement le problème et,
dans la plupart des cas, cela suffit pour décrire correctement les champs dans les
fibres optiques. Le guidage faible est obtenu lorsque les différences d’indice sont
petites, ce qui a lieu pratiquement pour les fibres usuelles. Cette approximation
2permet de négliger le terme ∇ ln n dans les équations homogènes 1.15. Cela con-t
duit à une équation d’onde scalaire beaucoup plus simple et à la théorie des modes
linéairement polarisés notés LP.
Rappelons d’abord l’effet de la polarisation sur les coefficients de réflexion en
amplitude de Fresnel à l’interface entre deux milieux d’indice n et n . Ces coeffi-1 2
cients dépendent de la direction du champ. Par exemple, pour le champ E, on a [1] :
⎧ cosθθ− nn cos()it21rT=⊥ E au plan d’incidence : polarisation E⎪ ⊥
cos+ nn cos()⎪21
(4.1) ⎨
cos− nn cos()12⎪= E // au plan d’incidence : polarisation M//⎪ cosθθ+ nn cos()it12⎩
où θ et θ sont les angles d’incidence et de réfraction. Si n ≠ n , les deux polari-i t 1 2
sations se réfléchissent de façon différente. Par contre, si n ≈ n , ces deux polarisa-1 2
tions se comportent pratiquement de la même façon et on pourra les ignorer. Pour
les guides d’onde optique usuels faiblement guidants, on pourra ignorer de la
même façon les effets de polarisation.
Un argument physique simple permet de comprendre ce qui se passe en guidage
faible. Si les différences des indices deviennent très petites, le milieu guidant tend
vers un milieu uniforme d’indice n presque semblable à l’espace libre. Dans ce cas,
l’onde modale devient quasi TEM avec des composantes longitudinales
négligeables et il n’y a plus d’effets de polarisation. Les champs sont pratiquement
transverses et reliés entre eux par : A
A
A
122 Chapitre 4
2
*ˆ ˆHz≈∧εμ nE d’où EH∧⋅z≈ n εμE (4.2) tt00 tt 00t
Mais la structure étant tout de même guidante fait que l’onde modale est
inhomogène, c’est-à-dire que son amplitude est fonction des coordonnées (x, y) ou (r, φ) du
ˆplan de section droite perpendiculaire à la direction de propagation z. À la limite,
si tous les indices sont égaux, le milieu devient libre et l’onde devient
rigoureusement TEM, mais elle n’est plus guidée.
Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation d’onde scalaire pour les guides
invariants en translation. Nous en déduirons les solutions des modes linéairement
polarisés ou LP d’abord pour les fibres à deux couches à saut d’indice, puis pour
les fibres multicouches à saut d’indice et, enfin, pour celles à gradient d’indice.
Dans chaque cas, nous établirons les expressions des constantes de normalisation,
des vitesses de groupe et des fractions de puissance véhiculée dans le cœur.
4.1 ÉQUATION D’ONDE SCALAIRE [2]
Pour les guides d’onde invariants en translation, on a vu que les champs peuvent
s’exprimer par une superposition de modes écrits sous la forme séparable qui
devient en guidage faible :
⎧Eerz,φφ,=≈r, expiβz avec e 0() ( ) ( )⎪ tz
(4.3) ⎨
Hhrz,,r, expiβz avec h 0() ( ) ( )⎪⎩
ˆ ˆEn coordonnées cartésiennes (x, y), les vecteurs unitaires x et y déterminent deux
directions de polarisation qui définissent les modes linéairement polarisés ayant
ˆ ˆrespectivement leur composante électrique selon x ou y.En l’absence de
compoˆsantes longitudinales e , h et avec la convention habituelle selon laquelleeh,,z z z xy
1forment un trièdre trirectangle droit, les équations 1.24 se réduisent à :
⎧ εβ ε00ˆˆ ˆex= Fr(),φ ⇒h=∧z e ⇒h = n e polarisation x⎪xy xy effx
μμk⎪ (4.4) ⎨
εβ ε⎪ ˆe = yFr, φ ⇒hz=∧- e ⇒h = - n e polarisation y()yx yx effy⎪k⎩
oùFr, φ est l’amplitude ou champ des modes en tout point (r, φ) du plan de ()
section droite.

1
En guidage faible, Snyder et Love, [3] utilisent l’indice de cœur n au lieu de l’indice effec- c
tif n dans les constantes de proportionnalité entre les amplitudes des champs transverses h eff t
et e (équat. 4.4). Le choix de n semble être plus consistant avec les équations générales 1.24 t eff
qui font intervenir explicitement le rapport β/k.
Extrait de la publicationA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Théorie des modes scalaires 123
Ces modes doivent être invariants pour une rotation de 2 π autour de l’axe, ce qui
implique la forme séparable suivante :
cos φ⎧ ⎫
ee ou ==Fr,φΨr (4.5) () () ⎨ ⎬xy sin φ⎩⎭
où est le nombre modal azimutal qui doit être un entier, la solution en cosinus
renvoie aux modes pairs et celle en sinus, aux modes impairs.
2Enfin, en ne tenant pas compte des dérivées de lnn en guidage faible, les équa-
tions 1.22 et 1.23 se réduisent pour les deux directions de polarisation à l’équation
unique :
⎛⎞ee⎧⎫ ⎧ ⎫xy222 2∇+ kn − β ou 0 = (4.6) ()t ⎜⎟⎨⎬ ⎨ ⎬h hy⎩⎭ ⎩ x⎭⎝⎠
qui doit être satisfaite partout, y compris aux interfaces entre les couches d’indice.
Les solutions sont les mêmes pour chaque paire de composantes reliées entre elles
par les équations 4.4. Ces composantes ne dépendent que de la quantité scalaire
Fr, φ et l’équation d’onde 4.6 peut alors se récrire sous la forme : ()
222 2∇+ kn −βφF()r,0 = ()t
2∇En appliquant l’opérateur scalaire laplacien en coordonnées polaires : t
22∂∂11∂
2∇= + + t2rrr r∂φ
Fr,,φ il vient finalement : à ()
2 2drΨΨd r() ()⎛⎞1AA 22 2++ kn−βΨ− r= 0() (4.7) ⎜⎟22dr r dr r⎝⎠
qui est l’équation d’onde scalaire dont les solutions vont déterminer les constantes
LP .de propagation β des familles de modes scalaires m
Cette équation doit être satisfaite aux frontières, c’est-à-dire aux différentes
interfaces entre les milieux constituant la fibre, et, en particulier, s’il existe des
discontinuités d’indice. Dans ce cas, il faut que la dérivée seconde de Ψ(r) présente le
même type de discontinuité que celle de l’indice. Cela n’a lieu que si Ψ(r) et sa
dérivée première sont continues. En effet, si Ψ(r) est discontinue, d Ψ/dr est une
2 2distribution de Dirac et d Ψ/dr est la dérivée de cette fonction : l’équation ne peut
2 2être satisfaite. C’est la même chose si d Ψ/dr est discontinue, car d Ψ/dr est alors
une distribution de Dirac. En résumé, il faut toujours avoir :
Extrait de la publication
Chapitre 5
Dégénérescence des modes vectoriels
et corrections de polarisation
INTRODUCTION
Au chapitre 4, nous avons établi la théorie des modes scalaires en partant
directement des équations d’onde vectorielles homogènes. Le guidage faible nous avait
2permis de négliger le terme ∇ ln n et d’en déduire une équation d’onde scalaire t
unique s’appliquant aux deux composantes transverses (e , h ) ou (e , h ) des x y y x
modes LP linéairement polarisés.
Une autre façon d’arriver à ce résultat est d’analyser les limites des solutions
vectorielles lorsque le guidage devient faible. Dans ce chapitre, nous montrons que
certains groupes de modes vectoriels dégénèrent et tendent vers les solutions des
modes LP qui ne sont en fait que des combinaisons linéaires des modes de chacun
de ces groupes. Inversement, nous verrons que les modes vectoriels dégénérés
peuvent s’écrire comme des combinaisons linéaires de certains modes LP.
Donc, en guidage faible, les modes scalaires LP d’une fibre optique ne sont pas de
vrais modes. Ce ne sont que des solutions mathématiques de l’équation d’onde
scalaire. En fait, ce sont des combinaisons de modes vectoriels qui sont excités et
les modes LP équivalent à ces combinaisons sont pratiques pour décrire
correctement la propagation de la lumière dans la fibre. Dans ce chapitre, nous étudierons
le cas des fibres à deux couches et montrerons comment dégénèrent les équations
aux valeurs propres, les composantes des champs et les lignes de polarisation
électrique et magnétique. Les combinaisons linéaires particulières donnant les
modes LP seront ensuite déduites de ces dégénérescences.
Un groupe de modes vectoriels dégénérés a ses constantes de propagation β très
voisines qui tendent toutes, en guidage très faible, vers la valeur β du mode LP
correspondant. Nous montrerons qu’il est possible, par une méthode de calcul de
perturbation, de lever cette petite dégénérescence et de trouver des valeurs
approchées des constantes de propagation β des vrais modes : c’est ce que l’on appelle
les corrections de polarisation.
Extrait de la publication152 Chapitre 5
5.1 DÉGÉNÉRESCENCE DES MODES VECTORIELS
EN GUIDAGE FAIBLE (FIBRE À DEUX COUCHES)
Nous partons des solutions exactes établies à la section 3.2 pour les fibres optiques
à deux couches.
Rappelons l’équation aux valeurs propres 3.75 établie pour ces fibres :
4 2 2⎧⎫ nK W⎧ ⎫nJ′′()U ′() J ()U K′()W2V⎪⎪⎪ ⎪cννg ν νν n =+ + (5.1) {}⎨⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎬eff
UW UJ ()U WK ()W UJ ()U WK ()W⎩⎭⎪ν ν⎪⎩⎭⎩ ⎭
et les quantités F et F données dans les équations 3.95 : 1 2
2⎧FU=+WV b 12−Δνb()()( )11 { 2 }⎪
(5.2) ⎨
2
FVUW νb b⎪ (){}( )212⎩
avec
22bJ= UUJU , bK= WWKW et Δ=−12nn (5.3) ′() ( ) ′() () ()1 νν 2 νν gc
L’équation aux valeurs propres 5.1 peut se récrire sous la forme très simple [1] :
22nF = n F (5.4) c12 eff
5.1.1 Formes dégénérées de l’équation aux valeurs propres
En guidage faible, on a n → n , n → n et Δ → 0, ce qui donne : c g eff c
2⎧FU≈+()WV(b b)νΔdes équations 5.2 avec → 0112⎪
FF≈→1 du produit des équations 5.2 avec Δ 0 (5.5) ⎨ 12
⎪FF≈≈ de l'équation 5.4 avec n n12 c eff

et conduit finalement aux deux valeurs dégénérées de F et de F suivantes : 1 2
FF==± 112 (5.6)
Nous pouvons relier les signes + et – à ceux de l’équation du second degré 3.82 qui
définissaient les modes HE et EH. Avec x = b , b = b , n → n et Δ → 0, cette 1 2 eff c
équation prend la forme limite suivante :
2
UW V b+≈b ν ± 1≈ F (5.7) ()( ){ }12 1
Le signe + de l’équation 5.6 correspond donc à la définition des modes EH et le
signe – aux modes HE. En récrivant l’équation 5.7 à l’aide des expressions de b et 1
de b , il vient : 2Dégénérescence des modes vectoriels et corrections de polarisation 153
2⎧⎫JU′′() K ()W⎪⎪ ⎛⎞Vνν
+=±ν (5.8) ⎨⎬ ⎜⎟UJ U WK W UW() () ⎝⎠⎩⎭
Il faut maintenant distinguer les cas des deux familles de modes.
• Pour les modes EH, correspondant au signe +, avec :
⎧JU=−νU JU J U′() ( ) () ()νν ν +1

KWνW K W K W ′() () () ()⎨ ν +1
⎪ 22 2etWU+=V⎩
l’équation 5.8 prend la première forme dégénérée :
JU K W() ()νν++11
+= 0 (5.9)
UJ U WK W() ()
• Pour les modes HE, correspondant au signe –, avec :
⎧JU=+- νU JU J U′() ( ) () ()νν ν −1

KW=−- νW K W K W ′() ( ) () ()⎨ ν −1
⎪ 22 2etWU+=V⎩
l’équation 5.8 prend la deuxième forme dégénérée :
JU K W() ()νν−−11
−= 0 (5.10)
UJ ()U WK()W
• Enfin, pour les modes TE et TM, en guidage faible avec n → n , l’équation aux c g
valeurs propres 3.79 des modes TM tend vers l’équation 3.81 des modes TE, soit
l’équation unique suivante pour ces deux familles :
JU K W() ()11
+= 0 (5.11)
UJ U WK W() ()00
5.1.2 Formes dégénérées des composantes des champs
Les coefficients a (i = de 1 à 6) du tableau 3.9 qui apparaissent dans les expres-i
sions des quatre composantes transverses des modes hybrides dégénèrent avec
Δ → 0 et F = F = ±1. Ils deviennent respectivement : 1 2
aa==a= 0⎧13 5 pour F = F = + 1 (famille des modes EH) (5.12) ⎨ 1 2a= 124 6⎩Chapitre 6
Couplage de modes et réseaux de Bragg
INTRODUCTION
Les modes des guides d’onde sans perturbation, c’est-à-dire invariants en
translation, ne se couplent pas. Mais, en présence d’une perturbation, des phénomènes
de couplage interviennent entre tous les modes progressifs et régressifs. Les modes
régressifs couplés sont l’équivalent d’une réflexion plus ou moins partielle de la
lumière.
Ces perturbations peuvent être de natures diverses. Ainsi, pour une fibre effilée
(fig. 6.1), la perturbation est due à son rayon variable et les modes peuvent se
coupler le long de ce guide. C’est aussi le cas d’un coupleur à fibres fusionnées et
étirées (fig. 6.2) pour lequel une des fibres est perturbée par la présence de l’autre.
Cela se traduira par des couplages périodiques de puissance entre les fibres. Enfin,
pour une épissure entre deux fibres (fig. 6.3), les discontinuités d’indice au niveau
de la jonction font que les modes de la fibre en amont peuvent se coupler non
seulement dans ceux de la fibre en aval, mais aussi dans des modes réfléchis de la
fibre en amont.

ρ (z)

Figure 6.1 Fibre effilée.


Figure 6.2 Coupleur 2 × 2.


Figure 6.3 Épissure.

Extrait de la publication

176 Chapitre 6
Nous étudierons ces trois composants en détail dans les chapitres suivants et nous
en dégagerons les aspects technologiques importants pour les télécommunications
et les capteurs. Mais avant, nous allons établir dans ce chapitre les équations
générales de couplage de modes, puis étudier le cas des couplages de deux modes
codirectionnels et contradirectionnels en présence d’une perturbation périodique
d’indice : ce sont les réseaux de Bragg respectivement transmetteurs et réflecteurs
avec conversion éventuelle de modes [1-3].
6.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE COUPLAGE DE MODES
En situation non perturbée, un guide défini par son profil de constante diélec-
2triquenx,y supporte des modes invariants en translation. Les champs élec-()
trique et magnétique orthonormalisés et d’amplitude unité d’un mode guidé j
s’écrivent (quantités barrées) :
⎧Ee = x,eyixp βzj() ()jj⎪
(6.1) ⎨
Hh = j()x,eyixp βz⎪ ()⎩
2 2En situation perturbée, n devientnx,,yz et est, en général, fonction de z. On ()
peut décomposer exactement les champs transverses E et H du guide perturbé sur t t
la base complète de tous les champs transverses des modes du guide non perturbé,
y compris les modes de radiation [4]. Ces derniers peuvent être négligés si la
22perturbationnn− est petite et si le nombre de modes guidés est grand. Dans ce
cas, on décomposera E et H sur la base réduite des champs transverses des N t t
modes guidés progressifs et régressifs notés respectivement m et -m, mais avec des
amplitudes qui sont maintenant fonction de z :
N⎧
ˆE z = bz ()exp(iββz)+b (z)exp(i z) e⎪ ()()t mm--m mtm∑ ˆˆ⎧ee =⎪ ⎪ -tm tmm =1 avec (6.2) ⎨ ⎨N
hh = -⎪ ˆ ⎪⎩ -tm tmHz = bziexp(z) −b (zi)exp( z) ht mm --m mtm∑⎪
⎩ m =1
ˆˆoù les champs transverses non perturbés e et h obéissent aux relations ±tj ±tj
d’orthonormalisation de l’équation 2.27 pour les milieux non absorbants :
1 ±=1 pour jkˆ ⎧ˆ ˆeh∧⋅z dA= (6.3) ±±tj tk ⎨ 0 pour jk≠2 ∫ ⎩A∞
6.1.1 Équation de couplage pour un mode progressif j
Le théorème de réciprocité établi par l’équation 2.6 peut s’appliquer ici aux deux
situations électromagnétiques, l’une non perturbée (champsEH, du mode j) et j j
l’autre perturbée (champs E, H du guide), qui conduit au résultat : Couplage de modes et réseaux de Bragg 177
**⎧ˆˆFE=+()zEH∧H+E∧()H+zct z j j t z

(6.4) ∂ ε⎨ 0 2*2*ˆFz⋅=dA ik nz− n E⋅EdA{}cj⎪∫∫∂z μAA 0⎩∞∞
*2 *2 2Par la suite, nous supposons les milieux sans absorption nn==etn n ()
afin de pouvoir utiliser les relations d’orthonormalisation de l’équation 6.3 valables
seulement dans ce cas.
et H n’interviennent pas dans les produits mixtes de l’intégrale de gauche, mais Ez z
on doit exprimer E qui apparaît dans le produit scalaire de l’intégrale de droite z
EE=+zˆ E . Pour cela, il faut se rappeler que e et h ne sont pas indé-() z ttz
pendants, mais reliés par la troisième équation 1.18 qui peut se récrire pour les
ˆˆsituations, l’une perturbée nE, , H et l’autre non perturbée ne, , h sous ()zt zt( )
les formes [5] :
i μ i μ ˆ0 02 2 ˆˆ ˆnE=⋅zH∇∧ et ne=⋅zh∇∧ ztt zm t tm
k ε k ε0 0
ce qui donne pour E en se servant du développement de H donné par la deuxième z t
équation 6.2 :
i μ02n E=⋅zHˆ ∇∧ztt
k ε0
i μ ˆ0=⋅ ˆ ∧ biz−b i zzh∇ expββ exp{}() ()tm m --m mtm∑k ε0 m (6.5)
i μ ˆ0=−biββz b i z ˆ⋅∧exp exp zh∇{}() ()mm --m m t tm∑ k ε0m
2 ˆnb expiz b expi ze() ()mm --m m zm∑
m
ˆEn reportant E et H donnés par les équations 6.1 puisEE=+z E et H dans tj j tz
les deux membres des équations 6.4, et en se servant des relations
d’orthonormalisation de l’équation 6.3, tous les termes de la première intégrale sont nuls
1sauf pour j = m. Il reste :

1 ˆˆˆˆˆ ˆ Les champs transverses normaliséser=+ee φ sont des vecteurs, alors que e , trj φ r
eeˆˆ et sont les trois composantes normalisées selon les axes définis par les trois vec-φ z ˆˆ*ˆˆ ˆteurs unitaires r, φet z. Dans les écritures qui suivent,ee ⋅ est donc un produit sca-tj tm
*ˆˆlaire etee , un produit algébrique. zj zm

Extrait de la publicationChapitre 7
Fibres effilées
INTRODUCTION
Une fibre effilée, schématisée sur la figure 7.1, est caractérisée par un rayon ρ
fonction de z, ce qui entraîne un profil d’indice variable n(x, y, z). Ces dispositifs
sont réalisés par chauffage et étirage d’une fibre standard et ont fait l’objet de
beaucoup de travaux au milieu des années 1980 [1-7].


ρ (z)

Figure 7.1 Illustration d’une fibre effilée.
Deux paramètres importants gouvernent le comportement d’un tel guide et peuvent
être ajustés durant la fabrication : ce sont la longueur L d’étirage et l’équation du
profil ρ (z).
Les équations générales de couplage de modes établies au chapitre précédent ne
sont pas du tout adaptées à ces guides si les champs perturbés E et H de la fibre
effilée sont décomposés sur la base des modes non perturbés de la fibre non effilée.
En effet, comparativement à la faible modulation d’indice des réseaux de Bragg qui
donnait une situation faiblement perturbée, la fibre effilée, au contraire, présente
une très forte perturbation par rapport à la fibre initiale qui n’existe qu’en z = 0.
Il faut donc trouver une autre base de décomposition mieux adaptée au problème
afin d’établir d’autres équations de couplage de modes avec des coefficients
numé22riquement utilisables qui feront intervenir, non plus la différencenn− , mais
2plutôt la quantité∂∂nz reliée àddρ z qui caractérise bien le profil effilé.
Cette base sera celle des modes locaux que nous allons d’abord définir pour établir
ensuite deux expressions des coefficients et des équations de couplage entre ces
modes. Nous décrirons enfin le comportement modal de ce guide pour en dégager
quelques applications technologiques importantes. 218 Chapitre 7
7.1 MODES LOCAUX [8, 9]
7.1.1 Modes normaux d’un guide local uniforme
Ce sont les modes du guide uniforme fictif, invariant en translation et coïncidant
localement en z = z avec le guide effilé comme l’illustre en traits pointillés la 0
figure 7.2.
Les champs d’un mode normal guidé j de ce guide local s’écrivent :
gl⎧ ˆEe=−xy,,z exp iβ(z z)() { }jj00 j⎪
(7.1) ⎨ gl ˆHhx,,yz exp iβ(z z){}⎪jj j⎩
ˆˆoùeh, et β sont fixés en z , mais sont indépendants de z. Comme le guide est 0j jj
invariant, ces champs sont les solutions exactes des équations de Maxwell 2.2.


ρ (z ) 0
)

Figure 7.2 Guide local fictif uniforme coïncidant avec la fibre effilée en z = z . 0
ˆAvec∇∇=+ z∂∂z, on peut écrire : t
⎧εεgl0022--iknEe=−ikn ˆexpiβz z()⎪ {}jjj 0
μμ⎪
⎪gl gl∇∧=H (7.2) ∂H⎨j jgl ˆˆ∇∇∧+Hzˆˆ∧ = ∧h+ iβz∧h()⎪tj t j j j
∂z⎪
expizβ −z⎪ (){}j 0⎩
où l’égalité du haut vient des équations de Maxwell 2.2 et celle du bas découle du
gldéveloppement du rotationnel de H . On obtient de façon similaire pour le champ j
électrique :
⎧μμgl00 ˆikHh=−i k expiβz z()⎪ {}jj j 0
εε⎪
⎪gl gl∇∧=E (7.3) ∂Ej ⎨ jgl∇∇∧+Ezˆˆ∧ = ∧eˆˆ+ iβz∧e()⎪tj t j j j
∂z⎪
expizβ −z⎪{}j 0⎩
Extrait de la publicationFibres effilées 219

7.1.2 Modes locaux de la fibre effilée
On définit maintenant les champs d’un mode local du guide effilé comme suit :
z⎧ ⎧ ⎫
ˆEe = x,,yz eββ()xpi ()z′′dz() ⎨ ⎬jj j j⎪ ∫ 0⎪ ⎩⎭ (7.4) ⎨
z⎧ ⎫⎪ ˆ xyz i zdzHh = ,,() exp ()′′() ⎨ ⎬jj j j∫⎪ 0⎩
ˆoù, en un z donné,ehˆ et sont exactement les mêmes que ceux des modes des j j
ˆéquations 7.1. Comme le guide est effilé,ehˆ et dépendent maintenant de z par j j
l’intermédiaire de la constante de propagation β (z). La phase accumulée doit alors j
s’exprimer sous la forme d’une intégrale évaluée à partir d’une origine arbitraire
z = 0. Par ailleurs, ces champs n’obéissent plus aux équations de Maxwell. Pour
s’en rendre compte, développons comme dans l’équation 7.2 le rotationnel de H j
glévalué en z = z pour pouvoir le comparer à celui de H du guide local défini au 0 j
même endroit :
zˆ 0⎡⎤ ⎧ ⎫∂h j ⎪ ⎪ˆˆˆˆ∇∇∧Hh=⎢⎥∧+iiββz∧+hz∧ expzdz (7.5) ()′′jt j j j ⎨ j ⎬∫∂z 0⎪ ⎪⎩⎭⎣⎦zz= 0
Les deux premiers termes du crochet sont les mêmes que dans l’équation 7.2 et
2ˆpeuvent être remplacés par-.ikεμn e Finalement, après un développement 00 j
similaire du rotationnel de E , les équations de propagation des modes locaux du j
guide effilé peuvent se mettre sous les formes suivantes :
zˆ⎧ ⎧ ⎫∂hε j ⎪ ⎪0 2 ˆ⎪∇∧=HE-eikn +z∧xpi βzdz()′′⎨ ⎬jj j∫μ ∂z⎪ 0 0⎪ ⎪⎩⎭
(7.6) ⎨
z⎧ ⎫∂eˆμ⎪ j ⎪ ⎪0 ˆ∇∧=EHik +z∧ expi βzdz()′′⎨ ⎬ j⎪ ∫ε ∂z0 0⎪ ⎪⎩⎭⎩
où, contrairement aux équations de Maxwell, figurent maintenant des termes
ˆˆsupplémentaires contenant les dérivées partielles deehet de par rapport à z. j j
7.1.3 Orthonormalité des modes locaux
Ce sont les mêmes relations que pour les modes normaux des guides uniformes. En
combinant les équations 2.24 et 2.25, on a pour les systèmes sans perte et en un z
donné :
11 ⎧±=sijk **ˆˆ ehˆˆ∧+e ∧h ⋅zˆ dA= (7.7) ⎨()±±jk ±k ±j∫ 0sijk≠4 ⎩A ∞
Extrait de la publicationA
A
Chapitre 8
Épissures entre fibres
INTRODUCTION
Une épissure est une jonction entre deux guides de nature différente. Le nouveau
guide présente en général une discontinuité locale d’indice au niveau de la
jonction. Des couplages vont donc se produire entre le ou les modes incidents et
ceux qui sont réfléchis et transmis à l’épissure.
Le calcul rigoureux de la transmission et de la réflexion des modes guidés,
évanescents et de radiation au niveau d’une épissure est un problème ardu et très
compliqué. De nombreux travaux ont été faits pour les modes TE et TM des guides
plans [1-6] et certains impliquent le calcul rigoureux d’équations intégrales
difficiles à résoudre qui proviennent, entre autres, du recouvrement des continuums des
modes de radiation réfléchis et transmis [4-6].
Pour simplifier, nous limiterons l’étude au cas d’une épissure centrée entre deux
fibres faiblement guidantes (modes scalaires LP) à gaine finie et entourées par un
milieu extérieur infini. Puis, nous examinerons les propriétés d’un interféromètre
modal en réflexion constitué de deux fibres réunies par une épissure avec un miroir
à l’une des extrémités. À l’aide des approximations que nous allons justifier plus
loin, nous traiterons le cas pratique d’un interféromètre bimodal en transmission
fait de trois fibres reliées par deux épissures centrées. Enfin, nous examinerons le
cas de la réflexion et de la transmission de la lumière à l’entrée d’une fibre.
8.1 TRANSMISSION ET RÉFLEXION À L’ÉPISSURE [7, 8]
Le schéma de la figure 8.1 illustre une épissure centrée, c’est-à-dire pour laquelle
les axes des deux fibres à symétrie circulaire coïncident. Le mode LP incident n
dans la fibre en amont est de puissance unité. À cause de la symétrie de l’ensemble,
seuls les modes de même symétrie azimutale vont être excités au niveau de
l’épissure. Il va donc y avoir des modes guidés, évanescents et de radiation aussi
bien réfléchis que transmis par ce système.
Pour simplifier les calculs, les deux fibres ont des gaines de même rayon ρ g
entourées du même milieu extérieur d’indice n , mais les autres indices et les e
rayons des cœurs peuvent être différents. Les nombres N et N de modes LP a b
guidés en amont et en aval sont grands et constituent chacun des bases de
décomposition suffisantes pour analyser correctement le comportement de l’épissure sans
tenir compte des modes évanescents et de radiation. A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
256 Chapitre 8
Modes évanescents
et de radiation


LP 1 LP 1 LP n
LP LP 22
2ρ 2ρ LP b2ρ LP g 3a 3
LP LP 44
Fibre A LP N LP Fibre B N a b

Figure 8.1 Illustration des modes transmis et réfléchis par une épissure centrée
entre deux fibres. Le mode incident est LP . Les nombres N et N n a b
sont les nombres totaux de modes LP guidés respectivement par les m
fibres A et B. Les modes de radiation sont représentés par les flèches
sortant du guide et les évanescents par le gris dégradé à la jonction.
8.1.1 Calcul des amplitudes des modes réfléchis et transmis
Ce calcul est basé sur la continuité des composantes transverses au niveau de
l’épissure. Le champ total est la somme de tous les champs modaux guidés. Les
champs E et H s’écrivent de part et d’autre de l’épissure pour un mode inci-
A Aˆˆdent LP de puissance unitaire et de composantes transversesehet : n tn tn
NNab⎧
AA Bˆˆ ˆ⎪Ee=+e= etn j tj k∑∑ tk
⎪ jk==11
(8.1) ⎨ NNab
⎪ˆˆA ABˆHh=−h= htn j tj k∑∑ tk⎪
⎪ jk==11⎩
avec les relations d’orthonormalisation :
1 1 ⎧1 pour jk=AB,*A,B *AB, AB,ˆˆeh∧⋅z dA= e ∧h ⋅z dA= (8.2) ⎨tj tjtk tk∫∫ 0 pour jk≠22 ⎩AA∞∞
A A B Bˆ ˆˆ ˆoù e et h , puis e et h sont respectivement les champs transverses électriques tjtj tk tk
et magnétiques orthonormés des N modes guidés dans la fibre A en amont, puis a
ceux des N modes guidés de même symétrie azimutale dans la fibre B en aval. Les b
termes a et b sont respectivement les amplitudes modales réfléchies et transmises. j k
On notera la convention d’écriture pour la réflexion : + pour le champ électrique
et − pour le champ magnétique. Chapitre 9
Coupleurs 2 × 2
INTRODUCTION
Il existe plusieurs façons de réaliser des coupleurs bidirectionnels à fibres optiques
unimodales. Mise à part la méthode d’alignement mécanique fondée sur l’optique
géométrique [1], deux autres anciennes méthodes consistent à dénuder partiellement
les cœurs des fibres, soit par attaque chimique [2], soit par usinage mécanique [3].
Dans ces deux cas, les cœurs des fibres sont rapprochés l’un de l’autre sans
déformation et le couplage s’effectue par l’intermédiaire des ondes évanescentes
associées aux cœurs qui baignent dans une gaine commune. La façon actuelle de réaliser
industriellement des coupleurs 2 × 2 est de fusionner et d’étirer deux fibres
unimodales. Lorsque les fibres sont identiques, ce coupleur a l’allure typique suivante
(fig. 9.1) :

125 μm

d(z) 10 à 50 μm
1 1
2 2
L ≈ 10 mm
Figure 9.1 Schéma d’un coupleur 2 × 2 fusionné et étiré.

Selon les recettes de fabrication et les conditions d’utilisation, ce dispositif permet
de réaliser plusieurs fonctions :
• Division de puissance (CDP : coupleur diviseur de puissance). La puissance
initiale P entre dans la branche d’entrée 1 et se divise en P et P dans les deux 0 1 2
branches de sortie, 1 et 2.
• Séparation de deux longueurs d’onde (WDM : wavelength division
multiplexing). La puissance initiale P (λ + λ ) entre dans la branche d’entrée 1 et se 0 1 2
sépare en P (λ ) et P (λ ) dans les deux branches de sortie, 1 et 2. La fonction 1 1 2 2
inverse est aussi possible : si, à l’entrée, P (λ ) et P (λ ) sont injectés aux entrées 1 1 2 2
1 et 2, il peut sortir P (λ + λ ) en sortie 1. 0 1 2
• Séparation de deux modes (CSM : coupleur séparateur de modes). La puissance
initiale P (LP + LP ) est injectée à l’entrée 1 et se sépare en P (LP ) et 0 01 11 1 01
P (LP ) dans les deux branches de sortie, 1 et 2. 2 11274 Chapitre 9
Trois paramètres importants gouvernent le comportement des coupleurs :
• La longueur d’étirage L.
• Le profil de la zone étirée (équation du diamètre variable d(z)).
• Le degré de fusion f (degré de pénétration des deux fibres avant l’étirage),
schématiquement illustré à la figure 9.2.




f = 0 0 < f < 1 f = 1
(a) (b) (c)
Figure 9.2 Degré de fusion f d’un coupleur : a) f = 0; b) 0 < f < 1; c) f = 1.
Tous ces paramètres sont ajustables durant la fabrication et nécessitent un système
d’étirage, de positionnement de la flamme de la microtorche et de débit des gaz, le
tout contrôlé par des programmes informatiques.
Dans le cas d’une fusion complète des deux fibres, il est remarquable de constater
que les cœurs restent distincts comme le montrent l’image photographique [4]
(fig. 9.3) et le relevé en deux dimensions du profil d’indice (fig. 9.4) [5]. De plus,
sous l’action de la chaleur, les cœurs deviennent légèrement elliptiques et le profil
d’indice de la fibre initiale est modifié (fig. 9.5 et 9.6). Il faut tenir compte de tous
ces effets dans la modélisation, ce qui complique un peu les calculs théoriques.









Figure 9.3 Photographie du plan de section droite de deux fibres fusionnées
( f = 0,83). Le grand ovale a été ajouté.

Extrait de la publicationCoupleurs 2 × 2 275









Figure 9.4 Lignes de niveau d’indice dans le plan de section droite de deux
fibres fusionnées ( f ≈ 1).

1,460

1,458

1,456

1,454
1,452
1,450
0 50 100 150 200 250
Position radiale (μm)
(a)








(b)
Figure 9.5 Profil d’indice avant le chauffage : a) radial; b) en deux dimensions.
Extrait de la publication
Indice de réfraction Extrait de la publication