Le raisonnement par récurrence

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Le raisonnement par récurrence (fiche - Terminale S - Mathématiques pour adulte - Mathématiques)

Objectif(s) Apprendre un nouveau type de raisonnement concernan t les propositions universelles qui dépendent d’un entier naturel : le raisonnement par récurrence. 1. Le principe Tout d’abord, en mathématiques, on désigne parpropositionun énoncé portant sur des « objets » mathématiques.

Par exemple, (x = 3) est une proposition mathématiq ue. Pour démontrer une proposition P, il faut en fait justifier que la proposition P est « vraie ». Les démonstrations sont nombreuses et ont des princ ipes variés : cela dépend du contenu de la proposition P.

Parmi ces principes, il en est un appelé «raisonnement par récurrence» ; il concerne des propositions qui ont deux particularités : • la proposition doit être universelle, à savoirêtre vraie pour tous les éléments qui la définissent, ET • la proposition doitdépendre d’un entier naturel.

Exemple Soit (u ) une suite et soit P la proposition (pour tout entier naturel n, u n n « Pour tout » génère l’universalité de P et P dépen d d’unentier n; P sera alors notée P pour signifier qu’elle dépend de l’entier n. n La question est donc de savoir comment démontrer P . n

Parmi les possibilités de démonstrations, il y a leraisonnement par récurrencedont le principe est comparable à l’idée de vouloir «monter un escalier ayant un nombre infini de marches», comme le montre l’illustration ci-dessous.