Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA)

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Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA) (fiche - Terminale S - Mathématiques pour adulte - Mathématiques)

Objectif Maîtriser les notions d'infinitude et de répartitio n des nombres premiers, ainsi que les nombres premiers particuliers. Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. Connaître le principe de clé publique et de clé pri vée du système cryptographique RSA. 1. Généralités a. Définition Un nombre entier naturel estpremiers'il admet exactementdeuxdiviseurs dans : 1 et lui-même. Exemples : 0 admettant une infinité de diviseurs n'est pas un nombre premier. 1 n'admet qu'un seul diviseur 1, il n'est donc pas premier. 2 admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même, il est donc premier. b. Reconnaissance Propriété Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. Sinn'est divisible par aucun nombre premierp, alorstel que nest premier.

Exemple d'utilisation : 117 est un nombre premier, en effet : , les seuls nombres premiers compris entre 2 et 10 sont : 2, 3, 5 et 7. 117 n'e st divisible par aucun de ces nombres, il est donc premier. c. Décomposition en facteurs premier Propriété Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 es t soit un nombre premier, soit un produit de nombres premiers (on appellera cela une décomposition en produit de facteurs premiers). Preuve : Supposons quens petit diviseursoit un nombre non premier. Il existe alors un plu premierdsupérieur ou égal à 2, et un entier naturelntel quenn = d avecn. Puis 1 1 1 1 1 on continue le raisonnement : soitnest premier soit il ne l'est pas ... 1 On construit donc une suite (n) d'entiers qui est strictement décroissante. Cette suite i est finie, si on note parrle dernier rang on a donc :n = 1. On construit aussi une suite r finie de nombres premiers (p), on a donc :p ...pn = p i 1 2 r

Propriété admise La décomposition en produit de facteurs premiers, p our un entier naturel strictement