442 pages
Danish
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

GrundlAeggende mal- og integralteori

-

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
442 pages
Danish

Description

Mal- og integralteori har op igennem det 20. arhundrede udviklet sig til at udgore en vAesentlig del af grundlaget for matematiske discipliner som f.eks. sandsynlighedsteori, statistik, matematisk fysik, funktionel-analyse og matematisk finansiering. Denne bog giver en stringent indforing i de grundlAeggende elementer af mal- og integralteorien, og den kan saledes danne et solidt udgangspunkt for videregaende studier inden for de netop nAevnte matematiske discipliner.GrundlAeggende mal- og integralteori henvender sig som udgangspunkt til lAesere med en matematisk baggrund svarende til et typisk forste studiear pa matematik-studiet ved et dansk universitet. Basale resultater og teknikker i forbindelse med grAenseovergang og kontinuitet forventes saledes at vAere bekendte af lAeseren, men derudover opbygges teorien gennemgaende fra bunden uden yderligere forudsAetninger.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 26 août 2014
Nombre de lectures 0
EAN13 9788771245080
Langue Danish
Poids de l'ouvrage 2 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0112€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesGrundlæggende mål- og
integralteori
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesDettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesGrundlæggende mål- og
integralteori
Steen Thorbjørnsen
Aarhus Universitetsforlag
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesGrundlæggende mål- og integralteori
© Steen Thorbjørnsen og Aarhus Universitetsforlag 2014
Tilrettelægning: Lars Madsen
Omslag: Trefold
Bogen er sat med Kp-Fonts på Munken Premium Cream
Tryk: Narayana Press, Gylling
Printed in Denmark 2014
ISBN 978 87 7124 508 0
Aarhus Universitetsforlag
www.unipress.dk
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesForord
Nærværende tekstbog i mål- og integralteori er kulminationen på en række
forelæsningsnoter udarbejdet gennem årene 2007–2014 til brug i kurserne Målteori,
Sandsynlighedsteori 1.1 og Reel Analyse og Sandsynlighedsteori ved Institut for
Matematik, Aarhus Universitet.
Det har fra starten været hensigten at give en solid fremstilling af mål- og
integralteori, som er (relativt) let læselig, også for studerende med kun et enkelt
års universitetsstudier bag sig. Dette har afstedkommet et forholdsvis stort antal
sider, hvilket naturligvis kan virke begrænsende på læserens overblik over det
gennemgåede stof. Det sidste er søgt imødekommet med en ganske stram struktur
af teksten, som i vid udstrækning er opdelt i definitioner, sætninger, beviser,
bemærkninger, eksempler etc.
Teksten er indholdsmæssigt struktureret således, at efter introduktionen af
-algebraer og mål i Kapitel 1 etableres entydighed og eksistens af
Lebesguedmålene påR allerede i hhv. Kapitel 2 og 3. Har man imidlertid primær fokus
på Lebesgue-integralet, og er man villig til at lade eksistens og entydighed af
Lebesgue-målene stå til troende, da kan man uden problemer overspringe de to
førnævnte kapitler og gå direkte til Kapitel 4 om målelige afbildninger og derefter
til Kapitel 5, hvor Lebesgue-integralet udvikles. Jeg benytter selv denne strategi
i 7-ugers kurset Målteori, hvor fokus ved den skriftlige eksamen naturligt er på
Lebesgue-integralet. Hvor materialet i Kapitel 3 i meget lille udstrækning
danner grundlag for senere kapitler i bogen, er resultater og teknikker fra Kapitel 2
(bl.a. Dynkins Lemma) derimod af afgørende betydning for materialet i 6
om produktmål, Kapitel 10 om absolut kontinuitet og tætheder, Kapitel 11 om
transformation af mål og Kapitel 13, hvor fundamentale begreber og resultater fra
sandsynlighedsteorien studeres på basis af mål- og integralteori. I Kapitel 7
stupderesL -rummene og de tilhørerende integral-uligheder og konvergensbegreber.
Tilfældetp = 2 leder frem til teorien for Hilbert-rum, der behandles særskilt i
Ka2pitel 9 i en abstrakt ramme, men naturligvis medL -rummene som gennemgående
eksempel. Idet Kapitel 9 fokuserer på Hilbert-rum over de komplekse tal, udvides
teorien for Lebesgue-integralet i Kapitel 8 til funktioner med komplekse værdier.
Af bekvemmelighedsgrunde omhandler de foregående kapitler kun integraler
i
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesForord
af funktioner med reelle værdier (evt. suppleret med værdierne 1 ). Kapitel 12
giver på baggrund af den foregående teori en indføring i Fourier-transformationen
for funktioner påR.
Med henblik på at imødekomme overgangen fra førsteårsstudier afsluttes
bogen med appendikser om bl.a. elementær mængdeteori, den udvidede reelle
tallinje, tællelige mængder samt supremum, infimum, limes superior og limes
inferior. Visse “videregående emner”, som kort berøres i hovedteksten, er ligeledes
behandlet i appendikser.
En stor del af materialet i bogen bygger indholdsmæssigt i høj grad på Svend
Erik Graversens noter [Gr], der tidligere blev benyttet i de førnævnte kurser
Målteori og Sandsynlighedsteori 1.1. Materialet om Hilbert-rum og Fourier-transformation
er tilsvarende inspireret af noterne [Ve] af Jørgen Vesterstøm, og bogen [Ru87] af
Walter Rudin. Andre inspirationskilder til noterne generelt har været bogen [BM]
af Christian Berg og Tage Gutman Madsen samt bogen [Sc] af René L. Schilling.
Hvert kapitel i noterne afsluttes af en række opgaver. En del af disse opgaver
er udarbejdet under afviklingen af de førnævnte kurser. Andre opgaver henter
inspiration fra især [Gr] og [BM].
En lang række studerende og instruktorer har gennem årene 2007–2014
bidraget i større eller mindre grad til forbedringer af materialet i bogen, og jeg er
dem stor tak skyldig. Det vil imidlertid føre for vidt at nævne dem alle her, så
jeg vil nøjes med at fremhæve Jesper Bjørnholts og Nina Ankers mange sproglige
kommentarer samt Jacob Harris Cryer Kragh og Thomas Norman Dam, der bl.a.
har bidraget direkte til forbedringer af argumentationen enkelte steder i teksten.
Det er afslutningsvist en stor fornøjelse at takke Jan Pedersen for hans grundige
gennemlæsning af en tidligere version af manuskriptet og hans indsigtsfulde
kommentarer, der har forbedret dele af teksten betragteligt. Det er ligeledes en
fornøjelse at takke Svend Erik Graversen, Jørgen Hoffmann-Jørgensen, Henrik
Stetkær og Bent Ørsted for berigende diskussioner og forslag. En stor tak skal
også lyde til Søren Mogensen Larsen fra Aarhus Universitetsforlag for frugtbart
samarbejde under tilblivelsen af bogen. Sidst og absolut ikke mindst er det en stor
fornøjelse at takke Lars Madsen for hans ihærdige og vedvarende arbejde med at
forbedre tekstens layout med stor fokus på øget læsbarhed for de studerende.
Aarhus, juni 2014 Steen Thorbjørnsen
ii
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives_
Forord
Nogle få ord om bogens struktur
Hovedteksten er opdelt 13 kapitler, der igen er opdelt i afsnit. Hovedteksten
efterfølges af 8 appendikser. Som nævnt i forordet er afsnittene i vid udstrækning
yderligere opdelt i “tekstenheder” som sætninger, definitioner, bemærkninger,
eksempler etc. De to førstnævnte enheder er i teksten markeret med en farvet
baggrund. Til at markere afslutningen på nogle af de andre enheder benyttes
følgende “slutsymboler”:
markerer afslutningen på et bevis.
markerer afslutningen på en bemærkning.
markerer afslutningen på et eksempel.
Læseren skal være opmærksom på, at tekstenhederne (også de farvede), sagtens
kan forsætte på den efterfølgende side.
iii
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesDettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesIndhold
Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Prolog ix
1 -algebra og mål 1
1.1 Målelige mængder – begrebet-algebra . . . . . . . . . . . . . . 1
d1.2 Borel-algebraen iR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Mål og deres grundlæggende egenskaber . . . . . . . . . . . . . . 13
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Dynkins Lemma og entydighed af mål 25
2.1 -systemer og Dynkins Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Entydighedsresultater for mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Regularitet af Borel-mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Konstruktion af mål 39
3.1 Problemstillingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Det ydre mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Carathéodorys Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Hvornår løser det ydre mål problemstillingen? . . . . . . . . . . . 47
3.5 Lebesgue-Stieltjes-mål påR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Målelige funktioner og afbildninger 59
4.1e afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Målelige funktioner med værdier iR . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Målelighed ved grænseovergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 i delrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Simple funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Lebesgue-integralet 89
5.1 Integralet af positive simple funktioner . . . . . . . . . . . . . . . 92
v
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesIndhold
5.2 Integration af positive målelige funktioner . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Nulmængder og-næsten overalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Integration af reelle funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 Konvergenssætninger for integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6 Integration over delmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet . . . . . . . . . . . . 123
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Produktmål 137
6.1 Produktrummet af to målelige rum . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Produktrum af flere end to målelige rum . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 Eksistens og entydighed af produktmål . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 Integration med hensyn til prod – Tonellis og Fubinis
Sætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
p7 Integral-uligheder ogL -rum 167
7.1 Konvekse funktioner og Jensens ulighed . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2 Young, Hölder, Markov og Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . 174
p7.3 L -rummene og semi-normernekk . . . . . . . . . . . . . . . . 177p
7.4 Konvergens i-p-middel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
p7.5 RummeneL () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Approksimation med kontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . 195
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8 Målelighed og integration af komplekse funktioner 203
8.1 af komplekse funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2 Integration af kom . . . . . . . . . . . . . . . . 205
p8.3 L -rum af komplekse funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9 Hilbert-rum 217
9.1 Indre produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.2 Ortogonalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 Projektionssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.4 Ortonormalsystemer og ortonormalbaser . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 Lineære funktionaler på et Hilbert-rum . . . . . . . . . . . . . . . 243
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10 Tætheder og absolut kontinuitet 257
10.1 Mål med tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.2 Entydighed af tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.3 Absolut kontinuitet og singularitet . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.4 Lebesgue-dekompositionen og Radon-Nikodyms Sætning . . . . 267
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
vi
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesIndhold
11 Transformation 277
11.1 Transformation af mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
d11.2 Translationsinvariante mål iR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
11.3 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet . . . . . . . 284
111.4 Transformation af Lebesgue-målet med injektiveC -afbildninger 292
11.5 Bevis for Transformationssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12 Fourier-transformationen 313
12.1 Definition og grundlæggende egenskaber . . . . . . . . . . . . . . 313
12.2 Foldning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.3 Riemann-Lebesgues Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.4 Inversionssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
212.5 Fourier-transformationen påL () . . . . . . . . . . . . . . . . . 329C
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
13 Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori 337
13.1 Sandsynlighedsfelter, stokastiske variable og fordelinger . . . . . 338
13.2 Diskrete stokastiske variable og vektorer . . . . . . . . . . . . . . 342
13.3 Absolut kontinuerte stokastiske variable og vektorer . . . . . . . 350
13.4 Momenter, kovarians og korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
13.5 Uafhængige stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.6 Store tals lov og frekvensfortolkningen af sandsynligheder . . . . 367
13.7 Kolmogorovs 0-1-lov og Borel-Cantellis andet Lemma . . . . . . 370
Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
Appendikser 381
A.1 Elementær mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A.2 Tællelige mængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
A.3 Udvalgsaksiomet og Zorns Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
A.4 Den udvidede reelle tallinjeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
A.5 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior . . . . . . 398
A.6 Generelle partitions-algebraer og kardinalitet af-algebraer . 406
A.7 Borel-målelighed i generelle metriske rum . . . . . . . . . . . . . 410
A.8 Vitalis Sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Litteratur 417
Indeks 419
vii
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesDettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesProlog
For at illustrere de problemstillinger og begreber, vi skal studere i de indledende
2kapitler af denne bog, betragter vi først den 2-dimensionale euklidiske planR .
Et af hovedformålene med bogen er at give en stringent matematisk beskrivelse
2af begrebet “areal” af delmængder afR . Lidt mere præcist ønsker vi at indføre
2en mængde-funktion , som til en delmængdeA afR knytter et ikke-negativt2
tal (A), der på rimelig vis stemmer overens med vores intuitive opfattelse af2
“arealet af A”. Med denne intuitive opfattelse i baghovedet er det rimeligt at
forlange, at bl.a. bør opfylde følgende betingelser:2
(i) (;) = 0.2
S Pn n 2(ii) A = (A ), nårA ;:::;A er disjunkte delmængder afR .2 i 2 i 1 ni=1 i=1
2(iii) ’s værdi på et vilkårligt (åbent) rektangel (a ;b ) (a ;b ) iR er lig med2 1 1 2 2
produktet af sidernes længder:
((a ;b ) (a ;b )) = (b a ) (b a ):2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2(iv) HvisA er en delmængde afR , oga er en fast vektor iR , så gælder der, at
(A +a) = (A).2 2
2(v) HvisA er en delmængde afR ,2 ( ;], ogR (A) betegner rotationen af
A med vinkelen (omkring origo), så gælder der, at (R (A)) = (A).2 2
Betingelserne (iv) og (v) udtrykker, at ’s værdi på en mængdeA ikke ændres,2
hvis man forskyderA med længden og i retningen svarende til en vektora, eller
hvis man rotererA med en vinkel. Betingelserne (ii) og (iii) sikrer, at antager2
2den “rigtige” værdi på vilkårlige (åbne) rektangler iR og på mængder, der kan
skrives som foreningsmængden af endeligt mange disjunkte rektangler. Men
2hvad med andre delmængder afR , f.eks. en cirkelskive D? Her kan man let
forestille sig, at man kan overdække D med (endeligt mange) små disjunkte
rektangler, således at det samlede areal af disse rektangler tilnærmelsesvist er
lig med arealet af D. Det er intuitivt klart, at approksimationen kan blive så
god, som man måtte ønske, og in må en mængdefunktion , der opfylder2
betingelserne (i)–(iii), således også forventes at antage den “rigtige” værdi på
ix
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesProlog
2cirkelskiver og andre “pæne” delmængder afR . Men hvad så, hvis man f.eks.
2betragter foreningsmængden af uendeligt mange disjunkte rektangler iR , f.eks.
1S 1 1R = (n ;n) (n ;n):n n
n=1
Her bør der intuitivt gælde (jvf. (ii)), at
N N 1X X X 2 1 1 1 1 (R) = lim (n ;n) (n ;n) = lim = = ;2 2 n n 2 2N!1 N!1 n n 6
n=1 n=1 n=1
og overvejelser som denne leder til, at mængdefunktionen rimeligvis bør2
opfylde følgende skærpelse af (ii):
1X1 S
(II) A = (A ), når (A ) er en følge af disjunkte delmængder2 i 2 i i i2N
i=1 i=1
2afR .
Her kan man imidlertid vise (se Appendiks A.8), at der ikke findes en afbildning
1 2 defineret på hele potensmængden P (R ), som opfylder betingelserne (i),2
(II), (iii) og (iv) ovenfor, når det forudsættes, at (II) og (iv) skal være opfyldte for
2vilkårlige følger (A ) af disjunkte delmængder afR hhv. vilkårlige delmængderi i2N
2A af planen . For overhovedet at kunne indføre et rimeligt arealbegreb bliver
man således nødt til at acceptere, at mængdefunktionen kun er defineret på2
2 2et passende delsystemB(R ) afP (R ). Med andre ord må man altså acceptere, at
2der findes delmængder afR , som man ikke på fornuftig vis kan tilskrive et areal,
2og mængderne iB(R ) omtales tilsvarende som de “målelige mængder”. Systemet
2 3B(R ), som man i første omgang stiller sig tilfreds med at kunne definere2
2på, kan beskrives som det mindste system af delmængder afR , der opfylder
følgende betingelser:
2 21. R 2B(R ).
2 c 22. HvisB2B(R ), gælder der også, atB 2B(R ).
S23. For enhver følge (B ) af mængder fraB(R ) gælder der også, at B 2i i2N ii2N
2B(R ).
2 24. B(R ) indeholder ethvert rektangel iR .
Betingelserne 1–3 ovenfor sikrer, at man kan arbejde frit inden for systemet
2B(R ) med hensyn til de sædvanlige mængdeoperationer (anvendt tælleligt mange
2gange), og de udtrykker, atB(R ) er en såkaldt-algebra (se Definition 1.1.1).
Som vi skal se i Afsnit 2.2 og Afsnit 6.3, så findes der én og kun én afbildning
1 2 2PotensmængdenP (R ) er systemet af alle delmængder afR ; jvf. Appendiks A.1.
2 Her forudsættes det sædvanlige ZFC-aksiomsystem for mængdelæren; specielt udvalgsaksiomet
(se Appendiks A.3).
3 2 2Man kan udvide til større klasser af delmængder afR endB(R ), men altså ikke til hele2
2P (R ) (se Bemærkning A.8.3(2)).
x
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesProlog
2 2 :B(R )! [0;1], der opfylder betingelserne (i), (II), (iii) for mængder iB(R ).2
Denne afbildning opfylder endvidere betingelserne (iv) og (v) for alle mængderA
2iB(R ), hvilket etableres i hhv. Afsnit 11.2 og Afsnit 11.3.
2Det viser sig heldigvis, atB(R ) er stor nok til at omfatte alle “i praksis
fore2kommende” delmængder afR , og set i det lys skal det umulige i at definere2
2på heleP (R ) måske mere end en praktisk begrænsning opfattes som et udtryk
for, at der inden for det sædvanligvis anvendte aksiomsystem for mængdelæren
2findes yderst komplicerede delmængder afR .
Når vi i Kapitel 5 skal indføre integralet af (i første omgang) ikke-negative
funktioner med hensyn til , er vi ligeledes nødt til at stille os tilfredse med at2
2kunne integrere en delklasse af mængden af alle funktionerf :R ! [0;1). Sådan
som integralet konstrueres ud fra , viser det sig, at den nødvendige betingelse2
påf f.eks. kan udtrykkes som betingelsen, at
2 2fx2R :f (x)bg2B(R ) for alleb i [0;1);
hvilket er et udtryk for, at man kan “måle størrelsen aff ” med målet . Funk-2
tionerne som opfylder denne betingelse kaldes så for “målelige funktioner”. De
2målelige funktioner påR udgør en bred klasse af funktioner, som bl.a. omfatter
2alle kontinuerte funktioner påR .
Den ovenfor skitserede konstruktion kan uden yderligere komplikationer
dgennemføres i alle de endeligt dimensionale euklidiske rumR , og en stor del
af overvejelserne giver uden videre mening i langt større generalitet. Når vi i de
næste kapitler for alvor går i gang med at opbygge “målteorien”, skal vi således
2 di stedet forR (ellerR ) arbejde med en abstrakt (ikke-tom) grundmængdeX
og studere-algebraer iX, dvs. systemerE af delmængder afX, der opfylder
følgende betingelser:
(1) X2E.
c(2) For alle mængderA iE gælder der også, atA 2E.
S
(3) Hvis (A ) er en følge af mængder fraE, så gælder der også, at A 2E.n nn2N
Vi skal endvidere studere generelle mængdefunktioner, kaldet mål,:E! [0;1],
som opfylder følgende to betingelser:
(m1) (;) = 0.
S P1 1(m2) A = (A ), når (A ) er en følge af disjunkte mængdern n n n2Nn=1 n=1
fraE.
Den abstrakte tilgang har den fordel, at overvejelserne bliver renset for irrelevante
2 dforhold, som kun er gyldige iR (ellerR ). Vigtigere er det imidlertid, at den
resulterende generelle teori omfatter en lang række matematiske situationer, hvor
man naturligt ledes til at størrelsesangive mængder på en måde, der er analog til
arealbegrebet. Det vigtigste eksempel herpå er nok sandsynlighedsteorien, hvor
man i udgangspunktet ønsker at give en matematisk beskrivelse af eksperimenter
med “tilfældige udfald”. Man har så brug for at bestemme sandsynligheden for,
at udfaldet af det betragtede eksperiment havner i en bestemt delmængdeA af
xi
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesProlog
mængdenX af samtlige mulige udfald. I dette tilfælde skal(A) således opfattes
som sandsynligheden for, at udfaldet af eksperimentet havner i mængdenA, og
vores intuitive opfattelse af sandsynligheder retfærdiggør, at mængdefunktionen
skal opfylde betingelserne (m1) og (m2) ovenfor. Endvidere forudsættes i denne
sammenhæng kun at antage værdier i [0;1], og omtales som et sandsynlighedsmål.
Udviklingen af selve mål- og integralteorien skal tilskrives en lang række
matematikere fra det 20. århundrede. Nogle af deres navne vil vi støde på
undervejs, som teorien bliver gennemgået. Blandt de væsentligste er H. Lebesgue,
E. Borel, C. Carathéodory, J. Dynkin, T.J. Stieltjes, P. Fatou, L. Tonelli og G. Fubini,
hvoraf de to førstnævnte allerede har optrådt implicit i den benyttede notation
2 hhv.B(R ). Den skitserede tilgang til sandsynlighedsteori baseret på mål- og2
integralteori skyldes først og fremmest den russiske matematiker A.N.
Kolmogorov. Den har været af helt afgørende betydning for udviklingen af den moderne
sandsynlighedsteori.
xii
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1
-algebra og mål
Vi skal i dette kapitel introducere begrebet “et mål” og etablere en række
grundlæggende egenskaber for disse. Vi skal endvidere studere en række simple
ekdsempler på mål, idet hovedeksemplet, Lebesgue-målet påR ,d2N, kun indføres
formelt, mens dets eksistens og entydighed først etableres i senere kapitler
(kapitlerne 2, 3 og 6). Som beskrevet i prologen er et mål typisk ikke defineret på
systemet af alle delmængder af den betragtede grundmængde men kun på
delsystemer kaldet-algebraer. Kapitlet starter derfor med at indføre-algebraer og
studere nogle af deres væsentligste egenskaber. I særdeleshed skal vi udstyre det
deuklidiske rumR med en kanonisk-algebra kaldet Borel-algebraen.
1.1 · Målelige mængder – begrebet-algebra
I dette afsnit betragter vi, på nær i eksemplerne, en (abstrakt) ikke-tom mængdeX.
Vi starter med at indføre forskellige systemer af delmængder afX.
1.1.1 · Definition. Et systemE af delmængder afX kaldes for en-algebra iX,
hvis det opfylder følgende tre betingelser:
(1) X2E.
c(2) For alle mængderA iE gælder der også, atA 2E.
(3) Hvis (A ) er en følge af mængder fraE, så gælder der desuden, atn n2NS
A 2E.nn2N
Mængderne iE kaldes forE-målelige mængder eller blot målelige mængder, nårE er
underforstået af sammenhængen.
1.1.2 · Bemærkning. HvisE er en-algebra iX, så opfylderE specielt
betingelsen:
Hvisn2N, ogA ;A ;:::;A er mængder fraE,1 2 n S (1.1)nså gælder der også, at A 2E.jj=1
Dette følger ved at benytte (3) på følgen (A ) af mængder fraE, hvorA ;:::;Aj j2N 1 n
er de givne mængder i (1.1), mensA =A , nårjn + 1. Et systemE af delmæng-j n
1
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
der af X, som opfylder betingelserne (1), (2) og (1.1) kaldes en (mængde-)
algebra iX. Som for en række andre begreber i matematikken benyttes sigmaet i
terminologien “-algebra” til at udtrykke, at begrebet omhandler tælleligt mange
operationer. Terminologien belyser således den faktiske forskel mellem en algebra
og en-algebra. Bemærk i øvrigt, at hvisE kun består af endeligt mange mængder,
så erE en-algebra, hvis og kun hvis det er en algebra.
Det næste resultat viser specielt, at man inden for en-algebraE kan arbejde frit
med de sædvanlige mængdeoperationer uden at “ryge ud af”E, så længe man
holder sig til tælleligt mange mængdeoperationer.
1.1.3 · Lemma. HvisE er en (mængde-) algebra iX, så gælder der yderligere
følgende regler:
(i) ;2E.
(ii) HvisA;B2E, så er ogsåA\B element iE.
(iii) HvisA;B2E, så er ogsåAnB element iE.
HvisE er en-algebra iX, så gælder der endvidere:
T
(iv) Hvis (A ) er en følge af mængder fraE, så er også A element iE.n n2N nn2N
Bevis. Alle udsagnene følger ved anvendelse af (de relevante af) betingelserne
(1)–(3) samt regneregler for mængdeoperationerne (jvf. Appendiks A.1). Antag
således først, atE er en algebra, og atA;B2E. Vi finder da, at
cRegel (i): ; =X 2E ifølge (1) og (2).
c
c c c cRegel (ii): A\B = (A\B) = (A [B ) 2E ifølge (2) og (1.1).
cRegel (iii): AnB =A\B 2E ifølge (2) og (ii).
Antag nu, atE er en-algebra, og at (A ) er en følge af mængder fraE. Vin n2N
finder da, at
c T T c S ccRegel (iv): A = A = A 2E ifølge (2) og (3).n2N n n2N n n2N n
Dermed er lemmaet vist.
1.1.4 · Eksempler.
(A) Systemerne
f;;Xg og P (X) =fA :AXg
er begge-algebraer iX; hhv. den mindste og den største af alle-algebraer iX.
c(B) For enhver delmængdeA afX er systemetE =f;;A;A ;Xg en-algebra i
X (overvej!). Det er oplagt den mindste-algebra iX, der indeholderA, i den
forstand at enhver-algebra iX, der indeholderA, også vilde alle
mængderne fraE.
2
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives1.1. Målelige mængder – begrebet-algebra
Sn(C) Lad A ;:::;A være disjunkte delmængder af X, således at A = X.1 n jj=1
I denne situation gælder der, at systemet
n oS
E := A :If1;:::;ng (1.2)j
j2I
er en-algebra iX:
SnBetingelse (1): At X2E følger fra antagelsen: A = X, ved at benyttejj=1
I =f1;:::;ng i formel (1.2).
Betingelse (2): For en delmængde I aff1;:::;ng følger det ved anvendelse af
begge antagelserne omA ;:::;A , at1 n
S c S
A = A 2E;j j
j2I j2f1;:::;ngnI
hvilket viser, atE er lukket over for komplementærmængdedannelse.
Betingelse (3): Lad (I ) være en følge af delmængder aff1;:::;ng. Vi skal vise,k k2N
at S S
A 2E:j
k2N j2Ik
n nDa der kun er 2 forskellige delmængder aff1;:::;ng, kan der højst være 2
nforskellige blandt mængderneI ,k2N, og dermed kan der også højst være 2kS
fe blandtderne A ,k2N. Derfor reduceres problemet til atj2I jk
vise, at
N S S
A 2E;j
j2Ik=1 k
hvisI ;:::;I er endeligt mange (forskellige) delmængder aff1;:::;ng. Men i denne1 N
situation er det ikke svært at indse, at
N S S S
A = A 2E;j j
k=1 j2I j2I[ [ Ik 1 N
som ønsket.
Som i (B) følger det umiddelbart, atE er den mindste-algebra iX, der indeholder
alle mængderneA ;:::;A .1 n
(D) Systemet
cE :=fBR :B ellerB er tælleligg
udgør en-algebra iR:
cBetingelse (1): DaR (=;) er tællelig, følger det, atR2E.
Betingelse (2): For enhver delmængdeB afR følger det umiddelbart fra
definictionen afE, atB2E, hvis og kun hvisB 2E.
3
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives_
Kapitel 1. -algebra og mål
Betingelse (3): Lad (B ) være en følge af mængder fraE. HvisB er tællelig forn nS
allen, så bliver B igen tællelig (se Sætning A.2.8(iii)) og dermed igen etnn2N
celement iE. Vi kan derfor antage, atB er tællelig for (mindst) etn iN. Idet0n0
S c cB B ;n n0
n2N
S S
følger det så, at B har tælleligt komplement, og dermed at B 2E,n nn2N n2N
som ønsket.
1.1.5 · Øvelse.
Overvej, om følgende systemer af delmængder afR udgør-algebraer:
• SystemetG af åbne delmængder afR.
•F af lukkede delmængder afR.
• SystemetG[F af alle åbne eller lukkede delmængder afR.
• af alle begrænsede delmængder afR.
• Systemet af alle intervaller iR.
Det næste resultat viser, at fællesmængder af-algebraer altid fører til
nyealgebraer. Resultatet kan evt. sammenlignes med det fra lineær algebra velkendte
resultat, at fællesmængden af en vilkårlig familie af underrum af et givet
vektorrumV altid udgør et nyt underrum afV .
1.1.6 · Sætning. Lad (E ) være en (vilkårlig) familie af-algebraer iX. Da eri i2I
også systemet
T
E :=fAX :A2E for allei2Igi i
i2I
en-algebra iX.
T
Bevis. Vi viser, at E opfylder betingelserne (1), (2) og (3) fra Defini-i2I i
tion 1.1.1:
T
Betingelse (1): DaX2E for allei, gælder der også, atX2 E .i ii2I
T
Betingelse (2): Antag, atA2 E , dvs.A2E for allei. Så gælder der også, ati2I i i Tc cA 2E for allei, idet hvertE opfylder (2). Men dette betyder, atA 2 E .i i i2I i
T
Betingelse (3): Lad (A ) være en følge af mængder fra E . For hvertin n2N ii2I S
gælder der da, at (A ) er en følge af mængder fraE , og dermed at A 2E ,n n2N i n in2NS T
daE opfylder (3). Men dette betyder, at A 2 E .i n in2N i2I
Dermed er sætningen vist.
Selvom beviset for Sætning 1.1.6 næsten er trivielt (når man har indstillet sig på
abstraktionsniveauet), så er selve resultatet afgørende for definitionen af
“frembragte-algebraer”, som vi nu skal indføre. Som det fremgår af (løsningen til)
4
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives1.1. Målelige mængder – begrebet-algebra
Øvelse 1.1.5, så udgør f.eks. systemetG af åbne mængder iR ikke i sig selv en
-algebra, og man kan naturligt spørge om, hvilke delmængder afR man skal
supplereG med for at opnå en-algebra. I den sammenhæng er det nyttigt at vide,
at der findes en-algebra iR, som indeholderG, og som er den mindste af alle
-algebraer iR med denne egenskab. Dette er et specialtilfælde af Sætning 1.1.7
nedenfor. Resultatet kan ses som en analog til det fra lineær algebra velkendte
resultat, at der for enhver delmængdeM af et vektorrumV findes et mindste
un1derrum span(M) afV , som indeholderM. I forhold til beviset for Sætning 1.1.7
er det endvidere værd at huske på, at span(M) kan defineres som fællesmængden
af samtlige underrum afV , der indeholderM.
1.1.7 · Sætning. LadD være en vilkårlig familie af delmængder afX. Så findes
en mindste-algebra(D) iX, som indeholderD, dvs.(D) opfylder følgende to
betingelser:
(a) (D) er en-algebra iX ogD(D).
(b) For enhver-algebraE iX, som indeholderD, gælder der også, at(D)E.
Bevis. Vi sætter
(D) :=fEP (X) :E er en-algebra iX, ogDEg;
og bemærker, at(D) ikke er tom, idetP (X)2(D). Vi definerer så
T
(D) := E:
E2(D)
Ifølge Sætning 1.1.6 er(D) en-algebra iX, og den opfylder betingelserne (a)
og (b) som følge af definitionen af(D).
1.1.8 · Definition.
(a) HvisD er et system af delmængder afX, så kaldes-algebraen(D) fra
Sætning 1.1.7 for den afD frembragte-algebra, ogD kaldes for et
frembringersystem for(D).
(b) En-algebraE iX siges at være tælleligt frembragt, hvis der findes en tællelig
familieD af delmængder afX, således atE =(D).
1.1.9 · Bemærkninger.
(1) HvisE er en-algebra iX, ogD er et system af delmængder afX, så svarer
betingelse (b) i Sætning 1.1.7 til implikationen:
DE =) (D)E: (1.3)
Specielt har vi for systemerD ogD af delmængder afX implikationerne:1 2
D D =) D (D ) =) (D )(D ): (1.4)1 2 1 2 1 2
1 Analogien holder dog ikke, for så vidt angår den konstruktive beskrivelse af elementerne i
span(M) ud fra elementerne iM.
5
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives_
Kapitel 1. -algebra og mål
(2) HvisD er et frembringersystem for en-algebraE iX, så er systemerne
c• fD :D2Dg
S
• f A :A 2D for allen iNgn nn2N
T
• f A :A 2D for allen iNgn nn2N
ligeledes frembringersystemer forE. Dette følger i alle tre tilfælde direkte ved
anvendelse af implikationerne i (1.4) for passende valg afD ogD (overvej!). 1 2
1.1.10 · Eksempler.
(A) Systemerne
D =f[a;b] :a;b2R; a<bg1
og
D =f(a;b) :a;b2R; a<bg2
frembringer den samme-algebra iR. Fora;b iR, såa<b, har vi nemlig, at
T 1 1[a;b] = (a ;b + )2(D );2n n
n2N
og at
S 1 1(a;b) = [a + ;b ]2(D );1n n
n2N
1 1hvor [a + ;b ] opfattes som den tomme mængde for de (højst endeligt mange)n n
1 1n, for hvilke a + > b . Det følger af ovenstående identiteter og (1.4), atn n
(D ) = (D ). Analoge overvejelser viser, at (D ) ligeledes er frembragt af1 2 1
systemerne
f(a;b] :a;b2R; a<bg og f( 1 ;b] :b2Rg:
Specielt noterer vi, at den samme-algebra kan have mange forskellige
frembringersystemer.
(B) Lad nu grundmængden X være mængden Q af rationale tal, og betragt
systemet
D =ffxg :x2Qg
af et-punktsmængder (eller “singleton’er”) iQ. DaQ som bekendt er en tællelig
mængde (se Sætning A.2.8(iv)), gælder der, at
(D) =P (Q);
hvor venstresiden altså er-algebraen iQ frembragt afD. En vilkårlig delmængde
A afQ kan nemlig oplagt skrives som foreningsmængden af et-punktsmængderne
svarende til dens elementer:
S
A = fxg: (1.5)
x2A
DaA er tællelig, er der tale om en tællelig foreningsmængde af mængder fraD,
og derfor viser (1.5), atA2(D).
Det næste resultat giver en nyttig metode til at påvise, at alle mængder i en
forelagt-algebra har en bestemt egenskab.
6
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives_
d1.2. Borel-algebraen iR
1.1.11 · Sætning. LadD være et system af delmængder afX, som alle besidder
en vis egenskabP . Antag videre, at systemet
E(P ) :=fAX :A har egenskabPg
udgør en-algebra iX. Da har alle mængder i(D) ligeledes egenskabenP .
Bevis. At alle mængder fraD har egenskabenP , betyder, atDE(P ), og daE(P )
er en-algebra, medfører dette, at(D)E(P ) (jvf. implikationen (1.3)).
1.1.12 · Eksempel. Betragt systemet
n o
D =fxg :x2R
af et-punktsmængder iR, og bemærk, at alle mængder fraD besidder egenskaben:
cP :A ellerA er tællelig.
Ifølge Eksempel 1.1.4(D) er systemet
cE(P ) =fAR :A ellerA er tælleligg
en-algebra iR. Derfor gælder ifølge Sætning 1.1.11, at enhver mængde fra(D)
enten er tællelig eller har tælleligt komplement. Specielt fremgår det, at
(D),P (R) og (D),(f[a;b] :a;b2R; a<bg):
Faktisk kan vi let vise, at(D) =E(P ). Vi har nemlig netop indset, at(D)E(P ),
og for at vise den modsatte inklusion benytter vi, at der for alle delmængderA af
R gælder identiteten
S
A = fxg;
x2A
som analogt til Eksempel 1.1.10(B) medfører inklusionen:
fAR :A er tælleligg(D):
Ved anvendelse af (1.4) følger det derfor, at
(D)(fAR :A er tælleligg)E(P );
hvor sidste inklusion følger umiddelbart af definitionen afE(P ) og (2).
d1.2 · Borel-algebraen iR
dI dette afsnit skal vi for ethvertd iN udstyre rummetR med en
kanoniskalgebra kaldet Borel-algebraen. I forbindelse hermed skal vi studere to forskellige
dafstandsbegreber – også kaldet metrikker – påR . Vi minder indledningsvist om
definitionen af en metrik:
7
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
1.2.1 · Definition. LadS være en ikke-tom mængde. En afbildning :SS!R
kaldes for en metrik, hvis den opfylder følgende 4 betingelser for allex;y;z iS:
(mtr1) (x;y) 0,
(mtr2) (x;y) =(y;x), – Symmetri
(mtr3) (x;z)(x;y) +(y;z), – Trekantsuligheden
(mtr4) (x;y) = 0() x =y. – Hausdorff egenskab
I bekræftende fald kaldes parret (S;) for et metrisk rum. Hvis kun opfylder
betingelserne (mtr1)–(mtr3), omtales den som en pseudo-metrik.
dPåR skal vi først og fremmest benytte det sædvanlige euklidiske afstandsbegreb:
d X 1=2
2 ((x ;:::;x );(y ;:::;y )) = (x y ) ; (1.6)2 1 d 1 d i i
i=1
dforx = (x ;:::;x ),y = (y ;:::;y ) iR . Vi skal imidlertid også benytte metrikken1 d 1 d
d påR givet ved1
((x ;:::;x );(y ;:::;y )) = max jx yj: (1.7)1 1 d 1 d i i
i=1;2;:::;d
Det er formentlig velkendt fra foregående kurser, at og begge opfylder2 1
dbetingelserne (mtr1)–(mtr4) og således som påstået udgør metrikker påR .
1.2.2 · Definition. Lad (S;) være et metrisk rum.
(a) For ethvertx iS og ethvertr i (0;1) lader vib (x;r) betegne den åbne-kugle
med centrumx og radiusr, dvs.b (x;r) =fy2S :(x;y)<rg:
(b) En delmængdeG afS kaldes åben, hvis der for ethvert punktx iG findes et
talr i (0;1), således atb (x;r)G.
c(c) En delmængdeF afS kaldes lukket, hvisF er åben.
dForx iR ogr i (0;1) betegnes den åbne -kugle med centrumx og radiusr kort2
medb (x;r), dvs.2
db (x;r) =fy2R : (x;y)<rg: (1.8)2 2
Den tilsvarende -kugle betegnes medb (x;r), dvs.1 1
db (x;r) =fy2R : (x;y)<rg = (x r;x +r) (x r;x +r): (1.9)1 1 1 1 d d
Systemet af åbne mængder med hensyn til (hhv. ) betegnes medG( )2 1 2
(hhv.G( )). Selvom der er tale om to forskellige afstandsbegreber, er de to1
metrikker og ækvivalente, i den forstand atG( ) =G( ). Dette skyldes, at2 1 2 1
enhver åben kugle mht. indeholder en åben kugle mht. med samme centrum2 1
og vice versa (detaljerne vises i Opgave 1.1). For at have en simpel notation sætter
vi
G =G( ) =G( ):d 2 1
8
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesd1.2. Borel-algebraen iR
d d1.2.3 · Definition. Borel-algebraen iR er-algebraen iR frembragt af systemet
dG af åbne mængder. Den betegnes medB(R ), dvs.d

d dB(R ) :=(G ) = fGR :G er åben mht. og/eller g :d 2 1
dMængderne iB(R ) kaldes for Borel-mængder.
For et generelt metrisk rum (S;) defineres Borel-algebraenB(S) tilsvarende
som-algebraen frembragt af systemetG() af åbne mængder med hensyn til,
og vi noterer, atB(S) ikke ændres, hvis erstattes af en ækvivalent metrik.
Borelalgebraen på et generelt metrisk rum studeres nærmere i Appendiks A.7.
Det er ikke svært at eftervise, at ethvert interval iR (begrænset eller
ubegrænset; åbent, halvåbent eller lukket) er en Borel-mængde (jvf. Opgave 1.3).
dEt tilsvarende resultat gælder iR . Den næste sætning viser specielt, at
Borel-ald dgebraenB(R ) også er frembragt af visse systemer af “rektangler” iR .
1.2.4 · Sætning. For ethvertd iN gælder der, at

d d dB(R ) = fb (x;r) :x2R ; r> 0g = fb (x;r) :x2Q ; r2 (0;1)\Qg ; (1.10)2 2
og at

dB(R ) = f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2R; a <b; i = 1;:::;dg1 1 d d i i i i
(1.11)
= f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2Q; a <b; i = 1;:::;dg :1 1 d d i i i i
dSpecielt fremgår det, atB(R ) er tælleligt frembragt.
Beviset for Sætning 1.2.4 bygger på følgende hjælperesultat.
d1.2.5 · Lemma. BetragtR udstyret med metrikken , hvor betegner én af
dmetrikkerne eller . Lad videreG betegne en ikke-tom åben mængde iR2 1
dmed hensyn til, og skriv den tællelige mængdeQ \G på formen:
dQ \G =fx :k2Ng:k
Da findes en følge (r ) af positive rationale tal, således atk k2N
S
G = b (x ;r ); kk
k2N
hvor b (x;r) betegner den åbne -kugle med centrum x og radius r. Specielt
dfremgår det, at enhver åben mængde iR (med hensyn til) kan skrives som en
tællelig forening af åbne-kugler med rationale centre og radier.
Bevis. For hvertn iN definerer vi
s = supfr2 (0;1] :b (x ;r)Gg2 (0;1];n n
9
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
snog vi vælger derefter et vilkårligt rationalt talr i [ ;s ). Så følger det fra defini-n n2
tionen afs , atn
b (x ;r )G for allen iN; nn
og dermed at
S
b (x ;r )G: nn
n2N
For at vise den modsatte inklusion betragter vi et vilkårligtx iG og vælgerr i
d d(0;2], således atb (x;r)G. DaQ er tæt iR mht. (jvf. Opgave 1.2), kan vi
rderefter vælgen iN, således atx 2b (x; )G. Så gælder der (se Figur 1), atn 4
rb (x ; )b (x;r)G; (1.12) n 2
rfor hvisy2b (x ; ), så giver trekantsuligheden, at n 2
r r(y;x)(y;x ) +(x ;x)< + <r:n n 2 4
x xnG
r
2r
Figur 1: Illustration af beviset for Lemma 1.2.5.
rDa 2 (0;1], følger det fra (1.12), definitionen afs og valget afr , atn n2
sr r ns ; og dermed r :n n2 4 2
Vi kan således slutte, at
Srx2b (x ; )b (x ;r ) b (x ;r ); n kn 4 n k
k2N
som ønsket.
10
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesd1.2. Borel-algebraen iR
Bevisforformel (1.10)iSætning1.2.4.
d dFor ethvertx iR og ethvertr i (0;1) er kuglenb (x;r) en åben delmængde afR ,2
og derfor følger det umiddelbart ved anvendelse af (1.4), at

d d fb (x;r) :x2Q ; r2 (0;1)\Qg fb (x;r) :x2R ; r> 0g2 2
d(G ) =B(R ):d
Tilbage står derfor at vise, at

d(G ) fb (x;r) :x2Q ; r2 (0;1)\Qg ; (1.13)d 2
men ifølge Lemma 1.2.5 (med = ) gælder der, at2

dG fb (x;r) :x2Q ; r2 (0;1)\Qg ;d 2
og dermed følger (1.13) ved anvendelse af (1.3).
Bevisforformel (1.11)iSætning1.2.4.
For allea ;b ;:::;a ;b fraR, således ata <b ,i = 1;:::;d, er (a ;b ) (a ;b )1 1 d d i i 1 1 d d
den åben delmængde afR . Dermed følger det umiddelbart ved anvendelse af (1.4),
at

f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2Q; a <b; i = 1;:::;dg1 1 d d i i i i

f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2R; a <b; i = 1;:::;dg1 1 d d i i i i
d(G ) =B(R ):d
Tilbage står derfor at vise, at

(G ) f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2Q; a <b; i = 1;:::;dg : (1.14)d 1 1 d d i i i i
dBemærk her (jvf. formel (1.9)), at for ethvertx iQ og ethvertr iQ\ (0;1) er
b (x;r) på formen: (a ;b ) (a ;b ) for passendea ;b ;:::;a ;b fraQ. Ifølge1 1 1 d d 1 1 d d
Lemma 1.2.5 (med = ) gælder der derfor, at1

G f(a ;b ) (a ;b ) :a;b 2Q; a <b; i = 1;:::;dg ;d 1 1 d d i i i i
og dermed følger (1.14) ved endnu en anvendelse af (1.4).
1.2.6 · Korollar. For ethvertd iN gælder der, at

dB(R ) = f( 1 ;b ] ( 1 ;b ] :b ;:::;b 2Rg ; (1.15)1 d 1 d
og endda at

dB(R ) = f( 1 ;q ] ( 1 ;q ] :q ;:::;q 2Qg : (1.16)1 d 1 d
dSpecielt fremgår det (igen), atB(R ) er tælleligt frembragt.
11
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
dBevis. Betragt følgende systemer af delmængder afR :
I =f( 1 ;b ] ( 1 ;b ] :b ;:::;b 2Rg;1 d 1 d
J =f( 1 ;q ] ( 1 ;q ] :q ;:::;q 2Qg:1 d 1 d
Vi bemærker så, at
d(J )(I)B(R ); (1.17)
hvor første inklusion følger af, atJ I ved anvendelse af (1.4). Den anden
dinklusion i (1.17) følger ved anvendelse af (1.3) på inklusionenIB(R ), som
f.eks. skyldes, at alle mængder fraI er lukkede og dermed specielt Borel-mængder.
dVi mangler således blot at vise, atB(R )(J ), og hertil er det ifølge
Sætning 1.2.4 og (1.4) nok at vise, at
(a ;b ) (a ;b )2(J )1 1 d d
for allea ;b ;:::;a ;b iQ, således ata <b ,i = 1;2;:::;d. For at undgå alt for tung1 1 d d i i
notation nøjes vi med at vise dette i tilfældetd = 3, idet det efterfølgende burde
være klart, hvordan beviset skal gennemføres i andre dimensioner. Lad således for
hverti fraf1;2;3ga ogb fraQ være givne, således ata <b . Vi bemærker først,i i i i
at
(a ;b ) (a ;b ) (a ;b )1 1 2 2 3 3

= ( 1 ;b ) ( 1 ;b ) ( 1 ;b ) \ (a ;1) (a ;1) (a ;1) ;1 2 3 1 2 3
hvor
( 1 ;b ) ( 1 ;b ) ( 1 ;b )1 2 3
S 1 1 1= ( 1 ;b ] ( 1 ;b ] ( 1 ;b ] 2(J ):1 2 3k k k
k2N
Det er herefter nok at vise, at
c
(a ;1) (a ;1) (a ;1) 2(J ):1 2 3
Men her benyttes, at
c
(a ;1) (a ;1) (a ;1)1 2 3
= (( 1 ;a ]RR)[ (R ( 1 ;a ]R)[ (RR ( 1 ;a ]);1 2 3
hvor f.eks.
S
R ( 1 ;a ]R = ( 1 ;k] ( 1 ;a ] ( 1 ;k] 2(J ):2 2
k2N
Det indses tilsvarende, at ( 1 ;a ]RR ogRR ( 1 ;a ] er elementer i(J ),1 3
og dermed er korollaret vist.
12
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives1.3. Mål og deres grundlæggende egenskaber
1.3 · Mål og deres grundlæggende egenskaber
Vi skal i dette afsnit indføre og studere begrebet “et mål”. Vi starter med at indføre
noget bekvem terminologi:
1.3.1 · Definition. Et måleligt rum er et par (X;E), hvorX er en ikke-tom mængde
ogE er en-algebra iX.
Vi kan herefter indføre generelle mål på målelige rum:
1.3.2 · Definition. Lad (X;E) være et måleligt rum. Et mål på (X;E) er en
afbildning:E! [0;1], som opfylder følgende to betingelser:
(m1) (;) = 0,
(m2) er numerabelt additiv (eller-additiv), dvs. for enhver følge (A ) afn n2N
disjunkte mængder fraE gælder der, at
1X S
A = (A ): (1.18)n n
n2N n=1
Hvis er et mål på (X;E), kaldes tripletet (X;E;) for et målrum.
Bemærk i forbindelse med betingelsen (m2), at begge sider af identiteten (1.18)
S
umiddelbart er meningsfulde: A 2E, og højresiden er en sum af ikke-nn2N
negative tal.
1.3.3 · Eksempler.
d(A) Lebesgue-målet påR . Det er intuitivt klart, at operationen at tage
vo3 2lumen af en Borel-mængde iR (eller areal iR eller længde iR) må opfylde
betingelserne (m1) og (m2) i definitionen ovenfor og således udgøre et mål på
3 3 2 2(R ;B(R )) (hhv. på (R ;B(R )) eller (R;B(R))). Dette mål kaldes for
Lebesgue3 2 dmålet påR (hhv. påR ellerR). Formelt indføres Lebesgue-målet påR som det
d d dmål på (R ;B(R )), hvis værdi på ethvert åbent interval iR er produktet afd
kantlængderne:

(a ;b ) (a ;b ) = (b a )(b a ) (1.19)d 1 1 d d 1 1 d d
for allea ;b ;:::;a ;b iR, hvora <b ,j = 1;:::;d. Bemærk, at betingelsen (1.19)1 1 d d j j
dkun specificerer på en (lille) klasse af Borel-mængder iR , og det er såledesd
dlangt fra klart, at der overhovedet findes mål påB(R ), som opfylder (1.19),
deller om der findes mange mål påB(R ) med denne egenskab. Vi skal dog senere
formelt bevise (se Eksempel 2.2.3, Korollar 3.5.5 og Korollar 6.3.6), at der findes
d dnetop et mål på (R ;B(R )), som opfylder (1.19). I nogle opgaver til indeværende
kapitel vil vi derfor tillade os at arbejde med , under stiltiende antagelse af atd
det faktisk eksisterer og er entydigt. I tilfældetd = 1 skriver vi som regel blot i
stedet for .1
13
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives_
Kapitel 1. -algebra og mål
(B) Tællemål. Lad X være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr X med
-algebraenP (X). Tællemålet påX er da målet :P (X)! [0;1] givet ved:
8
>antal elementer iA; hvisA har endeligt mange elementer;<
(A) = >:1; hvisA har uendeligt mange elementer:
For at indse, at er et mål på (X;P (X)), bemærker vi først, at betingelsen (m1)
følger umiddelbart fra definitionen af. For at eftervise (m2) betragtes en følge
(A ) af disjunkte mængder fraP (X), og vi skal vise, atn
1X S
A = (A ): (1.20)n n
n2N n=1
S
Hvis( A )<1, så er(A ) også endelig for allen, og daA ’erne er disjunkte,n2N n n n
er der kun endeligt mangen iN, for hvilkeA ,;. Betegnes disse endeligt mangen
naturlige tal medn ;n ;:::;n , så følger det nu umiddelbart fra definitionen af,1 2 k
at
k 1X X kS S
A = A = (A ) = (A );n n n nj j
n2N j=1 n=1j=1
idet vi igen benytter, atA ;A ;:::;A er disjunkte.n n n1 2 kS1Hvis( A ) =1, er der to muligheder (som ikke udelukker hinanden):n=1 n
(a) Der findes etn iN, således at(A ) =1.0 n0
(b) (A ) 1 for uendeligt mangen.n
P1Men i begge tilfældene (a) og (b) følger det umiddelbart, at (A ) =1, somnn=1
ønsket.
(C) Dirac-mål. LadX være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyrX med
-algebraenP (X). For et vilkårligt elementa iX defineres Dirac-målet ia soma
målet på (X;P (X)) givet ved:
8
>0; hvisa<A;<
(A) = >a:1; hvisa2A:
Det vises i Opgave 1.11, at faktisk ér et mål på (X;P (X)).a
(D) Koncentration af mål. Lad (X;E;) være et målrum, og lad A være en
kudvalgt mængde fraE. Afbildningen :E! [0;1] givet vedA
k (B) =(B\A); (B2E);A
kses da let at være et mål påE (se Opgave 1.12). Målet omtales som koncentra-A
tionen af til mængdenA.
Vi skal nu etablere en række fundamentale egenskaber ved mål.
14
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives1.3. Mål og deres grundlæggende egenskaber
1.3.4 · Sætning. Lad (X;E;) være et målrum. Da gælder følgende udsagn:
(i) er endeligt additiv, dvs. hvisA ;:::;A er endeligt mange disjunkte mængder1 NS PN NfraE, så gælder der, at( A ) = (A ).n nn=1 n=1
(ii) HvisA;B2E, ogAB, så gælder der, at(A)(B).
(iii) HvisA;B2E,AB, og(A)<1, så gælder der, at(BnA) =(B) (A).
(iv) For en vilkårlig følge (A ) af mængder fraE gælder uligheden:n
1X S
A (A ):n n
n2N n=1
(v) Lad (A ) være en voksende følge af mængder fraE, dvs.A A A .n 1 2 3
Så gælder identiteten:
S
A = lim(A ):n nn!1n2N
(vi) Lad (A ) være en dalende følge af mængder fraE, dvs.A A A .n 1 2 3
Antag videre, at(A )<1. Så gælder identiteten:1
T
A = lim(A ):n n
n!1n2N
Bevis. Udsagn(i): LadA ;:::;A være disjunkte mængder fraE, og sæt endvi-1 N
dereA =;, nårnN + 1. Det følger så ved anvendelse af (m2) og (m1), atn
1 NX X N 1 S S
A = A = (A ) = (A ):n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
Udsagn (ii) og (iii): Antag, atA;B2E, og atAB. Så gælder der, atB =A[
(BnA), hvor mængderne på højresiden oplagt er disjunkte. Det følger derfor ved
anvendelse af (i), at
(B) =(A) +(BnA):
Heraf følger det umiddelbart, at(B)(A), og hvis(A)<1, følger det
yderligere, at også(B) (A) =(BnA).
Udsagn(iv)og(v): Lad (A ) være en vilkårlig følge af mængder fraE, og definérn
så en ny følge (B ) af delmængder afX vedn
n 1S
B =A ; og B =A n A ; nårn 2:1 1 n n k
k=1
Nu gælder der, atB 2E for allen, og atB ;B ;B ;::: er disjunkte. Bemærk endvi-n 1 2 3
dere, at
1 1 N NS S S S
A = B ; og A = B for alleN iN.n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
15
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
Ved anvendelse af (m2) og (ii) finder vi derfor, at
1 1X X 1 1S S
A = B = (B ) (A ); (1.21)n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
hvilket viser (iv). Hvis vi nu yderligere antager, atA A A , så har vi, at1 2 3
N NS S
A = A = B for alleN iN,N n n
n=1 n=1
og genanvendes de to første lighedstegn i (1.21), finder vi, at
1 NX X 1 N S S
A = (B ) = lim (B ) = lim B = lim (A );n n n n N
N!1 N!1 N!1n=1 n=1n=1 n=1
hvor vi i 3. lighedstegn benyttede (i). Dette viser (v).
Udsagn(vi): Antag, atA A A , og lad os i første omgang yderligere1 2 3
forudsætte, at(X)<1. Så medfører (ii), at også(A)<1 for alleA iE. Idet
c c cA A A , følger det fra (v), at1 2 3
1 1S T cc c(A!) A = A :n n n
n!1 n=1 n=1
Sammenholdes dette med (iii) (husk, at alle værdier af er endelige), finder vi, at
1 1 T c Tc(A ) =(X) (A!) (X) A = A ;n n n nn!1 n=1 n=1
som ønsket.
kHvis(X) =1, men(A )<1, kan vi betragte målet på (X;E), givet ved1 A1
k (B) =(B\A ); (B2E)1A1
k(jvf. Eksempel 1.3.3(D)). Bemærk, at (X) =(A )<1, og idet der yderligere1A1
gælder, at
1 1 T Tk k (A ) =(A ) for allen ; og A = A ;n n n nA A1 1
n=1 n=1
kfølger det ønskede nu umiddelbart ved at benytte det ovenfor viste på målet .A1
I nogle fremstillinger af målteorien omtales udsagn (iv) i Sætning 1.3.4 som Booles
ulighed. I forbindelse med udsagn (v) og (vi) i samme sætning er det bekvemt at
indføre følgende notation:
1.3.5 · Notation. Lad (A ) være en følge af delmængder af X, og lad A væren
endnu en delmængde afX. Vi skriver da
S1• A "A, hvisA A A , og A =A.n 1 2 3 nn=1
T1• A #A, hvisA A A , og A =A.n 1 2 3 nn=1
16
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives1.3. Mål og deres grundlæggende egenskaber
I forlængelse af den netop indførte notation siger man ofte, at egenskaberne (v)
og (vi) i Sætning 1.3.4 udtrykker kontinuitet af målet.
1.3.6 · Bemærkninger.
(1) Egenskab (iii) i Sætning 1.3.4 gælder ikke uden antagelsen:(A)<1. Betragt
f.eks. tællemålet påN . Så gælder der, atf0g =N nN, men det giver ikke mening0 0
at skrive:
1 =(f0g) =(N nN) =(N ) (N) =11 :0 0
(2) Egenskab (vi) i Sætning 1.3.4 gælder heller ikke generelt uden antagelsen:
(A )<1. Betragt f.eks. igen tællemålet påN , og sæt1 0
A =fn;n + 1;n + 2;:::g; (n2N):n
Så gælder der, at
T
A =(;) = 0; og lim(A ) = lim1 =1:n n
n!1 n!1n2N
Betingelsen:(A )<1 kan dog naturligvis erstattes af betingelsen:(A )<1 for1 n
alle tilstrækkeligt storen (overvej!).
Vi afslutter dette afsnit med at indføre en række vigtige klasser af mål.
1.3.7 · Definition. Betragt et målrum (X;E;). Vi siger da, at
(a) er et sandsynlighedsmål, hvis(X) = 1. I dette tilfælde benyttes ofte
betegnelsenP (for probability) i stedet for.
(b) er et endeligt mål, hvis(X)<1.
(c) er et-endeligt mål, hvis der findes en følge (A ) af mængder fraE,n n2N
således at
S
(A )<1 for allen; og A =X: (1.22)n n
n2N
(d) er et sum-endeligt mål, hvis der findes en følge ( ) af endelige mål pån n2NP1E, således at = , eller mere præcistn=1 n
1X
(A) = (A); (A2E);n
n=1
idet man let indser, at højresiden definerer et nyt mål påE (se Opgave 1.13).
1.3.8 · Bemærkninger.
(1) Ethvert endeligt mål er-endeligt.
(2) Antag, at er et-endeligt mål påE, og lad (A ) være en følge af mængdern
fraE, som opfylder (1.22). Man kan da altid efter forgodtbefindende antage, at (A )n
er en voksende følge (dvs.A A A ) eller atA ’erne er disjunkte. Vi kan1 2 3 n
nemlig erstatte (A ) medn
nS0A = A ; (n2N);jn
j=1
17
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives

Kapitel 1. -algebra og mål
eller med
n 1 S00A =A n A ; (n2N);n n j
j=1
0 00hvor følgerne (A ) og (A ) igen opfylder (1.22) pga. (iv) og (ii) i Sætning 1.3.4.n n
(3) Ethvert-endeligt mål er sum-endeligt. Vælges nemligA ;A ;A ;::: fraE,1 2 3
som opfylder (1.22), og som er disjunkte, da har vi forB iE, at
1 1 X X S S k(B) = B\ A = (B\A ) = (B\A ) = (B);n n n An
n2N n2N n=1 n=1
kog her er et endeligt mål for allen (jvf. Eksempel 1.3.3(D)). An
Opgaver
d1.1 · Betragt metrikkerne og påR (jvf. formlerne (1.6) og (1.7)).2 1
d(a) Vis, at ér en metrik påR .1
(b) Tegn i tilfældetd = 2 kuglerne
2 2b (0;2) =fx2R : (0;x)< 2g; og b (0;2) =fx2R : (0;x)< 2g:2 2 1 1
(c) Vis (for genereltd), at
p
(x;y) (x;y); og (x;y) d (x;y)1 2 2 1
dfor allex;y iR .
d(d) Vis, at der for vilkårligex iR ogr i (0;1) gælder, at
1=2b (x;r)b (x;r); og b (x;d r)b (x;r):2 1 1 2
Tegn endvidere eksempler på disse inklusioner i tilfældetd = 2.
d(e) Vis, at og er ækvivalente i den forstand, at en delmængdeG afR er2 1
åben med hensyn til , hvis og kun hvis den åben med hensyn til .2 1
d d1.2 · Lad betegne en metrik påR . En delmængdeT afR siges at være
d dtæt iR med hensyn til, hvisb (x;r)\T ,; for allex iR og aller i (0;1).
(a) Vis, at Q og RnQ begge er tætte delmængder af R med hensyn til den
sædvanlige metrik påR.
d d d d d(b) Vis, atQ ,R nQ og (RnQ) alle er tætte delmængder afR med hensyn
til begge metrikkerne og (jvf. formlerne (1.6) og (1.7)).1 2
18
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives





Opgaver
1.3 ·
(a) Redegør for, at ethvert interval iR (begrænset eller ubegrænset; åbent,
halvåbent eller lukket) er en Borel-mængde iR.
(b) Vis, at enhver tællelig delmængde afR (f.eks.Q) er en Borel-mængde.
1.4 · Betragt følgende systemer af delmængder afR:
F =fFR :F er lukketg;
K =fKR :K er kompaktg;
I =f(a;b] :a;b2R; a<bg;
J =f(a;b] :a;b2Q; a<bg;
og husk, at en delmængde afR er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og
begrænset.
Vis nu, at systemerneF ,K,I ogJ hver især frembringer Borel-algebraenB(R).
1.5 · Betragt følgende system af delmængder afR:
cA =fAR :A ellerA er endeligg:
Vis, atA er en (mængde-) algebra men ikke en-algebra.
1.6 · LadX være en ikke-tom mængde, og ladB være en delmængde afX.
Vis da, at systemet
cE :=fAX :BA ellerBAgB
er en-algebra iX.
1.7 · Betragt mængdenX =f1;2;3;4g, og delmængderne
A =f1;2g; A =f3;4g; A =f2;3;4g:1 2 3
(a) Vis, at(fA ;A ;Ag) =(ff1g;f2g;f3;4gg), og opskriv derefter eksplicit alle1 2 3
mængderne i denne-algebra.
(b) Betragt nuA ;A ;A som delmængder af grundmængdenX =N. Bestem da1 2 3
-algebraen(fA ;A ;Ag) iN.1 2 3
1.8 · Lad (A ) være en følge af tællelige delmængder afR.n n2N
S
(a) Redegør for, at mængdenB :=Rn ( A ) er overtællelig.nn2N
(b) Vis, at(fA :n2Ng)E , hvorE er-algebraen indført i Opgave 1.6.n B B
(c) Ladx være et element fraB. Vis da, atfxg<(fA :n2Ng).n
(d) Betragt-algebraenE fra Eksempel 1.1.4(D), altså
cE =fAR :A ellerA er tælleligg:
Vis da, at hvisE er tælleligt frembragt (jvf. Definition 1.1.8(b)), så findes en
0 0følge (A ) af tællelige delmængder afR, således atE =(fA :n2Ng).n n2N n
19
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives


Kapitel 1. -algebra og mål
(e) Vis, atE ikke er tælleligt frembragt.
(f) Vis, atEB(R), og sammenhold dette med, atB(R) er tælleligt frembragt.
1.9 · LadX betegne en ikke-tom mængde, og lad (A ) være en følge afn n2N
mængder fraX. Betragt endvidere mængderne
1 1 1 1S T T S
liminfA := A ; og limsupA := A :n k n k
n!1 n=1 n!1 n=1k=n k=n
(a) Vis, at
liminfA =fx2X :x2A for allen fra et vist tring;n nn!1
og at
limsupA =fx2X :x2A for uendeligt mangeng:n n
n!1
(b) Vis, at
1 1T S
A liminfA limsupA A :n n n n
n!1n=1 n!1 n=1
(c) Vis, at
1S
liminfA = A = limsupA ;n n n
n!1 n=1 n!1
hvis (A ) er en voksende følge, dvs. hvisA A A .n 1 2 3
(d) Vis, at
1T
liminfA = A = limsupA ;n n n
n!1 n=1 n!1
hvis (A ) er en dalende følge, dvs. hvisA A A .n 1 2 3
(e) Antag, atX =R, og atA = [0;x ] for allen, hvor (x ) er en begrænset følgen n n
af positive tal. Vis da, at
[0;limsupx ) limsupA [0;limsupx ]:n n n
n!1 n!1 n!1
1.10 · Lad (X;E;) være et målrum, og antag, at er et endeligt mål, det vil
sige, at(X)<1.
(a) Vis, at(A[B) =(A) +(B) (A\B) for vilkårlige mængderA;B fraE.
(b) Overvej om formlen i (a) er meningsfuld, hvis ikke er et endeligt mål.
(c) Find en betingelse påA ogB (i forhold til), som sikrer, at formlen i (a)
holder, uanset om er endeligt eller ej.
1.11 · LadX være en ikke-tom mængde, lada være et element iX, og definér
afbildningen :P (X)! [0;1) ved ligningena
8
>0; hvisa<A;<
(A) = >a:1; hvisa2A;
for ethvertA iP (X). Vis, at er et mål påP (X) (jvf. Eksempel 1.3.3(C)).a
20
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives



Opgaver
1.12 · Lad (X;E;) være et målrum, og ladA være en udvalgt mængde fraE.
Vis da, at der ved ligningen
k (B) =(B\A); (B2E);A
kdefineres et mål påE (jvf. Eksempel 1.3.3(D)).A
1.13 · Lad (X;E) være et måleligt rum, lad ( ) være en følge af mål på (X;E),n
og lad (a ) være en følge af tal fra [0;1). Vis da, at der ved ligningenn
1X
(A) = a (A); (A2E);n n
n=1
defineres et mål påE (jvf. Definition 1.3.7).
Vink: Benyt Lemma A.2.14 i Appendiks A.2.
1.14 · Betragt målrummet (R;B(R);), hvor betegner Lebesgue-målet
(jvf. Eksempel 1.3.3(A)).
(a) Vis, at(fag) = 0 for ethverta iR.
(b) Vis, at for allea;b iR, således ata<b, gælder der, at
((a;b)) =((a;b]) =([a;b)) =([a;b]) =b a:
(c) Vis, at for allea iR gælder der, at
(( 1 ;a)) =(( 1 ;a]) =((a;1)) =([a;1)) =1:
1.15 · Lad (X;E;) være et målrum, og lad (B ) være en følge af mængdern
fraE.
(a) Vis, at der altid gælder ulighederne
T
B inf(B );n n
n2Nn2N
og
S
B sup(B ):n n
n2N n2N
(b) Vis, at hvis (B ) er en dalende følge af mængder, så gælder der altid ulighedenn
T
B lim(B )n n
n!1n2N
(jvf. Sætning 1.3.4(vi)).
21
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives

Kapitel 1. -algebra og mål
1.16 · (Borel-Cantellis første Lemma)
Lad (X;E;) være et målrum, og antag, at er et endeligt mål. Lad endvidere (A )n
være en følge af mængder fraE, og betragt mængden (jvf. Opgave 1.9)
T S
limsupA = A :n k
n!1 n2Nkn
(a) Vis, at S
limsupA = lim A ;n k
n!1n!1 kn
og udled derpå, at
1X
limsupA lim (A ):n k
n!1n!1
k=n
(b) Vis ved et eksempel, at uligheden i (a) kan være skarp.
(c) Vis implikationen
1X
(A )<1 =) limsupA = 0: (1.23)n n
n!1n=1
Dette resultat omtales ofte som Borel-Cantellis første Lemma.
(d) Vis, f.eks. vha. Opgave 1.15, at implikationen (1.23) også gælder, selvom
ikke er et endeligt mål.
1.17 · Lad I være et (vilkårligt) interval i R, og lad a være et reelt tal i
afslutningenI afI. Betragt videre en funktionF : Infag!R, og ladc være et
tal iR. I denne situation skriver vi som bekendt, at lim F(t) =c, netop hvist!a
følgende betingelse er opfyldt:
8> 09> 08x2Infag:jx aj =) jF(x) cj:
(a) Vis, at lim F(t) =c, hvis og kun hvis der for enhver følge (t ) af tal frat!a n
Infag gælder implikationen
limt =a =) limF(t ) =c:n n
n!1 n!1
(b) Antag, at sup(I) =1. Vis da, at lim F(t) =c, hvis og kun hvis der fort!1
enhver følge (t ) af tal fraI gælder implikationenn
limt =1 =) limF(t ) =c:n n
n!1 n!1
(c) Antag, at inf(I) = 1 . Vis da, at lim F(t) =c, hvis og kun hvis der fort! 1
enhver følge (t ) af tal fraI gælder implikationenn
limt = 1 =) limF(t ) =c:n n
n!1 n!1
22
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives




Opgaver
1.18 · Betragt målrummet (R;B(R);), hvor er Lebesgue-målet påR. Lad
videreB være en vilkårlig Borel-mængde iR, og betragt så funktionenf : (0;1)!
[0;1) givet ved
f (x) =(B\ ( x;x]); (x2 (0;1)):
(a) Vis, atf er voksende og kontinuert.
(b) Bestem grænseværdierne lim f (x) og lim f (x).x!1 x!0
(c) Vis, at for ethvert reelt tala i [0;(B)] findes en Borel-mængdeA, således at
AB, og(A) =a.
1.19 ·
d d(a) Redegør for, at Lebesgue-målet på (R ;B(R )) er-endeligt for ethvertdd
iN.
(b) Lad betegne tællemålet påR (jvf. Eksempel 1.3.3(B)). Vis da, at ikke er
-endeligt.
1.20 · Betragt det målelige rum (R;E), hvor
cE =fAR :A ellerA er tælleligg;
(jvf. Eksempel 1.1.4(D)).Vis da, at der ved ligningerne
8 8
> >> >0; hvisA er tællelig; 0; hvisA er tællelig;< <
(A) = og (A) => >1 1c c: :1; hvisA er; 1; hvisA er;
defineres mål og påE. Vis derpå, at ikke er-endeligt.1 1 1
1.21 · Lad (X;E) være et måleligt rum, og lad:E! [0;1] være en
ikkenegativ mængdefunktion. Vis da, at er et mål, hvis og kun hvis den opfylder
følgende tre betingelser:
(i) (;) = 0.
(ii) (A[B) =(A) +(B) for alle disjunkte mængderA ogB fraE.
S
(iii) ( A ) = lim (A ) for enhver voksende følge (A ) af mængder fraE.n2N n n!1 n n
Vis desuden, at hvis(X)<1, så er et mål, hvis og kun hvis den opfylder (i), (ii)
og følgende betingelse:
T
(iv) ( B ) = lim (B ) for enhver dalende følge (B ) af mængder fraE.n2N n n!1 n n
1.22 · Lad være et endeligt mål på (R;B(R)), og betragt funktionenF :R!
[0;1) givet ved
F (x) =(( 1 ;x]); (x2R):
(a) Vis, atF er voksende, og bestem grænseværdierne
lim F (x) og limF (x):
x! 1 x!1
23
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 1. -algebra og mål
2(b) Vis, atF er højrekontinuert, altså at lim F (y) =F (x) for allex iR. y#x
Vink: Det er nok at vise, at lim F (x ) =F (x) for enhver aftagende følge (x ) medn!1 n n
grænseværdix (jvf. Opgave 1.17).
(c) Vis, at for allex iR eksisterer grænseværdien lim F (y), og udtryk den iy"x
termer af.
(d) Udtryk grænseværdien F (x) lim F (y) i termer af , og vis, at F er y"x
kontinuert ix, hvis og kun hvis(fxg) = 0.
2 Udskrevet er betingelsen:8x2R8> 09> 08y2 (x;x +):jF (y) F (x)j<.
24
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 2
Dynkins Lemma og entydighed af
mål
I det foregående kapitel har vi for en ikke-tom mængdeX studeret en række
aspekter af klassen af-algebraer iX. I Afsnit 2.1 nedenfor skal vi introducere en
bredere klasse af systemer af delmængder afX, nemlig de såkaldte-systemer
(hvor’et refererer til J. Dynkin). Ofte står man i den situation, at man ønsker
at påvise en bestemt egenskabP for alle mængder i(S), hvorS er et passende
system af delmængder afX, og hvor man ved, atP er gyldig for alle mængder iS.
Som bekendt (jvf. Sætning 1.1.11) er man færdig, hvis man kan vise, at systemet
E(P ) af alle delmængder af X, der besidder P , udgør en -algebra, men dette
kan være yderst vanskeligt (eller forkert). I en række sammenhænge viser det
sig imidlertid væsentligt nemmere at påvise, atE(P ) er et-system, og man har
så brug for at vide, hvornår et-system, der indeholderS, også vil indeholde
(S). Svaret på sidstnævnte spørgsmål leveres af Dynkins Lemma (Sætning 2.1.7
nedenfor). Præmie-eksemplet på anvendelse af den ovennævnte strategi
præsenteres i Afsnit 2.2, hvor vi skal etablere entydighedssætninger for mål, men
vi skal også i senere afsnit gøre brug af metoden. Enerne for
mål udtaler sig om, hvornår man for to mål og på et måleligt rum (X;E) kan
slutte, at =, hvis man ved, at og stemmer overens på et frembringersystem
forE. I Afsnit 2.3 skal vi vha. Dynkins Lemma studere begrebet regularitet for
mål på generelle metriske rum. Regulære mål er på en meget direkte vis entydigt
bestemte af bl.a. deres værdier på systemet af åbne mængder i det betragtede
metriske rum.
2.1 · -systemer og Dynkins Lemma
I dette afsnit betragtes en fast ikke-tom mængdeX. Som nævnt ovenfor skal vi i
det følgende indføre og studere en mere generel type af systemer af delmængder
afX end-algebraer, nemlig de såkaldte-systemer (eller Dynkin-systemer).
25
DettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregivesKapitel 2. Dynkins Lemma og entydighed af mål
2.1.1 · Definition. Et systemD af delmængder afX siges at udgøre et-system
iX, hvis det opfylder følgende betingelser:
(1) X2D.
(2) BnA2D, hvisA;B2D, ogAB –D ern-stabilt.
(3) Hvis (A ) er en voksende følge af mængder fraD, så gælder der også, atn n2NS
A 2D –D er"-stabilt.nn2N
2.1.2 · Bemærkninger.
(1) Det følger nemt fra Definition 1.1.1 og Lemma 1.1.3, at enhver-algebra iX
specielt er et-system iX.
(2) Antag, atD er et-system iX. Så gælder der også, at
c(2a) A =XnA2D for alleA fraD pga. (1) og (2).
T
(2b) A 2D for enhver dalende følge (A ) af mængder fraD, idetn nn2N
T S ccA = A ;n n
n2N n2N
chvor (A ) er en voksende følge af mængder fraD. n n2N
Som nævnt er enhver-algebra specielt et-system. Det omvendte udsagn er ikke
korrekt (et modeksempel gives i Opgave 2.1), hvilket, som Lemma 2.1.4 nedenfor
viser, skyldes, at et-system ikke nødvendigvis er\-stabilt.
2.1.3 · Terminologi. Et systemS af delmængder afX siges at være fællesmængde
stabilt (kort:\-stabilt), hvis
A\B2S for alleA;B fraS:
HvisS er et\-stabilt system af delmængder afX, følger det umiddelbart ved
Tniteration, at A 2S for allen iN og alle mængderA ;:::;A fraS. Egenskabenj 1 nj=1
kan dog ikke generelt udvides til uendelige følger af mængder fraS.
2.1.4 · Lemma. LadD være et system af delmængder afX. Da er følgende
betingelser ækvivalente:
(a) D er en-algebra.
(b) D er et\-stabilt-system.
Bevis. Som nævnt er det oplagt, at (a) medfører (b). For at vise den modsatte
implikation antager vi, atD er et\-stabilt-system, og vi viser så, atD opfylder
betingelserne (1)–(3) i Definition 1.1.1. Her er (1) identisk med (1), og (2)
følger af (1) og (2) (jvf. Bemærkning 2.1.2(2)). For endelig at påvise (3) antager
vi, at (A ) er en vilkårlig følge af mængder fraD, og vi definerer så en ny følgen
(B ) af mængder vedn
nS
B = A ; (n2N):n j
j=1
26
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives2.1. -systemer og Dynkins Lemma
Da gælder der oplagt, atB B B , så hvis vi kan vise, atB 2D for allen,1 2 3 n
da vil (3) sikre, at
S S
A = B 2D:n n
n2N n2N
Bemærk hertil, at
n nS c Tc cB = A = A 2D;jn j
j=1 j=1
c c cdaD er\-stabilt, og daA 2D for allej. Men så følger det også, atB = (B ) 2D.n nj
Ganske som for-algebraer er der for ethvert systemS af delmængder afX et
mindste-system iX indeholdendeS. Mere præcist har vi følgende resultat:
2.1.5 · Sætning.
(i) For en vilkårlig familie (D ) af-systemer iX er systemeti i2I
T
D =fAX :A2D for allei fraIgi i
i2I
igen et-system iX.
(ii) For ethvert systemS af delmængder afX findes et mindste-system(S)
iX, som indeholderS, nemlig
T
(S) = D:
D -system iX
S D
Bevis. Præcis som for-algebraer (jvf. sætningerne 1.1.6 og 1.1.7).
2.1.6 · Bemærkninger.
(1) LadD være et -system i X, og ladS;S ;S være vilkårlige systemer af1 2
delmængder afX. Helt som for-algebraer (jvf. Bemærkning 1.1.9(1)) har vi da
implikationerne
SD =) (S)D:
S S =) (S )(S ):1 2 1 2
(2) I situationen fra Sætning 2.1.5(ii) kunne man fristes til at omtaleS som et
-frembringersystem for(S). For at undgå mulig forvirring vil vi dog undlade at
benytte den terminologi, således at vi kan forbeholde ordet “frembringersystem”
til-algebraer.
2.1.7 · Sætning (Dynkins Lemma).
Antag, atS er et\-stabilt system af delmængder afX. Så gælder identiteten
(S) =(S):
27
Dettematerialeerophavsretligtbeskyttetogmåikkevideregives