Travaux dirigés de Microéconomie

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Description

Cet ouvrage est un recueil d'exercices et de questions de cours de microéconomie avec et sans corrigés proposés pour la plupart aux travaux dirigés et aux examens en deuxième année à la Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Appliquée de l'Université de Douala. L'objet de ce livre est de mettre à la disposition des étudiants un instrument de travail relativement élaboré et d'offrir aux jeunes professeurs un outil pédagogique approprié susceptible de faciliter la préparation de leurs cours.

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Date de parution 01 octobre 2009
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EAN13 9782296236561
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,0005 €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

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SOMMAIRE

PREFACE............................................................................................................... 9

AVANT-PROPOS .............................................................................................. 11

CHAPITRE PREMIER :MICROANALYSE DE LA
CONSOMMATION........................................................................................... 13

CHAPITRE DEUXIEME:MICROANALYSE DE LA PRODUCTION
................................................................................................................................. 89

CHAPITRETROISIEME:MICROANALYSE DE L’EQUILIBRE
PARTIEL ETDE L’EQUILIBRE GENERAL......................................... 143

CHAPITRE QUATRIEME:MICROANALYSE DE LA
CONCURRENCE IMPARFAITE................................................................ 199

EXERCICES&QUESTIONS DE COURESOLRS NONUS:............ 253

BIBLIOGRAPHIE: ......................................................................................... 269

Au nom de tous mes étudiants et
plus particulièrement à Lilly.

PREFACE

Lemanuel de travaux dirigés de microéconomie que propose
leProfesseurEtienneModesteASSIGA ATEBA, agrégé desSciencesEconomiques,
vient combler un vide en même temps qu’il constitue un premier jalon dans
la confection de manuels économiques de référence au profit des étudiants
enSciencesEconomiques et deGestion.
Cet ouvrage se veut avant tout classique, non par l’omission des
développements récents en microéconomie, mais par un choix délibéré justifié
du reste par le fait que ces développements viennent enrichir, corriger et
parfaire un socle de connaissances et de méthodes scientifiques qui
constituent la base de notre discipline.
Au plan théorique, les développements récents fondés sur l’asymétrie
de l’information et les défauts de coordination ne remettent pas en cause la
rationalité des agents telle que la décrit la théorie classique, mais apportent
un nouvel éclairage sur le contexte dans lequel il se développe.De même, le
renouvellement des méthologies avec la théorie des jeux ou la méthode
d’optimisation intertemporelle des agents vient compléter et affiner les
méthodes d’optimisation statique.
La parfaite maîtrise de la microéconomie classique reste donc une étape
incontournable pour l’étudiant au niveau du cycle deLicence.Elle permet
une meilleure appréhension des nouveaux développements théoriques.
Mais cet ouvrage dépasse la simple perspective microéconomique
classique dans la mesure où un large courant de la macroéconomie, la synthèse
néo-classique notamment, juge la pertinence des théories et modèles
macroéconomiques sur leur capacité à dériver de la rationalité des agents
individuels « aussi explicitée que possible » comme le
soulignePierre-YvesHenri.D’ailleurs, la théorie de l’équilibre général exposée dans le troisième
chapitre de cet ouvrage v avec l’explicitation de la loi de Walras v illustre à
souhait la difficulté de séparer le champ de la microéconomie de celui de la
macroéconomie.
Cet ouvrage couvre donc logiquement, comme son plan l’indique, les
quatre champs de la microéconomie en quatre chapitres.
Les deux premiers présentent les concepts et les hypothèses associés
respectivement à la théorie du consommateur et à la théorie du producteur,
ainsi que le calcul économique de ces deux agents.La large gamme des
con

9

cepts et deshypothèses étudiés constitue un complément utile au cours
magistral de microéconomie.La progression du plus simple au plus
complexe rend le manuel exploitable non seulement par les étudiants du premier
cycle, mais aussi par ceux deMaster et les chercheurs.De nombreux
exercices pratiques viennent ensuite compléter l’approche au départ analytique
pour faciliter l’assimilation des concepts théoriques et mathématiques
parfois austères.
Les deux derniers chapitres sont consacrés respectivement à la
présentation de l’équilibre économique v partiel et général v et des marchés.
La jonction entre la microéconomie et la macroéconomie est ainsi
réalisée au troisième chapitre avec les notions d’optimum dePareto ou celles de
Loi deWalras dans une économie à plusieurs marchés dans lesquels les
agents adoptent un comportement rationnel étudié dans les deux premiers
chapitres.
Le quatrième et dernier chapitre, en distinguant les marchés de
concurrence parfaite des marchés de concurrence imparfaite et sourtout en
abordant les situations de duopole, introduit les notions de théorie de jeux v
cooopératifs et non coopératifs v et d’équilibre intertemporel au centre des
développements récents en microéconomie.L’approche demeure
pédagogique comme dans les deux premiers chapitres : les exercices pratiques
servent d’illustration aux concepts et permettent de vérifier que ces termes
sont compris et les méthodes mathématiques assimilées.
De nombreuses indications bibliographiques sont données pour faciliter
le travail de recherche de l’étudiant.

10

PrBlaiseMukoko
AncienDoyen de la
Faculté desSciencesEconomiques
et deGestionAppliquée.
Université deDouala.

AVANT-PROPOS

Cetouvrage est un receuil d’exercices v et de questions de cours v de
microéconomie avec leurs corrigés, proposés pour la plupart aux travaux
dirigés et aux examens endeuxième annéev mais aussi dans différents cycles
supérieurs v à laFaculté desSciencesEconomiques et
deGestionAppliquée del’Université deDouala durant une dizaine d’années, plus
précisément entre 1994 et 2003.
Ces exercices ainsi que leurs corrigés sont largement inspirés des
enseignements reçus à l’UniversitéPanthéon-Assas (Paris 2) à travers leCours de
MicroéconomieApprofondie deLicence enSciencesEconomiques
voptionEconométrie v deMadame leProfesseurAnne-MarieFericelli v année
académique 1984-1985 v ainsi qu’à travers leCours
d’EconomieMathématique en maîtrise d’Econométrie et
enDEAd’EconomieMathématique &Econométrie, deMonsieur leProfesseurVictor
Ginsburgh vannées académiques 1986-1987 et 1987-1988 v et bien évidement
des approfondissements, des recherches personnelles et des mises à jour qui
1
ont suivi au cours de ces différentes périodes ( ).
L’objet de cet ouvrage est notamment de mettre à la disposition des
étudiant(e)s un instrument de travail relativement élaboré, étant donné la
carence observée d’ouvrages académiques idoines, et aux jeunes collègues
un outil pédagogique approprié susceptible de leur faciliter latâche lors de
la préparation de leurs cours, voire d’affiner leurs travaux de recherches, à
travers une meilleure maîtrise des fondements microéconomiques de la
théorie économique.
Je m’inscris en effet à travers ce receuil d’exercices dans la lignée de ce
que Madame le ProfesseurFMicro-microéconomie »ericelli appelle la «ou
de ce que Monsieur le ProfesseurGabszewicz désigne par «Microéconomie
traditionelle », qui offre, malgré les hypothèses « fortes » qui la caractérisent,
une base solide d’approfondissement de l’analyse microéconomique au
regard de la remise en cause de la fable deRobinsonCrusoë perdu dans son
île, voire de la « main invisible » d’AdamSmith ou de l’action du
«Commis

1
Un panel d’exercices inédits (26 questions de cours et 10 exercices) est à cet égard
proposé en fin d’ouvrage afin d’éprouver le niveau intrinsèque réel atteint par l’apprenant (cf.
également Silberberg (1981) ;Lollivier (1984) ;Kreps (1996) ; Tirole (1993 & 1995) etplus
particulièrementMas-Collel et al. (1995), entre autres).

11

saire Priseur » deLéon Walras magistralement dépeintes par
l’armatureAr2
row-Debreu( ).
Les développements récents en microéconomie ainsi que leurs
prolongements offrent à cet égard une place on ne peut plus prépondérante,
mieux, inscrivent au premier rang des préoccupations l’information, qui est
désormais asymétrique,et qui est appréhendée par des outils inspirés de la
théorie des jeux, la théorie des contrats, les méthodes d’optimisation
dynamique, et appliqués à laNouvelleMacroéconomie, l’EconomiePublique, la
Théorie de l’OrganisationIndustrielle,
laNouvelleEconomieInternationale, l’Economie desAssurances, desBanques et de laFinance, etc…
Cet ouvrage constitue en fin de compte unpréalableirréfragable à ce
vent de renouveau de la microéconomie.En tout état de cause, telle est sa
modeste ambition.
Je tiens vivement à remercier leDocteurJean-ClaudeAyem pour
m’avoir en quelque sorte mis «le pied à l’étrier» àl’Université et pour
m’avoir précédé dans cet enseignement à laFaculté des
SciencesEconomiques et deGestionAppliquée, ainsi que le Professeur Blaise Mukoko,
alors Doyen de cette faculté,pour avoir crû en moi et enfin,last but not least,
le Professeur Bruno Bekolo-Ebé pour ses encouragements multiformes.
Je suis bien évidemment redevable de la plupart des auteurs cités sans
que pour autant leur responsabilité soit engagée, et plus particulièrement des
différentes cohortes d’étudiant(e)s qui ont eu à «plancher »sur mes
épreuves, au demeurant « corsées ».Cet ouvrage leur est dédié.

2
Cf.Debreu (1984).Certains aspects de la microéconomie tels que les indices d’utilité, les
préférences révélées, voire le surplus du consommateur ou du producteur, entre autres,
n’ont pas sciemment été abordés, afin de pas allonger le texte.Le lecteur intéressé pourrait
toutefois utilement consulter les références bibliographiques proposées, en l’occurrence
Fericelli (1991), voire Tirole (1985 & 1993).

12

CHAPITRE PREMIER:

MICROANALYSE DE LA CONSOMMATION

A) Donnerla définition rigoureuse d’une fonction d’utilité.
Ssupé-oit X un ensemble totalement ordonné par la relation binaire «
rieur en ordre ou du même ordre que » notéeT.
Soit une application
U : XQX
x$U(x)
L’application U est une fonction qui préserve l’ordre si :
x(y`U(x) > U(y)
xTy`U(x)XU(y)
xdy`U(x) = U(y)
Lorsque X désigne l’ensemble des consommations possibles et que le
symboleTdésigne une relation de préférence, l’application U est une
fonction d’utilité.
ème
B) Enonceret commenter la 2loi de Gossen.
La seconde loi deGossen indique les conditions de la maximisation de
la satisfaction du consommateur, pour un revenu donné, et pour des prix
des biens donnés et connus.
Elle stipule que cette maximisation de satisfaction est atteinte lorsque le
consommateur achète une quantité de chaque bien telle que se trouve
réalisée l’égalité entre les utilités marginales de tous les biens rapportées à leurs
prix.
C) Détermineranalytiquement et justifier économiquement les
hypothèses qu’il convient de faire sur la fonction d’utilité U, pour que
lorsque le consommateur maximise sa satisfaction, le rapport des
utilités marginales soit égal au rapport des prix.
Une fonction d’utilité U(xi) (i = 1, …, n) est définie sous la contrainte
n
de budgetpR =x.Al’optimum :
k
i i
i=1

13

s
Max U(x)
i
v
k
sc R= pixi
t
i
v
vxi40
u
er
1°) Conditions du 1ordre :
s
7L
v7Udjp70-18
i i
7x
v
i
v7L
7d
tUjp70-28
j j
7x
v
j
v
n
7L
v7Rdpx70 3
k
i i- 8
v 7ji71
u
De (1)/(2) et pour iRj, on tire
Ui=9Pi%
vUipi
c=
'
Uj=9PjUp
vj j
(
nd
2°) Conditions du 2ordre :
Pour que leLagrangien soit maximisé, la condition suffisante est que la
matrice hessienne de la fonction U (matrice des dérivées secondes) soit
dén
finie négative sous la contrainte.Or cela ne se vérifie que s
pidxi70i les
k
i71
mineurs principaux de cette matrice, bordés par les dérivés de la contrainte,
3
sont successivement positifs et négatifs ( ).
Dans un espace de biens à deux dimensions, la condition de
maximisation deLse réduit alors à la positivité du seul mineur bordé de la matrice
hessienne de la fonction U qui est également le jacobien du système :
U Udp
11 121
.
2 2
U21U22dp27dp1U22dp2U11N2p1p2U1280
dp1dp20

U
1
Al’opti
mum :p1= p2,
U
2
l’expression ci-dessus, il vient :

3
Cf.Fericelli (1991).

14

en

remplaçant

p
1

par

cette

valeur

dans

2
lU~U
2 2
1 1
8,
dmpUdp UN2p U20
2 222 112 1
nU2!U2
2 2
puis en divisant parp2Uet en multipliant par2, on obtient finalement :
2 2
dU UdU UN2U1U2U1280.
1 222 11
En fin de compte, la condition de second ordre de maximisation de la
fonction d’utilité sous contrainte de l’équation de budget peut être exprimée
de trois manières équivalentes :
9La fonction d’utilité doit être strictement quasi-concave.
9Les courbes d’indifférences doivent être strictement convexes.
9Le taux marginal de substitution entre tout couple de biens doit
avoir une dérivée négative.
En tout état de cause, graphiquement :
x
2

R/P2

*
x
2

O
R/P1
*
x1x1
Hypothèses :-Courbes d’indifférence lissescon exclut les sauts,
Fonction d’utilité concave ou quasi-concaveccourbes d’indifférences
convexes, -Fonction d’utilité dérivable deux fois, -Fonction d’utilité
continue,-Connexitécbiens divisibles,-Exclusion de biens complémentaires,
4
Exclusion des optimums en coin, -Hypothèse de non saturation ( ).

4
Cf. pour de plus amples détailsFericelli (1991).

15

D) Montrerque les courbes d’indifférence d’un consommateur
forment une partition de l’espace des marchandises
Il faut démontrer que deux courbes d’indifférence ne peuvent se
couper.Soient x1et x2des vecteurs appartenant chacun à une courbe
d’indifférence distincte :x1RC1et x2RC2.
SiCetCont un point d’intersection, il existe un vecteur xtel que : x
1 23 3
RC1WC2.Il est alors possible d’affirmer : x1~ x2et x2~ x3.La relation ~
étant transitive, ceci permet d’affirmer également que x1~ x3, ce qui est
contradictoire avec le fait queC1RC2.
E) Montrerqu’une fonction d’utilité concave est quasi-concave
mais que l’inverse n’est pas vrai.
Une fonction d’utilité strictement concave est nécessairement
strictement quasi-concave, mais l’inverse n’est pas vrai (Fericelli,1991).
a b2
Soit le couple de vecteurs-x ,x8RX , pour une fonction d’utilité
strictement concave, on aura :
a ba b
UptxN-1dt8x" 8tU-x8N-1dt8U-x8,JtRZ0,1X(1)
r$
La fonction d’utilité strictement quasi-concave sera d’autre partdéfinie
de la manière suivante :
a ba aa
p"
Si U-x8#U-x8cU txN-1dt8x8U-x8,JtRZ0,1X. (2)
r$
On se donne une fonction d’utilité strictement concave.Si l’on suppose
a b
, alors on peut remplacer dans le deuxième terme de
U-x8#U-x8
b a
.Il vient :
l’équation (1),-1dt8U-x8par-1dt8U-x8
a ba aa ba
p Nd" 8N d` pN d" 8.
U tx-1t8x tU-x8-1t8U-x8U tx-1t8x U-x8
r$r$
Par conséquent, lorsque l’inégalité (1) est réalisée, l’inégalité (2) l’est
nécessairement : une fonction d’utilité strictement concave est nécessairement
strictement quasi-concave.
F) Considérezles trois fonctions d’utilité suivantes :
(i)U-x1, x287x1x2,
2 2
x xet
(ii)V-x1, x2871 2
(iii)W-x1, x287Logx1NLogx2

16

a)
b)

c)

d)

Trouvez les utilités marginales de x1et x2pour chaque fonction d’utilité.
Déterminez la variation de l’utilité marginale d’un bien par rapport à
l’autre bien pour chaque fonction d’utilité. Vérifiez que, pour ces
fonctions, la variation de l’utilité marginale d’un bien par rapport à la
variation de l’utilité marginale d’un autre bien est la même, quel que soit le
bien choisi en premier.
Trouvez le taux marginal de substitution de x1par rapport à x2pour
chaque fonction d’utilité, et montrez qu’ils sont identiques.
Compte tenu de ce qui précède, quelle valeur dérivée des questions (b)
ou (c) ci-dessus, devrait selon vous jouer un rôle positif sur la théorie du
comportement du consommateur ?
(a)Les utilités marginales de x1et x2pour chaque fonction d’utilité :
7U-x1, x287-x1x28
i)7 7x2
7x7x
1 1
7U-x ,x87-x x8
1212
7 7x
1
7x7x
2 2

2 2
7-x x
7V-x1, x28128
2
ii)7 72x x
2 2
7x7x
1 1

2 2
7x x
7V-xx ,8-128
12 2
7 72x x
12
7x7x
2 2
7, xW x7LogxNLogx
-128 -1281
iii)7 7
7x7x x
1 11
7, xW x7LogxNLogx
-128-1281
7 7
7x7x x
2 22
(b)Variation de l’utilité marginale d’un bien par rapport à l’autre bien
pour chaque fonction d’utilité :
2
7U-x1, x28
i)71
7x17x2
2
7U x, x
-128
71
7x7x
21

17

2
7V-x1, x28
ii)74x1x2
7x7x
1 2
2
7V-x1, x28
74x x
1 2
7x7x
2 1
7W-x1, x28
iii)70
7x7x
1 2
7, xW x
-1 28
70
7x7x
2 1
Il en ressort immédiatement que la variation de l’utilité marginale d’un
bien par rapport à un autre bien est la même quel que soit le bien choisi en
premier.
(c)Taux marginal de substitution de x1par rapport à x2pour chaque
fonction d’utilité :
7U-x1, x28
7x x
1 2
i )TMS7 7
x x
1 2
7, xU x
-1 28x1
7x
2
7V-x1, x28
7x1x2
ii )TMSx x7 7
1 2
7V-x1, x28x1
7x2
7, xW x
-1 28
7x x
1 2
iii )TMS7 7
x x
1 2
7W x, x
-1 28x
1
7x
2
Il va sans dire que les TauxMarginaux deSubstitution de x1par rapport
à x2sont bien identiques pour toutes les fonctions d’utilité.
(d)Il est loisible de constater que les utilités marginales sont positives
et qu’à partir des valeurs tirées des questions (b) ou (c) on peut montrer, à
l’aide de la matrice hessienne, que ces fonctions sont concaves, et par effet
* *
induit admettent toutes un maximum aux pointsx1et x2.
G) Considérezles deux fonctions d’utilité suivantes :
x
2
(i)U-x1, x287x1e, (ii)V-x1, x287x2NLogx1.

18

a) Trouvezles utilités marginales de x1et x2pour chaque fonction
d’utilité
b) Vérifiez que trois des quatre dérivées secondes partielles de V
sont égales à 0, alors que pour U, ces trois-là sont différentes
de 0. Peut-on dès lors affirmer que ces deux fonctions d’utilité
induisent malgré tout des comportements de consommateurs
identiques ?
(a)Les utilités marginales de x1et x2pour chaque fonction d’utilité :
7U-x ,x87U-xx ,8
1 2x1 2x
2 2
i )7eeti )7x e
1
7x7x
1 2
7V-x1, x2817V-x1, x28
et
ii )7ii )71
7x x7x
1 12
(b)On montre que:
2 22
7U x, x7U-x ,x8
7U-x1, x28- 8x1 2x2
1 2
2
i )707e7x e
1
2 2
7x7x7x7x
1 22
1
2 22
V x, xV x, x
7-1 287-1 287V-x1, x28
ii )707070
2
7x7x7x7x7x
2 12 12
Oui, morale de l’histoire, il faut se méfier des variations des utilités
marginales !

1/3 2/3
H)Considérez la fonction d’utilitéU-x1, x287x1x2. Les
courbes de demandes associées à cette fonction d’utilité sont
déterminées par x1= R/3p1et x2= 2R/3p2.Déterminez la variation de U
en fonction de celle du prix et du revenu.
1 31 3
l ~l ~
R2R1 3d2 32 3d1/3d1 3
Soit :U-x1, x287U7 m 72 3Rp1p2
m
3p3p
n !n !
1 2
s 7U11 3d2 32 3d4/3d1 3
7d2 3Rp1p260
v
7p13
v
v 7U11 3d2 32 3d1/3d4 3
Rp p
t7d2 31 260
7p23
v
v
7U21 3d2 3d1 3d1/3d1 3
72 380
vRp1p2
7R3
u

19

Une hausse des prix entraîne une baisse du niveau d’utilité tandis que
celle du Revenu l’améliore.
I) a)Admettons queU7f-x1, x28est une fonction d’utilité et,
admettons queV-x1, x287F-U8oùF!-U880(V est une
transformaV U
1 1
tion monotone de U). Montrez que7.
V2U2

7f-xx ,8
7f-x1, x281 2
(a)On définitU17et
U27.
7x17x2
Si V(x1,x2) =F(U) =F(f(x1,x2)),
7F-U87U7F-U87U
(b)on a :et7
VF!UV7F!U U
17 7- 8U1 2- 82
7U7x7U7x
1 2
VF!-U8U U
d’où :
1 11
7 7
VF!-U8U U
2 22
b) TrouvezVijen termes de Uij(i, j = 1, 2). Montrez qu’en général
Vijet Uijn’ont pas nécessairement les mêmes signes.
7V7
1
(c)On détermine :!7 7U
V1-F-U88
1 1
7x7x
1 1
7U
1
7F!-U8NU1F!!-U8U17F!-U8U11NU1F!-U8U1
7x
1
P: Vlus généralementij7F!-U8UijNUiF!!-U8Uj.SiF’(U) > 0, il n’en
5
est pas nécessairement de même pourF’’(U) ( ).
3^3_
J) Aquelles conditions la fonction d’utilitéU-x, y87x yavec^et
_> 0, est-elle concave ? Donner la signification des coefficients^
6
et_( ).
3^3_
Pour que la fonction d’utilitéU-x, y87x y soitconcave, il suffit que

5
Cf. pour de plus amples détails Silbelberg (1981), pp 225-228.
6
Cf. pour de plus amples détails l’exercice 15.

20

U U
11 12
les mineurs principaux U11< 0 et80, soient alternativement
U U
21 22
3^d2 3_
négatifs et positifs. Soit :U173^-3^d18xyet
1

3^d2 3_
3^-3^d18x y
H7
3^d1 3_d1
9^_x y

3^d1 3_d1
9^_x y
, soit :
3^3_d2
3_-3_d18x y

3^d2 3_1
3^-3^d18x y60c3^-3^d1860, or^ 80c3^d160c^ 6et
3
2
6^d2 6_d2 6^d2 6_d2
9^_-3^d18 -3_d18x yd81-^_8x y80.Après
simplification, on trouve :
-3^d18 -3_d18d9^_ 80c9^_d3^d3_N1d9^_ 80c3-^N_8d160

1 113^3_
c^N_ 6or^ 6c_ 6.La fonction d’utilitéU-x, y87x y
3 33
1
sera concave si et seulement si06 ^,_ 6.Par ailleurs, on démontre que :
3
7U-x, y8
3^d1 3^3^d1 3^
7x
-38 -83
ex77 ^x yx y7 ^de même ey= 3_
U-x, y8
x
c^= ex/3 et_= ey/3.Les coefficients^et_représentent une
fraction de l’élasticité de l’utilité du consommateur par rapport à sa demande de
biens x et y.
K) Taux marginal de substitution inter-temporel et taux
d’intérêt psychologique.
C0 et 1 :onsidérons une fonction d’utilité à deux périodes
7CU
1 0
U = U(C0,C1).Al’optimum,7U = U07C0+ U17C1= 0c d7.
7CU
2 1
On démontre que le taux d’intérêt psychologique est égal à :
7CU
7C1 0
1
q 7d d1d’oùd7 71dq.
7C7CU
0 01
Par ailleurs, en tenant compte du programme du consommateur :

21

MaxU7U-C0,C18
sC1p11
scCpN7RN
t00 0
u1Nr1Nr
et le lagrangien associé :
lCp~
1 1
L-C,C,j87U-C,C8NjwdCpd
m
0 10 10 0
n1Nr!
er
Aordre :l’optimum et d’après les conditions du 1
U
0
71Nrd’où 1+r = 1+qcr =q, autrement dit, lorsqu’il existe un
U
1
marché parfait des capitaux, impliquant un taux d’intérêt unique pour les
emprunts et les prêts, l’optimum inter-temporel du consommateur est
réalisé lorsque son taux d’intérêt psest égal au tauxychologique nominal
d’intérêt du marché.
L) Prouverque la fonction de dépense est non croissante en p,
homogène de degré 1 en p, concave en p et continue en p (pour
p > 0).
Soit une fonction de dépense définie par :
E-p, u87min{px|u-x84u}
x
2 12 1
(1) nondécroissante en p : sip4p,E-up ,84E-up ,8alors

2 12 1
p x4p x`E-p ,u84E-up ,8implicitement, on suppose que u est
constant et que l’on est à l’optimum.
(2) homogènede degré un en p :jE-p, u87E-jp,ju8

E-jp, u87min{jpx| u-x84u}7 jmin{px| u-x84u}7 jE-p, u8
x x
1 12 2
(3)concave en p: soient (p ,x ) et (p ,x ) deux combinaisons optimales et
3 12
soit p=pp +(1vp0)p avecWpW1,
3 12
on veut montrer queE(p ,u)XpE(p ,u) + (1 vp)E(p ,u).
3 33 13 23 11 22
On aE(p ,u)x == ppp x+ (1-p)p xor (p ,x ) et (p,x ) sont des
combinaisons optimales,
1 11 32 22 3
donc p xWet p xp xWp x ,

22

1 12 21 32 3
d’oùpp x+ (1 vp)p xWpp x+ (1 vp)p x
1 11 2
orpE(p ,u) + (1 vp)E(p ,u)WE[p(1 vp +p)p ,u]
3 12
cE(p ,u)XpE(p ,u) + (1 vp)E(p ,u).
(4)continue en p: E(p,u) étant concave en pccontinue en p (avec
p > 0).
NB :concave en p pour u fixécsi p augmente, mais moins que
proportionnellement.
M) Déterminerla fonction de dépense et les fonctions de
demandes hicksiennes, ainsi que la fonction d’utilité indirecte et les
fonctions de demandes marshalliennes.
a)u-x1, x287a log x1N-1da8log x2
(1) fonction de dépense : min px | u(x)Xu, soit, pour u fixé :
Min p xNp x
1 12 2
sa log x1N-1da8log x27u
sc
t
x180, x280
u
Soit le lagrangien défini par :
L-x1, x2,j87p1x1Np2x2Nj-uda log x1d-1da8log x28
er
Conditions du 1ordre :
7L1%
7p1dja70
7x x
1 1vp1a x21da p1
c7cx27x1
'
7L1p21da x1a p2
v
7p2dj-1da870
7x2x2v
(
En substituant x2par sa valeur dans la fonction d’utilité, on obtient :
1da
l1da p~ l-1da8p~
1 1
u7a log xN-1da8log x7log x
m m
1 11
a pa p
n!n!
2 2
1dad-1da8
l1da p~ l1da p~
U1 1U
ce7xcx75ed’où l’on déduit :
1m 1m
a pa p
n!n!
2 2

23

d-1da8a
d dd ~
l1a p1~ l1a p1~ul1a p1u
x75e75e
2m m m
a pa pa p
n!n!n!
2 22
d-1da8a
s%
v l1da p~ l1da p1~ vu
1
cp xNp x7pNp5e
1 12 2t1m 2m '
a pa p
v n!n!v
2 2
u(
1da
a
a
d l~
1l1a~p1ua p2u
75e7p5e
m d1Nam
1
1da ap1da p
n!2n1!
d-1da8
-1da8a-1da8u a1da
7a-1da8p1p25e7kp1p2
Autre méthode (pour u fixé) :
Min p xNp x
1 12 2
sa log x1N-1da8log x27u
sc
t
x80, x80
u
1 2

1
a1da a1dua ud-1da8
a
cu7xlog xcx x7ecx7e x
1 21 21-28

l1da~
1
d
um
a
an!
cMin pe xNp x
1 22 2
x
2
Optimum libre :

1l1da~1l1da~1 1
d d1d d1
um ud dm u
1da1daa p
a a
an!an!a2a
dxp eNp70cp7p excx7e
1 22 2 12 2
a ap1da
1

da a
1
du
p
laa~ lp1da~u
2 1
cx7e7e
2m m
p1da pa
n!n!
1 2

1da
d
ad-1da8
u1da ua
ds%
vlp1da~uvulp1da~
a aa1 1
Or x7e x7e e7e
1 2tm 'm
p ap a
vn!v n!
2 2
u(
(2) fonctions de demandes hicksiennes :E(p,u) = min{px | u(x) > u},
7E
soit :7x-p, u8on a p1x1+ p2x2à minimiser sc u = alogx1+ (1 v a) logx2,
7p

24

d-1da8a
s
l ~l ~
v1da p1u1da p1u
d’où :x75e , x75e
t1m 2m
a pa p
v n!n!
2 2
u
(3) fonctions d’utilités indirectes :V-p, r87max{u-x8| px#r}.
x
On a :u-x1, x287a log x1N-1da8log x2.
On pose RXp1x1+ p2x2; x1X0 et x2X0. Soit le lagrangien défini par :
L-x ,x ,j87a log xd-1da8log xNj-rdp xdp x8
1 21 21 12 2
er
Conditions du 1ordre :

7La%
7djp70
1
7x x
1 1vp ax1da p
1 21
c7cx7x
'2 1
7L-1da8p1da pa x
2 12
v
7djp70
2
v
7x x
(
2 2
En substituant x2par sa valeur dans la fonction de revenu (saturée à
l’optimum), on obtient :
a xp p1da1da px
2 11p"1 1
7cx7xcr7p xN1N7
2 11 1
q#
1daa xp pa a
1 22r$

s*ar
cDemandes marshalliennes :x17,
t
p
u1
Fonction d’utilité indirecte :

-1da8r
*
x7
2
p
2

a
s%
r rla p~r
* *~v l2v
u x, x7a log aN1da log1da7log1da
-1 28- 8- 8 tm m- 8'
p pn1da!p1p2
vn!v
1 2
u(
1q
q q
b)u-x1, x287-x1Nx28

(1) fonction de dépense : on a
1q
q q
L-x1, x2,j87p1x1Np2x2Njud-x1Nx28:
{}

er
Conditions du 1ordre :

25

26

1
s7L1qd1q q
d1
q
-187p1djqx1-x1Nx2870
v
7x1q
v
1
v7L1qd1q q
d1
q
27pdjqx xNx70
t- 82 2-1 28
7x1q
v
1
v
7Lq q
q
v-387ud-x1Nx2870
v 7j
u
De (1)/(2) on déduit
1 1
qd1
qd1
qd1
qd1
p xlx~xlp~ lp~
1 11 11 1
7 7c7c4x7x
qd1m m - 81 2m
p xx xp p
2 2n2!2n2!n2!
En substituant (4) dans (3), on a :

q
1q
l ~l ~
qd1qd1
qlp1~qlp1~
m m
u7xNx7xN1N
2 2m 2m
p p
mn! mn!
2 2
n!n!

s
q
v
qd1
1qlp1~
v
u
m
D’où :
p
vun2!
x7,
t1 1q
q
p"
v
qd1
lp1~
q#
v
1N
m
q#
vp
n!
2
v q#
u r$

qu
cx7
2q
qd1
lp1~
1N
m
p
n2!

1q
uu
x7
2 1q
q
p"
qd1
lp~
q1#
1N
m
q#
p
n!
2
q#
r$

1
1d
q
q
p"
qd1
u u1qlp1~
q#
cD-x1, x2, u87p1x1Np2x27p2u1N
m
q#
p2
n!
q#
r$
Les fonctions de demandes hicksiennes sont définies par :

s
q
v
qd1
1qlp~
v
1
u
m
p
vn2!
t1-1 281q
x p, p, u7,
q
p"
v
qd1
lp~
q1#
v
1N
m
q#
vp
n2!
q#
vur$

1q
u
x p, p, u7
2-1 281q
q
p"
qd1
lp~
q1#
1N
m
q#
p
n!
2
q#
r$

Fonction d’utilité indirecte :
1q
q q
Max ux ,x7xNx
-128-128
sR7p1x1Np2x2
sc
t
x40, x40
u12
Soit le lagrangien associé :
1q
q q
L-x1, x2,j87-x1Nx28Nj{Rdp1x1dp2x2}:

er
Conditions du 1ordre:

1
s7L1qd1q q
d1
q
-187 qx1-x1Nx28djp170
v
7x1q
v
1
v7L1qd1q q
d1
q
27 qx xNxdjp70
t- 82-1 282
7x2q
v
v
7L
37Rdp xdp x70
v- 81 12 2
7j
v
u
De (1)/(2) on déduit
1 1
qd1
qd1
qd1
qd1
p1x1lx1~x1lp1~ lp1~
- 8
717cm 7m c4x17x2m
qd
p2x2nx2!x2np2!np2!
En substituant (4) dans (3), on a :
1q
p"
qd1qd1
lp1~Rlp1~
q#
R7p1x2Np2x2c7x2N1
m m
q#
p2p2p2
n!n!
q#
r$
Demandes marshalliennes :

s
1
vqd1
lp~
1
vR
m
v np2!R
x7, x7
t1 2
q q
p"p"
vqd1qd1
lp~ lp~
q#q#
1 1
vpN1pN1
m m
2 2
q#q#
p p
v n!n!
2 2
q#q#
u r$r$
cfonction d’utilité indirecte :

27