Analyse et traitement des images numériques

-

Livres
212 pages
Lire un extrait
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Cet ouvrage est une introduction aux méthodes utilisées dans le traitement des images. Il présente cette discipline sous l'éclairage de l'analyse numérique et de la modélisation en mécanique. Il expose de manière pédagogique les méthodes pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles de la physique et pouvant être utilisées en imagerie. Par exemple, l'équation de la chaleur et celle des fluides non newtoniens sont analysées et des schémas simples de résolution sont proposés. Cet ouvrage présente aussi des outils de la mécanique de la rupture ou des surfaces minima. Il est destiné aussi bien aux étudiants de second et troisième cycles qu'aux ingénieurs et chercheurs travaillant dans des domaines liés à la simulation numérique. Conçu pour permettre une lecture par des non-spécialistes de l'image ou de modélisation mathématique, il peut servir d'illustration et de complément à des cours enseignés dans les cursus appliqués.
Introduction. Qu'est-ce qu'une image numérique ? Dépoussiérage des images par les moindres carrés. Aspects numériques du modèle de lissage. Accentuation des contours d'une image bruitée. Résolution d'un modèle d'accentuation de contours. Construction d'images 3D : stéréoscopie. Une méthode du serpent pour la segmentation. Restauration des signaux à l'aide de la dualité. Amélioration des contours par la dualité. Bibliographie. Index.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 10 janvier 2006
Nombre de visites sur la page 66
EAN13 9782746237537
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,0412 €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Signaler un problème

Analyse et traitement des images numériques© LAVOISIER, 2006
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr
ISBN 2-7462-1288-9
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.Analyse et traitement
des images numériques
Philippe DestuynderTable des matières
Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Présentationgénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chapitre1. Qu’est cequ’uneimagenumérique? . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1. Définition d’une image informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2. Format d’une image informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3. Prolongement d’une image informatique en une image numérique . . . 28
1.4. Quelques normes sur les images informatiques . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Normes sur les images numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6. Reconnaissance d’un objet non calibré dans une image numérique . . . 40
1.7. Une première approche du compactage d’images . . . . . . . . . . . . 41
1.8. Découpe d’objets dans une image informatique . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1. Méthode de suivi de contours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8.2. de l’étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8.3. Méthode de la grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chapitre2.Dépoussiéragedesimagesparlesmoindrescarrés . . . . . . . 47
2.1. Définition d’un critère de lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Résolution de l’opérateur de lissage à l’aide de séries de Fourier . . . . 60
2.3. Etude mathématique du modèle de lissage . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.1. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ε2.3.2. Estimation d’erreur entreu et l’image numériquef . . . . . . . 68
2.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chapitre3. Aspectsnumériquesdumodèledelissage . . . . . . . . . . . . 79
3.1. La méthode des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
56 Analyse des images numériques
3.1.1. Troncature de la série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.2. Sommation rapide des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2. La méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1. Le filtre de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.2. Construction d’un filtre de tendance à partir du filtre de Jacobi . 85
3.2.3. Le filtre utilisant la méthode du gradient . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3. La méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4. Etude de l’erreur entre solutions exactes et approchées . . . . . . . . . 98
3.4.1. Le lemme de J. Cea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Chapitre4.Accentuationdescontoursd’uneimagebruitée . . . . . . . . . 103
4.1. Le modèle tixotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2. Régularisation du modèle tixotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ε,g,μ4.2.1. Estimations a priori suru par rapport àμ . . . . . . . . . . . 109
4.3. Un algorithme de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1. Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2. Convergence de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre5.Résolutiond’unmodèled’accentuationdecontours . . . . . . 119
5.1. Le modèle approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Résolution du modèle approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3. Estimations d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4. Discussion des choix des paramètres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5. Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Chapitre6. Constructiond’images3D:stéréoscopie . . . . . . . . . . . . . 133
6.1. d’images bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1. Le modèle de l’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Effet d’une transformation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3. Visualisation de l’éclairement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4. Coloriage d’une image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5. La vision binoculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.6. Rappels de géométrie, éclairement et courbes de niveau . . . . . . . . . 141
6.6.1. Définition d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6.2. Recherche d’un contour sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Chapitre7. Uneméthodeduserpentpourlasegmentation . . . . . . . . 143
7.1. Le problème du serpent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Table des matières 7
7.2. Une formulation énergétique du modèle du serpent . . . . . . . . . . . 145
7.3. Calcul du gradient de l’énergie reptile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4. Gradient de l’énergie reptile dans le cas d’un serpent lové . . . . . . . 149
7.5. Nécessité d’ajouter une énergie de fissuration à l’énergie reptile . . . . 150
7.5.1. Remarque sur le cas monodimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6. Aspects pratiques de la méthode du serpent lové . . . . . . . . . . . . 156
7.7. La méthode du serpent à sonnettes : recherche de fissures . . . . . . . 159
7.8. Aspects algorithmiques et numériques du serpent . . . . . . . . . . . . 166
7.9. Exemples d’utilisation de la méthode du. . . . . . . . . . . . . 169
7.10. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Chapitre8.Restaurationdessignauxàl’aidedeladualité . . . . . . . . . . 175
8.1. Position du problème à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2. Construction d’un problème dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2.1. Algorithmes de calcul de la solution de l’équation (8.12) . . . . . 179
8.3. Approximaton numérique du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.4. Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Chapitre9.Améliorationdescontoursparladualité . . . . . . . . . . . . . 189
9.1. Le problème de lissage direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1.1. Résolution formelle du modèle primal . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.1.2. Construction d’un problème dual . . . . . . . . . . . . . 191
9.1.3. explicite du dual . . . . . . . . . . . . . . 193
9.1.4. Un algorithme de calcul pour le problème dual . . . . . . . . . . . 194
9.1.5. Problème régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.1.6. Remarques sur la convergence de l’algorithme de calcul . . . . . 197
9.2. Approximation numérique du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3. Quelques résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078Avant propos
L’image est partout et son pouvoir de persuasion est inégalé dans les domaines de
l’information.Mais,elleestsouventdissimulée,cachéeoudétériorée.Ilfautlarecons
truire,l’améliorer,larendreattractive,réaliste:enquelquessortes,lamaquiller.C’est
le traitement numérique des images. Parfois, l’image est virtuelle, fruit de l’imagina
tiond’uncréateur:c’estlasynthèsed’images.Lareconstructiontridimensionnelleest
sans doute l’un des champs les plus attractifs dont nous esquisserons les outils. Nous
étudierons aussi la vision stéréoscopique et ses représentations planes. Tels sont en
quelques mots, les objectifs de ce texte.
Il est destiné à des lecteurs qui sont à la recherche d’une formation leur permettant
d’exercer un métier autre que celui de formateur. C’est ainsi que beaucoup d’étu
diants, après avoir acquis une solide formation en mathématiques abstraites, sont à
la recherche d’applications liées au monde économique; principalement pour devenir
ingénieurs en conception et en vérification.
Bienentendu,l’utilisationdelogicielsdecalcul(parexempleenmécaniquedesstruc
tures et des fluides) leur apporte souvent une réponse instantanée à cette quête mais
il s’agit de pratiques professionnelles répondant à un besoin instantané, et non d’une
formation permettant de s’adapter aux évolutions extraordinairement rapides du cal
culscientifiqueactuel.Enparticulier,onobservesouventquel’abscencedeformation
en sciences de l’ingénieur et surtout de pratique in situ empêchent un dialogue fé
condetnécessaireentrelathéoriemathématiqueetlaréalitéphysique.C’estpourquoi
notre démarche n’est pas de nous adresser à des théoriciens ni de nous focaliser sur
l’utilisation de codes de calcul, ce qui est le métier des distributeurs de codes, mais
de proposer une approche qui s’appuie continuellement sur les aspects théoriques et
appliqués.Ladifficultéestdenepasseplacerenunquelconquebarycentresituéentre
cesdeuxpôles,maisbiend’oscillerentredeuxextrêmes:théoriemathématiqueetune
scienceappliquéecommelamécaniquedessolides,celledesFluides,l’acoustique,la
thermique et plus récemment l’imagerie numérique.
910 Analyse des images numériques
L’objet de cet ouvrage est de proposer cette approche pour cette dernière discipline.
L’avantageévidentestquelefondderoulementdesconnaissancesappliquéesenIma
gerieestsanscommunemesureavecceluidelamécaniquequecertainss’accordentà
considérer comme la mère de toutes les sciences de l’ingénieur.
Le lecteur trouvera donc dans ce texte, des allers et retours parfois arides entre des
développements mathématiques non triviaux (à notre avis) et des considérations pra
tiques intuitives mais tout aussi importantes et utiles. C’est la démarche de la modéli
sationquialliedescompétencesmathématiques,numériques,informatiquesetsurtout
une connaissance de la science de l’ingénieur visée.
Certes le travail demandé est plus lourd, mais il le serait bien d’avantage si l’on s’in
téressait à la Théorie des Coques qui pour un mécanicien des structures, est paraît il,
le niveau de complexité technique maximal de la mécanique contemporaine. L’expé
rience nous a montré que c’est la seule voie efficace pour acquérir une compétence
professionnelle.
Le souci d’efficacité industrielle, souvent réclamé à juste titre, par nos élèves ingé
nieurs,nousadoncencouragésdanscettevoiepourchacunedesformationsquenous
proposons. Elle est certes, ardue (voire un peu lourde!), mais à notre avis féconde
et surtout nous semble incontournable pour résoudre des problèmes concrets et
permettreauxscientifiquesuneadaptationpermanenteauxdéveloppementsexponentiels
de ces logiciels de modélisation.
Bien entendu, ce texte ne prétend pas couvrir un domaine aussi vaste que celui de
l’imagerie numérique. Son ambition est beaucoup plus limitée. Il vise simplement à
ouvrir une fenêtre sur un sujet qui fait actuellement l’objet de nombreuses recherches
tanteninformatiquequ’enmahématiquesappliquées.Lelecteurmotivétrouveradans
la bibiographie quelques pistes pour approfondir ces nouveaux champs d’investiga
tions.Présentation générale
Nous commençons par définir l’objet de notre investigation : l’image numérique.
Puis après avoir discuté quelques aspects technologiques des capteurs d’images nu
mériques(appareilsphotosetcaméscopesnumériques),nousproposonsuneapproche
intuitive des problématiques qui sont traitées dans les chapitres suivants. En particu
lier,nousessaieronsdedéfinirunesortedecahierdeschargesdessolutionsàtrouver.
Lesimagesnumériques
Précisons l’objet mathématique qui est au centre de nos discussions au cours de ce
texte.
Une image numérique est une fonction notéef de deux ou trois variables spatiales.
nElleestàvaleursdansR ,oùnestégalà1pourdesimagesmonochromatiquesetà3
pourdesimagescouleurs.Cettefonctionseratoujourssupposéedecarréintégrablesur
l’ouvertdevisualisationsurlequelelleestdéfinieetappelél’écranenbidimensionnel
et le volume visuel en tridimensionnel. Cet ouvert sera un rectangle (en bidimension
nel)ouunparallèlipipède(entridimensionnel).NouslenoteronsΩdanstoutelasuite.
La quasi totalité du texte traite d’images bidimensionnelles.
Enfait,danslapratique,nousconsidéronsquelafonctionf quicaractérisel’image
n’estpasdéfinieentouslespointsdel’ouvertΩmaisseulementauxpointsdeconcours
d’unegrille,centresdepavésappeléspixels enbidimensionnel(pictureelementenan
glais), et voxels en tridimensionnel (volume element toujours en anglais). A l’écran,
ces pavés sont des petits carrés ou des petits cubes dans l’espace. Ceci est dû à un
échantillonage de l’image rendu nécessaire par les prises de vue numériques (on ne
peut stocker qu’une quantité finie d’informations). Entre ces points, nous utiliserons
une interpolation. Bien entendu plus il y a de points, plus le volume de stockage de
l’image est important. Par exemple, une image télévision standard nécessite en bidi
mensionnel512x682=349.525pixels.Pouruneséquencede10secondesilfautdonc
(25imagessecondes):10x25x349.525=87.381.333pixel secondes.Si,parexemple,
1112 Analyse des images numériques
chaque valeur de la fonctionf est stockée sur 8 bytes (soit 64 bits), il faut presque 1
gigabyte de mémoire pour stocker 10 secondes d’images au standard télévision dont
1la netteté n’est pas la propriété la plus évidente. Or un DVD* peut stocker environ
5 Gigabytes soit environ une minute au format précédent et pourtant on y loge plus
d’une heure de film ayant ce format de description. Il y a donc un secret! C’est le
compactage. Mais il faudra être très astucieux pour réduire d’un facteur d’environ 60
laquantitéd’informationsàstocker.Notonségalementquel’imagedéfinieparsesva
leurs aux pixels ou voxels, s’apparente à un tableau de chiffres que nous appellerons
l’imageinformatique.Bienentendu,ilyaunlienétroitentrelesdeuxtypesd’images
évoquées ci dessus et que nous expliciterons dans le premier chapitre.
Leprocédédenumérisationd’uneimage
Un rayon optique contient a priori un mécanisme ondulatoire contenant un large
spectre de fréquences. Chacune d’elles correspond à une couleur. En utilisant des
filtres optiques ou polariseurs, on peut extraire d’un rayon la composante Rouge, la
Bleue ou la Verte. Les rayons qui sortent des polariseurs s’apparentent à des lumières
monochromatiques. Ils viennent percuter des cellules photoélectriques qui génèrent
une tension électrique qui est une fonction croissante de l’intensité lumineuse. Mais
une cellule ne voit qu’une couleur. La synthèse des couleurs se fait ensuite en recom
binant trois cellules photoélectriques successives. Le stockage de l’image numérique
sefaitdoncàpartirdel’ensembledestensionsenregistréessurlescellules.Lesappa
reils de photos numériques actuels du commerce possèdent entre 2 et 12 millions de
pixels.Maislescaméscopesenontbeaucoupmoins.Lorsquel’onveutreproduireune
information tridimensionnelle, par exemple en utilisant un procédé stéréoscopique, il
est nécessaire de comprendre comment la différence de chemins optiques entre deux
rayons,permetderetrouverunindicateurdeprofondeur.Unpeudegéométrieestalors
nécessaire. Il faut ensuite intégrer un décodage des informations dans le système de
stockage des deux images en mémorisant les positions des cellules qui permettent de
les appareiller deux à deux.
Lanécessitédecorrigerdesimages,lesréparations,larestauration
Il y a plusieurs raisons qui peuvent conduire l’utilisateur à vouloir intervenir sur une
image. Bien entendu, on pense en premier lieu à la réparation de l’image suite à une
détériorationparexemple;maisaussi,pourcréerdeseffetsspéciaux,mettreenvaleur
certaines parties ou au contraire, en faire disparaître d’autres. De façon plus standard,
un agrandissement met souvent en évidence des contours en escalier qui sont peu
réalistes.C’estlecaspourlesimagessatellitesoucellesprovenantdematérielsd’ob
servation médicale. Un lissage permet de retrouver des courbes plus régulières mais
1. Digital Video Disc.Présentation générale 13
Figure1. Système de capteurs photoélectriques
souventauprixd’unétalementdonnantuneffetdeflou.Ildevientalorsnécessairede
redessiner les lignes de contour et d’améliorer la netteté. Il s’agit là d’un challenge
essentiel dans la procédure de traitement d’images numériques. On trouvera sur la fi
gure 5 l’original détérioré (en haut à gauche) et l’image traitée à l’aide de méthodes
présentées dans ce texte (en haut à droite). Le défaut est le petit rectangle noir (image
en haut à gauche de la figure 5), qui est détaillé avant et après réparation sur les deux
images du bas.
Lareconnaissanceetl’extractiond’objets,lasegmentation
Pour des raisons de moyens technologiques ou plus classiquement à la suite de zoom
successifs, la définition d’une image peut être très insuffisante au point de ne pas
permettrelareconnaissancedesobjetsqu’ellecontient.Certainssesouviennentpeut être
avoir passé des heures à retrouver les formes d’un foetus dans une échographie par
ultrasons que seul l’amour parental permet de deviner. Un exemple est donné sur la
figure7.LesfrèresSchlumbergerontétélespremiersàutiliserlesproblèmesinverses
d’échographie pour détecter la présence de nappes de pétrole dans les sous sols.14 Analyse des images numériques
Figure2. Images détériorées et réparées. Le défaut est le rectangle noir. Son
contenu avant et après réparation est représenté sur les deux figures du basPrésentation générale 15
Figure3. Segmentation du cerveau humain
Figure4. Echographie médicale16 Analyse des images numériques
Cesportestdevenul’undesplusimportantsdel’industriepétrolièreetoccupedes
milliersd’ingénieursdanslemondeentier.Leprincipeestd’éclairer(acoustiquement
parlant), un objet dans l’espace et d’observer l’écho qu’il nous renvoit. L’éclairement
est réalisé par un mécanisme ondulatoire. Les ultrasons en sont un. En outre, ils pré
sentent l’avantage d’avoir de faibles longueurs d’ondes et ainsi de permettre l’identi
ficationdepetitsobjetssansperturberlemilieudanslequelilssepropagent.Donnons
Figure5. Détection de défauts sous revêtements
unexempleplusdifficile:celuidel’analysedesillagesderrièreunvéhicule.Unécou
lementd’airest(engénéral)invisible.Néanmoinsilsecréédesnappestourbillonaires
surlesquelleslesondessonorespeuventseréfléchir.Leurséchospermettentuneiden
tification de leur présence. On comprend alors comment cette démarche de l’analyse
d’images, utilisant des modèles mathématiques, permet d’extrapoler les données in
suffisantespourreconstitueruneréalitéphysique.Maisbienentenduilestalorsnéces
saire de disposer d’un modèle représentant cette physique. Les principes d’une telle
approche : remplacer l’ignorance des données par une connaissance de la physique
sous jacente, est une activité qui connaît de grands développements dans les indus
tries médicales, pétrolières, mécaniques et bien d’autres.Présentation générale 17
Lesmondestridimensionnelsréelsetvirtuels
Quand Walt Dysney a démarré la création de dessins animés, il est peu probable
qu’il ait entrevu le devenir extraordinaire de cette discipline rendu possible grâce à
l’ordinateur.Pourtant,lesbasesdudessinpermettantdereprésenterlesobjetsentridi
mensionnel datent de G. Monge et de l’Ecole de Metz. La géométrie descriptive, qui
estlepointdedépartdetoutereprésentationmathématiqueetdoncinformatisable,de
scènes tridimensionnelles est devenueune discipline moderneaprès avoir faitsouffrir
tant de générations d’élèves sur leur planche à dessin. En fait, c’est le phénomène
Figure6. Perspective axonométrique
de la vision binoculaire qui est le pendant physiologique de la descro et par consé
quent de la vision stéréoscopique. Le couplage de ces deux aspects (physiologique
et mathématique) est le monde dans lequel évoluent les créateurs de jeux vidéos qui
nous proposent des visualisations virtuelles de plus en plus réalistes. Nous abordons
quelques aspects simples de cette activité dans cet ouvrage.
Lecodageetlescorrectionsd’erreurs
Les images, transmises par exemple par voie hertzienne, traversent des milieux
perturbateurscommedeschampsmagnétiques.Acetteoccasion,deserreursdetransmis
sionpeuventapparaîtreetdétériorerl’image.Pourremédieràcettedifficultémajeure,
on multiplie l’information provenant du codage. Par exemple en ajoutant des bits de
contrôle comme le bit de parité, (si la somme des bits de l’information est paire le bit
deparitévaut0et1danslecascontraire).Enfaitonpeutaussirésumerlestechniques
de codage/décodage et de correction d’erreurs de la façon suivante. Le chiffre à co
nder est notéx. C’est par exemple un élement du corps (Z/2Z) . On lui applique une18 Analyse des images numériques
Figure7. Paysage de montagne 3D virtuel
ptransformation linéaire injective notéeC qui est à valeurs dans (Z/2Z) avecp > n
et qui a pour mission d’éloigner deux à deux, les points images. Ce qui signifie qu’il
y aura p−n bits de contrôle. Un des énormes avantages du corps utilisé est qu’il
contientunnombrefinid’éléments.Pourcetteraison,ladistanceentredeuxéléments
reste finie. On utilise alors un des résultats fondamentaux de l’analyse matricielle qui
p npermet de décomposer l’espace (Z/2Z) en d’une part l’image de (Z/2Z) parC et
t p nd’autrepartlenoyaudel’applicationtransposée C quivade(Z/2Z) dans(Z/2Z) .
pL’information codée est un élémenty de l’espace vectoriel (Z/2Z) . Si elle est dans
l’image de C, on retrouve x en résolvant un système linéaire. Sinon, on la corrige
t −1 ten projetant y sur cette image à l’aide de la matrice [ C.C] C. Bien entendu, la
matriceC est connue à la fois par l’émetteur et le récepteur et elle doit être de rang
maximum (sinon certaines images disparaissent dans le codage). L’antécédent de la
projection est l’image corrigée. Il existe ensuite des façons plus ou moins astucieuses
(et rapides!) de construire C. Ces aspects qui connaissent de nombreux développe
ments ne sont pas abordés dans cet ouvrage. Mais ils apparaîssent comme des outils
incontournables de la panoplie du traiteur d’images numériques.Présentation générale 19
Lesmodèlesnonlinéairesdetraitementd’images
Unedesdifficultésrécurrentes,maisaussiuncentred’intérêtimportant,desproblèmes
d’imagesestlefaitqu’uneimageprésentedeslignesdediscontinuitésreprésentantles
contoursdesobjets.Ilestdoncsouhaitablededisposerdemodèlesmathématiquesqui
permettent de retrouver ces morphologies. D’un point de vue fonctionnel, les espaces
qui autorisent de telles discontinuités (et qui soient stables par minimisation de fonc
1tionnelles ne faisant intervenir que la norme L du gradient), sont dans un espace
noté BV (Bounded Variations). L’analyse de ces espaces relève des fonctions à va
riations bornées. Une utilisation en mécanique des solides a été proposée par Pierre
Suquet dans sa thèse de doctorat pour les problèmes de plasticité parfaites (en fait
il s’agissait des espaces BD (bounded deformations). Par la suite, ils sont apparus
comme incontournables et ont fourni un cadre naturel pour les problèmes de surfaces
minima.LelivredeGillesAubertetPierreKornprobst[AUB02]proposeentreautres,
une approche du traitement d’images dans ce cadre. Pour éviter les difficultés
importantes liées à l’approximation numérique de tels modèles, il est coutumier (en méca
nique), d’utiliser le dual qui est plus régulier comme l’ont remarqué I. Ekeland et R.
Temam [TEM74]. Cependant l’équivalence entre les deux modèles (primal et dual),
n’est pas nécessairement vrai. Nous discuterons de ces aspects dans le contexte du
traitement d’images. Mais cela ne remplacera pas la lecture d’un ouvrage comme ce
lui de Gilles Aubert et Pierre Kornprobst [AUB02] et l’article de R. Deriche et O.
Faugeras[DER95]quiprésentebeaucoupd’exemplesdeméthodestrèsefficacespour
traiter des images. Mais bien d’autres sont indispensables pour pénétrer ce nouveau
monde avec les clefs ad’hoc.