Électromagnétisme : applications à l'étude des lignes (Manuel d'électronique pour le traitement du signal Vol. 7)

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Description

Électronique pour le traitement du signal, Volume 7, traite de l'électromagnétisme sous l'aspect de ses applications pratiques.
Après une introduction synthétique à l'électromagnétisme où les lois de base à travers les équations de Maxwell sont explicitées, une introduction à l'électronique des impulsions et à la théorie des lignes est développée.
Elle permet, à travers les concepts des systèmes à constantes réparties, de bien appréhender la nécessité de maîtriser les impédances caractéristiques dans les systèmes modernes de télécommunications qui travaillent à des fréquences de plus en plus élevées.
Électromagnétisme. Électronique des impulsions. Exercices et corrigés. Bibliographie. Index.

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Date de parution 23 janvier 2007
Nombre de visites sur la page 123
EAN13 9782746229235
Langue Français

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Electronique pour le traitement du signal – volume 7

Electromagnétisme


































© LAVOISIER, 2007
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN volume 7 978-2-7462-1345-6
ISBN général 978-2-7462-1338-8



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Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, January 2007. Electronique pour le traitement du signal – volume 7







Electromagnétisme



applications à l'étude des lignes








Yvon Mori














Pour Monika, Arnaud et Sylvain.




Préambule

Après avoir pendant près de vingt ans, enseigné des cours du soir au CNAM de Nice,
(Conservatoire National des Arts et Métiers), cycle B, filière électronique et ceci dans tous
les domaines de l'électronique au sens large, ainsi que des cours de télécommunication à
l'IUT Génie des Télécommunications et Réseaux de Nice Sophia Antipolis, il m'a semblé
indispensable de transmettre toute cette connaissance aux auditeurs intéressés et de la
rendre plus pérenne à travers cette édition. Ceci d'autant plus qu'elle a été élaborée avec un
esprit pédagogique de professeur d'université, associé à l'approche plus pragmatique et
pratique du responsable de laboratoire d'une grande entreprise industrielle française, ce qui
devrait la rendre plus attrayante et qui fait une grande partie de son intérêt.

L'architecture générale adoptée constitue une collection intitulée Electronique pour le
traitement du signal. Elle comprend huit volumes, chaque volume s'appuie sur un certain
nombre de chapitres, traitant chacun d'un sujet spécifique et comportant des exercices
variés ainsi que leurs corrections détaillées. Ces différents chapitres ont été constitués à
partir des notes personnelles de l'auteur prises pendant son cursus au CNAM de Nice avec
ses différents professeurs, qu'ils soient tous vivement remerciés ici pour les connaissances
qu'ils ont su si généreusement lui dispenser, en particulier Jean Paul Marage, professeur
CNAM et ami, sans qui rien n'aurait été possible, ainsi que des synthèses de certains
chapitres des documents de la bibliographie générale proposée qui accompagne chaque
volume.

L'objectif principal de cette collection est de donner un outil pratique à la portée de tous
les étudiants des cycles de niveau B3 ou licence professionnelle, soit du premier cycle des
études supérieures, ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieurs, qui leur permettra
d'appréhender les concepts principaux utilisés pour mettre en œuvre les moyens modernes
de traitement du signal appliqué aux télécommunications et pour préparer dans les
meilleures conditions, la poursuite de leurs études. Pour cela elle à été élaborée dans un
esprit pédagogique de cours magistral, de manière à faciliter sa lecture et son assimilation.
Les développements mathématiques sont volontairement limités et traités avec la rigueur
suffisante pour la compréhension des outils utilisés. Les principaux concepts sont
développés de manière homogène, ce qui doit permettre au lecteur intéressé d'avoir une vue
complète sur ces derniers et de les approfondir s'il le souhaite à l'aide de la bibliographie
fournie, qui contient la plupart des références encore unanimement reconnues dans les
domaines concernés.

Le volume 7 qui est proposé ici, aborde l'électromagnétisme sous l'aspect de ses
applications pratiques.
Son titre est Electromagnétisme. Il est constitué de deux chapitres. Après une introduction
synthétique à l'électromagnétisme où les lois de base à travers les équations de Maxwell
sont explicitées, une introduction à l'électronique des impulsions et à la théorie des lignes est
développée. Elle permet, à travers les concepts des systèmes à constantes réparties, de
bien appréhender la nécessité de maîtriser les impédances caractéristiques dans les
systèmes modernes de télécommunications qui travaillent à des fréquences de plus en plus
élevées.

Le volume 1, sert d'introduction et propose des outils pour aborder les autres volumes
dans de bonnes conditions.
Son titre est Outils mathématiques et espaces transformationnels. Il est constitué de neuf
chapitres, qui précisent de manière synthétique et pratique, les outils habituellement utilisés
dans ce domaine et qu'il est indispensable de connaître. On y trouve donc une approche sur 6 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
les espaces de signaux, la notion de convolution associée et son extension à la distribution
de Dirac, l'opération de corrélation qui prépare aux signaux aléatoires, le calcul
transformationnel avec la transformée et la série de Fourier, la fonction de la variable
complexe avec la transformée de Laplace, comme outil fondamental pour l'analyse des
réseaux et circuits linéaires. La transformée en Z est aussi développée comme outil
fondamental d'étude des systèmes numériques discrets et prépare aux techniques de filtrage
numériques étudiées dans le volume 5.

Le volume 2 concerne tout ce qui se rapporte à la notion de signal.
Son titre est Notions de signal et de bruit. Il est constitué de trois chapitres, avec une
approche sur la notion de bruits que l'on ne peut dissocier de celle de signal, la distinction
entre signaux déterministes et aléatoire ou processus stochastiques, ainsi que la notion de
linéarité, de circuit linéaire et fonction de réseaux associée.
On y trouvera donc toutes les propriétés des fonctions de réseaux en régime isochrone ou
isomorphe, les techniques de détermination des modules et phase connaissant F(p) ou les
parties réelles et imaginaires et l'extension à la notion d'immittance à caractère positif réel,
pour établir les technique de synthèse des structures physiquement réalisables.
Ensuite la théorie des probabilités, la notion de variable aléatoire à une et deux dimension
préparera au concept de fonction ou processus aléatoire avec une application particulière
aux processus discrets utilisés dans les systèmes numériques.
La notion de bruit est ensuite développée à travers la notion de facteur de bruit et source
équivalent de bruit et les calculs associés en fonction des différentes sources de bruit
analysées.

Le volume 3 développe tout l'aspect des opérations de filtrage analogiques.
Son titre est Circuits linéaires. Il est constitué de quatre chapitres. Les modèles
mathématiques des fonctions de transferts en « p » avec les approximations classiques de
Butterworth, Tchebychev, Papoulis et Legendre pour les filtres à temps de propagation de
groupe y sont développées. Ensuite les notions de stabilité des fonctions de transferts en
« p » et en « z » associées, sont étudiées à travers le critère de Nyquist, de Hurwitz, de
Routh et la détermination du lieu d'Evans. Avec comme application la synthèse des filtres
actifs RC, qui sont les plus utilisés car plus faciles en mettre en œuvre technologiquement, à
l'aide de structures à amplificateurs opérationnels et convertisseurs d'impédance. La
synthèse des filtres passifs LC utilisés en filtrage de puissance par exemple, comme évoqué
dans le volume 8 qui traite de la Compatibilité ElectroMagnétique (CEM) est développée
avec la synthèse des dipôles LC, RC de Foster et de Cauer ainsi que celle des quadripôles
passifs avec Darlington. Une approche de synthèse des fonctions de transfert est aussi
proposée.

Le volume 4 aborde les techniques de modulation.
Son titre est Techniques de modulation. Il est constitué de quatre chapitres. Après une
introduction à la notion de signal analytique nécessaire pour la modulation BLU, les trois
types de modulations classiques, linéaires, non linéaires, discrètes et numériques sont
développées, avec l'analyse des circuits usuels de leur mise en œuvre.
On y trouvera donc la modulation d'amplitude avec et sans porteuse, la modulation à
bande latérale unique, la modulation de phase et de fréquence, les modulations d'impulsions
en amplitude, position, durée, fréquence et intervalle. L'étude des rapports signal à bruit est
faite dans le cas des signaux déterministes et aléatoire.
Les modulations numériques sont présentées avec les convertisseurs analogique
numérique (CAN) et numérique analogique (CNA), à simple et double rampe, à intégrations
successives et autres dans un premier temps. Ensuite la technique de modulation par Electromagnétisme 7
impulsion ou codage MIC est développée pour finir avec les convertisseurs à
suréchantillonnage comme le codage delta, sigma delta à compression et adaptatif qui sont
les techniques modernes de plus en plus utilisées.

Le volume 5 qui est proposé ici, développe les outils principaux qui permettent de
comprendre les systèmes modernes de télécommunications.
Son titre est Théorie de l'information et du codage, il est constitué de trois chapitres.
La théorie de l'information avec le codage de source à travers les algorithmes de Fano et
Huffman et la théorie du codage de canal (détecteur et correcteur d'erreurs) avec l'étude des
codes en blocs, cycliques et convolutifs y sont développées, pour mener finalement au
traitement analogique et numérique du signal avec son application en télécommunication,
domaine on ne peut plus d'actualité.
On y trouvera donc la théorie de l'échantillonnage comme discrétisation dans le temps et
la théorie de la quantification comme discrétisation en amplitude, avec l'estimation des
erreurs associées. Les limitations du canal de transmission avec le théorème de Nyquist est
aussi développée ainsi que les techniques d'égalisation usuelles.
Seront précisés aussi les deux modes de transmission usuels, la transmission en bande
de base avec tous les modes, RZ, NRZ, Bi phase, HDB , entrelacés, etc. et la transmission n
sur fréquence porteuse avec les techniques de modulations analogiques discrètes comme
les modulations FSK et PSK multivalence ainsi qu'une approche sur les probabilités
d'erreurs associées à travers la notion d'espace de signal.
Les problèmes importants de récupération d'horloge et de synchronisation seront
précisés.

Le volume 6 traite du filtrage numérique.
Son titre est Filtrage numérique. Il est constitué d'un seul chapitre et de sept travaux
pratiques sur Matlab comme exercices de mise en application, avec les corrections
associées. On y trouvera en préalable la transformée de Fourier discrète (TFD) et sa relation
avec la transformée en Z (TZ), ainsi que la notion de transformée de Fourier rapide (TFR)
qui prépare au filtrage numérique. La synthèse des filtres à réponse impulsionnelle finie RIF
et infinie RII avec les méthodes à échantillonnage et les techniques de fenêtrage associées,
à réponse impulsionnelle, à transformation bilinéaire. Une approche sur les erreurs et
troncatures, débordement est aussi proposée.
Les travaux pratiques proposés sont orientés pour la mise en évidence et la résolution
des problèmes classiques rencontrés dans ce domaine.

TP1 – « Systèmes numériques »,
TP2 – « Analyse de signaux échantillonnés »,
TP3 – « Transformée de Fourier Discrète »,
TP4 – « Echantillonnage et quantification » ,
TP5 – « Signal aléatoire »,
TP6 – « Synthèse RIF »,
TP7 – « Synthèse RII ».

Enfin le volume 8 s’intitule Compatibilité ElectroMagnétique (CEM), domaine encore trop
peu exposé dans les cours traditionnels et qu'il est absolument indispensable de prendre en
compte dans les réalisations industrielles de tout système électronique. En effet, le passage
du théorique au pratique nécessite de prendre en compte l'environnement perturbé dans
lequel on baigne, ainsi que les limitations physiques de tous les paramètres et matériaux qui
interviennent dans les phases de conceptions et qui sont à l'origine des perturbations et
dysfonctionnement que l'on peut rencontrer en phase d'installation. De plus les réalisations
industrielles sont toujours soumise à des Spécifications Techniques de Besoin (STB), qui 8 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
appellent toutes des documents normatifs civils ou militaires qui évoquent des normes de
CEM, qu'il est donc indispensable de connaître dans le monde du travail.

Les chapitres de chaque volume sont accompagnés d'exercices qui sont généralement de
difficulté croissante. Ceci de manière à bien comprendre dans un premier temps, les
concepts de base, pour ensuite proposer des applications un peu plus complexes que l'on
peut rencontrer en pratique et qui mettent en œuvre les outils développés dans tout le
manuel. Les concepts de base des cours y sont rappelés de manière synthétique, avec des
prolongements complémentaires sur des outils ou des applications spécifiques aux thèmes
des cours et qui n'ont pas été développé dans le corps du cours proprement dit. Les
corrections sont volontairement détaillées pour faciliter la compréhension du lecteur, car
c'est ce que j'aurais aimer y trouver lorsque j'étais encore étudiant. Quelques exercices
demandent à utiliser le tableur Excel, à la portée de tous, de manière à vérifier les calculs
faits « à la main » et montrer le bien fondé des méthodes employées. Il n'est pas toujours
nécessaire en effet, d'utiliser des moyens lourds pour effectuer la plupart des calculs
proposés. C'est de plus un bon moyen pédagogique pour bien appréhender les concepts mis
en œuvre.

J'ai l'intime conviction, de par les retours favorables des auditeurs et étudiants pendant
toutes ces années, que ce cours, qui couvre une grande partie de l'électronique au sens
général, sera extrêmement utile pour ceux dont la motivation d'apprendre est suffisante pour
l'appréhender, l'étudier et pratiquer les nombreux exercices qui y sont proposés.





Table des matières


Chapitre 1. Electromagnétisme . ... ... ... .... ... ... .... ... ... .... ... ..13
1.1. Généralités.. ... ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 14
1.1.1. Nature de la matière . ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 14
1.1.1.1. Charges électriques . ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 14
1.1.1.2. Isolants et conducteurs .. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 15
1.1.2. Rappel des lois de base de l'électricité .. ... ... .... ... ... .... ... ... . 16
1.1.3. Electrostatique . .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 17
1.1.4. Electrocinétique .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 27
1.1.4.1. Notion de capacité .. ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 27
1.1.4.2. Rupture de l’équilibre électrostatique... .... ... ... ... .... ... ... . 28
1.1.4.3. Effet Joule dans les conducteurs .. ... ... .... ... ... .... ... ... . 30
1.1.4.3.1. Conductibilité électronique ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 30
1.1.4.3.2. Notion de résistance et loi d'Ohm.. .... ... ... ... .... ... ... . 33
1.1.4.3.3. Loi de Joule ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 35
1.1.5. Magnétostatique.... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 36
1.1.6. Première approche des régimes variables. L'induction électromagnétique . . . . . 46
1.1.7. Conclusion ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 49
1.2. Electromagnétisme... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 50
1.2.1. Equations de Maxwell ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 50
1.2.2. Notion de potentiel vecteur magnétique et jauge de Lorentz ... .... ... ... . 53
1.2.3. Conditions aux limites ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 55
1.3. Equations d'ondes. Notion de propagation. ... ... ... .... ... ... .... ... ... 57
1.4. Vecteur de Poynting.. .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 60
1.4.1. Bilan local d'énergie électromagnétique . ... ... .... ... ... .... ... ... . 60
1.4.2. Bilan global d'énergie électromagnétique ... .... ... ... ... .... ... ... . 62
1.5. Expressions complexes des champs. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 62
1.5.1. Opérations linéaires . ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 63
1.5.2. Opérations non linéaires . ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 64
1.5.3. Applications ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 66
1.6. Forme complexe des équations de Maxwell... ... ... .... ... ... .... ... ... 68
1.6.1. Cas des diélectriques parfaits sans pertes .. .... ... ... ... .... ... ... . 68
1.6.2. Cas des conducteurs. ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 69
1.6.3. Généralisation des notations complexes. ... ... .... ... ... .... ... ... . 70
1.7. Ondes progressives, phénomène de propagation. Onde plane... ... ... .... ... 70
1.7.1. Généralités ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 70
1.7.2. Notion générale d'onde plane sinusoïdale... .... ... ... ... .... ... ... . 72
1.7.3. Réflexion d'une onde plane progressive. Incidence normale. Ondes stationnaires 74
1.7.4. Incidence oblique. Ondes guidées .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 76
1.8. Application aux ondes électromagnétiques. ... ... .... ... ... ... .... ... ... 78
1.8.1. Onde plane électromagnétique .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 78
1.8.2. Approche qualitative de la propagation d'une onde plane. Notion de polarisation 83
1.8.2.1. Notion de polarisation ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... . 83
1.8.2.2. Notion d'impédance du vide ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 85
1.8.2.3. Notion de champ proche et champ lointain .. .... ... ... .... ... ... . 86






















10 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
1.9. Applications aux antennes.. ... ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... 93
1.9.1. Généralités ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 93
1.9.2. Caractérisation d’une antenne .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . 96
1.9.3. Propagation en espace libre . . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 108
1.9.4. Conclusion ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 108
1.10. Application aux ondes guidées et aux lignes de transmission ... ... .... ... ..109
1.10.1. Notions de constante secondaires. Régime de ligne .. ... ... .... ... ... 110
1.10.2. Notion d’impédance ramenée .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 111
1.10.2.1. Notion d'impédances réduites. ... ... ... .... ... ... .... ... ... 113
1.10.2.2. Cas particulier du régime sinusoïdal .. .... ... ... ... .... ... ... 113
1.10.2.3. Cas particulier des lignes sans pertes . .... ... ... ... .... ... ... 114
1.10.2.4. Discussion des constantes secondaires ... .... ... ... .... ... ... 116
1.10.3. Représentation des impédances .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... 117
1.10.4. Coefficients de réflexion. ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 118
1.10.5. Notion d'onde stationnaire .. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 119
1.10.5.1. Taux d'onde stationnaire (TOS) .. ... ... .... ... ... .... ... ... 120
1.10.5.2. Notion d'impédance ramenée en fonction des coefficients de réflexion . . 122
1.10.5.3. Notion d'adaptation. ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 122
1.10.6. Abaque de Smith .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 124
Annexe ................................................... . 134
Exercices 1 à 27 . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 145
Chapitre 2. Electronique des impulsions ... ... ... .... ... ... ... .... ... ..181
2.1. Impulsions dans les diodes. ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ..182
2.1.1. Rappel sur les semi conducteurs... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 182
2.1.2. Charges .. ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 183
2.1.2.1. Charges de diffusion QD . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 183
2.1.2.2. Charges de transition Q . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 184 T
2.1.2.3. Charges parasites .. ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 185
2.1.2.4. Régime statique. Caractéristiques des diodes.... ... ... .... ... ... 185
2.1.3. Etablissement du courant dans une diode à jonction .. ... ... .... ... ... 187
2.1.3.1. Généralités .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 187
2.1.3.2. Attaque à grand signal par un générateur de tension .. ... .... ... ... 189
2.1.3.3. Attaque à grand signal par un générateur de courant .. ... .... ... ... 190
2.1.3.4. Influence de la capacité parasite... ... ... .... ... ... .... ... ... 191
2.1.4. Coupure du courant dans les diodes à jonction .. .... ... ... .... ... ... 191
2.1.4.1. Généralités .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 191
2.1.4.2. Description expérimentale du phénomène.. .... ... ... .... ... ... 192
2.1.4.3. Influence des capacités parasites C ... .... ... ... ... .... ... ... 193 P
2.1.4.4. Etude du phénomène sans tenir compte du traînage .. ... .... ... ... 194
2.1.5. Etude qualitative et quantitative d'un circuit .. .... ... ... ... .... ... ... 195
2.2. Impulsions dans les transistors ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ..198
2.2.1. Rappels sur les transistors bipolaires ... ... ... .... ... ... .... ... ... 198
2.2.1.1. Généralités .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 198
2.2.1.2. Différents régimes de fonctionnement .. .... ... ... ... .... ... ... 199
2.2.2. Propriétés caractéristiques ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 203
2.2.2.1. Régime linéaire . ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 203
2.2.2.2. Régime non linéaire ou saturé . ... ... ... .... ... ... .... ... ... 204
2.2.3. En montage EC (émetteur commun) on utilise deux caractéristiques. . . . . . . . 204
2.2.4. Définition des temps de réponse d'un transistor.. .... ... ... .... ... ... 205
2.2.5. Schémas équivalents du transistor et équations . .... ... ... .... ... ... 205
2.2.5.1. Cas du régime bloqué (pour PNP par exemple avec émetteur à la masse EC) . . 205
2.2.5.2. Cas du régime normal ou linéaire .. ... ... .... ... ... .... ... ... 206




















Electromagnétisme 11
2.2.5.2.1. Equation différentielle du courant de sortie .. ... ... .... ... ... 206
2.2.5.2.2. Allure temporelle du courant de sortie .. .... ... ... .... ... ... 208
2.2.5.3. Cas du régime saturé (ou non linéaire) . .... ... ... ... .... ... ... 211
2.2.6. Relation entre le paramètre t et les fréquences de coupure du transistor N
en régime linéaire ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 211
2.2.6.1. Facteur de fréquence ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 213
2.2.6.2. Définition de la fréquence de transition . .... ... ... ... .... ... ... 214
2.2.6.3. Montage base commune BC .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... 214
2.3. Impulsions dans les lignes.. ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ..215
2.3.1. Introduction ... .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 215
2.3.1.1. Première hypothèse fondamentale : homogénéité . ... ... .... ... ... 215
2.3.1.2. Deuxième hypothèse fondamentale: conservation du courant . . . . . . . . . 216
2.3.2. Définition du régime en un point ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 216
2.3.3. Paramètres linéiques ou paramètres primaires .. .... ... ... .... ... ... 217
2.3.4. Equations générales . ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 217
2.3.4.1. Cas général ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 217
2.3.4.2. Cas particulier des lignes sans pertes .. .... ... ... ... .... ... ... 219
2.3.5. Utilisation du calcul opérationnel (TL) - Méthode . .... ... ... .... ... ... 222
2.3.5.1. Fonction de propagation . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 222
2.3.5.2. Impédance caractéristique.... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 223
2.3.5.3. Coefficient de réflexion .. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 224
2.3.5.4. Impédance ramenée en un point d'abscisse x.... ... ... .... ... ... 226
2.3.5.5. Relations de base .. ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 228
2.3.5.6. Equations des lignes en régime sinusoïdal .. .... ... ... .... ... ... 228
2.3.6. Méthode des ondes mobiles .. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 231
2.3.6.1. Régime à deux ondes mobiles . ... ... ... .... ... ... .... ... ... 231
2.3.6.2. Coefficient de réflexion .. .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 232
2.3.6.3. Cas d'adaptation de la ligne... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 234
2.3.6.3.1. Adaptation en sortie de ligne .. ... ... .... ... ... .... ... ... 234
2.3.6.3.2. Cas où la ligne est ouverte en sortie ... .... ... ... .... ... ... 234
2.3.6.3.3. Cas où la ligne est en court circuit en sortie .. ... ... .... ... ... 235
2.3.6.3.4. Cas de l'adaptation en entrée de ligne . .... ... ... .... ... ... 235
2.3.6.3.5. Cas du générateur de courant en entrée .... ... ... .... ... ... 235
2.3.6.3.6. Cas du générateur de tension en entrée .... ... ... .... ... ... 236
2.3.6.4. Cas général ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 236
2.3.6.5. Schéma équivalent d'une ligne . ... ... ... .... ... ... .... ... ... 236
2.3.6.6. Exemple d'application N°1. Charge d'une ligne ... ... ... .... ... ... 237
2.3.6.7. Exemple d'application N°2. Charge d'une ligne ... ... ... .... ... ... 239
2.3.6.8. Exemple d'application N°3. Charge d'une ligne ... ... ... .... ... ... 242
2.3.6.9. Exemple d'application N°4. Décharge d'une ligne . ... ... .... ... ... 244
2.3.6.10. Cas de la ligne fermée sur une impédance répartie.
Coefficient de réflexion et coefficient de transmission .... ... ... .... ... ... 247
2.3.6.10.1. Convention de signe.... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 247
2.3.6.10.2. Relations fondamentales. ... ... ... .... ... ... .... ... ... 248
2.3.6.10.3. Coefficients de réflexions au point de jonction des lignes . . . . . . . . 248
2.3.6.10.4. Adaptation par tronçons parallèles ... .... ... ... .... ... ... 250
2.3.7. Méthode du tableau . ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 251
2.3.8. Méthode de Bergeron ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 254
2.3.8.1. Relations de base pour la méthode de l'observateur unique .... ... ... 254
2.3.8.2. Exemples d'applications . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 256
2.3.8.3. Méthodes des observateurs simultanés . .... ... ... ... .... ... ... 260
2.3.8.3.1. Premier exemple d'application . ... ... .... ... ... .... ... ... 261
2.3.8.3.2. Deuxième exemple d'application .. .... ... ... ... .... ... ... 263
2.3.8.3.3. Troisième exemple d'application .. .... ... ... ... .... ... ... 265
2.3.8.4. Introduction d'éléments localisés .. ... ... .... ... ... .... ... ... 266





























12 Electronique pour le traitement du signal, volume 7

2.4. Compléments aux chapitres précédents... ... ... .... ... ... .... ... ... ..267
2.4.1. Phénomènes électriques agissant sur les paramètres L, C, R, G .... ... ... 267
2.4.1.1. Effet de peau électrique . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 268
2.4.1.2. Effet de proximité entre conducteurs voisins. .... ... ... .... ... ... 269
2.4.1.3. Effet de rayonnement ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 269
2.4.1.4. Pertes dans les diélectriques .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... 269
2.4.2. Influence des phénomènes précédents sur les paramètres de propagation . . . 269
2.4.2.1. La résistance linéique R . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 269
2.4.2.2. La self inductance linéique L .. ... ... .... ... ... ... .... ... ... 270
2.4.2.3. Perditance linéique G ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 271
2.4.2.4. Capacité linéique C . ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... 271
Exercices 1 à 24 . .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... 275

Bibliographie générale .. .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ..381

Index.. .... ... ... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ..385



Chapitre 1

Electromagnétisme




Ce chapitre est un rappel qui présente de manière synthétique les principaux résultats
obtenus dans l’étude de l’électromagnétisme et qui sont usuellement utilisés en électronique
au sens large. Il n'a pas la prétention de proposer un cours complet sur ce sujet pour lequel il
existe une littérature abondante et bien faite, particulièrement celle proposée dans la
bibliographie.
Nous nous attacherons essentiellement à donner les outils de base et les remarques
pratiques associées qui nous semblent nécessaires pour mettre en œuvre ces outils
relativement complexes dans le cadre de notre collection.
L'étude de l'électromagnétisme revient généralement à résoudre les équations de
Maxwell, qui le premier a formulé les relations qui relient entre elles les grandeurs
électriques et magnétiques. Cette résolution suit toujours le même schéma, résoudre ces
équations sous forme locale ou globale, en tenant compte des relations constitutives du
milieu, en présence des conditions limites et initiales. Dans le cadre de ce module nous nous
bornerons donc à donner les quelques rappels et généralités qui nous permettrons
d'introduire l'étude des lignes et les applications en électronique que l'on peut en attendre,
particulièrement pour le volume 8 concernant la CEM. Nous ne développerons donc pas les
techniques relativement complexes du calcul des champs ou de couplage à partir de sources
et de structures quelconques.
En particulier seront abordés la définition des équations électrostatiques,
magnétostatiques, électriques et enfin électromagnétiques avec les équations de Maxwell.
Nous analyserons aussi les problèmes de représentation en notations réelles et complexes
des champs pour aborder les notions énergétiques comme le vecteur de Poynting, ainsi que
les notions d'ondes planes, ondes stationnaires et ondes guidées avec les notions de
propagation dans le vide des ondes électromagnétiques. La propagation dans les milieux
matériels ne sera pas abordée. 14 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
[1, 2, 47, 48, 66, 67, 68]
1.1. Généralités
Une synthèse possible de la démarche qui mène aux équations de Maxwell peut être la
suivante. Elle donne le cheminement des différentes lois qui ont été trouvées depuis l'étude
de la constitution de la matière même, jusqu'aux différentes forces mises en jeu par les
phénomènes électromagnétiques.
A ce sujet on peut préciser ici, que la nature ne nous offre que quelques paramètres
physiques « visibles » et « réels », que l'on ne peut ignorer et qui sont en particulier, la
notion de force et de déplacement que l'on peut ressentir sans autre forme d'explication.
D'autres notions beaucoup plus élaborées sont développées avec les outils mathématiques
dont on dispose afin d'effectuer les « mesures » qui nous intéressent à des fins de
compréhension plus fine des phénomènes ou d'applications pratiques. Tous ces outils et
concepts sont parfois très complexes et « a priori » relativement éloigné de notre réalité
physique et ne servent qu'à donner in fine, une explications aux mesures que l'on sait
effectuer. En particulier pour les phénomènes électromagnétiques que l'on se propose
d'étudier. C’est pourquoi on verra que les différentes étapes proposées s'attachent à
développer des relations relatives essentiellement à la notion de force et de déplacement (ou
temps).

1.1.1. Nature de la matière
Cette partie qui nécessiterai un fort développement n'est abordée que de manière
succincte ici, elle concerne particulièrement pour les domaines qui nous intéresse, les
notions générales de :
- Isolant : Notion de bandes et niveaux d'énergie. Constitution de l'atome.
- Conducteur : Notion de bande de conduction, niveau de Fermi, travail d'extraction.
- Semi conducteur : Notion de jonction dopée N ou P.
- Théorie des jonctions : Jonctions métal - métal, métal - semi conducteur, diodes,
transistors (NPN, PNP, MOS, effet de champ, etc.).

1.1.1.1. Charges électriques

Expérimentalement on met en évidence un phénomène d’électrisation qui se caractérise
par l’apparition de forces à distance (sans contact). Ces forces sont dites
« électrostatiques » et elles sont dues à l’existence de ce que l’on appelle des « charges
électriques ». Ces dernières étant immobiles dans cette expérience. De ces expériences on
tire les conclusions suivantes :
1 - Il existe des matériaux dits « isolants » et des matériaux dits « conducteurs ».
Dans les matériaux isolants les charges sont localisées.⎧

Dans les conducteurs elles sont libres de circuler. ⎩
2 - Il existe deux types de charges électriques qui apparaissent toujours simultanément.
Des charges positives « +» (par convention).⎧

Des charges négatives «-» (par convention).⎩
Avec la constatation suivante :
+ et + ⎫ + et - ⎫
→ répulsion → attraction ⎬ ⎬
- et - - et +⎭ ⎭Electromagnétisme 15
3 - Chaque fois qu’il y a création d’une charge positive, il apparaît une charge négative
égale.

Propriétés :
1 - Les charges électriques sont « mesurables » (on peut en définir l’égalité et la somme).
L’unité de charge est le Coulomb [C].
2 - Dans un système isolé (sans contact avec l’extérieur), la somme algébrique des charges
est constante. C’est le principe de conservation de l’électricité (tout système isolé est donc
-20neutre du point de vue électrique, ce que l’on a mesuré avec une précision de 10 ). Soit :
q = cte ∑ i
i
Exemple : Dans un atome :
⎧e = charges électroniques
q + q = 0 ⎨∑ e ∑ n n = nucléaires⎩e n

1.1.1.2. Isolants et conducteurs

L’interprétation de cette propriété des matériaux se fait à partir des hypothèses faites sur
la constitution atomique de la matière.

-1 - Hypothèse de Bohr : + en
Dans ce modèle, l’électron est en orbite circulaire autour du
noyau (pas d’effet quantique possible).

2 - Hypothèse de Sommerfeld :
- + en Dans ce modèle l’électron a une orbite elliptique autour
du noyau (effets quantiques possibles mais pas ondulatoires).

-
e3 - Hypothèse quantique probabiliste :
+
n Ce modèle est régit en particulier par l’équation de
Schrödinger. L’électron a une « probabilité d’existence » très
grande sur une orbite elliptique, mais il peut éventuellement,
avec une probabilité très faible être ailleurs. Il peut donc
avoir ici, un comportement « corpusculaire » mais aussi « ondulatoire ».

4 - Théorie des bandes d’énergies :
On montre qu’il existe une succession de bandes d’énergies permises et interdites aux
électrons. Avec :
- La dernière bande permise est la « bande de conduction » (guide les propriétés
électriques).
- L’avant dernière bande permise est la « bande de valence » (guide les propriétés
chimiques).
- La bande de niveau minimum est la bande de Fermi. Tous les électrons « tombent » à ce
niveau au zéro absolu (plus d’énergie, elle guide le comportement des jonctions métal métal
en particulier).
16 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
D’où le modèle suivant :
W[J] W[J]
[eV] [eV]
conduction occupée conduction vide

interdite interdite

valence remplie valence occupée

ISOLANT CONDUCTEUR
fig.1.1. Modèle conducteur - isolant

nuage électronique

− +⎧ e = n → atome neutre∑ ∑
- ⎪
e −10⎪R ≈ 10 m
+ ⎨n
−31m ≈ 9,107.10 kg⎪ e −
⎪ − −19e ≈ −1,602.10 C⎩
Si nous traçons l’histogramme, fréquence du résultat d’apparition de l’électron, par
+rapport à la distance à n . Il vient les deux cas extrêmes suivants :

fréquencefréquence distance entre noyauxdistance entre noyaux
les pics les pics sont
s’étalent très étroits




+ + n barrière de potentieln

distance des distance des -- e aux noyauxe aux noyaux

- - Les e peuvent appartenir à plusieurs
- +- Les e restent localisés autour des n noyaux
c’est un Isolant c’est un Conducteur
fig.1.2. Autre modèle conducteur - isolant

1.1.2. Rappel des lois de base de l'électricité
→ →1 q q1 2a) - Loi de Coulomb : F = r (1.1)
34 πε r0
Elle exprime la force qui existe entre deux charges électriques q et q immobiles dans le 1 2
vide et éloignée de la distance r (électrostatique).
Cette force est caractérisée par un vecteur « polaire » « radial » (dirigée suivant la ligne
joignant les points).
1 -12ε = Permittivité du vide = # 8,8419 100 936 π10
-1 -2Dimensions → [Q²N L ]
-1Unité → [Fm ] Farad par mètreElectromagnétisme 17
→ → →
→ μ dl ∧ dl ∧ r2 0 1 2b) - Loi d' Ampère : d F = Ι Ι (1.2) 1 1 2 34 π r
Elle exprime la force qui existe entre deux éléments de fils dl et dl parcourus par des 1 2
courants en régime stationnaire Ι et Ι , il n’existe donc pas d’accumulation de charges 1 2
(magnétostatique) et le régime est indépendant du temps.
Cette force est caractérisée par un vecteur « axial » (perpendiculaire au plan formé par
→ →
dl et Ι ).
4 π −7μ = Perméabilité du vide = # 12,57100 710
2 −2Dimensions : → [S NQ ]
Unité : → [H/m] Henry par mètre
8 −1avec : ε . μ .c² = 1 c = vitesse de la lumière ≈ 3.10 ms0 0

d Φ(t)
c) - Loi de Faraday : e = − (1.3)
dt
Elle effectue le lient entre les deux lois précédentes lorsque l'on est en régime variable
(électrocinétique). « e » est la f.e.m. (force électromotrice) qui apparaît dans un circuit

électrique fermé qui baigne dans un champ d’induction magnétique B et qui voit une
→ →
variation de flux de B , ou qui est en mouvement par rapport à B fixe.

1.1.3. Electrostatique
Equilibre des conducteurs.

Il n'y a pas de mouvement ni des charges ni des conducteurs. On définit alors la notion de
champ électrostatique, avec :

a) - Expérience de Coulomb. Loi de Coulomb :
Utilisation d’une « balance » pour mesurer les forces induites par les charges. Avec le
montage suivant :

mesure d’angle
ressort de
rappel

boules chargées

B2 B1
r

fig.1.3. Modèle de l’expérience de Coulomb

On constate alors expérimentalement que la force qui s’exerce entre deux charges
électrique est proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré 18 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
de la distance qui les sépare. On note donc vectoriellement cette force avec la relation
suivante :
→ →q .q1 2F = λ. .u
2r

u = vecteur unitaire sur r.
1 1 19Dans le système MKSA λ = ≈ 9.10 → on retrouve bien ε ≈ =0 9 94 πε 4 π9.10 36 π.100
Les notations peuvent différer suivant les auteurs, avec :
→ →
2F = Force de la charge 1 vers la charge 2, avec aussi r (fonction du sens choisi pour u)12 12

→ q q M M 1 2 1 2Ou encore si les charges sont en M et M → F =
1 2 34 πε()M M0 1 2
Nous adopterons la notation suivante :
→ →1 q .q1 2F = . r
34 πε r0

→r
Avec : = u = vecteur unitaire dans la direction donnée de la force.
r
2NB : Il faut bien noter que malgré cette écriture vectorielle, la force est bien en 1/r . C’est
donc un type de force comme on le verra, qui dérive d’un potentiel harmonique en 1/r.


q F2 q2
→M2 M 2 r F
r

q → →1 q → →1 u = r / r u = r / r
M1 M1
q .q < 0 q .q > 0 1 21 2


b) - Notion de champ électrostatique ou électrique :
On a donc vu précédemment, que des charges électriques dans l’espace, modifient les
propriétés de l’espace où elles se trouvent par les forces qu’elles engendrent entre elles.
Pour caractériser cet état de l’espace, on dit alors qu’il existe un « champ électrique » dans
cet espace, qui est un concept purement mathématique.
Celui ci est alors mis en évidence par la force qu’il engendre sur une charge unité de 1 C
placée au point de l’espace que l’on veut caractériser, provoquée par la charge q’ qui le crée.
→ →
La direction du champ électrique Eest donc la même que celle de la force F qui le
caractérise. Son module est donné par :

F
→ →
Champ E avec : E =
q
On a donc les relations vectorielles suivantes :
→ → → → → →1 q q 1 q1 2 F = r F = qE E = r (1.4)
3 34 πε 4 πεr r0 0Electromagnétisme 19
-1L’unité de champ électrique est le volt par mètre [V/m] = [V.m ]

NB : On devrait à ce stade appeler ce champ, un champ électrostatique mais comme il
s’identifie ensuite au champ électrique d’une onde électromagnétique, il n’y a pas
d’ambiguïté à parler de champ électrique.
On a donc la situation suivante :


→E →q =12 F
E
M2 M2
r r champ électrique en M2
q1 q1
M1 M1

→ →F 1 q1On écrit donc : E = = . r
3q 4 πε r2 0

Dans le cas général, le champ électrique E crée par une charge q à la distance r est
radial (dans l’axe M M ) et il est donné par : 1 2
→ →1 q
E = . r
34 πε r0
NB : Pour deux charges ou plus, on montre que le champ crée en M par ces charges est
donné par la somme vectorielle des champs associés à chacune des charges, soit pour deux
charges :
→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 q q 1 q1 1 k⎜ ⎟ ⎜ ⎟E = E + E = r + r E = r 1 2 1 2 k3 3 ∑ 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟4 πε r r 4 πε r0 ⎝ 1 2 ⎠ 0 ki ⎝ k ⎠

Les champs électriques s’ajoutent vectoriellement.

C’est une difficulté pour le calculer à partir d’une répartition de charges distinctes ou de
densité de charge. Cette propriété reste valable si l’on est en présence de densité de charge
linéiques, surfaciques et volumiques. Il faut alors intégrer à partir de l’élément différentiel du
point M correspondant.
Ainsi pour une densité de charge volumique ρ(P) non nulle sur un volume (V), le champ
électrique au point d’observation M sera donné par l’intégrale triple suivante :

→ 1 ρ(P).PM
E(M) = .d τ (1.5) P∫∫∫ 34 πε0 PM(V)

Le fait de noter l’élément différentiel de volume d τ est voulu pour insister que ce dernier P
doit être calculé au niveau du point P où existent les densités de charges.

Exemple du dipôle électrique :
Un dipôle (ou doublet) électrique est formé de deux charges égales et de signe opposé
distantes de L. Pour simplifier l’étude dans un premier temps, nous allons étudier le champ
crée par le doublet sur son axe yy’.
20 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
Pa r symétrie on peut donc écrire :

E→ → A1 q y’E = E = θA B 2 →4 πε r0 E
M
→ →
→Or : E = 2E .cos θ (somme vectorielle). A x EB
r
→ 1 q
Soit ici : E = E = .cos θx 24 πε r0 θ
a aA B
a 1 2aqxx’
Mais : cos θ = → E = +q -q x 3 y r 4 πε r0
fig.1.4. Doublet électrique
1 L.q
comme : 2a = L → E =x 34 πε r0
La quantité L.q est intrinsèque au doublet électrique et le caractérise complètement. On
posera donc en général et en notation vectorielle que :
→ → →
M = L.q.u u = vecteur unitaire de l'axe qui porte les charges.

Le vecteur M est appelé « moment dipolaire du doublet électrique » . C’est un vecteur
en valeur absolue égal au produit de la charge par la distance et en direction, porté par l’axe
qui joint les deux charges. Il joue un rôle important dans l’étude des champs dans la matière.
On parle alors usuellement de moment dipolaire électrique et de dipôle électrique.
Il est donc modélisé par le schéma suivant :

M
q -q
fig.1.5. Moment électrique

La relation donnant le champ peut alors s’exprimer en fonction de M , avec :

→ 1 M
E = (1.6)
34 πε r0

c) - Notion de potentiel électrique. Circulation ou travail de E :
Dans un premier temps nous allons rappeler ce qu’est le travail d’un vecteur.
→Nous identifierons l’élément de courbe ds avec la →
FFtangente au point considéré. Au déplacement θ
élémentaire ds correspond alors le travail élémentaire :

→ → ds
dW = F.ds = F.ds.cos θ
P P1 2

C’est donc un scalaire donné par un produit scalaire. Il correspond à un produit d’un vecteur
→ →
par un déplacement. Dans le cas où le vecteur F est colinéaire avec ds, on retrouve la
relation :
dW = F.ds
Electromagnétisme 21
Si l’on se déplace de P à P , le travail du vecteur est alors donné par sa circulation le 1 2
long de la courbe, soit l’intégrale curviligne suivante :
→ →
W = F.ds = F.ds.cos θ ∫ ∫
(P P ) (P P )1 2 1 2
Si l’on prend alors une charge q dans l’espace et la courbe (P P ). Il existe donc un 1 2
→ →
champ électrique E crée par q. Si nous calculons la circulation (ou le travail) de E le long de
cette courbe il vient :
P2Pour le déplacement élémentaire MM’ = ds, on retrouve :
→ → q r+dr dW = E.ds = E.ds.cos θ M’
dr θ
Or dans le déplacement ds, l’angle θ varie peu et l’on a :
→r ds Edr ≈ ds.cos θ → dW = E.dr
M
θ → P1
→De même le champ E varie peu et l’on peut écrire :
E
1 q 1 q
E = donc : dW = .dr
2 24 πε 4 πεr r0 0
P2 ⎛ ⎞q dr q ⎡ 1 ⎤ q 1 1⎜ ⎟W = = − → W = −∫ 2 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟4 πε r 4 πε r 4 πε r r⎣ ⎦0 0 P 0 ⎝ 1 2 ⎠(PP ) 11 2
On remarque que W ne dépend donc que des points de départ et d’arrivée à travers r et 1
r. Le fait de ne dépendre que des états initiaux et finaux, caractérise l’aspect 2

« conservatif » de la circulation du champ électrique. Mathématiquement on doit que E
dérive d’une fonction de point « potentiel » associée aux points P et P et on écrit alors : 1 2
W = V − V 1 2
V = fonction potentiel au point considéré quand les charges sont immobiles. Son unité est
le Volt [V].
Le potentiel est une fonction scalaire.
1 q
On écrit alors cette fonction sous la forme suivante : V = + V 04 πε r0
NB : Pour simplifier les expressions on convient de prendre V = 0, ce qui revient à dire qu’à 0
l’infini le potentiel est nul.
Dans le cas général le potentiel en un point quelconque M, sera donné par le travail

fournit par le champ E pour emmener une charge q de l’infini en ce point M. L’expression du
potentiel électrique en un point M de l’espace dû à une charge immobile q est alors donné
par :
1 q
V(M) =
4 πε r0
On a vu que les potentiels s’ajoutent algébriquement, on écrit donc pour k charges.
1 qkV(M) = . ∑4 πε r0 k k
Ceci reste vrai pour des densités de charges linéiques, surfaciques et volumiques. Il
faudra donc intégrer les expressions sur les éléments différentiels correspondants. 22 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
Comme pour le champ électrique on écrit alors pour une densité volumique de charges
1 ρ(P)
par exemple : V(M) = . d τ (1.7) P∫∫∫4 πε PM0 (V)
NB : Cette propriété est fondamentale car elle permet de calculer facilement les potentiels et
par là comme on le verra plus loin, remonter à l’expression des champs à travers les

propriétés conservatives de E que l’on va expliciter à partir des remarques suivantes :


1 - La circulation du champ E étant conservative, sur une courbe fermée W = 0 et donc
V = 0.
MM 2 1
( Γ)M = M , donc : V = V – V comme V = V → V = 0 1 2 1 2 1 2

2 - On exprime vectoriellement le fait que le champ électrique
« dérive » d’un potentiel en utilisant un opérateur vectoriel que
L’on appelle gradient et qui s’applique aux fonction scalaires, avec :
→ →
E = −grad(V)
On dit « gradient de V » et le signe - est choisi pour conserver un signe positif au champ

et montrer que le champ E est toujours dirigé vers les potentiels négatifs. Le gradient est
donc un opérateur vectoriel qui transforme les fonctions scalaires en fonctions vectorielles. Il
exprime le taux de variation d’une fonction scalaire dans les trois axes orthonormés
(exemple du gradient de température).
Suivant un axe x’x on a plus simplement :
→M V(M)P E x x’

r
M→ →dV(M)
E = − . r devient : dV(M) = −E.dr V(M) = − E.dr ∫dr

Dans le cas général, on écrit mathématiquement pour le gradient et en repère euclidien
orthonormé.
→ → → →∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z)
grad(V) = . i + . j + .k
∂x ∂y ∂z
→ → →
Avec les vecteurs unitaires i , j,k du repère orthonormé (0, x, y, z). Ainsi suivant une
direction donnée on retrouve la dérivée suivant cette direction.
En notation condensées il vient :
→ → →q 1
V = E = -gradV = − ∇ V (1.8)
4 πε r0
Le champ électrique dérive d’un potentiel, on peut donc écrire :
→ → → →
rot.E = rot( −gradV) = 0 en effet une propriété particulière du rotationnel est que :

→ →
rot( −gradf) = 0 ∀ la fonction scalaire f.
→ → → →
Il faut alors que : rot.E = 0 ∇ ∧ E = 0 (1.9) Electromagnétisme 23

Et alors, la circulation de E le long d'un contour fermé est alors nulle :
→ →
E.dl = 0 (1.10) ∫C
NB : Voir Annexe 1, éléments d'analyse vectorielle.
→ → → →∂ ∂ ∂
Avec : « Vecteur Nabla » ∇ = i + j + k (1.11)
∂x ∂y ∂z
2 2 2∂ ∂ ∂2 « Scalaire Delta » ∇ = Δ = + + (1.12)
2 2 2∂x ∂y ∂z

NB : On voit apparaître ici l’intérêt fondamental des opérateurs vectoriels et fonctionnels

introduits en électromagnétisme. En effet le calcul direct de E (qui est vectoriel) étant plus

difficile, on passe par le calcul de V qui est scalaire et ensuite avec (1.9) on peut calculer E.
L’approche inverse est aussi quelquefois fructueuse.

Exemple : Reprenons l’exemple du dipôle électrique précédent.
1 - Les potentiels s’ajoutent algébriquement donc :
dV dVA B(axe AM) q = +q → − = E (axe BM) q = −q → − = EA B B B
dr dr
r r1 2q dr q − q dr + q
V = − . = − et V = − . =A B∫ 2 ∫ 24 πε r 4 πε .r 4 πε r 4 πε .r0 1 0 1 0 2 0 2∞ ∞
Comme r = r = r → V = V + V = 01 2 m A B
Dans ce cas particulier le potentiel est nul alors que le champ ne l’est pas. Il suffit pour
cela que le champ soit perpendiculaire au trajet d’intégration où l’on calcule le potentiel.

2 - En effet on aurait pu le voir directement en calculant la circulation du champ E le long de
l’axe yy’ du dipôle. Celle est bien nulle ∀ M appartenant à yy’ car le champ est toujours
→ →
perpendiculaire à yy’. Donc E.ds = E.ds.cos θ et comme θ = π/2 le cosinus est toujours nul.
Remarque sur les unités :
→ → dV
Comme E = −gradV = − avec : [E] = [V /m] et [dr] = m → [V] = [Volt]
dr
Dans la théorie des réseaux, la tension entre deux points est donnée par la différence de
potentiel entre les deux points. Le choix du signe - dans l’expression du gradient provient de
ce que le champ électrique est dirigé d’une région de potentiel positif vers une région de
potentiel négatif ou décroissant.

→ r
→ → → (+q)dV E (-q) →E = −gradV = − r Edr
V (+V) (-V)→ dr
ΔV V-dV

24 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
NB : Sur le sens conventionnel choisi pour le courant dans l’étude des réseaux électriques,
on note que le sens du courant choisi dans un « récepteur » (dans le schéma la résistance

- R) est celui du champ E et donc l’inverse de la e
circulation des électrons qui remontent le champ
→R
Epuisque la force qui les déplace est de sens opposé

→ → e
iavec : F = −q.E . Attention car le « générateur » fournit – +
- - + - +V V elui, de l’énergie aux électrons et ceci de V vers V
→ →
Egrâce à son champ électromoteur interne E dirigé de ii
- +V vers V . Donc attention suivant que l’on se place côté récepteur
ou côté générateur.

d) - Théorème de Gauss et équation de poisson dans un espace avec charge :

Soit une surface (S) fermée, orientée vers l’extérieur. Le flux Φ du champ E crée par une
charge ponctuelle «q» à travers la surface fermée S vaut :
⎧ Φ = 0 si q est à l'extèrieur de S
⎪ → → q ⎨ Φ = E.dS = si q est à l'intérieur de S∫⎪ ε0(S)⎩
→ ρ
Soit : divE = (1.13)
ε0

C'est le théorème de Gauss sous forme locale, car il relie deux grandeurs prises au
même point de l'espace. Au contraire des relations intégrales qui font intervenir les valeurs
du champ en tout point de l'espace concerné par l'intégrale.


Le flux de E n'est plus conservatif lorsqu'il y a des charges.

Le flux de E n'est donc pas toujours conservatif.

On en déduit de par la définition et les propriétés du Laplacien, l'équation de poisson.

→ ρ − ρ ρ2 divE = ∇ V = ΔV = ΔV + = 0 (1.14)
ε ε ε0 0 0

e) - Equation de Poisson et de Laplace dans un espace sans charge :

→ → →
2 divE = 0 ∇ ⋅E = - ∇ V = 0 (1.15)

Le flux de E est donc conservatif lorsqu'il n'y a pas de charge

2D'où l'équation de Laplace : ∇ V = ΔV = 0 (1.16)
1
NB : On dit alors que V est harmonique (fonctions en du type forces centrales, angle
r
solide, etc. et qui conduisent à des solutions d'équations différentielles totales exactes). Electromagnétisme 25
On peut le démontrer pour une charge unique q située au point 0 par exemple. Le flux du

champ électrique E qu’elle crée à travers une sphère de rayon r et de centre 0 est égal à :
→→ →→qq
Par symétrie sphérique E== n r n= normale extérieure à (S)
234.πεr 4 πε.r
00
→→ → →qq q q2Φ= E.dS = n.dS = dS = .4πr =∫∫ 22∫∫ ∫∫ 24.πεr 4.πεr 4.πεr ε(S) 00(S) (S) 0 0
Ce flux est donc indépendant du rayon r choisi pour la sphère.

Supposons maintenant que le champ E est crée par une distribution continue de charges
ρ(M). On aura donc si (V) est le volume intérieur à (S) :
→→ 1
Φ= E.dS = ρ(M).dτ∫∫ ∫∫∫ Mε(S) 0 (V)
A l'aide du théorème de la divergence ou d'Ostrogradski, on peut alors écrire :
→ ρ(M)
Φ=divE.dτ = .dτ∫∫∫ MM ∫∫∫ Mε(V) (V) 0
→ ρ
(V) et dτ= étant identiques, on retrouve bien l'égalité : div EM M ε
0

f) - Notion de Diélectrique :

En présence d'un champ électrique E et d'un milieu (matériau), on définit alors les
notions suivantes :
→ → → → →
- Déplacement électrique : D = ε .E + P si isotrope P = κ.E (1.17) 0
→ → → → → → →⎛ ⎞κ
D = ( ε + κ).E D = ε ⎜1 + ⎟.E D = ε ε .E = ε.E (1.18) 0 0 0 r⎜ ⎟ε⎝ 0 ⎠
Première « relation constitutive » (liée à la matière).


- Notion de polarisation, P est le vecteur polarisation (orientation de dipôles électriques).

- Notion de Capacité d'un conducteur isolé. Condensateurs : Q = CV (1.19)

κ = susceptibilité diélectrique (homogène à ε )0
ε = cons tan te diélectrique du milieu (homogène à ε )0
ε
ε = = cons tan te diélectrique relative (sans dimension)r ε0
9ex (de 60 à 3.10 Hz) : Polythène : ε = 2,26, Téflon : ε = 2,1 ,Stéatite : ε = 6,25r1 r2 r3
−910 −12Soit : ε = .6,25 = 55.10 [F/m]3 36 π
C = capacité en Farad [F]

26 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
g) - Energie potentielle d'une charge soumise au champ d'autres charges :
Le travail est celui nécessaire pour amener la charge q de l'infini en M, lorsqu’elle est
soumise aux forces des autres charges.
Si l'opération se fait en restant en régime électrostatique (soit trés lentement). La charge q
→ →
en chaque point P de sa trajectoire doit combattre la force F = q.E engendrée par le champP
→ →
E crée par les autres charges en P. Soit avec une force - F. Le travail de cette force est alors :P
M M M→ → → → → →
W = − F.dM = − q.E.dM = −q E.dM = −q.V par définition de l'intégrale. ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
Donc :
⎧V(r → ∞) = 0

Au point M : W = q [V(M) − V( ∞)] = qV(M)⎨
⎪ E = qV (1.20)p⎩

- L'énergie potentielle d'un ensemble de n charges ponctuelles est alors donné par :
On trouve alors du fait de l’interaction entre paires de particules, un coefficient 1/2, avec :
n nq q1 1i j E = = q V(M ) (1.21) p∑∑ i i2 4 πε r 20 iji≠=j i 1

h) - Extension à une distribution de charge continue :
Dans le cas où les charges sont continûment réparties dans un volume (V) avec une
densité ρ(M). L’élément de volume d τ entourant le point M où règne le potentiel V(M), M
contient donc une charge ρ(M). d τ alors assimilable à une charge ponctuelle. Et cet M
élément de volume contribue à l’énergie potentielle par l’élément différentiel :
1
dE=ρ{}(M).dτ .V(M)pm2
Au total l'énergie potentielle électrostatique de l'ensemble de la distribution de charge est

donnée par :
1
E.=ρV.dτpM∫∫∫2 (V)

i) - Densité d'énergie électrostatique :
→ → → → → →ρ ε0divE = E = V.divE.d τComme donc Or : div(V.E) = V.divE + E.grad(V) p m∫∫∫ε 20 (V)
→ → →ε ε0 0Soit : E = div(V.E).d τ − E.( −E).d τ p m M∫∫∫ ∫∫∫2 2
(V) (V)
Si nous englobons le domaine d’intégration (V) dans une sphère (Sp) de rayon R et que
nous annulons la densité de charge dans le volume compris entre celui de la sphère et (V),
on peut changer les bornes d’intégration avec :
2→εε .E00Ed=τiv(V.E).d+ .dτ pm M∫∫∫ ∫∫∫22(Sp) (Sp)Electromagnétisme 27
Etendue à tout l’espace, il vient pour la première intégrale :
→ε0limR → ∞ div(V.E).d τ avec le théorème de la divergence devient : m∫∫∫2
(Sp)
→ε 2 30limR → ∞ (V.E).d τ comme V varie en 1/R et E en 1/R , le total varie en 1/R .m∫∫2
(Sp)
2Le flux à travers la sphère de rayon R donne un coefficient multiplicatif en R . Donc au total

l'intégrale tend vers 0 comme 1/R quand R tend vers l'infini. Il reste donc l'intégrale :
2ε .E0E = .d τp M∫∫∫ 2
(Sp)
2dE ε .Ep 0On peut donc écrire : = (1.22)
d τ 2
NB : On constate que la densité d’énergie électrostatique dépend essentiellement du champ
électrique et non pas de la densité de charge qui au lieu de quoi.

Résumé : En résumé on peut donner les relations générales de base suivantes en
électrostatique.

→ →⎧
→ → → → →E.dl = 0 ⎧ ⎧⎪ ∫ rotE = 0 E = −gradV⎪ ⎪⎪( Γ) fermée
Loi de Coulomb ou ⎨ ⎨ → ⎨ρ ρ→ → ΔV + = 0⎪ ⎪divE = ⎪E.dS∫∫ ⎪ ε ε⎪ ⎩ 0 ⎩ 0
(S) fermée⎩


1.1.4. Electrocinétique
Rupture d'équilibre des conducteurs. Notion de courant électrique.

Il y a alors des mouvements de charges, avec les deux cas de régime stationnaire et de
régime variable. Dans le régime stationnaire auquel on s’intéresse maintenant, il n’y a pas
d’accumulation de charge et le « régime est indépendant du temps ». Les charges ont
alors une vitesse puisqu’il existe un courant et il existe des densités de volume.

1.1.4.1. Notion de capacité

Soit un corps isolé dans l’espace et possédant une charge q en équilibre électrostatique. 1

On sait alors que le champ E à l’intérieur du corps supposé +q(S) 1
parfaitement conducteur est nul en première hypothèse
→et que la charge +q se répartit donc sur la surface (S) sous 1 E = 0
la forme d’une densité de charge de surface σ . On a donc 1 P
σ1en un point P de la surface la relation : dq = σ .ds et donc pour q : 11 dq= σ .ds 1
1 σ .ds1q = σ .ds donc : V = = cte , qui est le potentiel pris par le conducteur avec 1 1 1∫∫ ∫∫4 πε r0()S) (S
la charge q . 128 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
Pour un deuxième état d’équilibre tel que l’on ait : σ = σ + σ , il vient d’après les P 1 2
propriétés de linéarité des intégrales :
q =()σ + σ .ds = σ .ds + σ .ds = q + qP 1 2 1 2 1 2∫∫ ∫∫ ∫∫
(S) (S) (S)

1 ()σ + σ .ds
1 2De même pour les potentiels : V = = V + V = cteP 1 2∫∫4 πε r0 (S)
C’est donc un nouvel état d’équilibre. Choisissons donc deux états d’équilibre identiques
par exemple, ( σ , q , V ) et ( σ , q , V ). Leur somme donne donc l’état d’équilibre (2 σ , 2q , 1 1 1 1 1 1 1 1
2V ). Ainsi le rapport q /V pour un état d’équilibre de départ, est égal à 2q /2V = q /V pour 1 1 1 1 1 1 1
l’état d’équilibre d’arrivée. On pose alors pour un conducteur chargé :
q
= C → q = C.V
V
Le paramètre C intrinsèque au corps et qui ne dépend que de la proportionnalité
entre q et V s’appelle la capacité du conducteur.
Elle s’exprime en Farad [F]. 1 Farad = capacité qui emmagasine 1 C sous une d.d.p de 1V.
Exemple : Capacité d’une sphère de rayon r chargée par q. On sait alors que cette sphère
se comporte comme si la charge q était située au centre de la sphère (ou utilisation du
théorème de Gauss comme on l’a déjà vu). On a donc :

E1 q 1 q
PV(r) = et pour r = R soit sur (S) V(R) =
4 πε r 4 πε R0 0 q
r
(S)donc :
R
V 1
= → C = 4 πε R 0
q 4 πε0
Soit pour la capacité de la terre par exemple :
66,3.10 −3C = ≈ 0,7.10 F D'où la difficulté d'obtenir de fortes capacités.T 99.10

1.1.4.2. Rupture de l’équilibre électrostatique

En partant des hypothèses faites précédemment sur les conducteurs en équilibre, on
considère les boules (1) et (2) portées aux potentiels V et V . On sait alors que l’on peut 1 2
remplacer les coefficients d’influence des boules entre elles et par rapport à la terre, par des
capacités réelles.

Γ12 q2q1
(2)V (1) V 1 2
jΓ1 Γ2 i
V=0V=0

fig.1.6. Modèle de rupture d’équilibre électrostatique
Posons pour ces capacités, Γ , Γ , Γ avec V > V par exemple. On a alors pour la charge 1 2 12
q portée par (1), de q = CV : 1
q =Γ V +Γ (V − V ) 111 121 2
i + j charge de charge de
l'armature i l'armature jElectromagnétisme 29
De même : q =Γ V + Γ (V − V ) 222 12 2 1
On est donc dans une position « d’équilibre stable ».
Nous allons rompre cet équilibre en mettant un fil conducteur entre (1) et (2). Le système
va tendre vers un « nouvel état d’équilibre stable », avec ici V = V = V. En effet si V ≠ V il 1 2 1 2
existerait un champ électrique et donc un déplacement de charges et donc pas d’équilibre).
D’où le nouveau système en équilibre stable à la fin de la période transitoire.

Γ q’12q’ 21
(2) VV (1)
jΓ1 Γ2 i
V=0V=0

On peut donc écrire :

q' = Γ V et q' = Γ V (V − V ) = 01 1 2 2 1 2
Il existe donc une relation entre les deux états d’équilibre, puisque il y a conservation de
-la quantité de charge ou des e . Donc :
(après) q' +q' = (avant) q + q1 2 1 2
Soit : V( Γ + Γ ) = Γ V + Γ V + Γ (V − V ) + Γ (V − V ) 1 2 1 1 2 2 12 1 2 12 2 1
Γ V + Γ V
1 1 2 2Et : V =
Γ + Γ1 2
Qui est une sorte de potentiel moyen pondéré entre V et V (à rapprocher de la notion de 1 2
barycentre en mécanique).
De plus on a de la relation : V( Γ + Γ ) = Γ V + Γ V 1 2 1 1 2 2
⎛ ⎞Γ Γ2 2⎜ ⎟1 - Γ V = V( Γ + Γ ) − Γ V → V = 1 + V − V mais par hypôthèse V > V1 1 1 2 2 2 1 2 1 2⎜ ⎟Γ Γ1 1⎝ ⎠
⎛ Γ ⎞ Γ ⎛ Γ ⎞ ⎛ Γ ⎞2 2 2 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Donc : 1 + V − V > V → 1 + V > 1 + V → V > V2 2 2 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ Γ Γ Γ⎝ 1 ⎠ 1 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎞Γ Γ1 12 - Γ V = V( Γ + Γ ) − Γ V → V = ⎜1 + ⎟V − V2 2 1 2 1 1 2 1⎜ ⎟Γ Γ⎝ 2 ⎠ 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ Γ Γ1 1 1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Donc : 1 + V − V < V → 1 + V < 1 + V → V < V 1 1 1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ Γ Γ Γ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Et donc : V < V < V 2 1
La tension résultante V est donc comprise entre les deux tensions précédentes. De même
on démontrerai que q > q’ et q < q’ . On constate donc que pendant le régime transitoire 1 1 2 2
entre les deux états stables, il est passé des charges de (2) vers (1). On dit qu’il a circulé un
courant électrique transitoire (déplacement d’électrons).


Or comme V > V , le champ E qui a permis ce déplacement de charge est dirigé de V 1 2 1
-vers V (potentiel décroissants gradient négatif), mais les e sont passés de (2) vers (1) 2
→ → →
puisque F = q.E = −e.E ici. Avec q = -e charge négative de l’électron. 30 Electronique pour le traitement du signal, volume 7

ELes électrons se déplacent en remontant le champ électrique.


Or le sens conventionnel choisit pour le courant est celui du champ E, soit de V vers V , 1 2
-sens des potentiels décroissants. C’est donc celui des charges positives et pas celui des e .
- Le sens conventionnel du courant électrique est en fait le contraire du courant des e .

Remarques principales :

1 - Si l’on avait voulu dans l’exemple précédent, maintenir
→ →
un courant permanent entre (1) et (2), il aurait fallu rajouter E, i
un système appelé « générateur », capable de maintenir
V > V avec V – V > 0 = cte. 1 2 1 2 -q1 qe 2
V2 Ceci ne peut se faire que si le générateur, par un V (1)
(2)1
eartifice quelconque crée un « champ électromoteur »

+ –interne Ei tel que la force qu’il exerce sur les électrons
les fasse passer de V vers V (à l’intérieur du générateur)
→-pour alimenter (2) en e . Ei

Donc dans le générateur Ei est dirigé de V vers V. Attention donc aux hypothèses que
l’on fait sur le sens du champ électrique suivant que l’on se trouve dans un « générateur » ou
dans un « récepteur ».

2 - Les effets constatés sur le courant électriques sont divers, mais principalement :
- Les conducteurs s’échauffent (effets calorifique).
- Les ions se dissocient dans les solutions électrolytiques (effets électrochimiques).
- Ils créent un champ magnétique par déplacement d’une aiguille aimantée (effet
électromagnétiques).

1.1.4.3. Effet Joule dans les conducteurs

1.1.4.3.1. Conductibilité électronique

a) - Densité de courant
On définitt dans une portion de conducteur sans accumulation (les chargent qui entrent
dans S sortent par S ), un « débit » de charges que l’on appelle « intensité électrique ». 1 2
On note alors pour un courant continu moyen :
Q S12 Ι = Ι = t t
Ι
-1 Ι s’exprime en Ampères [ Ι] donc : 1A = 1.C.s
S1
Dans le cas où l’on n’est plus en régime stationnaire
et où il y a des variations d’intensité, on définitt l’intensité
fig.1.7. Tube de courant instantanée par l’élément différentiel suivant :
dq(t)
i(t) =
dt

Avant l’application du champ E , les électrons possèdent un mouvement aléatoire dû à la
température qui présente une allure désordonnée et qui fait que le champ Electromagnétisme 31

« macroscopique » perçu est nul à l’intérieur du conducteur. Après l’application du champ E
-(à l’aide d’une d.d.p par exemple), les e prennent une direction privilégiée due à la force
→ →
induite par le champ égale à F = −e.Eet ont tendance à remonter le champ. Il y a donc
création d’un courant élémentaire, et dans chaque tube de courant ds on peut alors parler de
« densité de courant », avec :

→→ di
ds J =

→ d τds

Jn Ainsi pour un flot de particules de même charge q,
dS →→ →
v .dtdimême vitesse v . Dans un élément de volume d τ, on en
compte : dN = n. d τ
où n est ici généralement fonction de l’espace et du temps
A ces charges correspond donc une « densité volumique de charge » que l’on peut
exprimer sous la forme suivante :
ρ = n.q
Et enfin un champ de vecteur par la densité de courant :
→ → →
J = ρ.v = n.q.v
-2La densité de courant s’exprime donc en [A.m ]

Le courant total est alors donné par : Ι = J.S ( J perpendiculaire à S) total

Et dans le cas général où le vecteur J dépend de ds il vient :
→ → → → →
di = j(s).ds → Ι = j(s).ds ∫∫
(S)
En effet si l’on s’intéresse à la charge qui traverse l’élément de surface ds dans l’élément
2de temps dt et que l’on note donc d q, on a :
→ → → → → →
2 2d τ = ds.(v .dt) d q = ρ.d τ = ρ.ds.(v .dt) avec : ρ = n.q d q = n.q.ds.v .dt

→ →
2Donc : d q = J.ds.dt
→ → → →dq
Et : dq = J.ds.dt → Ι = = J.ds (1.23) ∫∫ ∫∫dt
(S) (S)

b) - Relation de continuité
Il exprime le principe de la conservation de la charge électrique (il ne peut y avoir ni
disparition ni apparition spontanée de charge). Une particule ne disparaît jamais seule mais
simultanément avec une particule de charge opposée de manière à ce que le système reste
neutre.
Soit alors une surface fermée S qui limite le volume (V) où il existe des charges et ρ la
densité volumique de charge. La charge totale contenue dans S à l’instant t vaut alors :
q(t) = ρ(M,t).d τ M∫∫∫
(V)
ρ variant avec le temps il en est de même de q. 32 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
A l’instant t + dt cette charge devient : q(t + dt)=+q(t) dq= ρ(M,t+ dt).dτ M∫∫∫
(V)
Soit au premier ordre : dq = ρ+(M,t dt).dτ− ρ(M,t).dτ= ρ+(M,t dt)−ρ(M,t) .dτ{ }MM M∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫
(V) (V) (V)
∂ρ(M,t) dq ∂ρ
dq=τ .dt.d→= .dτ∀M∫∫∫ M ∫∫∫∂∂tdt t(V) (V)
Le principe de conservation de la charge dit que les charges q qui pénètrent dans (S)
doivent être égales à celles q’ qui en sortent, soit dq = -dq’. Donc en fonction de la densité
de courant et (1.18) il vient :
→ → → →dq' ∂ ρ
= J.ds → .d τ = − J.ds∫∫ ∫∫∫ ∫∫dt ∂t
(S) (V) (S)
→ → →
mais le théorème d'Ostrogradski donne : J.ds = div J.d τ ∫∫ ∫∫∫
(S) (V)
→ →∂ ρ ∂ ρ⎧ ⎫
Soit : .d τ = − div J.d τ → + div J .d τ = 0⎨ ⎬∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∂t ∂t⎩ ⎭
(V) (V) (V)
→ ∂ ρ(t)
L’intégrale ne peut s’annuler que si son intégrande est nul, soit : div J + = 0
∂t
C’est cette relation qui porte le nom « d’équation de continuité ».
NB : On retrouve bien le fait que lorsque le régime est stationnaire, soit lorsque ρ est

indépendant du temps, alors div J = 0 .
On peut donc dire :

→ → →∂ρ ∂ρ ∂ρ
- Cas non stationnaire : div J + = ∇ J + = 0 ou div J = − (1.24)
∂t ∂t ∂t
Le flux des courants dépendant du temps n'est plus conservatif, c'est l'équation
de continuité et la loi de conservation de la charge.

→ → →
- Cas stationnaire ( ρ = Cte) : J = σ.E et div J = 0 (1.25)

Le flux de courant indépendant du temps (stationnaire) est conservatif.

c) - Conductivité
- En plus du mouvement Brownien, ce mouvement d’ensemble des e prend donc une
direction privilégiée et du fait des échanges d’énergie avec les ions cristallins du conducteur,

ils atteignent une vitesse moyenne qui est proportionnelle au champ électrique appliqué E.
→ →
On écrit alors : v = μ.E
Avec μ = mobilité de l’électron qui dépend du matériau. → →
E, i d τ

S Soit alors une surface S perpendiculaire à E dans un
- → →−milieu où le nombre moyen d’e par unité de volume est n. e dl = v .dt
Pendant le temps dt, les électrons ayant traversés S
sont contenus dans le cylindre de volume S.dl = S.v.dt. Electromagnétisme 33
La charge correspondante est alors donnée par :
dq = n.e.(S.v.dt)
dq
Et donc : i== n.e.S.v= n.e.S.μ.E
dt
i
Ainsi : J== n.e.μ.E
S
→→
Et en notations vectorielles : J=μn.e. .E
→→
Que l'on écrit : J =σ.E (1.26)

σ est appelée la conductivité du matériau.
Avec :
σ = n.e. μ (1.27)
On a pris l’habitude de raisonner sur l’inverse de la conductivité que l’on appelle
« résistivité », avec :
1 1
ρ = = (1.28)
σ n.e. μ
2ρ s’exprime en [ Ωm /m] = [ Ω.m]
-1 -1σ s’exprime en [[ Ω .m ] où en Siemens [S]

1.1.4.3.2. Notion de résistance et loi d'Ohm
(V-dV) SB
P’ Soit un tube de courant limité par deux surfaces dl(V)
→ Péquipotentielles S et S . En P on a le champ E, si → →A B
E, j→ SA
ds est une section droite du tube et J la densité de ds’
courant, on sait que : ds
→ → → →
J = σ.E → J = σ.E (car J et E colinéaires)

di 1 di di
Donc : = J = σ.E et E = . = ρ.
ds σ ds ds

Soit alors le plan P’ à dl de P. La circulation de E de P à P’ devient ici :
→ → 1 di
-dV = E.dl (E et dl colinéaires) . Soit : V – V = -E.dl → E.dl = V – V = .dl P’ P P P’
σ ds
En intégrant suivant dl entre les deux extrémités du tube de courant, il vient :
BB1di 1dl
V−=V .dl= di car di ne dépend pas de dlAB∫∫σσds dsAA
B1dl
On pose alors : r== résis tance de la portion de tube ds ∫ σ ds
A
1
est alors la conductance de cette portion de tube.
r34 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
Le courant total Ι est alors obtenu en intégrant di sur la surface S.
VV−− V V
AB ABΙ= diavec : di = → Ι=∫∫ ∫∫rr
(S) (S)
1
Ι=VV− .()AB ∫∫ r(S)
R=Ωrésistance qui s'exprime en Ohm [ ]11 ⎧
Si l'on pose : = ⎨∫∫Rr 1/R==G conduc tance qui s'exprime en mho ou Siemens [S](S) ⎩
VV−()ABOn retrouve alors l'expression de la loi d'ohm classique avec : Ι=→ V− V= R.Ι
ABR
D'où les relations générales de calculs :
B11 1dl
== et r . (1.29)∫∫ ∫Rr σds(S) A

NB : Pour tout calcul de R avec la loi d’Ohm nous considérons un tube de résistance de
→ → →
surface ds et de longueur dl avec dl colinéaire avec i et E. L’élément de surface ds est
→ →
donc normal aux lignes de courant i et donc aussi à J . Dans le cas général il y a donc deux
éléments différentiels, r est obtenue en intégrant suivant dl et ensuite R est obtenue en
intégrant doublement suivant ds. On essaiera au maximum d’utiliser les éléments de
symétrie.

Exemple : Résistance d’un conducteur cylindrique de section constante S.
On a donc :
VB B
1 dl
r = or comme S = cte suivant dl, le terme L∫ σ ds
A
B
V → →1 L A
différentiel ds se réduit à S et r = dl = E, j∫σS σ.S
A (S)
1 1 σ.S σ.S 1 L L
Donc : = = = R = . = ρ.∫∫ ∫∫R r L L σ S S
(S) (S)


En effet, ici il n’y a pas lieu d’intégrer suivant ds puisqu’il n’y a pas d’élément différentiel
de surface. Ici R = r et la résistance r du tube de courant, s’identifie à la résistance du
cylindre puisque le tube de courant est identique au cylindre dont on cherche la résistance.
On retrouve bien la relation connue de la résistance d’un fil.

Dépendance de la température :
A noter que la résistivité d’un matériau conducteur dépend de la température qui intervient
au niveau de l’agitation thermique des atomes et donc de la vitesse des électrons. Avec en
première approximation :
ρ(T) = ρ (1 + αT) ρ = résistivité à T = 0 °C et ρ(T) = résistivité à T °C0 0
1
α ≈ pour le cuivre par exemple.
250
2 -1On a vu que la résistivité ρ s’exprime en [ ρ] = [ Ω.m .m ] = [ Ω.m] Electromagnétisme 35
Avec par exemple :
-8- Cuivre recuit : ρ = 1,6.10 Ω.m = 1,6 µ Ω.cm 0
-8- Aluminium : ρ = 2,6.10 Ω.m = 2,6 µ Ω.cm 0

1.1.4.3.3. Loi de Joule

VA VB Considérons une portion de circuit résistif seulement
aux bornes duquel on maintient une d.d.p. (différence de →
Epotentiel) constante (régime stationnaire ≡ continu ici). → → BA
F = −e.E
→ L
Il existe donc un champ électrostatique E et une force
V > V→ → A B
constante F = −e.E sur les électrons. Ceux-ci ne prennent
→ →
pas un mouvement uniformément accéléré malgré F car il existe une force de frottement F '
-due aux échanges d’énergie avec les ions + du réseau cristallin du conducteur. Quand un e
a parcouru la distance L, les forces électrostatiques ont effectuées le travail suivant (de B
vers A) :
→ → → →
L colinéaire avec F W = F.L = F.L = −e.E.L 1
Or E.L représente aussi la circulation du champ entre A et B, soit la d.d.p. Donc on peut
écrire :
E.L = V - V W = -e.(V - V ) = -e.V (le signe - indique que c’est un travail fourni). A B 1 A B
Avec : V = V - V = d.d.p. entre les points A et B. A B
Pour n électrons il vient : W = (-n.e).V
Or (-n.e) représente la charge totale q qui a traversé l’élément de résistance R. Donc :
W = q.V en Joules [J] = [C].[V] (1.30)

C’est donc aussi le travail fournit par le champ électrique E pour faire passer la charge q
de A en B. Cette énergie ou ce travail se transforme donc en chaleur dans la résistance et la
température du conducteur va s’élever. Comme q = Ι.t, il vient :
W = ( Ι.t).V or on a vu que : V = R. Ι donc :
2 W = R. Ι.t (1.31)
On peut ainsi parler de « puissance » c’est-à-dire d’énergie ou de travail dissipée par
unité de temps, la « puissance est donc un débit d’énergie ». Il vient alors :
W −1P = Watts [W] = [J/ s] = [J.s ]
t
2 2R. Ι .t V. Ι.t V .t
Soit ici : P = = =
t t R.t
2V2Donc : P = V. Ι = R. Ι = [W] (1.32)
R

36 Electronique pour le traitement du signal, volume 7
La quantité de chaleur dissipée en calories sera donc donnée par :
W travail
Q = = équivalence travail ↔ chaleurcal J 4,18
1 -1= 0,24 , J = 4,18 [J.cal ]
J
12 2donc : Q = 0,24.R. Ι .t = .R. Ι .t [cal] (1.33)cal
4,18

Conséquences de l’effet Joule :

- Défavorable : Diminution des rendements des installations électriques (transport
d’énergie, moteurs, etc.). On cherche alors à le diminuer ( ρ faible,
S grand).
Elévation de température des circuits électroniques, etc.
- Favorables : Eléments résistifs de chauffage, ampoules électriques, mesures de
température, fusibles électriques, etc.

1.1.5. Magnétostatique
La magnétostatique est l’étude des forces particulières qui apparaissent en « régime de
courants stationnaires entre des éléments de conducteurs où circulent des courants ».
Le « champ magnétique » apparaît dans le voisinage d'un circuit traversé par un courant.
Il est caractérisé dans tout l'espace par une force donnée par la loi « d'Ampère ». Le vecteur
force ainsi obtenu est de nature « axiale » (tenseurs du deuxième ordre antisymétriques), il
n'est défini qu'avec une convention de rotation donnée (règle des trois doigts de la main
droite). Elle caractérise la force qui s'exerce entre deux éléments de courant.
→ → →
→ μ dl ∧ dl ∧ r2 0 1 2 d F = Ι Ι (1.34) 1 2 34 π r
On remarque que cette force est confondue au facteur I prés, avec le produit vectoriel de 2
→ →
l'élément de courant dl avec un vecteur que l'on note Bet que l'on appelle vecteur 2
« induction magnétique » (on aurait pu l'appeler vecteur champ magnétique), avec :
→ →
→ μ Ι .dl ∧ r0 1 1 dB = (1.35)
34 π r
B s'exprime en Weber par mètre carré soit [Wb/m²] où Tesla [T]
→ → →
2 Soit : d F = Ι ∧ dl ∧ dB (1.36) 2 2

Cette loi a été généralisée par la « loi de Laplace » plus utilisée et qui est vraie quelque
soit le milieu :
→ → →
dF = Ι.dl ∧ B (1.37)
→ →
«L'élément de courant dl» jouant pour B le rôle de la charge q pour E (l'élément dl
n'étant pas par contre localisé et oblige à considérer le circuit dans son ensemble).
Electromagnétisme 37
On peut généraliser cette approche dans tout l’espace en considérant la présence d’un

courant stationnaire de densité J(P)autour d’un point d’un élément de volume d τ . Il P
apparaît alors au point d’observation M, un champ d’induction électromagnétique
élémentaire défini par :
→ → →→→ μ J(P) ∧ PM dB(M)J(P)0 dB(M) = . .d τ P34 π PM
M
PNB : A noter l’ordre direct du trièdre formé par les trois vecteurs
→ → → d τP
J(P) ∧ PM → dB(M) donné par la présence du produit vectoriel.
On admet ce que suggère l’expérience, qu’il y a ici aussi superposition des influences des
champs magnétiques crées par des éléments de courant distincts, alors l’induction
magnétique totale devient :
→ →
→ μ J(P) ∧ PM0B(M) = . .d τ P3∫∫∫ 4 π PM(V)
Dans le cas important et usuel où le courant est confiné dans un fil fin (diamètre petit par
rapport aux autres dimensions), les éléments différentiels se transforment et il vient :
s=→aire de la section droite du fil dτ= dl.s
P
→→
dB(M)J(P) est longitudinal son flux à travers s est simplement J(P).s

J(P)et c'est l'intensité Ι dans le fil.
Md τ →→→ P
Donc: J.dτ= J.dτ = J.s.dl = Ι.dl → J.dτ=Ι.dl → dl
dl PL'int égrale précédente se transforme donc en :
→→
→ μ Ι∧.dl PM0dB(M) = . 34 π PM
On retrouve bien l’expression de (1.31) avec r = PM.

NB : A partir de maintenant nous appellerons indifféremment B champ d’induction
électromagnétique ou champ magnétique, sachant que dans le vide ils ne diffèrent que par
un coefficient de proportionnalité μ . 0


a) - Calcul de divB . Potentiel vecteur. Loi de Biot et Savart

Calculons la divergence du champ magnétique élémentaire dans un système d’axe centré

en P, l’axe 0z étant colinéaire avec et r = PM. Dans un premier temps calculons les J

coordonnées de dB . Le produit vectoriel donne alors :

⎧ ⎛ μ ⎞ ⎛ y ⎞0dB = ⎜ .J.d τ ⎟. ⎜ − ⎟⎪ x 34 π⎝ ⎠ ⎝ r ⎠⎪0 x⎧ ⎧
→ → → ⎪ μ x⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞0J(P) = 0 PM = y → dB = dB = ⎜ .J.d τ ⎟. ⎜ ⎟ ⎨ ⎨ ⎨ y 34 π r⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪J z⎩ ⎩ ⎪dB = 0z⎪
⎪⎩