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Les Fractions

De
72 pages

L’ouvrage s’adresse, en premier lieu, à des collégiens de niveaux : 4ème/3ème. C’est un ouvrage de « vulgarisation » sur les les fractions, accessible également à tout lecteur intéressé par le sujet, certains professeurs désireux d’étayer leurs cours par un support papier, à un bon élève matheux de niveau 5ème.
L’ouvrage comprend : le chapitre 1 de mise à niveau Préliminaires (terminologie) ; le chapitre 2 : Les Opérations sur les fractions ; le chapitre 3 Compléments qui m’a paru nécessaire, après coup dont la définition d’une « Identité » : la problématique du PPCM(a,b), le Lien PPCM(a,b)/PGCD(a,b).


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Couverture

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Copyright

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cet ouvrage a été composé par Edilivre

175, boulevard Anatole France – 93200 Saint-Denis

Tél. : 01 41 62 14 40 – Fax : 01 41 62 14 50

Mail : client@edilivre.com

www.edilivre.com

 

Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction,

intégrale ou partielle réservés pour tous pays.

 

ISBN numérique : 978-2-332-69540-6

 

© Edilivre, 2014

Image 2

• Préliminaires

  • Notion et Définition d’une Fraction

  • Comparaison : Division – Fraction

  • Décomposition d’un nombre entier en : Facteurs Premiers

  • Le PPCM(a,b) : 2 méthodes

  • LePGCD(a,b)

  • Lien : «PPCM(a,b) – PGCD(a,b) »

Opérations sur les Fractions :

  • Addition

  • Soustraction

  • Multiplication

  • Division

  • Élévation à une Puissance n

• Compléments

  • Égalité « = » et Identité «»

  • Signes de Comparaison

  • Problématique du PPCM(a,b) ; a et b entiers > 0

  • PPCM et PGCD de Polynômes Unitaires

Lien entre : « PPCM et PGCD » de Polynômes Unitaires

Avertissement

• Ce sujet : « Les fractions » est exposé selon la méthode ; « CAC » : Concret, Abstrait, Concret.

• Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.

Concret : Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérir l’essentiel du « Concept Exposé », sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un « Cas Concret » représentatif.

Abstrait : Dans un deuxième temps, le « Cas Général » du concept est étudié de manière abstraite ; c’est-à-dire : en utilisant des lettres à la place des chiffres. Dans cette phase, tous les cas possibles sont étudiés et annoncés, ainsi que les cas d’impossibilité : Division par Zéro, par exemple.

Concret : Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des cas concrets décrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.

Ceci permet de montrer comment on utilise, en pratique, le « cas général », dans un cas particulier.

*
* *

La « difficulté » rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « Explicatif », (donc long et lourd) et « Concis » à la fois.

• La rédaction d’un document : « Concis », sans explications, serait peut être souhaitable :

Un « Résumé », en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !

Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.

Dans ces « Préliminaires » ; L’étude : du PPCM et du PGCD, me semble toutefois intéressante.

Résumé

N°Chapitre

Désignation

Pa

1

1.1.6.5

Décomposition d’un nombreentier en« Facteurs premiers ».

72 = 8 * 9 = 23* 32

18

2

3.1

Notions : « d Égalités » et « d’Identités » Voir§ 3.4

51

3

1.1.7

PPCM(a,b): Définition, Calcul,Règle générale de calcul, Utilisation

PPCM(a,b)a * b S’il n’y a pas de facteurs communs dans Développements(a et b)

PPCM(a,b) * PGCD(a,b)a * b S’il y ades facteurs communs dans les Dév(a et b)

Calcul du PPCM(a,b) :a et b : Entiers positifs.

• Utilisertous les facteurspremiers, des développements de (aetb).

• Choisir, pour chaque facteur,l’exposant le plus grand.

Lien : {PPCM(a,b), PGCD(a,b)}

PPCM(a,b) * PGCD(a,b)a * bb * a

23

4

1.1.8

PGCD(a,b): Définition, Calcul, Règle, Utilisation :Simplification des fractions

Nutiliserquelesfacteurs premierscommunsde : a et b.

Choisir, pour chaque facteur commun,l’exposant le plus petit

32

5

1.1

Notion et définition de Fraction.

Fraction ≈ Division non calculée ;Reste nulounégligeable

9

6

1.1.4/1.1.5

Comparer Division et Fraction. Division : D(d * Q) + R R =0 ou R0;R < Q

12

7

2

Opérations sur les Fractions: Addition,Soustraction, Multiplication, Division.

37

8

2.2.3

Addition de Fractions

Réduction des fractions au même Dénominateur : « DCF ».

• Choix, commeDénominateurCommun desFractions : lePPCM(D1,D2)

Multiplier : D1 de F1 et doncN1de F1 par :PPCM(a ; b) / D1.

Multiplier : D2de F2 et doncN2de F2 par :PPCM(a ; b) / D2.

• On est ramené à l’addition de 2 fractions de même dénominateur :PPCM(D1,D2).

40

9

2.3

Soustraction de fractions: Idem à l’Addition

45

10

2.4

Multiplication de fractions

pour multiplier des fractions entre elles :

• Multiplier les numérateurs entre eux. Nr = N1 * N2 *…

• Multiplier les dénominateurs entre eux. Dr = D1 * D2 *…

47

11

2.5

Division de fractions

Pour «Diviser» deux fractions, on «Multiplie»la première par la seconde renversée

images1

47

12

2.6

Élévation d’une fraction F à une puissance p: Fp

PouréleveruneFractionà une «Puissance : p’ :

• ÉleverN(Numérateur) à la puissance : p

• ÉleverD(Dénominateur) à la puissance : p

Fr = Np/ Dp

48

1
Préliminaires

L’étude des fractions, des « Opérations sur les Fractions » n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :

• Définitions de :

– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,

– Multiple Commun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),

– Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,

– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),

– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).

Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».

1.1 Notion de fraction

Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :

« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies »

Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple.

On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales.

Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales.

Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.

1.1.1 Exemple1 : Partage d’une maison

Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros. Il a : Trois enfants.

Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants

Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :

200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou images2€ = 66 666,66 €

La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.

En effet :

66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.

66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.

On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).

1.1.2 Exemple1 : Partage d’un camembert

Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !

Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !

Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes, une longueur : images3 ; une masse, etc…

Ce peut être aussi un « Camembert » !

Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales, chaque partie est appelée : moitié.

Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.

Cela s’écrit : images4

images5 : c’est tout le camembert ; 1 (Num) C’est le nb de parts considéré.

2 : C’est le nombre de parts du Camembert.

images6 : c’est la moitié du camembert.

Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert.

Deux parts valent 2/3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert.

Si on coupe le camembert en 4,...