Morphologie mathématique 2 (traité IC2)

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Description

La morphologie mathématique est historiquement la première théorie non-linéaire dans le domaine du traitement des images. Elle repose sur trois piliers qui font son succès : une théorie solide, un champ d'application vaste, et une mise en œuvre efficace.
L'objectif premier de l'ouvrage Morphologie mathématique 2. Estimation, choix et mise en œuvre est de proposer un état de l'art didactique de la morphologie mathématique. Il offre également un contenu original et novateur. Il rassemble les contributions de 26 auteurs parmi les plus éminents du domaine.
Le premier volume exposait les fondements théoriques des opérateurs, ainsi que la théorie du filtrage et de la segmentation.
Ce deuxième volume présente les méthodes pour estimer et choisir, donne des principes algorithmiques, propose quelques extensions, et enfin, montre comment mettre en œuvre la théorie aux travers d'exemples d'applications pratiques.
Morphologie mathématique 2 n'a aucun équivalent à l'heure actuelle, un tel effort de synthèse n'ayant pas été réalisé depuis vingt ans. Faisant le point sur un domaine en pleine mutation, il fera référence dans les années à venir.
Préambule. Laurent NAJMAN et Hugues TALBOT. ESTIMER ET CHOISIR. Chapitre 1. Introduction à la mesure en analyse d'image. Chapitre 2. Méthodes stochastiques. Chapitre 3. Ensembles flous et morphologie mathématique. MORCEAUX CHOISIS. Chapitre 4. Distances, granulométries, squelette. Chapitre 5. Couleur et images multi-variées. Chapitre 6. Morphologie et algorithmes. APPLICATIONS. Chapitre 7. Identification de diatomées par morphologie mathématique. Chapitre 8. Segmentation cardiaque spatio-temporelle. Chapitre 9. Segmentation d'images angiographiques 3D. Chapitre 10. Compression. Chapitre 11. Images satellites et modèles numériques de terrain. Chapitre 12. Le traitement de documents. Chapitre 13. Analyse et modélisation 3D des microstructures. Chapitre 14. Propagations aléatoires et feux de forêts. Bibliographie. Index.

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Date de parution 02 septembre 2010
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EAN13 9782746241084
Langue Français

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Morphologie mathématique 2





















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© LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

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www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-2593-0


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Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2010.





Morphologie

mathématique 2


estimation, choix et mise en œuvre






sous la direction de

Hugues Talbot
Laurent Najman

















Il a été tiré de cet ouvrage
40 exemplaires hors commerce réservés
aux membres du comité scientifique,
aux auteurs et à l’éditeur
numérotés de 1 à 40





Morphologie mathématique 2
sous la direction de Hugues Talbot et Laurent Najman
fait partie de la série SIGNAL ET IMAGE
série dirigée dirigé par Henri Maître et Francis Castanié


Traités IC2, sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson

IC2 – constitué par un ensemble de huit traités – répond au besoin de
disposer d’une somme complète des connaissances et des méthodes
nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques.
Conçu volontairement dans un esprit d’échange disciplinaire, IC2
représente l’état de l’art dans les domaines suivants retenus par le comité
scientifique :
Cognition et traitement de l’information
Informatique et systèmes d’information
Ingénierie pour la santé
Management et gestion des STIC
Réseaux et télécoms
Signal et Image
Systèmes automatisés
Technologies et développement durable
Chaque ouvrage décrit aussi bien les aspects fondamentaux
qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus
dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur
vers ses points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d’un guide
pour ses réflexions ou pour ses choix.
Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont
été choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour
la qualité des résultats obtenus dans le cas d’expérimentations réelles. Liste des auteurs

Jesus ANGULO Dominique JEULIN
CMM CMM
Mines ParisTech Mines ParisTech
Fontainebleau Fontainebleau

Isabelle BLOCH Christian LANTUÉJOUL
Département TSI CG
Telecom ParisTech Mines ParisTech
Paris Fontainebleau

Dan BLOOMBERG Beatriz MARCOTEGUI
Google Inc. CMM
Mountain View Mines ParisTech
Californie Fontainebleau
Etats-Unis
Laurent NAJMAN
Jocelyn CHANUSSOT Laboratoire d’informatique
GIPSA-lab Gaspard-Monge
INPG ESIEE – Université Paris Est
Grenoble Noisy-le-Grand

Michel COUPRIE Benoît NAEGEL
Laboratoire d’informatique LSIIT
Gaspard-Monge Université de Strasbourg
ESIEE – Université Paris Est
Noisy-le-Grand Nicolas PASSAT
LSIIT
Jean COUSTY Université de Strasbourg
Laboratoire d’informatique
Gaspard-Monge Christian RONSE
ESIEE – Université Paris Est LSIIT
Noisy-le-Grand Université de Strasbourg

Thierry GÉRAUD Jos ROERDINK
LRDE IMCS
EPITA Université de Groningen
Paris Pays-Bas

Andrei JALBA
Université de technologie
de Eindhoven
Pays-Bas Philippe SALEMBIER Erik URBACH
Département STC CSIRO Mathematical
Université polytechnique de Catalogne and Information Sciences
Barcelone Sydney
Espagne Australie

Jean SERRA Marc VAN DROOGENBROECK
Laboratoire d’informatique Institut Montefiore
Gaspard-Monge Université de Liège
ESIEE – Université Paris Est Belgique
Noisy-le-Grand
Luc VINCENT
Pierre SOILLE Google Inc.
JRC Mountain View
Ispra Californie
Italie Etats-Unis

Hugues TALBOT Michael WILKINSON
Laboratoire d’informatique IMCS
Gaspard-Monge Université de Groningen
ESIEE – Université Paris Est Pays-Bas
Noisy-le-Grand











Table des matières
Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Laurent NAJMAN et Hugues TALBOT
PREMIÈRE PARTIE. ESTIMER ET CHOISIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chapitre1.Introductionàlamesureenanalysed’image . . . . . . . . . . . 23
Hugues TALBOT, Jean SERRA et Laurent NAJMAN
1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Anneau convexe et fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1. Lacaractéristiqued’Euler-Poincaré . .. .. . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. La caractéristique d’Euler-Poincaré dans l’espace discret . . . . . 29
1.3.2.1.Endimension1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2.2.Endimension2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2.3.Endimension3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4. Stéréologie et fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1. Fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1.1. En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1.2. En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1.3. En dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Changementd’échelleetstationnarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Individus et granulométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1. Comptages sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2. Granulométries en nombre et en mesure . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.2.1.CorrectiondeMiles-Lantuéjoul . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3. Granulométries linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7. Extension aux niveaux de gris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.1. Aires et volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.2. Gradient et périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.3. Caractéristique d’Euler-Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.4. Un contre-exemple : la longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . 42
1.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210 Morphologie mathématique 2
Chapitre2.Méthodesstochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Christian LANTUÉJOUL
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Transformation aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1. Estimation d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2. Analyse individuelle de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Image aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. Caractérisation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2. Portée intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3. Grandeurs spécifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.4. Synthèse de textures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5. Fonction aléatoire gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.6. Schéma booléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapitre3.Ensemblesflousetmorphologiemathématique . . . . . . . . . 67
Isabelle BLOCH
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Quelques éléments de la théorie des ensembles flous . . . . . . . . . . 69
3.2.1. Ensembles flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2. Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Dilatations et érosions floues à partir du principe de dualité . . . . . . . 72
3.3.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4. Dilatations et érosions floues à partir du principe d’adjonction . . . . . 78
3.4.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5. Liens entre les deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1. Opérateursduauxetopérateursadjoints. . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.2. Condition d’équivalence entre les deux approches . . . . . . . . . 80
3.5.3. Exemple d’illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5.4. Formesgénéralesdesdilatations
. . . . . . . . . . . . . . . . . .etérosionsmorphologiquesfloues 82
3.6. Application à la définition de relations spatiales . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.1. Topologie floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.2. Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.3. Position relative directionnelle entre deux objets . . . . . . . . . . 87
3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Table des matières 11
DEUXIÈME PARTIE. MORCEAUX CHOISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Chapitre4.Distances,granulométries,squelette . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Michel COUPRIE et Hugues TALBOT
4.1. Squelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1. Boules maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.2. Fronts de feu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.3. Propriétés du squelette dans le continu . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2. Squelettes dans les espaces discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3. Familles granulométriques et squelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1. Famille granulométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2. Application des granulométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.3. Formule des érodés ultimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.4. Formule de Lantuéjoul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4. Distances discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5. Fonction bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6. Transformations homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6.1. Voisinages, connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.2. Nombres de connexité et points simples . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.3. Amincissement homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.4. Algorithmes séquentiels et parallèles d’amincissement . . . . . . 113
4.6.5. Squelette basé sur la distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Chapitre5.Couleuretimagesmulti-variées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Jesus ANGULO et Jocelyn CHANUSSOT
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Notions de base et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.1. Bref rappel sur les espaces couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.2. D’autres images multi-variées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.3. Distances couleur et distances spectrales . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.4. Taxonomie des ordres vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Opérateurs morphologiques pour le filtrage couleur . . . . . . . . . . . 127
5.3.1. Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.2. Ordres totaux par entrelacement de bits . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.3. Ordres totaux par cascades lexicographiques . . . . . . . . . . . . 131
5.3.4. Ordres totaux par distance à une référence complétée
par une cascade lexicographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.5. Traitement marginal et combinaison : cas des chapeaux haut de
haut de formechromatiques/achromatiques . . . . . . . . . . . . . 138
5.4. Morphologie mathématique et segmentation couleur . . . . . . . . . . 140
5.4.1. Segmentation marginale et combinaison : cas de la fusion en LSH
contrôlée par la saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14012 Morphologie mathématique 2
5.4.2. Gradients couleur et applications de la LPE . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.3. Utilisation de la LPE basée sur un treillis vectoriel . . . . . . . . . 145
5.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Chapitre6.Morphologieetalgorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Thierry GÉRAUD, Hugues TALBOT et Marc VAN DROOGENBROECK
6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2. Traductiondéfinition/algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.1. Structures de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.2. Forme et étendue du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2.3. Structure d’ensembles de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2.4. Raccourcis d’écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.5. De la définition à la réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3. Taxonomie des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.1. Critères de taxonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.2. Compromis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.3. Classes d’algorithmes et canevas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4. Exemple de la reconstruction géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.1. La version mathématique : algorithme parallèle . . . . . . . . . . 163
6.4.1.1. Algorithmes similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.2. Algorithme séquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.2.1. Algorithmes similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.3. Algorithme à base de file d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.3.1. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.4. Algorithme hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.4.1. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.5. Algorithme par Union-Find . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.5.1. Idée générale de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.5.2. Détails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4.5.3. Comparaison avec les méthodes précédentes . . . . . . . . . 171
6.4.6. Comparaison de ces algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.5. Perspectives historiques et notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . 172
6.5.1. Pré- et péri-morphologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5.1.1. Algorithmes à base de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5.1.2. Algorithmes de géométrie et de topologie discrète . . . . . . 173
6.5.1.3. Algorithmes inspirés du continu . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5.1.4. Optimisation discrète et continue pour la segmentation . . . 174
6.5.1.5. Algorithmes d’analyse linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5.2. Historique des développementsalgorithmiques
en morphologiem athématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5.2.1. Algorithmes parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.5.2.2. Algorithmes séquentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.5.2.3. Algorithmes en largeur d’abord . . . . . . . . . . . . . . . . 176Table des matières 13
6.5.2.4. Algorithmes inspirés des graphes . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.2.5. Algorithmes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.2.6. Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
TROISIÈME PARTIE. APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Chapitre7.Identificationdediatoméesparmorphologiemathématique . 183
Michael WILKINSON, Erik URBACH, Andrei JALBA etJos ROERDINK
7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2. Espace morphologique des échelles de courbure . . . . . . . . . . . . . 184
7.3. Extraction des éléments de l’espace des échelles . . . . . . . . . . . . . 184
7.4. Spectre taille-forme en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4.1. Spectres de forme et de taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4.2. Amincissements par attributs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.4.3. Le calcul des spectres forme-taille en 2D . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5. Jeux de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapitre8.Segmentationcardiaque spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . 193
Jean COUSTY,LaurentNAJMAN etMichel COUPRIE
8.1. Quoi segmenter ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2. Commentsegmenter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2.1. Frontière endocardique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2.2. Frontière épicardique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3. Résultats, conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Chapitre9.Segmentationd’imagesangiographiques3D . . . . . . . . . . . 199
Benoît NAEGEL, Nicolas PASSAT et Christian RONSE
9.1. Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2. Modèles de connaissance anatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3. Transformée en tout-ou-rien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4. Deux exemples d’application en segmentation angiographique . . . . . 202
9.4.1. Segmentation du réseau hépatique en tomographie par rayons X . 202
9.4.2. Segmentation du réseau cérébral en IRM . . . . . . . . . . . . . . 204
9.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Chapitre10.Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Beatriz MARCOTEGUI et Philippe SALEMBIER
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.2. Décompositions multi-échelles morphologiques . . . . . . . . . . . . . 20814 Morphologie mathématique 2
10.3. Décomposition orientée régions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Chapitre11.Imagessatellitesetmodèlesnumériquesdeterrain . . . . . . 215
Pierre SOILLE
11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.2. Spécificité des images satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.3. Mosaïquage d’images satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.4. Applications aux données altimétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.5. Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chapitre12.Letraitementdedocuments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Dan BLOOMBERG et Luc VINCENT
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.2.1. Extraction du texte d’une partition . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.2.2. Segmentation de page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.2.3. Détection de l’orientation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.2.4. Détection de l’orientation du texte . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2.5. Appariement de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2.5.1.Comparaison d’images par corrélation . . . . . . . . . . . . 240
12.2.5.2.Alignement des composants pour la substitution . . . . . . 241
12.2.5.3.Comparateur en tout-ou-rien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.2.6. Estimation du fond pour des images en niveau de gris . . . . . . 242
Chapitre13.Analyseetmodélisation3Ddesmicrostructures . . . . . . . . 245
Dominique JEULIN
13.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.2. Analyse morphologique 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.2.1. Segmentation d’images 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.2.1.1.Segmentation de textures lamellaires . . . . . . . . . . . . . 246
13.2.1.2.Segmentation multi-échelle de milieux granulaires . . . . . 249
13.2.2. Classification morphologique de particules
de formes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.2.2.1.Paramètres géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.2.2.2.Caractéristiques d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.2.2.3.Distribution bivariable des courbures . . . . . . . . . . . . . 252
13.2.2.4.Classification des particules complexes . . . . . . . . . . . . 253
13.2.3. Tortuosité morphologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.3. Modèles de structures aléatoires multi-échelles . . . . . . . . . . . . . 255
13.3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.3.2. Modèles tirés du schéma booléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.3.2.1.Intersections d’ensembles aléatoires . . . . . . . . . . . . . 256Table des matières 15
13.3.2.2.Schéma booléen de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.3.3. Percolation de microstructures tridimensionnelles . . . . . . . . . 258
13.3.3.1.Simulation d’agrégats percolants . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.3.3.2.Estimation du seuil de percolation à partir de simulations . 260
13.3.3.3.Nombre de connexité et percolation . . . . . . . . . . . . . . 261
13.3.3.4.Exemples de seuils de percolation pour des ensembles
aléatoiresmulti-échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
13.4. Matériaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Chapitre14.Propagationsaléatoiresetfeuxdeforêts . . . . . . . . . . . . . 269
Jean SERRA
14.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2. Propagations aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.3. Prédiction des zones brûlées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
14.4. Autres résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Préambule
Cet ouvrage est le deuxième et dernier ouvrage de la série consacrée aux récents
développements de la morphologie mathématique. Nous avons rassemblé les contributions
des experts francophones du domaine afin de présenter cette discipline, née en France,
à un lectorat lisant la langue de Molière.
La morphologie mathématique est une discipline de l’analyse d’image proposée au
milieu des années 1960 par deux chercheurs français de l’Ecole des Mines de Paris :
Georges Matheron [MAT 75] et Jean Serra [SER 82, SER 88b]. Elle a été la première
théorie non-linéaire dans le domaine du traitement d’image, et elle intégrait dès le
départ de nombreux aspects tant théoriques que pratiques. La morphologie
mathématique est née dotée des trois grands pilliers qui ont fait son succès : une théorie solide,
un champ d’application vaste, et une mise en œuvre efficace.
Dans notre esprit, ainsi que dans celui de nombreux contributeurs, ces trois «
piliers » de la morphologie mathématique sont indissociables, mais dans un esprit
didactique, il est souvent plus facile de partir de la théorie et des idées générales que des
applications.
Le premier tome explorait certains aspects fondamentaux de la discipline : la
structure mathématique (en particulier les treillis) et les méthodes de filtrage et de
segmentation. Nous insistions sur un formalisme modernisé, qui est le fruit du travail d’une
grande communauté depuis plus de quarante ans. Dans ce deuxième volume, nous
avons choisis de présenter de manière équilibrée trois thèmatiques :
– la première thématique essaie de montrer comment on peut estimer, mesurer et
choisir en analyse d’images, en lien avec d’autres disciplines, dont la stéréologie, la
géostatistique, la logique floue ;
Préambule rédigépar Laurent NAJMAN etHugues TALBOT.18 Morphologie mathématique 2
– la deuxième concerne certains aspects pratiques de la morphologie
mathématique : les aspects multi-variés, quelques liens avec la géométrie et la topologie
discrètes, et bien évidement l’aspect algorithmique, sans lequel les applications seraient
impensables ;
– finalement, il nous a semblé indispensable d’illustrer la théorie par quelques
applications intéressantes et représentatives.
Plus précisément, ce deuxième tome est constitué de trois parties et de treize
chapitres. La première partie concerne l’estimation et la détermination des choix :
– le premier chapitre, rédigé par Jean Serra et nous-même, est une introduction à
la théorie de la mesure en morphologie mathématique, dans une perspective
stéréologique. Le but est de permettre aux techniques de la morphologie mathématique, qui
est est une théorie de l’analyse d’image, d’extraire des données numérique à partir
d’information visuelle ;
– le deuxième chapitre, rédigé par Christian Lantuéjoul décrit certains aspects
probabilistes de la morphologie mathématique. En particulier les questions
d’échantillonnage et de gestion des effets de bord ;
– le troisième chapitre, rédigé par Isabelle Bloch décrit la morphologie floue,
permettant de gérer les questions d’incertitude et d’imprécision d’une manière différente
et complémentaire des approches probabilistes.
La deuxième partie contient quelques morceaux choisis plus appliqués,
comprenant granulométries et squelettisation, morphologie multi-variée et couleur, et la mise
en œuvrealgorithmiquedesopérateursdela morphologie:
– le quatrième chapitre, rédigé par Michel Couprie et Hugues Talbot, discute des
granulométries, des distances et des opérateurs topologiques, permettant en particulier
la squelettisation, qui permet de représenter les objets de manière simplifiée tout en
conservant les propriétés topologiques ;
– le cinquième chapitre, rédigé par Jesus Angulo et Jocelyn Chanussot traite des
images multi-valuées, par exemple satellitaires et colorées, la principale difficulté
étant le problèmes des ordres partiels ;
– le sixième chapitre, rédigé par Thierry Géraud, Hugues Talbot et Marc Van
Droogenbroeck donne quelques principes de base de l’algorithmique morphologique, un
domaine essentiel pour la mise en œuvre de la théorie.
La troisième et dernière partie illustre les deux ouvrages par un certain nombre
d’applications :
– le septième chapitre, rédigé par Michael Wilkinson, Erik Urbach, Andrei Jalba
et Jos Roerdink concerne une méthodologie d’analyse de diatomées faisant appel à
l’étude de textures ;Préambule 19
– le huitième chapitre, rédigé par Jean Cousty, Laurent Najman et Michel
Couprie concerne la segmentation spatio-temporelle du ventricule gauche du muscle
cardiaque ;
– le neuvième chapitre, rédigé par Benoît Naegel, Nicolas Passat et Christian
Ronse concerne la segmentation et l’analyse du réseau vasculaire cérébral ;
– le dixième chapitre, rédigé par Beatriz Marcotegui et Philippe Salembier
concerne la compression d’image par segmentation morphologique;
– le onzième chapitre, rédigé par Pierre Soille concerne l’utilisation de techniques
morphologiques en télédétection ;
– le douzième chapitre, rédigé par Dan Bloomberg et Luc Vincent concerne
l’analyse de documents numérisés ;
– le treizième chapitre, rédigé par Dominique Jeulin expose des progrès récents
dans le domaine de l’analyse d’images de matériaux ;
– le quatorzième et dernier chapitre, rédigé par Jean Serra combine les aspect
aléatoires et déterministes de la théorie dans le cadre d’une analyse des feux de forêts en
Malaisie.
Nous espérons que cette présentation de la morphologie mathématique moderne
permettra à un large public de comprendre, apprécier, explorer et commencer à
exploiter cette discipline riche, solide et puissante de l’analyse d’images.
Un site web est dédié à ce livre à l’adresse suivante : www.mathematicalmorpho
logy.org/books/najman-talbot.Vous pourrez y trouver du contenu supplémentaire, en
particulier une version couleur d’un grand nombre de nos illustrations.20PREMIÈRE PARTIE
Estimer et choisir
2122Chapitre 1
Introduction à la mesure en analyse d’image
1.1. Introduction
On fait parfois la distinction entre :
– le traitement d’image, qui consiste à transformer des images en de nouvelles
images (avec peut-être moins de bruit par exemple) ;
– l’analyse d’image, qui consiste à produire des informations numériques à partir
d’images: desnombres,desdiamètres,deslongueurs,etc.;
– la synthèse d’image, qui consiste à utiliser des nombres pour produire des images
artificielles.
L’ouvrage présent est plutôt orienté vers le traitement d’image utilisant des
méthodes à base de morphologie mathématique, mais ces méthodes peuvent aussi être
utilisées avec profit dans le contexte des deux autres disciplines. L’analyse d’image,
en particulier, est le sujet de ce chapitre.
En général, l’analyse est une étape qui suit le filtrage et la segmentation, afin de
répondre à des questions scientifiques ou techniques provenant d’informations
d’origine visuelle. Les détails de l’analyse proprement dite peuvent varier suivant le
domaine d’application, qui incluent l’imagerie médicale et biomédicale, la science des
matériaux, la biométrie, la surveillance vidéo, la vision par ordinateur, et les
applications grand public (reconnaissance de visage, détections de sourires dans les appareils
de photos numérique par exemple). Une question qui mérite d’être posée est celle de
l’existence ou non d’un dénominateur commun à tous ces domaines.
Chapitre rédigé par Hugues TALBOT, Jean SERRA et Laurent NAJMAN.
2324 Morphologie mathématique 2
On peut également se poser la question de savoir si le traitement d’image nécessite
une ou des étapes de mesure. En premier lieu ça ne semble pas être le cas, mais en
réalité des mesures sont effectuées constamment, soit de manière explicite – comme but
final dans l’analyse d’image, soit de manière implicite, comme par exemple dans la
vision par ordinateur : comment reconnaître qu’une photographie représente un paysage
comprenant une vue sur la mer ? Une façon de procéder est de construire un arbre de
décision comprenant une grande quantité de mesures. Un autre exemple est le codage
vidéo utilisant la norme MPEG, où des mesures de similarité entre portion d’images
sont effectuées constamment afin d’éviter les répétitions dans le flux transmis.
L’éventail des situations possibles est en fait très grand. Le contexte sémantique
est souvent plus limité en analyse d’image qu’en vision par ordinateur par exemple,
car l’analyste sait en général à quoi il a affaire : des bactéries, des organes, des os ou
des cristaux par exemple. En revanche, les mesures à effectuées sur ces différents
objets peuvent être complexes, délicats, et obtenus par des moyens limités et indirects.
Par exemple on peut vouloir souhaiter obtenir des informations de volume à partir
de coupes sériées : par exemple estimer la progression d’une ostéopathie requiert de
mesurer la taille de pores en 3D dans des os. Un emphysème réduit la surface de
contact des poumons entre l’air et le flux sanguin : peut-on estimer cette surface de
contact ? Certains matériaux composites développent des dendrites, souhaitables ou
non. Peut-on effectuer des mesures significatives sur ces mêmes dendrites, sans
risquer de confondre un grand nombre de petites dendrites avec un plus petit nombre de
grandes dendrites ?
Le but de ce chapitre est de clarifier ces questions. La suite est divisée comme suit :
tout d’abord nous allons spécifier quelles sont les caractéristiques désirables des
mesures que nous pouvons effectuer dans des images. Quelles mesures se « comportent
bien » et lesquelles non ? Quelles mesures sont elles fiables et lesquelles sont
facilement entachées d’erreurs ? Nous formaliserons ceci en définissant un espace d’objets
sur lesquels des mesures fiables sont réalisables, et nous préciserons leurs propriétés.
Nous spécifierons comment construire ces mesures et nous introduirons la stéréologie.
Ensuite nous étudierons les propriétés des mesures en cas de changement d’échelle,
ainsi que la différence entre mesurer des individus et des populations. Finalement
nous étendrons ces considérations aux images à niveaux de gris (images numériques),
permettant dans certains cas d’obtenir des mesures sans segmentation préalable.
1.2. Principesgénéraux
Afin de pouvoir associer des nombres aux images étudiées, on doit s’appuier sur
troisordresdepréoccupations :
1)on cherche en général à s’affranchir de contingences de la position dans le
champ et du grossissement : si l’on modifie le cadre d’une photographie, on ne
s’attend pas à ce que la personne photographiée change de taille. Pour certains objets parIntroduction à la mesure en analyse d’image 25
exemple des globules rouges, qui sont naturellement isotropes) la mesure ne doit pas
non plus dépendre de l’orientation, alors que pour d’autres, c’est le contraire (dans
le cas des caractères imprimés sur une page, par exemple. On s’attend à ce qu’un
logiciel de reconnaissance de caractère fonctionne mieux si la page est bien alignée).
Enfin, si on change le grossissement d’une image, par exemple au moyen d’un zoom
optique, il est primordial que la variation de la mesure en fonction du grossissement
ne dépende que de ce dernier. Par exemple, si on souhaite mesurer l’aire d’un objet,
et qu’on augmente le facteur de zoom par deux, on s’attend à ce que l’aire mesurée
en pixels carrés soit multipliée par quatre, et non pas n’importe quel autre facteur.
Si on mesure un périmètre, celui-ci doit varier linéairement avec le facteur de zoom.
On souhaite aussi le plus souvent réaliser des mesures homogènes au sens physique,
c’est-à-dire de dimension donnée : l’aire d’un cercle est une mesure homogène, son
périmètreaussi,mais pasla somme«aire+ périmètre»;
2) lorsque l’objet n’est pas vu en totalité mais seulement au travers d’un champ
limité de prise de vue, se posent alors plusieurs problèmes supplémentaires : quelle
est l’influence du champ sur les objets qui sont à l’intérieur ? En particulier (mais pas
seulement) que faire avec les objets qui ne sont que partiellement visibles ? D’autre
part, comment inférer statistiquement ce que l’on observe à l’échantillon tout entier ?
3) souventréaliserdesmesuressurunobjetnécessiteuneétapedereconnaissance
et d’individualisation. Cette opération s’appelle une segmentation (voir chapitre 7 dans
le volume Morphologie mathématique 1, dédié à cette question). Dans la
plupart des problèmes d’analyse d’image, il existe plus d’un objet d’intérêt dans chaque
champ de mesure, et plus d’une image d’un échantillon est acquise. Cependant,
segmenter et mesurer un échantillon tout entier est long et difficile, voire impossible (par
exemple dans le cas des sections histologiques). La question qu’on peut se poser est
alors celle de la représentativité de ce qui aura été effectivement échantillonné et
segmenté par rapport à la « réalité ». Cette question est liée à celle des distributions de
taille. Nous apporterons quelques éléments de réponse en section 1.6.3.
Ces contraintes de nature physique sont en partie des choix, sans nécessité
universelle, et en partie des contraintes imposées par le monde physique. Il arrive que
les objets d’étude s’incluent facilement dans le champ d’analyse (par exemple en
cytologie), ou que l’on s’abstienne de segmenter (en utilisant des granulométries par
exemple). Cependant, il faut que nos mesures soient valables même en dehors de ces
contextes favorables.
Dans la suite de ce chapitre, nous commençons par traiter le cas des ensembles
binaires, correspondant aux segmentations, puis nous étendons les résultats aux
fonctions numériques en section 1.7. Nous avons également choisi de présenter les choses
d’abord dans l’espace euclidien, et d’en faire dériver les mesures discrètes dans un
deuxième temps.26 Morphologie mathématique 2
1.3. AnneauconvexeetfonctionnellesdeMinkowski
Cette section est dévolue au cas des objets entièrement inclus dans le champ
d’anadlyse. Nous modélisons ces objets par des ensembles euclidiensX ⊂ P(R ). En
gédnéral la classe des parties de l’espace euclidienP(R ) est trop vaste et trop complexe
pour modéliser le monde réel. En effet, certains de ces éléments n’ont même pas de
d1mesure de Lebesgue . L’ensemble des compacts deR est encore trop général : en
effet, alors qu’un ensemble compact aura toujours une mesure de Lebesgue (aire en
2D, volume en 3D), certains objets, dits fractals, peuvent avoir un périmètre (en 2D)
ou une surface (en 3D) infini, tel le flocon de Koch [MAN 83]. Nous allons nous
restreindre un peu plus en suivant H. Hadwiger [HAD 57], en considérant la classe des
unions finies d’ensembles convexes. On appelle cette classe l’anneau convexe, et on
dla dénote parCR = CR(R ). Cette classe est fermée par translation, rotation, union
finie et par intersection. Elle est aussi compatible avec la notion d’images discrètes,
qui ne sont que des unions finies de pixels ou de voxels convexes. Nous verrons que
cette classe est réceptive à la notion de « bonne » mesure, et qu’elle nous permet de
définir le concept clé de caractéristique d’Euler-Poincaré.
DÉFINITION 1.1 (Fonctionnelle de mesure).– On appelle fonctionnelle (de mesure)
sur l’anneau convexe toute fonction numériqueW à valeur réelles :W :CR→R.
Une fonctionnelle peut satisfaire plusieurs propriétés utiles.
Homogénéité :
dLa fonctionnelleW surCR(R ) est homogène quand :
pW(kX) =k W(X)
On voit que quandX varie par homothétie (grossissement),W(kX) ne dépend que
deW(X) et dek, comme nous l’avions souhaité.
C-Additivité :
Un autre problème se pose : les fonctionnelles sont des mesures globales sur les
ensembles. Comment leur associer des caractéristiques locales, c’est-à-dire sur des
petits voisinages autour de chaque point qui constituent ceux-ci ? La réponse est donnée
par la condition deC-additivité, c’est-à-dire :
d
W(X∪Y) =W(X)+W(Y)−W(X∩Y) X,Y ∈P(R )
De proche en proche, elle permet de passer de l’ensemble initial X∪Y à des
morceaux de plus en plus petits. En pratique, elle nous conduit aux éléments structurants
2élémentaires (dansZ , d’un, de deux, ou de quatre pixels). La C-additivité permet
aussi de combiner des informations issues d’échantillons épars à travers l’espace.
1. Par exemple les ensembles de Vitali, qui peuvent être construits en utilisant l’axiome du
choix.Introduction à la mesure en analyse d’image 27
Invariance par déplacements :
Comme décrit plus haut, on s’attend à ce que les mesures réalisées sur un ensemble
binaire ne dépendent pas de sa position dans l’image, et pour certaines, ni de son
orientation. On parle d’invariance par déplacement et non par isométrie, en séparant
les parties translation et rotation.
dSib est un vecteur deR ,X est l’ensembleX translaté du vecteurb,α est un angleb
αetX est l’ensemble X soumis à une rotation d’angleα. On a les deux invariances
suivantes :
W(X ) =W(X) (Invariance par translation) (1.1)b
α
W(X ) =W(X) (Invariance par rotation) (1.2)
L’association des deux invariances est aussi appelée invariance par isométrie ou encore
invariance par transformation rigide, voir la section 2.3.3 au chapitre 2.
Régularité :
Dans la mesure du possible, on souhaite réaliser des mesures qui ne varient pas
grandement en fonction du bruit ou de la procédure de discrétisation. Ceci s’exprime
par une condition de continuité, mais celle-ci est difficile à exprimer simplement, et
d’autre part une contrainte trop forte de régularité obligerait à s’affranchir de mesures
utiles. On utilise le souvent une notion de continuité conditionnelle, qui est la suivante.
dDÉFINITION 1.2 (Continuité conditionnelle).– Une fonctionnelleW deCR(R ) est
continue conditionnellement si et seulement is elle est continue sur la sous-classe des
densembles convexes compacts deR pour la métrique de Hausdorff. On définit la
monotonie conditionnelle de manière similaire.
La combinaison des quatre propriétés précédentes a été proposée par H.
Minkowski à propos des ensembles convexes. Sa définition peut être transposée au cas
de l’anneau convexe par la définition suivante.
dDÉFINITION 1.3 (Fonctionnelle de Minkowski).– Une fonctionnelleW deCR(R )
qui est définie, positive bornée, homogène,C-additive, invariante par déplacements,
conditionnellement continuous and conditionnellement monotone est appelée une
fonctionnelle de Minkowski.
Il est utile de prendre quelques exemples et contre-exemples de fonctionnelles de
Minkowski.28 Morphologie mathématique 2
– L’aire d’un objet en 2D. Soient deux ensembles compact convexesX etY dans
2l’espaceR , et A la mesure de Lebesgue. On voit que A est une fonctionnelle de
2Minkowski sur ces objets : elle est clairementC-additive, on aA(kX) =k A(X),A
est invariante par translation et rotation, etA est continue et croissante.
– Le périmètre d’un objet est également une fonctionnelle de Minkowski, bien
qu’elle ne soit que convexe-continue (c’est-à-dire continue uniquement dans le cadre
des convexes).
– La fonctionnelle de comptage. Soitn un entier fini, considéronsn ensemblesXi
2connexes deR et la fonctionnelleL(X ) qui à chaque ensemble connexe associe uni
unique entier 1≤L(X )≤n différent pour chaqueX . Cet entier est le label deX .i i i
Cette fonctionnelle n’est pas de Minkowski car elle n’est pasC-additive.
1.3.1. Lacaractéristiqued’Euler-Poincaré
Dans l’anneau convexe, toutes les fonctionnelles de Minkowski proviennent, par
intégration, d’une même origine de degré zéro, qu’on appelle la caractéristique
d’EulerPoincaré (CEP), ou encore le nombre de connexité.
THÉORÈME 1.4 (Hadwiger).– L’unique fonctionnelle définie sur l’anneau convexe
dK(R ), qui estC-additive et constante pour les compacts convexes est la
caractérisdtique d’Euler-Poincaréν .
La constance pour les convexes entraîne que la CEP est de dimension 0, donc
invariante par homothétie et par déplacements. Grâce à la C-additivité, son calcul
dne met en jeu que des éléments structurants infinitésimaux. Elle se définit dansR
récursivement en partant de 0. Cette construction est décrite en détails dans [HAD 57],
nous ne reprenons ici que les points importants :
0– en dimension 0, l’espace est réduit à un point etν (X) vaut 1 siX est ce point,
et 0 siX est l’ensemble vide ;
1– en dimension 1,ν (X) compte le nombre de segments disjoints dont est
composéX ;
2– en dimension 2, ν (X) correspond au nombre de grains de X (c’est-à-dire le
nombre d’objet disjoints composantX) moins son nombre de pores (c’est-à-dire le
nombre de trous disjoints dans les grains deX) ;
3– en dimension 3, ν (X) correspond à la somme du nombre de minima et de
maxima dans une direction d’échantillonnage, diminué du nombre de points selle.
Ainsi, la CEP d’une sphère vaut 1, celle d’un tore 0 et celle d’une couronne sphérique
2 (voir figure 1.1). Elle est lié au genre deX.
3En topologie algébrique on définit le genre d’une surface 2D plongée dansR par
le nombre de boucle que l’on peut tracer sur la surface sans la déconnecter. Ainsi leIntroduction à la mesure en analyse d’image 29
Figure1.1. Caractéristique d’Euler-Poincaré pour certaines figures en 3D
genre de la surface d’une sphère est 0, de la surface d’un tore 1 et celle d’un tore avec
une poignée 2 (et ainsi de suite). On montre que la CEP d’un ensembleX en 3D est
déduit de l’équation suivante :
X
3ν (X) = [1−G(∂X )], (1.3)i
oùG(A) est le genre de la surfaceA et∂X une composante connexe de la frontièrei
deX. Dans le cas de la sphère, du tore et de la couronne sphérique, on retrouve bien
les valeurs attendues illustrées à la figure 1.1.
La CEP se définit également récursivement en dimension arbitraire supérieure à
3, mais nous nous arrêtons ici, comme l’espace 3D correspond à l’espace physique
classique.
1.3.2. Lacaractéristiqued’Euler-Poincarédansl’espacediscret
La référence à Euler dans la CEP vient de sa célèbre formule liant le nombre de
faces, lignes et points dans les polyèdres convexes :
F −E +V = 2, (1.4)
oùF est le nombre de faces,E le nombre de lignes etcV le nombre de points. Or la
CEP d’un polyèdre convexe est précisément égale à 2, et en général, pour tout polyèdre
X, on trouve l’expression de sa CEP par l’équation suivante :
ν(X) =F −E +V. (1.5)
Cette équation est purement discrète. Or tout objet discrétisé dans la grille régulière
carrée (en 2D) ou cubique (en 3D) se réduit respectivement à une surface ou un
volume dont la frontière est un polygone ou un polyèdre respectivement. Cette
observation permet de calculer la CEP de tout objet discrétisé en comptant certains points
particuliers.30 Morphologie mathématique 2
Figure1.2. CEP en 1D d’un ensemble discret. Chaque segment a pour
CEP=1
1.3.2.1. En dimension 1
Sur une grille régulière en 1 dimension, si X est un ensemble borné surZ, en
reprenantla terminologiedesgraphes,alors :
1ν (X) =N(sommets)−N(arêtes) =N(•)−N(−) (1.6)
On retrouve bien le fait que la CEP d’un intervalle fermé borné est 1, par exemple
(voir figure 1.2).
1.3.2.2. En dimension2
2Sur une grille carrée régulière, siX est un ensemble borné dansZ , alors on
retombe sur la formule d’Euler :
2ν (X) = N(sommets)−N(arêtes)+N(faces))
(1.7)
= N(•)−N(−)−N(|)+N()
En 2D cette CEP se calcule relativement facilement, par dénombrement. Voir par
exemple la figure 1.3. Dans cette figure, la CEP des ensembles discrets est
rigoureusement la même que dans le continu, et correspond à la règle établie précédemment, à
2savoirν (X) = nombre de grains moins nombre de pores. Néanmoins, on doit
considérer chaque pixel comme un complexe (muni de points, arêtes et d’une face), ce qui
n’est pas souhaitable.
Par analogie avec la définition par récurrence dans le continu, nous pouvons
éga1lement calculer la CEP discrète en 2D de la manière suivante. Appelons ν (A) la
somme des CEP en 1D des sections horizontale de tout ensembleA, et notonsA⊖|
l’érosion de Minkowski deA par un segment vertical unitaire, alors on a l’équation
suivante :
2 1 1ν (X) =ν (X)−ν (X⊖|), (1.8)
Cette équation est facile à mettre en œuvre dans la pratique. Elle permet d’obtenir
la CEP à partir des pixels plutôt que des complexes autour de ces mêmes entités. La
figure 1.4 explique son fonctionnement. On constate que la formule 1.8 accumule 1 par
grain et -1 par pore, ce qui correspond bien à la CEP attendue provenant du continu.
1.3.2.3. En dimension3
3De même qu’en 2D, on peut définir la CEP d’un ensembleX borné dansZ :
3ν (X) =N(sommets)−N(arêtes)+N(faces)−N(volumes) (1.9)