Signaux et systèmes linéaires continus

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Description

Il n'est guère de fonctionnement sans système, ces derniers obéissant généralement à des signaux. De la pendule à balancier aux drones, l'imbrication des systèmes élémentaires conduit aux systèmes les plus complexes. Les outils mathématiques de l'algèbre (nombres complexes, fractions rationnelles, décomposition en éléments simples) et de l'analyse (dérivation, intégration, limites, fonctions sinusoïdales, logarithmiques, exponentielles) permettent d'analyser nombre d'entre eux.
L'ouvrage Signaux et systèmes linéaires continus présente de manière didactique, les notions fondamentales des signaux et des systèmes linéaires continus.
Les concepts présentés sont expliqués en privilégiant la matérialisation et le bon sens. Tous les résultats sont démontrés. De nombreux exemples d'applications détaillées comme un système asservi, un oscillateur, des filtres, un intégrateur ou un dérivateur illustrent les études théoriques.
Signaux et systèmes linéaires continus s'adresse aux lecteurs qui souhaitent également aborder les domaines plus spécialisés comme les systèmes bouclés, les régulateurs, les amplificateurs haute-fréquence ou les transmetteurs.
Chapitre 1. Préliminaires. Chapitre 2. Échelles linéaires et logarithmiques. Chapitre 3. Signaux et systèmes : types et modèles. Chapitre 4. Fonctions de transfert de la classe des fractions rationnelles. Chapitre 5. Exemples. Annexes. Bibliographie. Index.

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Date de parution 13 avril 2011
Nombre de visites sur la page 12
EAN13 9782746241329
Langue Français

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Signaux et systèmes linéaires continus





Amon père, ma mère
Daniel et Nicole
Stéphanie et Florence

http://jp-tech.pagesperso-orange.fr/














© LAVOISIER, Paris, 2011
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-3001-9



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Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, April 2011.





































Signaux et systèmes
linéaires continus









Jean-Paul Guillois


TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Objet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Présentation du document. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Mode d’emploi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1. Organisation, prérequis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.2. Notations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Références .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Outils d’aide à la réalisation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13

13

13
13

14

16
16

Chapitre 2. Echelles linéaires et logarithmiques19. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. La courbe d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2. Echelle linéaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.2.1. Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2.2. Construction pratique optimale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2.3. Avantages et inconvénients .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

2.2.4. Exemple : échelle cartographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

2.3. Echelle logarithmique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.3.1. Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.3.2. Repérage d’une valeur particulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.3.3. Module, décade, octave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.3.4. Construction pratique optimale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2.3.5. Avantages et inconvénients .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.3.6. Exemples de mises en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.3.6.1. Base décimale (a= 10)35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6.2. Base deux (a36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 2)
2.3.6.3. Changement du nombre de modules. . . . . . . . . . . . . .37

6 Signauxet systèmes linéaires continus

2.3.7. Autres exemples de construction d’un axe
selon une échelle logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.3.7.1. Choix d’une base .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.3.7.2. Construction d’une échelle logarithmique
de base deux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.3.7.3. Construction d’une échelle logarithmique
de base 10 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
2.4. Représentations graphiques de la dérivée deG(Z) .40. . . . . . . . . . . .
2.4.1. Echelle linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.4.2. Echelle logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.4.3. Allure des courbesvia. . . . . . . . . . . . . . . . .leurs dérivées42

2.5. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Chapitre 3. Signaux et systèmes : types et modèles . . . . . . . . . . . . . . .45
3.1. Signal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

3.2. Système, filtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.2.1. Définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.2.2. Causalité et stabilité des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

3.2.3. Fonctions de transfert : définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . .48

3.2.3.1. Equations différentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
3.2.3.2. Fonctions de transfert, spectre ou analyse fréquentielle. . .49
3.2.3.3. Le gain .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.2.3.4. La phase .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

3.2.4. Représentations : Nyquist, Nichols, Bode.. . . . . . . . . . . . . .68

3.2.5. L’ordre d’un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

3.2.6. La réponse impulsionnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.2.7. Causalité et stabilité des systèmes avecH(p)
fraction rationnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

3.2.7.1. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

3.2.7.2. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

3.2.8. Support spectral, bandes passantes, gabarit. . . . . . . . . . . . . .73
3.3. Fonction de transfert : formulations théoriques. . . . . . . . . . . . . . .77
3.4. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Chapitre 4. Fonctions de transfert de la classe
des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Systèmes d’ordre nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. L’amplificateur ou atténuateurH(p) =k. . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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85

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85

Table des matières7

4.1.1.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.1.1.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.1.1.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.1.1.5. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.1.1.6. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.1.1.7. Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.1.2. Le système identitéH(p) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.1.2.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.1.2.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.1.2.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.1.2.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.1.2.5. Causalité, stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.1.2.6. Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.1.3. L’inverseurH(p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) = –189

4.1.3.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.1.3.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.1.3.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.1.3.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.1.3.5. Causalité, stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.1.3.6. Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.1.4. L’amplificateur inverseurH(p) = –k. . . . . . . . . . . . . . . . . .91

4.1.5. Le système nulH(p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91) = 0 .

4.1.6. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

4.1.6.1. L’amplificateur ou atténuateurH(p) =k91. . . . . . . . . . . .

4.1.6.2. Le système identitéH(p92) = 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.6.3. Le système inverseurH(p) = –1. . . . . . . . . . . . . . . . .92

4.1.6.4. L’amplificateur inverseurH(p) = –k93. . . . . . . . . . . . . . .

4.1.6.5. L’amplificateur inverseurH(p93) = 0. . . . . . . . . . . . . . .

er
4.2. Systèmes du 1ordre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

4.2.1. Fonctions de transfert à pôle nul :H(p) =k/bp. . . . . . . . . . .93

4.2.1.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

4.2.1.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

4.2.1.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

4.2.1.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

4.2.1.5. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

4.2.1.6. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

4.2.1.7. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

4.2.2. Fonctions de transfert à pôle non nul :H(p) =k/(bp+c) . . . . . .99

4.2.2.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

4.2.2.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

4.2.2.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

8 Signauxet systèmes linéaires continus

4.2.2.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4.2.2.5. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.2.2.6. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.2.2.7. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.2.2.8. Effets du filtre, comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.2.3. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

er
4.2.3.1. Système du 1ordre à pôle nulH(p) =k/bp. . . . . . . .120 .

er
4.2.3.2. Système du 1ordre à pôle non nulH(p) =k/ (bp+c) .. . .121

e
4.3. Systèmes du 2ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

2
4.3.1. Fonctions de transfert à pôle double nul :H(p) =k/ap126. . . . . .

4.3.1.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

4.3.1.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

4.3.1.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

4.3.1.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

4.3.1.5. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

4.3.1.6. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

4.3.2. Fonctions de transfert à pôle réel double non nul :
2
H(p) = 1 / (1+pT)130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

4.3.2.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

4.3.2.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

4.3.2.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

4.3.2.5. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

4.3.2.6. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

4.3.2.7. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

4.3.2.8. Effets du filtre, comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4.3.3. Fonctions de transfert à pôles réels dont l’un est nul :
H(p) = 1 / [p(1+pT139)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4.3.3.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

4.3.3.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

4.3.3.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

4.3.3.5. Réponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

4.3.3.6. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

4.3.3.7. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

4.3.3.8. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

4.3.4. Fonctions de transfert à pôles réels non nuls :

H(p) = 1/[(1+pT1)(1+pT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .)] .147
4.3.4.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

4.3.4.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

4.3.4.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

Table des matières9

4.3.4.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

4.3.4.5. Réponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

4.3.4.6. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

4.3.4.7. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

4.3.4.8. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

4.3.5. Fonctions de transfert à pôles complexes conjugués. . . . . . . .158

4.3.5.1. Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

4.3.5.2. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

4.3.5.3. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

4.3.5.4. Réponse impulsionnelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

4.3.5.5. Réponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

4.3.5.6. Valeurs relatives des différentes fréquences .. . . . . . . . .186

4.3.5.7. Causalité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

4.3.5.8. Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

4.3.5.9. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

4.3.6. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

4.3.6.1. Fonctions de transfert à pôles double nuls
2
H(p) =k/ap188. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.6.2. Fonctions de transfert à pôle réel double non nul
2
H(p) = 1 / (1+pT)189. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.6.3. Fonctions de transfert à pôles réels dont l’un est nul
H(p) = 1 / [p(1+pT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .)] .191

4.3.6.4. Fonctions de transfert à pôles réels non nuls

H(p) = 1 / [(1+pT1)(1+pT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .)] .192
4.3.6.5. Fonctions de transfert à pôles complexes conjugués .. . . .194

4.4. Systèmes enp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

4.4.1. Définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

4.4.2. Courbes de gain .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

4.4.2.1. Expressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

4.4.2.2. Les courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

4.4.3. Courbes de phase .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

4.4.3.1. Expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

4.4.3.2. La courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

4.4.4. Réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

4.4.5. Causalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

4.4.6. Stabilité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

4.4.7. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

4.4.8. En résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

10 Signauxet systèmes linéaires continus

Chapitre 5. Exemples205. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Intégrateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
5.1.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

5.1.2. Commentaires .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

5.1.3. Fonction de transfert temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

5.1.4. Réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

5.1.5. Fonction de transfert de Laplace .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

5.1.6. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . .208

5.1.6.1. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

5.1.6.2. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

5.2. Filtre passe-bas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

5.2.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

5.2.2. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . .210

5.3. Double intégrateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

5.3.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

5.3.2. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . .212

5.3.3. L’instabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

5.4. Filtre passe-bas et intégrateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

5.4.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

5.4.2. Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

5.4.2.1. Courbe de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

5.4.2.2. Courbe de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

5.4.2.3. Conclusion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

5.4.3. Instabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

5.5. Double filtres passe-bas identiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

5.5.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

5.5.2. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . .217

5.6. Double filtres passe-bas différents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

5.6.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

5.6.2. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . .220

5.7. Dérivateur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

5.7.1. Schéma fonctionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

5.7.2. Commentaires .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

5.7.3. Fonction de transfert temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

5.8. Fonction de transfert fréquentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

5.9. Circuit RLC, tension aux bornes du condensateur .. . . . . . . . . . . .225

5.9.1. Schéma et fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

2 2
5.9.2. Cas où'=R C4LC= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

5.9.2.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

5.9.2.2. Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

5.9.2.3. Fonction de transfert fréquentielle. . . . . . . . . . . . . . . .227

Table des matières11

2 2
5.9.3. Cas où'=R C4LC> 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

5.9.3.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

5.9.3.2. Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

5.9.3.3. Fonction de transfert fréquentielle. . . . . . . . . . . . . . . .230

2 2
5.9.4. Cas où'=R C4LC232. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .< 0

5.9.4.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

5.9.4.2. Etude pourR z2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9.4.3. Fonction de transfert fréquentielle pourR z. . . . . . . .2330 .

5.9.4.4. Etude pourR235= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9.4.5. Fonction de transfert fréquentielle pourR= 0 .. . . . . . . .236

5.10. Circuit RLC, tension aux bornes de la résistance .. . . . . . . . . . . .237

5.10.1. Schémas et fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

5.10.1.1. Définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

5.10.1.2. Caractéristiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

2 2
5.10.2. Cas où'=R C4LC= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

5.10.2.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

5.10.2.2. Propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

5.10.2.3. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . .244

2 2
5.10.3. Cas où'=R C4LC249. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .> 0

5.10.3.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

5.10.3.2. Propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

5.10.3.3. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . .251

2 2
5.10.4. Cas où'=R C4LC< 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

5.10.4.1. Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

5.10.4.2. Propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

5.10.4.3. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . .257

5.11. Oscillateur à pont de Wien .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260

5.11.1. Equation caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260

5.11.1.1. A partir de l’amplificateur bouclé. . . . . . . . . . . . . . .260

5.11.1.2. A partir de l’amplificateur instable.. . . . . . . . . . . . . .261

5.11.2. Le pont de Wien .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

5.11.2.1. Etude générale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

5.11.2.2. Paramètres, stabilité, causalité. . . . . . . . . . . . . . . . .264

5.11.2.3. Fonction de transfert fréquentielle .. . . . . . . . . . . . . .266

5.12. Filtre de Butterworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269

5.13. Systèmes asservis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

5.13.1. Définition et propriétés d’un système asservi. . . . . . . . . . . .270

5.13.2. Exemple : asservissement de position. . . . . . . . . . . . . . . .271

5.13.3. La FTBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272

5.13.3.1. Courbe de gain en boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . .272

5.13.3.2. Courbe de phase en BO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

12 Signauxet systèmes linéaires continus

5.13.4. La FTBF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275

5.13.4.1. Constantes du système en BF. . . . . . . . . . . . . . . . . .275

5.13.4.2. Circuit RLC équivalent au système en BF. . . . . . . . . .277

Annexes283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1. Notions d’axe et d’échelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

er
A.2. Ecart de gain maximum entre un 1ordre et son approximation. . . . .287

A.3. Relation : pôles et instabilité asymptotique288. . . . . . . . . . . . . . . . . .

e
A.4. Systèmes du 2ordre à pôles non nuls : étude généralisée. . . . . . . . .291

A.5. Energie, puissance, valeur efficace, RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . .355

A.6. Distorsion359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.7. Dérivée seconde deG(Z) dans une échelle logarithmique359. . . . . . . . .

A.8. En résumé360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369

Index .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371


1.1. Objet

CHAPITRE1

Préliminaires

Ce paragraphe est le seul à utiliser des termes non définis préalablement. Il permet
aux avertis de savoir de quoi traite cet ouvrage.

L’objet de ce document est d’introduire l’étude des systèmes à partir de leurs
fonctions de transfert. Sa vocation est résolument pédagogique. Nous supposerons
que :
– les fonctions de transfert existent ;
– les systèmes sont causaux ;
– les systèmes ont des domaines de stabilité.

1.2. Présentation du document

1.2.1.Mode d’emploi

1.2.1.1.Organisation, prérequis

Les expressions ou termes faisant l’objet d’une définition sont matérialisés par
des caractères en italique. Exemple: la nature physique d’une grandeur définit sa
dimension. En outre le terme dimension correspond à une entrée dans l’index.

A l’exception des annexes, ce document a été conçu en supposant qu’il sera lu
par un profane et suppose donc d’être abordé dans l’ordre chronologique. Toutefois

14 Signauxet systèmes linéaires continus

un certain nombre de renvois permettent une navigation offrant au lecteur averti la
possibilité de l’aborder à un endroit quelconque. Citons par exemple :
– un index en fin d’ouvrage ;
– des renvois aux équations et aux chapitres pertinents ;
– des retours,via l’index,aux expressions ou termes définis par ailleurs. Ces
expressions ou termes sont dans ce cas matérialisés par des caractères en italique
suivis d’un astérisque. Exemple : « Un scalaire est un coefficient sansdimension*. »
Dans cet exemple on signale au lecteur que le terme «dimension »a fait l’objet
d’une définition et que celle-ci se trouve à une page précisée dans l’index.

Certains chapitres sont terminés par un paragraphe rassemblant les résultats
importants ou qui seront repris dans la suite. Ils s’intitulent « En résumé ».

Trois grandes parties se partagent chronologiquement cet ouvrage :
– une présentation théorique. On y découvre les outils et les résultats relatifs aux
signaux et aux systèmes linéaires continus. Des notions de base y sont utilisées en
algèbre (nombres complexes, fractions rationnelles et décomposition en éléments
simples), en analyse (dérivation, intégration, limites, fonctions sinusoïdales,
logarithmiques, exponentielles) et en électronique (calculs des circuits passifs,
amplificateur opérationnel) ;
– les exemples. Dans cette seconde partie nous proposons d’illustrer la théorie
par des exemples fameux essentiellement empruntés à l’électronique. Les applications
numériques en constituent l’essentiel ;
– les annexes. Elles ne sont pas nécessaires à la compréhension du reste. Y sont
rejetés soit des développements faisant appel à des notions mathématiques vues
dans des classes d’enseignement supérieur scientifique (distributions, etc.) soit des
interprétations imagées ou graphiques aidant à l’acquisition de définitions abstraites
(différences entre transformée de Fourier et de Laplace par exemple).

1.2.1.2.Notations
Nous utiliserons les notations suivantes :
– : ensemble des réels ;
*
– : ensemble des réels privé de 0 ;
– C: ensemble des nombres complexes ;
– ': sauf indication contraire, discriminant d’un polynôme du second degré ;
– A.N. : application numérique ;

Préliminaires 15

2
– j: imaginaire pur tel quej 1 .C’est la variablei desouvrages de
mathématiques ;
*
– xest le conjugué dex. Il arrivera que utilisions la notationx;

t1 pour!0
­
°
;
– sign(x)®1 pourt0
°quelconque pourt 0
¯

– a{b >2S@:aetbsont congrusmodulo2ʌ;
x
dW
– lnx , autrement dit : logarithme népérien ;
³1
W
lnx
– logx , autrement dit : logarithme de basea;
a
lna
lnx
– logx , autrement dit : logarithme décimal ;
ln10
sinT
– tanT , il s’agit de la fonction tangente notée selon la normalisation
cosT
internationale ;

­xtanT
°
S S
– arctanx T;: fonction définie par
®
T
°
¯2 2

­1 pourt!0
°

– u(t) ®0 pourt0 distributionéchelon unitéou distribution
°quelconque pourt 0
¯
d’Heaviside ;
– G(t) :distribution de Dirac ;
– Re[z]: partie réelle dez;
2
– ksignifiekHaveck,H etH aussi petit que l’on veut ;
– H(Ȧ) est la fonction (voire la distribution) définie parH(p) lorsquep est
imaginaire pur (partie réelle nulle). Cela revient à écrireH(Z) H(p) :ce qui
p jZ
est une erreur puisque bien évidemmentH(Z)zH(jZ)! Certains ouvrages écrivent
H(jZ) pour cette raison. Nous conserverons néanmoins cet abus d’écriture afin de ne
pas alourdir les formulations. Le nom de la variable suffira à discerner la fonction
dont il s’agit ;
– dqP(xdegré du polynôme) :P(x) ;

16 Signauxet systèmes linéaires continus

TL
– x(t)oH(p) :H(p) est la transformée de Laplace dex(t) ;
TF
– x(t)oH(Z) :H(Z) est la transformée de Fourier dex(t) ;
– ^Z condition`est l’ensemble des valeurs deZqui vérifient la condition ;
– xle plus grand entier inférieur ou égal à estx: partie, il est aussi appelé
¬ ¼
entière dex(fonction plancher) ;
– xest le plus petit entier supérieur ou égal àx(fonction plafond) ;
ª º
– n! : factorielnc’est-à-diren! 2u3u"un;

– 2 cettenotation est empruntée à certains langages de programmation ;x^0,5 =
GG
– >dimv@ (rad/s) :ladimension* devest le radian par seconde.

1.2.2.Références

Nous nous sommes parfois aidé d’articles présentés sur Internet et de livres. On
en trouvera la liste dans la bibliographie en fin d’ouvrage. Concernant les documents
Internet nous n’avons pas pensé utile de les lister tous dans la mesure où il faut en
visiter beaucoup pour en tirer un bénéfice pertinent et que leurs liens sont trop instables
et éphémères.

Bien évidemment, nous encourageons le lecteur à naviguer en temps réel sur le
web pourtous les avantages qu’il présente lorsqu’une question très précise se pose
à lui.

1.2.3.Outils d’aide à la réalisation

Quelques-unes des courbes tracées dans ce document l’ont été avecGraph,
version 4.3 de Ivan Johansen. Ce logiciel présente les avantages d’être simple,
efficace et gratuit. On en trouve une version exécutable à l’adresse :

www.padowan.dk/graph/Download.php.

Pour que le lecteur puisse construire les courbes lui-même nous donnons les
équations des fonctions à insérer. Celles-ci sont signalées comme suit :

Equation de la fonction à insérer dansGraph* :

if(x<0,0,x*exp(-x))

Préliminaires 17

La marche à suivre est la suivante :
– ouvrir l’applicationGraph;
– dans le menu «Editer »cliquer sur «Axes... ».La fenêtre «Choix pour les
axes » s’ouvre :
- dans l’onglet «Axe des abscisses» :cocher «Echelle logarithmique» si
nécessaire,
- dans l’onglet «Paramètres »,zone «Trigonométrie »cocher «Degré »ou
« Radian » selon le cas. Ce paramètre est important ;
– dans le menu « Fonction » cliquer sur « Insérer une fonction » ;
– dans la fenêtre « Insérer une fonction », dans la zone « Equation associée à la
fonction » saisir la fonction proposée, ici :

if(x<0,0,x*exp(-x))

– cliquer sur le bouton « OK » et la courbe s’affiche.

Il existe un certain nombre de logiciels de simulation. Nous utiliserons
volontiers :PSpice9.2 de la familleOrcad, une version d’évaluation gratuite est
disponible. Voir l’adresse :

www.cadence.com/products/orcad/Pages/default.aspx

CHAPITRE2

Echelles linéaires et logarithmiques

A l’issue de ce chapitre, nous seront capables de :
– comprendre l’usage des échelles linéaires et logarithmiques ;
– confectionner un axe selon une échelle logarithmique adaptée aux valeurs
expérimentales de la variable étudiée ;
– repérer les valeurs particulières d’une fonction dans une telle échelle ;
– interpréter les valeurs particulières de sa dérivée première dans cette même échelle.

Dans une première lecture on pourra faire l’économie de l’annexe A.1. « Notions
d’axe et d’échelle». Elle doit cependant être comprise pour une complète
compréhension de ce qui suit en particulier pour tout ce qui concerne le vecteur
G
unitéu.

2.1. La courbe d’une fonction

Dans la suite, contrairement aux ouvrages de mathématiques, nous avons choisi
l’expressionG(Ȧ) et non pasf(x) tout simplement parce queGetZsont les lettres
communément utilisées pour représenter ce que nous utiliserons plus loin à savoir le
gainet lapulsation.

L’objectif est de représenter graphiquement une fonctionG(Ȧ) à l’aide de ce que
l’on appelle communément sa « courbe » définie par l’expression :

1
C(l) G>f(l)@ avecl f(Z)

[1]

20 Signauxet systèmes linéaires continus

l f(Z)définit l’échelle avec laquelle est représentéeZsur l’axe des abscisses. Il
appartient à l’utilisateur de choisirf, c’est-à-dire l’échelle qu’il souhaite utiliser. Il
est vrai que très souventfla fonction identité, c’est-à-dire estl f(Z) Z etdonc
C(Z) =G(Z). Cette coïncidence a pour conséquence de ne pas avoir à évoquerC(l)
et de confondre la courbe et la fonction au point que l’on entend parfois dire : « la
courbe G(ZCeci s’explique par le fait que toute échelle linéaire, telle que la) » !
fonction identité, est d’un usage à la fois intuitif et simple.

Alors, qu’est-ce qu’une échelle non linéaire et pourquoi faire ? Cela revient à se
demander s’il y a un intérêt à dessiner une courbe sur une feuille de caoutchouc
d’épaisseur variable pour l’observer après avoir tiré dessus avec une force donnée !
Et bien c’est qu’effectivement il y a souvent des avantages à observer certaines
parties d’une courbe plus précisément que d’autres. On s’arrangera en effet à ce que
ces parties soient dessinées sur des parties fines de la feuille de caoutchouc, les
graphiques inscrits sur elles seront zoomés… Il se trouve qu’en traitement du signal
cet avantage est apprécié à cause, entre autres, de la dynamique importante des
variables utilisées. Mais un inconvénient apparaît: sur la feuille de caoutchouc la
dérivée deG(Z) n’a pas de représentation graphique immédiate…

2.2. Echelle linéaire

La construction d’un axe selon une échelle linéaire va sans doute paraître dénuée
d’intérêt. Nous pensons le contraire parce qu’elle prépare celle d’un axe selon une
échelle logarithmique.

2.2.1.Définition

L’échelle linéaire est définie par :

l aZ

où :
– a eta!0 . C’est un scalaire (coefficient sansdimension*) ;
G
– l est(un nombre de vecteurs unitésu).l il est sans etdimension*. La
connaissance del permetde nous positionner sur l’axe représenté par un trait
horizontal dans le cas des abscisses, voir la figure 2.1. L’usage est que l’on :
- matérialise certaines valeurs entières delde petits tirets en travers de par
l’axe en y inscrivant la valeur en regard, on parle degraduation*,
- munisse l’extrémité droite du trait horizontal par une flèche elle-même
orientée vers la droite ;

Echelles linéaires et logarithmiques21

– Zun nombre d’unités de vitesse angulaire (rad/s). estZ il est sans et
dimension*. C’est la variable à repérer sur l’axe. On l’appelle pulsation. On préférera
prendre la lettreflorsque l’unité de vitesse à laquelle elle est associée est 2Srad/s,
on parle alors de fréquence. La variable et son unité sont inscrites vers l’extrémité
droite de l’axe, généralement dessous et entre parenthèses pour la seconde. Après
avoir mentionné que l’échelle est linéaire, au moins deux valeurs deȦdoivent être
inscrites et matérialisées par de petits tirets en travers de l’axe. Sinon il n’est pas
possible de retrouver l’échelle, c’est-à-dire la valeur dea, autrement qu’en la
précisant par ailleurs comme par exemple : 2 cm = 1 rad/s (sur une feuille de papier),
1 division = 2 rad/s (sur l’écran d’un oscilloscope),… On parle denormalisationde
l’axe, elle est incontournable. Afin de faciliter la lecture de l’axe les deux valeurs
précédemment évoquées seront des valeurs simples comme 0 et 1 par exemple. Il
peut se faire que d’autres valeurs soient préférables. Les valeurs supplémentaires
sont choisies en fonction de l’intérêt qu’elles présentent. Voir la figure 2.2.

-1

-1

-2

-1

0

0

0

G
u

1

G
u

1

1

2

2

Figure 2.1

2 2

2

4

Figure 2.2.

3

3

7

4

4

l

l

Z(rad/s)
8

REMARQUE.–l 1Z 2 .Sachant quel aZen déduit ona= 0,5. Notons que
1/aest la valeur deȦqui s’inscrit enl 1 . On peut aussi dire que 1/aest la quantité
qu’il faut ajouter àȦpour faire quelcroisse de 1.

On pourrait mentionner quelque part 2 cm = 2 rad/s puisque c’est ici le cas (si les
diverses opérations de mises en pages et d’impression de ce livre n’ont pas modifié
nos mises en forme initiales...). Ceci dispenserait alors d’inscrirelet ses différentes
G
valeurs. On pourrait aussi laisser l’utilisateur mesurer lui-même le module deu et
donc ne pas préciser que 2cm = 2 rad/s.On peut même aller plus loin dans la
G
mesure où finalementune sert à rien dans la lecture de l’axe. D’ailleurs notons que
l’on peut en changer cela revient à modifiera. En conséquence et conformément à
l’habitude l’axe peut être dessiné comme le montre la figure 2.3.

22 Signauxet systèmes linéaires continus

-1

-2

-1

0

0

1

1

2

2 2

2

4

Figure 2.3.

3

7

4

l

Z(rad/s)
8

REMARQUES.–
– Sans précision l’échelle d’un axe est linéaire. Il n’est donc pas nécessaire de la
préciser si c’est le cas.
– Le lecteur ayant quelques connaissances en algèbre linéaire remarquera que (a)
est la matrice, uniligne et unicolonne, associée à la transformation linéaire de
l’espace des pulsations à l’espace spatial qu’est l’axe sur la feuille de papier sur
G
laquelle nous allons représenter la variablev Zu1 rad/s.

2.2.2.Construction pratique optimale

Le problème s’énonce ainsi. Soit à tracer la courbe d’une fonctionG(Z). A titre
d’exemple on suppose queZ varieentre une valeur minimale min(Z) = 9,5et une
valeur maximale max(ZOn souhaite repérer cette variable sur l’axe des) = 29,7.
abscisses selon une échelle linéaire. Comment construire l’axe correspondant sur
une feuille de largeurLdonnée ?

Une démarche identique sera utilisée pour l’échelle logarithmique. C’est pour
cette raison que, quand bien même ils sont inutiles comme cela a été dit précédemment,
G
nous allons conserverl etuque nous en aurons besoin pour l’échelle parce
logarithmique.

1. On détermine l’amplitude des valeurs del c’est-à-direǻl. Sachant que
l aZon en déduit :'l amax(Z)amin(ZOr, comme c’est le cas dans notre) .
exemple,ǻla toutes les chances d’être un réel et élaborer un axe avecǻlnon entier
n’est guère commode. Il est admis à l’unanimité de lui choisir l’entier le plus proche
qui permet de repérer toutes les valeurs exigées deZ. On montrerait que cet entier
est défini par :

'l ªamax(Z)º¬amin(Z)¼

G
2. Le choix dea esttotalement libre et il est toujours possible de choisiru
de façon queaOn détermine alors l’amplitude des valeurs de= 1.l, soit
'l ªmax(Z)º¬min(Z)¼ ª29,7º¬9,5¼et :ǻl= 21.
REMARQUE.– L’axe repérera la valeur minimalel= 9 et la valeur maximalel= 30.

Echelles linéaires et logarithmiques23

3. L étantla largeur du support utilisé on en déduit la longueur de l’unité
G
L
géométrique :u . Exemple: si le support utilisé est la page de ce livre on
'l
observe que sa largeur utile (largeur totale de la feuille moins les deux marges) est
G
12
L= 12 cm,d’où :u Il est bon d’arrondir ce résultat à une valeur0,571cm .
21
inférieure plus commode d’emploi au détriment de l’usage total de la largeur de la
G
page. Nous avons choisi :u 0,5 cm.

REMARQUE.– On ne peut arrondir à une valeur supérieure car alors il ne serait plus
possible de représenter toutes les valeurs deȦinitialement souhaitées.

4. La valeur del=Ȧ= 9 est matérialisée à gauche par un tiret vertical en travers
de l’axe. On matérialise au moins une autre valeur et pourquoi pasl=Ȧ= 11 qui se
G
trouve à2uu 1cmà droite de la valeur précédente. Ceci est un minimum si l’on
précise que l’axe respecte une échelle linéaire. Mais d’une part cette précision n’est
pas toujours exprimée et d’autre part il est admis que le concepteur de l’axe repère
davantage de valeurs afin d’en permettre une lecture plus immédiate. Dans l’exemple
de la figure 2.4 nous avons repéré toutes les valeurs impaires deȦ.
G
u
9
9 1113 15 17 121 2325 27 2930l

9

11

13

15

17

19

21

Figure 2.4.

23

25

27

29

Z
(rad/s)

REMARQUES.–
– Le vecteur unité a été déporté de l’axe pour ne pas nuire à sa lisibilité (voir
l’annexe A.1 « Notionsd’axe et d’échelle»). Rappelons qu’il n’apporte aucune
information et qu’il pourra être omis.
– l Zla lettre «l» et ses valeurs n’ont pas besoin d’être inscrites.

D’où la représentation finale de l’axe, figure2.5, avec les repères des valeurs
extrêmes souhaitées deZ:

9,5
9 11

13

15

17

19

21

Figure 2.5.

23

25

27

Z
29,7
29
(rad/s)

24 Signauxet systèmes linéaires continus

Maintenant d’autres valeurs deȦ peuventêtre repérées selon l’intérêt qu’elles
présentent dans l’expérimentation faite par l’auteur mais conformément à l’énoncé
elles sont au moins comprises entre 9,5 et 29,7.

2.2.3.Avantages et inconvénients

L’échelle linéaire est de loin la plus utilisée pour les deux avantages suivants :
– une grande simplicité d’utilisation: il suffit de compter un nombre (entier
ou réel) d’unités pour repérer une valeur deZ. L’unité peut être un nombre de
centimètres (0,5cm sur la figure2.5), de carreaux sur une feuille quadrillée, de
divisions sur un oscilloscope, etc. ;
– elle est la seule utilisée en analyse mathématique pour représenter graphiquement
la dérivée première deG(Ȧ).

Cela dit l’échelle linéaire souffre d’un certain nombre d’inconvénients : on aimerait
bien pouvoir représenter surXtoutes les valeurs deZ. Mais aucun support (par exemple
la feuille de papier sur laquelle est tracéX) ne le permet pour deux raisons :
– il est dedimension* finieet donc les grandes valeurs deZ nepeuvent être
représentées par des valeurs correspondantes del;
– l’outil utilisé (crayon à papier, résolution de l’écran de l’oscilloscope) pour
tracer les vecteurs possède une résolution finie. Autrement dit, la mine de crayon,
aussi fine soit-elle, ne permet pas de distinguer deux vecteurs dont les correspondants
surXont une différence inférieure à son épaisseur.

L’échelle logarithmique pallie, en partie, cet inconvénient.

2.2.4.Exemple : échelle cartographique

Ce paragraphe est destiné au lecteur sachant ce qu’est le module d’un vecteur.

L’échelle utilisée en cartographie procède du même principe: représenter une
longueur sur le terrain par une longueur sur un papier. La différence est qu’il n’y a
pas d’application d’un espace vectoriel dans un autre mais une application d’un
espace dans lui-même (espace spatial). Il s’agit donc d’un changement de base. Sachant
G
G
queaest systématiquement égal à 1, siuest l’unité de l’axeXet si:est le vecteur de
base sur le terrain, il existe essentiellement deux façons de préciser l’échelle adoptée :
G
G
– par l’indication de la correspondanceul :. Exemple : 1 cmļ2,5 km ;
G
u
1
– par le rapport des modules des unités :e . Exemple :e .
G
250000
:

2.3. Echelle logarithmique

Echelles linéaires et logarithmiques25

La compréhension complète de ce chapitre nécessite celle de l’annexeA.1
« Notions d’axe et d’échelle ». Nous allons suivre le même cheminement que celui
du paragraphe2.1.2 « Echellelinéaire ».Nous conseillons vivement au lecteur de
s’y reporter dans la mesure où nous n’avons pas repris ici, parce qu’identiques,
certains commentaires.

2.3.1.Définition

L’échelle logarithmique est définie par :

l logZ
a

où :
– a eta!1 . C’est un scalaire appelé : base logarithmique:
- siaprenait une valeur telle que 0 <a< 1, l’échelle serait décroissante. Dans
une telle échelle lorsquel augmenteȦCeci est contraire à toutes les diminue.
habitudes de repérage. Ce serait vouloir compliquer les choses sans aucun avantage,
- sia= 1 l’échelle n’est pas définie…
– l etȦdes rôles et des matérialisations identiques à ceux du chapitre sur ont
l’échelle linéaire, voir le paragraphe 2.1.2.1 « Définition ». Les notions de pulsation
et de fréquence sont analogues. Là encore lanormalisation* de l’axe est incontournable
pour pouvoir le lire. Si l’on sait que l’échelle est logarithmique, au moins deux
valeurs deȦêtre inscrites et matérialisées par de petits tirets en travers de doivent
l’axe, voir l’exemple de la figure 2.6.

-1

1/3

0

1

G
u

1

3

2

9

Figure 2.6.

3

4

l

27 81
Z(rad/s)
échelle logarithmique

REMARQUES.–
– Ȧ= 0 est rejeté à l’extrême gauche de l’axe (lo f). Cette valeur n’est donc
pas représentable ;
– la valeurȦ= 1 est représentée par l’origine* de l’axe (l= 0) ;
– les valeurs négatives deȦne peuvent être représentées. Nous verrons que dans
nos applications cela est sans importance ;

26 Signauxet systèmes linéaires continus

– les valeurs deZ comprisesentre 0 et 1 sont représentées sur l’axe par des
valeurs négatives del. PlusZest proche de 0 et plusltend versf. Dans la pratique
+
il est rare de s’intéresser à des valeurs extrêmement petites (proches de 0 ). Cela
reste bien évidemment possible mais augmente la longueur de l’axe comme nous le
verrons plus loin ;
– dans l’exemple précédentl 1Z 3 . Sachant quel logZon en déduit
a
a= 3. Notons queaest la valeur deȦqui s’inscrit enl= 1. On peut aussi dire quea
est le coefficient par lequel il faut multiplierȦfaire que pourlde 1. On croisse
pourrait mentionner quelque part 2 cm vers la droite [respectivement à gauche] Ȧ
est multiplié [respectivement divisé] par trois (si les diverses opérations de mises en
pages et d’impression de ce livre n’ont pas modifié nos mises en forme initiales...).
Ceci dispenserait alors d’inscrirelet ses différentes valeurs. On pourrait aussi laisser
G
l’utilisateur mesurer lui-même le module deuet donc ne pas préciser que 2 cm Ȧ
G
est multiplié par trois. On peut même aller plus loin dans la mesure où finalementu
ne sert à rien dans la lecture de l’axe. D’ailleurs notons que l’on peut en changer,
G
cela revient à modifiera:uest choisi librement ;
– comme l’on vient de le voir, sur un axe dont l’échelle est logarithmique on
observe qu’en se déplaçant d’une quantité constante vers la droite la variable est
multipliée par une quantité constante. C’est une caractéristique de ce type d’échelle
et il est possible de s’en apercevoir à condition alors qu’un minimum de trois valeurs
deȦsoient repérées. La mention du type d’échelle, « échelle logarithmique », n’est
alors pas nécessaire.

En conséquence l’axe précédent peut être dessiné tel qu’à la figure 2.7.

1/3

1

3

9

Figure 2.7.

2.3.2.Repérage d’une valeur particulière

27

81
Z(rad/s)

Exercice : un axe a été tracé selon la figure 2.8. On demande de repérer exactement
la valeurȦ= 100.

10

30

90

Figure 2.8.

270
Z(rad/s)

Echelles linéaires et logarithmiques27

Les opérations suivantes sont à effectuer :
– détermination de l’échelle. Dans la mesure où l’échelle n’est pas précisée elle
est soit linéaire soit logarithmique. On observe ici qu’elle est logarithmique puisque
les valeurs successives indiquées (10, 30, 90,…) sont repérées de façon équidistante
et multipliées par trois systématiquement ;
G
– détermination deu. Nous le choisissons de façon à ce que sonorigine* et son
extrémité correspondent à des valeurs deZsur l’axe, d’où la figure repérées2.9
en appelantl etl lescomposantes respectives de leurs distances (voir
Z 10Z 30
annexe A.1 « Notions d’axe et d’échelle ») ;
– détermination de labase logarithmique*.ll log 30log 10
Z 30Z 10a a
G
u 1. D’oùa= 3 ;

– détermination de la composante de la distance de la graduation deȦ= 100.
Soitlcette composante. Alorsl log 100|4,2 ;
Z 100Z 100 3

– détermination de la distance à l’origine de l’axe de la graduation deȦ= 100.
G
Soitd cettedistance.d lu. A l’aide d’un double décimètre
Z 100Z 100Z 100
G
on mesureu 3 cm (siles diverses opérations de mises en pages et d’impression
de ce livre n’ont pas modifié nos mises en forme initiales...). D’où:
G
d lu 4,2u3 cm|12,58 cm. Mais on ne dispose pas de l’origine de
Z 100Z 100
l’axe…! D’où la suite ;
– détermination de la distance entre la graduation deȦ= 100 et celle deȦ= 10.

ll log 100log 10|2,1 .D’où la distance correspondante :
Z 100Z 310 3

G
dd llu
Z 100Z 10Z 100Z 10

G
dd llu|2,1u3 cm|6,3 cm
Z 100Z 10Z 100Z 10

l
Z 10

10

G
u

l
Z 30

30

Le résultat : voir la figure 2.10.

Figure 2.9.

90

270
Z(rad/s)

28 Signauxet systèmes linéaires continus

l
Z 10

10

l
Z 30

30

6,3 cm

90
100

Figure 2.10.

l
Z 100

270
Z(rad/s)

REMARQUES.–
– Les valeurs delcorrespondant aux valeurs repérées deZne sont pas, ici, des
nombres entiers, pourquoi pas.
G
– Deux graduations deZpour définir suffisentu. Par exemple la réponse à
l’exercice précédent aurait été identique si l’usager avait défini le même axe selon
G
la figure2.11. En effetu2.12alors été défini comme l’indique la figure aurait
et dans ce cas la nouvellebase logarithmique* devient:ll
Z 90Z 10
log 90log 10 1a :Du coup les nouvelles distances deviennent9 .
a a

G GG
. Le nouveau
dd llu log 100log 10u|1,05u
Z 100Z 10Z 100Z 910 9
G
module deu(mesuré avec un double décimètre si les diverses opérations de est
mises en pages et d’impression de ce livre n’ont pas modifié nos mises en forme
G
initiales...) :u 6 cm. D’où :

G
dd llu|1,05u6 cm|6,3 cm
Z 100Z 10Z 100Z 10

– Lorsque l’échelle est explicitement précisée deux valeurs repérées de la
variable sont suffisantes pour retrouver les paramètres de l’axe.

10

10

G
u

Figure 2.11.

Figure 2.12.

90

90

Z(rad/s)
échelle logarithmique

Z(rad/s)
échelle logarithmique

2.3.3.Module, décade, octave

Echelles linéaires et logarithmiques29

Il est fréquent que les feuilles, en provenance de différentes sources (papeterie,web,
G
etc.), prégraduées selon des échelles logarithmiques, repèrent suruvaleurs les
supplémentaires deZ ayantun intérêt certain dans la numération décimale
traditionnelle. Dans l’exemple de la figure 2.8, entre les valeurs déjà repérées que
sontZ= 10 etZ= 30, on peut trouver utile de repérerZ= 15,Z= 20 etZ= 25. A
partir de ces valeurs on déduit celles qui s’obtiennent par translations successives de
G
la distanceu, c’est-à-dire par simples multiplications par trois. Par exemple :
G
– en translatant de la distanceule repère deZ= 15 on obtient celui deZ= 45 ;
G
– en translatant de la distanceule repère deZ= 45 on obtient celui deZ= 135.

On obtient alors la figure 2.13.

10

15

20

25
30

45

60

75
90

Figure 2.13.

135

180

225
270

405
Z(rad/s)

Ceci n’est qu’un exemple, d’autres graduations auraient pu être ajoutées.

Lorsque l’on parcourt un tel axe on observe une apparition périodique des distances
entre les graduations. Par exemple :
– la distance entre les graduationsZet= 10Z= 15est identique à la distance
entre les graduationsZ= 30 etZ= 45 ;
– la distance entre les graduationsZet= 15Zest identique à la distance= 20
entre les graduationsZ= 45 etZ= 60 ;
– etc.

La période avec laquelle apparaissent ces distances est appeléemodule. Attention
à ne pas confondre avec la notion de module d’un vecteur ou d’un nombre complexe.
C’est la distance correspondant à la plus petitebase logarithmique*observable sur
G
l’axe, autrement dit le plus petit module que l’on peut choisir pouru(en s’appuyant
sur les graduations proposées). Rappelons qu’à chaque fois que l’on se déplace
G
deuà gauche] on multiplie [respectivementdivise] la àdroite [respectivement
variable para. On dit d’un axe qu’il est à «nmodules » lorsque le module se répète
nfois.nest le nombre de modules. Dans l’exemple de la figure 2.13 l’axe est à trois
modules. Les papiers trouvés dans le commerce proposent un nombre de modules
allant généralement de 1 à 6.

30 Signauxet systèmes linéaires continus

D’une manière générale :
– l’accroissement de la variable correspondant à une multiplication par dix est
appeléedécade. SiZest la variable, l’augmentation correspondante est 10Ȧ–Ȧ= 9Ȧ.
Une décade prend tout son sens dans une échelle logarithmique et plus particulièrement
lorsquea= 10 ;

– l’accroissement de la variable correspondant à une multiplication par deux est
appeléeoctave. SiZest la variable, l’augmentation correspondante est 2Ȧ–Ȧ=Ȧ.
Une octave prend tout son sens dans une échelle logarithmique et plus particulièrement
lorsquea= 2.

Notons que :
– lorsqueales feuilles prégraduées ont généralement repéré toutes les= 10,
valeurs entières deZde 1 à 10 ;
– il arrive que la variable ne soit pas inscrite ou le soit partiellement comme
c’est le cas de l’exemple de la figure 2.16 où il n’y a que les nombres entiers de 1
à 9. Cela laisse à l’utilisateur la possibilité de choisir une gamme de valeurs à
représenter pour la variable. Exemple poura= 10 et quatremodules* : l’utilisateur
peut inscrire les amplitudes deZ: 0,1 suivantes Z 1 000ou 1 Z 10 000ou
10 Z 1 000 000, etc.

REMARQUE.– Les papiers prégradués selon une échelle logarithmique directement
organisée pour une base décimale évoque parfois le terme dedécade* aulieu de
module*. Cette confusion est à éviter.

2.3.4.Construction pratique optimale

Le problème s’énonce ainsi. Soit à tracer la courbe d’une fonctionG(Z). A titre
d’exemple on suppose queZvarie entre une valeur minimale min(Ȧ) = 0,15 et une
valeur maximale max(ȦOn souhaite repérer cette variable sur l’axe des) = 85.
abscisses selon une échelle logarithmique afin de conserver un repérage précis aux
faibles valeurs deZ. Comment construire l’axe correspondant sur une feuille de
largeurLdonnée ?

La procédure est identique à celle du paragraphe 2.2.2 «Construction pratique
optimale ».

1. On détermine l’amplitude des valeurs del c’est-à-direǻl. Sachant que
l logZon en déduit :'l log>max(Z)@log>min(Z)@. Or, comme c’est le cas
aa a
dans notre exemple,ǻla toutes les chances d’être un réel et élaborer un axe avecǻl
non entier n’est guère commode. Il est admis unanimement de lui choisir l’entier le
plus proche qui permet de repérer toutes les valeurs exigées deZ. On montrerait que

cet entier est défini par :

'l log>max(Z)@log>min(Z)@
ªaº ¬a¼

Echelles linéaires et logarithmiques31

2. Le choix dea esttotalement libre (voir l’une des remarques du
paragraphe 2.3.2 « Repéraged’une valeur particulière»). En dehors du fait que,
rappelons-le,a> 1il n’y a pas de critère objectif permettant de déterminera. Son
choix est guidé par des arguments de commodité. L’un des plus appréciés est celui
de repérer facilement les puissances entières de 10 de la variable. Cette exigence
impose alors queasoit lui-même un multiple entier de 10. A condition queǻȦne
6
soit pas trop grand, disons inférieur ou égal à 10pour fixer les idées, les choses sont
des plus simples siale choix que nous faisons pour cet exemple mais= 10. C’est
notons que généralement :
6 12
– si 10 'Z10 ilest peut-être préférable de choisira 100 ;

– plus l’amplitude de la variable (iciZ) est grande et plus il est intéressant quea
soit lui-même grand. En effet, nous avons vu plus haut queaest aussi la valeur deZ
G
pour laquellel= 1,c’est-à-dire la distance correspondant àu. Et c’est sur cette
dernière que seront éventuellement inscrites les graduations des sous-multiples deZ.
On comprend alors que plusaest petit et moins de sous-multiples seront inscrits.

3. On détermine l’amplitude des valeurs del, soit'l ªlog 85º«log 0,15»
«» ¬¼
2(1) . D’où :ǻl= 3.

REMARQUES.–

L’axe repérera la valeur minimale del¬log0,15¼1 et la valeur maximale
l .
deªlog85º2
– L’axe sera à troismodules*.

GL
4. Létant la largeur du support utilisé. On en déduit l’unité géométriqueu .
'l
Exemple : si le support utilisé est la page de ce livre on observe que sa largeur utile
(largeur totale de la feuille moins les deux marges) estL= 12 cm, d’où :

G
12
u 4 cm
3

Lorsque ce résultat fait intervenir des décimales il est conseillé de l’arrondir à une
valeur inférieure plus commode à l’emploi au détriment de l’usage de la largeur
totale de la page. On ne peut arrondir à une valeur supérieure car alors il ne serait
plus possible de représenter toutes les valeurs deȦinitialement souhaitées.

32 Signauxet systèmes linéaires continus

G
Enfin, si nous conservons cette valeur deu, c’est-à-dire 4cm (si les diverses
opérations de mises en pages et d’impression de ce livre n’ont pas modifié nos mises
en forme initiales...), alors nous risquons d’avoir les valeurs min(Ȧet) = 0,15
max(Ȧ) = 85 placées très exactement sur les marges gauche et droite respectivement.
Cela peut poser des difficultés pour positionner l’axe voire être rédhibitoire lors de
l’utilisation d’une échelle préimprimée telle que nous le verrons dans la remarque du
paragraphe 2.3.7.3« Constructiond’une échelle logarithmique de base 10». Pour
cette raison nous choisissons une valeur légèrement inférieure :
G
u 3,5cm

5. La valeur del= –1 est matérialisée à gauche par un tiret vertical en travers de
l’axe. On matérialise au moins une autre valeur et pourquoi pasl= 0 qui se trouve à
3 cm à droite de la valeur précédente. On en déduit les valeursZcorrespondantes :
110
Z 10 pourla première etZ 10 1 pourla seconde. Ces deux
10
graduations sont un minimum si l’on précise que l’axe respecte une échelle
logarithmique. Mais d’une part cette précision n’est pas toujours exprimée et d’autre
part il est admis que le concepteur de l’axe repère davantage de valeurs afin d’en
permettre une lecture plus immédiate. Dans l’exemple de la figure 2.14 nous avons
repéré toutes les valeurs deZcorrespondant à des puissances entières del.
G
u
-1 01
2l

0,1

1

Figure 2.14.

10

100
Z(rad/s)

REMARQUES.–
– Le vecteur unité a été déporté de l’axe pour ne pas nuire à sa lisibilité (voir
annexe A.1« Notionsd’axe et d’échelle»). Rappelons qu’il n’apporte aucune
information et qu’il pourra être omis.
G
– La lettre «l» et ses valeurs ainsi que le vecteurun’ont pas besoin d’être

inscrits dans la mesure où ils n’apportent pas d’information. On peut en effet
G
repérer une valeur quelconque de la variableZ sansl niu, voir l’exemple du
paragraphe 2.3.2 « Repérage d’une valeur particulière ».