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Elastoplasticité des sols et des roches, modèles de comportement des sols et des roches Vol.1 (Traité MIM, Série Géomatériaux)

De
225 pages
Les sols et les roches ont en commun de nombreuses caractéristiques physiques : ce sont des matériaux fortement hétérogènes, à base granulaire naturelle. Cela leur confère certaines caractéristiques rhéologiques qui les distinguent d'autres matériaux solides : ils ont un caractère fortement non linéaire, leur comportement à la rupture dépend de la contrainte moyenne et leur cisaillement induit des variations de volume, souvent de dilatance, qui confère un caractère non associé des déformations plastiques. Ces matériaux, sols et roches, peuvent être étudiés à différentes échelles. À l'échelle du grain ou de quelques grains (du mm au cm), on s'intéresse aux phénomènes discrets qui régissent les interactions que l'on s'attache à décrire par des modèles micromécaniques ou que l'on cherche à caractériser pour mieux appréhender le comportement à une échelle plus grande, en général celle de l'échantillon : c'est le passage du milieu discontinu au milieu continu équivalent. La taille de ce dernier est variable : elle doit être suffisamment grande (typiquement du cm au dm) vis-à-vis de celles des discontinuités de la matière pour être représentative d'un milieu continu équivalent si l'on cherche à modéliser son comportement avec les outils de la mécanique des milieux continus qui, dans ses équations de base, ignore la notion d'échelle. C'est à cette échelle que l'on s'est volontairement placé dans cet ouvrage.
Les grandes classes de lois de comportement -Félix Darve. Mécanismes de déformation des sols -Jean Biarez et Pierre-Yves Hicher. Modélisation élastoplastique des sols. 1. Chargements monotones -Philippe Mestat. Modélisation élastoplastique des sols. 2. Chargements cycliques -Bernard Cambou, Pierre-Yves Hicher. Comportement plastique des roches poreuses -Jian-Fu Shao, Françoise Homand. Bibliographies/Index.
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Elastoplasticité des sols et des roches© LAVOISIER, 2002
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
ISBN 2-7462-0436-3
Catalogage Electre-Bibliographie
Hicher, Pierre-Yves*Shao, Jian-Fu (sous la direction de)
Elastoplasticité des sols et des roches – Modèles de comportement des sols et des roches 1
Paris, Hermès Science Publications, 2002
ISBN 2-7462-0436-3
RAMEAU : sols, mécanique des
élastoplasticité : modèles mathématiques
DEWEY : 624.1 : Génie civil. Techniques de la construction
531 : Mécanique classique. Mécanique du solide
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.Elastoplasticité
des sols et des roches
Modèles de comportement des sols et des roches 1
sous la direction de
Pierre-Yves Hicher
Jian-Fu ShaoIl a été tiré de cet ouvrage
30 exemplaires hors commerce réservés
aux membres du comité scientifique,
aux auteurs et à l’éditeur
numérotés de 1 à 30Elastoplasticité des sols et des roches
sous la direction de Pierre-Yves Hicher et Jian-Fu Shao
fait partie de la série GÉOMATÉRIAUX
dirigée par Félix Darve
Le traité Mécanique et Ingénierie des Matériaux répond au besoin de
disposer d’un ensemble complet des connaissances et méthodes
nécessaires à la maîtrise de ce domaine.
Conçu volontairement dans un esprit d'échange disciplinaire, le traité MIM
est l'état de l'art dans les domaines suivants retenus par le comité
scientifique:
Alliages métalliques
Géomatériaux
Matériaux de construction
Méthodes numériques
Mise en forme des matériaux
Polymères
Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondamentaux
qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus
dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur
vers ses points d'intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d'un guide pour
ses réflexions ou pour ses choix.
Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été
choisis pour leur pertinence dans l'avancée des connaissances ou pour la
qualité des résultats obtenus.Liste des auteurs
Jean BIAREZ
MSS-MAT
Ecole centrale de Paris
Bernard CAMBOU
LTDS
Ecole centrale de Lyon
Félix DARVE
L3S
Institut national polytechnique de Grenoble
Pierre-Yves HICHER
LGCNSN
Ecole centrale de Nantes
Stéphane HOMAND
Laboratoire de mécanique
Ecole polytechnique universitaire de Lille
Philippe MESTAT
Laboratoire central des ponts et chaussées
Paris
Jian-Fu SHAO
Laboratoire de mécanique
Ecole polytechnique universitaire de LilleTable des matières
Avant propos......................................... 13
Pierre Yves H ICHER et Jian Fu S HAO
Chapitre 1. Les grandes classes de lois de comportement ............. 17
Félix D ARVE
1.1. Introduction...................................... 17
1.2. La fonctionnelle rhéologique........................... 19
1.3. Les relations constitutives incrémentales.................... 20
1.4. Le cas des matériaux non visqueux ........................ 22
1.5. Notion de zones tensorielles ............................ 24
1.6. Les grandes classes de lois de comportement non visqueuses........ 26
1.6.1. Les modèles à une seule zone tensorielle.................. 26
1.6.2. Les modèles à deux zones tensorielles 27
1.6.3. Les modèles à quatre zones tensoriell...................es 34
1.6.4. Les modèles à n zones tensorielles ( n > 4) ................ 37
1.6.5. Les modèles à une infinité de zones tensoriell ..............es 38
1.6.6. Conclusions ................................... 39
1.7. Les grandes classes de lois de comportement avec viscosi .........té 40
1.7.1. Première classe de décompositions de la déformation incrémentale . . 40
1.7.2. Deuxième classe de décompositions de la déformation incrémentale . 41
1.8. Conclusions...................................... 42
1.9. Bibliographie..................................... 43
Chapitre 2. Mécanismes de déformation des sols................... 47
Jean B IAREZ et Pierre Yves H ICHER
2.1. Introduction 47
2.2. Comportements des sols remaniés........................ 48
2.3. Relations milieu discontinu milieu continu 59
10 Elastoplasticité des sols et des roches
2.4. Sols naturels..................................... 70
2.5. Conclusion...................................... 87
2.6. Bibliographie 87
Chapitre 3. Modélisation élastoplastique des sols – 1. Chargements monotones... 91
Philippe M ESTAT
3.1. Introduction 91
3.2. Equations des modèles élastoplastiques..................... 92
3.2.1. Notions fondamentales............................. 92
3.2.2. Surface de charge et domaine d’élasticité .................. 93
3.2.3. Règle d’écoulement plastiqu.........................e 94
3.2.4. Relations incrémentales pour un seul mécanisme plastiq.......ue 95
3.2.5. ons incrémentales pour l’élastoplasticité
à potentiels multiples.................................. 97
3.3. Lois de comportement et essais de laboratoire................. 98
3.4. Caractérisation du comportement des sols cohérents naturels....... 100
3.4.1. Analyse des résultats obtenus aux essais triaxiau...........x 100
3.4.2. Analyse deats à l’essai œdométrique ............... 101
3.4.3. Elasto viscoplasticité ou élastoplasticité ................? 102
3.5. Caractérisation du comportement des sols pulvérulents 102
3.5.1. Analyse des résultats obtenus aux essais triaxiau...........x 102
3.5.2. Schéma élastoplastique pour les sols pulvérulent ............s 105
3.6. Principes de construction des modèles élastoplastiques 106
3.6.1. Comportement élastique........................... 106
3.6.1.1. Elasticité et cycle de déchargement rechargement ......... 106
3.6.1.2. Domaine d’élasticité initial....................... 107
3.6.1.3. Anisotropie des argiles naturelles................... 109
3.6.2. Estimation du comportement plastiqu..................e 110
3.6.3. Surface de rupture............................... 111
3.6.3.1. Notion d’état critique 111
3.6.3.2. Trace de la surface de rupture dans les plans (p, q) s, tou () ... 111
3.6.3.3. Surface de rupture dans l’espace des contrainte..........s 112
3.6.3.4. Expressions analytiques de la surface de rupture 113
3.6.4. Déformations totales et plastiques..................... 115
3.6.4.1. Notions d’état caractéristique et de dilatance............ 115
3.6.4.2. Relation contrainte dilatance...................... 117
3.6.5. Potentiel plastique............................... 117
3.6.5.1. Analyse dans le plan des contraintes (p, .............q) 117
3.6.5.2. Potentiel plastique et relation contrainte dilatance ......... 118
3.6.5.3. P plastique et mécanisme plastiqu ..............e 119
3.6.6. Surface de charge 121
3.6.6.1. Principes de la construction ....................... 122
3.6.6.2. Construction à l’aide de la règle de normalité............ 123
3.6.6.3. Consn à partir de la surface de rupture 123Table des matières 11
3.6.6.4. Variables d’écrouissage et évolution de la surface de charge . . . 123
3.6.6.5. Module d’écrouissage et évolution de la surface de charge.... 124
3.6.6.6. Ecrouissage et mécanismes plastiques................ 125
3.6.6.7. Construction de la surface de charge
à partir des résultats expérimentaux ....................... 125
3.7. Aspect tridimensionnel des modèles et calcul d’ouvrages......... 130
3.8. Exemples de modèles élastoplastiques parfaits 131
3.8.1. Modèle de Mohr Coulomb......................... 131
3.8.1.1. Description du modèle.......................... 131
3.8.1.2. Valeurs typiques des paramètres de Mohr Coulom........b 133
3.8.2. Modèle de Drucker Prager 135
3.8.2.1. Description du modèle 135
3.8.2.2. Valeurs des paramètres du modèle de Drucker Prager ....... 136
3.9. Exemples de modèles élastoplastiques avec écrouissage.......... 138
3.9.1. Modèles de Cambridge (ou modèles Cam-Clay) ............ 138
3.9.1.1. Etude de l’essai de compression isotro...............pe 139
3.9.1.2. Equations des modèles Cam Clay................... 140
3.9.1.3. Détermination des paramètres
du modèle Cam Clay modifié.......................... 141
3.9.1.4. Exemples de valeurs pour les paramètres
du modèle Cam Clay................................ 143
3.9.2. Modèle de Nova (version 1982)...................... 143
3.9.2.1. Description du modèle 143
3.9.2.2. Détermination des paramètres
du modèle de Nova (version 1982) 144
3.9.2.3. Valeurs typiques des paramètres du modèle de Nova........ 146
3.9.3. Modèle Mélanie 146
3.9.3.1. Description du modèle.......................... 146
3.9.3.2. Détermination des paramètres du modèle Mélanie......... 149
3.9.3.3. Exemples de valeurs des paramètres du modèle Méla.....nie 149
3.10. Conclusions.................................... 151
3.11. Notations...................................... 153
3.12. Bibliographie................................... 153
Chapitre 4. Modélisation élastoplastique des sols – 2. Chargements cycl...iques159
Bernard C AMBOU et Pierre Yves H ICHER
4.1. Comportement des sols sous sollicitations drainées ............. 159
4.1.1. Chargements isotropes ou œdométriques ................. 159
4.1.2. Essais triaxiaux................................ 160
4.1.2.1. Essais répétés............................... 160
4.1.2.2. Essais alternés 162
4.1.3. Influence d’une rotation des axes principaux ............... 164
4.2. Comportement des sols sous sollicitations isochores ............ 165
4.3. Modélisation du comportement cyclique des sol..............s 17112 Elastoplasticité des sols et des roches
4.3.1. Les difficultés de la modélisation du comportement
cyclique des sols dans un cadre élastoplastiqu e................. 171
4.3.2. Le modèle de Masing ............................. 173
4.4. Les modèles basés sur une seule surface de charge (ou plusieurs
indépendantes) gérée par un écrouissage cinématiqu..............e 176
4.5. Les modèles basés sur plusieurs surfaces de charge imbriq......uées 182
4.5.1. Modèles à surfaces de charge multiples :
le modèle de Mroz.................................. 183
4.5.2 Modèle avec une infinité de surfaces de charge :
le modèle de Hujeux................................. 184
4.5.3. Modèles à deux surfaces de charge :
le modèle de Dafalias 193
4.5.4. Modèle à deux surfaces de charge :
le modèle de Hashigushi............................... 195
4.5.5. Modèle de charge : le modèle CJS4.......... 196
4.6. L’identification des modèles de plasticité cyclique ............. 199
4.7. Conclusion..................................... 200
4.8. Bibliographie.................................... 200
Chapitre 5. Comportement plastique des roches poreuses ............ 203
Jian Fu S HAO et Stéphane H OMAND
5.1. Introduction 203
5.2. Principales caractéristiques du comportement mécanique
des roches poreuses ................................... 204
5.3. Quelques éléments de thermodynamique en plasticité ........... 208
5.4. Critère de plasticité homogénéisé de Gurson................. 210
5.5. Un exemple de modèle.............................. 212
5.5.1. Mécanisme « pore collaps»........................e 213
5.5.2. Mécanisme déviatorique........................... 214
5.5.3. Détermination des paramètres et exemples de simulation ....... 216
5.6. Bibliographie.................................... 219
Index ............................................. 221Avant propos
Les sols et les roches ont de nombreux traits physiques en commun : ce sont des
matériaux fortement hétérogènes, à base granulaire naturelle. Cela leur confère
certaines caractéristiques rhéologiques qui les distinguent d’autres matériaux
solides : ils ont un caractère fortement non linéaire, leur comportement à la rupture
dépend de la contrainte moyenne et leur cisaillement induit des variations de
volume, souvent de dilatance, qui confère un caractère non associé des déformations
plastiques.
Ces matériaux, sols et roches, peuvent être étudiés à différentes échelles. A
l’échelle du grain ou de quelques grains (du mm au cm), on s’intéresse aux
phénomènes discrets qui régissent les interactions que l’on s’attache à décrire par
des modèles micromécaniques ou que l’on cherche à caractériser pour mieux
appréhender le comportement à une échelle plus grande, en général celle de
l’échantillon : c’est le passage du milieu discontinu au milieu continu équivalent. La
taille de ce dernier est variable : elle doit être « suffisamment grande » (typiquement
du cm au dm) vis à vis de celles des discontinuités de la matière pour être
représentative d’un milieu continu équivalent si l’on cherche à modéliser son
comportement avec les outils de la mécanique des milieux continus qui, dans ses
équations de base, ignore la notion d’échelle. C’est à cette échelle que l’on s’est
volontairement placé dans cet ouvrage.
Cependant, certains phénomènes, en particulier le développement de défauts ou
de fissurations à l’intérieur de la matière, se situent à une échelle intermédiaire dite
« méso ». Il convient alors, dans la construction d’un modèle de type milieu continu,
de pouvoir s’appuyer sur des techniques de changement d’échelles permettant
d’intégrer les échelles élémentaires ou intermédiaires. Cette approche, encore
récente, mais potentiellement riche, peut être également adaptée pour le passage de
la modélisation du comportement de l’échantillon à celle du comportement du
massif qui est essentiel pour le calcul des ouvrages.14 Elastoplasticité des roches et des sols
Les modèles rhéologiques utilisés pour décrire les comportements mécaniques à
l’échelle macroscopique peuvent être grossièrement classés en deux catégories :
ceux adaptés au comportement de matériaux « ductiles », et ceux au comportement
de matériaux « fragiles ». Dans la première catégorie, on trouve essentiellement les
sols, sableux ou argileux, mais aussi des roches, en particulier les roches tendres,
soumises à de fortes contraintes. Dans la deuxième catégorie, on trouve
essentiellement les roches dures, mais aussi certaines roches tendres et argiles
fortement surconsolidées, soumises à de faibles contraintes. Pour les matériaux
ductiles, le comportement non linéaire est dû pour une grande part à des
déplacements irréversibles de grains. Ceci se traduit par un écrouissage plus ou
moins marqué et par une évolution du volume des pores qui induit des variations de
volume à l’échelle de l’échantillon. Pour les matériaux fragiles, le comportement
non linéaire est lié au développement de fissurations de tailles plus ou moins
grandes, dont l’orientation dépend de la direction des contraintes principales.
Pour la modélisation des comportements ductiles, la plasticité ou la
viscoplasticité s’est révélée un cadre opératoire et la grande majorité des modèles de
comportement des sols et de certaines roches tendres se situent dans ce cadre.
Cependant, pour les sols en particulier, la difficulté de caractériser un domaine
élastique, de déterminer expérimentalement les mécanismes plastiques (potentiel et
surface de charge) ont conduit à construire de nouveaux modèles dont la structure
peut être décrite comme incrémentalement non linéaire.
Pour la modélisation des comportements fragiles, la mécanique de
l’endommagement a permis de proposer des modèles adaptés à la représentation des
caractères irréversibles, essentiellement associés dans ce cas à une dégradation de
certaines propriétés physiques. Ils permettent en particulier de décrire une grande
variété de phénomènes rencontrés dans les roches : déformations irréversibles,
dilatance, anisotropie induite, phénomènes d’hystérésis lors de cycles de chargement
déchargement correspondant à des mécanismes d’ouverture et de fermeture des
mésofissures et des mécanismes de frottement sur les lèvres de ces mésofissures
fermées.
Pour les matériaux intermédiaires, le comportement non linéaire peut
correspondre à des modifications de la microstructure par juxtaposition de
phénomènes d’endommagement et d’écrouissage. Des modèles couplant
endommagement et plasticité ont récemment été proposés pour prendre en compte
ce type de comportement.
Après une présentation générale des modèles de comportement et de leurs
structures internes, les approches évoquées précédemment sont reprises et
développées dans les différents chapitres de cet ouvrage, avec pour chacune leur
domaine d’application privilégié en termes de classe de matériaux. Le premierAvant propos 15
volume est consacré essentiellement à l’application du cadre de l’élastoplasticité
pour la modélisation des sols et des roches tendres. Le second aborde, pour les
matériaux ductiles, une approche alternative à l’élastoplasticité à l’aide de modèles
incrémentalement non linéaires, ainsi que la prise en compte des effets du temps par
une approche viscoplastique. Le comportement des roches dures est ensuite traité
dans le cadre de l’endommagement à différentes échelles. La modélisation du
comportement poromécanique est également abordée pour permettre la prise en
compte des couplages hydromécaniques dans les roches saturées, en particulier dans
les matériaux endommageables.
La validation de ces modèles passant nécessairement par la justification de leurs
capacités à rendre compte des phénomènes observés, une large place est donnée à la
caractérisation expérimentale, essentiellement à partir d’essais de laboratoire sur
échantillons de sols ou de roches prélevés in situ. Un dernier chapitre est consacré
aux méthodes d’identification des paramètres. C’est un point important pour ces
matériaux naturels, car chaque site étant différent, une bonne détermination des
paramètres des modèles est un point essentiel pour la qualité du calcul des ouvrages,
qui est la finalité de cette démarche de modélisation.
Pierre Yves H ICHER
Jian Fu S HAO*Chapitre 1
Les grandes classes
de lois de comportement
1.1. Introduction
Historiquement, l’étude des lois de comportement des matériaux solides s’est
longtemps limitée à l’élasticité, représentée en particulier par la loi de Hooke avec les
hypothèses supplémentaires d’isotropie et de linéarité, à la plasticité avec les exemples
des critères de Von Mises, Tresca et Mohr Coulomb, et à la viscosité caractérisée dans
le cas linéaire par la loi de Newton. L’avènement des méthodes numériques, telles que
la méthode des éléments finis, et de calculateurs puissants a, dans les années 1970,
puissamment relancé l’étude du comportement des matériaux du fait qu’il devenait
possible de prendre en compte un comportement plus réaliste visco élastoplastique,
mais en conséquence modélisé par des formalismes beaucoup plus complexes. Dans le
triptyque équations générales (lois de conservation), lois de comportement et
conditions aux limites/conditions initiales, les lois de comportement forment ainsi la
partie la plus délicate à modéliser, d’autant plus que le cadre général dans lequel
pourraient s’inscrire les différents modèles reste trop souvent obscur d’un point de vue
strictement numérique. C’est d’ailleurs la prise de conscience de l’absence de grandes
« lois physiques » dans ce domaine qui a fait progressivement évoluer le vocabulaire
depuis la notion de « loi de comportement » jusqu’à celles de « modèles de
comportement » ou de « relations constitutives », qui traduisent mieux le fait que
l’objectif est de décrire des propriétés mécaniques dont la multiplication des essais de
laboratoire a montré toute la complexité.

Chapitre rédigé par Félix D ARVE.18 Elastoplasticité des sols et des roches
Depuis trente ans, nous assistons ainsi à un développement foisonnant des
modèles de comportement et la tenue de divers workshops en Europe, Amérique du
nord et Asie nous montre régulièrement qu’il est important pour les modélisateurs
comme pour les utilisateurs de tenter d’y voir plus clair en s’appuyant sur des idées
directrices aussi explicites que possible et sur un cadre général d’analyse. L’objectif
de ce chapitre est précisément de tenter de formuler les premières comme le second.
Par ailleurs, ce cadre général sera d’autant plus opératoire qu’il sera unificateur,
et nous montrerons donc qu’il peut s’appliquer tout autant à l’élastoplasticité, à
l’hypoélasticité qu’aux modèles d’endommagement. C’est donc bien à un vaste
panorama de l’ensemble des relations constitutives des matériaux solides que nous
invitons le lecteur.
Enfin, deux remarques plus formelles sont à faire. La première vise à expliciter
pourquoi ce chapitre traite de la rhéologie sous forme incrémentale et non pas sous
forme globale (la « fonctionnelle rhéologique »). Ceci tient à deux raisons : la
première de nature physique est à rattacher au fait qu’en présence d’irréversibilités
plastiques, la fonctionnelle est singulière en chacun de ces points (ce qui la rend
d’un maniement particulièrement délicat) et la deuxième de nature numérique tient
au calcul par éléments finis, généralement menée par incrémentation des
chargements appliqués.
La deuxième remarque porte sur l’utilisation de déformations incrémentales et de
contraintes incrémentales plutôt que de vitesses de déformations et de contraintes.
Là encore, la nature physique des phénomènes à décrire doit servir de guide : en
élastoplasticité, et plus généralement pour tous les comportements dénués de
viscosité, le temps physique ne joue aucun rôle et, par conséquent, les dérivées par
rapport à ce temps physique n’ont pas de sens strict. D’où découle l’intérêt profond
de la notation incrémentale, qui est par ailleurs rattachée de manière très simple aux
vitesses : la déformation incrémentale est le produit de la vitesse de déformation
pure par l’incrément de temps, tandis que la contrainte incrémentale est le produit de
la dérivée de Jaumann du tenseur de contraintes par l’incrément de temps. Il est par
contre sans doute maladroit de parler « d’incrément de déformation ou de
contrainte » puisque la déformation incrémentale (par exemple) ne correspond à une
petite variation de la déformation seulement dans le cas où cette dernière est
suffisamment petite.
Ce chapitre s’ouvrira par la présentation classique de la fonctionnelle
rhéologique, dont nous dégageons les limites pour déboucher sur le formalismee incrémental. Le cas particulier des comportements non visqueux sera
tout d’abord traité et la notion de « zone tensorielle » nous permettra de passer en
revue, en les classant, l’ensemble des modèles non visqueux. Puis nous reviendrons
au cas général en considérant les modèles à irréversibilités quelconques./HV JUDQGHV FODVVHV GH ORLVGHFRPSRUWHPHQW 19
1.2. La fonctionnelle rhéologique
Nous ne reviendrons pas sur les concepts de base de la mécanique des milieux
continus. La transformation linéaire tangente (caractérisée par la matrice gradient du
champ des positions des particules matérielles) sera supposée offrir une « bonne »
description de la déformation géométrique du matériau (mais certaines théories dites
du « second gradient » considèrent que cette approximation au premier ordre de la
transformation non linéaire faisant passer des positions à un instant donné aux
positions actuelles n’est pas suffisante et introduisent certains termes du second ordre
[MUH 91]. La loi de comportement mécanique d’un élément de matière ne dépendra
pas des éléments voisins (mais certaines théories dites « non locales » considèrent que
le comportement d’une particule matérielle va dépendre des déformations au sein d’un
voisinage fini entourant la particule [PIJ 87]). L’ensemble de ces deux hypothèses
définit une classe particulière de matériaux dits « matériellement simples » [TRU 74],
et nous nous situerons maintenant dans ce cadre.
Le point de départ de la rhéologie est alors constitué par un principe de
déterminisme qui s’énonce : si l’on applique à un échantillon de matériau un chemin
de sollicitation donné, le chemin de réponse est déterminé comme étant unique.
Naturellement, le principe ne s’applique en toute rigueur que dans des situations
d’unicité constitutive : le passage par un point de bifurcation donne lieu à plusieurs
chemins de réponse possibles, le choix d’une réponse particulière étant déterminé
par les imperfections présentes non décrites par les variables retenues pour
caractériser l’état mécanique du matériau ou par le mode d’application de la
sollicitation (contrôle en force ou en déplacement, par exemple).
Une conséquence directe de cette correspondance de chemin à chemin est en
tous cas le fait que la loi de comportement sera représentée sur le plan mathématique
par une fonctionnelle, fournissant la contrainte à l’instant courant t en fonction de
l’histoire de la transformation linéaire tangente, que l’on peut ramener à l’histoire de
la déformation pure à gauche ou à droite (ou plus généralement à l’histoire d’un
tenseur de déformation) du fait de l’isotropie de l’espace (l’espace en tant que
contenant n’a pas d’influence sur le comportement mécanique du matériau) :
s(t) = F [ e(t)] [1.1]
– ¥ < t £ t
Nous intéressant dans ce chapitre aux propriétés fondamentales des relations
constitutives, nous commenterons maintenant les propriétés générales de la
fonctionnelle rhéologique F :
– isotropie de F : du fait du principe d’isotropie de l’espace, F doit être une
fonction isotrope de e (si s et e sont tournés d’une même rotation quelconque, F
reste invariante) ;20 Elastoplasticité des sols et des roches
– non linéarité de F : l’hypothèse de linéarité de F, qui s’exprime par :
"e , e et "l , l réels : F [ l e (t) + l e (t)] ” l F [e (t)] + l F [e (t)]1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
implique que la réponse du matériau à une histoire de sollicitation, décomposée en
une somme d’histoires, soit égale à la somme des réponses du matériau à chacune de
ces histoires : de fait, ceci constitue le principe de superposition, ou principe de
Boltzmann.
Ce principe, joint à l’hypothèse de non vieillissement du matériau, débouche sur
la classe des lois visco élastiques linéaires. Dans le cas général, nous avons donc à
considérer une fonctionnelle rhéologique non linéaire (et en particulier, dès
l’existence d’irréversibilités de type plastique ou endommagement) :
– non différentiabilité de F : Owen et Williams [OWE 69] ont montré que, pour
des matériaux non visqueux, l’hypothèse de différenciabilité coïncidait avec
l’hypothèse d’inexistence de mécanismes de dissipation interne. Ainsi, supposer F
différenciable revient de fait à décrire un comportement purement élastique. Ce
résultat est crucial dans ses conséquences et traduit le fait que dès qu’il existe des
mécanismes plastiques ou d’endommagement – et pour illustrer très simplement le
problème –, dès que les modules de charge et de décharge sont distincts, les dérivées
à gauche et à droite de F sont différentes ;
– dégénérescence de F : le seul cas de dégénérescence de la fonctionnelle
rhéologique en une fonction correspond au cas élastique (éventuellement non
linéaire et anisotrope), où il existe alors une relation biunivoque entre contraintes et
déformations.
Finalement, si l’on veut décrire des irréversibilités plastiques ou
d’endommagement, on se trouve en présence d’une fonctionnelle non linéaire et non
différentiable : l’outil mathématique correspondant devient très lourd à manipuler et
il nous faut considérer la question sous un autre angle : ce sera celui de la relation
constitutive incrémentale du matériau.
1.3. Les relations constitutives incrémentales
Outre la complexité de la fonctionnelle rhéologique, rappelons que l’écriture
incrémentale des lois de comportement s’est révélée particulièrement bien adaptée à
l’introduction de modèles de comportement au sein de codes de calculs par la
méthode des éléments finis. Cette écriture s’est ainsi aujourd’hui pratiquement
généralisée à l’ensemble des codes.