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Les écoulements turbulents : modélisation et simulation (2° Ed.)

De
514 pages
Après une présentation des concepts de base, des outils mathématiques et des méthodes de fermeture, l'ouvrage aborde les modèles de fermeture au deuxième ordre pour la dynamique et pour le transport d'un scalaire. Cette dernière approche est privilégiée car elle présente les potentialités pour clarifier bien des problèmes dans les écoulements cisaillés, les modèles simples plus anciens étant alors présentés comme des versions simplifiées des précédents. L'influence de paramètres physiques supplémentaires est ensuite considérée : effet du nombre de Reynolds de la turbulence, effet des parois, effet des forces de gravité, effets de courbure et de rotation, effets des variations de la masse volumique, effet du déséquilibre spectral. Enfin, la dernière partie est consacrée aux méthodes de simulation de grandes structures turbulentes qui sont amenées à prendre une extension considérable dans les problèmes qui exigent une description fine des interactions tourbillonnaires.
1. Introduction à la modélisation de la turbulence. Concepts de base 2. Equations de transport de la turbulence en fluide incompressible 3. Outils mathématiques 4. Méthodologie pour les fermetures en un point 5. La turbulence homogène anisotrope (T.H.A.) 6. Modélisation des équations d'évolution des tensions de Reynolds 7. Echelles de turbulence et nouvelles orientations en modélisation au second ordre 8. Modélisation des équations d'évolution des flux turbulents d'un scalaire passif 9. La variance d'un scalaire passif et son taux de dissipation 10. Fermetures simplifiées : modèles à deux et à trois équations de transport 11. Fermetures simplifiées : modèles à zéro ou à une équation de transport 12. Traitement de la turbulence à faible nombre de Reynolds 13. Le traitement des parois : méthodes et problèmes 14. Influence des forces d'Archimède 15. Remarques sur les problèmes posés par l'étude d'écoulements complexes 16. Ecoulements turbulents à masse volumique variable 17. Modèles à échelles multiples 18. Simulation numérique des grandes structures turbulentes 19. Synopsis sur les méthodes numériques 20. Bibliographie Principales notations - Index
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Les écoulements
turbulents
modélisation et simulation
2^ édition revue et augmentée
Roland Schiestel
HERME!^ Les écoulements turbulents © Editions HERMES, Paris, 1993, 1998
Editions HERMES
8, quai du Marché-Neuf
7500 4 Paris
ISB N ire édition 2-86601-371-9
ISB N 2en 2-86601-681-5
Catalogage Electre-Bibliographie
Roland, Schiestel
Les écoulements turbulents - modélisation et simulation. 2' édition revue et augmentée.
Paris : Hermès, 1998.
ISBN 2-86601-681-5
RAMEAU : turbulence : modèles mathématiques
turbulence : simtilation, méthodes de
DEWEY : 532 : Mécanique des fluides
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part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
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dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
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illicite' (article L. 122-4).Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle. Les écoulements
turbulents
modélisation et simulation
2^ édition revue et augmentée
Roland Schiestel
HERME S EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL
Triangulation de Delaunay et maillage - applications aux éléments finis,
Paul-Louis GEORGE, Houman BOROUCHAKI, 1997 .
La fatigue des matériaux et des structures , 2« éditio n revue et augmentée,
Claude BATHIAS, Jean-Paul BAÏLON, 1997 .
Magnétisme et matériaux magnétiques pour 1 electrotechnique,
Pierre BRISSONNEAU, 1997.
Manuel d'optique, Germain CHARTIER, 1997.
Mécanique - éléments de mécanique rationnelle, cours, exercices et corrigés,
Roger BouDET, Alain CHAUVIN, 1997 .
Les supraconducteurs, Pascal TIXADOR, 1995.
La cavitation - traqueurs de bulles, Yves LECOFFRE, 1994.
Technologie des alliages à mémoire de forme - Comportement mécanique et mise
en œuvre, Etienne PATOOR, Marcel BERVEILLER, 1994.
Chimie-physique du frittage - Forceram, volume 2 ,
Didier BERNACHE-ASSOLLANT, 1993.
Comportement mécanique des matériaux - volume 2, Viscoplasticité,
endommagement, mécanique de la rupture, mécanique du contact,
Dominique FRANÇOIS, André PINEAU, André ZAOUI, 1993 .
Le contrôle non destructif par ultrasons, Jean PERDIJON, 1993.
Les diélectriques - propriétés diélectriques des matériaux isolants,
Roland COELHO, Bernard ALADENIZE, 1993 .
Caractéristiques des poudres et des céramiques - Forceram, volume 1,
Jean-Louis CHERMANT, 1992.
Comportement mécanique des matériaux - volume 1, Elasticité et plasticité,
Dominique FRANÇOIS, André PINEAU, André ZAOUI, 1992 .
Serveur web : http://www.editions-hermes.fr Table des matières
Préface de Brian E. Launder 13
Préface, traduction française7
Avant-propos 21
Introduction5
Chapitre 1. Introduction à la modélisation de la turbulence.
Concepts de base 31
1.1. Nature de la turbulence
1.2. Les différentes approches de la turbulence 34
1.3. La turbulence homogène et isotrope (T.H.l.) 4
1.4. Hypothèses de Kolmogoroff et théorie de l'isotropie locale 5
1.5. Fermetures en un point 62
1.6. Description fonctionnelle de la turbulence 70
1.7. Turbulence bidimensionnelle
Chapitre 2. Equations de transport de la turbulence en fluide
incompressible 75
2.1. Equations de transport de la dynamique 77
2.2.s det de la turbulence associée à un scalaire
passif 80 6 Les écoulements turbulents
Chapitre 3. Outils mathématiques 83
3.1. Tenseurs
3.2. Espace euclidien en coordonnées curvilignes5
3.3. Coordonnées curvilignes orthogonales7
3.4. Transformation conforme 91
3.5. Invariants
3.6. Représentation des fonctions tensorielles8
3.7. Transformation de Fourier dans le champ des fluctuations 103
Chapitre 4. Méthodologie pour les fermetures en un point7
4.1. Estimation de l'ordre de grandeur des termes dans les équations du
transport turbulent 108
4.2. Application aux équations de ûi. k et e 110
4.3. Formulation des hypothèses de fermeture2
4.4. Le modelage invariant de Lumley
4.5. Exemples d'application 116
4.6. Problèmes de réalisabilité9
4.7. Les corrélations diffusives 134
4.8. Intermittence
Chapitre 5. La turbulence homogène anisotrope (T.H.A.) 137
5.1. L'équation de Cray a
5.2. Propriétés spectrales unidimensionnelles en écoulement turbulent
cisaillé homogène 141
5.3. Partie rapide des corrélations de pression dans la distorsion brusque
d'une turbulence isotrope2
5.4. Modèles spectraux4
5.5. Turbulence associée à un scalaire passif 145
5.6. Equations des corrélations en un point en T.H.A6
5.7. Exemples d'écoulements turbulents homogènes anisotropes 147
5.8. Distorsion rapide d'un fluide turbulent homogène 153
5.9. Compléments sur les solutions linéaires
Chapitre 6. Modélisation des équations d'évolution des tensions de
Reynolds 159
6.1. Les équations aux tensions de Reynolds et leur trace 15
6.2. Modélisation des termes de dissipation visqueuse 163 Table des matières 7
6.3. Modélisation des termes de diffusion turbulente 164
6.4. Corrélations pression-déformation 167
6.5. Détermination des constantes numériques 179
Chapitre 7. Echelles de turbulence et nouvelles orientations
en modélisation au second ordre 185
7.1. L'équation du taux de dissipation de l'énergie cinétique
de la turbulence6
7.2. Modélisation des termes de diffusion8
7.3. Modélisation des termes sources et puits9
7.4. Détermination des constantes numériques 193
7.5. Les volumes tensoriels 19
7.6. Retour sur l'équation de e7
7.7. Nouvelles orientations de recherche en modélisation au
deuxième ordre
Chapitre 8. Modélisation des équations d'évolution des flux
turbulents d'un scalaire passif 211
8.1. Les équations d'évolution des flux turbulents d'un scalaire passif . . 21
8.2. Ordre de grandeur des termes2
8.3. Modélisation des termes dissipatifs3
8.4.n dess de diffusion turbulente 214
8.5.n des corrélations pression-gradient du scalaire passif. . 215
8.6. Détermination des constantes numériques9
8.7. Modélisations de nouvelle génération 22
Chapitre 9. La variance d'un scalaire passif et son taux
de dissipation 225
9.1. Equation d'évolution de la variance d'un scalaire passif 22
9.2. Modélisation des termes de diffusion turbulente6
9.3.n du taux de dissipation 227
9.4. L'équation du taux den de la variance d'un scalaire
passif
9.5. Nouvelles orientations de recherche 230 8 Les écoulements turbulents
Chapitre 10. Fermetures simplifiées : modèles à deux et à trois
équations de transport 231
10.1. Modèle k-Ri2-e pour les écoulements turbulents en couche mince
cisaillée
10.2. Modèles à deux équations3
10.3. Modelage algébrique des tensions de Reynolds et des flux
turbulents d'un scalaire passif9
10.4. Modèles non-linéaires 242
10.5.s algébriques explicites5
Chapitre 11. Fermetures simplifiées : modèles à zéro
et à une équation de transport7
11.1. Modèles à une équation 248
11.2.s à zéron 251
Chapitre 12. Traitement de la turbulence à faible nombre
de Reynolds
12.1. Equations aux tensions de Reynolds7
12.2. Equation du taux de dissipation9
12.3. Modèle k-Rj2-e pour les écoulements de paroi 26
12.4. Modification des flux dans une turbulence à faible intensité 262
12.5. Modèles d'ordre inférieur 264
12.6. Modélisations de deuxième génération 270
Chapitre 13. Le traitement des parois : méthodes
et problèmes 279
13.1. L'écoulement turbulent près d'une paroi
13.2. Fonctions de paroi 281
13.3. Modèles simples pour la sous-couche visqueuse 288
13.4.s à plusieurs équations pour la sous-couche visqueuse. . . . 292
Chapitre 14. Influence des forces d'Archimède 295
14.1. Equations de transport de la turbulence dans l'approximation de
Boussinesq 29
14.2. Influence des termes de gravité sur les corrélations
pression-déformation8 Table des matières 9
14.3. Influence des termes de gravité sur les corrélations pression-
gradient de température 300
14.4. Influence des termes de gravité sur les échelles de turbulence
ou le taux de dissipation1
14.5. Ecoulements bidimensionnels horizontaux en présence de forces
d'Archimède2
14.6. Modelage algébrique3
14.7. Modèles simplifiés5
14.8.s de nouvelle génération 307
Chapitre 15. Remarques sur les problèmes posés par l'étude
d'écoulements complexes9
15.1. L'effet de courbure 310
15.2. Mouvements secondaires4
15.3. Effet de la rotation6
15.4. Exemples d'écoulements turbulents complexes
qui mettent en défaut les fermetures classiques en un point 317
15.5. Compléments sur les équations de Navier-Stokes
en repère relatif 318
15.6. Turbulence en rotation en présence d'effets thermiques 323
15.7. Structures cohérentes et modélisation 32
Chapitre 16. Ecoulements turbulents à masse volumique
variable 325
16.1. Les moyennes6
16.2. Les équations de transport 327
16.3. Modélisation des équations aux tensions de Reynolds
dans le formalisme des moyennes pondérées par la masse 332
16.4. Equation du taux de dissipation 334
16.5. Equations aux flux de chaleur turbulents
16.6. Equation de la variance des fluctuations de température ...... . 33
16.7. Modèles à deux équations et modèles simplifiés 33
16.8. Approche en variables non pondérées
16.9. Continuité 338
16.10. Equations statistiques et modélisation9
16.11. Equation du taux de dissipation 341
16.12. Autres approches2 10 Les écoulements turbulents
Chapitre 17. Modèles à échelles multiples 345
A. Approche intuitive 348
17A.1. Le concept monoéchelle
17A.2. Let multiéchelles9
17A.3. Comment utiliser les échelles multiples ? 351
17A.4. Premières applications à des écoulements turbulents
simples 353
17A.5. Premières applications aux écoulements libres
turbulents
B. Fondements de la méthode4
17B.1. Décomposition en rangs multiples 35
17B.2. Equations de la dynamique spectrale6
17B.3.s de transport des tensions de Reynolds partielles . . 361
17B.4. Les corrélations de pression 365
17B.5. Le problème de fermeture
17B.6. La partition en nombres d'onde9
17B.7. Les équations aux flux spectraux
C. Formulations pratiques et extensions 371
17C.1. Modèle multiéchelle aux tensions de Reynolds
à M niveaux et pour les forts nombres des de turbulence . 37
17C.2. Expression des flux spectraux7
17C.3. Obtention pratique des nombres d'onde de coupure 378
17C.4. Modèle aux énergies partielles MKFM9
17C.5.e auxss RS-MKFM 380
17C.6. Modèle à faible nombre de Reynolds MRFLM1
17C.7.e à faiblee des MKFLM4
17C.8. Modèle à faible nombre de Reynolds RS-MKFLM 386
17C.9. Note sur l'extension aux écoulements turbulents
à masse volumique variable 387
Chapitre 18. Simulations numériques des grandes structures
turbulentes 389
18.1. Les filtres 391
18.2. Les équations de Navier-Stokes filtrées 393
18.3. Les modélisations de sous-maille 398
18.4. Quelques remarques sur les méthodes numériques 404
18.5. Simulation d'écoulements homogènes 405 Table des matières 11
18.6. Simulation d'écoulements inhomogènes sur paroi 406
18.7. Le défiltrage 409
18.8. Filtres variables 410
18.9. Nouvelles directions de recherche, problèmes ouverts 41
Chapitre 19. Synopsis sur les méthodes numériques
Bibliographie 455
Notations principales 499
Index 503 Preface
The fluid mechanics of the world we live in is overwhelmingly dominated by
that chaotic, unsteady motion called turbulent flow. Whether it be the flow of air and
water in the natural environment or the man-managed interior environment, heat,
momentum and mass exchange is brought about by large scale, irregular eddying
motions rather than by molecular diffusion. And the design of virtually all types of
thermo-fluids equipment: pipes, boilers, compressors, turbines, IC engines,
condensers and the hke... are variously designed to cope with or exploit the fact that
the fluids passing through or around them are in turbulent motion.
This is such a commonplace observation that the reader may feel it hardly
deserves mention. Yet, if -instead of using our eyes to view the world about us- we
formed our view of the nature of fluid motion by reading fluid mechanics textbooks,
what a different impression would be gained! From such a study one would
understand that for a great many problems fluid viscosity is an irrelevancy, in most
others the flow remains perfectly laminar while, to handle that rather inconvenient (and
apparently unimportant) state called 'turbulence' one refers to tediously compiled
experimental correlations.
This distorted view of the relative importance of different strands of engineering
fluid mechanics underlines the extent to which academics base the syllabus of their
courses on what they know, rather than on what is relevant. That, I suppose, is as
inescapable a fact of life as turbulent flow itself.
At the research level, the computation of turbulent flows has long been a subject
receiving greater attention than its scant coverage in textbooks would lead one to 14 Les écoulements turbulents
expect. Now the rapid growth of software companies marketing commercial CFD
packages (coupled with a corresponding growth of users of such software) has helped
bring home the need for more -and more systematic- instruction on the internal
workings of theses black boxes. And the aspect of CFD software where questions
most often arise and where, through the absence of textbooks, they are least easily
handled is on turbulence modelling. There is, manifestly, a need for a comprehensive
textbook treatment of engineering turbulence modelling, perhaps particularly one
written by an active contributor to the continuing advance of the subject.
The above was the scene, as I jjerceived it, a Uttle over five years ago when the
first edition of Roland Schiestel's book appeared to warm reviews. Over those
intervening years, of course, the world of turbulence modelling has moved on, and
with the first edition sold out, a timely opportunity has been provided for a revision.
The fact that it had sold out was a good indication that it was meeting a real need and
that the structure and philosophy should remain intact - as it has. For example, the
book rightly focuses on second-moment closure for it is only at this level that the
subject can be developed formally as a branch of mathematical physics. (Having
adopted that starting point, simpler levels of closure naturally emerge as particular
limiting cases that are applicable under increasingly resuicted circumstances.)
Moreover, without recourse to modelling the unknown processes in the second-
moment equations, an examination of the exact generation terms iexplains, at least
qualitatively, so many of the paradoxes of turbulent shear flows. For example: why
turbulent mixing typically results in twice as much heat flow at right angles to the
mean temperature gradient as along it; why a secondary strain associated with
streamline curvature whose magnitude is only 2% of the primary strain produces a
25 % modification in the turbulent shear stress; or why, in orthogonal mode rotation, a
relatively weak Coriolis force augments shear stress on the pressure surface by 10%
whereas further increase in the rotation rate produces no further augmentation.
Thus, the fabric and style of the very successful original version are retained in
this new edition. What is new is an extensive discussion on non-linear eddy-viscosity
approaches that have been widely applied in the last five years, a fuller consideration of
realizability and the two-component limit and, especially, their impact on second-
moment closure. The number of references has also increased by approaching 50%
and the great majority of these are to works appearing in the last five years. Thus this
new edition continues to serve admirably both those in industrial CFD needing to Preface 15
understand the physical basis of their software as well as those about to pursue
research in turbulence modelUng.
Five years ago I had written : 'Turbulence modelling is still seen by many as a
black art founded on bad physics and capable of producing computed flow patterns in
accord with measurements only by the arbitrary, case-by-case adjustment of a sackful
of empirical constants and other less reputable fudges". That perception is, happily,
less conmionly found today. In France, Roland Schiestel's first edition has been a
major contributor to the better-founded appreciation of turbulence modelling by the
scientific community. May this second edition continue the good work !
Brian E. LAUNDER Préface
La mécanique des fluides dans la nature qui nous entoure est irrésistiblement
dominée par ces mouvements chaotiques instationnaires que l'on appelle la turbulence.
Qu'il s'agisse de l'écoulement de l'air ou de l'eau dans l'environnement naturel ou dans
l'environnement intérieur fabriqué par l'homme, les échanges de chaleur, de quantité
de mouvement ou de masse sont produits par des évolutions tourbillonnaires
irrégulières à grande échelle plutôt que par la diffusion moléculaire. De plus,
pratiquement tous les dispositifs aérothermiques tels que les conduites, chaudières,
compresseurs, turbines, moteurs à combustion inteme, condenseurs et similaires...
sont de diverses manières conçus pour tenir compte du fait ou pour exploiter le fait
que les écoulements qui les traversent ou qui les baignent sont turbulents.
C'est là une observation si banale que le lecteur peut avoir le sentiment qu'il est
presque inutile de la mentionner. Cependant, si au lieu d'utiliser notre regard pour
observer le monde qui nous entoure, nous formions notre conception de la dynamique
des fluides par la seule lecture d'ouvrages de mécanique des fluides, quelle impression
toute différente cela nous procurerait ! On déduirait d'une telle étude que pour
beaucoup de problèmes la viscosité du fluide n'intervient pas; que dans la plupart des
auU-es cas, l'écoulement reste parfaitement laminaire, tandis que pour traiter le cas peu
commode (et apparemment sans importance) que l'on appelle "turbulence", on se
réfère à des corrélations expérimentales laborieusement compilées.
Cette distorsion sur l'importance relative des différents domaines de la mécanique
des fluides pour l'ingénieur, souligne dans quelle mesure le point de vue académique
se base, pour établir le programme des enseignements, davantage sur ce qui est bien 18 Les écoulements turbulents
connu que sur ce qui est pertinent. Cela doit être, je pense, un fait tout aussi inévitable
que la turbulence elle-même.
Au niveau de la recherche, le calcul des écoulements turbulents a depuis
longtemps reçu une bien plus grande attention que ne le laisse supposer la faible part
qui lui est consacrée dans les ouvrages d'enseignement. A présent, le développement
rapide de sociétés de logiciels informatiques qui commercialisent des codes de
simulation numérique en dynamique des fluides (accompagné par une augmentation
correspondante du nombre des utilisateurs de tels codes) a fait naître en nous le besoin
d'une plus grande connaissance (également plus systématique) du fonctionnement
interne de ces "boîtes noires". Dans ces logiciels, c'est justement l'aspect relatif à la
modélisation de la turbulence qui fait le plus souvent apparaître des problèmes dont la
solution, du fait de l'absence d'ouvrage spécifique, est plus difficilement maîtrisée. Il y
a manifestement un besoin de disposer d'un traité complet sur la modélisation de la
turbulence pour l'ingénieur, et peut-être particulièrement un ouvrage écrit par une
personne qui contribue activement au développement de ce sujet.
Cela correspondait à la situation, telle que je la percevais il y a un peu plus de
cinq ans lorsque la première édition du livre de Roland Schiestel paraissait avec un
accueil chaleureux. Après ces années, bien sûr, le monde de la modélisation de la
turbulence a avancé, et la première édition se trouvant épuisée, l'occasion se présentait
d'effectuer une révision. Le fait qu'elle ait été épuisée, était une bonne indication
montrant qu'elle correspondait à un réel besoin et que la strucUire et la philosophie de
l'ouvrage se devaient de rester intactes - comme c'est le cas. Par exemple, le livre met
l'accent ajuste titre sur les fermetures au second ordre, car c'est seulement à ce niveau
que le sujet peut être développé correctement comme une branche de la physique
mathématique. (Après avoir adopté ce point de départ, les fermetures d'ordre inférieur
apparaissent naturellement comme des cas limites particuliers applicables dans des
conditions de plus en plus restrictives.) De plus, sans avoir recours à aucune
modélisation des processus inconnus dans les équations des seconds moments,
l'examen des termes de production exacts explique, tout au moins qualitativement,
bien des paradoxes des écoulements turbulents cisaillés. Par exemple : pourquoi le
mélange turbulent produit généralement un flux de chaleur dans les directions
perpendiculaires au gradient de température moyenne qui est double de celui qui se
produit dans la direction colinéaire ? Pourquoi un taux de déformation secondaire
associé à la courbure des lignes de courant et dont l'importance n'est que de 2 % de la Préface 19
déformation principale produit une modification de 25 % sur le taux de cisaillement
turbulent ? Ou bien, dans le cas d'une rotation orthogonale, pourquoi une force de
Coriohs relativement faible provoque-t-elle une augmentation de 10 % du cisaillement
turbulent sur la paroi en surpression tandis qu'un accroissement supplémentaire de la
vitesse de rotation ne produit plus aucune augmentation ?
Ainsi, la construction et le style de l'ouvrage, qui ont fait le succès de la version
originale ont été repris dans cette nouvelle édition. La nouveauté réside en une
discussion extensive sur les approches non linéaires de la viscosité de la turbulence qui
ont été largement utihsées ces cinq demières années, une prise en compte plus
complète de la réalisabilité et de la limite de la turbulence à deux composantes et, plus
particulièrement, leur impact sur les fermetures au second ordre. Le nombre des
références a aussi été augmenté de presque 50 % et la grande majorité d'entre elles
sont des travaux apparus ces cinq demières années. Ainsi, cette nouvelle édition
continue à servir admirablement à la fois et aussi bien ceux impliqués dans la
mécanique des fluides numérique industrielle désirant accéder à la compréhension des
bases physiques de leurs logiciels que ceux s'engageant dans la recherche en
modélisation de la turbulence.
n y a cinq ans j'écrivais : "La modélisation de la turbulence est encore perçue par
beaucoup comme une alchimie obscure fondée sur une physique grossière et capable
de reproduire par le calcul des structures d'écoulement en accord avec les mesures,
seulement au cas par cas, en utilisant des ajustements arbitraires d'une fournée de
constantes empiriques et autres artifices moins recommandables". Cette perception
des choses est heureusement moins répandue de nos jours. En France, la première
édition du Uvre de Roland Schiestel a été une contribution majeure pour une
appréciation mieux fondée de la modélisation de la turbulence par la communauté
scientifique. Que cette deuxième édition puisse prolonger ce bon travail.
Brian E. LAUNDER Avant-propos
L'origine de cet ouvrage est un cours de Modélisation et Simulation numérique des
écoulements turbulents enseigné en DEA de Mécanique des Fluides à l'Université
d'Aix-Marseille II depuis 1981-82. Une première édition de l'ouvrage "Modélisation
et simulation des écoulements turbulents" avait été réalisée et publiée en 1993 aux
éditions Hermès. C'est cette édition antérieure qui a servi de base à la présente édition
qui la complète et l'actualise.
Quoiqu'il existe une littérature scientifique abondante sur les écoulements turbulents et
sur leur modélisation numérique, les informations sont généralement disséminées dans
de nombreux articles dans les revues scientifiques internationales spécialisées. Le
présent ouvrage vise à fournir une présentation synthétique introductive sur les
méthodes de modélisation et de simulation numériques des écoulements à partir des
concepts de base. Il est destiné à un utilisateur potentiel des modèles, étudiant de 3°
cycle des Universités, chercheur ou ingénieur intéressé par le calcul pratique des
écoulements turbulents. L'ouvrage donne les fondements physiques des méthodes et
conduit le lecteur au point où il peut mettre en oeuvre les modèles sur des applications
pratiques et approfondir les techniques avancées. En vue du traitement numérique
effectif sur ordinateur, quelques tables récapitulatives sur les méthodes numériques
sont regroupées dans un dernier chapitre.
Malgré la grande variété des études expérimentales sur la structure des écoulements
turbulents, les mécanismes fondamentaux du phénomène demeurent encore bien
imparfaitement élucidés et à l'heure actuelle encore, bien des problèmes restent
ouverts, parfois énigmatiques. Cependant la plupart des écoulements rencontrés dans
le domaine de la pratique industrielle sont de nature turbulente et beaucoup de
phénomènes tels que le transfert de chaleur ou de masse sont si intimement liés au
mouvement du fluide que leur étude nécessite le calcul préalable de l'écoulement
turbulent. Ainsi, la prédétermination numérique des écoulements turbulents est de
première importance pour de nombreuses applications pratiques (industrie,
environnement...).
La présentation proposée s'appuie sur un certain nombre de concepts de base
classiques sur la phénoménologie de la turbulence en milieu fluide, notamment la
théorie de Kolmogoroff. La méthodologie des fermetures en un point est développée
jusqu'à son application aux modèles de transport des moments du second ordre. Les
modèles d'ordre inférieur seront présentés comme des simplifications des fermetures 22 Les écoulements turbulents
au deuxième ordre, même si l'ordre historique est inverse. L'impact des théories
spectrales est aussi essentiel, en particulier sur les notions d'équilibre spectral ou sur
les interactions linéaires. Ces théories spectrales, quoique essentiellement
représentatives de la turbulence homogène, permettent une description plus fine des
mécanismes d'interaction turbulents.
L'exposé privilégie les méthodes qui conduisent à des predeterminations effectives des
écoulements turbulents. C'est ainsi que, outre les modèles de fermeture en un point ou
en deux points, sont également abordées les simulations numériques de grandes
structures turbulentes dont l'emploi s'est développé avec l'avènement des
supercalculateurs. Ce parti pris nous a conduits à écarter de l'exposé les théories
analytiques et toutes les approches fondamentales purement théoriques.
Comparée aux raisonnements déductifs des sciences exactes, la méthode d'approche
en modélisation de la turbulence peut surprendre par son aspect empirique. Cependant
la méthode des modèles n'est pas propre à la turbulence, elle est utilisée dans bien des
domaines de la physique. Selon M. DODE (*) il existe deux modes d'étude des
phénomènes de la nature : la méthode des sciences exactes et la méthode des modèles.
La méthode des sciences exactes telles que la thermodynamique, la mécanique,
l'optique, l'électromagnétisme, est basée sur un petit nombre de principes
fondamentaux dont la valeur est considérée comme absolue dans le domaine de la
science considérée. Ces principes fondamentaux ou postulats sont d'origine
expérimentale et ont été découverts par induction. Toutes les lois de la science sont
ensuite déduites de ces principes premiers par l'application des mathématiques et la
rigueur de ces lois est absolue dans le domaine oià sont posés les postulats.
Par contre, la méthode des modèles cherche à interpréter les phénomènes et à
représenter leur mécanismes par une image. C'est le cas de la théorie atomique qui
proposait un modèle mécanique de structure d'atome. Dans la méthode des modèles,
on cherche à imaginer un mécanisme dont les détails restent cachés et qui soit capable
de donner une interprétation des faits observés. Une fois ce mécanisme défini, on
cherche à en tirer toutes les conséquences possibles. La généralité du modèle proposé
est alors reconnue d'après la valeur des prévisions qu'il permet de faire, prévisions
que les sciences exactes sont impuissantes à fournir. Méthode des sciences exactes et
méthode des modèles ne s'opposent pas, elles sont complémentaires. Au fur et à
mesure que nos connaissances s'approfondissent les modèles de la physique
s'éloignent de plus en plus de l'expérimentation directe, et deviennent de plus en plus
abstraits jusqu'à être de pures « équations modèles » .
Selon cette ligne de pensée, un modèle de turbulence est donc composé d'«équations
modèles» . Elles décrivent un phénomène, qui sans être la turbulence réelle, s'en
approche suffisamment pour en constituer une image simplifiée utile. L'exactitude du
modèle, ses capacités à représenter les propriétés d'un écoulement turbulent,
dépendent directement de nos connaissances sur la physique des phénomènes qui ont
pu être incorporés dans les équations.
(*) d'après M. DODE, Le deuxième principe, Sédes, 1965 Avant-propos 23
Le modèle est en quelque sorte un résumé quantifié de nos connaissances présentes
sur la turbulence fluide. En ce sens, les modèles sont perfectibles et s'améliorent
chaque jour, enrichis de concepts nouveaux inspirés des résultats d'expériences ou de
simulations numériques ou de progrès réalisés dans l'approche théorique.
Ces dernières années ont vu un développement remarquable des modèles de
turbulence vers des formulations de plus en plus avancées qui sont le fruit de
nombreux travaux de recherche menés dans ce domaine par diverses équipes dans le
monde. L'effort a porté en particulier sur les propriétés de réalisabilité permettant
d'approcher les états « extrêmes » du champ turbulent ( fortes anisotropics mais
aussi effets de compressibilité, restructuration par la rotation...) et aussi sur une
description plus fine de la physique sous-jacente visant à une plus grande universalité
de description. Ces efforts vers le développement des modèles, avec l'émergence de
nouveaux concepts, se poursuivent actuellement, grandement dynamisés par le
développement des méthodes de mesure nouvelles comme la vélocimétrie laser et
surtout par l'utilisation généralisée des simulations numériques directes de turbulence
qui servent de base de données pour le calibrage et le test des modèles. Les
simulations directes, malgré leur limitation en nombre de Reynolds, permettent non
seulement de considérer des écoulements ou des valeurs de paramètres physiques
impossibles à obtenir expérimentalement mais aussi de tester directement les
hypothèses de fermeture. Ainsi, les différents phénomènes turbulents pouvant être
mieux différenciés et étudiés séparément, il en résulte une représentation physique
plus fine qui dépasse le simple mimétisme du comportement observable d'un
écoulement turbulent. On peut dire que le développement des nouvelles techniques
d'approche que sont les simulations directes de turbulence, loin de se substituer à la
modélisation, ont au contraire servi de catalyseur à leur progrès. On observe alors,
non seulement le perfectionnement des modèles mais aussi l'apparition d'une plus
grande variété de types de formulations (modèles non-linéaires, équations de transport
pour des quantités nouvelles...). La fermeture au second ordre reste toutefois un
niveau de référence permettant à la fois de riches potentialités de description et une
résolution numérique efficace des équations. Du point de vue de l'utilisateur, les
méthodes d'approche des écoulements turbulents sont donc très variées, depuis les
modèles de fermeture en un point comportant un nombre d'équations limité jusqu'aux s de transport avancés et aussi les simulations de grandes structures qui
prennent une position hybride entre la modélisation et la simulation. Ces méthodes
doivent être considérées comme davantage complémentaires que compétitives et leur
choix devra eue guidé surtout par le type de problème traité et les réponses attendues. Remerciements
L'auteur remercie le Centre national de la recherche scientifique
qui lui a permis dans le cadre de ses fonctions de chercheur au
CNRS de développer des recherches dans le domaine de la
modélisation de la turbulence.
Au travers de la réalisation de cet ouvrage sur la modélisation
de la turbulence (depuis sa première édition en 1993), l'auteur
souhaite aussi remercier les personnes qui ont eu une influence
créative dans ses activités professionnelles de recherche,
notanament le professeur J. GosSE (ancien directeur de
l'ENSEM, Nancy, puis titulaire de la chaire de thermique du
CNAM, Paris) qui l'a introduit dans le monde fascinant de la
turbulence et ses applications, le professeur B.E. LAUNDER
(UMIST, Manchester, Angleterre) pour les fructueuses
collaborations scientifiques menées sur les développements de
nouveaux modèles, le professeur G. COMTE-BELLOT (Ecole
Centrale de Lyon) dont les points de vue lui ont été très
précieux ainsi que MM. R. DUMAS (ancien directeur de
riMST à Marseille) qui lui a fait bénéficier de ses vastes
connaissances sur la physique et la structure des écoulements
turbulents et L. FULACHIER (ancien directeur de l'IMST) avec
qui les collaborations sur le plan de l'expérience ont fourni un
support très utile pour les modélisations.
Par ailleurs, l'auteur tient à remercier le professeur G. DHATT
(alors à l'Université de Compiègne) et M. F. BOUTTES
(Université de Compiègne) pour leurs conseils éclairés sur la
conception de l'ouvrage dans sa première édition en 1993, ainsi
que M. P. BONTOUX (directeur du Groupement de recherche
en mécanique numérique des fluides du CNRS) pour le
support qu'il a apporté à la réalisation de la première édition qui
a servi de base au présent ouvrage. Introduction
Nous considérerons ici, parmi les nombreuses approches de la turbulence des fluides,
seulement celles qui donnent lieu à des méthodes de prédétermination effective des
écoulements turbulents cisaillés par un calcul numérique, méthodes pouvant permettre
l'étude des écoulements en situation réelle. En l'absence de théorie prédictive générale
des phénomènes turbulents, les approches pratiques font appel à des méthodes de
modélisation et de simulation. Cess diverses présentent différents niveaux
de complexité, depuis les modélisations statistiques basées sur une hypothèse de
viscosité de la turbulence, puis les modélisations plus évoluées comprenant de
nombreuses équations de transport, jusqu'aux simulations numériques de grandes
structures turbulentes. Ces diverse méthodes sont complémentaires plus que
compétitives, elles correspondent à différents niveaux de description ayant chacun
leurs performances et leurs limitations spécifiques. Ainsi, parmi la variété des
modèles de turbulence et des approches possibles, l'utilisateur sera souvent amené à
effectuer un choix dicté le plus souvent par la nature du problème physique à résoudre
et les réponses recherchées. Pour cela, on tentera dans cette introduction de dégager
quelques lignes directrices que l'on voudrait être comme un fil d'Ariane dans un
paysage varié et multiforme.
La description complète d'un champ aléatoire à l'aide de densités de probabilités est
très difficile, aussi les méthodes usuelles ne considèrent que les premiers moments en
un ou plusieurs points. La méthode statistique, par l'emploi d'opérations de moyenne
fait apparaître le problème de la fermeture des équations. Cette fermeture est réalisée
par des hypothèses de modélisation. On distingue essentiellement dans l'approche
statistique, les fermetures en un point basées sur une hiérarchie des moments en un
point et less en deux points ou modèles spectraux basés sur une hiérarchie
des moments en deux points distincts ou leurs transformées de Fourier, les tenseurs
spectraux. La première méthode a été largement utilisée pour le calcul des
écoulements cisaillés inhomogènes rencontrés dans les situations réelles, la deuxième
méthode est pratiquement limitée à la turbulence homogène isotrope et anisotrope. 26 Les écoulements turbulents
De nombreux modèles de turbulence ont été construits et proposés au fil des années,
qui permettent dans chaque cas le calcul des distributions de vitesses moyennes, de
température ou de concentration moyenne dans un écoulement turbulent. Les
premières théories empiriques de formulation très simple sont basées sur l'emploi
d'un coefficient de viscosité de la turbulence et sur le schéma de longueur de mélange.
Ces types de modèles et leurs diverses améliorations ont très largement été utilisées et
ont permis, malgré leurs limitations théoriques, de reproduire assez bien les mesures
d'origine expérimentale, en particulier dans les couches limites turbulentes. Cependant,
ces théories empiriques ont chacune leur formulation propre valable dans un domaine
très restreint et par suite des schémas distincts sont utilisés pour le calcul des
écoulements turbulents confinés dans les conduites, les jets, les sillages, les couches
limites, etc.
La mise en œuvre d'hypothèses de plus en plus élaborées sur le comportement du
fluide turbulent a conduit ensuite au développement de schémas plus complexes
permettant, outre le calcul de l'écoulement moyen, la prévision des caractéristiques du
champ turbulent. Ce sont les modèles à équations de transport, dont le plus répandu a
été le modèle énergie-dissiparion dit 'k-£'. L'étape suivante, dans le sens d'une
complexité croissante, est le développement des modèles au deuxième ordre. Le but
de ces recherches sur des modèles comportant un nombre d'équations de transport de
plus en plus élevé, est la mise au point de schémas de caractère plus universel pouvant
résoudre un ensemble varié d'écoulements pratiques dans des geometries différentes
sans qu'il soit nécessaire de réadapter le calage des constantes numériques. 11 convient
de remarquer toutefois que le domaine d'application d'un modèle reste toujours limité
et qu'un progrès dans le sens de l'universalité se fait parfois au détriment de la
précision si l'on considère un cas précis d'écoulement. Si les modèles à équations de
transport sont maintenant largement urilisés dans la pratique industrielle, notamment
le modèle énergie-dissipation, les fermetures au deuxième ordre restent encore en
développement et des progrès sont réalisés chaque jour.
Les modèles à équations de transport permettent de traiter de façon plus explicite des
phénomènes d'interaction turbulente en donnant une interprétation physique de chaque
corrélation inconnue qui sera modélisée. Ils sont donc ainsi le cadre privilégié pour
l'introduction de phénomènes supplémentaires comme l'influence des forces de
gravité, des effets de rotation, des effets thermiques, etc.
La base de cette approche statistique a été codifiée dans la méthode du modelage
invariant de Lumley. Cette méthodologie est présentée dans les premiers chapitres.
Ces modèles de base, avec ou sans équations de transport ont généralement été
initialement introduits en fluide incompressible pour une turbulence pleinement
développée. Des extensions ont été faites pour rendre compte de l'effet du nombre de Introduction 27
Reynolds de la turbulence, en particulier près d'une paroi, souvent au prix d'un certain
empirisme. Les méthodes utilisées en écoulement compressible sont bien souvent
encore des extensions directes des modèles en incompressible.
Les modèles en un point classiques sont basés sur une hypothèse d'échelle unique.
Cette hypothèse peut tomber en défaut dans les écoulements en fort déséquilibre. C'est
le cas des écoulements soumis à des sollicitations variant fortement dans l'espace ou
dans le temps ou bien dans le cas d'un apport d'énergie sur des fréquences ou des
nombres d'onde particuliers du spectre. Pour ce type de situations, des modèles
multiéchelles ont été développés afin de tenir compte de façon simplifiée de certaines
informations spectrales.
Les modèles en un point nécessitent l'introduction d'hypothèses souvent nombreuses
liant corrélations inconnues aux quantités connues. Le modélisateur est guidé pour
cela par son intuition physique des mécanismes en jeu, l'analyse dimensionnelle, les
concepts théoriques fondamentaux, les résultats d'expériences comparées... Ces
hypothèses font intervenir des constantes numériques qui sont déterminées par
référence à des expériences clefs, relativement simples et bien connues
expérimentalement (turbulence de grille, turbulence de paroi, déformation pure,
cisaillement homogène...). Un modèle dee apparaît alors un peu comme un
résumé quantifié des connaissances actuelles sur la turbulence synthétisées sus forme
d'équations. La validité de ces schémas est ensuite confirmée ou infirmée par
confrontation des prévisions numériques avec les résultats expérimentaux portant sur
des écoulements turbulents divers. C'est donc par ses conséquences qu'un modèle
trouve sa justification ultime. Le domaine d'application du modèle sera, bien sûr, plus
ou moins limité selon le degré de généralité des hypothèses introduites.
L'accroissement de la taille mémoire et de la rapidité des ordinateurs scientifiques a
permis récemment le développement des méthodes de simulation. Si l'attaque
numérique directe des équations de Navier-Stokes en régime turbulent, de par
l'ampleur des moyens nécessaires, reste limitée à des problèmes fondamentaux de
turbulence pour des nombres de Reynolds relativement faibles, les simulations
numériques de grandes structures turbulentes permettent à présent d'aborder des
situations réelles. Cette méthode permet de simuler par un calcul tridimensionnel et
instationnaire les mouvements des grands tourbillons turbulents tandis que les
stinctures fines d'échelle inférieure à la maille de calcul et dont les caractéristiques sont
plus universelles, sont modélisées. Le but est donc de simuler des réalisations
d'écoulements turbulents qui fournissent une vision et une description détaillée des
structures générées par le calcul et leur évolution. Les diverses méthodes de
simulation sont utiles pour des études approfondies d'écoulements turbulents car elles
permettent de générer le champ fluctuant à grande échelle qui peut être analysé par un
post-traitement statistique tout comme le fait l'expérimentateur sur des mesures de
laboratoire. Les simulations numériques peuvent ainsi fournir des corrélations
statistiques qui ne pourraient pas être mesurées et permettre de tester directement des
hypothèses de fermeture. Aussi, les simulations permettent de traiter des situations 28 Les écoulements turbulents
d'écoulements ou de considérer des valeurs de paramètres physiques qui ne seraient
pas réalisables expérimentalement. Leur inconvénient reste leur limitations en nombre
de Reynolds. Une autre application est l'étude d'écoulements pour lesquels les
modèles en un point tombent en défaut ou bien ne peuvent pas donner l'information
recherchée, c'est le cas des écoulements complexes ou pathologiques présentant des
mouvements à grande échelle fortement instationnaires ou irréguliers. Les
macrosimulations peuvent être utilisées pour foumir des informations utiles à la mise
au point de modèles plus simples, en particulier sur des quantités non accessibles aux
mesures. On remarquera cependant que dans un certain sens, les méthodes de
simulation, en calculant davantage et en modélisant moins, contournent le problème
de la turbulence plus qu'elles ne le résolvent, le vrai problème restant de nature
statistique. Introduction 29
Equations de
Navier-Stokes Attaque
Directe
Moyennes
Filtrage Description
Statistiques
Fonctionnelle
Equations de Reynolds
Equations du
Hiérarchie des
mouvement liltré
moments statistiques
Tensorialité
Théorèmes de
représentation
Hypothèses Fermeture de Modelage invariant
de fermeture sous-maille Ordres de grandeur
Réalisabilité
Intuition physique
Théorie de
Kolmogoroff
Expériences
Simulations
Modèles en
directes
deux points
Modèles à équations
Tfiéories
de transport
Effet de ReT analytiques pour la microturbulence
Parois
Gravité
Rotation.Courbure
Densité variable Modèles de transport
Modèles
au deuxième ordre
multiécfielles
Modèles
algébriques Modèle de viscosité Modèles à Modèles à 3 au 2° ordre de sous-maille 1 ou à 2 équations Hyp. de Smagorinsky équations
Modèles à
zéro équation
Hypothèse de
Hypotfièse de
viscosité
longueur de mélange de la turbulence
Diagramme d'implications Chapitre 1
Introduction à la modélisation
de la turbulence.
Concepts de base
1.1. Nature de la turbulence
La turbulence est une propriété de l'écoulement et non du fluide lui-même. Il n'existe
pas de définition de la turbulence en milieu fluide, ni d'ailleurs de théorie générale de
la turbulence. La turbulence est alors caractérisée par un certain nombre de propriétés
observables que nous allons préciser ci-après.
1.1.1. Propriétés observables des écoulements turbulents
1.1.1.1. Signal irrégulier dans l'espace et dans le temps
Les grandeurs physiques telles que vitesse et pression varient de façon apparemment
aléatoire (cf. figure 1.1.). Remarquons que les fluctuations organisées ou périodiques
ne font pas partie de l'agitation turbulente, comme c'est le cas des écoulements puisés
dans lesquels on devra retrancher la composante périodique pour obtenir le signal
turbulent proprement dit.
1.1.1.2. Ecoulement rotationnel
Le mouvement turbulent présente des fluctuations du rotationnel de vitesse. Un champ
acoustique même aléatoire n'est pas pour autant turbulent car il est irrotationnel.
1.1.1.3. Dijfusivité éle vée
Un champ turbulent diffuse fortement toute quantité transportable comme la
température ou un colorant, mais aussi la quantité de mouvement. En réalité, la
diffusion turbulente est due aux termes de convection au niveau des fluctuations. Une 32 Les écoulements turbulents
particule fluide marquée par un colorant se déforme alors, se ramifie et s'effiloche
progressivement (cf. figure 1.2.).
Figure 1.1. Signal turbulent
1.1.1.4. Phénomène tridimensionnel
Les mouvements turbulents fluctuants sont toujours tridimensionnels et
instationnaires. Signalons dès à présent qu'il existe toutefois une turbulence dite
"bidimensionnelle" que l'on rencontre dans des situations très spécifiques et dont les
mécanismes sont différents de ceux de la turbulence tridimensionnelle.
1.1.1.5. Caractère imprévisible des trajectoires
Ce comportement imprévisible du détails des trajectoires sur des temps suffisamment
longs correspond à une perte de mémoire des conditions initiales, c'est le phénomène
d'imprédictabilité. 11 explique, par exemple, les difficultés de la prévision du temps à
long terme. Le problème de la prédictabilité a été étudié numériquement par ChoUet
J.P. et Métais O., 1989.
1.1.1.6. Coexistence de tourbillons de tailles très diverses
Il existe toute une cascade de tourbillons d'échelles de plus en plus fines, créée par les
processus non linéaires engendrés par les termes d'inertie dans les équations du
mouvement.
1.1.1.7. Dissipation
La turbulence est fortement dissipative du fait de la présence de forts gradients de
vitesse instantanés. Les taux de déformation instantanés deviennent en effet très Concepts de base 33
importants et la dégradation de l'énergie cinétique turbulente en chaleur est alors très
forte.
a) t=0. b) tl>0.
c) t2>tl
Figure 1.2. Evolution d'un volume "marqué" par un contaminant sous l'effet de la
diffusion turbulente (d'après Monin & Yaglom, 1971).
1.1.2. Le point de vue classique sur la turbulence
La turbulence est un mouvement tourbillonnaire qui, aux nombres de Reynolds élevés
couramment atteints, présente un spectre étendu de dimensions de tourbillons et un
spectre correspondant en fréquence. Le mouvement toujours rotationnel peut être
conçu comme un enchevêtrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs
rotationnels sont orientés dans toutes les directions et sont fortement instationnaires.
Les plus gros tourbillons, qui sont associés aux basses fréquences du spectre, sont
déterminés par les conditions aux limites de l'écoulement et leur dimension est de
l'ordre de grandeur du domaine occupé par l'écoulement. Les plus petits tourbillons,
associés aux hautes fréquences, sont déterminés par les forces visqueuses. La largeur
du spectre, c'est-à-dire la différence entre les plus gros et les plus petits,
augmente avec le nombre de Reynolds. C'est surtout les mouvements à grande échelle
qui transportent la quantité de mouvement et la chaleur et qui contribuent aux
corrélations Ui Uj et Uj 7 où Uj représente les composantes de vitesse et y un scalaire
transporté.
Ainsi, ce sont d'abord ces gros tourbillons qui devront être considérés pour la
détermination de Uj Uj et Uj y dans les modèles de turbulence : les échelles de vitesse
et de longueur introduits dans les modèles usuels de turbulence sont essentiellement
des macro-échelles. 34 Les écoulements turbulents
Les gros tourbillons interagissent avec l'écoulement moyen (car leurs échelles sont du
même ordre de grandeur), ils extraient de l'énergie cinétique du mouvement moyen et
la foumissent aux agitations à grande échelle.
Les structures turbulentes peuvent être considérées comme des éléments
tourbillonnaires qui s'étirent les uns les autres. Cet allongement des filets tourbillons
est un des aspects essentiels du mouvement turbulent. Il produit le passage de
l'énergie à des échelles de plus en plus petites jusqu'à ce que les forces visqueuses
deviennent actives et dissipent l'énergie : c'est la cascade d'énergie.
La quantité d'énergie du mouvement moyen injectée dans le mouvement turbulent est
déterminée par les grandes échelles, c'est seulement cette quantité d'énergie qui pourra
être transmise aux petites échelles et ensuite dissipée. Ainsi le taux de dissipation
d'énergie est déterminé par les mouvements à grande échelle bien que lan
soit un processus visqueux dont les petits tourbillons sont le siège. La viscosité du
fluide ne détermine pas le taux de dissipation mais seulement l'échelle à laquelle cette
dissipation se produit. Plus le nombre de Reynolds est élevé, plus les tourbillons
dissipateurs sont petits.
Du fait de l'interaction avec le mouvement moyen, les gros tourbillons dépendent
fortement des conditions aux limites du problème. Le mouvement moyen présente
souvent des directions privilégiées qui sont alors imposées aux mouvements
turbulents à grande échelle. Ces gros tourbillons peuvent alors être fortement
anisotropes. Durant le processus de cascade, la dépendance directionnelle est atténuée.
Lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment grand pour que la zone des gros
tourbillons et celle des petits tourbillons dissipateurs soient bien distinctes dans le
spectre, cette dépendance directionnelle est presque totalement perdue : c'est la
tendance à l'isotropie locale de la microturbulence.
L'apparition de la turbulence a des causes diverses, le plus souvent elle est due à
l'augmentation du nombre de Reynolds. Mais l'apparition de la turbulence est
influencée aussi par les forces extérieures (forces d'Archimède, forces de Coriolis...).
Les mécanismes de la transition du régime laminaire au régime turbulent sont
tridimensionnels et complexes, ils ne sont d'ailleurs pas complètement éclaircis à
l'heure actuelle (cf. Swinney H.L. & GoUub J.P., 1981).
1.2. Les différentes approches de la turbulence
Il n'existe pas une théorie générale explicative du phénomène de turbulence mais de
nombreuses théories partielles et incomplètes. Parmi ces théories, certaines, si elles
sont très rudimentaires et très limitées, n'en demeurent pas moins utiles à une
approche industrielle, d'autres, plus évoluées, exigent des développements
mathématiques plus importants. Les approches sont donc nombreuses et diverses : la
turbulence est une discipline en évolution constante qui s'enrichit sans cesse de
matériaux nouveaux. Parfois même, des disciplines apparemment étrangères au
domaine étudié peuvent apporter un éclairage inattendu, malgré leur formalisme
différent. Concepts de base 35
1.2.1. Approche directe
La plupart des approches de la turbulence supposent que le mouvement instantané
détaillé du fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes. Le fluide est alors
considéré comme un continuum par rapport à l'échelle moléculaire. Selon ce point de
vue, on connaît donc les équations de la turbulence, et certaines recherches se sont
orientées vers l'étude de "solutions turbulentes" des équations de Navier-Stokes
(Agostini L. & Bass J., 1950 - Bass J., 1961) . L'étude de tout écoulement turbulent
pourrait donc se faire, du moins en principe, par résolution directe des équations de
Navier-Stokes. En vue de la prédétermination numérique d'unt turbulent la
question se pose donc : pourquoi ne pas résoudre directement les équations de
Navier-Stokes ? Cette vue consisterait à faire un calcul direct du mouvement turbulent
pour une ou plusieurs réalisations avec des conditions aux limites aléatoires et faire
ensuite un traitement statistique sur les solutions obtenues. On montre toutefois que le
nombre de points de discrétisation nécessaire pour représenter les plus petites échelles
de la turbulence atteint des valeurs faramineuses.
Pour fixer les idées, essayons de préciser quantitativement les ressources
informatiques nécessaires. La turbulence étant toujours tridimensionnelle et
instationnaire, le nombre N^ de points de maillage (qui conditionne l'espace mémoire
nécessaire sur ordinateur) dans un domaine cubique sera proportionnel à (ôx)"' , ôx
étant le pas d'espace, et le temps de calcul sera proportionnel à N^ / ôt où 8t est le pas
de temps.
De manière à représenter les plus petites échelles, ôx et ôt doivent être de l'ordre des
échelles de Kolmogoroff.
Plus précisément :
5x = Tl/ 4 Ti = (v^/e)i/4
T = (V / e)i/2 Ôt = T/4
L'ordre de grandeur de ces échelles a été divisé par quatre afin de pouvoir représenter
(au moins très grossièrement) une sinusoïde sur une période.
le nombre de Reynolds de la turbulence, où 1 est la dimension des
gros tourbillons énergétiques ( 1 = k^'^ / e) et k l'énergie cinétique de la turbulence. 36 Les écoulements turbulents
On a admis que la dimension géométrique L caractéristique de l'écoulement était de
l'ordre de 1.
Considérons par exemple une section de l'écoulement turbulent en conduite. Si l'on
admet Rct = Re / lO où Re est le nombre de Reynolds de l'écoulement Re = , on
trouve pour Re = 80 000 et 4. lO"^. (!).
On montrerait de même que le temps de calcul est proportionnel à Re' .
Cette approche directe nécessite de puissants moyens informatiques, elle ne peut être
conduite actuellement que sur des écoulements en géométrie relativement simple et
pour des nombres de Reynolds peu élevés. L'attaque directe des équations de Navier-
Stokes en régime turbulent reste donc réservée à des études fondamentales de
recherche en turbulence (Orszag & Patterson, 1972 ; Orszag & Pao, 1974), et n'est
pas abordable pour la prévision numérique d'écoulements dans la pratique industrielle,
tout au moins, pas dans un futur prévisible.
Il existe toutefois une technique de calcul intermédiaire entre le calcul direct et
l'approche statistique. La méthode consiste à calculer l'écoulement à partir des
équations de Navier-Stokes sur un maillage plus lâche et à modéliser les mouvements
d'échelles inférieures aux dimensions de la maille. Il s'agit donc d'une simulation
numérique des grosses structures turbulentes (justement celles qui seraient le plus
difficile à modéliser).
Cette méthode est coûteuse du point de vue de l'ampleur des calculs numériques sans
être toutefois toujours prohibitive (cf. chap. 18). La méthode devrait être
particulièrement utile pour les écoulements dans lesquels les grandes structures jouent
un rôle déterminant.
Dans les écoulements cisaillés ces grosses structures marquées par la géométrie de
l'écoulement doivent posséder quelques caractères ordonnés (structures cohérentes).
Cependant l'existence des structures cohérentes et leur définition précise posent encore
des problèmes aux spécialistes.
La simulation directe (attaque directe des équations de Navier-Stokes) a été aussi
utilisée pour tester, à des nombres de Reynolds turbulents relativement faibles, la
validité des modèles de sous-maiile (Clark R.A., Ferziger J.H. & Reynolds, W.C.,
1979 - Ferziger J.H. & McMillan O.J., 1977) ou les modèles de fermeture en un
point (Rogallo R.S., 1981). Concepts de base 37
7.2.2. Méthode statistique
(Equations statistiques, système ouvert, problème de fermeture)
Une solution turbulente est toujours une solution compliquée non stationnaire des
équations du mouvement, présentant des fluctuations irrégulières dans l'espace et dans
le temps. Devant cet aspect désordonné des évolutions turbulentes et cette apparente
complexité du phénomène l'attitude naturelle et la plus utilisée a été d'introduire des
méthodes statistiques. Le hasard apparent des évolutions turbulentes a son origine
dans les irrégularités des conditions initiales et des conditions aux limites mal
déterminées dans leur détail et pour lesquelles une très petite variation bouleverse
totalement la structure détaillée de l'écoulement. La méthode statistique n'est donc pas
justifiée par l'absence de causes mais par l'ignorance des causes surabondantes et
difficilement accessibles.
La décomposition d'une grandeur caractéristique instantanée de l'écoulement turbulent
en une partie macroscopique et une partie turbulente d'apparence aléatoire permet de
développer un traitement statistique des équations du mouvement. Ce traitement
appliqué aux équations de Navier-Stokes qui décrivent le mouvement détaillé
instantané du fluide, fait apparaître des termes inconnus supplémentaires qui sont
interprétés comme des tensions turbulentes. Dans le cas des écoulements isovolumes,
auxquels nous nous restreignons maintenant, les méthodes dites A et B introduites
dans (Favre A. et al, 1976 ) conduisent au même résultat.
Différentes moyennes sont utilisées : moyenne temporelle, moyenne spatiale,
moyenne stochastique (calcul des probabilités), moyenne statistique ou moyenne
d'ensemble (moyenne sur un ensemble de réalisations). C'est cette dernière que nous
utiliserons dans la suite. Elle est définie comme la limite statistique de la moyenne
arithmétique prise à travers un certain nombre d'expériences réalisées dans les mêmes
conditions générales d'écoulement. Cette moyenne notée ( ) vérifie les règles dites
"règles de Reynolds" (Hinze J.O., 1975) :
(f+g)=f+ i
a, constante numérique
(af)= a f
fg = f i
9f/9^= dî /d^ ^, variable d'espace ou de temps
Dans le cas d'une turbulence stationnaire les moyennes d'ensemble ne dépendent pas
du temps. Si l'on admet les conditions d'ergodicité (il est équivalent du point de vue
statistique de considérer la répétition d'expériences analogues ou une seule expérience 38 Les écoulements turbulents
indéfiniment prolongée), on montre que la moyenne temporelle est égale à la moyenne
d'ensemble. Dans le cas des écoulements homogènes , on pourra de même utiliser des
moyennes spatiales.
Les équations de Navier-Stokes et de continuité :
(1.1)
(1.2)
Compte tenu de la décomposition de Reynolds Uj = Uj + Uj , P = P-i-p (cf. figure
1.1.) qui permet de distinguer l'écoulement moyen de l'écoulement fluctuant, ce
formalisme conduit (en prenant la moyenne de chaque équation) aux équations de
Reynolds :
(1.3)
(1.4)
Les termes Uj Uj donnent naissance aux tensions de Reynolds, ils proviennent de la
non-linéarité des équations de Navier et traduisent l'interacfion entre mouvement
moyen et mouvement fluctuant.
Le système (1.3) - (1.4) comporte plus d'inconnues que d'équations, c'est un système
ouvert. Le fait de prendre la moyenne d'une équation instantanée conduit à une perte
d'information qu'il faudra réintroduire sous forme d'hypothèses physiques : c'est le
problème de fermeture. L'introduction d'hypothèses de fermeture qui traduisent le
comportement du milieu turbulent permet alors d'obtenir un nombre d'équations égal à
celui des inconnues et ces équations peuvent ensuite être résolues par voie numérique.
Schématiquement, le problème ici, est donc celui de la liaison entre les tensions de
Reynolds Uj Uj et le champ moyen.
Les équations de Navier-Stokes permettent également d'obtenir de nouvelles équations
générales qui gouvernent les diverses moyennes statistiques d'ordre plus élevé (qui
sont les moments en un ou plusieurs points et en un ou plusieurs instants).
Les équations d'évolution des moments du second ordre (tensions de Reynolds) font
apparaître des produits triples de vitesse (ou corrélations u-iples) qui proviennent des Concepts de base 39
termes non linéaires. Le procédé peut en principe être répété indéfiniment pour obtenir
une hiérarchie d'équations de moments (Keller L.V. & Friedman A.A., 1924).
Cependant chaque nouvelle équation introduit un nombre d'inconnues encore plus
grand, on a une hiérarchie ouverte.
Schématiquement :
(1.5 )
Là aussi, pour réaliser la fermeture du système, des hypothèses supplémentaires
seront nécessaires qui portent sur les moments d'ordre plus élevé.
Cette méthode des moments a été jusqu'ici la plus explorée et la plus fructueuse, si on
se place du point de vue de l'utilisateur industriel qui désire effectuer la prévision
numérique d'un écoulement turbulent. C'est la méthode suivie par Launder et par
Lumley notamment. Elle s'inspire du mode de pensée de la mécanique des milieux
continus. De la même manière que l'on met en évidence les propriétés d'un milieu
continu à partir d'expériences clefs (éprouvette de traction...), on détermine ici les
propriétés du "matériau turbulent".
Il est possible aussi de développer des méthodes spectrales selon le même point de
vue. Il est alors nécessaire de se placer en turbulence homogène anisotrope (T.H.A.).
Le caractère ouvert du système apparaît sur les tenseurs spectraux qui sont les
transformées de Fourier des corrélations en deux points.
Les méthodes spectrales (Jeandel D., Brison J.F. & Mathieu J., 1978) plus fines que
less de moment doivent permettre de traiter une turbulence dont le spectre
varie fortement, mais les hypothèses de fermeture sont d'autant plus délicates à
introduire car elles nécessitent aussi une connaissance plus fine des mécanismes en
jeu.
Certaines approches utilisent une description de la turbulence à l'aide des densités de
probabilités. La fonction densité de probabilité contient en particulier toute
l'information statistique en un ou plusieurs points sur la quantité concernée.
Le traitemente effectué sur la base du calcul des probabilités définit une
fonction p densité de probabilité (ou PDF, "probability density function") telle que :
probabilité
Les moments d'ordre k sont alors définis par (Cf. §4.6.1) :
la définition s'étendant aisément à plusieurs dimensions. 40 Les écoulements turbulents
Dans le cas de moyennes pondérées on introduit des PDF jointes p(p,<I>) (Bilger
R.W., 1975) et des PDFs pf(0) telles que (Cf. Chap. 16) :
et
On peut construire également dans ce cas, une hiérarchie d'équations (qui ressemble à
la hiérarchie BBGKY de la mécanique statistique classique), cette hiérarchie n'est pas
fermée. L'emploi de densités de probabilités s'est avéré particulièrement utile dans le
domaine de la combustion turbulente mais n'a guère été exploré par ailleurs (Lundgren
T.S., 1967, -Pope S.B., 1985, 1994a, - Dopazo C, 1994). Dans ses travaux,
Lundgren introduit notamment une hypothèse de fermeture au niveau de la fonction de
distribution simple, en particulier il est supposé que le terme de fluctuation de pression
tend à rapprocher la fonction de distribution d'une loi gaussienne. Yen (Yen J.T.,
1972) obtient une hiérarchie d'équations d'évolution des corrélations turbulentes
directement à partir de l'équation de Boltzmann.
La transformation de Fourier appliquée directement sur les équations de Navier permet
d'obtenir des expressions algébriques beaucoup plus maniables. C'est dans ce
formalisme qu'ont été développées les théories analytiques de la turbulence de Orszag,
Kraichnan, Leslie, Lesieur (cf. Lesieur M., 1990).
En résumé, on peut très schématiquement distinguer dans les approches statistiques
usuelles de la turbulence, deux grands groupes. L'un des deux groupes utilise la
statistique en deux ou plusieurs points mais les résultats utiles sont limités à la
turbulence homogène et dans bien des cas isotrope, l'autre concerne seulement les
statistiques en un point mais peut traiter des écoulements cisaillés inhomogènes.
1.2.3. Autres conceptions et contributions nouvelles
La littérature est abondante, citons quelques exemples parmi bien d'autres :
- Théorie de Malkus (Malkus W.V.R., 1956) :
Cette théorie est basée sur l'utilisation d'un principe hypothétique de dissipation
visqueuse maximale. La condition de stabilité de l'écoulement moyen conduit à une
équation du type Orr-Sommerfeld vérifiée par les perturbations des valeurs moyennes
et il est supposé que la plus petite échelle des évolutions turbulentes possibles est
l'échelle de stabilité neutre, le transport de quantité de mouvement se trouvant alors
décrit par une série finie. Une solution variationnelle est donnée au problème de
stabilité qui conduit à un profil de vitesse en bon accord avec les résultats
expérimentaux sur l'écoulement turbulent entre plaques planes.
Citons aussi les travaux de Nihoul (Nihoul J.C.J., 1967) qui aborde le problème sur
le plan plus général de la théorie des phénomènes irréversibles.
- Approche ondulatoire de Landahl et Phillips (Landahl M.T. & Phillips O.M., 1967) Concepts de base 41
- Etude de Crow (Crow J., 1968) :
Dans cette approche la turbulence est décrite comme un milieu viscoélastique. Elle fait
appel à une relation proposée par Townsend.
- Modèle de Spiegel (Spiegel E.A., 1972) :
Il s'agit d'une description de la turbulence à l'aide d'un modèle à deux fluides
analogue aux équations de Landau pour les superfluides.
- Modèle d'interaction (Morel T. & Torda T.P., 1974)
- Travaux récents sur les systèmes dynamiques (attracteurs étranges) et sur la théorie
des bifurcarions qui constituent une voie prometteuse pour l'explicarion des
phénomènes turbulents aussi bien en milieu fluide que dans les autres domaines où
existent des comportements chaotiques(cf. Berge P., Pommeau Y., Vidal CH.,
1984 ; Mira C. & Gumowski L, 1980 ; notamment). En effet, la prise en compte des
non-linéarités qui interviennent dans l'étude des systèmes dynamiques dissipatifs, est
la source d'une très grande diversité de comportements dans les phénomènes de la
nature dont la turbulence est l'un des plus beaux exemples. Ce comportement
chaotique n'est d'ailleurs pas forcément lié au grand nombre de degrés de liberté du
système (Cf. Ruelle D. et Takens F., 1971). Les équarions de Navier-Stokes
considérées comme un système dynamique (Ruelle D., 1991) possèdent des
propriétés complexes et pour l'instant les retombées de ces études sur la
compréhension et la modélisation de la turbulence des fluides sont encore très limitées.
Les aspects plus philosophiques posés par ces approches sont discutés par Favre A.,
1991.
- La turbulence hors équilibre est étudiée par Berezin Y.A. et Trofinov V.M., 1995
sur la base d'une description possédant un tenseur de Reynolds asymétrique, selon un
formalisme analogue à celui de la turbulence hélicale.
- L'approche des milieux continus n'est pas la seule qui puisse se concevoir, citons
par exemple la méthode des gaz sur réseaux qui peut foumir une approche intéressante
(Clavin R et al., 1988).
1.3. La turbulence homogène et isotrope (T.H.L)
1.3.1. Quelques relations fondamentales
Les écoulements turbulents rencontrés dans la pratique indusuielle sont généralement
non homogènes et non isotropes. La théorie de l'isotropie locale conduit à admettre
que la structure fine d'une turbulence non isotrope s'approche de l'isotropie, ce qui
justifie l'utilité de la turbulence homogène ete (THl).
A cause de sa simplicité, la turbulence homogène et isotrope est relativement plus
facile à traiter par voie théorique et des comparaisons expérimentales peuvent être
faites (décroissance de la turbulence de grille). La plupart des expériences sont
effectuées en soufflerie dans un courant de vitesse U grande par rapport aux 42 Les écoulements turbulents
fluctuations turbulentes. Pour la comparaison théorie-expérience on utilisera alors
l'hypothèse de Taylor (cf. Hinze J.O., 1975) qui permet de remplacer les grandeurs
statistiques temporelles par des grandeurs statistiques spatiales.
On dit qu'une turbulence est homogène et isotrope si ses propriétés statistiques sont
invariantes par translation, rotation et réflexion du système de coordonnées.
Considérons le tenseur de corrélation le plus général :
B y p(?,s ...,p) = Ui(Mr)Uj(Ms)...Up(Mp) (j^)
avec r = OMr , s = OMs et p = OMp
On montre qu'en turbulence homogène et isotrope (Panchev S., 1971) le tenseur
B ij ...p peut s'écrire sous la forme (voir aussi chap. 3 §6) :
B|j...p(r,s...p ) = Z A(r ^ s^, r^s^... ) ri rj 5;^^...
(1.7)
Dans les termes de la somme on rencontre les indices i,j..., p seulement pour les
composantes des vecteurs r,s, ... p ou, par paires dans les deltas de Kronecker.
Examinons quelques conséquences de cette propriété (cf. Hinze J.O., 1975) sur les
corrélations en deux points.
a) Corrélations de pression
La corrélation pression-vitesse s'écrit :
ria (r) = P (X) u„ (x+r ) = A (r^) r„ ( 1.8)
Du fait de la relation d'incompressibilité on déduit que Ha est nul.
na(r ) = 0 (1.9)
b) Corrélations doubles de vitesse
Rap W = "a W Up (x+r)= Al (r^ p H- B i (r ^ 8„p
(1.10) Concepts de base 43
Si on introduit les fonctions f (r) et g (r) (cf. figure 1.3.) définies par :
avec r = OB-OA
pour r = 0 , on a ûôTûp = Sajî = | "^^o 5ap
on peut dès lors écrire :
(1.11)
l'incompressibilité implique une relation entre f et g que l'on peut écrire :
(1.12)
Nota : si l'on n'impose pas l'invariance par réflexion des axes, alors
Rap (î) = Al (r2) ra r p+ B | (r2) ôap + C, (r2) e„p^ r^
relation utilisée en turbulence magnétohydrodynamique en présence d'hélicité du
champ turbulent
c) Corrélations triples
TaPyCO = "a W "p (") U.^(x+r) =
(1.13)
= A2 (r^) r„rpr^ + B2 (r^) 5„p + (r^) ( raôp^+rp8„.^
On introduit cette fois les fonctions k, h et g (cf. figure 1.3.) définies par : 44 Les écoulements tivbulents
f(r)
g(r)
k(r)
h(r)
q{r)
A B
Figure 1.3. Corrélations en deux points
Ainsi,
(1.14)
La condition d'incompressibilité implique les deux relations :
(1.15) Concepts de base 45
d) Point de vue spectral
Le tenseur spectral est défini comme la transformée de Fourier du tenseur de
corrélation R^ p :
(1.16)
et réciproquement :
(1.17)
Dans le cas de la turbulence homogène et isotrope on peut écrire :
- 2 2 2
(1.18) rap(K) = C,( K )K„Kp+C2(K )K ô„p
Compte tenu de la condition d'incompressibilité qui implique C[= -C 2 , on a :
avec (1.19)
Cette expression fait apparaître le spectre tridimensionnel E(K) :
(1.20) E(K) =2nK r„„(K)
Uéquation (17) pour r =0 fournit l'expression de l'énergie cinétique de la turbulence 46 Les écoulements turbulents
Remarque : L'approche théorique fait appel aux tenseurs spectraux et aux spectres
tridimensionnels. L'expérience fournit par contre presque toujours des spectres en
fréquence définis comme suit :
L'hypothèse de Taylor, malgré les réserves que l'on peut faire à son sujet, permet de
transposer le résultat en spectre d'espace.
Si la vitesse moyenne U de l'écoulement est constante et le niveau de turbulence
faible :
Les corrélations spatio-temporelles (Favre A. et al., 1976) ont montré qu'en toute
rigueur cette hypothèse est fausse dans le cas général.
En turbulence isotrope la relation Ro(0((r)=Uo(f(r)+2g(r)) déduite de (1.11) permet, par
transformation de Fourier, d'obtenir la relation entre spectre tridimensionnel et spectre
unidimensionnel (cf. Hinze J.O., 1975) :
avec
1.3.2. Dynamique de la turbulence homogène et isotrope (T.H.I.)
1.3.2.1. Equations dans l'espace physique
L'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie de la turbulence a permis d'exprimer les
divers tenseurs de corrélation, ainsi que les tenseurs spectraux, à l'aide d'un nombre
réduit de fonctions indépendantes. Nous examinons dans le cadre de cette hypothèse
l'écriture des équations de la dynamique de la turbulence.
Les équations aux corrélations en deux points peuvent être obtenues de la façon
suivante : On écrit les équations de vitesse fluctuante deux fois, pour deux points Concepts de base 47
distincts arbitraires A(x) et B (x+r). On prémultiplie l'équation en A par U(,(B) et
l'équation en B par up (A), on ajoute les deux équations membre à membre et on
prend la moyenne.
On suppose la vitesse moyenne constante et indépendante du temps, et en utilisant les
propriétés d'homogénéité et d'incompressibilité, on arrive (cf. Favre A. et al., 1976 -
Hinze J.O., 1975 - Monin A.S. & Yaglom A.M., 1971) à l'équation :
(1.21)
avec pour R^^p, Tf^py, Uç^ les définitions (8), (10) et (13).
Si l'on tient compte de la forme particulière prise par ces tenseurs dans le cas d'une
turbulence isotrope, on aura 11^^=0. tandis que
seront des fonctions de UQ , f et h.
L'équation qui en résulte, tout calcul fait, est l'équation de Karman-Howarth :
(1.22)
La structure de cette équation est identique à celle des équations de Navier-Stokes. Le
premier terme représente la dérivée temporelle de la corrélation double. Le deuxième
terme, dérivée spatiale de la corrélation triple provient du terme non linéaire des
équations de Navier. Le dernier terme correspond à l'effet de la viscosité moléculaire.
Le problème de fermeture demeure bien sûr au niveau de cette équation, il consiste à
ce niveau à estimer les corrélations triples en fonction des corrélations doubles.
Le comportement des fonctions k, h, g et f lorsque r^ O est digne d'attention. On
montre, du fait de l'isotropie, en considérant la transformation de k par une réflexion
d'axes (Hinze J.O., 1975), que le développement de k au voisinage de l'origine
commence par un terme du troisième degré :
(même résultat pour h et q) (123) 4 8 Les écoulements turbulents
Pour la fonction f, le développement s'écrit
X étant la microéchelle de Taylor ( 1.24)
En tenant compte de ces propriétés, on déduit de l'équation de Karman-Howarth, la
forme locale de cette équation fondamentale :
Si l'on introduit l'énergie cinétique de la turbulence et le taux de dissipation
on obtient :
(1.25)
équation qui n'est autre que l'équation d'énergie turbulente, elle décrit la décroissance
de la turbulence en fonction de kg et X.
1.3.2.2. Dynamique spectrale
Sur l'équation (1.21) des corrélations doubles :
on effectue une transformation de Fourier :
Rap -(F)- > Tap, Sap—(F)-> Fap
qui conduit à l'équation spectrale :
(1.26) Concepts de base 49
et par contraction :
(1.27)
2 2
E = 27ncr„„ et T = 27tKF„o où
Par intégration sur un intervalle [0,K] du spectre on trouve :
(1.28)
Le premier terme de (1.28) représente la dérivée de l'énergie cinétique de la turbulence
contenue dans la zone [0,K] qui correspond aux plus gros tourbillons. Le deuxième
terme représente le transfert d'énergie avec les autres régions du spectre. Le dernier
terme correspond à la dissipation visqueuse.
Si on intégre sur la totalité du spectre on doit bien sûr retrouver l'équation ( 1.25) car :
(1.29)
La forme des spectres qui interviennent dans ces équations est
schématisée sur la figure 1.4 .
1.3.3. Fermetures en deux points et théories analytiques
Diverses fermetures spectrales ont été proposées dans le passé (cf. Favre A. et al.,
1976 - Hinze J.O., 1975 - Monin A.S. & Yaglom A.M., 1971). La plupart reposent
sur le même principe : la fonction de transfert T, lorsque K varie de zéro à l'infini,
passe des valeurs négatives aux valeurs positives, elle représente localement le gain ou
la perte d'énergie dû au transfert vers les autres nombres d'onde.et la conservation de
l'énergie implique J TdK = 0 .11 est alors conmiode de définir une fonction flux de
transfert S(K) telle que :
(1.30) soit