Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique

Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique

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Statique des fluides. Relations fondamentales de la dynamique des fluides parfaits. Applications de la Loi de Bernouilli et du premier théorème d'Euler. Fluides réels, viscosité. Modes d'études des écoulements réels. Écoulements laminaires. Écoulements turbulents. Calcul des conduites. Écoulement des fluides autour des solides, couche limite et jets. Lien entre les transferts de quantité de mouvement, de matière et de chaleur.

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Ajouté le 01 novembre 1993
Nombre de lectures 913
EAN13 9782743016111
Langue Français
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écanique M
et Rhéologie
des fluides
en génie chimique
N. MIDOUX
Géni e des procédés de l'École de Nancy 1 Mécanique et Rhéologie
des fluides
en génie chimique 1 écanique M
et rhéologie
des fluides
en génie chimique
N. MIDOUX
Professeur à l'École Nationale Supérieure
des Industries Chimiques
Laboratoire des Sciences du génie chimique
Centre de Perfectionnement des Industries Chimiques
CNRS, ENSIC, Nancy
NE W YORK LONDRE S
PARIS
11, rue Lavoisier
F 75384 Paris cedex 08
Géni e des procédés de l'école de Nanc y © TEC & DO C - LAVOISIER, 1993
11, rue Lavoisier - F 75384 Paris Cedex 08
ISBN : 2-85206-928-8 (3e tirage 1993)
Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage,
faite sans l'autorisation de l'éditeur ou du Centre français d'exploitation du droit de copie (20, nie des Grands-Augustins, 75006 Paris),
est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d'une part, les reproductions strictement réservées à l'usage privé du
copiste et non destinées à une utilisation collective, et, d'autre part, les analyses et courtes citations justifiées par le caractère scientifique
ou d'information de l'auvre dans laquelle elles sont incorporées (loi du 1" juillet 1992-art. L 122-4 et L 122-5 du Code pénal art. 425). Sommaire
Remerciements VI
Table des matières VI
Notations XV
Introduction XXVI
1. Statique des fluides 1
2. Relations fondamentales de la dynamique des fluides
parfaits 19
3. Applications de la loi de Bernoulli et du premier théo­
rème d'Euler 4
4. Fluides réels, viscosité 71
5. Modes d'études des écoulements réels 123
6. Ecoulements laminaires 15
7.s turbulents 24
8. Calcul des conduites 317
9. Ecoulement des fluides autour des solides, couche limite
et jets 359
10. Lien entre les transferts de quantité de mouvement, de
matière et de chaleur 411 Cet ouvrage de "Mécanique des Fluides" et "Rhéologie" s'adresse aux
ingénieurs de procédés et aux étudiants plus particulièrement concernés
par le Génie Chimique, discipline hybride et "touche à tout". Il ne se
veut pas livre de recettes ; les recettes appliquées dans l'industrie
ne doivent être que le fruit de la réflexion, assistée par l'intuition
et un niveau suffisant de connaissances fondamentales. J'espère que
cet ouvrage contribuera, modestement, à l'atteinte de ce niveau.
Remerciements
Je remercie les personnes qui m'ont encouragé à l'élaboration de cet
ouvrage et en particulier les Directeurs successifs de l'Ecole
Nationale Supérieure des Industries Chimiques, MM. M. PERRUT et
J.C. CHARPENTIER.
Je remercie également le personnel du Centre de Perfectionnement des
Industries Chimiques et en particulier Melle C. POULAIN pour les
questions administratives et Mme A. OERREZ pour la frappe du manuscrit,
ainsi que M. J. SIOTTE pour les dessins et M. G. WILD pour la relecture
de certains chapitres.
Je ne saurais terminer sans remercier ma famille pour sa patience
durant la période de rédaction. Table des matières
Dotations XV 44 Problèmes particuliers posés
par la mesure des pressions.... 14
Introduction. XXVII
5 Mesure de niveaux 16
51 Méthodes usuelles 1
Chapitre I - STATIQUE DES 52 Jauges capacitives7
1 FLUIDES
53 Jauges ultrasonlques
1 Notion de pression statique. 54 Utilisation de radio-émetteurs.. 1
Isotropie de la pression
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 18
2 Equilibre des fluides dans le
champ de pesanteur. Notion de
pression motrice. Cas général
d'un champ dérivant d'un
potentiel 3 Chapitre II - RELATIONS FONDA­
MENTALES DE LA DYNAMIQUE
21 Equilibre des fluides dans la
19 DES FLUIDES PARFAITS
champ de pesanteur. Notion de
pression motrice
1 Distinction entre fluides par­
22 Cas général d'un champ de force faits et fluides visqueux 19
volumlque dérivant d'un poten­
tiel 4 2 Hypothèses de la quasi-continuité
du fluide et de la permanence de
23 Fluides compressibles 6
l'écoulement 20
3 Forces s'exerçant sur les parois 21 Notion de quasl-contlnulté 2
immergées et les flotteurs 7
22 Trajectoires et lignes de courant.
31 Forces de pression sur une sur­ Ecoulement permanent
face immergée. Centre de pres­
sion 7 3 Equation de conservation 22
32 Poussée s'exerçant sur les 31 Conservation de la masse dans un
flotteurs. Stabilité 8 écoulement monodimensionnel
33 Applications 9 32 Généralisation aux écoulements
tridimensionnels 22
4 Mesure des pressions statiques.
4 Accélération du globule fluide. Manomètres 10
Equations d'EULER3
41 Manomètres à colonne liquide... 1
41 Forme générale des équations
42 Dispositifs mécaniques élasti­
d'EULER 2
ques?
42 Equations intrinsèques d'EULER.. 24
43 Etalonnage des Jaugea 14 43 Cas particulier de l'écoulement Chapitre III - APPLICATIONS DE LA
permanent d'un fluide incompres­ LOI DE BERNOULLI ET DU PRE­
sible dans le seul champ de MIER THÉORÈME D EULER "?
pesanteur 27
1 Applications de la loi de BERNOUL-
5 Bilan de quantité de mouvement LI 49
pour un fluide incompressible.
11 Pression en un point d'arrêt.
Premier théorème d'EULER 2?
Sonde de PITOT°
51 Introduction intuitive du pre­
12 Répartition des pressions autour
mier théorème d'EULER9
d'un obstacle fixe 50
52 Vérification dans un cas parti­
13 Formule de TORICELLI. Oéblt des
culier 2
orifices 51
53 Formulation générale du premier 131. Formule de TORICELLI -132.
théorème d'EULER 30 Orifices en mince paroi modifiés -
133. Déversoirs en mince paroi
6 Bilans énergétiques. Equations
14 Phénomène de VENTURI. Application
de BERNOULLI1 aux diffuseurs3
61 Les trois formes de l'équation
15 Représentation graphique de la loi
de BERNOULLI 3
de BERNOULLI 54
62 Application pratique des équa­
2 Applications du premier théroème tions de BERNOULLI2
621. Cas des gaz - 622. Cas des
d'EULER5
liquides
21 Réaction d'un Jet
63 Equation de BERNOULLI générali­
22n d'un coude de conduite.. 56 sée 33
23 Elargissement et rétrécissement 64 Mouvement de rotation autour
brusques de conduite 57 d'un axe fixe4
233. Elargissement brusque - 232.
Rétrécissement brusque 7 Remarques sur l'utilisation de
24 Théorie unidlmensionnelle des l'équation de BERNOULLI. Bilan
hélices 60 énergétique global 35
241. Hélices propulsives. Théorie
71 Coefficient d'énergie cinétique. 3
de RANKIHE-FROUDE - 242. Hélices
aéromotrices. Eoliennes.72 Nombres adimenslonnels caracté­
de BETZ risant l'importance relative
des différents termes énergé­
25 Ecoulements transitoires. Coup
tiques 36
de bélier?
73 Bilan énergétique global 3
3 Mesure des débits 64
8 Dynamique des fluides compressi­
31 Mesures fondées sur une différence
bles8
de pression5
311. Orifices déprimogènee - 312. 81 Influence de la compressibllité. 3
Tubes de PITOT - 313. Mesure dans
62 Les trois bilans et l'équation
des coudes de conduite - 314. Ro-
d'état 3
tamètres
83 Propagation des ondes dans les
32 Compteurs volumétriques 68
fluides compressibles 39
33 Oébitmètres divers831. Vitesse du son - 832. Onde
331. Electromagnétique - 332. A de choc et nombre de MAC H
turbine - 333. Ultrasoniques -
84 Relations entre la vitesse, la
334. Massiques - 33S. A instabi­
pression et la température 40
lité hydrodynamique
841. Enthalpie totale - 842.
Point d'arrêt - 843. Expression- 34 Traçage des écoulements 70
de la pression
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 7(1
85 Modification ds l'écoulement par
onde de choc normale 43
86 Ecoulements isentropiques è sec­
tion variable 44
861. Relation entre la section Chapitre IV - FLUIDES RÉELS, VIS­
71
et la vitesse - 862. Tuyères de COSITÉ
LAVAL - 863. Influence de la
1 Fluides newtoniens et fluides pression de sortie sur le fonc­
tionnement des tuyères - 864. réels en général2
Tuyères tronquées
VII I 11 Expérience de COUETTE. Viscosité Chapitre V - MODES D'ÉTUDES DES
des fluides newtonlens 72 ÉCOULEMENTS RÉELS- 123
12 Explication moléculaire de la
viscosité 74 1 Eléments de mécanique des
fluides vectorielle13 Unités et valeurs de la visco­
sité nswtonlenna5 11 Rappels d'analyse vectorielle... 123
111. Les modes de dérivation
14 Classification qualitative des
par rapport au temps - 112.
milieux continus7
Calcul différentiel, opérateur?
(del ou nelba)
2 Contraintes et défornât ions
dam un ni lieu continu 78 12 Expressions générales de l'équa­
tion de continuité 124
21 Tenseur des contraintes
221. Définition du tenseur des 13 Bilans généralisés de quantité
contraintes - 212. Etats de de mouvement5 isotrope et aniso-
14 Equation du mouvement pour les
trope
fluides newtonlens en écoulement
22 Tenseur des déformations 83 laminaire 127
221. Définition du tenseur des 141. Equation générale du mou­
déformations pour les déplace­ vement - 142. Les équations de
ments infinitésimaux - 222. NAVIER-STOKES
Isotropie et aniaotropie du
15 Etude de cas particuliers 129
tenseur des déformations
1 SI. Fluides sans frottement :
23 Tenseur de la vitesse de • Ecoulements rotationnels et
déformation 88 irrotationnels • Fonction de
courant • Potentiel des vites­
24 Equation d'état et lois d'écou­
ses - 1S2. Ecoulements rampants
lement9
2 Analyse dimensionnelle et ma­
3 Lois d'écoulestent et de défor­
quettes 137
mation 90
21 Analysee des
31 Fluides visqueux Indépendants
équations de bilan 13
du temps1
211. Application aux écoulements 311. Fluides neutoniens - 312.
monodimensionnels des fluides
Déformations volumiques. Visco­
newtoniens incompressibles en
sités volumique et élongatiormel-
conduite. Nombres de REYNOLDS et le - 313. Fluides non neutoniens
d'EULER -212. Nombre de FROUDE-au comportement indépendant du
213. Facteur de frottement temps : • Fluides à contrainte
critique*s sans contrain­
22 Analyse dimensionnelle aveugle.. 142
te - 314. Fluides dépendants du
221. Méthode de RAÏLEIGH - 222.
temps : * Fluides thlxotropes Théorème de BUCKINGHAM
• Fluides rhéopexes
23 Intérêt de l'analysa dimension­
nelle 146 32 Solide purement élastique 101
231. Corrélation des résultats
33 Corps vlscg-élastiques linéaires 103 expérimentaux - 232. Similitudes
331. Notion de visco-élastioité - 233. Utilisation pratique des
332. Lois d'écoulement en cisail­
similitudes. Maquettes
lement simple - 333. Analogies
24 Principaux nombres adimensionnels mécaniques des corps visco-élas-
utilisés en mécanique des flui­tiquee : • Fluide de MAXWELL
des 152 • Solide de VOIGT-KELVIN • Corps
de VOIGT-KELVIN et de MAXWELL
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 15généralisés • Représentation
générale des matériaux vlsco-
élastiques linéaires - 334. Con­
séquences de la visoo-élastioiti
sur le comportement des fluides-
Chapitre VI - ECOULEMENTS 33S. Réponse transitoire des
corps visco-élastiques : • Ré­ LAMINAIRES 159
ponse oscillatoire • Fonction
I Ecoulements laminaires des d'influence et fonction mémoire
• Fonction de fluage et fonction fluides visqueux dans les con­
de relaxation duites cylindriques 160
II Relations entre débit et perte
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 120
de pression 16
IX 111. Halation générale entre le 53 Relations entre la consistance
débit et la contrainte à la pa­ et l'indice d'écoulement géné­
roi - 112. Fluides newtoniene. ralisés et les paramètres de
Loi de HAGEN-POISEUILLE - 113. divers modèles pour les condui­
Fluides de BINGHAM. Equation de tes cylindriques 192
REINER-BUCKINGHAM - 114. Autres
54 Extrapolation générale des écou­
fluides présentant une contrain­
lements entre plans parallèles. 194
te critique - 11 S. Fluides ne
présentant pas de contrainte 55 Ecoulements des fluides vis­
critique queux dans les conduites
avec répartition bidlmension-
12 Profils de vitesse dans les
nelle des vitesses 194
conduites cylindriques 168
121. Fluides présentant une
6 Phénomènes particuliers dus à
contrainte critique - 122.
la visco-élasticité des fluides 198
Fluides sans contrainte cri­
61 Cas de l'écoulement plan en tique - 123. Coefficients
d'énergie cinétique cisaillement simple 198
611. Cas d'une pertubation
2 Ecoulements laminaires des échelon - 6*72. Cas d'une per­
fluides visqueux entre deux" tubation oscillatoire
plans parallèles 173
62 Contraintes normales pour les
21 Relations entre débit et perte écoulements en conduite 202
de pression621. Existence des contraintes
normales - 622. Poussée axiale 211. Relation générale entre le
débit et la contrainte à la et surpression engendrées par
paroi - 212. Fluides présen­ les contraintes normales -
623. Erreurs sur les mesures de tant une critique -
213. Fluides ne présentant pression des fluides visco-
pas de contrainte critique élaetiques
22 Profils de vitesse entre deux
7 Mesure des propriétés rhéologi-
plans parallèles 175
ques des fluides visqueux 207
221. Fluides présentant une
contrainte critique - 222. 71 Vlscoslmètres capillaires
Fluides ne pas de 711. Principe - 712. Correction critique d'effets cinétiques - 713.
Correction d'effets de glisse­
3 Ecoulements laminaires des ment - 714. Réalisation prati­
fluides visqueux dans les que - 71 S. Caractérisation des
conduites annulaires 176 fluides dépendants du temps
dans les viscosimètres capillai­
31 Equations fondamentales
res
32 Fluides de BINGHAM7
72 Viscosimètres de COUETTE 215
33s d'OSTWALO-de WAELE 180 721. A cylindres coaxiaux - 722.
Modes d'exploitation des résul­
34 Solution approximative pour les
tats expérimentaux - 723. Effets autres types de fluides 183
de bout et de glissement - 724.
Réalisations camerciales - 725.
4 Autres types d'écoulements
Cylindre tournant dans un fluide
laminaires 184
infini - 726. Viscosimètres à
41 Entrainement par une paroi mo­ cône et plateau -727. Viscosi­
bile. Ecoulements de COUETTE... 18mètres à disque et plateau
42 Ecoulements a lignes de courant
8 Notions sur la mesure des pro­
non parallèles. Ecoulements
priétés rhéologiques des fluides
rampants6
visco-élast iques 224
S Relations générales indépendan­ 81 Mesure des contraintes tangen-
tes de la loi d'écoulement. tielles 22
Conduites de section quelcon­ 811. Analyse transitoire des
que 188 corps de VOIGT - 812. Analyse
transitoire des corps de MAXWELL
51 Méthode générale d'extrapolation
813. Méthodes de mesure - 814.
des conduites cylindriques 18
Exploitation des résultats expé­
rimentaux- 815. Exemple de l'ana­52 Nombre de REYNOLOS généralisé
lyse oscillatoire dans les visco­pour les écoulements en con­
simètres de COUETTE duites cylindriques 189
X 3 Autres geometries. Effets 82 Mesure des contraintes norma­
annexe s 292 les 235
821. Les rhéogoniomètrea rota­ 31 Définition du diamètre hydrau­
tifs - 822. Les rhéomitree lique
d'extrusion
32 Conduites annulaires 293
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 241 33s non circulaires ou à
section variable
331. Conduites non circulaires
332. Conduitea ondulées et
incrustées
Chapitre VII - ECOULEMENTS
34 Ecoulements en canaux décou­
TURBULENT S 243
verts 294
341. Ecoulement uniforme
I tlise en évidence du régime tur­
etationnaire - 342. Section
bulent. Modèle de KARMAN et
hydraulique optimale - 343.
PRANDTL
Energie spécifique du fluide
II Expérience de REYNOLDS 24en écoulement - 344. Propa­
gation d'une perturbation -
12 Critères de transition entre
345. Mesure dee débita par
les régimes laminaire et
déversoir
turbulent 245
121. Critères divers - 122. 35 Ecoulements dans les serpentins
Critères fondés sur le nombre hélicoïdaux et spirales 299
de REYNOLDS généralisé 351. Influence des forces
d'inertie. Vortex de TAYLOR -
13 Conséquences de la turbulence.. 249
362. Ecoulements hélicoïdaux -131. Grandeure fluctuantes et
3S3. spirales
grandeurs moyennes - 132. Ex­
pressions des contraintes de
A Ecoulements des fluides compres­REYNOLDS
sibles dans les conduites 306
14 Modèle de KARMAN et PRANOTI 251
41s compressibles à fai­141. Parcours de mélange -
ble vitesse (M<0.2) 306 142. Notions sur la structure
de la turbulence - 143. Iso-
42 Ecoulementss à gran­
tropie locale de KOLMOGOROFF -
de vitesse IM> 0.2)7
144. Spectre de la turbulence -
145. Mesure expérimentale de REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 313
la turbulence
2 Ecoulements turbulents dans les
conduites cylindriques 261
Chapitre VIII - CALCUL DES 21 Profil universel de vitesse
CONDUITE S 317 pour les écoulements turbulents
newtonlens 261
1 Position du problème211. Notion de vitesse de
frottement - 212. Profil de
11 Résultats issus de l'application
vitesse dans la sous-couche
de la loi de BERNOULLI au cir­
laminaire - 213. Le noyau tur­
cuit
bulent - 214. Répartition uni­
12 Notion de point de fonctionne­verselle des vitesses pour les
ment d'un circuit 319 fluides neutoniens - 21 S.
Influence de la rugosité de la
2 Caractéristique d'une conduite paroi sur le profil de vitesse
unique 320 216. Fluides non neutoniens
21 Pertes de charge en longueur 22 Corrélation des pertes de
droite.pression 274
221. Conduites lisses - 222. 22 Accidents de conduite en régime
Influence de la rugosité de la turbulent
paroi - 223. Cas des fluides 221. Coefficients de perte de
non neutoniens visqueux - 224. pression et longueur de condui­
Réduction des forces de frot­ te équivalente - 222. Changement
tement. Effet TOMS - 225. de section - 223. Changement de
Corrélations relatives aux direction - 224. Branchements
fluides visco-élastiques et confluents - 225. Singulari­
tés diverses. Additivité des
effets des accidents de condui­
te
XI couche limite laminaire bidi-23 Dispositifs de mesure des débits 327
mensionnelle - 244. Résolution
24 Robinets et vannes 328
approximative de la couche li­
241. Les robinets d soupape et
mite laminaire dans le cas d'une
d pointeau - 242. Les robinets
symétrie axiale
vannes - 243. Les robinets d
tournant - 244. Vannes à dia­
3 Analyse dimensionnelle et résul­phragme - 245. Cas particulier
tats expérimentaux relatifs aux des vannes de régulation de
fluides newtoniens 378 débit - 24C. Caractéristiques
des vannes intégrées dans un
31 Analyse du phénomène et repré­
circuit - 247. Soupapes de sûre­
sentation des résultats expé­
té - 248. Clapets anti-retour
rimentaux 37
25 Obstacles divers 344 311. Portance et traînée - 312.
Représentation des résultats 251. Petit obstacle unique dans
expérimentaux un écoulement - 252. Grilles,
plateaux perforés, chicanes 32 Résultats expérimentaux pour
les obstacles géométriquement
26 Filtres et séparateurs 347
bien définis 380
27 Cas des écoulements laminaires 321. Obstacles non profilés à
et des fluides non newtonlens.. 34courbure progressive : • Sphère
• Cylindre - 322. Obstacles
28 Caractéristique d'une conduite.
divers géométriquement définis :
Notion d'ouverture équivalente. 350
• Domaine de STOKES • Domaine de
NEWTON
3 Réseaux de conduite 353
33 Vitesse limite de chute dans le
31 Association en série
cas de la sphère 384
32n en parallèle331. Equation générale du mou­
vement - 332. Vitesse terminale
33 Réseaux 354
de chute libre connaissant le
34 Règles pratiques6 diamètre du grain - 333. Diamè­
tre du grain la
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 357 vitesse terminale de chute libre
34 Vitesse limite de chute et di­
mension caractéristique des grains
mal définis 388
341. Résultats qualitatifs - 342.
Chapitre IX - ECOULEMENT DES
Facteurs de sphéricité : • Fac­
FLUIDES AUTOUR DES SOLI­
teur de sphéricité i|z de HEYWOOO
DES, COUCHE LIMITE ET
• Facteur de sphéricité I|I de
s
JETS 359
PETTYJOHN
1 Approximation des écoulements
A Résultats relatifs aux fluides
rampants. Fluides newtonlens... 35
non newtonlens 390
11 Répartition des vitesse, pres­
41 Couche limite sur un plan d'Inci­
sion et contrainte de frotte­
dence nulle
ment autour d'une sphère 35
411. Couche limite laminaire -
12 toi de STOKES. Traînée de forme 412. Couche limite turbulente -
et traînée de frottement 360 413. Transition entre les cat­
121. Traînée de forme - 122. ches limites laminaire et tur­
bulente Trainee de frottement
42 Ecoulement autour des obstacles
2 Théorie de la couche limite.
profiles 393
Fluides newtoniens 361
421. Ecoulement de STOKES de
21 Oéfinitlon de la couche limite. 36fluides inélastiquee autour
d'une sphère - 422. Ecoulement de
22 Equation intégrale de la quan­
fluides inélastiques
tité de mouvement3
d'une sphère en régime intermé­
23 Résolution approximative dans le diaire - 423. Influence de la
cas de la plaque plane 365 visao-é lasticité
231. Couche limite laminaire -
232. turbulente S Jets libres dans les fluides
newtonlens 397
24 Obstacle de forme quelconque
dans un écoulement symétrique.. 370 51. Jets laminaires 398
241. Décollement de la couche SU. Jet bidimension-
limite - 242. Sillage - 243. nel - SI2. Jet laminaire circu­
Résolution approximative de la laire
XII 'i7 Jets turbulents 400 321. Equations de la couche
521. Considérations générales et limite-322. Résolution approxi­
hypothèses - 522. Amortissement mative de la couche limite
d'une discontinuité de vitesse - laminaire dans le cas de la
523. Jet turbulent. Résultats plaque plane - 323. Analogie
expérimentaux - 524. Jet turbu­ générale de transport en régime
lent cylindrique. Modélisation - laminaire - 324. Cas particulier
525. Jet turbulent bidimension- de la convection naturelle
nel. Modélisation
33 Analogies théoriques en régime
turbulent. Modèles à turbulen­
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 408
ce répartie ou à couches 440
331. La résistance au transfert
est localisée dans le seul
noyau turbulent. Analogie de
REYNOLDS - 332. La résistance
Chapitre X - LIEN ENTRE LES
au transfert est répartie entre TRANSFERTS DE QUANTITÉ
le noyau turbulent et une DE MOUVEMENT, DE MATIÈRE
sous-couche diffusionnelle.
ET DE CHALEUR «H
Analogie de TAYLOR-PRANDTL -
333. La résistance au transfert 1 Notions de base sur les phéno­
est répartie dans 3 zones suc­mènes de transport 411
cessives (sous-couche laminai­
11 Transport moléculairere, zone tampon et noyau turbu­
lent) - 334. La résistance au 111. Quantité de mouvement -
transfert est répartie dans 3 112. Chaleur et matière - 113.
zones successives. La sous-Généralisation
couche est turbulente. Analogie 12 Transport tourblllonnaire tur­
de LIN, MOULTON et PUTNAM
bulent 415
34 Analogies théoriques à turbulence 13 Conductances apparentes de
continue 446 transport6
341. Modèle de GOWARIKER et
GARNER - 342. ffodèle de SANDALL 2 Nombres adimensionnels
et coll. caractéristiques
35 Modèles analogiques de renouvel­21 Introduction Intuitive des
lement des surfaces 447 principaux nombres adimension­
nels 417 36 Analogies semi-empiriques. Fac­
211. Efficacités locales de teurs de CHILTON-COLBURN 452
transport. Nombres de STANTON - 361. Facteurs j de CHILTON-
212. globales d'un COLBURN - 362. Conduites - 363.
échangeur. Nombres d'Unités de Plateaux - 364. Transfert sur
Transfert - 213. Notion de unt sphère - 365.
transport moléculaire équivalent. un cylindre orthogonal â l'écou­
Nombres de NUSSELT - 214. Ana­ lement — 366. Obstacles divers
lyse dimensionnelle des équa­
37 Analogies pour les fluides non tions de transport simplifiées
newtonlens 460 dans un échangeur tubulaire.
371. Analogie de METZNER-FRIEND Nombres de PECLET - 215. Cas du
372. de RUCKENSTEIN -fluide extérieur à un obstacle
373. Modification de l'analogie
22 Analyse dimensionnelle des équa­ de TA YLOR-PRANDTL par QUADER et
tions de bilan 423 BOWEN - 374. Modèle à turbulence
221. Expression des équations répartie de LEVICH adapté par
de bilan. Effets annexes - 222. KAWASE et ULBRECHT - 375. Adap­
Analyse dimensionnelle des équa­ tation du modèle de renouvelle­
tions de bilan - 223. Critères ment des surfaces - 376. Solu­
de similitude tions diluées de polymères.
Réducteurs de frottement 23 Application du nombre de BRINKMAN
a 1'échauffament visqueux dans
4 Résultats expérimentaux de trans­les vlscoslmètres de COUETTE... 429
fert de chaleur 469
3 Analogies de transport 430 41 Ecoulements en conduite des
fluides newtonlens 470 31 Comparaison des transports molé­
411. Convection forcée en régime culaire et turbulent
laminaire - 412. Convection
32 Equations de la couche limite. forcée en régime turbulent - 413.
Analogies de transport en régi­ Influence de la convection libre
me laminaire 432
XIII 414. Cas des serpentins - 415. convection libre - 433. Convection
forcée en régime turbulent - 434. Influence du profil de températu­
Profil de température radial en re sur le facteur de frottement
régime laminaire - 435. Influence
42 Ecoulements autour des obstacles du profil de sur le
des fluides newtoniens 482 facteur de frottement en régime
421. Convection forcée - 422. laminaire
Influence de la convection li­
bre REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES S07
43 Ecoulements en conduite des flui­
des non newtoniens 488
BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE 511 431. Convection forcée en régime
laminaire - 432. Influence de la
XIV Notations
NOTATIONS LATINES DIMENSIONNELLES
B coefficient de déstructuration temporel (ch. IV), Pa.s
b conductance apparente de transfert de quantité de mouvement,
Pa.s.m ^ ; Largeur caractéristique d'un jet (ch. IX), m
1C couple (ch. IV et VI), N.nf ; coefficient de CHEZY (ch. VII) ,
m .s ; concentration volumique (ch. X) , kg.m
C , C chaleurs massiques spécifiques à pression et volume constants,
vP _i _i
J.kg .K
1/2C = Q(AP /d) , coefficient de débit d'un robinet (ch. IX) ,
v
V
3 -1 -1/2 nm .s .Pa
C coefficient de débit de calcul fondé sur le débit nominal Q..,
V C 3-1 -1/2
m .s .Pa
c vitesse au son, m.s
D usuellement diamètre de conduite, m
D.. = 4JÎ/P ,e hydraulique d'une conduite, m
n m
\> diamètre des spires d'un serpentin, m ; diamètre du siège d'un ro­s
binet (ch. VIII), m
D = D 1 + iïl>
s s ( *P/' ^) / diamètre de serpentin corrigé, p est le pas, m s
D diamètre nominal d'un robinet, m
V 2-1
V diffusivité matérielle moléculaire, m .s
ditîusivite matérielle turbulente, m .s
d diamètre du col d'un venturi ou d'un diaphragme (ch. III et VIII),
m ; diamètre de grain (ch. IX), m ; diamètre de l'orifice de dis­
tribution d'un jet (ch. IX), m
module d'YOUNG, Pa
E énergie mécanique de l'unité de masse, m .s"
m
Eee spécifique, m. de fluide gÊ puissance cinétique, U
c
e épaisseur d'un écoulement, généralement plan, m ; rugosité équiva­
lente de conduite (ch. VII), m
e énergie cinétique de l unité de masse, m .s £
F force, N
F résultante des forces extérieures, N
e
f force s'exerçant sur l'unité de masse d'un système, m.s
fréquence des agrégats (ch. VII), s
G module d'élasticité, Pa
G(t) = x(t)/Y , fonction de relaxation, Pa.s Q
6(A) distribution des temps de, Pa
G*(u) = G'(ai) + jG"(u>), rigidité complexe, Pa
G'(OJ), G"(u) rigidités d'accumulation et de dissipation, Pa
g accélération de la pesanteur
H énergie mécanique de l'unité de poids d'un fluide, m de liquide
enthalpie massique (ch. II et VII), J.kg ^ ; hauteur de référence
(ch. V), m
H = H+u 72, enthalpie massique totale, J.kg
T
h cote verticale, m ; conductance apparente de transfert thermique
(ch. X), W.m • K
2
h = u /2g, charge cinétique, m de fluide c
R = p/pg+h, charge motrice, m de fluide
fonction de fluage, Pa .s
J(X) distribution des temps de relaxation, Pa
complaisance complexe, Pa .s
J ' (ID) complaisance d'accumulatior Pa .s
J (u)e de dissipation, Pa .s
K coefficient d'élasticité volumique, Pa
nk consistance d'un fluide d'OSTWALD, Pa.s ; conductance apparente
de transfert de matière (ch. X) , m.s ^
k. constante d un ressort, N.m
k. constante d'un amortisseur visqueux, N.s.m
n consistance généralisée de conduite, Pa.s
L longueur, m
l libre parcours moyen des molécules (ch. IV), m ; taille des agré­
gats (ch. VII), m ;
= (surface/maître couple) , dimension caractéristique
= surface/(périmètre maximal) de grain (ch. X) , m
échelle de K0LM0G0R0FF de la turbulence, m
XVI £m = v/u*, longueur de mélange de PRANDTL, m
M masse (ch. I), kg ; masse molaire (ch. II, III, IV, V, VII),
kg.kmol ; moment d'une force (ch. IV), N.m ; coefficient de
déstructuration thixotrope de cisaillement (ch. IV), Pa.s
m masse, kg
m, masse du flotteur d'un rotamètre, kg
m = M/fi, densité de débit massique, kg.m .s
N vitesse de rotation, s
première différence des contraintes normales, Pa
secondee dess, Pa
P périmètre mouillé, m
P contrainte radiale à la paroi mesurée par manomètre, Pa R
p pression interne, Pa
pn atmosphérique, Pa
g
P = pu 12, pression cinétique (ch. II), Pa ; pression au col d'un c
venturi (ch. III), Pa ; pression critique (ch. VIII), Pa
p. pression totale, Pa
composantes déviatrices des contraintes normales, coordonnées
cartésiennes, Pa
composantes déviatrices des contraintes normales, coordonnées
cylindriques, Pa
p tension de vapeur, Pa
p = p+pgh, pression motrice, Pa
Q débit volumique, m" .s
Qt volumique nominal, m N .s
q débit spécifique d'une source ou d'un puits (ch. II), s
densité de flux thermique par conduction (ch. X) , W.m
R rayon de courbure, rayon de conduite, m ; constante des gaz par­
faits, J.K
R. rayon d'un jet libre, m
R' quantité de mouvement cinématique, m .s
r coordonnée radiale, m
S surface, m ; surface externe de qrain (ch. IX, X) . m
s abscisse curviligne (ch. II), ni ; variable de LAPLACE (ch. IV, VI)
s
T température, K ; durée d'observation d'un phénomène (ch. VII), s ;
traînée de frottement (ch. IX), N
T température d'ébullition, K e b
T ,T^ traînées de sillage et de forme, N g
XVII T ,T„ poussée axiale dans une conduite ou sur un plateau, N
z o
t temps, s
t^ durée de vie d'un élément de couche limite, s
te d'observation, s
U énergie interne spécifique, J.kg
u vitesse locale d'un écoulement permanent en moyenne, m.s ^
u (x) valeur locale de la vitesse à la frontière de la couche limite,
m.s
u vitesse terminale de chute, m.s
1
u* = u /f12, vitesse de frottement, m.s
m
u' composante fluctuante instantanée de la vitesse, m.s
_
u moyenne temporelle de la vitesse, m.s
u', u' moyenne quadratique des fluctuations de vitesses moléculaire et
1
turbulente, m.s
^
u' vitesse caractéristique de l'échelle de KOLMOGOROFF, m.s
V volume (ch. I, II, IX, X) , m ; vitesse d'entraînement (ch. IV),
-1
m.s
v vitesse d'entraînement ou vitesse d'une onde, m.s ^
W travail, J
Wc,Wf,Wm puissances, cinétique, dissipée, motrice, W
w vitesse relative, m.s ^
x coordonnée rectangulaire, m ; longueur d'un jet (ch. IX), m
xe,x^ longueurs d'établissement de la couche limite en régime perma­
nent ou transitoire (ch. X) , m
y coordonnée rectangulaire, m ; distance à la paroi, m
ze, m
NOTATIONS GRECQUES DIMENSIONNELLES
a,a. = (X,X.)/pC , diffusivité thermique moléculaire ou turbulente,
1 r P 2 -1
m .s
6 coefficient de dilatation volumique thermique, K
r débit volumique par unité de périmètre, m^.s ^
Y force par unité de masse autre que la force de pesanteur (ch. I) ,
m.s ; accélération (ch. II), m.s
Y vitesse de cisaillement, s
6 épaisseur de couche limite, m ; épaisseur d'un écoulement en film
(ch. VI), m
5r de la couche limite diffusionnelle (ch. X) , m
e rugosité de CUTTER, m .s
XVIII e puissance mécanique spécifique dissipée, W.kg ^
ç coefficient de dilatation volumique massique, m3.kg
6, = N./y2, Pa.s2
'2
92 = N2/y ' Pa
K viscosité volumique, Pa.s
A échelle de la macroturbulence, m
A temps de relaxation (ch. IV, VI, IX, X), s ; échelle de la micro-
turbulence (ch. VII), m ; conductivité thermique moléculaire
(ch. X), W.m"1.K-1
*t conductivité thermique turbulente, W.m .K
v viscosité dynamique newtonienne, Pa.s
u = i/y, viscosité apparente, Pa.s a
= (dT/dy)p, viscosité différentielle, Pa.s
pp viscosité plastique, Pa.s
vté dynamique turbulente, Pa.s
y ,p viscosité limite à vitesse de cisaillement nulle ou infinie, o °°
Pa.s
v* = p'(u)-jp"(u), viscosité complexe, Pa.s
y'(ai) viscosité de dissipation, Pa.s
u"(ui)é élastique, Pa.s
y' = T /(8u /D), viscosité généralisée de conduite, Pa.s
c p m ' a '
v,vt = (y,pt)/p,é cinématique moléculaire ou turbulente,
X X
m .s
Il énergie mécanique totale par unité de volume, J.m
p masse volumique, kg.m
p-,p_ massess des phases continue et dispersée, kg.m 3
p. ,p- masse volumique d'un liquide ou d'un solide, kg.m
pMe volumique d'un fluide manométrique, kg.m
a contrainte normale, Pa ; tension superficielle (ch. V), N.m
Te tangentielle, Pa
xce critique lorsque la vitesse de cisaillement tend vers
0, Pa
Tp contrainte de frottement à la paroi, Pa
contrainte de ELLIS telle que yg = yQ/2, Pa
t(t) = di(i/dt, fonction mémoire, Pa.s ^
•(x,y),*(r,e)n potentiel des vitesses, m2.s
*v fonction de dissipation, s 2
4> densité de flux, (concentration volumique d'extensité) .m.s ^
ij; potentiel scalaire d'un champ de force volumique, m .s
XIX iji(t-t.) = 6T.(t)/6y.(t.), fonction d'influence, Pa
1 1 'ii' 2-1
iji(xry) fonction de courant (ch. V) , m .s
il surface, section droite d'un écoulement, m2 ; vitesse angulaire
d'entraînement (ch. VI) , s ; maître couple d'un obstacle (ch.
IX), m2
n ouverture équivalente d'un réseau de conduites, m2
e
Si section nominale d'une soupape, m
n
m fréquence oscillatoire (ch. IV, VI) , s
NOMBRES ADIMENSIONNELS LATINS
Ar = d3gpc|ps-pc|/p2, nombre d'ARCHIMEDE
Bm = T D/u u , nombre de BINGHAM
c- p m'
Br = yu M(T -T ) , nombre de BRINKMAN
m p m
C coefficient de contraction (ch. II, III)
• W (ch- IV/ VI'x )
Ct de débit
q
C coefficient de vitesse
u
C = T/(pu /2), coefficient de traînée
x i,
C+ = (C -O u /*„ , concentration adimensionnelle
P M,p
C ,C ,C coefficients de corrélation des composantes fluctuantes de
xx' yy' zz
vitesse
Db = A/t nombre de DEBORAH
De = Re(D/Ds)1/2, nombre de DEAN
d densité
E = (1-m ) , coefficient de vitesse d'approche des organes dépri-
mogènes
Ec = u2/C T, nombre de ECKERT
Eu = Ap/pu? (ch. I) , ApVpu (ch. V) , (pD-p„)/pu„ (ch. IX), nombre
d'EULER
f taux d'ouverture d'un robinet de réglage
f/2 = T /pu2, facteur de frottement
(f/2)x valeur locale du facteur de frottement
Fr = u2/gAh (ch. II) , u2/gH (ch. V) , nombre de FROUDE
Ga = gH /v , nombre de GALILEE
nombre de GRASHOFF matériel
nombre de GRASHOFF thermique
XX -, nombre de GRAETZ
g gain d'une réponse oscillatoire
2 2
He = T pD /p , nombre d'HEDSTRÔM
2 2 2 1/2 —
1I = (u +u' +u' ) lu, intensité de la turbulence
x y z '
2/3
i« = St„.Sc , facteur matériel de CHILTON-COLBURN
J = St -Pr ,r thermique deN t T
k.,k facteurs d'échelle pour les forces d'inertie et de gravité
k .k.se pour la masse et le temps
m t
k .k facteurs d'échelle pour la vitesse et l'accélération
K u y
K coefficient de forme de POLHAUSEN (ch. IX)
<t de décharge d'une soupape v
Le = a/V, nombre de LEWIS
Ms = St,e de MARGOULIS
M = u/c, nombre de MACH
2m = (d/D) , coefficient de striction des orifices déprimogènes
NUT Nombre d'Unités de Transfert
Nu = (conductance)(dimension caractéristique)/(conductivité), nombre
de NUSSELT
Nu = hD/X, utilisation courante du nombre de NUSSELT
Nu^ = hL/X, nombre de NUSSELT pour une plaque plane
= hD/X, nombre deT en régime laminaire non établi (conduite
de longueur L)
Nu^ nombre de NUSSELT en convection libre
NUj^NUj^ = hïVX, nombre de NUSSELT en convection forcée laminaire ou
turbulente
Nu = hx/X, valeur locale du nombre de NUSSELT
x '
Nu = hD/X, valeur asymptotique du nombre de NUSSELT en régime lami­œ
naire établi
Pe = (u D)/(diffusivité), nombre de PECLET
m
Pr = v/a, nombre de PRANDTL diffusionnel
Pr = v /a, nombre deL différentiel d d
Pr = v /o , nombre de PRANDTL turbulent t t t
1-n 1 n
Pr' = kD C /(Xu ~ ), nombre de PRANDTL des fluides d'OSTWALD
p m '
Pr^ = v7a, nombre de PRANDTL généralisé
q = Q/Qfl, fraction de débit maximal pour un robinet de réglage
R = (débit maxi contrôlable/débit mini contrôlable), domaine d'uti­
lisation d'un robinet
XXI R coefficient d'étranglement d'un robinet
Ra = gp2CpBATD3/yA, nombre de RAYLEIGH de conduite
Rap = gp Cp&ATd /yA, nombre de RAYLEIGH de particule
Re = pu D/y, nombre de REYNOLDS
'
ReQ nombre de REYNOLDS défini par BOUEN (ch. X)
Re , = u D/y ., nombre de REYNOLDS différentiel
d
Re^ = 8.u'/v, nombre de REYNOLDS d'agrégat
Ren s Re^ pour les fluides d'OSTWALD
Re = pu D/y , nombre de REYNOLDS plastique
P m p
= u^d/v, nombre deS de particule (ch. IX, X)
Re = p 2 nd/k, nombre de REYNOLDS de particule pour les fluides
pn
d'OSTWALD
Reg = udg/v, REYNOLDS de particule, dg est le diamètre équivalent
surface
Ret = ufd/v, nombre de REYNOLDS terminal de chute
Rex = ux/v, nombre deS de couche limite
Re =puD/y , nombre de REYNOLDS à vitesse de cisaillement nulle
Re' = pu2 nDn/k, nombre de REYNOLDS modifié pour les fluides
d'OSTWALD
Re^ = pumD/y^, nombre de REYNOLDS généralisé
Se = v/V , nombre de SCHMIDT diffusionnel
Stt = vt/t>t, nombre de SCHMIDT turbulent
Sh = kD/P, nombre de SHERWOOD
St = (densité de flux latérale)/(densité de flux axiale), nombre de
STANTON
T = (débit maxi en ligne)/(débit mini contrôlable), coefficient
d'utilisation d'un robinet
T+ = pCpu*(Tp-T)/<t>T p, température adimensionnelle
tt = u*(t./v)^'2, durée de viee d'une couche limite
U = u/u ou u/u , vitesse adimensionnelle de couche limite
*
(u„-u)/u défaut de vitesse adimensionnel
M *
u+ = u/u , vitesse adimensionnelle de PRANDTL
Vis = y /y , nombre de viscosité (y évaluée à T , y à T )
* '
Visg = vap/vat nombre deé défini sur les viscosités apparentes
Vis' = (8n \') /(8n 1.k') , nombre de viscosité généralisé
Wi = N^T , nombre de WEISSENBERG
y+ = u*y/v, distance à la paroi adimensionnelle de PRANDTL
XXI I , distance adimensionnelle définie sur u
ap
, généralisation aux fluides d'OSTUALD
NOMBRES ADIMENSIONNELS GRECS
a pente des canaux découverts (ch. VII) ; rapport des diamètres ex­
terne et interne dans les viscosimètres rotatifs (ch. VI)
6 coefficient d'énergie cinétique ; pente d'un écoulement en film
Y = Cp/C , facteur adiabatique (ch. II, VII) ; déformation angulai­
v
re (ch. IV, V)
y(E) = (E/R)(1/T^-1/Tp), facteur de thermicité de CHRISTIANSEN et CRAIG
A = ô /ô , rapport d'épaisseur de couche limite T v
= Y /(8u /D), coefficient de vitesse de cisaillement à la paroi
'p m '
+
6 =6 u*/v, épaisseur adimensionnelle de la couche diffusionnelle
s s
(ch. X)
e coefficient de détente d'un orifice
n rendement d'un diffuseur (ch. III)
= y/6 , ordonnée réduite de couche limite
te rapport du diamètre interne au diamètre externe des conduites
annulaires
A facteur de forme de POLHAUSEN (ch. IX)
, coefficient de POISSON
(ch. III) (ch. VIII), coefficient de
perte de pression singulière
nombre de BUCKINGHAM
déphasage
facteur de sphéricité de HEYWOOD
facteur deé de PETTYJOHN
SYMBOLES
dérivée par rapport au mouvement
transformée de LAPLACE de f(t)
déformation volumique relative
tenseur de déformation
trace du tenseur de déformation
XXIII , vitesse de déformation volumique relative, s ^
, tenseur des vitesses de déformation, s ^
, trace du tenseur des vitesses de déformation, s 1
I fonction de BESSEL d'ordre 0
i
r.. = e..-e.. , tenseur de rotation
A accroissement fini
Laptacien
AH^,AP^ perte de charge ou de pression par frottement, m de liquide
ou Pa
AHs,APg perte de charge ou de pression sur une singularité, m de li­
quide ou Pa
APg abaissement de pression maximal dans un robinet (ch. VIII), Pa
APw perte de pression sur un robinet de réglage (ch. VIII), Pa
déplacement relatif
ô.j. = 1 si i H j ; = 0 si i * j , symbole de KRONECKER
, fonction gamma
= e..-ë6^., tenseur des déformations angulaires relatives
Y.^ = ê.j-é6.jj, tenseur des vitesses de cisaillement
£ sommation
o.. tenseur des contraintes, Pa
o = -j iPj , trace du tenseur des contraintes, Pa
opérateur "del" ou "nabla"
EXPOSANTS
n indice d'écoulement des fluides d'OSTWALD
indice d'écoulement généralisé
a exposant caractéristique des fluides d'ELLIS
XXIV valeur au col (ch. II, III)
variable normée (ch. V, X)
variable complexe (ch. IV, VI) e normée de PRANDTL
longueur caractéristique
vitessee
INDICES
c au col d'une tuyère ou d'un VENTURI (ch. II)
valeur de veine contractée (ch. III) r critique ou de transition
e extérieur
i intérieur
ij composante vectorielle selon la direction j dans un plan orthogo­
nal à la direction i
f frottement
M matériel ou valeur maximale
m valeur moyenne sur la section d'un écoulement
pr à la paroi
r composante selon r
T thermique
u quantité de mouvement
x valeur locale
x,y,z composantes selon x, y, z
6 composante selon 9
4>e selon $
1 entrée
2 sortie
•» valeur limite
XXV Introduction
Le but du présent ouvrage est de rassembler sous une forme utilisa­
ble les notions limitées de Mécanique des fluides et de rhéologie
nécessaires à l'ingénieur de procédés en pratique courante tout en
établissant les liens qui existent avec d'autres sciences (thermodyna­
mique, phénomènes de transport, calcul des échangeurs et des réacteurs,
mécanique des milieux continus...) et en ouvrant des portes sur des
domaines plus spécialisés (mécanique des fluides fondamentale, rhéolo­
gie fondamentale...). Il est le fruit d'une dizaine d'années d'ensei­
gnement de la mécanique des fluides appliquée au Génie Chimique en
formation initiale, à l'Ecole Nationale Supérieure des Industries
Chimiques, en formation continue, au Centre de Perfectionnement des
Industries Chimiques de Nancy et aue de Recherche, d'Innovation
et de Formation des Ingénieurs et Cadres de Nancy ; il est également
issu des problèmes que j'ai traités en recherche au Laboratoire des
Sciences du Génie Chimique ou lors de mes contacts avec l'industrie.
Désireux avant tout d'écrire quelque chose qui soit apprehensible
par le commun des mortels, il m'arrive parfois d'adopter une attitude
un peu cavalière vis-à-vis de la rigueur mathématique et je sollicite
par avance l'absolution des fondamentalistes qui doivent, pour aboutir
à des conclusions non criticables, tenir compte strictement de toutes
les contraintes. Tous les résultats rapportés ici ont été démontrés par
d'autres auteurs.
En règle générale, un fluide qui s'écoule est soumis à un certain
nombre de forces dites extérieures, dues à l'action de l'environnement
sur l'élément de fluide considéré (pression, pesanteur, frottements).
Si la résultante de ces forces est nulle, le fluide s'écoule à vitesse
constante ; si cette résultante n'est pas nulle, elle est égale,
d'après le principe fondamental de la dynamique à la force d'inertie ou
force de d'ALEMBERT.
Ces différentes forces et leurs conséquences sont introduites pro­
gressivement dans le présent ouvrage.
Ainsi l'étude de la pression interne, qui existe dans un fluide in­
dépendamment de tout mouvement fait l'objet du premier chapitre. Les
forces de gravité y sont également introduites par l'étude de l'équili­
bre d'un fluide dans le champ de pesanteur et plus généralement dans le
cas d'un champ de force volumique qui dérive d'un potentiel. Les métho­
des de mesure de la pression sont rapidement traitées ainsi que les
méthodes de mesure des niveaux. Au deuxième chapitre, le fluide est mis en mouvement et la notion
de force d'inertie est introduite en supposant les frottements négli­
geables (fluide parfait ou de PASCAL). Les trois bilans fondamentaux
(matière, force ou quantité de mouvement, énergie) sont établis. Les
derniers paragraphes, constitués par l'étude des écoulements compres­
sibles sans frottement, effectuent le lien nécessaire avec les études
généralement effectuées en thermodynamique. Le chapitre trois rassem­
ble un certain nombre d'applications des principes vus dans les deux
chapitres précédents, avec, notamment, la mesure des débits.
A ce stade, le lecteur est déjà armé pour traiter un certain nombre
de problèmes posés par les écoulements de "fluides ordinaires" à des
vitesses pas trop basses ; il s'agit, en d'autres termes, des écoule­
ments pour lesquels les forces de frottement restent négligeables de­
vant les forces de pression et de pesanteur et éventuellement d'inertie.
En général, les fluides dits réels, présentent des résistances de
frottement à l'écoulement. Pour les fluides "normaux" ou de NEWTON,
chaque filet de liquide qui se déplace a tendance à entraîner ses voi­
sins proportionnellement à leurs différences de vitesse. Les fluides
qui s'écartent de ce type de comportement sont dits anormaux ou non
newtoniens, et sont dès maintenant suffisamment nombreux dans l'indus­
trie chimique, biochimique et agro-alimentaire moderne, pour n'être
plus considérés comme des cas particuliers. Nous parlerons dans l'en­
semble, de fluides réels, les fluides de NEWTON ne constituant qu'une
catégorie asymptotique de cet ensemble.
Le chapitre quatre, en se fondant sur les constatations expérimenta­
les, établit l'existence des forces de frottement et les états de con­
trainte et de déformation qui en découlent. Il rappelle les différentes
lois de comportement usuelles et établit la notion de fluides purement
visqueux, dont le comportement peut être ou non fonction de l'histoire
antérieure du fluide. L'écoulement d'un tel fluide est caractérisé par
des déformations non auto-récupérables, c'est-à-dire qu'il est incapa­
ble d'emmagasiner l'énergie qui lui serait nécessaire pour retrouver
son état initial. A l'inverse, le fluide visco-élastique est capable de
stocker une certaine quantité d'énergie élastique qui lui permet de
récupérer une partie de sa déformation lorsque les forces extérieures
cessent ou s'amenuisent.
Les différents modes d'étude des écoulements réels sont examinés au
chapitre cinq. On y rappelle les inévitables équations du mouvement qui
sont d'une utilité vraiment relative dans la plupart des applications
pratiques, les techniques d'analyse dimensionnelle et la théorie des
maquettes.
La résolution mathématique rigoureuse des écoulements n'est possible
que lorsque certaines forces sont inexistantes ou négligeables. En
particulier la suppression des forces d'inertie simplifie grandement
les problèmes. On parlera alors d'écoulements laminaires qui sont étu­
diés au chapitre six. Une large part est faite dans ce chapitre aux
comportements non linéaires des fluides très visqueux pour lesquels les
forces de frottement s'avèrent souvent prépondérantes. Dans le prolon­
gement de ce chapitre et en application de ce qui précède, sont natu­
rellement traitées les méthodes de mesure des propriétés rhéologiques
des fluides. Ce chapitre qui s'arrête à l'étude des propriétés de
visco-élasticité linéaire établit une passerelle avec les ouvrages de
rhéologie plus fondamentaux.
Les résultats relatifs aux écoulements à grande vitesse sont présen­
tés au chapitre sept. Pour tous les problèmes qui concernent uniquement
l'écoulement des fluides, une approche macroscopique globale par le
XXVIII biais de l'analyse dimensionnelle permet de résoudre la plupart des
problèmes. L'étude des phénomènes de transport nécessite par contre
une approche plus approfondie de la structure fine de l'écoulement,
délice des mécaniciens, et la notion de turbulence est introduite. Le
lecteur devra prendre conscience à ce stade que ce n'est pas par plai­
sir que l'on introduit ces notions un peu touffues mais parce que le
mouvement et la taille des agrégats conditionnent profondément les
transferts de matière et de chaleur.
Le calcul des conduites, opération de routine qui doit être menée
avec méthode, est abordé au chapitre huit.
Après avoir étudié les écoulements "canalisés" par des parois maté­
rielles, on étudie, au chapitre neuf, les écoulements autour de volu­
mes finis limités par des parois rigides. Ce chapitre constitue une
introduction nécessaire à l'étude des écoulements polyphasés qui ne
sont pas abordés ici.
La mécanique des fluides est une science aride pour l'ingénieur de
procédé en ce sens qu'elle doit faire partie des connaissances de base
mais ne permet pas à elle-seule de résoudre les problèmes "nobles"
tels que les conceptions d'un réacteur ou d'un échangeur. On n'insiste­
ra jamais assez sur le fait qu'il ne sert à rien de concevoir un appa­
reil sur le papier en écrivant des bilans de matière et de chaleur en
oubliant cette malheureuse quantité de mouvement qui conditionne tout
transfert convectif.
A cet effet, le chapitre dix établit le lien qui existe entre les
transferts des trois extensités principales, quantité de mouvement,
matière et chaleur et rappelle un certain nombre d'analogies, généra­
lement bien vérifiées par l'expérience. Il apparaît que si le transport
de quantité de mouvement était suffisamment bien connu, il serait inu­
tile d'effectuer de coûteuses expérimentations sur le transfert de
chaleur et de matière. A notre époque, notre compréhension des écoule­
ments est encore trop imparfaite pour pouvoir établir les analogies
dans tous les cas de figure et c'est pour en montrer les limites que
nous exposons quelque peu en détail un certain nombre de corrélations
empiriques utilisées en transfert de chaleur qui doivent, à un moment
donné, prendre le relais des modélisations semi-théoriques.
J'ai conscience que ce travail, rédigé obligatoirement dans un
temps limité, est très imparfait, mais j'espère que, tel qu'il se pré­
sente, il pourra aider les étudiants, les ingénieurs et les chercheurs
non spécialistes dans la résolution de leurs problèmes. Les critiques
et suggestions des lecteurs seront les bienvenues et m'aideront grande­
ment à améliorer cette première présentation.
Remarques
Toutes les formules et tous les exemples sont exprimés en unités
cohérentes (système S.I.) bien que, dans le texte, interviennent des
multiples ou des sous-multiples couramment utilisés.
Les références bibliographiques sont rassemblées à la fin de chaque
chapitre sauf une "bibliographie sommaire", par centres d'intérêt, pla­
cée à la fin de l'ouvrage. Les renvois dans le texte sont notés
(B.S.(i)).
Nous n'avons pu éviter, sous peine d'utiliser des symboles ésotéri-
ques, d'affecter plusieurs significations à un même symbolisme. Nous
nous sommes assurés, dans la mesure du possible, que cela ne pouvait
prêter à confusion lors des applications et des raisonnements.
XXIX Chapitre 1
Statique des fluides
INTRODUCTION
Malgré la simplicité des principes de la Statique des Fluides, il
est utile de bien préciser la notion de pression statique et les
moyens de la mesurer. Il ne faut pas en effet commettre l'erreur de
confondre les pressions statiques et les pressions motrices tant dans
leurs concepts propres que dans leurs mesures.
1. NOTIONS DE PRESSION STATIQUE. ISOTROPIE DE LA PRESSION
Dans un milieu matériel, La force qui s'exerce sur un élément de
surface quelconque intérieur à ce milieu, a a priori une orientation
quelconque. Considérons plus particulièrement un élément tétraédrique
OABC au sein du fluide considéré,
chacune de ses dimensions consti­
tuant un infiniment petit du pre­
mier ordre.
La force •? s'exerçant sur l'élé­
ment de surface ABC, d'aire dS,
peut être décomposée en une compo­
sante normale^fn et une composante
tangentielle ft.
(?/dS) et T = (f*t/dS) sont com­n
munément appelées contraintes nor­
males et contraintes tangentielles
sur la surface.
Pour un fluide au repos :
* la pression est définie par la
contrainte normale à l'élément
de surface :
(1.1)
* par définition, un corps reçoit l'appellation "fluide" si ou Kzpoi :
(1.2)
f =0 tLes relations (1.1) et (1.2) sont indépendantes de l'orientation de
la surface considérée et la pH.ZAi.ion (U>t <L&otAope., c'est-à-dire qu'elle
est la même dans toutes les directions.
Effectivement, le tétraèdre considéré est en équilibre si la résul­
tante des forces extérieures (poids et pression) est nulle. Le poids
qui est une force de volume est un infiniment petit du troisième ordre
négligeable devant les forces de pression intervenant par l'intermé­
diaire des surfaces infiniment petites du deuxième ordre. L'équilibre
du tétraèdre se traduit donc par la nullité des composantes des forces
de pression.
Soit p la pression sur la face OBC ; écrivons que la résultante des x
forces de pression suivant Ox est nulle :
p x (aire OBC) + (-pn.dS) . î = 0
x
comme aire OBC = "î . ndS, il s'ensuit que p = p. Il en est évidemment
de même pour les composantes p et p z >
Le raisonnement effectué ici est global et n'explique en rien l'ori­
gine de la pression qu'il faut rechercher au niveau moléculaire. Les
molécules sont animées d'une énergie cinétique propre proportionnelle
à kT où k est la constante de BOLTZMAN et leur mouvement permanent, mê­
me dans un fluide dont le barycentre est au repos est à l'origine du
mouvement brownien. Une molécule animée
de la vitesse instantanée ui vient
"choquer" l'élément de surface dS et
rebondit avec une vitesse u . Conformé­2
ment au théorème des quantités de mouve­
ment, la force qui produit la modifica­
tion de quantité de mouvement est :
(1.3)
si m est la masse de la molécuLe considé­
rée. Si il s'est écoulé en moyenne
l'intervalle de temps 6t entre les situa­
tions A et B, il en résulte une force élémentaire :
(1.4)
L'intensité et la direction de cette force élémentaire sont fonc­
tions des valeurs de Uj et u et de leur direction. La force de pres­
2
sion est la résultante d'innombrables impacts élémentaires dont les
directions sont aléatoires ; cette force est donc orthogonale à toute
surface passant par le point C quelle que soit sa direction et ne
dépend que de l'énergie locale des molécules.
Le champ des pressions (c'est-à-dire leur répartition spatiale) est
donc un champ icaZaAJiz et la notion de force de pression n'apparaît en
fait qu'à partir du moment où l'on se définit une surface d'action
limitant un certain volume de fluide. La force de pression s'exerçant
sur cette surface est alors orthogonale à la surface et dirigée vers
l'intérieur du volume considéré. Il s'agit, pour ce volume, d'une jJoA.ce
ZxttiviejJJie. (action des molécules environnantes sur ses propres molécu­
les).
2 UNITES DE PRESSION
La pression, considérée comme une force par unité de surface s'ex­
prime, dans Le système international en VaAzoJU, (Pa), c'est-à-dire en
N.m-2.
Un multiple toléré et très souvent utilisé est le bar (1 bar = 10^
Pa). Le bar est en effet très voisin de l'atmosphère normale
5(1 atm = 1,01325.10 Pa) .
2 . EQUILIBRE DES FLUIDE S DANS LE CHAMP DE PESANTEUR. NOTION
DE PRESSION MOTRICE. CAS GENERAL D UN CHAMP DERIVANT
D UN POTENTIE L
21. EQUILIBRE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE PESANTEUR. NOTION DE
PRESSION MOTRICE
Considérons le schéma ci-contre.
A l'équilibre, la résultante des atmosphere
forces extérieures agissant sur
l'élément de hauteur dz est nulle.
GAZ
L'axe des z étant orienté en
izné -invzuz dz Z'acc&L&uitLon dz
A C ta pz&antzuSL, on écrit que la somme
des forces de pesanteur (forces de
volume) et des forces de pression
est nulle : Z dz
i B Qp
soit : (1.5)
Plus généralement, cette équation s'écrira sous forme vectorielle :
(1.6) grad p - pg = 0
Dans Le cas particulier du faZiuAz ÀjnaompueA&ibte. (p = Cte), la rela­
tion (1.5) fournit :
p + pgz = p = Cte
* p est la "pression ordinaire" précédemment définie,
* pgz est lan de pesanteur" qui représente le poids de la
colonne de fluide au-dessus du point considéré,
* p est la "pression motrice" qui, comme nous le verrons, représente
VtnzhjQi.z potzrvbLzZZz de l'unité de volume du fluide. Ce sont les
différences de cette énergie potentielle qui produisent les mouve­
ments du fluide. On remarquera que p est définie à une constante
près. Sa valeur dépend de l'origine des cotes verticales.
Les surfaces iso-pression (isobares) à l'intérieur d'un fluide con­
tinu sont alors constituées de plans de cote z constante.
Dans le cas des fluides compressibles (gaz), l'équation d'équilibre
(1.5) doit être intégrée en tenant compte den d'état qui
3 relie p à la pression p. La compressibilité des liquides est générale­
ment négligeable.
22. CAS GENERAL D'UN CHAMP DE FORCE VOLUMIQUE DERIVANT D'UN
POTENTIEL
Nous avons pu traiter de manière élémentaire le champ de pesanteur
car il est immédiatement accessible à l'expérience mais on peut être
amené à considérer d'autres forces de volume que le poids ; citons par
exemple l'action d'un champ électromagnétique sur des charges contenues
dans le fluide (magnétohydrodynamique). En particulier dans le cas
d'un déplacement en bloc de fluide, nous aurons une force directement
proportionnelle à la masse du fluide et à l'accélération du mouvement
qui sera une force dite d'-LneAtiz (accélération centrifuge par exemple).
Ainsi d'une manière générale,
sur le parallélépipède, ci-contre
s'exercera la force pf dx dy dz (T,
homogène à une accélération sera la
force par unité de masse).
Si le système est au repos, les
forces de pression équilibrent les s de volume. Suivant Ox, il
vient :
soit vectoriellement :
p? - griâ p = 0 (1.7)
relation qui montre que les surfaces isobares (isopression ordinaire
sont orthogonales au vecteur T.
En général, le vecteur T inclut l'action des forces de pesanteur
qu'il est possible d'isoler en écrivant 7 = g + y. La relation (1.7)
devient alors :
(1.8) py - graà p = 0
relation qui montjre que les surfaces isopression motrice sont orthogo­
nales au vecteur y qui caractérise l'action des forces de volume autres
que la pesanteur.
Remarque : si f* dérive d'un potentiel scalaire i|i
? = - graà i|>
et grad (p+pVi) = 0
soit pour un fluide incompressible : p+piji = Cte. On retrouve le cas
particulier du champ de pesanteur où ^ - gz.
4 EXEMPLES
Les exemples bien classiques qui sont exposés ici sont déjà en tou­
te rigueur des problèmes de "dynamique" dans la mesure où le fluide
se déplace par rapport à un système d'axe fixe. En fait, dans le cas
de mouvements permanents tels que ceJx qui se présentent ici, les
problèmes peuvent être résolus par rapport à un système d'axe qui se
déplace à la même vitesse linéaire ou angulaire que le fluide.
1°. Equilibre d'un liquide soumis à une accélération constante
Considérons un réservoir paral-
-
lélépipédique à demi-plein de li ^
quide et soumis à l'accélération y.
Du fait de son inertie et en
réaction, le fluide est soumis à
une force par unité de masse (-7)
qui se combine, avec la force de
pesanteur g.
La relation d'équilibre (1.7)
projetée sur les axes portés par la
cuve conduit aux relations :
Les surfaces isobares sont fournies par :
soit après intégration :
Les surfaces isobares sont des plans orthogonaux au vecteur ~$=-y+g.
De^même les surfaces isopression motrice sont orthogonales au vec­
teur y, ce sont des plans verticaux.
2°. Equilibre d'un liquide dans un vase en rotation uniforme
Considérons un réservoir cylin­
drique en rotation uniforme et
partiellement empli de liquide.
En réaction à l'accélération
centripète d'entraînement, le
fluide est soumis à une accéléra­
2tion centrifuge u r. La projection
de la relation (1.7) sur un système
d'axe tournant à la vitesse angu­
laire tu du fluide fournit :
Les surfaces isobares sont défi­
nies par :
soit après intégration :
(1.9)
5 Le_s surfaces isobares sont donc des paraboles orthogonales à
2
f = g+w r. Les surfaces isopression motrice,s à l'accélé­
ration centrifuge seront des cylindres circulaires axés sur l'axe z.
Si v=rw est la vitesse linéaire du fluide en un point, il vient pour deux
points quelconques 1 et 2 du fluide, par différence des relations (1.9) :
(1.10)
Il s'agit ici d'une forme particulière du bilan d'énergie mécanique d'un
fluide sans frottement en rotation autour d'un axe. On retrouvera cette rela­
tion généralisée (avec une vitesse relative w non nulle du fluide par rapport
au système d'axe tournant) au paragraphe 64 du chapitre II.
Remarque
Il est possible de montrer que MM' = 00' et IJ = r/2, quel que soit
ai, si R est le rayon du réservoir, la situation du point M correspon­
dant au niveau du liquide au repos.
23. FLUIDES COMPRESSIBLES
La masse volumique p (p,T) est fonction de la pression et de la
température. Cette fonction est fournie par l'équation d'état du flui­
de.
On définira ainsi pour une transformation isotherme le coefficient
de compressibilité isotherme :
(1.11)
et pour une transformation adiabatique. Le coefficient de compressibi-
Lité adiabatique x_-
a
Pour un gaz parfait, il est facile de montrer que :
et
Bien entendu les relations fondamentales (1.5), (1.6) et (1.7) res­
tent valables sous forme différentielle. On ne pourra plus par contre
différencier globalement la pression motrice p.
EXEMPLE : Loi des atmosphères isothermes de LAPLACE
Pour un gaz parfait, p = pM/RT, où M est La masse molaire du gaz et
R la constante des gaz parfaits.
La relation (1.6) s'écrit :
soit après intégration entre les points de cotes verticales z\ et z : 2
(1.12)
6 On constate ainsi que pour de L'air à 20 °C, La variation reLative
de pression par mètre de déniveLlation n'est que de 0,012 '/., ce qui
justifie le fait que dans une enceinte isotherme renfermant du gaz, on
considère La pression comme constante en tout point.
3 . FORCES S'EXERCANT SUR LES PAROIS IMMERGÉES ET LES
FLOTTEURS
31. FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE IMMERGEE. CENTRE DE PRESSION
Ccii d'une audace, p&we
On suppose que La pression
ordinaire qui s'exerce sur la
surface libre du liquide est
identique à celle qui règne à
gauche de La plaque hachurée.
L'aire S de cette plaque
possède un centre de gravité
G caractérisé par La cote 8.. .
b
Sur L'aire élémentaire dS
s'exerce la pression hydro­
statique pgh. La force totale
s'exerçant sur la plaque
vaut :
est le moment statique de l'aire dS par rapport à l'axe
horizontal de trace 0.
Ainsi F = pg sina (1.13)
Le centre de poussée P, point d'application de F, est obtenu par
l'expression du moment des forces par rapport à l'axe 0 :
(1.14
est le moment d'inertie de l'aire S par rapport à l'axe
0. Il vient ainsi :
(1.15)
Le centre de poussée est toujours en-dessous du centre de gravité.
Par application du théorème de HUYGHENS, il vient :
oùes t le moment centrifuge de l'aire par rapport à l'axe horizon­
tal passant par G.
IL vient ainsi :
7 Cm d'une AuA^ace. cou/ifae
Il est relativement facile de
montrer que :
(1.16)
où M-| y est Le moment de l'aire
projetée S par rapport à l'axe y
horizontal passant par 0.
(1.17)
Fy représente donc le poids de
la colonne verticale de liquide
reposant sur la surface considérée.
32. POUSSEE S'EXERÇANT SUR LES FLOTTEURS. STABILITE
321. Poussée s'exerçant sur les flotteurs ou les solides immergés
En admettant que la présence du corps
immergé dans le liquide ne perturbe pas
la distribution hydrostatique des pres­
sions et en supposant le fluide incom­
pressible, il est assez difficile
d'évaluer par intégration la résultante
des forces de pression sur la frontière
du corps de volume V et d'aire superfi­
cielle S. Un raisonnement global conduit
pourtant rapidement à ce résultat. Cette
résultante F est telle que :
(1.18)
Si la distribution des pressions est hydrostatique, F* équilibre en
principe un volume V de liquide dont le poids est :
(1.19)
La résultante du poids est verticale et appliquée au centre de gra­
vité du volume V de sorte que l'on peut énoncer le :
PfUncÂpz d'ARCHIMEPE : un corps libre immergé dans un liquide est sou­
mis à une poussée verticale égale au poids du liquide déplacé et appli­
quée, dans un fluide homogène et incompressible, au centre de gravité
du volume déplacé.
Ce principe s'applique aux flotteurs mais il n'y a flottaison que si
<PS PL' c'est-à-dire si la masse volumique moyenne du solide est infé­
rieure à celle du liquide. Le poids du volume de liquide déplacé est
alors égal au poids total du flotteur.
8 Remarque
Lorsqu'il y a déplacement relatif du corps immergé par rapport au
fluide porteur, nous verrons au chapitre IX que la poussée d'ARCHIMEDE
n'est qu'une des composantes de la force que le fluide exerce sur ce
corps.
322. Stabilité des flotteurs
Considérons un corps de poids W concentré au centre de gravité du
solide G et subissant de la part du liquide une poussée F concentrée
au centre de poussée P, centre de gravité du volume de liquide déplacé.
Si le flotteur est soumis à un roulis d'angle 66, les forces de
pression créent un moment. La poussée reste inchangée dans la mesure
où les volumes AV immergé et emmergé se compensent mais lé point d'ap­
plication de la poussée passe de Pg en Pj. La ligne d'action de la
poussée F coupe l'axe de symétrie du flotteur en M, point fixe pour de
petits angles de roulis, appelé metacentre.
La stabilité du flotteur dépend de la situation du metacentre
vis-à-vis du centre de gravité.
Si M est en-dessous de G, il se crée un couple qui retourne le
flotteur.
33. APPLICATIONS
VfvLncA.pt da ncu>6emblmwt de ^lottewu, dam, an voitex
Considérons le fluide en rota­
tion uniforme. Le flotteur est
soumis en G :
* à son poids Mg
2
* à la force centrifuge MtoRg.
Le flotteur est également soumis
à une force opposée à la force qui
s'exerçait sur le volume V de
liquide déplacé et qui a pour com­
2posantes p Vg et p|_VuRp et qui L
passe par P.
A l'équilibre, on devrait avoir:
2 2p Vg = Mg et Mw R = p Vu R ,
L G L p
soit R = Rp G
9 ce qui n'est pas le cas en général car G est plus voisin de l'axe que
P. Ainsi le flotteur se rapproche de l'axe et la seule position d'équi­
libre stable est au sommet du parabololde.
Cette propriété est utilisée en agitation pour suspendre des solides
pulvérulents non mouiltables dans des liquides. Les particuless
sont rassemblées dans le creux du vortex au voisinage du mobile d'agi­
tation où l'énergie fournie est suffisante pour provoquer l'étalement
du liquide sur le solide.
PJuncLpz de la. centAi^agation
Considérons un corps de volume V de
masse volumique pg immergé dans un
liquide de masse volumique p^ tournant à
la vitesse u>.
Il est soumis aux poussées et aux
forces centrifuges schématisées ci-contre
2
les forces p^Vg et p u) VR correspondant L
à la réaction du fluide environnant sur
le volume considéré.
Si Pg > P , le solide s'éloigne de l
l'axe ;
si p. > p , le solide se rapproche de
L S
l'axe.
Cette propriété est utilisée en cen-
trifugation.
4. MESURE DES PRESSIONS STATIQUES. MANOMETRES.
Un manomètre fournit généralement la différence entre la pression
régnant à l'intérieur d'un appareil et la pression extérieure. C'est
cette différence que l'on appelle "pression effective" ou "pression
manométrique" ("psig" en anglo-saxon ; "atû" en allemand).
La pression réelle (au-dessus de zéro) dans l'appareil est appelée
"pression absolue" ("psia" en anglo-saxon ; "ata" en allemand).
41. MANOMETRES A COLONNE LIQUIDE
Leur utilisation est fondée sur le fait que, au sein d'un liquide
continu, dans le champ de pua/iteuA, les surfaces isobares sont des
plans horizontaux.
Tube pÂ.ë.zom&&Uqu.e.
C'est le manomètre le plus simple, constitué
d'un tube vertical ouvert à son extrémité. Le
fluide manométrique est le fluide de l'enceinte
lui-même. La pression motrice étant constante
dans le tube vertical en équilibre, on a évi­
demment : p„ = pgh„ + p .
m n a
Si l'on considère qu'une atmosphère normale
est équilibrée par 10,33 m d'eau, on constate
que les longueurs des tubes piézométriques
peuvent rapidement devenir prohibitives. Bien
que l'on puisse étendre sa gamme de mesure en
substituant à l'ouverture à l'atmosphère une
1 0 contre-pression connue, ce type de manomètre est relativement peu
utilisé industriellement.
iAa.nomo.Viz à ÙLquùlz à ûibz zn U
Le principe est sensiblement le même
que précédemment mais si l'on remarque
que :
on peut songer à utiliser un fluide mano-
métrique plus dense que lee dont il
s'agit de mesurer la pression (mercure
par exemple). On obtient alors le dispo­
sitif schématisé ci-contre.
Si l'on écrit l'égalité des pressions
motrices dans le fluide manométrique et
dans le fluide en expérience au niveau du
plan horizontal NN', il vient :
Si Le fluide est un gaz, p << p^ et on a pratiquement :
Remarque : on peut doubler la précision de ce manomètre en utilisant
la configuration ci-contre si la section du
tube T est très inférieure à celle du tube T'.
En effet, lors des variations de pression appli­
quée dans la branche de gauche, le niveau du
fluide manométrique dans le tube T' restera
sensiblement constant. Il n'y aura donc qu'une
seule lecture à faire au lieu de deux, celle du
niveau dans le tube T.
Manomzt/izi à DEUX Liquldzi
Bien que d'un emploi délicat, ils sont par­
fois utilisés au laboratoire pour la mesure de
la pression différentielle entre deux points
d'un appareil (conduite par exemple).
Ecrivant l'égalité des pressions motrices
dans le plan N'N, il vient :
1 1 Monomè-Cte incJU.no.
Si le déplacement du ménisque x est repéré à
partir de sa position d'équilibre lorsque le
manomètre est ouvert aux deux bouts, on a :
On amplifie donc la sensibilité par le fac­
teur 1/sina.
UlcA.omanomSXfLZ
Si les niveaux sont identiques
dans les deux vases à la pression
p , à l'application d'unen a
p dans la branche de gauche cor­M
respond une dénivellation :
et le déplacement de l'index I est
tel que :
Manom&ùiz à cJLoahz
Leur principe est utilisé dans les gazomè­
tres. Ils sont parfois utilisés au laboratoire
pour transformer une mesure de pression en
mesure de poids en équilibrant partiellement
le poids de la cloche par un contre-poids.
Si et ft sont Les sections intérieure et e
extérieure de La cloche de poids mg, il vient
en négligeant La poussée de l'air sur lae et le poids du gaz
intérieur :
soit :
42 . DISPOSITIFS MECANIQUES ELASTIQUES
On utilise ici la déformation par les forces de pression d'un maté­
riau, généralement métallique, dans son domaine d'élasticité. La défor­
mation est alors sensiblement proportionnelle à la pression.
12 Manom&tnz de BOURDON
C'est le plus utilisé des mano­tub* àt BOUVOM
aiguille mètres. Il existe en une grande
variété de matériaux dont le choix
dépend des conditions d'emploi, du
dtploctmmt domaine de mesure et des problèmes
prtiwm
de corrosion.
crémailière
Il est possible d'admettre des
pressions différentes de part et
d'autre de l'élément élastique.
douille
Jaugea à dùiphAagtm
Elles peuvent être composées de capsules
constituées de deux diaphragmes soudés. Les
capsules sont associées en séries pour augmen­
CAPSUL E ter la sensibilité.
Dans d'autres configurations, il existe un
seul diaphragme composé d'une membrane élasti­
que et reliée à un ressort qui s'allonge
proportionnellement à la force qui s'exerce
sur la membrane.
Pression
Nanomètres à soufflets
Ces jauges existent avec ou sans
ressort de réaction.
Elles sont bien adaptées à la mesure
des pressions absolues. On mettra par
exemple, dans la configuration de droite,
l'intérieur de la capsule sous vide.
Pression
Jaugea de c.oni/uu.nte.
Ce sont de petites résistances
fixées à plat sur un support. Ce
support est collé sur un diaphragme
qui transmet ainsi ses déformations
à l'élément résistif dont la résis­
tance varie par allongement. Le
dispositif est raccordé à un pont
de WHEATSTONE.
13 Jauge* piê.zoA.&><L&£LveA
Le diaphragme transmet une contrainte à un semi-conducteur dont la
résistance varie avec la pression. Ces éléments sont également inclus
dans un pont. Il est possible de recueillir un signal de 100 mV/volt.
Jaugea pL&zoêZzeA/UqueJ>
La pression génère sur un cristal piézoélectrique une différence de
potentiel proportionnelle à la contrainte de pression.
L'impédance électrique de ces cristaux est très élevée à basse fré­
quence et on ne peut donc guère mesurer que des pressions qui varient
rapidement. Ces jauges sont peu adaptées aux mesures statiques.
43. ETALONNAGE DES JAUGES (balances manométriques)
Pour les faibles pressions, on compare l'indication des jauges à
celle d'un manomètre à colonne liquide ou d'un manomètre étalon de
précision.
Pour les hautes pressions, on utilise des bancs d'étalonnage hydrau­
lique à contre-poids comme schématisé ci-dessous.
IPOIDS P
plOtNU
.piston
nam
„CYLMDRE RESERVOIR
'D'HUILE
iouoe à étoboner
vonnt
PISTON TENANT à mointrnir IT
plot «ou DONS une mime POSITION
Wizontole (REPÈRE)
44. PROBLEMES PARTICULIERS POSES PAR LA MESURE DES PRESSIONS
VomcUnz de. MEIATE
Domaine de pressions (bars)
Type d'appareil
S 3 2 1 1 2 3
10" 1(f* 10~ 10~ 10~ 10° 10 10 10 10*
Colonne liquide
MembranMembranMembranMembranMembranMembranMembrane e e e e e e
Capsule
Soufflet
Bourdon
Balances
Semi-conducteurSemi-conducteurSemi-conducteurSemi-conducteurSemi-conducteurSemi-conducteurSemi-conducteurs s s s s s s
14 Problèmes thermiques
H est frequent que L on ait a mesurer des pressions de fluide a
température élevée.
Il convient d'isoler le manomètre en utilisant des lyres remplies
de condensât pour les mesures effectuées sur la vapeur ou des tubulu­
res munies d'un échangeur concentrique pour les fluides chauds.
Dans le cas des dispositifs électroniques, la température est li­
mitée par la tenue de l'élément de mesure (lae maximale ad­
missible est de l'ordre de 100 °C).
Lors de la mesure de pression sur des fluides froids, il faut éviter
la congélation dans l'élément de mesure.
?iobl$.mM dz cowio&Àjon
On construit à l'heure actuelle des manomètres métalliques en acier
inoxydable qui permettent de résoudre un grand nombre de problèmes.
Si aucune nuance d'inox ne per­huile
met de résoudre le problème, on
isole le manomètre par une membrane
élastique résistant à la corrosion.
La pression est alors transmise par
un fluide auxiliaire (huile).
fluide expérimental
Pite&loru, pul&ajùiiceA tt coupi de bèXcet
Il convient de filtrer le signal soit en plaçant une résistance hy­
draulique (restriction) avant le manomètre soit en utilisant un amor­
tisseur mécanique du commerce.
Notons que l'on dispose à l'heure actuelle de dispositifs de mesure
qui résistent à une "poussée" accidentelle de pression de l'ordre de 10
fois la pression nominale sans destruction.
NonmaLC&ation
Nous citons ici les Normes Françaises relatives à l'utilisation des
manomètres industriels.
NF E 15-012 (août 1982) : manomètres métalliques. Eléments de rac­
cordement.
NF E 15-013 (août 1980) :s métalliques indicateurs.
Cadrans.
NF E 15-025 (nov. 1978) : manomètress pour faibles pres­
sions ou dépressions.
NF E 15-026 (juil. 1979) :s métalliques indicateurs à ca­
dran, jusqu'à 1600 bars.
NF E 15-027 (mars 1981) : manomètress indicateurs.
Essais de réception.
NF E 15-028 (avril 1982) : vocabulaire utilisé pour les manomètres
métalliques à cadran.
NF E 15-031 (fév. 1981) : manomètres métalliques enregistreurs.
Le lecteur concerné par ces problèmes pourra consulter la référence
(1) en ce qui concerne les notions générales, la normalisation et les
fabricants français de tels appareillages. La référence (2) concerne
plus spécialement l'installation des dispositifs de mesure et leur con­
trôle.
15 5. MESURE DE NIVEAUX
La mesure des niveaux est également un problème industriel important
qui suit logiquement la mesure des pressions. Effectivement, outre une
mesure géométrique directe d'un niveau, il est possible, d'après le
principe fondamental de l'hydrostatique, de repérer un niveau par une
mesure de pression.
51. METHODES USUELLES
Les dispositifs à ££o£teuAJ> sont certaine­
ment les moins coûteux.
* Il peut se former des dépôts sur les
flotteurs avec danger de blocage.
* La hauteur utile ne dépasse guère 2 à 3 m,
hauteur au-delà de laquelle il peut se poser
des problèmes mécaniques d'alignement.
Un autre dispositif consiste en un cylindre
vertical soumis à la poussée d'Archimède, géné­
ralement disposé dans une tubulure latérale.
La poussée peut être traduite par un disposi­
tif adéquat en signal électrique. Le calage du
zéro dépend de la disposition géométrique du
système.
Pour les fluides peu visqueux, il est possi­
ble d'utiliser un "bulleur". On mesure la pres­
sion nécessaire pour envoyer un train continu
de bulles dans le réservoir. Cette pression est
une mesure de la charge hydraulique au-dessus
de l'orifice de sortie. La fréquence de bullage
est de l'ordre de 1 à 2 bulles par seconde.
Il est également possible d'utiliser une
mesure de pression, l'élément sensible pouvant
être isolé par une membrane anti-corrosion.
Lorsque le réservoir est sous pression, on
effectuera une mesure différentielle.
16 52. JAUGES CAPACITIVES
On utilise une électrode cylindrique centrale dans
les réservoirs métalliques. Il est ainsi possible de
construire un condensateur dont la capacité dépend de
la constante diélectrique du gaz E^. et de celle du
liquide EL ainsi que de la hauteur d'électrode immer­
gée. La capacité est mesurée par un pont alimenté
sous haute fréquence (1 MHz). Le signal est alors de
l'ordre de 4 à 2 0 mA.
Lorsque le liquide est conducteur, le courant
s'écoule entre les deux électrodes et le signal n'est
pas linéaire. On isole alors l'électrode (téflon).
Pour les réservoirs de grandes dimensions, le signal est faible. De
plus la technique n'est plus applicable aux réservoirs isolants. On
utilise alors deux électrodes concentriques.
Ce dispositif est applicable à la détection d'un interface liquide-
liquide pourvu que leurs constantes diélectriques soient différentes.
Il existe des dispositifs à compensation de température. Ce système
n'exige aucune maintenance s'il ne se forme pas de dépôts sur les
électrodes.
53. JAUGES ULTRASONIQUES
Un train d'ondes ultrasoniques est envoyé perpendiculairement sur la
surface du liquide. Il y a alors reflexion dans l'air ou la vapeur et
la mesure du temps nécessaire pour l'émission-reflexion permet d'éva­
luer le niveau du liquide.
Avec ce système, aucune partie du dispositif de mesure n'est en
contact avec le liquide (application aux métaux fondus).
* La mesure est indépendante des propriétés physiques du liquide ;
* elle dépend des caractéristiques de la vapeur ;
* la turbulence de la surface peut nuire à la reflexion correcte du
train d'ondes ;
* la présence de poussières dans la vapeur peut disperser le signal.
54. UTILISATION DE RADIOEMETTEURS
On utilise un émetteur ponctuel
ou cylindrique et une série de
récepteurs.
* Le dispositif est entièrement
externe.
* On utilise généralement du
Césium 137 dont la demi-vie est de
33 ans (décroissance annuelle de 2
à 3 '/. nécessitant un recalibrage
périodique).
* Le signal dépend de la masse
volumique du fluide. On peut prévoir
une compensation de température.
Cette technique résout en principe tous les problèmes qui peuvent se
poser mais compte-tenu des problèmes de radioactivité, elle n'est envi­
sagée que lorsque les dangers présentés par le fluide sont supérieurs
17 aux inconvénients de l'utilisation de sources radioactives (produits
hautement toxiques).
Le lecteur concerné par les problèmes de contrôle de niveau pourra
consulter les références (3-6).
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
(1) Anonyme, Info Chimie, 231, 251, 1982.
(2) MASEK, J.A. : Chem. Engineering, 113, nov. 15, 1982.
(3) SMITH, CL . : Chem. Engineering, april 3, 1978.
(4) ZIENTARA, D.E. : Chem., sept. 11, 1972.
(5) LAZENBY, B. : Chem., 88, janv. 14, 1980.
(6) SCHNEIDER, H.J. : Chem. Ing. Tech., 55, 767, 1983.
18 Chapitre 2
Relations fondamentales
de la dynamique des fluides parfaits
INTRODUCTION
C'est dans ce chapitre que nous introduisons Les hypothèses fonda­
mentales qui permettent d'aborder l'étude du mouvement des fLuides avec
les méthodes de L'analyse différentielle classique. Ces hypothèses
permettent également d'établir le lien entre les forces d'inertie, les
forces de pression et les forces de gravité dans le cadre de ce que
l'on appelle "la mécanique des fluides parfaits" (sans frottements).
Nous aboutirons ainsi à l'énoncé des trois bilans fondamentaux
qu'il convient de bien assimiler :
* le bilan de matière (équation de conservation)
* len de quantité de mouvement ou bilan de force (théorème
d'EULER)
* le bilan d'énergie mécanique (équation de BERNOULLI ) .
1. DISTINCTION ENTRE FLUIDES PARFAITS ET FLUIDES VISQUEUX
Considérons une enveloppe cylindrique
et un noyau cylindrique de même axe sus­
pendu à un fil de torsion. L'espace
. fil de torsion
annulaire est rempli du matériau à étu­
dier.
Si l'on fait tourner l'enveloppe exté­
rieure à une vitesse constante u, plu­motenou
sieurs phénomènes peuvent se produire : o l'étude
* le cylindre intérieur ne bouge pas. Les
frottements tangentiels sont nuls. On
dira par définition que le fluide est
PARFAITement fluide ou non u-coqueux
(certains auteurs adoptent la dénomina­
tion de fluide pascalien).
* le cylindre intérieur tourne à la même
vitesse que l'enveloppe extérieure. On a
un iolÀAz parfaitement -t-cg-ûfe.
* le cylindre tourne d'un angle a' et se stabilise à cette position : le
couple de torsion équilibre les forces tangentielles transmises par le
fluide ; on a alors un iùiidz K&eZ ou v-taqueux.
19 Donc le fluide parfait ne transmet pas les frottements. En particu­
lier nous avons vu au paragraphe 1 (chapitre I) que la pression était
normale à tout élément de surface d'un fluide au repos. Si c'est
encore vrai lorsque le fluide est en mouvement, alors le fluide est
par définition parfait. Nous verrons qu'il n'en est plus de même pour
les fluides visqueux dont le déplacement fait apparaître des contrain­
tes tangentielles dues au frottement visqueux.
Remarque : tout fluide possédant une viscosité, le fluide parfait
est une fiction, un cas limite idéal dont se rapprochent plus ou moins
les fluides réels. C'est en ce sens que la notion de fluide parfait
est comparable à celle de gaz parfait.
2 . HYPOTHESES DE LA QUASI-CONTINUITE DU FLUIDE ET DE LA
PERMANENCE DE L ECOULEMENT
21. NOTION DEE
Comme pour les études de mécanique classique, l'étude de la mécani­
que des fluides fait appel à la dynamique du point matériel. Il semble­
rait assez logique de choisir comme point matériel le grain de matière
élémentaire, c'est-à-dire la molécule.
En fait et compte-tenu du mouvement brownien, il est impossible
d'affecter à une molécule, à un instant donné, une température
(c'est-à-dire une énergie) et des coordonnées spatiales précises. On
est alors obligé de rentrer dans le domaine des études statistiques qui
sortent du cadre du présent ouvrage. On effectuera donc a priori cette
1 2 l sstatistique en raisonnant sur des paquets de 10 à 10 molécules
contiguës que nous appellerons des "agrégats".
On affecte en général un "agrégat" de fluide, de coordonnées spatio­
temporelles (x, y, z, t) , d'une vitesse u, d'une masse volumique p et
éventuellement d'une température T, toutes ces grandeurs étant ramenées
au centre de gravité du globule considéré. En fait, cet agrégat est
constitué de molécules possédant chacune leurs caractéristiques pro­
pres. L'hypothèse de la quai-i-cx>rvtiniuXë. consiste à supposer que la
fluctuation des paramètres précités autour de leur valeur moyenne est
négligeable. L'échelle de cet agrégat est d'ailleurs tout à fait rela­
tive dans la mesure où, dans les problèmes d'aérologie, la particule
fluide peut avoir des dimensions de l'ordre du mètre alors que dans les
problèmes de couche limite que nous verrons plus loin, sa dimension
sera de l'ordre de la dizaine de microns.
22. TRAJECTOIRES ET LIGNES DE COURANT. ECOULEMENT PERMANENT
Considérons à l'instant t un 0
z Le s agrégat fluide M (x, ïof o*•
0 0
coordonnées de cet agrégat à l'ins­
tant t sont appelées MCVÙAblzi, dz
LAGRANGE. Le mouvement du fluide
est connu si l'on connait sa
tAajzcJtoifiZ c'est-à-dire la posi­
tion du globule au cours du temps.
Cette trajectoire est solution du
système d'équations différentielles
dx _ dy _ dz _ .
(2>1>
ù~Tt7 " û~7tT ~ ûTET "
x y z
20 En pratique, en raison des mouvements propres des molécules, un
globule fluide ne conserve pas longtemps son individualité et il est
difficile de définir sa trajectoire. La vitesse en un point est une
grandeur plus intéressante à connaître, qui a l'avantage d'être acces­
sible à l'expérience. Les projections u , u , u de la vitesse u du x y 2
globule M(x,y,z), à l'instant t, sont appelées vaAlablzi d'EULER. Ainsi
chaque point de l'espace à l'instant t peut être affecté d'un vecteur
û". L'ensemble de ces vecteurs constitue le champ dz viXzi&z.
On appelle Lignz dz counawt, une courbe tangente en chacun de ses
points au vecteur 3 affecté à ce point. Ainsi les lignes de courant à
un instant t donné sont solutions du système d'équations : 0
(2.2 )
En général, comme le montrent les relations (2.1 ) et (2.2), les
trajectoires traduisent l'évolution tempoieJULe. de la vitesse pour un
agrégat donné tandis que les lignes de courant traduisent l'évolution
ipattaZz de la vitesse à un instant donné.
Un écoulement est peAmanznt lorsque le champ de vitesse ainsi que la
pression et la masse volumique ne dépendent pas du temps. En consé­
quence :
* u n'est fonction que de x, y, z ;
* les lignes de courant sont des courbes fixes, confondues avec les
trajectoires.
L'ensemble des lignes de courant
s'appuyant sur une courbe fermée arbi­
traire constitue un -tube de. coulant. La
vitesse est donc tangente en tout point
de la surface du tube que le fluide ne
peut franchir. Autrement dit le débit
massique qui suit un tube de courant est
constant en régime permanent. lube de courant
Ainsi, une conduite cylindrique peut
être considérée comme un tube de cou­
rant .
A l'aide de ces hypothèses, nous allons effectuer trois bilans fon­
damentaux :
* un bilan de matière qui conduira à l'équation de conservation ;
* unn de force quia au théorème d'EULER ;
* un bilan d'énergie qui conduira àn de BERNOULLI .
21 3 . EQUATION DE CONSERVATION
31. CONSERVATION DE LA MASSE DANS UN ECOULEMENT MONODIMENSIONNEL
Considérons un élément dé tube
de courant limité par les sections
normales centrées en C et C.
s représente l'abscisse curviligne
prise le long du tube et fi l'aire
de la section droite.
Le bilan massique s'écrit :
débit massique entrant par il
débite sortant par (ft+dft)
+
débit d'accumulation
(2.3) soit :
En particulier : * dans le cas du n&QÂjme. peAmanent :
(2.4) pfiu = Cte
le débit massique est le même en toute section du tube de courant.
* dans le cas du £Zwide. Ajiccmpn.U6A.blo. en régime per­
manent, le cas le plus fréquent en pratique :
Ou = Cte <2.5)
Le débit volumique est conservé dans un tube de courant.
32. GENERALISATION AUX ECOULEMENTS TRIDIMENSIONNELS
Un raisonnement analogue au précédent effectué sur un parallélépipède
de côtés dx, dy, dz conduit à :
(2.6) soit :
Enfin s'il existe des sources ou puits à l'intérieur du volume consi­
déré, nous avons la forme générale :
(2.7)
où q est le débit volumique positif pour une source, négatif pour un
puits.
22