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John Stuart Mill (volume second)

De
242 pages
A la fois théorique et pratique, la philosophie de John Stuart Mill concerne ce qui est objet de la science qui permettra la connaissance de ses lois. Dans son aspect pratique, elle se préoccupe de "ce qui doit être", c'est-à-dire l'ensemble des préceptes qui règlent la morale, la politique et l'esthétique, qui composent ce que Mill appelle l'Art.
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Introduction :
La philosophie de Mill est à la fois théorique et pratique. Mais si nous avons préféré distinguer la philosophie théorique de la philosophie pratique c’est en raison de la distinction faite par Mill entre leurs fondements respectifs qui sont la philosophia prima de la science et la philosophia prima de l’art ou de la pratique(1). Le premier fondement concerne la philosophie théorique, celle qui se préoccupe de la science, de ses principes, de ses méthodes, elle est synonyme d’épistémologie. Le second concerne la philosophie pratique qui s’occupe de la morale, de la politique et de l’art. Mais cette réponse millienne relative à la question des fondements est insuffisante. D’abord, Mill ne spécifie pas la nature de la philosophia prima de la science. Ensuite, il résume la philosophia prima de l’art en le principe d’utilité mais nous savons qu’il ne s’agit pas de la même acception du principe d’utilité que celle défendue par Bentham car il l’a déjà critiquée et il s’est séparé de lui à propos du fondement même du principe d’utilité. Enfin, demeure la question de l’unité de la philosophie de Mill qui ne peut se réaliser qu’une fois admise l’unité des deux philosophiae primae à partir de fondements qui demeurent tacites et qu’il s’agit d’exprimer à partir du projet millien de la philosophie de l’expérience qui se fonde sur une logique de l’expérience et sur l’ontologie lui correspondant. Dans cette partie, nous présentons une vue générale de la philosophie de l’expérience que Mill projette de fonder et qui est le substitut d’une philosophie de l’intuition, une réforme de l’utilitarisme et une mise à distance de l’empirisme idéaliste de Locke, de l’empirisme nominaliste de Hobbes, et de l’empirisme psychologiste de Hume. Cette philosophie de l’expérience répond à la fois à un besoin théorique : la garantie de l’unité et de la cohérence de la connaissance et de l’action et un besoin pratique qui consiste à réformer notre vision du monde et de la société en vue de l’action.
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Mill, Système de logique, livre VI, chap. XII, p. 558.

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Cette unité à partir des fondements n’est que pragmatique chez Mill, puisqu’il ne la présente pas de manière explicite, claire et distincte. C’est pour cette raison que nous l’avons cherchée dans sa logique et dans son ontologie qui en constituent les fondements inséparables ou pratiquement indiscernables. Ces fondements onto-logiques sont à l’œuvre dans l’épistémologie millienne, dans sa morale, sa politique et son esthétique. Ce constat nous a amenée à les montrer tels qu’ils se manifestent dans le traitement millien des fondements des mathématiques, des sciences de la nature, des sciences morales, de la morale, de la politique et de l’esthétique. Notre croyance en l’existence de fondements onto-logiques de la philosophie millienne, qui en constituent l’unité et la cohérence et qui peuvent être inférés à partir de l’acte millien fondateur dans chaque science et dans chaque branche de l’art, explique à la fois l’unité des fondements et la multiplicité des chapitres de cette partie. Dans chaque chapitre nous repèrerons les fondements onto-logiques que Mill admet sans les exposer et sans les analyser. Il pourrait sembler que l’unité des fondements onto-logiques exige l’unité d’une seule logique, celle de l’expérience. Mais nous savons que Mill distingue la logique de la science de celle de l’art à laquelle il réserve le chapitre XII du livre VI du Système de logique. Cette distinction ne remet pas en question l’unité de la logique et son universalité en tant que logique inductive comme le signale Mill dans le premier chapitre du livre VI dont fait partie la logique de l’art : « En résumé, tout ce qu’un ouvrage comme celui-ci peut faire pour la logique des sciences morales l’a été, ou a dû l’être, dans les cinq livres précédents. Le présent livre ne peut donc être qu’une sorte de supplément ou d’appendice, puisque les méthodes d’investigation applicables aux sciences morales et sociales doivent avoir été déjà décrites, si j’ai réussi à énumérer et à caractériser celles de la science en général »(2). L’induction demeure le fondement aussi bien de la science que de l’art et toute distinction entre les deux, relève d’une différence des méthodes les plus adaptées à un domaine ou à l’autre et qui dépendent principiellement de cette logique inductive ou celle de l’expérience et
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Mill, Système de logique, livre, chap. I, p. 41.

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de l’ontologie qui en constitue l’autre face. Ces méthodes demeurent identiques malgré leur apparition multiple à travers les différentes parties de la science et de l’art. Pour des raisons de méthode, nous avons choisi certaines sciences qui nous semblent les plus représentatives de la philosophie théorique de Mill. Il s’agit des mathématiques, de la physique et de l’économie politique dont les fondements onto-logiques sont traités dans les trois premiers chapitres de cette partie. Par contre, nous avons gardé les trois constituants de l’art (morale, politique et esthétique) que Mill a unifié dans ce qu’il nomme « l’Art de la vie » mais dont nous étudions les fondements à travers ceux de la morale dans le chapitre IV, de la politique dans le chapitre V et de l’esthétique dans le chapitre VI. La recherche des fondements ne nous permet pas uniquement de saisir la cohérence de la philosophie millienne mais de découvrir la place singulière qu’elle occupe dans l’histoire de la philosophie car elle a substitué à la critique de la raison humaine une critique de la logique et de l’ontologie lui correspondant ce qui permet de fonder non pas un système du monde ou un système des connaissances mais un système de logique qui pose les jalons de la philosophie analytique et du positivisme logique qui lui succéderont.

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Chapitre I Les fondements onto-logiques des mathématiques
Première section : Le problème des fondements des mathématiques chez Mill La position millienne relative aux mathématiques n’a pas laissé indifférents ceux qui ont participé au débat soulevé autour de leurs fondements. Ce débat qui a commencé au XIXe siècle et qui s’est prolongé au XXe siècle fut animé par Frege, Russell, Ayer, Carnap et Quine(1). Mill est considéré comme une figure importante du débat autour des fondements des mathématiques en essayant, à partir de la logique de l’expérience, d’éliminer l’a priori et l’analycité du domaine de la géométrie aussi bien que de celui de l’arithmétique qui ne reposent pas sur des fondements nécessaires et a priori. Cette position de Mill contre le caractère a priori et analytique des mathématiques et bien que prolongée par Quine, lui valut le plus de critiques aussi bien de la part des commentateurs tels que Leslie Stephen, Jackson, et Anschutz, que de celle des philosophes parmi lesquels figurent essentiellement Frege, et Ayer. Ayer résume le point de vue de Mill comme suit : « La thèse que les vérités de logique et de mathématiques ne sont pas nécessaires ni certaines a été adoptée par Mill »(2). Il récuse cette thèse millienne en ces termes : « Je ne pense pas que cette solution de la difficulté de l’empirisme au regard des propositions de la logique et des mathématiques, soit acceptable »(3). La position de Ayer est compréhensible en raison des divergences doctrinales importantes entre les deux philosophes. Ayer n’estime pas
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Frege et Russell ont porté leur intérêt sur la formalisation des mathématiques alors que Carnap et Ayer ont essayé de formaliser tout langage y compris celui des mathématiques et de la métaphysique. (2) Ayer, A. J., Langage, vérité et logique, trad. d'Ohana, Paris, Flammarion, 1956, p. 100. (3) Ayer, A. J., Langage, vérité et logique, p. 101.

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les mathématiques comme une science car elles ne sont pour lui qu’une suite de tautologies alors que pour Mill il n’y a aucune distinction entre les mathématiques et les sciences de la nature puisqu’elles ont toutes les mêmes fondements et qu’elles adoptent les mêmes méthodes. Une autre différence réside dans le fait que, se réclamant du positivisme logique, Ayer accorde un rôle capital à l’usage de la logique formelle alors que Mill ne la considère que comme une application de la logique de l’expérience. Toutes ces divergences convergent en une différence essentielle, celle relative à la nature des vérités mathématiques qui sont nécessaires et certaines pour Ayer et qui sont hypothético-déductives pour Mill. Malgré ces critiques, il nous semble que ce qui demeure essentiel dans la théorie millienne des mathématiques c’est le rejet de l’a priori et la remise en question de l’idéalisme kantien ainsi que l’adoption d’une théorie constructiviste à propos des mathématiques. Mais la critique la plus acerbe et la plus influente qui fut adressée à Mill est celle de Frege. Dans l’introduction de son ouvrage consacré aux fondements de l’arithmétique, Frege critique Mill et le déconsidère en ces termes : « Souvent, il fallut un immense travail intellectuel, qui dura des siècles, avant qu’on ne parvienne à connaître un concept dans toute sa pureté, à le dépouiller de toutes les enveloppes qui le dérobaient au regard de l’intellect. Que dire quand, au lieu de poursuivre ce travail là où il ne semble pas achevé, on le méprise, quand on s’adresse à l’école maternelle, quand on se tourne vers les plus anciennes étapes de l’évolution de l’humanité que l’on puisse imaginer, pour découvrir, comme John Stuart Mill, une arithmétique de nonettes ou de cailloux ? Il ne manque plus que d’attribuer à la saveur d’un mets une signification particulière ! Pour le concept de nombre ce serait l’inverse d’une conduite rationnelle, et en tout cas, un procédé aussi peu mathématique que possible »(4).
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Frege, Gotlob, Les Fondements de l’arithmétique, Recherche logicomathématique sur le concept de nombre, trad. et introduction de Claude Imbert, Paris, Éditions du Seuil, 1969, p. 120. La critique adressée par Frege à Mill est à placer dans son contexte. Frege définit les propositions de l’arithmétique comme des

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D’après Frege, Mill serait à contre-courant d’une évolution continue des mathématiques qui œuvre à les détacher de plus en plus de l’expérience et à avancer au-delà de leur genèse et de leur passé révolu. Ainsi, la position millienne à propos des mathématiques, telle qu’elle est décrite par Frege, illustre l’irrationalité d’une théorie qui se situe en dehors de la science et par conséquent de toute critique valable. Mais Frege a utilisé la théorie millienne de l’arithmétique pour détruire, à travers elle, tout fondement empirique des mathématiques comme il l’affirme dans l’introduction de son ouvrage : « Les philosophes recevront cet ouvrage différemment suivant leur point de vue. Mais, à coup sûr le plus mauvais accueil sera celui des empiristes, car ils n’admettent aucun type primitif d’inférence que l’induction, qu’ils entendent d’ailleurs non pas comme une inférence mais comme une habitude »(5). Il est clair que la philosophie de Mill ne constitue qu’un prétexte qui permet à Frege la critique de l’empirisme auquel Mill n’est pas toujours fidèle ; lorsque ce dernier examine l’induction, il la considère comme un procédé logique et non comme une habitude comme c’est le cas pour les empiristes. Cette stratégie adoptée par Frege connaît des failles lorsqu’il se trouve obligé de critiquer la théorie millienne des fondements de l’arithmétique à plusieurs reprises alors qu’il l’a considérée auparavant comme irrationnelle et indigne de la science. Frege oscille ainsi entre une approche globale, négative et dévalorisante de la philosophie millienne de l’arithmétique et une approche plutôt positive et à certains moments valorisante comme lorsqu’il lui reconnaît un certain : « bon sens qui étouffe parfois le préjugé empiriste »(6).
propositions analytiques et a priori et pour ce faire, il est obligé de s’attaquer à l’empirisme qui est le mieux représenté par Mill selon lui. Cette attaque de l’empirisme fit oublier à Frege certains aspects logiques de l’empirisme millien voire même d’un certain logicisme qui fut adopté et défendu par Frege dans ce même ouvrage et qui le rapproche de Mill dans leur rejet commun du psychologisme. (5) Frege, Gotlob, Les Fondements de l’arithmétique, Introduction, p. 122. (6) Frege, G., Les Fondements des mathématiques, p. 145, note 1.

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Une telle attitude ambiguë illustrée par les commentateurs de Mill, est due, selon Skorupski, à la précipitation, à l’examen superficiel de la théorie millienne des mathématiques et surtout à la mauvaise interprétation qui lui en est donnée(7). Ce n’est que tardivement et à partir des années quatre-vingt que la théorie millienne des fondements des mathématiques est examinée sérieusement et évaluée à sa juste valeur. Glenn Kessler(8) en 1980 porte une correction importante aux critiques adressées par Frege à Mill. Plus récemment, Philip Kitcher illustre un autre point de vue dans un article consacré à cette question(9). Cet article est important, non seulement en raison de la méthode qu’il propose et qui consiste à placer la théorie millienne des mathématiques dans son contexte philosophique et historique, mais surtout parce qu’il insiste sur l’aspect ontologique et logique des fondements des mathématiques chez Mill, même si parfois ils ne sont pas toujours reconnus explicitement. Nous montrerons dans ce chapitre les formes que revêtent ces deux aspects chez Kitcher. Avant d’aborder la théorie millienne relative aux fondements des mathématiques, nous tenons à la placer dans son contexte philosophique et historique. Nous disposons d’une double conception relative au premier et au deuxième contexte. Il y a deux lectures du contexte philosophique dont l’une est proposée par Stephen Leslie et l’autre par Skorupski. Dans son ouvrage The English Utilitarians, Leslie place la théorie millienne des mathématiques dans un contexte logique et lui réserve, suite à cette lecture, la section III de son second chapitre intitulé “Mill’s Logic”. Skorupski traite cette question comme
Skorupski, J., John Stuart Mill, Routledge, 1989 chap. 5, p. 127 “This being so, his treatment of them is in many aspects undeniably ill considered or at best soppy; yet it repays careful reading. Mill’s view of geometry is intricate and sophisticated, though excessively compressed”. (8) Kessler, Glenn, “Frege, Mill and the Foundations of Arithmetic”, Journal of Philosophy (LXXVII), 1980, p. 65-74. (9) Kitcher, Philip, “Mill, Mathemathics, and the Naturalist Tradition”, The Cambridge Companions to Mill, edited by John Skorupski, Cambridge, Cambridge University Press, 1996, p. 57-101.
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illustrant l’empirisme millien manifesté aussi bien par la logique que par les mathématiques en lui réservant le chapitre V de son ouvrage intitulé John Stuart Mill. La divergence entre ces deux commentateurs est due au privilège qu’accorde chacun d’eux soit à une lecture logique de la philosophie millienne soit à une lecture ontologique qui met l’accent sur l’empirisme de Mill. Nous essayons de tenir compte des aspects de la philosophie millienne apparaissant à l’occasion de sa théorie des mathématiques. Quant au contexte historique, nous disposons de deux lectures. Il y a d’abord celle de Anschutz qui décrit le contexte historique comme comprenant trois grandes théories : la théorie intuitionniste, la théorie nominaliste et la théorie expérimentaliste. Cette lecture est plus conforme à ce que Mill a annoncé dans le Système de logique. Par contre, Kitcher réduit la description précédente à deux conceptions : la conception transcendantaliste des fondements des mathématiques qui repose sur les conditions humaines de la possibilité de la connaissance et qui est représentée par Kant et Whewell, et la position naturaliste qui met l’accent sur l’idée des sujets humains comme faisant partie de la nature. Nous ne pouvons adopter la classification de Kitcher pour deux raisons ; en premier lieu, parce qu’elle néglige la classification que Mill lui-même a présentée dans le Système de logique et qui est très importante car c’est par rapport aux trois théories décrites qu’il va se situer et prendre position ; en dernier lieu, parce que la classification bipartite proposée par Kitcher trahit le texte de Mill en lui imposant une lecture naturaliste qui néglige les différentes nuances séparant Mill des représentants du naturalisme tels que Aristote, Locke et Hume. Une telle attitude a pour conséquence fâcheuse de simplifier la théorie millienne qui se distingue par sa complexité et qui se construit à partir de sa position vis-à-vis des trois théories reconnues à son époque. Pour toutes ces raisons, nous demeurons fidèle aux textes de Mill où il traite la question des fondements des mathématiques même si nous sommes obligée, dans les limites de notre lecture,

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d’approfondir et d’élargir cette conception en appliquant à la lecture de Mill les mêmes procédés qu’il a lui-même appliqués à sa lecture de l’utilitarisme(10). Nous privilégions dans notre analyse des fondements des mathématiques le Système de logique à la différence de certains commentateurs, comme Anschutz, qui placent les trois ouvrages où Mill traite des mathématiques sur un même pied d’égalité. Nous ne cherchons pas à montrer les oppositions entre le Système de logique, l’Examen de la philosophie de Sir Hamilton et l’Autobiographie car nous estimons que Mill a traité la question des mathématiques en prenant dans chaque ouvrage une position adéquate à la difficulté qu’il y traite. Dans l’Autobiographie, par exemple, Mill n’examine pas les fondements des mathématiques mais plutôt l’opinion qui les considère comme une science des vérités nécessaires, présentée comme le fondement d’une philosophie conservatrice qui légitime ses vérités a priori en morale et en politique par celle des mathématiques et de la logique comme il l’affirme : « Et la grande force de cette fausse philosophie dans la sphère éthique, politique ou religieuse réside dans son recours fréquent aux preuves mathématiques et à celles des branches parentes de la science physique. Or, en s’efforçant d’élucider la vraie nature de la preuve des vérités mathématiques et physiques, mon système de logique rencontre les philosophies de l’intuition sur un terrain qui avait toujours paru leur appartenir en propre »(11). Dans l’Autobiographie, Mill insiste sur l’usage philosophique que l’école intuitionniste fait des mathématiques. Le souci de Mill, dans ce texte, n’est pas un souci épistémologique mais philosophique : il regroupe à la fois science et art et il cherche à éradiquer la philosophie de l’intuition en sapant ses propres fondements. Dans l’Examen, Mill traite de la question de l’utilité des mathématiques dans la formation intellectuelle des individus contre Hamilton qui insiste sur leur inutilité et ne leur reconnaît qu’une seule vertu : le développement des facultés psychiques telles que l’attention et la concentration. C’est donc en raison de la spécificité de notre sujet
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Cf., supra, Première partie, chap. II. Mill, Autobiographie, chap. VII, p. 192.

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relatif aux fondements des mathématiques que nous nous confinons au Système de logique. La question des fondements des mathématiques comprend deux questions que certains commentateurs, tels que Jevons, n’ont pas essayé de distinguer. Jevons n’a pas compris Mill, selon Jackson, parce qu’il a confondu deux types de questions, une question épistémologique relative à l’évidence sur laquelle se fondent les axiomes et une question psychologique, celle des causes qui produisent la croyance en ces axiomes mathématiques(12). Afin d’éviter une telle confusion, nous traitons ces deux questions dans deux sections distinctes de ce chapitre : la deuxième et la troisième section. La deuxième section est réservée aux fondements ontologiques des mathématiques et traite de la question de la nature des entités qui les fondent en tant que sciences et de celle des fondements logiques qui légitiment leurs vérités. Mais au cours de notre analyse nous indiquons que cette distinction entre les fondements ontologiques et les fondements logiques n’est que d’ordre méthodologique car ce qui relève de l’ontologique chez Mill n’est pas indépendant de ce qui relève du logique. La troisième section sera consacrée aux fondements de notre croyance en la certitude des vérités mathématiques qui sont nécessairement et universellement vraies. Deuxième section : Les fondements onto-logiques des mathématiques avons noté dans la partie précédente que la détermination du fondement ontologique de la logique était négative et implicite puisque Mill recherche « les choses désignées par les noms », elle est
Reginald Jackson, An examination of the Deductive Logic of J. S. Mill, London, Oxford University Press, 1941, chap. XIV: “Deductive Science”. Selon nous, Mill ne confond pas ces deux types de questions puisqu’il les traite séparément dans des chapitres indépendants ce qui révèle sa conscience de leur différence. Mais la confusion est faite par les commentateurs parce qu’ils ne distinguent pas la question du fondement ontologique qui est traitée dans le chapitre V de la deuxième partie du Système et celle du fondement logique qui est traitée dans les chapitres VI et VIII de la même partie.
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au contraire positive et explicite pour les mathématiques. Cette recherche est annoncée par Mill en ces termes : « Ceux qui disent que les prémisses de la géométrie sont des hypothèses ne sont pas tenus de soutenir que ce sont des hypothèses sans rapport avec les faits. Une hypothèse établie en vue d’un résultat scientifique devant se rapporter à quelque existence réelle, (car il n’y a pas de science des non-entités), il suit qu’une hypothèse instituée pour nous faciliter l’étude d’un objet, doit ne rien impliquer de manifestement faux et contraire à la nature de cet objet »(13). Mill affirme que toute science se rapporte à un objet qui possède un ensemble de propriétés qu’elle étudie en utilisant des hypothèses. De même les mathématiques ont recours, comme toutes les sciences, à des hypothèses mais qui ne sont pas arbitraires car elles se fondent sur des entités. Mais à la différence des autres sciences traitant des raisonnements, elles présentent des objets tels que les nombres et les formes géométriques qui n’existent pas en réalité en tant que données sensibles mais qui ont pour le mathématicien et le commun des mortels une existence puisqu’elles forment des entités. Nier l’existence de telles entités c’est annihiler les mathématiques en tant que science puisque toute science doit être celle des entités correspondant à leur objet, et puisque les entités mathématiques ne sont ni données immédiatement dans l’expérience ni posées par l’esprit, étant des constructions logiques, c’est à travers la recherche des fondements des mathématiques que leur nature peut être déterminée. Pour notre part, cette recherche est doublement indispensable : elle permettrait de vérifier notre hypothèse de travail qui affirme qu’à la base des sciences et de l’art se trouve une certaine conception de la logique et de l’ontologie. Par ailleurs elle devrait assurer la conformité de ces fondements avec la conception millienne de la logique et de l’ontologie ce qui pourrait corroborer l’unité supposée et la cohérence de la philosophie millienne. Avant de procéder à l’analyse de ces fondements notons que le terme « entité » est pris, par Mill, dans un sens fort comme c’est le cas
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Mill, Système de logique, livre II, chap. V, § 2, p. 259-260.

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pour les logiciens anglais qui lui donnent un sens concret qui signifie « un être, une chose » comme le note Lalande(14). La résolution de la question des entités qui fondent les mathématiques est traitée par Mill respectivement dans le livre II du Système de logique et dans les chapitres V, VI, VII du même livre à l’occasion de l’examen du fondement de la vérité mathématique. Mill reprend la même question dans le livre III réservé à l’induction et lui consacre le chapitre XXVI. Il admet le caractère nécessaire des vérités mathématiques mais ne lui accorde pas le même sens que lui donne Kant qui confond, selon lui, ce qui est nécessaire avec ce qui est a priori. Les vérités mathématiques sont nécessaires parce qu’elles sont conformes à des choses qui existent c’est-à-dire à des entités. Mais de quelles entités s’agit-il ? La réponse de Mill à cette question s’inscrit, comme il le rappelle lui-même, dans un contexte qui connaît trois théories : 1- la théorie nominaliste représentée par Dugald Stewart qui considère les propositions mathématiques comme se fondant sur la définition des mots et sur les hypothèses. Pour cette théorie, les entités mathématiques ne sont que des mots et n’ont qu’une existence hypothétique et par conséquent arbitraire, 2- la théorie réaliste qui fonde les mathématiques sur des réalités et qui affirme l’existence des entités mathématiques telles que les nombres et les formes géométriques, 3- la théorie formaliste qui fonde les mathématiques sur les conditions formelles de possibilité de l’entendement. C’est la conception transcendantaliste défendue par Kant et par Whewell. Le rapport de Mill avec ces trois théories dérange ses commentateurs parce qu’il ne tient pas à défendre une seule théorie au détriment des deux autres ; mais il élabore son point de vue en se situant par rapport à elles. Cette attitude nuancée de Mill est dictée par les exigences propres de sa philosophie qui ne sont conformes ni à celles du réalisme ni à celles du formalisme ni à celles du nominalisme. Si Mill s’accorde avec certaines des thèses des trois
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Lalande, André, Vocabulaire technique et critique de la philosophie, 17ème édition, Paris, PUF 1991.

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écoles, il ne s’agit pas d’un accord relatif aux fondements mais à une convergence de point de vue sur une question définie. Mais il demeure en désaccord avec elles lorsqu’il s’agit de fonder les premiers principes des mathématiques qui dépendent des premiers principes de toute sa philosophie. Le problème selon Anschutz est le suivant : Mill a bâti sa conception des mathématiques sur la critique de la théorie intuitionniste de Whewell, mais selon lui, il ne nous a pas fourni sa propre théorie de manière indubitable : « Lorsque nous examinons ce que Mill affirme à propos des mathématiques, nous trouvons que sa position n’est pas aussi ambiguë qu’il nous l’aurait fait croire ; pendant qu’il accorde de l’importance à son attaque de la théorie intuitionniste de Whewell, il nous laisse dans un doute considérable au sujet de sa propre théorie »(15). La position de Anschutz ne se fonde pas sur des raisons objectives mais plutôt sur une lecture assez dirigée qui s’établit dans les limites des trois théories tracées par Mill, alors que Mill propose effectivement une quatrième théorie dont les caractéristiques se clarifient à partir de la confrontation avec les trois théories précédentes; dans ce combat, Mill ne pourra pas, comme l’exige Anschutz, proposer une théorie claire et sans ambiguïté. Nous soutenons le contraire de ce que prétend Anschutz puisque nous supposons le caractère dyadique du fondement des mathématiques que nous démontrerons à deux reprises : lors de la définition millienne des entités mathématiques et lors de son illustration dans le domaine de l’arithmétique par sa définition du nombre et de celui de la géométrie par la définition des formes géométriques. Nous présentons d’abord la position négative de Mill illustrée par sa critique de ces trois théories dans leur conception des entités mathématiques qui fondent le caractère universel et nécessaire de leurs vérités avant d’aborder sa conception positive.
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Anschutz, R. P., The Philosophy of John Stuart Mill, Oxford, Clarendon Press, 1953 chap. IX, p. 146: “When, however, we examine what Mill actually says about mathematics we find that this position is not nearly so unambiguous as he would have us believe; for while he does, indeed, devote considerable space to an attack on Whewell’s intuitionist theory he leaves us in considerable doubt about his own”.

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Mill critique la théorie nominaliste qui ne considère les entités mathématiques que comme de simples définitions arbitraires. Pour lui les propositions mathématiques ne sont pas des propositions analytiques car elles présupposent l’existence d’entités extérieures aux noms puisqu’elles sont des propositions réelles et par conséquent conformes aux faits comme il le soutient dans ce texte : “...And that what apparently follows from a definition, follows in reality from an implied assumption that there exists a thing conformable thereto”(16). C’est la théorie millienne des propositions que nous avons exposée dans la deuxième partie de notre recherche qui légitime son rejet du nominalisme en mathématique comme il l’a déjà rejeté en logique. Cependant, le rejet du nominalisme ne conduit pas Mill indubitablement à adopter la thèse réaliste, qu’il a, comme les deux autres thèses, critiquée. Contre la théorie réaliste, Mill rappelle qu’il n’existe pas dans l’expérience des objets tels que ceux définis par la géométrie par exemple. La théorie réaliste des mathématiques est fausse parce qu’il n’y a devant elle que deux possibilités ou bien croire que les objets mathématiques existent réellement dans un autre monde, un monde intelligible à la manière de Platon; ou bien croire que les objets de la géométrie existent dans notre monde. Ce qui est faux car il n’y a dans

Mill, Collected Works, vol. IX, livre II, chap. II, p. 224. Si nous avons tenu à présenter la citation de Mill dans sa langue originale c’est que nous émettons quelques réserves sur la traduction suivante de Peisse : «… et ce qui suit, en apparence, d’une définition, suit en réalité de la supposition implicite qu’il existe une chose réelle qui y correspond ». Pour Mill, il s’agit dans le texte original de la conformité d’une définition à la chose qui existe. Alors que dans la traduction de Peisse il s’agit d’une correspondance comme si la définition est élaborée indépendamment de la chose qui existe et qu’on parvient , après coup, à rallier deux choses qui sont à l’origine distinctes ; ceci ne figure pas dans l’adjectif “conformable” employé par Mill car c’est la chose qui existe qui appelle une certaine définition qui lui est conforme comme la conformité d’une copie à l’original ; la primauté est, dans ce cas, accordée à la chose qui est le fondement de la définition. Par contre, Peisse place la définition à distance de la chose qui existe puisqu’il s’agit d’établir une correspondance entre les deux termes distincts, indépendants et de valeur égale.

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la nature ni des nombres ni des formes tels que ceux définis par la géométrie. Mill examine une autre possibilité, celle présentée par la théorie conceptualiste : celle-ci affirme l’existence d’objets mathématiques non pas dans un monde intelligible, ni dans un monde sensible mais dans nos conceptions. Notre esprit construit les objets mathématiques a priori et sans avoir recours à l’expérience car rien dans l’expérience ne peut fonder les vérités nécessaires des mathématiques. Elles ne peuvent être qu’a priori c’est-à-dire indépendantes de toute expérience. Cette théorie conceptualiste est représentée par Kant et Whewell. C’est essentiellement à propos de la géométrie et de son fondement que Mill la critique. Kant fonde la géométrie sur des entités idéales de nature a priori comme il le soutient : « La mathématique et la physique sont les deux connaissances théoriques de la raison qui doivent déterminer leurs objets a priori, la première d’une façon entièrement pure, la seconde au moins en partie, mais alors en tenant compte d’autres sources de connaissance que de celles de la raison »(17). Pour Kant, établir l’objet des mathématiques de manière a priori signifie le construire de manière universelle, nécessaire et sans le recours à l’expérience comme fondement mais uniquement par le recours aux concepts comme il l’affirme : « Le premier qui démontra le triangle (qu’il s’appelât Thalès ou comme l’on voudra) eut une révélation ; car il trouva qu’il ne devait pas suivre pas à pas ce qu’il voyait dans la figure comme si cela devait lui en apprendre les propriétés, mais qu’il lui fallait réaliser (ou construire) cette figure, au moyen de ce qu’il y pensait et s’y représentait lui-même a priori par concepts (c’est-à-dire par construction) et que pour savoir sûrement quoi que ce soit a priori, il ne devait attribuer aux choses que ce qui résulterait nécessairement de ce que lui-même y avait mis, conformément à son concept »(18).
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Kant, E., Critique de la Raison Pure, préface de la seconde édition, p. 16. Kant, E., Critique de la Raison Pure, préface de la seconde édition, p. 17.

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Mais si pour Kant les jugements mathématiques ne se fondent pas sur des objets sensibles, ceci ne signifie pas qu’ils soient des jugements analytiques a priori où le sujet est identique au prédicat. Il y a toujours, selon Kant, un recours à l’expérience pour donner un contenu intuitif aux concepts mathématiques. Sa théorie est considérée comme une théorie de la construction des objets mathématiques à partir des concepts conçus par l’entendement et qui ont besoin de la sensibilité pour avoir un contenu. Mais les données sensibles ne sont pas offertes par notre expérience commune : elles sont rendues possibles par la construction d’objets sensibles conformément aux concepts mathématiques(19). Mill critique la théorie conceptualiste en la plaçant sur son lieu propre, le lieu psychologique mais cette fois en vue de renier l’existence d’une conception a priori et d’expliquer le processus psychologique qui permet de concevoir des objets mathématiques et géométriques qui, en tant que tels, ne sont que des abstractions faites à partir de l’expérience. Selon Mill, l’échec des trois théories dans la détermination de la nature des entités mathématiques l’oblige à opter pour une théorie qui reconnaît l’existence d’entités mathématiques mais qui ne sont ni des noms, ni des faits, ni des concepts. Ce sont des entités logiques qui sont le résultat d’une construction qui fait appel aux différents procédés logiques tels que l’inférence, la généralisation, l’abstraction et l’hypothèse. Dans ces entités nous retrouvons à la fois un
Il faut noter que l’interprétation constructiviste de la théorie millienne des mathématiques telle qu’elle est soutenue par Kitcher ne met pas l’accent sur l’aspect original de la philosophie millienne des mathématiques ; en considérant les jugements mathématiques comme des constructions chez Mill, on affirmerait plus l’influence de Kant sur Mill que l’originalité de ce dernier qu’il faudrait rechercher non pas dans la constructivité mais dans un certain sens de la constructivité qui diffère de celui que lui accorde Kant. Il y a selon nous deux types de constructivité. Le premier est la constructivité représentée par Kant, qui se fonde sur les concepts a priori à partir desquels il construit des objets en leur donnant une forme intuitive : il s’agit d’une constructivité a priori (Voir Kant, Critique de la Raison Pratique, première partie, première section ). Par contre, la constructivité de Mill se fonde sur les objets physiques à partir desquels sont construits les nombres et les formes géométriques : il s’agit d’une constructivité a posteriori.
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fondement ontologique et un fondement logique comme le soutient Mill : « Puisque, donc, il n’y a ni dans la nature ni dans l’esprit humain aucun objet exactement conforme aux définitions de la géométrie et d’ailleurs, on ne peut admettre que cette science ait pour objet des non-entités il ne reste qu’une chose à dire, c’est que la géométrie a pour objet les lignes, les angles et les figures tels qu’ils existent et que les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives à ces objets naturels »(20). La solution du problème des entités qui fondent les mathématiques permet de combler certaines lacunes des théories précédentes. S’arrêter au nom, comme l’a fait Dugald Stewart c’est négliger le rapport entre le nom et le fait. Mais se limiter à la réalité, aux faits à la manière des réalistes c’est ignorer la part des opérations logiques dans la construction des entités mathématiques. De même insister sur la nature idéale des entités mathématiques c’est négliger la part de l’expérience dans la constitution même des concepts mathématiques. Pour Mill, le rapport entre la conception et l’intuition ne se situe pas dans les limites de l’application d’un concept élaboré indépendamment de toute expérience comme le croyait Kant mais il se place à l’intérieur des limites de la science et en constitue le fondement. Mill illustre sa théorie relative aux fondements des mathématiques par sa définition du nombre qui constitue une entité arithmétique essentielle. Il rejette la définition idéaliste qui assimile le nombre à un concept et la remplace par celle qui le définit comme un nom. D’après sa théorie des noms exposée dans le premier livre du Système de logique, Mill parvient à rejeter le nominalisme en arithmétique en se référant à sa théorie de la signification qui distingue dans un nom sa dénotation et sa connotation. Lors de son approche de la définition du nombre dans le chapitre VI du deuxième livre du Système, Mill commence d’abord par combattre deux théories celle de l’a priori ou théorie conceptualiste et celle du nominalisme.
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Mill, Système de logique, livre II, chap. V, p. 256-257.

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Les deux théories nient que les nombres soient fondés sur les sens à l’opposé de Mill qui reconnaît que les nombres, comme « Les vérités fondamentales de cette science, reposent toutes sur le témoignage des sens »(21). Le nombre n’est pas un concept conçu indépendamment de l’expérience comme l’affirme Mill : « Les lois des nombres sont tellement générales, elles offrent si peu de prise aux sens et à l’imagination, qu’il faut un effort d’abstraction assez difficile pour les concevoir comme des vérités physiques d’observation »(22). Il donne l’exemple suivant : les mots « deux cailloux et un cailloux » et les mots « trois cailloux » ne se rapportent pas, selon lui, au même fait physique bien que leur dénotation soit la même, leur connotation est différente. Car nous percevons différemment la collection de deux cailloux et d’un cailloux et celle de trois cailloux comme Mill le soutient : « C’est ainsi qu’on peut dire « trois est deux et un » est une définition de trois ; mais les calculs établis sur cette proposition ne suivent pas de la définition elle-même, mais d’un théorème arithmétique qui y est présupposé à savoir qu’il y a des collections d’objets qui, impressionnant les sens de cette manière ooo peuvent être séparées en deux comme ceci oo o. Cette proposition accordée, nous appelons trois toutes ces parts ; après quoi, l’énonciation du fait physique sus indiqué servira aussi pour une définition du mot trois »(23). Mill considère le nombre comme l’attribut d’une collection de faits physiques ou d’objets connus intuitivement. Il est à noter que cet attribut n’est pas donné empiriquement mais qu’il repose sur un fondement logique puisqu’il est inféré à partir de nos sensations. Ceci garantit sa généralité, d’une part, et son abstraction d’autre part, comme Mill l’affirme : « ... A chaque pas d’un calcul arithmétique ou algébrique il y a une induction réelle, une inférence positive de certains faits à d’autres faits, et que ce qui déguise l’induction est son caractère compréhensif, et, par suite, l’extrême généralité du langage. Tous les nombres doivent être les nombres abstraits. Mais quoique les
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Mill, Système de logique, livre II, chap. VI, p. 294. Mill, Système de logique, tome 2, livre III, § 7, p. 154. (23) Mill, Système de logique, livre II, chap. VI, p. 294-295.

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nombres doivent être nombres de quelque chose, ils peuvent être nombres de toute chose. Ainsi donc, les propositions relatives aux nombres ont la propriété remarquable d’être des propositions relatives à toutes les choses quelconques, à tous les objets, aux existences de toute espèce, à nous connus par l’expérience »(24). Le fait que Mill limite les nombres aux objets connus par l’expérience a provoqué la critique de Frege qui lui reproche de considérer le nombre comme une propriété des choses du monde extérieur et par conséquent comme un être physique(25). Selon lui, un tel fondement empirique du nombre ne préserve ni sa pureté ni son caractère analytique et a priori ce qui fait avouer à Frege que : « La conception de Mill implique nécessairement que, pour chaque nombre, on observe un fait particulier »(26). De tels reproches se fondent sur une lecture appauvrie de la philosophie millienne en général et de celle de l’arithmétique qui intéresse particulièrement Frege. Il est à noter que l’expérience chez Mill ne signifie pas ce qui est connu immédiatement par nos sens mais ce qui est connu par inférence à partir de nos sensations car l’inférence dépasse le réel pour comprendre le possible et le fictif, comme il le souligne : « On peut, du reste, tirer de nouvelles conclusions de faits supposés, aussi bien que des faits observés d’inductions fictives comme des inductions réelles »(27). Si Frege n’a pas été attentif à la complexité de l’expérience chez Mill, c’est qu’il a l’intention de critiquer l’empirisme à travers lui mais au prix de l’appauvrissement de sa conception de l’Arithmétique qui est complexe en raison des opérations logiques et en vertu de l’induction que Mill place au fondement des entités arithmétiques. Pour Frege, l’induction trouve mieux sa place dans l’arithmétique appliquée plutôt que dans l’arithmétique pure qui ne comprend que des propositions analytiques a priori et non des propositions synthétiques a priori comme le croyait Kant. Il confirme explicitement sa position dans la conclusion de son ouvrage sur les
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Mill, Système de logique, p. 295. Frege, Les Fondements de l’arithmétique, p. 151 « Si le nombre est, selon Mill, un être physique, pour Locke et Leibniz il n’a pas d’existence hors de l’idée ». (26) Frege, Les Fondements de l’arithmétique, p. 133. (27) Mill, Système de logique, livre II, chap. VI, §4, p. 298.

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fondements de l’arithmétique : « J’espère avoir dans cet écrit rendu vraisemblable l’idée que les lois de l’arithmétique sont des jugements analytiques et par conséquent a priori, l’arithmétique serait donc simplement une logique développée et chaque proposition arithmétique une loi logique, bien que dérivée »(28). Frege défend le logicisme qui affirme la possibilité de réduire les mathématiques à la logique formelle, analytique et a priori à la différence de celle de Mill qui est une logique de l’expérience. Ce choix d’une arithmétique pure adopté par Frege l’oblige à considérer que Mill s’est trompé dans son analyse des fondements de l’arithmétique comme suit : « Mill ne cesse de confondre les applications d’une proposition arithmétique lesquelles sont souvent physiques et supposent des observations, avec les propositions mathématiques pures »(29). En fait, Mill ne confond pas les mathématiques avec leur application ; il s’agit à l’intérieur même des mathématiques d’imaginer les possibilités permanentes d’un être idéal qui nous aide à comprendre la nature du nombre dans une approche constructive pure et non appliquée. Ceci est clairement prouvé par le fait que Mill réserve des chapitres du livre troisième de son ouvrage à l’examen de l’application des mathématiques dans le procédé inductif des sciences de la nature alors que dans le deuxième livre, il ne s’agit pas de l’application des mathématiques mais de l’examen des fondements des mathématiques considérées comme un système de raisonnements soumis aux même lois logiques que toutes les autres sciences. C’est la divergence entre Mill et Frege dans leur conception des fondements de l’arithmétique qui justifie celle de leur conception du nombre. Mais cette divergence est simplifiée par Frege qui n’a insisté que sur l’aspect empirique chez Mill et négligé l’aspect logique. Cette complexité est approuvée récemment par Kitcher qui affirme : « Les trois réponses sont celles de Mill, qui affirme que l’ontologie des mathématiques peut être réservée aux objets physiques et (idéalisés) les opérations humaines sur lesquelles on les
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Frege, Les Fondements de l’arithmétique, p. 211. Frege, Les Fondements de l’arithmétique, p. 135.

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applique »(30). Kitcher, dans son approche naturaliste range la théorie millienne des mathématiques parmi celles d’Aristote, de Locke et de Hume ; mais il s’aperçoit que la construction dont il s’agit s’inscrit dans un logicisme plutôt que dans un naturalisme. C’est dans l’espoir de réduire tous les raisonnements de la science à un seul type : le raisonnement inductif que Mill recherche un fondement commun à toutes les sciences quel que soit leur objet. Stephen Leslie a, depuis un siècle, reconnu cette intention déclarée de Mill lorsqu’il rappelle le sens universel que ce dernier accorde à l’inférence du particulier au particulier et qui constitue le fondement aussi bien de l’induction que de la déduction(31). Un autre exemple qui rend compte du double fondement des mathématiques est fourni par la géométrie. La concernant, Mill rejette l’approche de Whewell et de Kant qui fondent la géométrie sur des entités idéales ; il rejette également que les entités géométriques soient dans l’esprit. Il accorde, en revanche, à la théorie réaliste son crédit, par défaut d’autres théories capables de rendre compte de la nature des objets géométriques. Il existe des figures, des lignes, des angles, dans la nature mais qui sont différents de ceux définis par la géométrie. Comment combler ce hiatus qui sépare, selon Mill, les objets observés de ceux définis par la géométrie ? La réponse réside dans l’intervention des procédés logiques et psychologiques comme la généralisation, l’abstraction et l’imagination. Dès que nous n’en sommes pas conscients, nous avons l’illusion d’une différence générique entre les deux types d’objets comme Mill le confirme : « Nous pensons toujours aux objets mêmes, tels que nous les avons vus et touchés, et avec toutes les propriétés qui leur appartiennent naturellement ; mais, pour la convenance scientifique, nous les feignons dépouillés de toutes propriétés excepté
Kitcher, Philip, “Mill, Mathematics, and the Naturalist Tradition” in The Cambridge Companions to Mill, edited by John Skorupski, Cambridge, Cambridge University Press, 1998, p. 95: “All three responses are Millian, in claiming that the ontology of mathematics can be restricted to physical objects and (idealized) human operations upon them”. Les trois réponses dont il est question sont les trois variantes du naturalisme décrites par Kitcher pages 93-94-95. (31) Leslie, Stephen, The English Utilitarians chap. II, p. 96.
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celles qui sont essentielles à notre recherche et en vue desquelles nous voulons les considérer »(32). La différence entre les objets géométriques donnés dans l’expérience et les concepts purs qui leur correspondent n’est pas une différence de nature comme le croient les conceptualistes mais une différence de degré car, selon Mill, les seconds sont construits à partir des premiers. Comme il y a dans l’expérience la possibilité d’observer des différences quantitatives, il est possible de varier les observations jusqu’à imaginer une ligne qui n’ait aucune épaisseur et qui soit conforme à la définition de la ligne en géométrie. Ainsi, la variation décroissante de la quantité fonde le changement qualitatif qui nous permet de distinguer les objets observés dans notre expérience du concept géométrique qui leur correspond. Ce résultat n’est obtenu que par un double effort, celui de l’observation et de l’inférence comme l’affirme Mill : « L’observation fait voir que plus les lignes sont près de n’avoir plus ni largeur ni flexuosité, plus leur aptitude à enfermer un espace approche de zéro. La conclusion, que si elles n’avaient absolument ni largeur ni flexuosité, elles n’enfermaient pas d’espace du tout, est une correcte inférence inductive de ces faits, conformes à l’une des quatre méthodes inductives exposées ci-après la méthode des variations concomitantes, dont la doctrine mathématique des limites offre le cas extrême »(33). Dans une telle approche ontologique de la géométrie nous retrouvons encore une fois l’idée de possibilité permanente de perception qu’il faudrait traduire concernant la géométrie par les possibilités-limites et l’idée de construction logique comme nous l’avons remarqué pour les nombres. Ce double aspect des fondements est explicitement reconnu par Skorupski : « Les figures géométriques variées sont définies en termes de stock basique de concepts limites : point, ligne, droite, surfaces, avec l’idée de construction »(34). Cette
Mill, Système de logique, p. 257. Mill, Système de logique, p. 265, suite de la note 1. Mill entreprend d’inverser les rapports entre intuition et concepts géométriques tels qu’ils sont conçus par Kant. (34) Skorupski, J, John Stuart Mill, Routledge, 1989, p. 133: “The various geometrical figures are then defined in terms of basic stock of limit concepts: point line, straight, flat, together with the idea of a construction”.
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construction est de nature logique et ce stock de concepts limites de base est élaboré à partir de l’observation. Troisième section : Les fondements onto-logiques de la croyance en la vérité universelle et nécessaire des axiomes mathématiques Nous avons traité dans les deux sections précédentes les deux premières questions posées par Mill relativement aux fondements des mathématiques et nous réservons cette dernière section à l’analyse de la troisième question concernant les fondements de la croyance en la certitude et en la nécessité des axiomes mathématiques ou des premières prémisses de tous les raisonnements mathématiques. Comme pour les questions précédentes, la solution que Mill propose s’inscrit dans le débat qui l’oppose d’une part à ceux qui défendent le caractère a priori du fondement des mathématiques et qui justifient l’exactitude des mathématiques et leur certitude en soutenant que les axiomes mathématiques sont nécessairement et universellement vrais ; cette école est représentée par Kant et les kantiens anglais tels que Whewell et Hamilton. D’autre part, nous trouvons l’école nominaliste en mathématiques qui est représentée par Dugald Stewart qui traite les axiomes en hypothèses arbitraires. Mill s’accorde avec Kant sur le caractère synthétique des propositions mathématiques mais il s’oppose à lui lorsqu’il les considère en tant que jugements nécessaires et a priori comme Kant le reconnaît dans ce texte « Il faut remarquer tout d’abord que les propositions vraiment mathématiques sont toujours des jugements a priori et non empiriques, puisqu’elles comportent la nécessité qu’on ne peut tirer de l’expérience »(35). Mill commence d’abord par réfuter le fondement a priori des axiomes mathématiques qu’il ne considère que comme des généralisations de l’observation et des vérités expérimentales. Ils sont conformes comme toutes les généralisations à la méthode des variations concomitantes, comme il le soutient : « Cet examen ayant
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Kant, E., Critique de la Raison Pure, p. 40.

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