Propagation d'ondes accoustiques et élastiques

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274 pages
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Description

Cet ouvrage propose une méthode de construction de schémas numériques de grande précision sur la base d'une analyse spectrale de l'erreur. Ces schémas sont appliqués à la propagation des ondes mais ils peuvent l'être à la résolution par différences finies de tout autre système d'équations aux dérivées partielles. Plusieurs formulations du problème continu sont exposées mais on retient la formulation en vitesses de déplacement et en contraintes. D'autre part, une analyse des caractéristiques des équations de la propagation conduit à faire une comparaison avec les caractéristiques des équations de la mécanique des fluides et d'indiquer les conditions de la filiation. La discrétisation des équations est basée sur les schémas en grilles décalées. On effectue des développements de Taylor à des ordres élevés et une analyse de l'erreur de discrétisation par transformée de Fourier. Puis, on introduit la notion d'approximation optimale en contraste avec les approximations basées sur l'erreur de troncature. Les schémas construits restent de type convolutif. Le calcul s'avère très efficace sur la base de l'erreur relative de discrétisation. L'algorithme de calcul des coefficients d'approximation optimale est fourni en Fortran dans une annexe. L'élévation de l'ordre en temps consiste à reporter le calcul des dérivées d'ordre élevé en temps sur des dérivées d'ordre élevé en espace. Enfin, l'analyse des conditions de stabilité et de dispersion est réalisée pour prendre en compte l'approximation optimale des dérivées pour des ordres élevés en espace et en temps.
Brève histoire des ondes. Équations des ondes élastodynamiques en continu. Discrétisation des équations élastodynamiques. Approximations optimales des opérateurs de dérivation. Schémas d'ordre élevé en temps. Stabilité et dispersion. Annexes.

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Ajouté le 01 janvier 2003
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EAN13 9782746217249
Langue Français
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Propagation d’ondes acoustiques et élastiquesJe dédie ce livre
à mon épouse Laurence et à mes joyeux enfants : Amélie, Damien, Marie,
Clémence, Bérengère et Constance.
La rédaction de ce livre a été l’occasion de multiples discussions avec Florence
Delprat-Jannaud, Isabelle Faille, Laurence Nicolétis, Stéphanie Patault, Pierre
Duclos, Charles Naville et Quang Huy Tran. Je les remercie pour leurs conseils,
leur soutien et leur relecture.
Roland Glowinski est à l’initiative de ce livre et il a ravivé la flamme quand elle
vacillait.
Le livre a fortifié nos amitiés.
© LAVOISIER, 2003
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
ISBN 2-7462-0623-4
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.Propagation
d’ondes
acoustiques
et élastiques
Jean BracEXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL
Analyse spectrale, Francis CASTANIÉ (dir.), 2003.
Théorie du bruit et applications en physique, Philippe RÉFRÉGIER, 2002.
Décision et reconnaissance des formes en signal, Régis LENGELLÉ (dir.), 2002.
Lois d’échelle, fractales et ondelettes – 2 volumes, Patrice ABRY, Paulo GONÇALVÈS,
Jacques LÉVY VÉHEL (dir.), 2002.
Vibrations des milieux continus, Jean-Louis GUYADER, 2002.
Analyse de signaux bidimensionnels, René GARELLO (dir.), 2001.
Acoustique industrielle et aéroacoustique, Serge LÉWY, 2001.
Signaux et images sous Matlab, Gérard BLANCHET, Maurice CHARBIT, 2001.
Approche bayésienne pour les problèmes inverses, Jérôme IDIER (dir.), 2001.
Petite histoire de l'acoustique, Pierre LIÉNARD, 2001.
Processus aléatoires pour communications numériques, Bernard LACAZE, 2000.
Manuel d'acoustique fondamentale, Michel BRUNEAU, 1998.
Les méthodes à haute résolution – traitement d'antenne et analyse spectrale,
Sylvie MARCOS (dir.), 1998.
Table des matières
Chapitre 1. Brève histoire des ondes ... ... ... ... ... ... ... .. 9
1.1. Généralités et antiquités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Premiersinstruments ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 14
1.3. Renaissance... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 17
1.4. L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
e1.5. Le XIX siècle . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 33
1.6. Modernité. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 36
1.7. La dualité onde particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8. Lasciences’inspiredelanature .. ... ... ... ... ... ... .. 49
1.9. Denosjours . . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 53
Chapitre 2. Equations des ondes élastodynamiques en continu .. ... .. 57
2.1. Equations élastodynamiques en continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.1. Formulation (1) en déplacementu et contraintes . ... ... .. 67
2.1.2. Fo (2) enuuniquement... ... ... .. 69
2.1.3. Avantages et inconvénients des deux formulations . . . . . . . . . 69
2.1.4. Formulation2Davecabsorption . . ... ... ... ... ... .. 71
2.1.5. Formulation du problème 2D de propagation élastique . . . . . . 71
2.2. Classification des équations des ondes et comparaison avec les équa
tionsd’Euler... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 72
2.2.1. Rappel concernant la classification des équations aux dérivées
partielles. . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 73
2.2.2. Etude du genre d’un système d’équations aux dérivées partielles . 74
2.2.3. Equation des ondes acoustiques à une dimension d’espace . . . . 78
2.2.3.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.3.2. Discussion du genre de la forme générale et conséquences . 79
2.2.3.3. Influence des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.4. Equation des ondes acoustiques à deux dimensions d’espace . . . 82
2.2.4.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
56 Propagations d’ondes acoustique et élastique
2.2.4.2. Discussiondugenre ... ... ... ... ... ... ... .. 83
2.2.4.3. Interprétation dans le diagramme espace temps . . . . . . . 85
2.2.5. Ecoulement d’un gaz compressible à une dimension d’espace . . 85
2.2.5.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.5.2. Discussiondugenre ... ... ... ... ... ... ... .. 87
2.2.5.3. Comparaison de la propagation et de la diffusion . . . . . . 88
2.2.5.4. Passage des équations d’Euler à l’équation de propagation
des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2.6. Ecoulement d’un fluide compressible à deux dimensions d’espace 91
2.2.7. Ecoul d’un fluide insible à deux dimensions d’espace 93
2.2.7.1. Mise sous forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.7.2. Analysedugenredusystème. ... ... ... ... ... .. 93
2.2.8. Equations des ondes élastiques à deux dimensions d’espace . . . 94
Chapitre 3. Discrétisation des équations élastodynamiques . ... ... .. 97
3.1. Rappeld’analysenumérique . ... ... ... ... ... ... ... .. 98
3.2. Grilles décalées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Schéma explicite d’intégration en temps des équations [2.28] . . . . . 103
3.4. Discrétisation des équations à l’ordre 2 en temps et 4 en espace . . . . 106
3.5. Discrétisation des équations à l 2 en temps et 8 en espace . . . . 111
3.6. Généralisation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7. Avantages et inconvénients de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre 4. Approximations optimales des opérateurs de dérivation .. .. 119
4.1. RappelssurlatransforméedeFourier . . ... ... ... ... ... .. 120
4.2. Analyse spectrale de l’approximation de l’opérateur de dérivation par
développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1. Analyse spectrale de l’approximation discrète de la dérivée pre
mière. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 123
4.2.2. Analyse spectrale de l’approximation discrète de la dérivée
deuxième . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 128
4.3. Approximation optimale des opérateurs de dérivation . . . . . . . . . . 131
4.3.1. Approximation optimale de la dérivée première . . . . . . . . . . 132
4.3.2.mation optimale de la dérivée deuxième . . . . . . . . . . 134
4.4. Amélioration de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.1. Calcul de l’opérateur optimal en erreur relative pour la dérivée
première .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 137
4.4.2. Calcul de l’opérateur optimal en erreur relative pour la dérivée
deuxième . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 140
4.5. Comparaisondesrésultats. . . ... ... ... ... ... ... ... .. 145
4.5.1. Comparaisondeserreurs ... ... ... ... ... ... ... .. 145
4.5.2. Comparaisondesmolécules . ... ... ... ... ... ... .. 147
4.5.3. Vérification à l’aide des dérivées statiques de la fonction Ricker . 151
Table des matières 7
4.5.4. Propagation d’un Ricker en milieu homogène . . . . . . . . . . . 155
4.5.4.1. Propagation 3D en milieu acoustique . . . . . . . . . . . . . 155
4.5.4.2. Propagation en milieu acoustique et élastique 2D . . . . . . 158
4.5.4.3. Commentaires sur le front réfléchi P sur l’interface . . . . . 163
Chapitre 5. Schémas d’ordre élevé en temps . ... ... ... ... ... .. 169
5.1. Elévation de l’ordre en temps dans le cas de la propagation acoustique 170
5.1.1. Ordre 4entemps... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 171
5.1.2. Ordre 6entemps... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 172
5.1.3. Méthode économique d’élévation de l’ordre en temps . . . . . . . 173
5.2. Ordre 4 en temps pour le cas élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.1. Schéma de discrétisation deu à l’ordre 4entemps ... ... .. 177
5.2.2. Schéma de discrétisation pour à l’ordre 4entemps . . ... .. 178
5.2.3. Encombrement mémoire et coût des schémas d’ordre 2 et 4 en
temps ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 180
5.2.4. Ordre supérieur à 4entemps . ... ... ... ... ... ... .. 181
5.2.5. Autresschémas ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 184
5.2.6. Résultats de modélisation d’ordre élevé en temps . . . . . . . . . 185
Chapitre 6. Stabilité et dispersion .. ... ... ... ... ... ... ... .. 189
6.1. Condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.1. Résolution de l’équation de stabilité avec des paramètres discrets 193
6.1.2. Etude de l’équation de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2. Dispersion ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 198
6.2.1. Erreursurlavitessedephase . ... ... ... ... ... ... .. 199
6.2.2. Erreur sur la vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2.3. Courbesdedispersion . . ... ... ... ... ... ... ... .. 201
Annexes ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 209
A. Approximateurs au sens de Taylor de dérivées à l’ordre 2N... ... .. 209
A.1. Discrétisationdulaplacien ... ... ... ... ... ... ... .. 209
A.1.1. Développements limités préliminaires pour l’approximation
deladérivéedeuxième . . ... ... ... ... ... ... .. 210
A.1.2. Calcul des coefficients d’approximateurs de la dérivée
deuxième.. ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 211
A.1.3. Constitution du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.1.4. Dérivées paires 2k ièmes à l’ordre2(N− k+1).. ... .. 213
A.2. Dérivées d’ordre quelconque sur des grilles symétriques . . . . . . 213
A.2.1. Dérivéesimpaires.. ... ... ... ... ... ... ... .. 214
A.2.2. Dérivéespaires . . . ... ... ... ... ... ... ... .. 215
A.3. Dérivées sur des grilles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.4. Tableaux d’approximations de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . 2188 Propagations d’ondes acoustique et élastique
B. DérivéessuccessivesduRicker ... ... ... ... ... ... ... .. 233
C. Programme de calcul des coefficients optimaux des dérivées . . . . . . . 237
C.1. Calcul des coefficients de l’approximateur optimal de la dérivée
première .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 238
C.2. Calcul des coefficients de l’approximateur optimal de la dérivée
deuxième . . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 242
C.3. Résolution du problème d’optimisation par moindres carrés . . . . 246
D. Constantes de stabilité pour des opérateurs optimaux . . . . . . . . . . . 251
E. Compléments méthodologiques pour l’équation des ondes . . . . . . . . 253
E.1. Optiquegéométrique . . . ... ... ... ... ... ... ... .. 253
E.2. Optique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
E.3. Analysemathématique .. ... ... ... ... ... ... ... .. 263
E.4. Calcul variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Bibliographie ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 269
Index .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 271Chapitre 1
Brève histoire des ondes
On ne connaît pas complètement une science tant qu’on n’en
sait pas l’histoire.
Auguste Comte (1798 1857)
Pourquoi ne pas commencer par quelques considérations épistémologiques qu’un
lecteur pressé de lire spécifiquement ce qui concerne les mathématiques appliquées
peut sauter aisément en allant directement au chapitre suivant ? En effet, Arthur Scho
penhauer a fait remarquer que « ce que raconte l’histoire n’est en effet que le long
rêve, le songe lourd et confus de l’humanité ». Dans cette introduction, on voit naître
puis se fortifier au cours des siècles une idée d’onde ; uniquement physique au départ,
elle devient de plus en plus abstraite et de plus en plus générale et mathématique, à
travers les longs efforts de la pensée de l’humanité. Quelle victoire pour les réflexions
cumulées par des générations successives d’hommes, d’atteindre à une telle universa
lité puisqu’il y a des ondes au moment du Big Bang dont l’écho est aujourd’hui encore
perceptible, et puisqu’il y en a aussi à l’intérieur des atomes et dans les galaxies ! Com
ment ne pas s’émerveiller devant la cohérence de la pensée humaine qui progresse de
générations en générations : elle est juste. Juste ne doit pas être compris dans le sens
de la justice mais comme la qualité de justesse d’un instrument de musique. L’esprit
1humain s’accorde sans cesse de plus près à la vérité. Avec Rudolph Steiner , nous
pourrions dire que « l’ultérieur, le plus parfait, devrait être issu, au cours du temps, de
l’antérieur, de ce qui n’est pas développé ».
1. Une théorie de la connaissance chez Goethe, Editions Anthroposophiques Romandes, sep
tième édition, 1979.
910 Propagations d’ondes acoustique et élastique
1.1. Généralités et antiquités
La confrontation de l’homme avec la propagation des ondes date de l’aube des
temps lorsque, animiste dans la préhistoire, il regardait dans le ciel les éclairs de la
colère des dieux et qu’il entendait le tonnerre en différé. Sans doute a t il aussi cherché
à apprécier la profondeur d’une caverne en appréciant le temps écoulé entre sa voix et
son écho. Les hommes préhistoriques écoutaient le galop des troupeaux pour évaluer
leur distance, leur population, le type de bêtes sauvages. Les films du Far West ont
montré des Indiens l’oreille collée à terre ou sur un rail pour écouter et interpréter
l’onde de sol. L’homme comprenait déjà la notion de vitesse de propagation des ondes
sans l’avoir probablement formulée clairement dans sa pensée. De façon intuitive, la
lumière semble avoir une vitesse infinie tandis que celle du son est assez faible pour
que nos sens l’utilisent pour évaluer une distance. Utiliser une information comme
le délai entre l’émission et la réception d’un son est une première étape. Mais après
apprentissage, guerriers et chasseurs extraient davantage des observations car plus les
bisons sont nombreux, plus la frappe de leurs sabots sur le sol est cadencée et un galop
de bisons n’a pas le même rythme que celui des rennes. Une oreille expérimentée peut
évaluer la population d’un troupeau, le type d’animaux... A chaque fois, il s’agit de
remonter aux causes à partir des conséquences et pour en être capable, il faut avoir en
tête un modèle d’onde, même s’il n’est pas explicité.
Au delà des déchirements de la nature ou du trépignement des bêtes sauvages,
l’homme a dû, très tôt, s’intéresser à la musique pour son plaisir. Qui le premier, avant
David qui jouait déjà du luth à la cour du roi Saül il y a 3 000 ans, a fait vibrer une
corde, un nerf ou un boyau pour créer un son ? Qui le premier a réglé la tension de
la corde pour accorder avec justesse le son ? Ces exemples d’ondes stationnaires ont
enchanté et enchantent bien des oreilles. Les violes puis les violons, les orgues et
les clavecins puis les pianos, la branche de sureau percée en pipeau pour contrefaire
le chant des oiseaux et la flûte en argent illustrent la maîtrise progressive des vibra
tions par les hommes depuis l’âge du cuivre : maîtriser la production de sons simples
pour construire des instruments, créer des accords harmonieux en associant des sons
simples, découvrir les règles de l’harmonie et de la composition.
Les architectes ont depuis longtemps pris en compte la propagation des ondes so
nores dans la construction des bâtiments. Il est étonnant de tester l’acoustique des
églises romanes. Pour ma part, ayant grandi dans le Val de Loire, je me souviens tout
particulièrement de l’église de Gennes-sur-Loire (Maine et-Loire). Une personne au
fond de l’église ne peut qu’être stupéfaite d’entendre si bien la voix du prêtre, ses
inflexions même très faibles quand il prêche près de l’autel. Avec de jeunes amis,
nous avons fait de nombreux essais moins liturgiques ! Par quel moyen les maîtres du
Moyen Age réussissaient ils à réaliser une si bonne acoustique dans un lieu fermé ?
De quel ordre était cette connaissance ? Comment faisaient ils pour accroître leur ex
périence et la transmettre à la génération suivante de compagnons? Il est sûr qu’elle
ne passait pas par des équations et des calculateurs numériques et qu’elle était dans laBrève histoire des ondes 11
droite ligne du savoir faire des architectes des théâtres grecs puis romains du pourtour
2de la Méditerrannée . Du haut des gradins de ces théâtres en hémicycle (celui d’Epi
daure par exemple), la qualité d’audition est extraordinaire et l’on entend à merveille
les chuchotements d’un acteur placé au centre de la scène (il n’y a pas de micro
phone !) ; nous sommes dans des édifices vieux de plus de 2 000 ans et en plein air !
Figure 1.1. Instantané d’un ricochet à la surface de la Seine. Au fond de l’image, on aperçoit
le caillou qui flotte encore. A l’onde déjà developpée du premier impact, s’ajoutent des rides
secondaires dues aux éclaboussures. On distingue deux autres paquets d’ondes dans le sillage
du caillou.
Les ondes ne sont pas seulement sonores. De tout temps, chacun s’est amusé à
perturber la surface d’une eau calme en lançant un caillou dans une mare, illustration
naturelle et ludique de la propagation d’ondes astationnaires. Qui n’a pas joué à faire
des ricochets à partir du rivage pour se complaire des interférences générées par les
petits chocs successifs du caillou plat qui flotte en rotation (voir figure 1.1) et qui meurt
noyé après le dernier rebond ? L’onde croît à une vitesse constante, indépendante de la
vitesse de la source. En effet, le caillou lancé est déjà loin pour poursuivre le ricochet
tandis que les ondes générées aux impacts s’élargissent plus lentement mais toutes à la
même vitesse, ici puis là. La jeunesse des ondes nées récemment est concomitante de
2. L’histoire donne à Vitruve, architecte romain du premier siècle avant J.-C., le plus ancien
ouvrage De architectura sur l’acoustique dans les constructions. Il fut beaucoup utilisé à partir
de la Renaissance.12 Propagations d’ondes acoustique et élastique
la vieillesse de celles qui, déjà, meurent dans le bruit de fond des éclaboussures ! On
comprend aisément que la surface de l’eau a été déformée par un choc en compression
du caillou sur la surface de l’eau, source d’une vague, d’une ride, d’une déformation
qui se propage grossièrement en cercle ou en sphère à partir du lieu de l’impulsion
initiale. Nous appelons ce phénomène évolutif dans le temps une onde. La distance
entre deux crêtes est la longueur d’onde et la distance parcourue par une ride par unité
de temps s’appelle vitesse de l’onde. Il est clair que les particules d’eau se déplacent
autour d’une position d’équilibre, les unes après les autres, comme un marin qui bou
chonne dans son bateau peut le ressentir en regardant les vagues se rapprocher puis
s’éloigner de lui.
Il n’y a qu’un seul mot wave en anglais et welle en allemand alors qu’en fran
çais, il y a deux mots onde et vague pour distinguer le concept mathématique de la
réalité physique. Cette dernière a parfois une allure poétique comme dans Ondine de
Jean Giraudoux. Il y a les rides figées sur le sable quand la mer se retire ; il y a les
témoignages posthumes d’écoulements liquides sur des planètes lointaines qui ont de
puis longtemps perdu leurs eaux ; le vent sculpte le sable des déserts et la caravane
passe (voir figure 1.2) ; il y a aussi les rides du front, fossiles sculptés dans une peau
qui a perdu son élasticité et où se sont accumulés mécontentements passés et sourires
joyeux. Les exemples de motifs périodiques sont nombreux dans la nature ; ils sont
dus à des phénomènes très divers. L’onde a disparu mais il reste son empreinte au sol
comme celle des pas d’un passant sur la plage. Elle ébranle la matière mais l’onde
elle même n’est pas matérielle et comme le vent qui agite l’air, elle passe. Impossible
à saisir ou à enfermer, il est tout juste possible d’observer son passage.
Les cadrans solaires témoignent d’une compréhension très ancienne des trajec
toires de la lumière appelés rais puisqu’on en trouve des traces chez les Egyptiens de
l’Antiquité. Un rai est perçu comme une droite qui va du soleil à l’aiguille du cadran
qui lui fait obstacle. Derrière l’aiguille, la lumière manque : c’est l’ombre. L’ombre
pourrait être noire, intense ; mais elle est seulement grise, colorant ainsi toute la com
plexité du phénomène : il y a un peu de lumière dans l’ombre ! Un modèle de propa
gation par rai est déjà pris en défaut car il ne permet pas d’expliquer pourquoi il y a
de la lumière derrière un obstacle !
A partir de quelques réflexions d’ordre philosophique, il a donc été possible de
mettre en évidence les premières propriétés de la propagation des ondes. Une ap
proche factuelle du monde, basée sur l’observation clinique, n’est elle pas l’approche
antique, celle d’Aristote lui même : collecter les observations, les comparer, les trier,
les rassembler afin de montrer les propriétés générales et finalement découvrir lesBrève histoire des ondes 13
Figure 1.2. Le vent du désert a sculpté de petites vagues de sable ; une caravane de Touaregs
passe. Ailleurs, d’autres rides immenses accumulent du sable en barkhane de grande dimension,
dune mobile en forme de croissant dont les cornes, comme une girouette, s’orientent dans le sens
du vent ; la pente est douce du côté du vent mais elle est raide et concave sous le vent.
idées. Elle s’oppose à l’approche mathématique actuelle : découvrir les phénomènes
3dans les équations avant de les observer dans la nature .
Le surfeur cherche la vague exceptionnelle ; le savant cherche la réflexion au delà
du connu. Tous, nous chevauchons des ondes qui nous dépriment dans les bas quand
3. Citons par exemple, la prédiction en 1915 par Albert Einstein de la déviation de la lumière
par des potentiels gravitationnels ; c’est postérieurement, en 1919, à l’occasion d’une éclipse,
que la lumière d’une étoile lointaine fut observée légèrement déviée par la masse du soleil,
mesure de déviation en accord avec le calcul de la théorie de la relativité générale.14 Propagations d’ondes acoustique et élastique
la mer est plate, quand la compréhension est confuse et qui dans les hauts, nous en
thousiasment : plaisir corporel d’une communion totale avec la nature ou joie d’avoir
trouvé un chemin plus près de la vérité. Le coude plié du penseur d’Auguste Rodin
illustre cette flexion de l’esprit, répétée sans cesse sur le miroir de la nature. Comment
la connaissance peut-elle progresser ? Comment notre connaissance des ondes
peutelle s’accroître de façon consistante, comme si cette connaissance nous préexistait
totalement ? Quelle est la nature de l’intuition, sans cesse féconde ? Est ce seulement
l’esprit de finesse évoqué par Pascal ? Est elle de nature essentielle comme le pensait
4Goethe et comme l’a si bien explicitée son disciple Rudolph Steiner :
– « Le fait que nous puisions dans des phénomènes extérieurs la certitude de leur
être est une intuition. »
– « Ce qui caractérise l’intuition, c’est que dans son contenu, il nous est donné da
vantage que son contenu lui même, et que l’on sache sans démonstration, simplement
par conviction immédiate, ce que déterminent les pensées. »
Le mélange des ondes sonores avec la houle du large, avec les rais lumineux et
les traces périodiques de phénomènes turbulents peut paraître, à ce stade, un peu
brouillon. En fait, il met en perspective le long effort des hommes pour unifier toutes
les ondes en une seule théorie.
Baudelaire l’a dit en termes poétiques :
Homme libre, toujours tu chériras la mer !
La mer est ton miroir ; tu contemples ton âme
dans le déroulement infini de sa lame,
et ton esprit n’est pas un gouffre moins amer.
1.2. Premiers instruments
Quand est apparu le premier instrument pour enregistrer des vibrations ? Est ce
la maison des gastropodes qui a la primeur ? On entend le bruit de la mer dans les
conques, dit-on ! Mais comment ce petit bruit s’entretient il dans la spirale de sa
maison ? Même l’escargot terrestre qui n’a pas connu la mer, fait un bruit de mer dans sa
coquille vide ! Depuis toujours, on aime souffler dans les gros coquillages pour sonner.
Depuis des temps immémoriaux, les empereurs de l’empire du Milieu avaient éta
bli un réseau de communication rapide jusqu’aux extrémités du monde àl’aidede
chevaux et de relais. Ce réseau centralisait l’information autour de leur personne d’où
4. Rudolf Steiner dans Une théorie de la connaissance chez Goethe, Editions Anthroposo
phiques romandes, p. 120.Brève histoire des ondes 15
Figure 1.3. Coquillage au casque cornu qui enregistre de son vivant la musique de
l’onde marine et qui la redonne inlassablement à notre oreille quand il a quitté sa maison
émanait les ordres. Fréquents en Chine, les tremblements de terre sont consignés à
partir de 780 ans avant J. C. Le séismoscope, premier détecteur de tremblement de
terre, est donc un instrument de pouvoir car il informe en premier les dictateurs chinois
qu’un événement a eu lieu. Bien que le séismoscope prototype ait aujourd’hui disparu,
un texte du deuxième siècle décrit l’appareil originel dû à Zhang Heng (78 139). En
bronze, il avait deux mètres d’envergure (voir une réplique de cet appareil sur la figure
1.4) ; il permet d’enregistrer des secousses sismiques, même des secousses trop faibles
pour être perçues physiologiquement. Il se compose d’une enceinte creuse contenant
un lourd pendule et est divisé en six quartiers, chacun équipé d’une gueule de dra
gon tenant une boule. Sous les six gueules de dragon, il y a six gueules ouvertes de
crapaud. Quand un tremblement de terre a lieu, l’enceinte bouge puis frappe le pen
dule dans la direction de l’onde sismique incidente ; un mécanisme interne de tringles
ouvre la gueule d’un ou de plusieurs dragons dans le secteur concerné ; en ouvrant sa
gueule, le dragon lâche sa boule dans la gueule du crapaud située en contrebas ; il fixe
ainsi la direction dans laquelle le tremblement de terre a eu lieu ; il ne reste plus qu’à
envoyer un messager à cheval.
L’éruption du Vésuve, le 24 août 79 de notre ère, ensevelit Herculanum et Pompéi
en Italie. Pline le Jeune écrivit à Tacite pour témoigner des phénomènes qui
entraînèrent la disparition de son oncle Pline l’Ancien. Voici un extrait significatif de la
Lettre VI,16 de sa Correspondance décrivant le balancement des constructions sous
l’effet des ondes de cisaillement : « Tous se consultent : faut il demeurer à l’abri ou
errer en un lieu découvert ? Par des tremblements de terre répétés et amples, les mai
sons étaient secouées ; elles semblaient arrachées de leurs fondements et oscillaient
de droite et de gauche. En terrain découvert, au contraire, pleuvaient des fragments de16 Propagations d’ondes acoustique et élastique
Figure 1.4. Réplique en bronze du séismoscope de Zhang Heng. Un lourd pendule à l’intérieur
relie des tringles qui peuvent pousser les boules dans la gueule des dragons et ainsi les faire
tomber dans la gueule des crapauds en contrebas. Le crapaud nourri indique le secteur où le
tremblement a eu lieu.
pierres ponces, légers et poreux certes, mais qui semblaient redoutables. C’est
pourtant à cette solution qu’on se rallia, tout bien considéré : chez mon oncle, ce fut par
raison, chez les autres, par comparaison des périls. On se pose sur la tête des oreillers
5retenus par des linges : ce fut leur protection contre tous ces projectiles .»
Ce texte est une sorte d’enregistrement d’un tremblement de terre antique, enre
gistrement mêlé d’humanité.
Il faut attendre les temps modernes en 1795 pour trouver le premier séismographe
construit par l’italien Ascanio Filomarino pour surveiller les secousses telluriques du
Vésuve et enregistrer à la fois leur direction, leur amplitude et leur date. L’appareil
5. « [...] On décida de se rendre au rivage pour voir sur place s’il était devenu possible
d’embarquer. Là, on étendit un linge ; mon oncle s’y coucha. [...] à l’approche des flammes et à l’odeur
du soufre qui les annonce, ses compagnons prirent la fuite sans l’éveiller... Le jour suivant,
on trouva son corps intact, parfaitement conservé ; [...] il ressemblait, plus qu’à un mort, à un
homme endormi. »


Brève histoire des ondes 17
comprend un stylet au bout d’un lourd pendule et une horloge qui démarre quand la
secousse commence. Filomarino mourra sur les pentes du Vésuve dans une émeute
déclenchée par ses propres installations jugées néfastes.
1.3. Renaissance
Léonard de Vinci (1452 1519) fut un génie d’une époque charnière. En témoignage
de ses capacités, évoquons qu’il était gaucher mais qu’il écrivait dans ses carnets en
écriture miroir ; cette écriture, reflétée dans un miroir, devient normalement lisible. Il
passait d’une écriture à l’autre familièrement.
Léonard avait noté dans son carnet une phrase du Manuel de l’artisan du peintre
toscan de Cennino Cennini (1360 1440) : « Cette occupation qu’on appelle la peinture,
requiert imagination et habileté manuelle si l’on veut découvrir les choses que l’œil
ne voit pas, qui se dissimulent dans l’ombre d’objets naturels et si l’on veut fixer à la
main afin de présenter à la vue ce qui, en vérité, n’existe pas. »
De Platon (427 348 avant J. C.), philosophe grec idéaliste, il accepte la thèse selon
laquelle il y a entre l’homme et l’univers une relation érigée en doctrine du
macrocosme et du microcosme : l’univers est un gigantesque organisme vivant tandis que
l’homme est un univers en miniature.
A l’époque de la Renaissance, les néo platoniciens prétendaient encore que, toutes
6les choses changeant sans cesse, il faut contempler l’Idée abstraite qui est éternelle
et qu’il est vain d’observer un objet particulier qui n’en est qu’un reflet éphémère ;
seules comptent les Notions. Le monde sensible n’est qu’une apparence, une ombre
qu’on ne peut comprendre que par déduction des Idées qui se déclinent en Notions.
Léonard de Vinci était d’un avis complètement opposé ; en premier lieu, il avait le
génie de l’observation; c’est pourquoi, il s’apparente plutôt à l’école grecque
d’Aris7tote qui par induction à partir des faits et des observations allaient vers les idées. Il
6. Extrait de La République de Platon, Livre VI : « Apprends maintenant ce que j’entends par
la deuxième section des choses intelligibles. Ce sont celles que la raison elle même saisit par
la puissance dialectique, tenant les hypothèses non pour des principes, mais pour de simples
hypothèses, qui sont comme des degrés et des points d’appui pour s’élever jusqu’au principe de
tout, qui n’admet plus d’hypothèse. Ce principe atteint, elle descend, en s’attachant à toutes les
conséquences qui en dépendent, jusqu’à la conclusion dernière, sans faire aucun usage d’aucune
donnée sensible, mais en passant d’une idée à une idée, pour aboutir à une idée. »
7. Aristote (384 322 avant J.-C.) est le fondateur de l’école du lycée ou école péripatéticienne
car il enseignait à ses élèves en se promenant ( "o& promenoir) avec eux sous les
portiques du gymnase. Il fut le précepteur d’Alexandre le Grand. Dans son Traité du ciel, il fonde
la cosmographie et donne des exemples solides et audacieux du fonctionnement par induction18 Propagations d’ondes acoustique et élastique
n’est pas sans importance de noter qu’Aristote, oublié pendant des siècles, redevient
connu en Occident au Moyen Age par l’intermédiaire des arabes, notamment
Aver8roès . (Kant appelle discursif le mode de penser qui va du particulier à l’universel.)
Il ne donnait pas aux mathématiques le sens qu’on leur donne aujourd’hui : « Seule
science qui porte sa preuve en elle même » ; elles étaient faites surtout de géométrie et
de proportion. Et l’œil, en observant, peut découvrir ces proportions et les possibilités
de la vision sont illimitées. Léonard a écrit : « Celui qui perd la vue perd sa vision de
l’univers et il est comme un enterré vivant qui remuerait et respirerait encore dans sa
tombe. »
Le croquis d’eau impétueuse de la figure 1.5 levé à la main gauche par Léonard est
digne d’un instantané de modélisation de la mécanique des fluides par sa puissance
d’observation. De nombreux dessins de Léonard de Vinci représentent des enroule
ments sinueux et des boucles de chevelure ; ils montrent son attrait pour les phéno
mènes turbulents. Toute sa vie, Léonard de Vinci fut obsédé par les mouvements de
l’eau et c’est en maintes circonstances qu’il a pu appliquer ses subtiles et perspicaces
observations sur les ondes.
En optique, Léonard note que « l’angle d’incidence est toujours égal à l’angle de
réflexion ». En mécanique, il fut le premier à formuler un principe d’inertie selon
lequel tout corps immobile demeurera immobile à moins d’entrer en contact avec un
agent extérieur et en corollaire, un corps en mouvement poursuivra sa course si un
agent, le frottement par exemple, ne s’oppose pas à lui. Dans un de ses manuscrits, il a
écrit : « Aucune chose, quelle qu’elle soit, ne peut se mouvoir par elle même mais son
mouvement s’opère par une vertu infusée dans les corps. Cette vertu est la force. » Et
encore : « Tout mouvement tend à se maintenir ; autrement dit, tout corps mû continue
de se mouvoir tant que la force motrice demeure en lui. » N’oublions pas qu’avant
d’étiqueter ce principe, premier principe de Newton, on l’a utilisé pendant des siècles
comme le principe d’inertie de Léonard. Ce principe est l’un des piliers utilisés pour
établir l’équation des ondes au chapitre suivant.
de la pensée qui chemine depuis l’observation vers le concept général :
– observation : quand un navire vient de l’horizon, l’observateur aperçoit d’abord la voile
puis il voit la coque ;
– réflexion : cet ordre est impossible si la terre est plate. La terre a donc de la courbure et
avec des observations complémentaires au moyen d’étoiles, il déduit que la terre est sphérique,
trois siècles avant notre ère ;
– concept : le cosmos tourne tout autour de la terre.
e8. Averroès vécut à Cordoue et Marrakech au XII siècle et fut désavoué à la fois par les mu
sulmans et les chrétiens mais exerça une profonde influence sur eux.Brève histoire des ondes 19
Figure 1.5. L’eau se précipite depuis un déversoir dans un lac. Cette esquisse de flots impé
tueux illustre sa vision d’une grande vigueur. Le dessin semble issu d’une simulation d’ordi
nateur mais Léonard de Vinci le hisse au rang d’une œuvre d’art. Sur cet instantané, les
tourbillons sont bien représentés à plusieurs échelles de la turbulence : 1) train d’ondes frontales
se déplaçant à l’horizontale, 2) tourbillons plutôt verticaux dans l’épaisseur de l’eau, 3) divers
bouillonnements et bulles qui viennent éclater en surface. L’onde astationnaire (on dirait un
arrêt sur image) est puissamment propagée tant en surface qu’en profondeur.
Léonard était passionné par l’optique et la perspective, par les relations entre la
mécanique et l’art car les lois de la mécanique doivent également s’appliquer aux
proportions en art. Il appliqua les mathématiques à la peinture avec passion et crut
pendant longtemps qu’elles étaient la clef de toute connaissance.
La méthode aristotélicienne s’approfondit avec René Descartes qui publie en latin
dès 1637 le Discours de la Méthode avec une annexe intitulée Dioptrique dans laquelle
il formalise, à l’aide des mathématiques, les deux lois fondamentales de l’optique
géométrique :
– loi de la réflexion,
– loi de la réfraction.
Pour représenter une onde, il utilise une balle impulsée par une raquette : « Sup
posons que la terre est parfaitement plate et dure et que la balle va toujours d’égale
vitesse, tant en remontant qu’en descendant... après qu’elle n’est plus touchée de la20 Propagations d’ondes acoustique et élastique
raquette, ni considérer aucun effet de sa pesanteur, ni de sa grosseur, ni de sa figure...
la lumière suit les mêmes lois que le mouvement de cette balle. »
René Descartes pressent déjà la dualité onde corpuscule avec la symbolique de la
balle ; toutefois, à cette époque, la liaison théorique entre les vibrations mécaniques,
les vibrations acoustiques et les vibrations lumineuses n’est pas faite.
Figure 1.6. René Descartes (1596 1695) fut un philosophe français et un scientifique ; il déve
loppa une théorie connue comme la philosophie mécanique. Cette philosophie eut une grande
influence jusqu’à ce qu’elle soit mise en sommeil par la méthode de Newton. Détail du tableau
de Frans Hals au musée du Louvre.
Son premier point, pour établir la loi de la réflexion, consiste à réfuter qu’il y ait un
point de repos en B (voir ce point d’impact sur la figure 1.7) comme les philosophes
aristotéliciens l’affirment : « On ne doit pas imaginer qu’il soit nécessaire qu’elle
s’arrête quelque moment au pointB avant que de retourner versF ; car si son mouvement
était une fois interrompu par cet arrêt, il ne se trouverait aucune cause, qui le fît par
après recommencer. » C’est une application typique du principe d’inertie de Léonard.
Ensuite, René Descartes, inventeur de la géométrie analytique en deux dimen
sions, applique sa méthode de décomposition du mouvement en deux mouvements
plus simples ; voici le texte fondateur de tous les raisonnements ultérieurs en optique
géométrique, associé à la figure 1.7 : « [...] la détermination à se mouvoir vers quelque
côté peut [...] être divisée entre toutes les parties desquelles on peut imaginer qu’elleBrève histoire des ondes 21
est composée ; [...] on peut aisément imaginer que celle de la balle qui se meut d’A
versB est composée de deux autres, dont l’une la fait descendre de la ligneAF vers la
ligneCE, et l’autre en même temps la fait aller de la gaucheAC vers la droiteFE,en
sorte que ces deux, jointes ensemble, la conduisent jusques à B suivant la ligne droite
AB. Et ensuite il est aisé à entendre, que la rencontre de la terre ne peut empêcher que
l’une des deux déterminations et non point l’autre en aucune façon. »
Il en conclut la loi de réflexion : « Vous voyez ainsi facilement comment se fait la
réflexion, à savoir selon un angle toujours égal à celui qu’on nomme l’angle
d’incidence. »
Figure 1.7. L’observateur lance une balle avec sa raquette vers un point B où elle se réfléchit
sur la terre hachurée sans s’arrêter. Les angles d’incidence et de réflexion sont égaux de part
et d’autre de la normale BH à la surface terrestre en B (figure d’après la Dioptrique).
La première difficulté, pour établir la loi de la réfraction, consiste à traverser
l’interface : « Supposons qu’une balle poussée d’A vers B, rencontre au point B, non
plus la superficie de la terre mais une toile CBE, qui soit si faible et déliée que cette
balle ait la force de la rompre et de passer tout au travers, en perdant seulement une
partie de sa vitesse... »
La balle en B (voir figure 1.8) entre dans un milieu de vitesse un tiers plus rapide
que celle du milieu incident. « Si on décrit le cercle AD et les lignes AC,HB etFE
en telle sorte qu’il y ait d’un tiers moins de distance entreFE etHB qu’entreHB et22 Propagations d’ondes acoustique et élastique
AC, le point I où la ligneFE et le cercle AD s’entrecoupent, désignera le lieu vers
lequel cette balle, étant au point B doit se détourner. »
Figure 1.8. Le rai incident AB est tracé dans le milieu incident et le rai réfracté BI dans le
milieu hachuré. La réflexion se fait au point B ; les milieux sont tels que la vitesse dans la terre
hachurée est un tiers plus rapide que celle dans le milieu incident. Cette construction du rai
réfracté est mauvaise (figure d’après la Dioptrique).
Voici, avec une conclusion en deux temps, la loi établie par Descartes : « La raison
ou proportion qui est entre ces angles varie à toutes les diverses inclinaisons des rayons
au lieu que celle qui est entre les lignesAH etIG ou semblables, demeure la même en
toutes les réfractions qui sont causées par les mêmes corps [...] Pour déterminer leur
quantité, en tant qu’elle dépend de la nature particulière des corps où elles se font, il
est besoin d’en venir à l’expérience [...] car il suffit de les examiner en un seul rayon,
pour connaître toutes celles qui se font en une même superficie, et on peut éviter toute
erreur, si on les examine outre cela en quelques autres. » :
AH
= indice [1.1]
IG
Dès la parution de la Dioptrique, sa loi de la réfraction sera considérée comme
fausse par certains et la critique est formulée aujourd’hui en terme de sinus que
Descartes ignore dans son texte tout autant que le rapport des vitesses des deux milieux.Brève histoire des ondes 23
René Descartes ne parle que d’un invariant, un rapport constant de deux longueurs,
qui est fonction des deux milieux mais pas des angles ; cependant, il s’est trompé sur
la construction du rai réfracté (voir figure 1.9) ; plusieurs erreurs successives ont eu
un effet compensatoire. Pourtant, le premier novembre 1635, René Descartes avait
9envoyé sa Dioptrique, complétée de Météores à son ami Christiaan Huygens pour
qu’il les lui corrige avant publication ; ce dernier semble n’avoir pas détecté d’erreurs
quoique je sois dans l’ignorance de sa réponse, s’il en a faite une !
Sa seconde conclusion est par contre exacte et c’est lui qui fut le premier à
considérer l’indice de réfraction des milieux. En particulier, à partir de ce résultat, il établit
le premier traité de fonctionnement de l’œil et une méthodologie de la taille des verres
pour la construction des lunettes astronomiques.
Figure 1.9. Le rai incident AB et le rai réfléchi BF sont dans le milieu incident ; il n’y a pas
de polémique sur ce point. Par contre, il y en a une pour le rai transmis. La vitesse du milieu
réfractant (milieu hachuré) est un tiers plus rapide que celle du milieu incident. Le rai BJ de
Descartes est en trait tireté avec un angle de réfraction plus petit que l’angle d’incidence et le
bon rai BI est en trait continu avec un angle plus grand.
9. Extrait de sa lettre à C. Huygens datée du premier novembre 1635, deux ans avant l’édition :
« [...] J’aurai l’effronterie de vous demander aussi les corrections touchant le dedans de mes
écrits avant que je les abandonne à un imprimeur, au moins si je puis vous trouver cet hiver en
quelque séjour plus accessible que celui où vous êtes, et où j’aie moyen d’avoir audience. »24 Propagations d’ondes acoustique et élastique
La figure 1.9 compare le rai réfracté construit par René Descartes et le bon rai. Une
polémique s’est développée autour de cette erreur et il est des avocats pour donner à
Willebrord Snell la paternité de cette loi à cause d’un document qu’il aurait écrit dès
ele début du XVII siècle, qui aurait disparu par la suite et qu’on aurait retrouvé après
sa mort.
Quoi qu’il en soit, la géniale modernité de ce grand visionnaire, à travers
une œuvre abondante et largement multidisciplinaire, est aujourd’hui évidente et il
convient de résumer son ambition qui, dans le carcan où la pensée académique s’est
alors enfermée, apporte comme une fraîcheur de liberté :
10– substituer à la science incertaine du Moyen Age et aux confusions de la Scho
lastique une science dont la certitude égale celle des mathématiques ;
– trier de cette science les applications qui selon la formule celèbre du Discours
de la méthode, rendront les hommes comme maîtres du monde et possesseurs de la
Nature ;
– situer cette science par rapport à l’être en donnant ainsi une solution au conflit
11qui oppose science et religion (« Cogito ergo sum »).
Pierre de Fermat (1601 1665) fut conseiller au parlement de Toulouse et s’adonna
avec passion aux mathématiques en tant que violon d’Ingres. Il fut mal accepté par les
mathématiciens académiques contemporains. Son œuvre a été publié en 1679 dans un
ouvrage intitulé : Varia Opera mathematica.
Il découvrit indépendamment de René Descartes la géométrie analytique qu’il
conçut en trois dimensions mais ne publia pas ses travaux. Il posa avant Isaac Newton
les bases du calcul différentiel et il comprit, le premier, que de nombreux phénomènes
physiques se développaient selon un principe d’optimalité.
REMARQUE AU SUJET DE L’INVENTION DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.– Fermat,
Leibniz et Newton furent les précurseurs du calcul différentiel. La méthode de New
ton basée sur les tangentes n’a pas eu la fécondité que son auteur espérait. Celle de
Leibniz a eu l’avantage à cause de son caractère multidimensionnel.
On considère un rectangle dont les côtés ont les longueurs a et b. Son aire est ab
indiquée en gris clair sur la figure 1.11. On note d(ab) le différentiel de l’aire (ab),
10. Rappelons parmi les inventions de René Descartes, inventeur de la géométrie analytique,
qu’il fut le premier à faire des graphes pour interpréter géométriquement les fonctions mathé
matiques en deux dimensions ; c’est pourquoi son nom est associé aux coordonnées dites
cartésiennes. En mécanique, rappelons que René Descartes a établi que la quantité fondamentale du
mouvement est la masse multipliée par la vitesse (connue comme la de mouvement) et
non la masse multipliée par le carré de la vitesse comme le prétendait Liebniz, par exemple.
11. « Je pense donc je suis. »Brève histoire des ondes 25
Figure 1.10. Pierre de Fermat (1601 1665), homme de loi français, travaillait les mathéma
tiques à ses moments perdus. Il avait pris l’habitude de griffonner des notes en marge des livres
et des lettres de ses amis, plutôt que de publier ses propres travaux. Il inventa la géométrie
analytique indépendammment de Descartes, jeta les fondements du calcul différentiel avant
Newton ; il fit une théorie des nombres (équation diophantine) et en relation avec Pascal, celle
du calcul des probabilités.
c’est à dire une fluctuation de l’aire du rectangle consécutive à une petite fluctuation
de longueur des côtés. Le différentiel s’écrit strictement :
d(ab)=adb+bda+ dadb
Les trois termes du second membre correspondent chacun aux trois aires figurées
en gris foncé et en hachuré sur la figure. L’idée fondamentale du calcul différentiel
consiste à négliger le dernier terme produit dadb.
En divisant par l’aire ab, on obtient l’expression simplifiée :
d(ab) db da
= +
ab b a
d(ab)
Le premier terme représente l’excédent d’aire dû à la dilatation quadratiqueab
du rectangle. Les deux termes du second membre représentent les dilatations linéaires
de chacun des côtés du rectangle. Ainsi, une quantité produit est calculée au moyen
de la somme de deux quantités simples.
Ce calcul fut utilisé notamment par Robert Hooke pour jeter les bases de la théorie
de l’élasticité et écrire une loi linéaire entre les contraintes et les déformations (les
dilatations) explicitée au chapitre sur la formulation continue des équations de
l’élastodynamique.26 Propagations d’ondes acoustique et élastique
Figure 1.11. Principe de la figure utilisée par Leibniz pour son calcul différentiel
Le principe énoncé par Pierre de Fermat a une grande généralité car il exprime que
le chemin choisi par la Nature pour aller d’un point A à un point B est toujours un
chemin optimal ; la Nature utilise toujours les voies les plus faciles, les plus directes,
les voix extrêmes (minimales et maximales) vis à vis de l’énergie. L’application de
ce principe au calcul des trajectoires des rais en réflexion et réfraction a été un des
premiers calculs variationnels et il montre :
– que les rais incidents, réfléchis et réfractés sont dans un même plan, ce que l’op
tique géométrique établit également ;
– qu’ils correspondent à des trajectoires à temps de parcours minimaux ou
maximaux (et non pas seulement minimaux). Cette dernière propriété n’est pas accessible
au moyen de l’optique géométrique cartésienne.
12Il démontre , contrairement aux résultats obtenus par Descartes, la vraie loi de
la réfraction : le rapport des sinus de l’angle r du rai réfracté au sinus de l’angle i du
12. Quelqu’un sait-il comment Pierre de Fermat a démontré ces lois ? Peut-être a t-il griffonné
la démonstration en note dans une marge ? Toujours est-il qu’aujourd’hui un calcul
d’optimisation élémentaire permet d’illustrer le résultat. Faisons le pour leproblème du maître nageur.
Un maître nageur est en A a une distance h du rivage. Il voit en B un nageur se noyer à uneA
distance h du rivage. La distance le long du rivage entre A et B est L. Le maître nageur courtB