À la (re)découverte de l'arithmétique de Diophante

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Description

En se confrontant à l'oeuvre de P. Fermat, qui lui-même se confrontait au travail de Diophante, S. Coquerand compose un essai de mathématiques inédit, pointu, riche d'observations, d'annotations, mais aussi de propositions de résolutions, qui éveilleront la curiosité de tous les amoureux de l'arithmétique. Complété encore par la résolution de problèmes méconnus, car issus d'une traduction arabe de Diophante qui nous est récemment parvenue, cet ouvrage acquiert une profondeur historique indéniable et est une invitation à jeter un regard neuf sur les classiques.

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Date de parution 01 octobre 2015
Nombre de visites sur la page 17
EAN13 9782342042665
Langue Français

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À la (re)découverte
de l’arithmétique
de Diophante




Du même auteur

L’Équation de Pell-Fermat
2 2
x –dy =1 revisitée,
Publibook, 2015

Serge Coquerand









À la (re)découverte
de l’arithmétique
de Diophante

Édition complétée et enrichie de quatre
livres de l’Arithmétique de Diophante

Énoncés et résolutions de tous les problèmes contenus dans les
livres l à Vl parus dans le livre de Pierre Fermat sous le titre de
"Précis des œuvres mathématiques et de l’arithmétique
de Diophante"par M.E.Brassinne, complétés et enrichis de
quatre livres retrouvés dans une traduction arabe.









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IDDN.FR.010.0120644.000.R.P.2015.030.31500




Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015




Préface


C'est en 1853 que paraît une édition en français du livre
Précis des œuvres mathématiques de P.Fermat par E.
Brassinne, professeur à l'école impériale d'artillerie à
Toulouse. L'auteur mentionne dans son introduction la
publication en latin du Recueil des Mémoires de P.Fermat
en 1679 des principales découvertes de Fermat. Du fait de
la rareté des exemplaires, la nécessité d'une réimpression
s'avérait nécessaire. Le Gouvernement français avait alors
voté un projet de loi dans lequel un crédit était accordé
pour une réimpression des œuvres complètes de P.Fermat.
Malheureusement des circonstances firent que ce projet ne
vit jamais le jour. Peut-être était-ce dû en partie aux
nombreux fragments rédigés en latin.
C'est pourquoi le professeur Brassinne proposa de
rédiger en français une partie des œuvres de Fermat en
"s'approchant à n'altérer ni à n'omettre aucune des idées ou
des démonstrations de l'inventeur et en profitant pour notre
exposition des avantages de l'écriture algébrique
moderne".
La seconde partie de son Précis est consacrée aux six
livres complets de l'Arithmétique de Diophante. On y
retrouve des résolutions attribuées à Diophante, lequel
résout quelques problèmes déterminés et un grand nombre
de problèmes indéterminés qui ne dépassent pas le second
degré. Fermat généralise et cherche à obtenir un nombre
infini de solutions. Il perfectionne le procédé des doubles
égalités et il l'étend aux triples égalités.

9

Ce livre présente les six livres parus dans l'édition de
1853 augmentés de la résolution complète de tous les
problèmes énoncés.
Enfin, la troisième partie est consacrée aux quatre
livres retrouvés dans une traduction arabe et publiés
en français en 2013 par MM Roshdi Rashed et
Christian Houzel sous le titre "Les Arithmétiques de
Diophante", p 265 à 367, éditions de Gruyter.

10




Livre I



Le livre I comprend 43 problèmes et l’édition dont il est
fait mention commence ainsi :
Diophante établit d’abord quelques définitions, qu’il est
inutile de rappeler, et il admet la règle des signes, qu’on
démontre dans la multiplication algébrique, comme un
axiome.Les solutions des problèmes que Diophante
propose doivent être rationnelles, c’est-à-dire entières ou
fractionnaires.

Ci-après en écriture italique : le texte tel qu’il est imprimé
dans sa version originale de M.E.Brassinne.
En caractère droit : l’apport du présent auteur.

Proposition l :Diviser un nombre donné en deux parties,
qui diffèrent entre elles d’un nombre donné.

Résolution I :Soientܰle nombre donné etο൏ ܰla
différence des parties. Siݔest la première partie, alorsݔെܰ,
qui est la deuxième partie, remplit la première condition. Il
faut ensuite queെݔെܰݔʹൌሻݔെܰሺégaleǻ, donc que

ݔൌሺܰ൅οሻ.


Proposition II :Diviser un nombre donné en deux parties
qui soient entre elles dans un rapport donné.

11

Résolution II: Soientܰ lenombre donné et݇le rapport
donné,ݔpremière partie du nombre, laܰݔെ
ladeuxième partie du nombre pour satisfaire à la première

condition. Il faut ensuite queൌ݇, la première partie
ே ି ௫
ே௞ ே
xet la deuxième partie vaudraܰݔെ. sera
௞ ା ଵ௞ ା ଵ


Proposition III:un nombre donné en deux par- Diviser
ties, telles que la plus grande soit égale au triple de la
plus petite, plus quatre unités.

Résolution III :Soientܰle nombre donné,ݔla partie la

plus grande,ܰȂ ݔ lapartie la plus petite qui remplit la
première condition. Il faut ensuite satisfaire la deuxième
condition൅ Ͷሺܰ െ ݔሻݔ ൌ͵. La première partieݔ
vauଷே ା ସே ି ସ
dra etla deuxième partieܰ Ȃ ݔ .sera égale à
ସ ସ

Proposition IV :Trouver deux nombres qui soient dans un
rapport donné et qui diffèrent d’une quantité donnée.

Résolution IV: Soient݇ ൐ͳ lerapport donné etǻ la

différence. On veut trouver deux nombresܽ etܾ,ܽ൐ܾ,
tels queܽ ൌܾ݇ et߂ൌܾെܽ. Les nombres seront
௞ο ο
ܽ ൌ etܾ ൌ .
௞ ି ଵ௞ ି ଵ

Proposition V :Diviser un nombre en deux parties, telles
qu’une fraction de la première partie, ajoutée à une
fraction de la seconde, fasse un nombre donné.

12


Résolution V: Soientܰnombre donné, leݔ lapremière

partie etܰ Ȃ ݔ ladeuxième partie du nombre pour
satis

faire à la première condition,ߜݔ etߚሺܰȂ ݔሻfractions les
de chacune des parties. La deuxième condition devient
ሺଵ ି ఉሻே
ߜݔ൅ߚሺܰെݔሻൌܰ, d’où la première partieݔ ൌ
ఋ ି ఉ
ሺఋ ି ଵሻே
et la deuxièmepartieൌݔെܰ.
ఋ ି ఉ


Proposition VI :Diviser un nombre en deux parties, telles
qu’une fraction de la première, diminuée d’une fraction de
la seconde, fasse une différence donnée.

Résolution VI: Soientǻ ladifférence donnée,ݔpre- la
mière partie etെܰݔdeuxième partie du nombre pour la

satisfaire à la première condition,ߜݔetߚ ሺܰȂݔሻles
fractions de chacune des parties. On veut remplir la deuxième
conditionߚሺܰെݔሻൌ߂ߜݔെ,d’où la première partie
ο ା ఉேఋே ି ο
ݔ ൌ et la deuxième partieܰ െ ݔൌ
ఋ ା ఉఋ ା ο
avec߂ ൏ ߜܰsi on veutǤ൐ Ͳܰ െ ݔ


Proposition VII: Trouverun nombre tel, qu’en le
diminuant successivement de deux nombres donnés, les deux
restes soient dans un rapport assigné.

13

Résolution VII :Soientܽetܾ les deux nombres donnés,
ݎ ݎ݇
ଵpremier reste, leଶle deuxième reste, et le rapport
ݎ ൌ݇ݎ ്݇ ͳ
donné tel queଵ ଶOn cherche un nombre, .
ܰ ܰെ ܽൌݎ ݎȂ ܾൌ
avecଵ etଵݎଶ, d’où le nombre
௞௕
ܰൌܽ൅.
௞ ି ଵ

Proposition VIII: Trouverun nombre tel, qu’en
l’augmentant successivement de deux nombres donnés, les
deux sommes soient dans un rapport assigné.

Résolution VIII :Soientܽetbles deux nombres donnés
et݇ le rapport donné. On cherche un nombreܰ tel que la
première sommeܰܽ൅puis la deuxième somme ,
ܰ൅ܽ൅ܾtels que soientሻ൅ܾ൅ܽሺܰൌ݇൅ܽܰ avec
kb
݇൏ͳ, d’où le nombreN = െa.
1ିk

Proposition IX: Trouverun nombre tel, qu’étant
retranché de deux nombres donnés, les deux restes soient dans
un rapport assigné.

Résolution IX: Soientܽ etܾ lesdeux nombres donnés,
ܽ൐ܾ,ܰnombre cherché, alors leെܰܽ estégal au

premier reste etܾܰ െau deuxième reste, on veut
satisfaire à la condition, pour un rapportͳ݇ ് donné,
௞௕ ି ௔
ܽെܰൌ݇ሺܾെܰሻǡ d' oùܰ ൌ.
௞ ି ଵ

14


Proposition X :On donne deux nombres, on veut en
trouver un troisième tel, qu’étant ajouté avec le plus petit, et
soustrait au plus grand, la somme et la différence soient
dans un rapport assigné.

Résolution X: Soientܽ etܾdeux nombres donnés, les
ܽ൐ܾǡ݇rapport donné, on cherche le troisième le
nombreܰ tel que ajouté au plus petitܰ൅ܾdu, soustrait
plus grandܰܽെ, on doit satisfaire à la conditionܰ ൅
௞௔ ି ௕
ܾൌ݇ሺܽെܰሻ, d'oùܰ ൌ.
௞ ା ଵ

Proposition XI :Trouver un nombre tel, qu’étant
augmenté d’un nombre, ou diminué d’un autre nombre donné, la
somme et la différence soient dans un rapport donné.

Résolution XI :Soientͳ്݇ le rapport donné etܰle
nombre cherché, la somme avec un nombredonnéܽ est

ܰ ൅ܽle nombre diminué d’un autre nombre donné ,ܾ
estܰ െܾ, on veut satisfaire à la condition
௞௕ ା ௔
ܰ ൅ ܽൌ݇ ሺܰെ ܾሻǡd’oùܰ ൌ.
௞ ି ଵ

Proposition XII: Unnombre est donné, il faut le diviser
de deux manières en deux parties telles, qu’une partie du
premier mode de division ait un rapport assigné avec une
partie du second mode, et que les deux parties restantes
aient aussi entre elles un rapport déterminé.

15

Résolution XII :Soientܰ le nombre donné,ݔ etݔܰെ
les deux parties selon le premier mode de partage,ݕ et
ܰെݕ lesdeux parties selon le deuxième mode de
parܰ െ ݔൌ݇ ሺܰ െ ݕሻǡ
tage, on veut queݔൌ݇ଵݕ etଶoù
݇ ݇
ଵ etଶ sontles rapports donnés. Les parties seront
௞ ேሺଵି௞ ሻ௞ ேሺ௞ ିଵሻ ேሺଵି௞ ሻ
భ మమ భమ
ݔ ൌ ,ܰ െ ݔൌ ,ݕ ൌ ,et
௞ ି௞ ௞ି ௞௞ ି௞
భ మభ మభ మ
ேሺ௞ ିଵሻ

ܰെݕൌ .
௞ ି௞
భ మ

Proposition XIII :Diviser un nombre donné en deux
parties de trois manières différentes telles, qu’une partie du
premier mode de division soit à une partie du second
mode dans un rapport donné; que, de plus, la partie
restante du second mode ait un rapport donné avec une
partie du troisième, et qu’enfin la partie restante du
troisième mode ait un rapport donné avec la partie restante
du premier mode.

Résolution XIII :Soientܰle nombre donné,ݔetݔܰെ
les deux parties selon le premier mode de partage,ݕ et

ܰ െݕ lesdeux parties selon le deuxième mode de
par

tage,ݖetെܰݖles deux parties selon le troisième mode
de partage. On donneݕݔ ൌ݌,݌donné;ܰ െ ݕ ൌݍݖ,
ݍdonné,ሺܰ െܰ െ ݖ ൌݎݔሻ, ݎ donné.
Les différentes parties seront:
௣ேሺଵି௤ା௤௥ሻ ேሺଵି௣ା௣௤ሻ ேሺଵି௤ା௤௥ሻ
ݔ ൌ;ݔൌܰെ;ݕ ൌ;
ଵ ା ௣௤௥ଵା௣௤௥ ଵା௣௤௥

16

௤ேሺଵି௥ା௣௥ሻ ேሺଵି௥ା௣௥ሻ௥ேሺଵି௣ା௣௤ሻ
ܰെݕൌ;ݖ ൌ;ݖൌെܰ
ଵା௣௤௥ ଵା௣௤௥ଵା௣௤௥
.

Proposition XIV : Trouverdeux nombres tels, que leur
produit ait un rapport donné avec leur somme.

Résolution XIV:Soientܽ etܾ lesdeux nombres,
ܲൌܾܽproduit, leur൅ܾܵൌܽleur somme etk le
rapport donné tel queܵܲ ൌ݇. L’équation générale du

deuxième degré൅ܲൌͲȂݔݔܵadmet deux solutions
ܽ etܾ avecܵ ൌܽ൅ ܾ etܲ ൌܾܽ.
ଶ ଶ
Le discriminant݇ܵെͶൌܵെܵܲͶൌο. Si on
veut des solutions rationnellesil faut alors que le
discriଶ
minant soit égal à un carréߜ. La technique qu’utilisent
systématiquement Diophante et Fermat par la suite est de
ଶ ଶ
poserߚሻߜ ൌሺܵ െ, d’oùܵ െെ ߚሻͶ݇ܵ ൌሺܵ donne


ܵ ൌ. Le paramètre݇étant donné, il suffit de choisir
ଶఉିସ௞

une valeur deȕ.


Proposition XV : Trouverdeux nombres tels, que si on
augmente chacun d’eux d’un nombre donné différent, pris
en moins sur l’autre, chaque somme soit à chaque reste
dans un rapport donné.

Résolution XV :Soientݔetݕles nombres cherchés,ܽle
nombre donné différent avecܽ൏ݔ etݕܽ൏, on veut

17

résoudreܽሻെݕ݌൅ሺܽൌݔetെ ܽሻݕ ൅ ܽ ൌݍሺݔǡ ݌ et
ଵାଶ௣ା௣௤
ݍdonnés; on trouve les nombresݔ ൌ et
௣௤ିଵ
ଵାଶ௤ା௣௤
ݕ ൌ.
௣௤ିଵ

Proposition XVI :trois nombres tels, qu’étant Trouver
ajoutés deux à deux, les trois sommes soient égales à des
nombres assignés.

Résolution XVI :Soientܽ,ܾetܿles trois nombres
donnés. On cherche les nombresݔǡ ݕetztels queൌܽݔ ൅ ݕ,
ݕ൅ݖൌܾ etൌܿݖ ൅ ܽ .La résolution des conditions
௖ ା ௔ ି ௕௔ ା ௕ ି ௖௕ ା ௖ ି ௔
donne les valeursݔ ൌ;ݕ ൌ;ݖ ൌ.
ଶ ଶ ଶ

Proposition XVII :quatre nombres tels, que les Trouver
quatre sommes obtenues, en les ajoutant trois à trois
soient égales à des nombres donnés.

Résolution XVII:Soientܽ ǡ ܾǡܿ et݀ les quatre
nombres donnés. On cherche les nombresw,x,y etztels
que
ݓ ൅ ݔ ൅ ݕൌܽ,ൌܾݔ ൅ ݕ ൅ ݖ,ݕ ൅ ݖ ൅ ݓൌܿet
௔ ା ௖ ା ௗ ି ଶ௕
ݖ ൅ ݓ ൅ ݔൌ݀seront. Les nombresݓ ൌ,

௔ ା ௕ ା ௗ ି ଶ௖௔ ା ௕ ା ௖ ି ଶௗ௕ ା ௖ ା ௗ ି ଶ௔
ݔ ൌ,ݕ ൌ etݖ ൌ.
ଷ ଷଷ

18

Proposition XVIII :trois nombres tels, que les Trouver
sommes de deux quelconques surpassent le nombre restant
de nombres donnés.

Résolution XVIII:Soientܽ,b etctrois nombres les

donnés. On cherche les nombresݔ,ݕ etݖ telsque
ݔ ൅ ݕ െ ݖൌܽ,ݕ ൅ ݖ െ ݔൌܾ etݖ ൅ ݔ െ ݕൌܿ. Les
௔ ା ௖௔ ା ௕௕ ା ௖
nombres seront alorsݔ ൌ,ݕ ൌ etݖ ൌ.
ଶ ଶଶ

Proposition XIX :Diophante donne une seconde solution
de la question XVIII.

Proposition XX, XXI : Trouverquatre nombres tels, que
la somme de trois surpasse celui qui reste d’un nombre
assigné.

Résolution XX,XXI :Soientܽ,ܾ,ܿ et݀quatre les
nombres donnés. On cherche les nombresݓ,ݔ,ݕetݖtels

que
ݓ൅ݔ൅ݕെݖൌܽ,ݔ൅ݖെݕ൅ܾݓൌ,ݕ ൅ ݖ ൅ ݓ െ
ݔൌܿ etൌ݀൅ݔെݕݓ൅ݖ. Les nombres seront
௔ ା ௖ ା ௗ ି ௕௔ ା ௕ ା ௗ ି ௖௔ ା ௕ ା ௖ ି ௗ
ݓ ൌ;ݔ ൌ;ݕ ൌ;
ସ ସ ସ
௕ ା ௖ ା ௗ ି ௔
ݖ ൌ.


Proposition XXII :Diviser un nombre donné en trois
parties telles, que la somme des deux premières ait un rapport
donné avec la troisième.

19


Résolution XXII:Siܰ estle nombre donné,ܽ,ܾ,
ܰെሺܽ൅ܾሻles trois parties, on veut que
ܽ൅ܾൌ݇ሺܰെሺܽ൅ܾሻሻ pour݇donc que donné,
௞ே
ܽ ൅ ܾ ൌǤ
௞ ା ଵ

Proposition XXIII, XXIV :trois nombres tels, Trouver
que le plus grand surpasse le moyen d’une fraction
donnée du plus petit, que le moyen surpasse le plus petit de la
même fraction du plus grand, et qu’enfin le plus petit
surpasse d’un nombre donné la même fraction du moyen.
Par exemple: les nombres 45, 37 + ½, 22 + ½ sont tels
que le plus grand 45 surpasse le moyen du tiers du plus
petit, que le moyen surpasse le plus petit du tiers de 45, et
qu’enfin le plus petit surpasse de 10 le tiers du moyen.

Résolution XXIII,XXIV :Soientܰ lenombre donné,݇

la fraction donnée,ݔ,ݕ etݖtrois nombres à trouver, les
avecݔ ൐ ݕ ൐ ݖ. On veut queݔ െ ݕ ൌ݇ ݖ,ݕ െ ݖ ൌ
݇ ݔetܰെݖݕ݇ൌ. Les trois nombres seront

ேሺ௞ ା ଵሻேሺ௞ ାଵሻ ேሺ௞ି ଵሻ
ݔ ൌ,ݕ ൌ etݖ ൌ.
య యయ
௞ ାଶ௞ ି ଵ௞ ାଶ௞ ି ଵ௞ ାଶ௞ ି ଵ


Proposition XXV :Trouver trois nombres tels, que, si on
diminue chacun d’une certaine fraction de sa valeur et
qu’on en augmente le suivant, les trois résultats obtenus
soient des nombres égaux.
Par exemple: le premier nombre cèdera le tiers de sa
valeur au second, le second cèdera le quart de sa valeur au

20

troisième, et ce dernier le cinquième de sa valeur au
premier; après cet échange, les résultats seront des nombres
égaux. Solution :͸ǡ Ͷǡ ͷ.

Résolution XXV :En reprenant l’exemple cité, le premier
nombre͸cède le tiers de sa valeurʹau second et reçoit le
cinquième de la valeur du troisième, soitͳ; ainsi, au final,
͸െʹ൅ͳൌͷ. Le deuxième nombreͶcède le quart de sa
valeurͳtroisième et reçoit le tiers du premier, soit auʹ;
au final,ൌʹ൅ͳͷͶെ. Le troisième nombre reçoit le
quart du deuxième nombre, soitͳ, et cède le cinquième de
sa valeurͳ; au final,൅ͷͷൌͳെͳ.

Proposition XXVI :Trouver quatre nombres tels, que
chacun cédant au suivant une fraction de sa valeur, les
résultats après les échanges effectués, soient égaux.

Résolution XXVI:Exemple: le premier cèdera le quart
de sa valeur au deuxième, le deuxième cèdera la moitié de
sa valeur au troisième, le troisième cèdera les deux tiers de
sa valeur au quatrième et le quatrième cèdera le cinquième
de sa valeur au premier nombre. Les nombres seront
ͳʹǡ ͳͶǡ ͻǡ ͷ.

Proposition XXVII :Trouver trois nombres tels, qu’un
quelconque étant augmenté d’une fraction assignée de la
somme des deux autres, les résultats soient des nombres
égaux.
Exemple: le premier sera augmenté du tiers de la somme
des deux autres, le second du quart de la somme des deux
autres, le troisième du cinquième de la somme des deux
autres. Nombres de Diophante:ͳ͵ǡ ͳ͹ǡ ͳͻ.

21


Proposition XXVIII :La question XXVII appliquée à
quatre nombres: ici chacun est augmenté d’une fraction
de la somme des trois autres.

Résolution XXVIII:Exemple: le premier sera augmenté
du tiers de la somme des trois autres, le second du quart de
la somme des trois autres, le troisième du cinquième de la
somme des trois autres, le quatrième du sixième de la
somme des trois autres. Les nombres sont:Ͷ͹ǡ ͹͹ǡ ͻʹǡ ͳͲͳ.

Proposition XXIX :Deux nombres étant donnés, en
trouver un troisième tel, qu’étant multiplié successivement par
les deux premiers, un des produits obtenus soit le carré de
l’autre.
Exemple: nombres donnésʹͲͲ,ͷ: nombre cherchéܰ. On
veut queʹͲͲܰsoit égal au carré deͷܰ, ou que

ʹͲͲܰൌʹͷܰ, d’oùൌͺܰ.

Proposition XXX :donne la somme et le produit de On
deux nombres : trouver ces deux nombres.

Solution: Soit݌ lasomme des deux nombres,ݍ
leurproduit. Diophante prend pour inconnueݔ, différence des
deux nombres, et il remarque que le produitdonné
మ మ
௣ ି௫
ݍ ൌ, d’où il déduitݔ. En général, Diophante
raସ

mène l’équation du second degré à la formeൌ݇ݔ; et
pour cet effet, il fait constamment usage de cette relation

22

algébrique qu’il énonce sur des nombres particuliers:
௔ା௕ ௔ି௕
ଶ ଶ
ሺሻെሺሻൌܾܽ.
ଶ ଶ

Résolution XXX :Remarque: L’équation du second degré

peut s’écrire൅ܲൌͲݔെݔܵ oùܵla somme des est
solutions etܲ leproduit des solutions. Le discriminant
ଶ ଶ
߂ൌܵെͶܲൌߜ donneߜà la différence des solu- égal
మ మ
ௌି ఋ
tions, d’oùܲ ൌ.ܵetܲdonnés, il suffit de étant

résoudre l’équation du second degré.

Proposition XXXI :deux nombres tels, que leur Trouver
somme et la somme de leurs carrés fassent des nombres
donnés.
Exemple: La somme de deux nombres sera 20, la somme
de leurs carrés 208. Un des nombres seraͳͲ ൅ ܰ,
l’autreͳͲ െ ܰ, la somme de leurs carrés

ʹܰ ൅ʹͲͲ ൌʹͲͺ,ʹܰൌ.

Proposition XXXII :Trouver deux nombres tels, que leur
somme et la différence de leurs carrés fassent des nombres
donnés.

Résolution XXXII :Soientܵla somme des nombres et߂
la différence de leurs carrés. Le premier nombre sera
ௌ ௌ
൅ ܰ, le deuxièmeെ ܰ. La différence des carrés est
ଶ ଶ
ο
οൌʹܵܰ, d’oùܰ ൌ.
ଶௌ

23

Exemple :ൌʹܵͲ et߂ ൌʹͲͲ,ൌܰͷ, les nombres sont
ͳͷetͷ.

Proposition XXXIII :On donne le produit et la différence
de deux nombres, trouver ces deux nombres. (Prendre la
somme des deux nombres pour l’inconnue)

Résolution XXXIII :De l’équation du deuxième degré

ݖെܵݖ൅ܲൌͲ,ܵest la sommeݔ ൅ ݕdes solutions et
ܲle produitݔݕdes solutions. Le discriminant
ଶ ଶ
߂ൌܵെͶܲൌߜ oùߜ estla différenceݔ െ ݕsolu- des
tions, si elles existent. Connaissantܲ etߜ, on calcule
ଵ ଵ

ܵ ൌξߜ൅ Ͷܲ, puisሻݔൌሺܵ൅ߜetൌݕܵሺߜെሻ.
ଶ ଶ

Proposition XXXIV :deux nombres ayant entre Trouver
eux un rapport donné, et tels que la somme de leurs carrés
soit à la somme des nombres dans un rapport donné.
Exemple: Le second sera le triple du premier nombreܰ;

ce second sera͵ܰ; la somme de leurs carrésͳͲܰ
vaudra par exemple cinq fois la sommeͶܰ desnombres; on

aura doncܰൌͲͳʹܰͲ, d’oùܰʹൌ.

Proposition XXXV : Trouverdeux nombres en rapport
donné tels, que la somme de leurs carrés ait un rapport
assigné avec la différence des deux.

24

Résolution XXXV:Posons le premier nombre݇ܰ plus
grand que le second nombreܰ, donc൐ͳ݇; la somme de
ଶ ଶ
leurs carrésሺ݇ ൅ͳሻܰvaudraߚሺ݇ െͳሻܰ, on aura donc
ఉሺ௞ ି ଵሻ
ଶ ଶ
ሺ݇ ൅ͳሻܰ ൌߚሺ݇െ ͳሻܰ, d’oùܰ ൌ.

௞ ାଵ

Proposition XXXVI : Trouverdeux nombres en rapport
donné tels, que la différence de leurs carrés soit à la
somme des nombres dans un rapport assigné.

Résolution XXXVI:Posons le premier nombre݇ܰ plus

grand que le secondܰ, doncͳ݇൐; la différence de leurs
ଶ ଶ
carrésሺ݇ െͳሻܰvaudra൅ͳሻܰߚሺ݇, on aura donc

ଶ ଶ
ሺ݇ െͳሻܰ ൌߚሺ݇൅ ͳሻܰ, d’oùܰ ൌ.
௞ ି ଵ

Proposition XXXVII :Trouver deux nombres en rapport
donné tels, que la différence de leurs carrés soit, dans une
raison donnée, avec la différence des deux nombres.

Résolution XXXVII :Posons le premier nombre݇ܰplus
grand que le secondܰ, donc݇ͳ൐; la différence de leurs
ଶ ଶ
carrésͳሻܰሺ݇ െvaudraሺߚ݇െͳሻܰ, on aura donc

ଶ ଶ
ሺ݇ െͳሻܰ ൌߚሺ݇െ ͳሻܰ, d’oùܰ ൌ.
௞ ା ଵ

Proposition XXXVIII :Trouver deux nombres en rapport
donné tels, que le carré du plus petit soit dans un rapport
donné avec le plus grand.

25

Résolution XXXVIII:Posons le premier nombre݇ܰ

plus grand que le secondܰ, doncͳ݇൐;ܰvaudra

ߚሺ݇ܰሻ, on aura doncߚൌ݇ܰܰ, d’oùൌߚ݇ܰ.

Proposition XXXIX : Trouverdeux nombres en raison
donnée tels, que le carré du plus petit soit dans un rapport
donné avec ce nombre lui-même.

Résolution XXXIX:Posons le premier nombre݇ܰ plus

grand que le secondܰ, doncͳ݇൐;ܰvaudraߚሺܰሻ, on

aura doncൌܰߚܰ, d’oùܰൌߚ.

Proposition XL :Trouver deux nombres en raison donnée
tels, que le carré du plus petit ait un rapport assigné avec
la somme des deux nombres.

Résolution XL :Posons le premier nombre݇ܰplus grand

que le secondܰ, donc൐݇ͳ;ܰ vaudraߚሻܰሺ݇൅ͳ, on

aura doncܰ ൌߚሺ݇൅ ͳሻܰ, d’oùܰ ൌߚሺ݇ ൅ͳሻ.

Proposition XLI : Trouverdeux nombres en raison
donnée tels, que le carré du plus petit ait un rapport assigné
avec la différence des deux nombres.

Résolution XLI:Posons le premier nombre݇ܰ plus

grand que le secondܰ, doncͳ൐݇;ܰvaudra

ߚሺ݇െͳሻܰ, on aura doncെ ͳሻܰܰ ൌߚሺ݇, d’où
ܰ ൌߚሺ݇െ ͳሻ.

26

Proposition XLII :Trouver deux nombres en raison
donnée tels, que le carré du plus grand ait un rapport assigné
avec le plus petit.

Résolution XLII:Posons le premier nombre݇ܰ plus

grand que le secondܰ, donc݇ ൐1;ሺ݇ܰሻvaudra


ߚሺܰሻ, on aura doncܰൌሻߚሺܰ݇, d’oùܰ ൌ.



Proposition XLIII :Deux nombres étant donnés, en
trouver un troisième tel, que deux de ces trois nombres étant
ajoutés, et leur somme étant multipliée par le nombre qui
reste, les trois résultats classés par ordre de grandeur
soient en progression arithmétique.
Exemple: Nombres donnés͵ǡ ͷ; nombre cherchéܰ;
il faudra queͺܰ,ሺ͵ͷ൅ܰሻ,ͷ͵൅ܰሻሺ, soient en
progression arithmétique, ou queܰʹൌܰͷͷȂͳ,

d’oùʹ൅ൌܰ.


Résolution XLIII :Posonsܽെݎ,ܽ,ݎܽ൅, les termes
en progression arithmétique de raisonݎ. La différence de
deux termes consécutifs donne la raisonݎ. Les trois
quantités sont
ܽെݎൌͺܰ,ܽܰ͵ͳ൅ൌͷ,ܰͷ൅ͳͷൌݎ൅ܽ.
La différence des deux premiers termesെͷͳܰͷݎൌet
la différence des deux suivantsܰൌݎʹà ré- conduit
ଵହ
soudreͷെͳͷܰʹൌܰ, d'oùܰ ൌ.

27




Livre II




Le livre II comprend 35 propositions.

Ci-après en écriture italique : le texte tel qu’il est imprimé
dans sa version originale de M.E.Brassinne.
En caractère droit : l’apport du présent auteur.

Proposition I :deux nombres tels, que leur Trouver
somme soit dans un rapport donné avec la somme de leurs
carrés.

Résolution I :Posonsݑle rapport donné. On cherche les
మ మ
௔ ା௕
nombresܽetܾtels que:ݑ ൌ. Posons൅ܽൌܾܵet
௔ ା ௕
ܲൌܾܽ, somme et produit des solutions de l’équation du

deuxième degréܲൌݔܵ൅ݔെͲ.
ଶ ଶ
Le discriminant߂ ൌܵെ Ͷܲൌߜdoit être rationnel.
మ మమ మ
௔ ା௕ ሺ௔ା ௕ሻି ଶ௔௕ௌି ଶ௉
ݑ ൌൌ ൌd’où on tire
௔ ା ௕௔ ା ௕ௌ

ଶ ଶଶ ଶ
ʹܲ ൌܵെ ݑܵetߜ ൌܵ െʹሺܵ െݑܵሻ, donc

ଶ ଶ
ܵെʹݑܵ൅ߜൌͲ. Commeߜun nombre rationnel, est
posonsߚൌߜܵavecߚrationnel.
ଶ ଶ
Il vient൅ͳሻܵሺߚͲൌܵݑʹെ. Pourݑdonné,

29

ଶ௨ ଵ
ܵ ൌexemple, si. ParͳൌͲݑ, prenonsߚ ൌ൏ ͳ,

ఉ ାଵ ଷ
d’oùͺͳൌܵ,͸ൌߜʹ͹ൌܲǡ,ܽ ൌ͸etܾൌͳʹ.

Proposition II :Trouver deux nombres tels, que leur
différence soit à la différence de leurs carrés dans un rapport
donné.

Résolution II :Posonsݑle rapport donné. On cherche les
మ మ
௔ ି௕
nombresܽetܾtels que, pourܽ൐ܾ:ݑ ൌൌܽ ൅ ܾ.
௔ ି ௕
Posonsܽ൅ܾܵൌݑൌ,ܲൌܾܽ, le discriminant
ଶ ଶଶ ଶ
߂ൌܵെͶܲൌߜdoit être rationnel etെ Ͷܲߜ ൌݑ,
Posonsߜ ൌߚݑavecߚrationnel, d’où, pourݑdonné,
మ మ
௨ ሺଵି ఉሻ ହ
ܲ ൌ. Par exemple,siൌܵݑ ൌ, prenons
ସ ଶ
ଵ ଻ହହ ଵହହ
ߚ ൌ൏ ͳ, d’oùܲ ൌ;ൌൌߜݑߚ;ܽ ൌetܾ ൌ.
ଶ ଺ସସ ଼଼

Proposition III : Trouverdeux nombres tels, que leur
produit soit dans un rapport donné avec leur somme ou
avec leur différence.

Résolution III:Posonsݑrapport donné. On cherche le
les nombresܽetܾtels que, pourܾܽ൐:
௔௕ ௉
Cas I: On veutൌݑ ൌ, le discriminant
௔ ା ௕ௌ
ଶ ଶଶ ଶ
߂ൌܵെͶܲൌߜdoit être rationnel etߜ ൌܵെ Ͷݑܵ,
Posonsܵߚൌߜavecߚrationnel, d’où, pourݑdonné,

30

ସ௨
ܵ ൌ. Onchoisira arbitrairementߚ ൏ ͳavoir pour

ଵ ି ఉ

une somme positive. Par exemple siݑ ൌ, prenons


ଵ ସ଴ଶ଴ ଵ଴଴
ߚ ൌ൏ ͳ, d’oùൌܵܵǡൌൌߚǡߜ ǡܲ ൌݑܵ ൌ
ଶ ଷଷ ଷ
ଵ଴
ܽൌͳͲetǤൌܾ

௔௕ ௉
Cas II: On veutݑ ൌൌ, le discriminant
௔ ି ௕ఋ
ଶ ଶଶ ଶ
߂ൌܵെͶܲൌߜdoit être rationnel etߜ ൌܵ െͶݑߜ,
Posonsൌߚܵߜavecߚrationnel, d’où, pourݑdonné,
ସ௨ఉ
ܵ ൌ .On choisira arbitrairementߚ ൏ ͳ pouravoir

ଵ ି ఉ

une somme positive. Par exemple siǡݑ ൌprenons

ଵ ଶ଴ଵ଴ ଶହ
ߚ ൌ൏ ͳ, d’oùǡൌߚܵ ൌǡ ߜܵ ൌ ǡߜ ൌܲ ൌݑ
ଶ ଷଷ ଷ

ܽൌͷetܾ ൌ.


Proposition IV : Trouverdeux nombres tels, que leur
somme soit dans un rapport donné avec la somme de leurs
carrés.

Résolution IV :même donnée que la proposition I.

Proposition V :Trouver deux nombres tels, que leur
différence soit à la différence de leurs carrés dans un rapport
donné.

Résolution V :même donnée que la proposition II.

31

Proposition VI :On donne la différence de deux nombres
et la différence de leurs carrés. Trouver ces nombres.

Résolution VI :Soient ߜla différence de deux nombres et
ݒla différence de leurs carrés. On cherche les nombresܽ
ଶ ଶ
etܾtels que, pourܾܽ൐,ߜ ൌܽ െܾetെ ܾݒ ൌܽ. En
posantܵ൅ܾൌܽ, il vientݒൌߜܵ, et les nombres seront
ଵ ௩ଵ ௩
ܽ ൌሺ ൅ߜሻetܾ ൌሺ െߜሻ.
ଶ ఋଶ ఋ

Proposition VII :deux nombres tels, que leur Trouver
différence soit dans un rapport donné avec la différence
de leurs carrés et que cette dernière différence surpasse la
première d’un nombre donné.

Résolution VII:Soient ݑ ് ͳ lerapport etݒnombre le

donné. On cherche les nombresܽ etܾ, avecܽ൐ܾ, par
ଶ ଶଶ
exemple. On veutሻሺܾݑܽെൌܽെܾ etሺܽ െ

ܾ ሻȂ ሺܽ െ ܾሻൌݒLa première condition donne .ݑ ൌ
ܽ൅ܾǡla deuxième devientݒൌሻͳሻሺݑെሺܽെܾd’où
ଵ ௩ଵ ௩
ܽ ൌሺݑ ൅ሻetሺݑ െܾ ൌሻ.
ଶ ௨ିଵଶ ௨ିଵ

Proposition VIII, IX :un carré donné en deux Diviser
autres carrés.

Exemple: Soitͳ͸carré donné, j’appellerai leܰ et

ͳ͸ െܰles carrés cherchés, il reste à trouverܰ, de telle

32

ଶ ଶ
sorte queͳ͸ െܰ soitun carré. Je poseͳ͸ െ ܰൌ
ଵ଺

ሺʹܰെͶሻ, d’oùܰ ൌǤ


OBS. DE FERMAT. Décomposer un cube en deux autres
cubes, une quatrième puissance, et généralement une
puissance quelconque en deux puissances de même nom
au-dessus de la seconde puissance, est une chose
impossible, et j’en ai assurément trouvé l’admirable
démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait
pas.

Résolution VIII, IX :
Remarque importante 1:
Comme vous pouvez le constater, Diophante et Fermat
choisissent un carré qui remplit une des conditions posées
et ensuite utilisent un procédé pour faire en sorte de
satisfaire à la deuxième condition. Cette manière de résoudre
les problèmes est utilisée tout au long de ce livre.
En posantെܰͶʹ, l’élévation au carré conduira à faire
disparaître le terme constant dans la résolution de
l’équation.
ème
2 remarque:on peut également poser
ଵ଺
ଶ ଶ ଶ
ͳ͸െܰൌሺߚܰሻ, d’oùܰ ൌ. Pour queܰsoit un

ఉ ାଵ

nombre rationnel, il faut choisir le paramètreߚles parmi

33

triplets pythagoriciens. Par exemple du tripletሺ͵ Ǣ Ͷ Ǣ ͷሻ
ଷ ଵ଺
ଶ ଶଶ
qui vérifie͵൅Ͷൌͷ, on prendraߚ ൌǡetǤܰൌ
ସ ହ
ଵ଺ ଵଶ
ଶ ଶ
On vérifie alors bien queሺ ሻͳ͸ ൌሺሻ ൅.
ହ ହ

ème
3 remarque:L’observation de Fermat laisse penser
qu'une démonstration élémentaire existe. Il a fallu attendre
plus de 300 ans pour que cethéorème soit correctement
démontré. C’est finalementle mathématicienAndrew
Wilesqui en donna une démonstration complète en 1994.

Proposition X :un nombre qui est la somme de Diviser
deux carrés en deux autres carrés.
Exemple: Soit le nombre donnéͳ͵ ൌͶ൅ ͻ, j’appelle
ଶ ଶ
ሺʹ൅ܰሻ etሺʹܰെ͵ሻdeux autres carrés cherchés; les
ଶ ଶ
on devra avoir :͵ሻൌ൅ͻͶሻܰ൅ʹሺെܰʹሺ൅, d’où

ܰൌǤ


OBS. DE FERMAT. Un nombre composé de la somme de
deux cubes ne pourrait-il pas être décomposé en deux
autres cubes? Cette question difficile n’a pas été
assurément connue de Viete, de Bachet, et peut-être même de
Diophante; j’en ai cependant donné la solution dans les
è
autres notes, à la deuxième question du Livre IV .

Résolution X:Remarque 1:ܽetܾdonnés, on veut étant
ଶ ଶଶ ଶ
trouverܿet݀tels que :ܾ ൌܿ൅ ݀ܽ ൅. Fermat pose

34

de manière généraleܽܿ ൌܰ ൅ et݀ ൌߚܰ െܾ, d’où
ଶሺఉ௕ ି ௔ሻ
ܰ ൌǤ

ఉ ାଵ

Exempleǣ ܽ ൌʹ etܾ ൌ͵, en prenantʹߚൌ,ܰ ൌ ,

ଵ଼ଵ
ܿ ൌetൌǤ݀
ହ ହ
଻ ଵ଻଺
En prenantൌߚ͵,ǡܰ ൌ ܿ ൌet݀ ൌǤOn a bien:
ହ ହହ
ͳͺ ͳͳ͹ ͸
ଶ ଶଶ ଶଶ ଶ
ͳ͵ ൌʹ൅ ͵ൌሺ ሻ൅ ሺሻ ൌሺሻ ൅ሺ ሻൌڮ
ͷ ͷͷ ͷ
Remarque 2:ܽetܾétant donnés, si on veut trouverܿet݀
ଶ ଶଶ ଶ
tels que:െ ܾ݀ ൌܿܽ െ, il faudra alors poser dans
ଶሺఉ௕ ି ௔ሻ
ce casܿ ൌܰ ൅ܽ etܾ݀ ൌߚܰ ൅, d’oùܰ ൌ

ଵ ି ఉ
avec്ͳߚ.
ଵ ଵ଺଻
Exemple :ܽ ൌ͵ etܾ ൌʹ,ߚ ൌǡ ǡܰ ൌെ ǡܿ ൌെet
ଶ ଷଷ

݀ ൌെǤ

଻ ଶଽ ଵ
ଶ ଶଶ ଶଶ ଶ
On a bienൌڮൌሺ ሻʹ ൌͷ͵ Ȃሺ ሻሻ െሻ ൌሺെ ሺ
ଷ ଷସ ସ

Proposition XI :deux carrés qui diffèrent d’un Trouver
nombre donné.
Exemple: Soit͸Ͳdifférence des deux carrés, je repré- la
ଶ ଶ
sente le premier parܰ, le second parሺ൅ܰሻߚ,ߚétant

quelconque; leur différenceൌ͸Ͳʹܰߚ ൅ ߚ; donnant à

ߚdes valeurs arbitraires, telles que͸Ͳߚ ൏, on
déterminera la valeurܰpositive.

35

Proposition XII :À deux nombres donnés, ajouter un
nombre inconnu, de telle sorte que les deux sommes soient
des carrés.
Exemple: Soientʹ et͵nombres donnés, lesܰ lenombre
cherché; d’après l’énoncé on aura la double égalité:
ଶ ଶ
͵ ൅ ܰൌݔ,൅ܰʹൌݕ, d’où il résulte que

ଶ ଶ
ͳ ൌݔെ ݕൌሺݔ െ ݕሻሺݔ ൅ ݕሻ, maisǡͳ ൌͶ ൈje puis

ଵ ଵ଻ଵହ
égalerݔ ൅ ݕ àͶ etݔȂ ݕd’oùà ,ݔ ൌ,ݕ ൌ ,par
ସ ଼଼
ଽ଻
suiteǤൌܰ
଺ସ

Une autre solution dispense de la double égalité.
Désiଶ
gnons le nombre cherché parʹܰ െ, en l’ajoutant àʹon
ଶ ଶ
aura le carréܰ, en l’ajoutant à͵aura onܰ ൅ͳ qui
ଶ ଶ
devra être un carré. Je poseܰ ൅ͳ ൌሺܰെ Ͷሻ, d’où
ଵହ
ܰ ൌqui résoudra le problème.



Résolution XII :
ère
Remarque 1méthode:

De manière générale, soientܽetܾles deux nombres
donnés avecܽ൐ܾ. On veut trouver un nombreܰtel que:
ଶ ଶ
1)ܰൌݑܽ൅et 2)ݒൌܾܰ൅. La différence des deux
ଶ ଶ
carrésݒȂܾȂܽൌݑun nombre qu’on peut toujours est

décomposer en un produit de deux facteurs݌ݍ, avec

36

௣ ା ௤௣ ି ௤
݌ ് ݍ. En posantݑ ൌ etݒ ൌǡ ondéduit la
ଶ ଶ
valeur deܰ. Dans l’exemple,ܽ ൌ͵ etܾ ൌʹ,

ܽȂܾൌͳൌ݌ݍ; en prenant arbitrairement݌Ͷൌ, on a
ଵ ଵ଻ଵହ
doncݍ ൌ, puis on déduitݑ ൌetݒ ൌ et
ସ ଼଼
ଽ଻
ଶ ଶ
ܰൌݑെܽൌݒെܾൌ.
଺ସ

ème
Remarque 2méthode:
Par la suite Diophante et Fermat utilisent très souvent la
deuxième façon de procéder.(cf. proposition VIII,
remarque 1 livre II). Des deux conditions imposées, ils
posent une quantité qui remplit une des conditions et
résolvent ensuite une équation pour satisfaire l’autre

condition. Ici dans l’exemple, en posantെʹܰൌܰǯpour
ଶ ଶ
remplir la conditionʹൌܰ൅ܰǯݕൌ, doncൌݕǯܰ.
Pour remplir la deuxième condition qui estͳ൅ൌ͵ܰ൅
ଶ ଶ
ܰǯൌݔ, on posera généralementݔൌܰǯെߚ, d’où

ఉ ିଵ
ܰǯ ൌǤ Ilsuffit ensuite de choisir une valeur du
paଶఉ
ramètreߚ différentedeͳ. AvecͶൌߚ, on retrouve
ଵହ ଽ଻

ܰ ൌet par suiteܰ ൌǤ
଼ ଺ସ

Proposition XIII :On donne deux nombres, on veut en
trouver un troisième tel, qu’étant soustrait de chacun des
deux premiers, les deux restes soient des carrés.

37

Résolution XIII:Appliquons les deux méthodes
précédentes avecܽ ൌ͵etܾ ൌʹ.

ère
1 méthode:
On veut trouver un nombreܰtel que:
ଶ ଶ
1)െܽݑܰൌet 2)ൌݒെܾܰ. La différence des deux
ଶ ଶ
carrésݍ݌ͳൌݑെݒൌܽെܾൌ. Choisissons
ଵ ହସ ଶ
݌ൌ͵, doncݍ ൌ,ݑ ൌetݒ ൌ, d’oùܰ ൌǤ
ଷ ଷଷ ଽ

ème
2 méthode:
Pour remplir la première condition, on pose par exemple

ܰൌܽെܰǯ, doncܰൌǯݑ. La deuxième condition
deଶ ଶଶ
vientǯൌݒܾെܽ൅ܰǯൌെͳ൅ܰ. On pose

ఉ ାଵ
ݒൌܰǯെߚ, d’oùܰǯ ൌ. Il suffit ensuite de
choiଶఉ
sir une valeur du paramètre. Avecߚ͵ൌ, on retrouve
ହ ଶ

ܰ ൌ, d’oùǤܰ ൌ
ଷ ଽ

Proposition XIV :Trouver un nombre tel, qu’étant
diminué de deux nombres donnés, les deux restes soient des
carrés.

Résolution XIV:Appliquons les deux méthodes
précédentes avec les deux nombres donnésܽ ൌ͵etܾ ൌʹ.

ère
1 méthode:

On veut trouver un nombreܰtel que:

38

ଶ ଶ
1)ܰെݑܽൌet 2)ൌܾെܰݒ. Commeܾ൐ܽ,ݒ ൐ ݑ.
ଶ ଶ
La différence des deux carrésൌͳെ ܾ ൌ݌ݍݑ ൌܽݒ െ.
ଵ ସହ
Choisissons݌ ൌ͵, doncݍ ൌǡ ݑ ൌ etݒ ൌǡd’où
ଷ ଷଷ
ସଷ
ܰ ൌǤ


ème
2 méthode:

Pour remplir la première condition, posonsǯܰ൅ܽܰൌ,
doncǯݑܰൌ. La deuxième condition devient
ଶ ଶଶ
ܰǯ൅ܽെܾൌܰǯ൅ͳൌݒ. On pose alors

ఉ ିଵ
ᇱ ᇱ
ݒ ൌܰെ ߚ ǡd’oùܰ ൌ .Il suffit alors de choisir
ଶఉ
une valeur du paramètreߚdifférente deͳ. Avec͵ൌߚ, on
ସ ସଷ
ᇱ ଶ
trouveܰ ൌǡd’oùൌǤܰൌܰԢ൅ܽ
ଷ ଽ

Proposition XV :Diviser un nombre donné en deux
parties, et trouver un carré tel, qu’étant ajouté à chacune
d’elles, les deux sommes soient des carrés.

Résolution XV:Soitܽnombre donné, les parties du le
nombre serontܰ etܰܽ െ. On cherche un nombreݔ tel

que :
ଶ ଶଶ ଶ
1)ൌݑܰ ൅ ݔet 2)ܽ െ ܰ ൅ ݔൌݒ. En posant
ݑ ൌݔ൅ ߜ etݒ ൌݔ൅ ߚ, et en combinant 1) et 2), il
మ మ
௔ ି ሺఋା ఉሻ
vientǤݔ ൌ
ଶሺఋ ା ఉሻ

39

Par exemple si͹Ͷൌܽ, avec les choix du paramètre
ߚൌͳetʹൌߜ,͹ൌݔ,ൌܰ͵ʹetͳͷܰൌܽെ.
ଷ଻
Avec les choix du paramètreൌͳߚetൌ͵ߜ,ǡݔ ൌ

ଵସ଻ ସ଻
ܰ ൌǡetܽ െ ܰ ൌǤEtc.
ସ ସ

Proposition XVI :Diviser un nombre donné en deux
parties, et trouver un carré tel, qu’étant retranché de chacune
de ces parties, les deux restes soient des carrés.

Résolution XVI:Soitܽ lenombre donné, les parties du
௔ ௔
nombre seront൅ ܰetǤെܰOn cherche un nombreݔ
ଶ ଶ
௔ ௔
ଶ ଶଶ ଶ
tel que: 1)ܰ൅ൌݑȂݔ2) etܰെെݔൌݒ.
ଶ ଶ
ଶ ଶ
Il vientݒ ൌʹܰݑ െ.
ݑ൅ݒൌʹே
On a alorsൌݑ՜ቄͳ൅
ݑെݒൌܰ

௔ ே
ଶ ଶଶ
d’où൅ ሻݔ ൌሺͳ൅ ܰ െݑ ൌà la relation conduit
ଶ ଶ
ଶ ଶ
ሺʹݔሻ ൌʹሺܽെ ʹሻ െ ܰ.
Par exemple si͹Ͷൌܽ, avec le choix du paramètre
ଽ ହଵ
ܰൌ͵,ʹݔ ൌͻ,ݔ ൌǡ ݑ ൌǡetݒ ൌǤ
ଶ ଶଶ

Proposition XVII :Trouver deux nombres dans un
rapport donné et tels, que si on augmente chacun d’eux d’un
carré donné, les deux sommes soient des carrés.

40


Résolution XVII:Soitݎ ൌrapport donné (fraction le


irréductible) avec݌ ൏ ݍ,ܰle carré donné. On chercheܽ
etܾtels que݌ߚൌܽetߚݍܾൌon ait:
ଶ ଶ
1)ܽ ൅ ܰൌݑet
ଶ ଶ
2)ܾ ൅ ܰൌݒ.
ଶ ଶ
ߚ݌ ൅ ܰൌݑ
Autrement dit on veut que:൜ etcomme
ଶ ଶ
ߚݍ ൅ ܰൌݒ
݌ ൏ ݍ, on a൏ܾܽdoncݑ ൏ ݒ. Calculons
మ మ
௣௩ ାሺ௤ ି ௣ሻே
ଶ ଶଶ ଶ
ݍݑ െ݌ݒ ൌሺݍെ ݌ሻܰ d’oùݑ ൌIl .

faut par conséquent faire varier le paramètreݒ,
connaisଵ
santܰ,݌etݍ. Par exemple: siǡݎ ൌetܰൌ͹,ͳ݌ൌet

ݍൌͺ, il s’agit de trouver des valeurs du paramètreݒtels

௩ ାଷସଷ

queǤݑ ൌ

Avec͵ͳൌݒ,ൌݑͺ,ൌܽߚͷൌͳetܾʹͲൌͳ.
Avecͷʹൌݒ,ͳݑͳൌ,ܽൌߚͷͳൌet͹͸ൌͷܾ. Etc.

Remarque :Pour trouver des valeursݑ etݒla réalisant

௩ ାଷସଷ

conditionݑ ൌ ,on peut procéder de la manière

suivante :
ଶ ଶ
On a:൅ ͸ͺ͸ή ݒሺͶݑሻ ൌʹ. Posonsݒ ൌߜܰ െߚ. On
ଶ ଶଶ ଶ
obtient alors൅ ͸ͺ͸ ൌሺͶݑሻെ Ͷߜߚܰ ൅ ʹߚʹߜ ܰ.
Avecൌߚ͹, le terme constant est un carré, la condition

41

ଶ ଶଶ ଶ
devenantെ ʹͺߜܰ ൅ ʹͺʹߜ ܰൌሺͶݑሻ. En posant alors
ଶ଼ሺఋାଶሻ
Ͷݑ ൌʹͺ ൅ ܰ, on auraܰ ൌ .Par exemple, si

ଶఋ ିଵ
ߜൌʹǡܰൌͳ͸ǡݑൌͳͳǡݒൌʹͷ.
AvecǡͶͺൌൌܰݑݒǡͷݐൌ݁ߜ͵ͳൌ, on retrouve les
valeurs citées dans l’exemple précédent.

Proposition XVIII, XIX :Trouver trois nombres tels,
qu’une fraction de chacun d’eux, plus un nombre donné,
étant ajoutés au nombre suivant, les trois résultats obtenus
après ces opérations soient égaux.
Exemple: Les trois nombres doivent être tels, que le
seଵ
cond étant augmenté dudu premier plus͸, le troisième

ଵ ଵ
dudu second plus͹du troisième plus, le premier duͺ,
଺ ଻
les trois résultats soient égaux.

Résolution XVIII,XIX :Soientܽpremier nombre, leܾ
le deuxième nombre etܿle troisième nombre et݇donné.
On veut satisfaire les conditions suivantes


ܾ൅൅ሺ݇൅ͳሻൌܰ
ۓ௞
ۖ

ܿ൅൅ሺ݇൅ʹሻൌܰ
Avec݇ͷൌ, il vient
ሺ௞ାଵሻ
۔

ۖ
ܽ൅൅ሺ݇൅͵ሻൌܰ
ሺ௞ାଶሻ
ە

௔ଵ଼ହேିଵହ଴଴
ܾ ൅൅ ͸ ൌܰܽ ൌ
ۓ ۓ
ହ ଶଵଵ
ۖ ۖ
௕ ଵ଻ସேି ଽ଺଺
ܿ൅൅͹ൌܰ d’où ܾൌ
଺ ଶଵଵ
۔ ۔
௖ଵ଼ଶேିଵଷଵ଺
ۖ ۖ
ܽ ൅൅ ͺ ൌܰܿ ൌ
ە
଻ەଶଵଵ

42


Avec le choix deܰͲʹൌʹ, on obtient les nombres entiers
ܽൌͳ͹Ͳ,ൌͳ͸ʹܾetൌܿͺ͸ͳ.
Avec le choix deܰͳ͵ൌͶ, on obtient les nombres entiers
ܽൌ͵ͷͷ,͵͵ൌܾ͸et͵ʹͷൌܿ.

Proposition XX :Trouver trois carrés tels, que la
différence du plus grand et du moyen ait un rapport donné
avec la différence du moyen et du plus petit.
Exemple: Le rapport donné est trois, le plus petit carré
ଶ ଶ
seraܰ, le carré moyenሺ൅ܰͳሻ; comme la différence de
ces carrés est൅ܰͳʹ, d’après la valeur du rapport
donné, l’excès du plus grand carré sur le moyen vaudra
ଶ ଶ
ሺʹܰ൅͵ሻ, le plus grand carré sera doncሺܰ ൅ ͳሻ൅
͸ܰ൅͵Ǥfaut trouver une valeur particulière de Ilܰ qui
rende cette dernière expression un carré; Diophante


l’égale àሻ͵൅ܰሺet il obtientܰ ൌʹǤ


Résolution XX:Soientܽ leplus grand carré,ܾcarré le
du moyen etܿle troisième carré et݇le rapport donné. On

ଶ ଶଶ ଶ
veut satisfaire la condition:ܽ െܿ ൯൫ܾ Ȃܾ ൌ݇.
Fermat indique que Diophante poseܿ ൌܰ etܾൌܰ൅ͳ
avec݇ൌ͵. Il obtient alors:
ଶ ଶଶ ଶଶ
ܽൌܾ൅݇ሺܾെܿሻൌሺܰ൅ͳሻ൅͵ሺʹܰ൅ͳሻൌ

ܰ൅ͺܰ൅Ͷ. Diophante pose͵ܽ ൌܰ ൅. On peut très

bien poser de manière générale൅ ߚܽ ൌܰavec

ߚ ് ʹpour faire disparaître le terme enܰalors on ou
poseraܰߚൌܽʹ൅pour faire disparaître le terme
cons

43


ఉ ିସ
tant. Dans le premier casܰ ൌ ,pourߚൌ͵ on
ଶሺସ ି ఉሻ

retrouveʹൌܰ ; dans le deuxième cas, on trouve

ସሺଶ ି ఉሻଷ ଵ
ܰ ൌ et pourߚ ൌon auraǤܰ ൌʹ

ఉ ିଵ ଶଶ

Proposition XXI,XXII :Trouver deux nombres tels, que
le carré de chacun d’eux étant augmenté de l’autre, les
deux sommes soient des carrés. Pour la question XXII on
retranche au lieu d’ajouter.

Résolution XXI:On cherche a et b deux nombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)ܾ ൌݑܽ ൅et 2)ܾ ൅ܽ ൌݒ. En posant൅ʹܾܽൌ
ͳ, la première condition est remplie carݑ ൌܽ ൅ͳ. Pour
ଶ ଶ
satisfaire à la deuxième conditionͳൌݒͷ൅ܽܽͶ൅il
faut soit poserߚ൅ܽʹൌݒ pourfaire disparaître le terme

enܽ soitposerݒൌߚܽ൅ͳ pourfaire disparaître le

ఉ ିଵ
terme constant. Dans le premier cas,ܽ ൌet en
preହ ି ସఉ
ଷ ଵଽ
nant par exempleെʹߚൌ, il vientܽ ൌ etܾ ൌ.
ଵଷ ଵଷ
ହ ି ଶఉ
Dans le cas II,ܽ ൌ ,ߚ ് േʹ, et en prenant par

ఉ ିସ

exempleߚ ൌെͳͳ, on retrouve les valeurs deܽ ൌ et
ଵଷ
ଵଽ
ܾ ൌǤ
ଵଷ

44

Résolution XXII:On chercheܽ etܾ deuxnombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)ܽ െܾ ൌݑet 2)ܾ െܽ ൌݒ. En posant
ܾൌʹܽെͳ, la première condition est remplie car
ݑ ൌܽ െ ͳ. Pour satisfaire à la deuxième condition
ଶ ଶ
Ͷܽെͷܽ൅ͳൌݒfaut soit poser ilݒൌʹܽെߙ pour

faire disparaître le terme enܽsoit poserͳݒ ൌߚܽ െpour
faire disparaître le terme constant. Dans le premier cas,

ఉ ିଵ
ܽ ൌ eten prenant (ߚ ് ʹsinonܾൌܽൌͳ) par
ସఉ ି ହ

exemple la valeur du paramètreൌ͵ߚ, on trouveܽ ൌet

ଽ ଶఉି ହ
ܾ ൌǤle cas II, Dansܽ ൌ ,ߚ ് േʹ, et en prenant

଻ ఉି ସ
ଷ ଼
par exempleߚ ൌ onretrouve les valeurs deܽ ൌ et
ଶ ଻

ܾ ൌǤ


Proposition XXIII,XXIV :Trouver deux nombres tels,
que si le carré de chacun étant augmenté de la somme des
deux, les deux résultats soient des carrés. Pour la question
XXIV les carrés sont diminués de la somme des nombres.

Résolution XXIII:On cherche a et b deux nombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)ൌݑܽ ൅ ܾܽ ൅2) etܾܾ൅ܽ൅ݒൌ. En posant
ܾൌܽ൅ͳ, la première condition est remplie car

45

ݑ ൌܽ ൅ ͳ. Pour satisfaire à la deuxième condition
ଶ ଶ
ܽ൅Ͷܽ൅ʹൌݒ, il fautposerݒ ൌܽ െ ߚfaire pour

ఉ ିଶ

disparaître le terme enܽ: on trouveܽ ൌ.
ଶሺఉ ା ଶሻ

En prenant la valeur du paramètre͵ൌߚ, on obtient
଻ ଵ଻
ܽ ൌetܾ ൌǤ
ଵ଴ ଵ଴

Résolution XXIV:On chercheܽ etܾ deuxnombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)െܽሺܾ൅ൌሻݑܽ et2)ܾെሺܽ൅ܾሻൌݒ. En
posantܾͳെܽൌ, la première condition est remplie car
ݑ ൌܽ െ ͳ. Pour satisfaire à la deuxième condition
ଶ ଶ
ܽ െͶܽ ൅ ʹൌݒ ilfaut poserݒ ൌܽ െߚfaire pour

ఉ ିଶ

disparaître le terme enܽ: on trouveǤܽ ൌEn
preଶሺఉ ି ଶሻ

nant la valeur du paramètreൌ͵ߚ, on obtientܽ ൌ et


ܾ ൌǤ


Proposition XXV,XXVI :Trouver deux nombres tels,
que si le carré de leur somme est augmenté de l’un ou de
l’autre nombre, les sommes soient des carrés. Pour la
question XXVI on retranche au lieu d’ajouter.

Résolution XXV:On chercheܽ etܾ deuxnombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)ൌݑ൅ ܽሺܽ ൅ ܾሻet 2)ሺܽ ൅ ܾሻ൅ ܾ ൌݒ.

46

Posons d’abordܿ ൌܽ ൅ܾ. La condition 1) devient
ଶ ଶ
ܿ ൅ܽ ൌݑ. En prenantͳെʹܿ൅ൌܽ onremplit la
première condition carݑ ൌܿ െ ͳ. Commeܾܿ ൌܽ ൅, il
ଵ ି ଷ௔
vientܾ ൌ etla deuxième condition devient


௔ ି଼௔ ା ଷ௔ ା ఉ

ൌݒ. Il faut alors poserݒ ൌet on obtient
ସ ଶ

ଷ ି ఉଵ ଵଵ
ܽ ൌǤEn prenantǡߚ ൌ onauraܽ ൌ et
ଶሺఉ ା ସሻଶ ଷ଺

ܾ ൌǤ
ଶସ

Résolution XXVI:On cherche a et b deux nombres tels
que
ଶ ଶଶ ଶ
1)ሺܽ ൅ ܾሻെ ܽ ൌݑet 2)ሺܽ ൅ ܾሻെ ܾ ൌݒ.
Posons d’abordܿ ൌܽ ൅ܾ. La condition 1) devient
ଶ ଶ
ܿ െܽ ൌݑ. En prenantܽ ൌʹܿ െͳ onremplit la
première condition puisqueݑ ൌܿ െ ͳ. Commeܾܿ ൌܽ ൅,
ଵ ି ௔
il vientܾ ൌet la deuxième condition devient


௔ ାସ௔ ି ଵ௔ ି ఉ

ൌݒ. Il faut alors poserݒ ൌet on obtient
ସ ଶ

ఉ ାଵ ହ
ܽ ൌ .En prenantʹߚൌ, on auraܽ ൌ et
ଶሺఉ ା ଶሻ଼

ܾ ൌǤ
ଵ଺

Proposition XXVII,XXVIII :Trouver deux nombres tels,
que si à leur produit on ajoute l’un ou l’autre nombre, les
sommes soient des carrés. Il faut aussi que la somme des

47

côtés des carrés soit égale à un nombre donné. Pour la
proposition XXVIII du produit des deux nombres, on
retranche l’un ou l’autre nombre.
Exemple de la proposition XXVII. La somme des côtés des
carrés doit être égale à͸; j’appelle les nombres cherchés
ܰ,Ͷെܰͳ, leur produit augmenté de chacun d’eux, donne
ଶ ଶ
Ͷܰ, etܰͶ൅ܰ͵ͳെqui doivent être des carrés; il suffit

pour cela de déterminerܰposant l’égalité enͶܰ ൅

͵ܰെͳൌሺ͸െʹܰሻ, ce qui détermineܰ; alors les côtés
des carrés étantʹܰ, et͸ െ ʹܰ, leur somme vaut͸.

Résolution XXVII :On chercheܽetܾdeux nombres tels
ଶ ଶ
que 1)൅ܾܽݑൌܽ, 2)ݒൌܾܾܽ൅ et 3)ܰݑ൅ݒൌ,
ܰ étantdonné. La première condition est réalisée en
poଶ
santܾൌߚͳെܽ,ܽߚൌݑ, d’oùൌܰݒܽെߚet la
deuxième condition devient
ଶ ଶଶ ଶ
ߚܽ൅ሺߚെͳሻܽെͳൌሺܰെߚܽሻd’où
మ మ
ே ାଵ ሺఉேି ଵሻ
ܽ ൌetܾ ൌ.
మ మ
ఉ ାଶఉே ି ଵఉ ାଶఉே ି ଵ
ଷ଻ ଶହ
Ainsi avecൌܰ͸etͳൌߚ,ܽ ൌetǤܾ ൌ
ଵଶ ଵଶ

Résolution XXVIII:On chercheܽ etܾnombres deux
ଶ ଶ
tels que 1)ൌݑെܾܽܽ, 2)ܾܾܽെݒൌ et 3)
ݑ ൅ ݒൌܰ,ܰétant donné. La première condition est
réaଶ
lisée en posantൌܾ൅ܽߚͳ,ൌߚܽݑ, d’oùߚܽݒ ൌܰ െ
et la deuxième condition devient
ଶ ଶଶ ଶ
ߚܽെሺߚȂͳሻܽെͳൌሺܰെߚܽሻd’où

48

మ మ
ே ାଵ ሺఉேା ଵሻ
ܽ ൌetܾ ൌ.
మ మ
ଶఉே ା ଵ ି ఉଶఉே ା ଵ ି ఉ
ଷ଻ ସଽ
Ainsi avec͸ൌܰetߚͳൌ,ܽ ൌetǤܾ ൌ
ଵଶ ଵଶ

Proposition XXIX,XXX :Trouver deux carrés tels, que
si à leur produit on ajoute l’un ou l’autre des deux carrés,
les sommes soient encore des carrés. Pour la proposition
XXX, du produit des carrés, on retranche l’un ou l’autre
carré.


ଶ ଶ
Résolution XXIX :On cherche deux carrésܽetܾtels
ଶ ଶଶ ଶଶ ଶଶ ଶ
que 1)ൌݑ൅ ܽܽ ܾet 2)൅ ܾܽ ܾൌݒ, conditions
ଶ ଶଶ ଶ
équivalentes à 1’)ͳൌݏܾ൅ et2’)ͳ൅ݐൌܽ. Il
suffit donc de considérer les triplets de Pythagore pour

choisir les valeurs deܽ etܾ. Par exemple avec le triplet
ଷ ହ
(͵ Ǣ Ͷ Ǣ ͷ) qu’on peut écrireͳǢ ሻሺ Ǣprendra par on
ସ ସ

exempleܾ ൌ etavec le tripletሺͷ Ǣ ͳʹ Ǣ ͳ͵ሻ qu’onpeut

ହ ଵଷହ
écrireቀ ǢͳǢ ቁǡon prendra la valeurܽ ൌ. Etc.…
ଵଶ ଵଶଵଶ

ଶ ଶ
Résolution XXX:On cherche deux carrésܽ etܾtels
que
ଶ ଶଶ ଶଶ ଶଶ ଶ
1)െ ܽൌݑܽ ܾ et2)െ ܾܽ ܾൌݒconditions ,
ଶ ଶ ଶ ଶ
équivalentes à 1’)ܾݏെൌͳ et2’)ൌݐܽെͳ. Il
suffit donc de considérer les triplets de Pythagore pour

choisir les valeurs deܽ etܾ. Par exemple avec le triplet

49

ଷ ହ
(͵ Ǣ Ͷ Ǣ ͷ) qu’on peut écrireሺ ǢͳǢ ሻ onprendra par
ସ ସ

exempleܾ ൌ etavec le triplet (ͷ Ǣ ͳʹ Ǣ ͳ͵) qu’on peut

ହ ଵଷ
écrireሺ ǢͳǢ ሻ on prendra par exemple la valeur
ଵଶ ଵଶ
ଵଷ
ܽ ൌ. Etc.…
ଵଶ

Proposition XXXI :Trouver deux nombres tels, que leur
produit étant augmenté ou diminué de leur somme, les
résultats soient des carrés dans les deux cas.

Résolution XXXI :On chercheܽetܾdeux nombres
posiଶ ଶ
tifs tels que 1)൅ܾൌݑܾܽ൅ܽet 2)ܾܾܽെܽെൌݒ.
ère
1 méthode:
Posonsൌܾܽ݇,ݑൌߜܽ etݒൌߚܽ, avecߜ ൐ ߚ. De la
௞ ା ଵ

première condition, on a:ܽ ൌ avecߜ ൐݇, et la

ఋ ି௞
௞ ା ଵ

deuxième donneܽ ൌ avecߚ ൏݇. On déduit alors

௞ ି ఉ
మ మ
ఋ ାఉ
ଶ ଶ
que݇ ൌavec൏݇൏ߜߚ .

ଵ ଵଵଷ
En prenant pour valeursߜ ൌ etߚ ൌ,݇ ൌ, on
vériଶ ଷ଻ଶ
ଶ ଶ
fie queߜ൏݇൏ߚet les valeurs deܽetܾsont :͹ܽൌͳ
ଶଶଵ
etܾ ൌǤ
଻ଶ
ଵ ହ
En prenant pour valeursͳൌߜetߚ ൌ,݇ ൌ, on vérifie
ଶ ଼
ଵଷ
ଶ ଶ
queߜ൏൏݇ߚet les valeurs deܽetܾsont :ܽ ൌet

଺ହ
ܾ ൌ.
ଶସ

50


ème
2 méthode:
On poseൌߜܽܰ etܾߚൌܰ. On cherche à remplir les
conditions
ଶ ଶ
1)ߚߜܷܰൌߚሻߜ൅൅ሺܰ et
ଶ ଶ
2)ߚ൅ܰሻെߜሺߚߜܰൌܸavecܷ൐ܸ.
మ మ
௨ ା௩
ଶ ଶ
En posantܰߜߚܰ ൌ,ܷܰݑൌetܰൌݒܸ, et

మ మ
௨ ି௩

ሺߜ ൅ ߚሻܰ ൌܰdeux conditions sont toujours les

ଶሺఋ ା ఉሻ
remplies etܰ ൌ.
మ మ
௨ ି௩
మ మ
௨ ା௩ ଺ହଵଷ ହ
Exemple: avec͹ൌݑ etݒൌͶ,ൌ ൌ ήon ,
ଶ ଶଶ ଵ
ଵଷ ଶଷଵଷ ଶଷଶଽଽ
prendraൌ ߜ etߚͷൌ, d’oùܰ ൌ,ܽ ൌή ൌ
ଶ ଷଷଶ ଷଷ଺଺
ହ ଶଷଵଵହ
etή ൌܾ ൌ.
ଵ ଷଷଷଷ

ème
3 méthode:
Posonsܰͷൌܽ etܾ ൌܰ. La sommeܽ൅ܾ vaut͸ܰ. En


égalant͸ܰ àͶܰ, d’oùܰ ൌ, le produit des nombres

ଶ ଶ
ͷܰaugmenté ou diminué de leur somme étantͶܰ, les
ଶ ଶ
résultatsͳܰ,ͻܰseront toujours des carrés.


Proposition XXXII :Trouver deux nombres égaux en
somme à un carré, et tels que leur produit étant augmenté
ou diminué de leur somme, les résultats soient des carrés.

51

Solution: Supposons queͳͲܰ etʹܰ soientles nombres

cherchés, nous égalerons leur sommeͳʹܰàͳ͸ܰ, ce qui



donneraܰ ൌ; avec ces conditions le produitʹͲܰdes

deux nombres étant augmenté ou diminué de leur somme
ଶ ଶଶ
ͳ͸ܰ, les résultats͵͸ܰ,Ͷܰseront toujours des carrés.

Résolution XXXII:On chercheܽ etܾnombres deux
positifs tels que
ଶ ଶ
1)ܽ ൅ ܾ ൌܿǡ2)ܾܽ൅ܽ൅ܾݑൌet 3)

ܾ െ ሺܽ ൅ܾ ሻ ൌݒ. En utilisant les éléments décrits dans
la deuxième méthode du problème précédent, cela
imమ మ
௨ ି௩

plique quedoit être égal à un carré݇. Par exemple

avec͵ൌݑetͳݒൌ, on a݇ ൌʹet le produit
మ మ
௨ ା௩
ߜߚൌൌͷൌͷήͳ, on prendraൌͷߜetൌߚǡͳ

ଶሺହ ା ଵሻଷ ଵହଷ
d’oùܰ ൌൌ,ܰߜൌܽൌetǤܾ ൌߚܰ ൌ
మ మ
ଷ ିଵ ଶଶ ଶ

Proposition XXXIII,XXXIV :Trouver trois nombres
tels, que le carré de chacun d’eux étant augmenté du
nombre suivant, les trois sommes soient des carrés. Pour
la proposition XXXIV, chaque carré est diminué du
nombre suivant.

Solution XXXIII: premier nombreܰ, secondʹܰ൅ͳ,
troisièmeͶ൅ܰ͵, avec ces hypothèses le carré du premier
nombreܰ plus൅ܰͳʹ estun carré quel que soitܰ, le

52

carré deʹܰ൅ͳplusܰͶ͵൅est aussi un carré quel que
soitܰ; il reste à déterminerܰ pourque le carré de
ሺͶܰ൅͵ሻaugmenté deܰsoit un carré. Il suffira d’égaler
ଶ ଶ
ͳ͸ܰ൅ʹͷܰ൅ͻàሺܰͶെͶሻ.

Résolution XXXIII:Dans la démarche proposée il faut
ଶ ଶ
soit poserͳ͸ܰ൅ʹͷܰെሺͶͻൌܰ൅ߚሻ pouréliminer

les termes enܰet choisir arbitrairement une valeur pour

le paramètreߚ, soit poserͳܰ͸൅ͷʹ൅ܰൌͻߚሺെܰ

͵ሻpour éliminer les termes constants et choisir
arbitrairement une valeur pour le paramètreߚ.

Exemple: dans le premier cas,


ఉ ିଽ
ଶ ଶ
ͳ͸ܰ൅ʹͷܰ൅ͻൌሺͶܰെߚሻdonneǤܰ ൌ
଼ఉ ା ଶହ
Dans le deuxième cas,
଺ఉ ା ଶହ
ଶ ଶ
ͳ͸ܰ൅ʹͷܰ൅ͻൌሺߚܰെ͵ሻdonneܰ ൌ.

ఉ ିଵ଺

Résolution XXXIV : premiernombreܰ, secondʹܰͳെ,

troisièmeͶܰȂ ͵, avec ces hypothèses le carré du premier
nombreܰmoinsെܰͳʹest le carré deͳܰെ, le carré de
ʹܰെͳ moins͵െܰͶest le carré deʹെܰʹet il reste à

déterminerܰque le carré de pourͶܰെ͵le pre- moins

mier nombreܰun carré. Il faut donc que soitͳ͸ܰ െ
ʹͷܰ൅ͻsoit un carré.
ଶ ଶ
On pose que soitሻߚ൅ൌሺͶܰͷܰ൅ͻܰെʹͳ͸, soit

53

ଶ ଶ
ͳ͸ܰെʹͷܰ൅ͻൌሺߚܰ൅͵ሻ. Dans le premier cas,

ଽ ି ఉ଺ఉ ା ଶହ
ܰ ൌet dans le deuxièmeܰ ൌ.

଼ఉ ା ଶହଵ଺ ି ఉ

Proposition XXXV,XXXVI :Trouver trois nombres tels,
que le carré de chacun étant augmenté de la somme de
trois, les résultats soient des carrés. Pour la question
XXXVI, le carré de chacun est diminué de la somme de
trois.

Solution XXX:Soit un nombreǯǯൌܾ݇ܽܽൌǯܾǯൌܽǯǯܾ, il
ଶ ଶ
ଶᇲ ᇲᇲᇲ ᇲᇲ
௔ି௕ ௔ି௕ ௔ି ௕
est clair que൅ ݇ቀ ቁ,൅ ݇ቀ ቁ,ቀ ቁ൅ ݇
ଶ ଶଶ
seront des carrés. Cela posé, Diophante considère au lieu
de݇un nombre particulier,ͳʹpar exemple, or :ͳʹ ൌͳ ή
ͳʹൌʹή͸ൌ͵ήͶ; prenant pour chacun des nombres
ଶ ଶଶ
ଵଶିଵ ଺ିଶସିଷ
cherchésቀ ቁܰ,ቀ ቁܰ ,ܰቀ ቁ, et supposant
ଶ ଶଶ
ଶ ଶ
que la somme de ces trois nombres égaleʹͳൌܰܰ݇,

toutes les conditions du problème seront remplies; mais la
condition que la somme des trois nombres ouͺܰ soit


égale àͳʹܰexige qu’on aitܰ ൌǤ


Résolution XXXVI :dans ce cas il faudra choisir,
ଶ ଶᇲᇲ ᇲᇲଶ
ᇲ ᇲ
௔ା௕ ௔ା ௕௔ ା௕
ቀቁെ݇ǡ ቀ ቁെ ݇etቀ ቁെ ݇pour obtenir
ଶ ଶଶ
des carrés. En gardant݇ʹͳൌ, la condition que la somme

54



des trois ouͳͶܰégale à soitͳʹܰque exigeܰ ൌǤ Et

ଶ ଶ
ଵଶାଵ ଺ାଶ
les nombres cherchés serontܰቀ ቁ ,ܰቀ ቁ et
ଶ ଶ

ସାଷ
ቀ ቁܰ Ǥ





Remarque: Diophante utilise assez souvent la relation:

ଶ ଶ
ܽ൅ܾܽെܾ
൬൰ൌ൬൰൅ܾܽ
ʹ ʹ

qui devient

ଶ ଶ
ܽ൅ܾܽെܾ

൭൬൰ܰ൱ൌ൭൬൰ܰ൱൅ܾܽܰ
ʹ ʹ

55




Livre III



Le livre III comprend 24 propositions.

Ci-après en écriture italique : le texte tel qu’il est imprimé
dans sa version originale de M.E.Brassinne.
En caractère droit : l’apport du présent auteur.


Proposition I :Trouver trois nombres tels, que si de leur
somme on retranche le carré de chacun d’eux, les trois
restes soient des carrés.


Solution: Soitܰle premier nombre,ʹܰle second,ͷܰla
somme des trois nombres; on satisfait ainsi à deux
conditions du problème. Pour satisfaire à la dernière, il faut
ଶ ଶଶ
trouver un troisième nombreߚܰtel queߚ ܰͷܰ െ
ସ ଵଶଵ
soit un carré; maisͷ ൌͳ ൅ Ͷ ൌ൅se
ଶହ ଶହ

décomposant ainsi en deux carrés, si on prendǡߚ ൌ

ଵଶଵ
ଶ ଶଶ ଶ
ͷܰ െߚ ܰൌ ܰ, qui est un carré. Les trois
ଶହ

nombres étantܰ,ʹܰ,ܰ, il reste à trouverܰ, de telle

ଵ଻

sorte que leur sommeܰsoit égale àͷܰ, d’où

57

ଵ଻
ܰ ൌ.
ଶହ

Résolution I :On cherche trois nombresܽ,ܾetܿtels que
ଶ ଶ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ െ ܽൌݐ
ଶ ଶ
൝ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ െ ܾൌݑ
ଶ ଶ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ െ ܿൌݒ

ଶ ଶଶ ଶଶ ଶ
Posonsܰܽൌ݇ൌൌܾܽ൅ܿ൅ܾ݊ܿ݉ൌ,
݇,݉et݊étant différents. Il vient

ଶ ଶଶ
ଶ ଶ
ܽሺ݇െͳሻൌሺߙܽሻ݇ൌͳ൅ߙ
ଶ ଶଶ ଶଶ
ቐܾሺ݉െͳሻൌሺߚܽሻ doncͳൌߚ൅ቐ݉
ଶ ଶଶ ଶଶ
ܿሺ݊െͳሻൌሺߛܽሻ݊ൌͳ൅ߛ

௠௡ ା ௞௠ ା ௡௞
ܽ ൌ
ۓమ
௞ ௠௡
ۖ
௠௡ ା ௞௠ ା ௡௞
d’oùൌ ܾchoisit On݇,݉et݊à partir

௠ ௞௡
۔
௠௡ ା ௞௠ ା ௡௞
ۖ
ܿ ൌ

ە௡ ௠௞

de triplets pythagoriciens. Par exemple du triplet (͵ Ǣ Ͷ Ǣ ͷ)

ସ ହହ ହ
on l’écritቁቀͳǢ Ǣ d’où݇ ൌ et݉ ൌdu triplet et
ଷ ଷଷ ସ
ଵଶ ଵଷ
(ͷ Ǣ ͳʹ Ǣ ͳ͵) qu’on écritቁቀͳǢ Ǣprendra on݊ ൌ
ହ ହ
ଵଷ ଷସ଼ସ଺ସ ଵଵ଺
ǤLes nombres serontܽ ൌܿ ൌǢ ܾൌ Ǣ.
ହ ଷଶହଷଶହ ଵ଺ଽ

Rappel: Pour décomposerͷ ensomme de deux carrés on
ଶ ଶଶ ଶ
part deͷ ൌͳ ൅ʹ. On écritሻܰ൅ʹሺߚെൌͷ

58

ଶሺଶఉ ି ଵሻ

ሺͳ൅ܰሻd’où ,Ǥܰ ൌAvecʹൌߚ onretrouve

ఉ ାଵ
les valeurs indiquées.

Pour éviter ce calcul supplémentaire, on aurait pu prendre

͵ܰle premier nombre,Ͷܰle second ,ʹͷܰla somme des
trois nombres; on satisfait à deux conditions du problème.
Pour satisfaire à la dernière, il faut trouver un troisième
ଶ ଶଶ
nombreߚܰ telqueʹͷܰ െߚ ܰ soitun carré; or du

triplet pythagoricien (͹ Ǣ ʹͶ Ǣ ʹͷ) et en l’écrivant sous la
଻ ଶସ
forme (Ǣ ͷ Ǣ), on a immédiatement
ହ ହ
ଶ ଶ
଻ ଶସ଻
ʹͷ ൌቀቁ ൅ቀ ቁ. En prenantߚ ൌ, le troisième
ହ ହହ
଻ ସଶ
nombre est doncܰ, la somme des trois nombresܰ
ହ ହ
ସଶ

étant égale àʹͷܰ,ܰ ൌet les nombres seront
ଵଶହ
ଵଶ଺ ଵ଺଼ଶଽସ
ܽൌ͵ܰൌǢܾൌͶܰൌetܿ ൌߚܰ ൌǤ
ଵଶହ ଵଶହ଺ଶହ

Proposition II :Trouver trois nombres tels, que le carré
de leur somme augmenté de chacun d’eux fasse un carré.


Solution: Soitܰle carré de la somme des trois nombres ,
ଶ ଶଶ
que nous représenterons par͵ܰ,ͺܰ,ͳͷܰ; toutes les

conditions seront remplies si la sommeʹ͸ܰtrois des

nombres est égale àܰ, ou siǤܰ ൌ
ଶ଺

59