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A quoi servent les mathématiques ?

De
274 pages
A quoi servent les mathématiques ?", "Pourquoi faut-il faire des maths au collège et au lycée ?", "Ou s'appliquent les mathématiques enseignées ? Ce manuel présente les mathématiques autrement. Il donne une vision panoramique sur les différents domaines des mathématiques. Pour chacun d'eux il donne un bref historique, l'essentiel du contenu mathématique et surtout une idée générale sur les différents domaines (sociaux, scientifiques, artistiques) de son application.
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À QUOI SERVENT LES MATHÉMATIQUES?

Collection Sciences et Société fondée par Alain Fuchs et Dominique Desjeux et dirigée par Bruno Péquignot Déjà parus
Charles HALARY, Les exilés du savoir. Les migrations scientifiques internationales et leurs mobiles, 1994. Godefroy BEAUV ALLET, Un voyage d'exploration en sciences cognitives, 1996. Alessandro MONGILI, La chute de l'U.R.S.S. et la recherche scientifique, 1998. René GROUSSARD, Pierre MARSAL, Monde du vivant, agriculture et société, 1998. Jean-Georges HENROTTE, Entre Dieu et Hasard: un scientifique en quête de l'Esprit, 2001. Jacques ARSAC, y a-t-il une vérité hors de la science? Un scientifique s'aventure en philosophie? ,2002 Pierre Yves MORVAN, Dieu est-il un gaucher qui joue aus dés ?, 2002. Claude Michèle POISSONNET, Le dépistage génétique en milieu de travail, 2002.

JAMEL OUERSIGHNI

À QUOISERVENT LES MATHÉMATIQUES?

L'Harmattan 5-7, rue de l'École-Polytechnique 75005 Paris

FRANCE

L'Harmattan Hongrie Hargita u. 3 1026 Budapest HONGRIE

L'Harmattan Italia Via Bava, 37 10214 Torino ITALlE

cgL'Harmattan, 2003 ISBN: 2-7475-3969-5

A mes parents, les premiers qui m'ont enseigné les mathématiques. J. O.

"Remerciements"
Je remercie tous ceux qui m'ont aidé à réaliser ce travail. Je tiens à remercier, en particulier, ma femme qui a assuré la frappe, mes collègues de français qui ont effectué, avec beaucoup de patience, de multiples corrections et mon ami Jean Durand pour ses remarques importantes. J. O.

INTRODUCTION
Il arrive souvent que les élèves posent pendant leur scolarité la question suivante: « A quoi servent les mathématiques? ». Sans pour autant recevoir une réponse claire, convaincante, définitive et persuasive. Durant mes études secondaires, j'ai souvent posé la même question; je l'ai posée à moi-même, à mes camarades ou à mes professeurs chaque fois que je sentais que ce qu'on étudiait en mathématiques en classe ne pouvait pas dépasser la salle ni être appliqué au monde extérieur. Les réponses à cette question étaient souvent absurdes, partielles et non convaincantes comme « Vous verrez ça plus tard» ou « Elles sont utiles dans votre vie. » Mais ce n'est qu'à la fin de mes études secondaires et durant mes études supérieures que les mathématiques sont devenues pour moi une matière utile. Durant cette période, elles devenaient palpables et applicables, par conséquent intéressantes. Après mes études universitaires, j'ai choisi l'enseignement et je suis passé de l'autre côté de la salle: un professeur de mathématiques face à ses élèves. Après quelques mois d'enseignement, un élève m'a posé une question qui n'était ni simple ni évidente «Monsieur, à quoi servent les mathématiques?». A ce moment-là, j'ai eu un sentiment un peu particulier et une volonté profonde de répondre à cette question, mais ma réponse était comme toutes les autres déjà entendues, superficielle et surtout peu convaincante. "Ce jour-là" plus que

jamais, il m'a semblé important que cette question reçoive une réponse claire pour que nos élèves aient une autre image des mathématiques, celle des maths que nous aimons. Pour cela, il faut sortir duc ercle restreint del' enseignement des mathématiques et fournir aux élèves des informations supplémentaires sur chaque chapitre enseigné. Ainsi la préparation de mes cours était devenue plus large. Je ne me contentais plus de la préparation du contenu mathématique mais j'essayais de fournir d'autres compléments liés au chapitre, traitant son histoire et surtout son utilité. Après quelques années de travail, l'idée de partager cette expérience avec tout le monde était née. C'est ainsi que je présente modestement entre vos mains ce livre qui résume l'essentiel de cette expérience. Dans ce livre, j'ai consacré le travail à l'analyse du contenu des mathématiques étudiées dans l'enseignement secondaire car c'est à ce niveau que j'ai remarqué le problème et c'est à ce niveau même que je souhaite y remédier pour aider les élèves à effectuer leur parcours scolaire avec enthousiasme, confiance et réussite. J'ai présenté les mathématiques autrement que d'habitude et d'une façon simple, claire et fascinante. J'ai donné une vision générale et panoramique sur les différents domaines des mathématiques: arithmétique, algèbre, géométrie, analyse, statistiques et probabilités. Dans chaque chapitre de ce livre, vous trouverez un bref historique, l'essentiel du contenu mathématique et surtout une idée générale sur les différents domaines de son application: physique, chimie, industrie, astronomie, biologie, musique, peinture, etc. Vous trouverez aussi des notes, des remarques utiles, de petites présentations de mathématiciens et des réponses claires à des questions inventées par des élèves pour donner du sens à cette discipline. Vous apprendrez à quoi servent les mathématiques, à quoi elles peuvent vous servir, ce que les gens en pensent, et aussi pourquoi les mathématiques sont aussi intéressantes et utiles. Ce livre s'adresse principalement aux élèves qui sont nombreux à éprouver face aux mathématiques une peur de l'échec s'exprimant par un mystérieux blocage. L'enseignement des mathématiques pour ces élèves est une source d'ennui, d'angoisse, de dévalorisation d'eux-mêmes, d'échec scolaire et de rejet de l'école. Ainsi, la mission de ce livre est de rendre les mathématiques enseignées plus accessibles aux élèves et de montrer que les mathématiques sont utiles, applicables et parfaitement attachées au réel en vue de familiariser les élèves avec 10

une discipline fascinante tout autant par sa créativité que par sa rigueur et son utilité. Son premier objectif est de nouer un lien de confiance entre les élèves et les mathématiques, susciter la curiosité dans le cours des mathématiques et surtout de faire naître des étincelles de vie et de plaisir dans les yeux des élèves grâce aux mathématiques. Mais ce livre s'adresse aussi aux adultes: professeurs, parents et chaque personne qui s'intéresse de près ou de loin aux mathématiques et à leurs applications dans sa vie quotidienne et professionnelle.

Il

« [Les mathématiques), ça représente essentiellement le langage théorique universel. C'est-à-dire qu'à mon avis, les seules possibilités rigoureuses d'accéder à une pensée ayant validité universelle se font par les mathématiques ou par des lois mathématiques. »
René Thom
1

« L'objet principal de toutes les recherches portant sur le monde extérieur devrait être de découvrir l'ordre et l'harmonie rationnels qui lui ont été fixés par Dieu et qu'il nous a révélés dans le langage des mathématiques. » Johannes Kepler

« Si les mathématiques sont présentées comme clef du réel physique et social, comme voie d'accès à la pensée scientifique et technique, comme fondement de la culture dans une société moderne, c'est parce que ces mathématiques, ou, mieux, cette mathématique, est conçue comme logique, étude de structures, système de symboles, bref, comme langage. La mathématique est le langage de la rationalité moderne. C'est donc cette mathématique conçue comme langage, la mathématique de notre temps, qu'il convient d'enseigner. »
Bernard Charlot2

« Toute notre vie moderne est comme imprégnée de mathématiques. Les actes quotidiens et les constructions des hommes en portent la marque, et il n'est pas jusqu'à nos joies artistiques ou à notre vie morale qui n'en subissent l'influence. »
Paul Montel

« Tout notre monde repose sur des fondations mathématiques, et celles-ci sont indissociablement imbriquées dans notre culture, au sens large. Si nous ne nous rendons pas toujours compte à quel point elles affectent nos vies, c'est que, et cela pour de bonnes raisons, on les tient à l'écart autant qu'il est possible. »
Ian Stewart3

)

Entretien avec René Thom, in Entretiens avec des mathématiciens; Nimier J.,
IREM de Lyon, 1989.

2 Dans APMEP N°352 Février 1986, Histoire de la réforme des « maths modernes» idées directrices et contexte institutionnel et socio-économique. "
3 Dans La nature et les Nombres (Hachette, 1998).

I - QU'EST-CE QUE LES MATHÉMATIQUES?
« Les mathématiques sont un jeu qu'on exerce selon des règles simples en manipulant des symboles et des concepts qui n'ont en soi, aucune importance particulière. » Hilbert « Les mathématiques sont la science de la production de conclusions nécessaires. » C. S. Peirce « La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. » Poincaré

L'histoire des mathématiques nous livre plusieurs définitions qui changent pour chaque époque et pour chaque génération. Les Grecs et les Arabes considèrent les mathématiques comme la reine des sciences. Ils désignent sous le nom de cette discipline l'ensemble de tous les domaines scientifiques.4 Cela explique que certains
4

Dans l'étymologie du terme mathématique, on trouve mathéma qui signifie la science par excellence. 15

mathématiciens grecs, chinois, hindous et arabes étaient aussi des astronomes, des philosophes, des médecins, etc. Au cours des siècles, les mathématiques conservent leur place

honorable et digne entre les autres sciences. Au XVII e siècle,
Furetière (1619-1688) affirme: «Les mathématiques tiennent le premier lieu entre les sciences, parce que ce sont les seules qui sont fondées sur des démonstrations infaillibles. Bottinus a dit fort à propos, que les mathématiques sont des sciences
triomphantes, et non militaires, parce qu'on n y dispute

point. Quelques-uns ont donné ce nom à la magie, parce que par le moyen des mathématiques on fait des choses si surprenantes, que le peuple croit qu'il y a de la magie. » Il définit les mathématiques comme une « science qui s'attache à connaître les quantités et les proportions. La quantité continue est l'objet de la Géométrie, de la Trigonométrie, des Sphériques, des Sections Coniques, de l'Algèbre spécieuse. La quantité discrète est l'objet de l'Arithmétique, de l'Algèbre commune. Les proportions sont l'objet de la Musique, de l'Architecture, de la Perspective.» Au XVIIIe siècle, d'Alembert (1717-1783) écrit: «Les mathématiques sont la science qui a pour objet les propriétés de la grandeur. » Le philosophe allemand Kant (1724-1804) considère les mathématiques comme « un pont jeté entre la métaphysique et la physique.» On ajoute aux définitions précédentes, certaines définitions trouvées dans des dictionnaires. Citons à titre d'exemple: «Les mathématiques sont la science qui a pour objet les propriétés de la grandeur, en tant qu'elle est calculable ou mesurable », « Les mathématiques sont la science de la quantité et de l'espace »,5 « Les mathématiques sont une science qui a pour objet les nombres, les figures et les mouvements» et «Les mathématiques sont l'ensemble des sciences qui ont pour
5 Les sciences de la quantité et de l'espace sont connues sous les noms d'arithmétique et de géométrie. L'arithmétique s'intéresse aux propriétés des nombres entiers et rationnels ainsi qu'aux opérations sur ces nombres. La géométrie s'intéresse en partie aux questions de mesures de l'espace. 16

objet la quantité et l'ordre. » Ces définitions, formelles et peu stimulantes, ne semblent pas être très satisfaisantes pour définir toutes les mathématiques car elles ciblent les mathématiques classiques et excluent les mathématiques modernes qui ne se proposent pas un tel but.
Les mathématiques classiques Les mathématiques classiques reposent sur les sujets qu'elles traitent. Elles sont une science qui concerne l'étude logique des quantités et des grandeurs et leurs interactions. Elles s'intéressent à l'étude des quantités discrètes (les nombres) et des quantités continues (la géométrie). Les mathématiques modernes Les mathématiques modemes6 qui datent, sous leur forme Bourbakiste,1 de quelques décennies, constituent une science abstraite qui étudie, par le moyen du raisonnement déductif, les propriétés des êtres abstraits (nombres, figures géométriques, etc.) ainsi que les relations qui s'établissent entre eux. Elles se basent, en premier lieu, sur la logique mathématique et, en deuxième lieu, sur la théorie des ensembles, grâce à quoi les formulations mathématiques sont devenues plus raisonnées et les b ranches des mathématiques plus unifiées. Avec les mathématiques modernes, les domaines d'études mathématiques et les méthodes employées se sont élargies. De ce
Il est important de distinguer les mathématiques modernes et les mathématiques à applications modernes. Les premières sont une présentation axiomatique des plusieurs branches des mathématiques assemblées autour de la théorie des ensembles et les secondes sont des mathématiques de création ancienne qui trouvent des applications modernes comme, par exemple, le calcul vectoriel, les matrices, le calcul des probabilités, l'algèbre de Boole, l'analyse combinatoire, etc. 7 Nicolas Bourbaki est un pseudonyme collectif sous lequel de jeunes mathématiciens, pour la plupart français, ont conjugué leurs efforts durant les années 1930 pour refaire les mathématiques en les prenant à leur point de départ logique. Les fondateurs étaient H. Cartan, C. Chevalley, 1. Dieudonné, 1. Delsarte et A. Weil. Ce groupe qu'on peut rapprocher du groupe des géomètres grecs qui rédigea au III e siècle avo 1.-C. les Eléments d'Euclide, est connu surtout par ses «Eléments de mathématiques. » Ses travaux ont exercé une influence considérable sur le développement des mathématiques modernes en France et dans le monde entier. 17
6

fait, elles ont contribué à l'avènement d'une nouvelle vision scientifique du monde. Arthur Cayley (1821-1895) disait: «Il est difficile de donner une idée de la vaste étendue des Mathématiques modernes. Le mot « étendue» n'est pas le bon ,.je veux dire une étendue fourmillant de beaux détails, non point une étendue uniforme, comme une plaine nue, mais une région d'un beau pays, vue d'abord à distance, mais qui mérite d'être parcourue d'un bout à l'autre, étudiée jusque dans ses moindres détails, vallées, cours d'eau, rochers, bois etfleurs. »

Les mathématiques pures On distingue deux branches essentielles en mathématiques: les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Les mathématiques pures sont composées de la théorie des nombres, de la géométrie, de l'algèbre et de l'analyse. Elles opèrent sur des quantités abstraites dans le but de développer les principes mathématiques, sans tenir compte de leurs applications pratiques possibles, soit à court terme, soit à long terme. Dans cette branche, les mathématiciens ne recherchent aucun rapprochement entre leurs recherches mathématiques théoriques et le monde réel qui les entoure de toutes parts. Les mathématiques appliquées Les mathématiques appliquées, appelées jusqu'au XVIII e siècle les mathématiques mixtes, cherchent à résoudre les problèmes que rencontre l'homme dans sa vie quotidienne. Elles opèrent sur des grandeurs concrètes et mesurables issues des sciences de la nature (Astronomie, Physique, Biologie...) et des sciences sociales (statistiques, informatique,...) Dans cette branche, le rôle des mathématiciens se limite à remplir les tâches qui leur sont assignées par les autres disciplines.

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1 - Mathématiques

et philosophie

«Les mathématiques devraient être regardées comme l'alphabet de toute philosophie. »
François Bacon

«Les mathématiciens ont autant besoin d'être philosophes que les philosophes, mathématiciens. » Leibniz

Depuis l'Antiquité, il existe une relation intime entre les mathématiques et la philosophie. Jules Vuillemin écrivait: « Il existe un rapport intime quoique moins apparent et plus incertain entre les mathématiques pures et la philosophie théorique. L 'histoire des mathématiques et de la philosophie montre qu'un renouvellement des méthodes de celles-là a, chaque fois, des répercussions sur celle-ci. » Cela explique que les plus célèbres mathématiciens tels Thalès (624-546 avo J.-C.), Pythagore (VI e siècle avo J.- C.), Pascal (1623 -1662), Leibniz (1646-1716), Condorcet (1743-1794), etc. étaient de grands philosophes et que des philosophes célèbres tels Démocrite (v. 460-370 avo J.-C.), Platon (428-348 avo J.-C.), SaintAugustin (354-430), Descartes (15961650), Kant (1724-1804), Auguste Comte (1798-1857), Karl Marx (18181883), Husserl (1859-1938), etc. étaient aussi de grands mathématiciens. Ces philosophes ont possédé une culture mathématique très importante qui a retenti sur leur pensée philosophique.
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ARISTOTE (384-322 avoJ.-C.) Philosophe grec, Aristote laissa une oeuvre considérable sur la philosophie, la logique, la politique, I'histoire naturelle et la physique. Son système montre toute la nature comme un immense effort de la matière pour s'élever jusqu'a la pensée et à l'intelligence. Elève de Platon, il nie l'existence de l'infini accessible mais accepte l'infini potentiel. Il est le fondateur de la logique formelle qui a eu une grande influence sur la formation de la pensée en Europe occidentale et sur la philosophie chrétienne.

Pour les platoniciens, les mathématiques tiennent une place importante dans leur philosophie. Elles se constituent de cinq branches élémentaires: l'arithmétique, la géométrie dans le plan, la géométrie dans l'espace, l'astronomie et la musique. Ces deux dernières se caractérisent par l'harmonie: l'harmonie des sphères fait écho à I'harmonie des sons. On trouve ce rapprochement chez les Pythagoriciens qui pensent que toutes les formes de la beauté et toutes les harmonies dans la nature peuvent être exprimées par des nombres entiers. Ils pensent aussi que les déplacements des planètes dans le ciel engendrent une musique céleste aux harmonies représentables par des chiffres. La géométrie dans l'espace est elle-même liée à la cosmogonie. Ainsi, les polyèdres réguliers (tétraèdre, octaèdre, icosaèdre, cube) représentent les éléments suivants: le feu, l'air, l'eau et la terre. Quant au dodécaèdre, il est le modèle sur lequel le Créateur a bâti le monde.

2 - Mathématiques

et logique

« La logique? Qu'elle se débrouille pour rendre compte de la vie. » Antoine de Saint-Exupéry « Une méthode de résolution est parfaite lorsqu'on peut prévoir, et même montrer, dès le départ que son application conduira au but recherché. » Leibniz

La logique est une science qui a pour objet de déterminer les règles de la réflexion et les conditions qui permettent à l'esprit de passer d'une proposition vraie à une autre qui l'est aussi, et ce jusqu'à atteindre la vérité. Historiquement, l'invention de la logique correspond essentiellement à un besoin pratique. Elle est apparue dans la société grecque antique vers le IV e siècle avant J.C. avec Aristote en même temps que d'autres conceptions mathématiques dont le hasard. Entre les mathématiques et la logique, il n'existe aucune frontière. Les mathématiques sont depuis toujours synonymes de la logique et la logique est une branche fondamentale des mathématiques qui est fondée sur le raisonnement cohérent et convaincant. Ainsi, on appelle la logique mathématique, la branche 20

qui codifie les méthodes du raisonnement mathématique, explique ses fondements et détermine les conditions de sa légitimité. H. Poincaré (1854-1912) disait: «En mathématiques, la logique s'appelle Analyse et analyse veut dire division, dissection. Elle ne peut donc avoir d'autre outil que le scalpel et le microscope. Ainsi la logique et l'intuition ont chacune un rôle nécessaire. Toutes deux sont Bertrand RUSSEL indispensables. La logique qui peut (1872-1970) Mathématicien, philosophe et seule donner la certitude est sociologue britannique, Russel l'instrument de la démonstration: est l'un des promoteurs de la l'intuition est l'instrument de logique moderne. Ses l'invention. » réflexions sur le fondement des mathématiques l'amènent Dans l'histoire de l'enseignement des mathématiques, la à affirmer, avec Whitehead, que toutes les mathématiques géométrie est le premier système du sont réductibles à la logique. raisonnement déductif formalisé. Elle Ses principales contributions est devenue le modèle pour tous les dans ce domaine sont autres systèmes du raisonnement et le Principles of mathematics et mathematica. grand champ d'entraînement pour la Principia Militant pacifiste actif et pensée logique. L'enseignement de la convaincu, il se montre un géométrie élémentaire a été choisi adversaire vigoureux de l'usage de l'armée nucléaire. pour fournir aux élèves une formation (Prix Nobel, 1950.) de base dans la pensée logique. On doit souligner, outre l'aspect spatial ou visuel du sujet, la méthodologie suivant laquelle l'hypothèse conduit à la conclusion. Ce processus déductif est connu sous le nom de démonstration. La rigueur Historiquement, la rigueur est un héritage des traités de l'Antiquité, de la meta-physique d'Aristote (384-322 avo J.-C.) et des travaux des Pythagoriciens qui ont inventé la démonstration. Elle fut de nouveau mise en avant au XIX e et XX e siècles avec les travaux de Hilbert (1862-1943) et l'avènement de la mathématique formelle et axiomatique. L'accroissement de la rigueur et les 21

recherches logiques ont permis d'augmenter les moyens d'invention de l'esprit humain et d'animer les mathématiques pures.

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II - OÙ SE TROUVENT LES MATHÉMATIQUES?
«Il Y a des mathématiques partout, de la mathématique partout. »
Gilbert W alusinski « Le grand livre de la nature était écrit dans la langue des droites, des cercles, la langue de la géométrie et des mathématiques. »

Galilée

Les mathématiques n'existent pas seulement dans les livres et dans les mémoires des calculatrices et des ordinateurs. Elles sont présentes dans le moindre détail de la nature qui nous entoure et de l'univers qui nous enveloppe. Elles existent dans les galaxies et les systèmes, dans les constructions et les œuvres, dans les usines et les maisons, dans les molécules et les cellules, dans les plantes et les fleurs,8 etc. En quelques mots, on peut affirmer que toutes les choses qui nous entourent sont des manifestations projetées des mathématiques réelles. Par exemple, pour avoir du courant électrique dans notre maison, chaque étape -des turbines d'une
8 Certaines plantes, comme le tournesol, portent des graines réparties sur des spirales logarithmiques. Elles transmettent des informations mathématiques de génération en génération. 23

centrale hydroélectrique lointaine jusqu'au filament de la lampe à incandescence- exige des dizaines d'heures de calculs mathématiques. Ainsi, il a fallu des années de calcul pour mettre en rotation les dynamos génératrices de courant. Les génératrices envoient le courant électrique dans les lignes de transmission. Là encore, il a fallu aussi calculer tout le système des supports des câbles et les tensions élastiques auxquelles ces derniers sont soumis. Sous leur poids et sous l'action du vent et de la neige, les câbles ne doivent pas se rompre ni prendre de flèches trop fortes. Le courant arrive à la maison, traverse les filaments des lampes et fait tourner les moteurs des appareils électroménagers. C'est simple, mais là aussi, les mathématiques interviennent pour limiter les dégâts. Sinon, les conduites électriques se chauffent et la maison prend feu. Les mathématiques imprègnent fortement notre vie moderne. Elles sont présentes dans nos actes, dans nos pratiques, dans nos habitudes et même dans nos loisirs. Par exemple, les sports pratiqués par les amateurs ou par les professionnels sont fortement imprégnés des mathématiques. Ainsi, chaque frappe de pieds sur un ballon de foot, chaque coup de raquette sur une balle de tennis, chaque position d'un lanceur de poids, etc. est bien calculée.

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III - QUI A INVENTÉ
LES MATHÉMATIQUES?
« Dieu créa le nombre entier, tout le reste est l'œuvre de l'homme. » Kronecker « Nous sommes de race divine et possédons le pouvoir de créer. » R. Dedekind « Pour prévoir l'avenir des mathématiques, la vraie méthode est d'étudier leur histoire et leur état présent. » Remi Poincaré

Le début des mathématiques9 a été provoqué par les nécessités de la vie sociale et économique de l'homme sur la terre. Elles se sont développéeslo par échafaudages successifs, en
9 La synthèse historique des mathématiques a débuté très lentement avec l'apparition des premiers documents historiques (pierres, sols, outils, papyrus, tablettes d'argiles, joncs, etc.). 10Il est fort probable qu'à l'origine le développement des mathématiques a pu être influencé par des pratiques religieuses. Le concept de nombre et la géométrie du primitif reflètent des aspects liés au domaine religieux. 25

maintenant des interrelations continuelles avec les données générales de l'évolution de I'homme. Les civilisations de l'époque néolithiquell ou préhistorique, caractérisées par la chasse et un début d'agriculture et de commerce, ont manifesté un intérêt au sujet du nombre et de la géométrie. Elles ont développé le concept du nombre à partir des besoins pratiques et utilitaires comme par exemple, dénombrer leur modeste troupeau, faire des échanges commerciaux rudimentaires et créer des calendriers pour organiser leur vie. Elles ont inventé un système de numération additif qui permet d'effectuer des opérations (addition, soustraction, multiplication) sur des nombres entiers naturels. La géométrie empirique se résume en quelques règles qui aident à mesurer des longueurs et calculer des aires et des volumes. Les Babyloniens12 ont développé le système de numération positionnel13 mixte (bases 10 et 60) grâce auquel ils sont devenus d'habiles calculateurs (tables numériques en grand nombre). Ils ont développé la théorie de nombres et quelques éléments de la géométrie et ont réussi à résoudre certaines équations algébriques. Pour les Egyptiens,t4 les mathématiques étaient, durant toute la période qui couvre I'histoire de leur civilisation, à des fins utilitaires et pratiques. Pour calculer, ils ont utilisé le système de numération hiéroglyphique, additif non positionnel, qui a servi à
Il La civilisation néolithique est située entre le mésolithique et l'âge des métaux. C'est la période de première quaternaire allant de 5000 à 2500 avoJ.-C. 12Babylone est une civilisation de l'Antiquité dont la fondation est attribuée aux Akkadiens (2350-2150 avo J.-C.) Ses ruines se trouvent à 160 km au sud-est de Bagdad. L'efficacité de ce système réside dans le rôle que joue la position des chiffres: en partant del a droite, I e premier chiffre représente I es unités, led euxième I es dizaines, le troisième les centaines, etc. Dans ce système, le nombre zéro joue un rôle important. D'une part, il signifie le vide et d'autre part, il permet de représenter les nombres dix, cent, mille, etc. sans utiliser des nouveaux symboles. Ainsi, 10 représente 1 dizaine ajoutée à 0 unité et 100 représente 1 centaine ajoutée à 0 dizaine et à 0 unité, etc. 14 L'Egypte pharaonique est connue à partir de 3000 avo J.-C. Memphis fut la capitale de l'Ancien Empire, au cours duquel furent construites les pyramides de Guizèh. 26 13

véhiculer leurs connaissances mathématiques aux autres civilisations. Ils ont utilisé un ensemble de procédés qui sont essentiellement conçus de manière à respecter leurs deux principes opérationnels: le principe de multiplier et de diviser par deux, et celui de trouver le 213 de tout nombre entier ou fractionnaire. En algèbre, les Egyptiens ont utilisé la méthode de «fausse position» pour résoudre des équations linéaires1s simples. En géométrie, ils ont inventé des f onnules pour calculer l'aire de certaines figures (triangles, rectangles et trapèzes) et le volume de certains solides (cylindres et prismes d roits).16 Lac onstruction d es pyramides fut l'occasion, pour eux, d'utiliser certains éléments de la trigonométrie. Pour les Grecs, les notions fondamentales des mathématiques sont celles de nombre et de figure. Ces deux notions représentent pour eux quelque chose de si pur qu'ils les utilisent souvent pour leur théologie mystique. La géométrie grecque devient une science par elle-même, constituée de principes et de définitions sur lesquels les mathématiciens grecs ont édifié un début de système logique. Thalès de Milet (624-546 avoJ.-C.) a mis à profit les connaissances acquises par les civilisations antérieures et a fondé une géométrie nouvelle. Les pythagoriciens ont développé la théorie des nombres et ont découvert l'existence des incommensurables. Ils ont inventé la méthode d'application des aires et trois des cinq solides réguliers et ont institué la musique comme une science mathématique. Aristote (384-322 avo J.-C.) a introduit la logique et le hasard. Euclide (Illes. avo J.-C.) a fondé l'école des mathématiques d'Alexandrie qui a réuni les plus grands savants du monde et a rassemblé dans Les éléments les connaissances mathématiques de l'époque. Son traité a servi de fondements à toute la géométrie jusqu'à nos jours. Dans Histoire des mathématiques, J. P. Colette écrit: «Ce traité monumental a dominé tout l'enseignement de la Géométrie jusqu'à nos jours, en
15« linéaire» provient du latin linea, qui peut signifier ligne droite. 16 L'examen des papyrus nous révèle des résultats intéressants. On y trouve le calcul exact du volume du tronc de pyramide à base carrée, selon la formule

V = R 4-<a 2+ ab + b 2) et l'aire d'un hémisphère à l'aide d'une formule 3
équivalent à celle utilisée aujourd'hui. 27